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ATSATS2026
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Épreuve de 3 h, calculatrice interdite. Quatre exercices indépendants.
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## Exercice 1
Notations : $f$ est $2\pi$-périodique, impaire, $f(t)=\frac{\pi-t}{2}$ sur $]0,\pi[$, $f(0)=0$. Coefficients de Fourier, avec la convention $S(t)=a_0+\sum_{k\ge1}(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))$ :
$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt\quad(n\ge1).$$
### Partie A — Calcul de la série de Fourier de $f$
**Question 1.** Pour $t\in\,]-\pi,0[$, $-t\in\,]0,\pi[$ et, $f$ étant impaire, $f(t)=-f(-t)=-\frac{\pi+t}{2}$. Pour $t\in\,]\pi,2\pi[$, $t-2\pi\in\,]-\pi,0[$, donc $f(t)=f(t-2\pi)=-\frac{\pi+t-2\pi}{2}=\frac{\pi-t}{2}$. Enfin $f(\pi)=f(-\pi)=-f(\pi)$ donne $f(\pi)=0$, valeur égale à $\frac{\pi-\pi}{2}$.
$$\boxed{f(t)=\frac{\pi-t}{2}\ \text{pour } t\in\,]0,2\pi[,\qquad f(2k\pi)=0\ (k\in\mathbb{Z}).}$$
Graphe sur $[-4\pi,4\pi]$ : quatre segments de pente $-\frac12$, un par intervalle $]2k\pi,2(k+1)\pi[$, qui coupent l'axe en $(2k+1)\pi$ ; saut d'amplitude $\pi$ en chaque $2k\pi$, où $f$ vaut $0$.
| $t$ | $-4\pi$ | $(-4\pi)^+$ | $-3\pi$ | $(-2\pi)^-$ | $-2\pi$ | $(-2\pi)^+$ | $-\pi$ | $0^-$ | $0$ | $0^+$ | $\pi$ | $(2\pi)^-$ | $2\pi$ | $(2\pi)^+$ | $3\pi$ | $(4\pi)^-$ | $4\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f$ | $0$ | $\frac\pi2$ | $0$ | $-\frac\pi2$ | $0$ | $\frac\pi2$ | $0$ | $-\frac\pi2$ | $0$ | $\frac\pi2$ | $0$ | $-\frac\pi2$ | $0$ | $\frac\pi2$ | $0$ | $-\frac\pi2$ | $0$ |
(Les colonnes $t^\pm$ donnent les limites à droite et à gauche ; sur chaque intervalle $]2k\pi,2(k+1)\pi[$, $f$ est affine de pente $-\frac12$.)
**Question 2.** Pour $n\ge1$, $t\mapsto f(t)\cos(nt)$ est impaire (produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire) et continue par morceaux ; son intégrale sur le segment symétrique $[-\pi,\pi]$ est nulle, donc $a_n=0$. Pour $n=0$, $f$ est elle-même impaire, donc $a_0=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f=0$.
$$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ a_n=0.}$$
**Question 3(a).** Soit $n\ge1$. Par intégration par parties ($u=x$, $v=-\frac{\cos(nx)}{n}$, fonctions $\mathcal{C}^1$ sur $[0,\pi]$) :
$$\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx=\Big[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Big]_0^\pi+\frac1n\int_0^\pi\cos(nx)\,dx=-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac1{n^2}\big[\sin(nx)\big]_0^\pi .$$
$$\boxed{\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.}$$
**Question 3(b).** $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est paire (produit de deux fonctions impaires), donc
$$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\frac{\pi-t}{2}\sin(nt)\,dt=\int_0^\pi\sin(nt)\,dt-\frac1\pi\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt=\frac{1-(-1)^n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}.$$
$$\boxed{\forall n\ge1,\ b_n=\frac1n.}$$
**Question 4.** *Théorème de Dirichlet.* Si $g$ est $2\pi$-périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, sa série de Fourier converge en tout point $t$ et sa somme vaut $\frac12\big(g(t^+)+g(t^-)\big)$ ; en particulier elle vaut $g(t)$ en tout point de continuité.
$f$ est $2\pi$-périodique et, sur $]0,2\pi[$, coïncide avec la fonction affine $t\mapsto\frac{\pi-t}{2}$, prolongeable en une fonction $\mathcal{C}^1$ sur $[0,2\pi]$ : $f$ est $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Elle est continue sur $\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}$ et, en $2k\pi$, $\frac12\big(f(0^+)+f(0^-)\big)=\frac12\big(\frac\pi2-\frac\pi2\big)=0=f(2k\pi)$.
$$\boxed{\text{La série de Fourier de } f \text{ converge en tout point et } \forall t\in\mathbb{R},\ S(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(kt)}{k}=f(t).}$$
**Question 5(a).** Si $k=2p$ ($p\in\mathbb{N}^*$), $\sin\big(\frac{k\pi}2\big)=\sin(p\pi)=0$. Si $k=2p+1$ ($p\in\mathbb{N}$), $\sin\big(\frac{k\pi}2\big)=\sin\big(p\pi+\frac\pi2\big)=\cos(p\pi)=(-1)^p$ avec $p=\frac{k-1}2$.
$$\boxed{\sin\Big(\frac{k\pi}{2}\Big)=\begin{cases}(-1)^{\frac{k-1}{2}}&\text{si } k \text{ impair},\\ 0&\text{si } k \text{ pair}.\end{cases}}$$
**Question 5(b).** $\frac\pi2\in\,]0,\pi[$, donc par la question 4, $S\big(\frac\pi2\big)=f\big(\frac\pi2\big)=\frac{\pi-\pi/2}{2}=\frac\pi4$. D'après 5(a), les termes d'indice pair sont nuls ; la série $\sum_k\frac{\sin(k\pi/2)}{k}$ convergeant, ses sommes partielles d'indices impairs $2P+1$, égales à $\sum_{p=0}^{P}\frac{(-1)^p}{2p+1}$, convergent vers la même limite.
$$\boxed{S\Big(\frac\pi2\Big)=\frac\pi4\qquad\text{et}\qquad\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{2p+1}=\frac\pi4.}$$
**Question 6.** *Identité de Parseval.* Si $g$ est $2\pi$-périodique et continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, de coefficients $a_0,a_n,b_n$ (convention ci-dessus), alors
$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)^2\,dt=a_0^2+\frac12\sum_{n=1}^{+\infty}\big(a_n^2+b_n^2\big).$$
$f$ est $2\pi$-périodique et continue par morceaux. $f^2$ est paire, donc
$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{(\pi-t)^2}{4}\,dt=\frac1{4\pi}\Big[-\frac{(\pi-t)^3}{3}\Big]_0^\pi=\frac{\pi^2}{12}.$$
Avec $a_0=a_n=0$ et $b_n=\frac1n$ : $\frac12\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$.
$$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.}$$
**Question 7(a).** La fonction renvoie $\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$. Pour $n=3$ : $1+\frac14+\frac19=\frac{36+9+4}{36}$.
$$\boxed{f(3)=\frac{49}{36}.}$$
**Question 7(b).** La somme partielle croît vers $\frac{\pi^2}6$ (question 6), donc l'écart $\frac{\pi^2}6-\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ décroît vers $0$ et la boucle s'arrête.
```python
from math import pi
def approx(eps):
cible = pi**2 / 6
n = 1
S = 1.0 # S = somme des 1/k^2 pour k = 1..n
while abs(S - cible) > eps:
n = n + 1
S = S + 1 / (n * n)
return n
```
Exemples : `approx(0.1)` renvoie $10$, `approx(0.001)` renvoie $1000$ (le reste est de l'ordre de $\frac1n$). En flottants, la somme cesse de croître pour $n$ de l'ordre de $10^8$ : la fonction n'est utilisable que pour $\varepsilon$ pas trop petit (de l'ordre de $10^{-7}$ au mieux).
### Partie B — Extremum de $S_n$
D'après la partie A, $S_n(t)=\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kt)}{k}$.
**Question 8.** $S_n$ est une somme finie de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ ; elle est dérivable et sa dérivée est la somme des dérivées, $\big(\frac{\sin(kt)}k\big)'=\cos(kt)$.
$$\boxed{\forall t\in\mathbb{R},\ S_n'(t)=\sum_{k=1}^n\cos(kt).}$$
**Question 9(a).** $\cos(kt)=\operatorname{Re}(e^{ikt})$ et $\operatorname{Re}$ est additive : $\sum_{k=1}^n\cos(kt)=\operatorname{Re}\Big(\sum_{k=1}^ne^{ikt}\Big)$.
**Question 9(b).** Pour $t\notin2\pi\mathbb{Z}$, $e^{it}\neq1$ : somme géométrique,
$$\sum_{k=1}^ne^{ikt}=e^{it}\frac{e^{int}-1}{e^{it}-1}=e^{it}\frac{e^{i\frac{nt}2}\cdot2i\sin\frac{nt}2}{e^{i\frac t2}\cdot2i\sin\frac t2}=e^{i(n+1)\frac t2}\,\frac{\sin\frac{nt}2}{\sin\frac t2},$$
en utilisant $e^{i\alpha}-1=e^{i\alpha/2}(e^{i\alpha/2}-e^{-i\alpha/2})=2i\,e^{i\alpha/2}\sin\frac\alpha2$, et $\sin\frac t2\neq0$ car $\frac t2\notin\pi\mathbb{Z}$. Avec 9(a) :
$$\boxed{\sum_{k=1}^n\cos(kt)=\operatorname{Re}\Big(e^{i(n+1)\frac t2}\,\frac{\sin(\frac{nt}2)}{\sin(\frac t2)}\Big).}$$
**Question 9(c).** Le quotient $\frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}$ est réel, il sort de la partie réelle, et $\operatorname{Re}\big(e^{i(n+1)t/2}\big)=\cos\frac{(n+1)t}2$.
$$\boxed{\forall t\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z},\ \sum_{k=1}^n\cos(kt)=\frac{\cos(\frac{(n+1)t}{2})\sin(\frac{nt}{2})}{\sin(\frac t2)}.}$$
**Question 10(a).** $\sin\frac{nt}2=0\iff\exists m\in\mathbb{Z},\ \frac{nt}2=m\pi\iff\exists m\in\mathbb{Z},\ t=\frac{2m\pi}n$.
**Question 10(b).** $\cos\frac{(n+1)t}2=0\iff\exists m\in\mathbb{Z},\ \frac{(n+1)t}2=\frac\pi2+m\pi\iff\exists m\in\mathbb{Z},\ t=\frac{\pi(2m+1)}{n+1}$.
**Question 10(c).** *Points de $2\pi\mathbb{Z}$* : $S_n'(2j\pi)=\sum_{k=1}^n1=n\neq0$ ; aucun n'est critique.
*Points de $\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}$* : par 9(c), comme $\sin\frac t2\neq0$, $S_n'(t)=0\iff\sin\frac{nt}2=0$ ou $\cos\frac{(n+1)t}2=0$. Il faut retirer des ensembles de 10(a) et 10(b) leurs éléments dans $2\pi\mathbb{Z}$ :
- $\frac{2m\pi}n\in2\pi\mathbb{Z}\iff\frac mn\in\mathbb{Z}\iff m\in n\mathbb{Z}$ ;
- $\frac{\pi(2m+1)}{n+1}=2j\pi$ imposerait $2m+1=2j(n+1)$, impair égal à pair : impossible.
$$\boxed{\{t\in\mathbb{R}\mid S_n'(t)=0\}=\Big\{\frac{2m\pi}n\ \Big|\ m\in\mathbb{Z}\setminus n\mathbb{Z}\Big\}\cup\Big\{\frac{\pi(2m+1)}{n+1}\ \Big|\ m\in\mathbb{Z}\Big\}.}$$
**Question 11.** Première famille : $0\le\frac{2m\pi}n<2\pi\iff0\le m<n$ ; la condition $m\notin n\mathbb{Z}$ retire $m=0$ seulement : $1\le m\le n-1$. Seconde famille : $0\le\frac{\pi(2m+1)}{n+1}<2\pi\iff0\le2m+1<2n+2\iff-\frac12\le m<n+\frac12\iff0\le m\le n$ ($m$ entier).
$$\boxed{t_{1,m}=\frac{2m\pi}n\ (1\le m\le n-1),\qquad t_{2,m}=\frac{\pi(2m+1)}{n+1}\ (0\le m\le n).}$$
Remarque : $\frac{2m}{n}=\frac{2m'+1}{n+1}$ donne $2m(n+1)=n(2m'+1)$ ; $n$ et $n+1$ étant premiers entre eux, $n\mid2m$ avec $0<2m<2n$, donc $2m=n$ : les deux familles ne se rencontrent qu'en $\pi$, lorsque $n$ est pair ($m=m'=\frac n2$).
**Question 12.** Pour $n=3$ : $t_{1,1}=\frac{2\pi}3$, $t_{1,2}=\frac{4\pi}3$, et $t_{2,m}=\frac{(2m+1)\pi}4$ pour $m=0,1,2,3$.
$$\boxed{\{t\in[0,2\pi[\ \mid S_3'(t)=0\}=\Big\{\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3,\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\Big\}.}$$
(La nature de chaque point, indiquée sur la figure, est établie aux questions 14 et 15.)
**Question 13(a).** Avec $A=\frac{nt}2$, $B=\frac{(n+1)t}2$ : $A+B=\big(n+\frac12\big)t$, $A-B=-\frac t2$, donc $2\cos\frac{(n+1)t}2\sin\frac{nt}2=\sin\big((n+\frac12)t\big)-\sin\frac t2$. En reportant dans 9(c) (multiplier numérateur et dénominateur par $2$) :
$$\boxed{\forall t\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z},\ S_n'(t)=\frac{\sin((n+\frac12)t)-\sin(\frac t2)}{2\sin(\frac t2)}.}$$
**Question 13(b).** $N$ et $D$ sont dérivables et $D$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}$ ; sur cet ensemble, $S_n''=\frac{N'D-ND'}{D^2}$. Si $t$ est critique, $\frac{N(t)}{D(t)}=0$ donc $N(t)=0$, et
$$\boxed{S_n''(t)=\frac{N'(t)D(t)}{D(t)^2}=\frac{N'(t)}{D(t)}.}$$
**Question 14(a).** (Le renvoi « question 6.(b) » de l'énoncé est lu comme 13.(b).) $N'(t)=\big(n+\frac12\big)\cos\big((n+\frac12)t\big)-\frac12\cos\frac t2$. Pour $t=t_{1,m}$ : $\big(n+\frac12\big)t_{1,m}=2m\pi+\frac{m\pi}n$ et $\frac{t_{1,m}}2=\frac{m\pi}n$, donc
$$N'(t_{1,m})=\Big(n+\frac12\Big)\cos\frac{m\pi}n-\frac12\cos\frac{m\pi}n=n\cos\frac{m\pi}n,\qquad D(t_{1,m})=2\sin\frac{m\pi}n .$$
$t_{1,m}$ est un point critique hors de $2\pi\mathbb{Z}$, et 13(b) donne
$$\boxed{S_n''(t_{1,m})=\frac n2\,\frac{\cos(\frac{m\pi}n)}{\sin(\frac{m\pi}n)}.}$$
**Question 14(b).** $1\le m\le n-1$ donne $\frac{m\pi}n\in\,]0,\pi[$, donc $\sin\frac{m\pi}n>0$ ; le signe est celui de $\cos\frac{m\pi}n$, strictement positif si et seulement si $\frac{m\pi}n<\frac\pi2$, c'est-à-dire $m<\frac n2$, strictement négatif si et seulement si $m>\frac n2$.
$$\boxed{S_n''(t_{1,m})>0 \text{ si } m<\tfrac n2,\qquad S_n''(t_{1,m})<0 \text{ si } m>\tfrac n2.}$$
**Question 14(c).** En un point où $S_n'$ s'annule et $S_n''\neq0$, il y a un minimum local strict si $S_n''>0$, un maximum local strict si $S_n''<0$ (formule de Taylor-Young à l'ordre 2).
$$\boxed{t_{1,m}\ \text{est un minimum local si } m<\tfrac n2,\ \text{un maximum local si } m>\tfrac n2.}$$
**Question 15(a).** $\big(n+\frac12\big)t_{2,m}=\frac{(2n+1)\pi(2m+1)}{2(n+1)}=\pi(2m+1)\,\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}=\pi(2m+1)-\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)}$. Comme $\cos\big((2m+1)\pi-x\big)=\cos((2m+1)\pi)\cos x+\sin((2m+1)\pi)\sin x=-\cos x$ :
$$\boxed{\cos\Big(\Big(n+\frac12\Big)t_{2,m}\Big)=-\cos\Big(\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)}\Big).}$$
**Question 15(b).** Posons $x_m=\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)}=\frac{t_{2,m}}2$. Alors $N'(t_{2,m})=-\big(n+\frac12\big)\cos x_m-\frac12\cos x_m$.
$$\boxed{N'(t_{2,m})=-(n+1)\cos\Big(\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)}\Big).}$$
**Question 15(c).** $t_{2,m}\notin2\pi\mathbb{Z}$ (question 10(c)), $D(t_{2,m})=2\sin x_m$, et 13(b) donne
$$\boxed{S_n''(t_{2,m})=-\frac{n+1}2\,\frac{\cos(\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)})}{\sin(\frac{\pi(2m+1)}{2(n+1)})}.}$$
**Question 15(d).** $0\le m\le n$ donne $1\le2m+1\le2n+1<2(n+1)$, donc $x_m\in\,]0,\pi[$ et $\sin x_m>0$. Le signe de $S_n''(t_{2,m})$ est l'opposé de celui de $\cos x_m$, et $\cos x_m>0\iff x_m<\frac\pi2\iff2m+1<n+1\iff m<\frac n2$ (de même $\cos x_m<0\iff m>\frac n2$).
$$\boxed{S_n''(t_{2,m})<0 \text{ si } m<\tfrac n2,\qquad S_n''(t_{2,m})>0 \text{ si } m>\tfrac n2.}$$
**Question 15(e).** Par le même critère qu'en 14(c) :
$$\boxed{t_{2,m}\ \text{est un maximum local si } m<\tfrac n2,\ \text{un minimum local si } m>\tfrac n2.}$$
Ainsi, sur $]0,\pi[$, $S_n$ présente successivement un maximum en $t_{2,0}=\frac\pi{n+1}$, un minimum en $t_{1,1}=\frac{2\pi}n$, un maximum en $t_{2,1}$, etc.
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## Exercice 2
$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$.
### Partie A
**Question 1(a).** Avec $\chi_A(X)=\det(XI_3-A)$, en ajoutant les deux dernières colonnes à la première puis en retranchant la première ligne aux deux autres :
$$\chi_A(X)=\begin{vmatrix}X&-1&-1\\-1&X&-1\\-1&-1&X\end{vmatrix}=(X-2)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\1&X&-1\\1&-1&X\end{vmatrix}=(X-2)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\0&X+1&0\\0&0&X+1\end{vmatrix}.$$
$$\boxed{\chi_A(X)=X^3-3X-2=(X-2)(X+1)^2.}$$
(Avec la convention $\det(A-XI_3)$, on obtient l'opposé $-X^3+3X+2$.)
**Question 1(b).** Les valeurs propres sont les racines de $\chi_A$.
$$\boxed{\lambda_1=-1\ \text{(multiplicité 2)},\qquad\lambda_2=2\ \text{(multiplicité 1)}.}$$
**Question 2(a).** $(x,y,z)\in E_2\iff\begin{cases}-2x+y+z=0\\x-2y+z=0\\x+y-2z=0\end{cases}$. La différence des deux premières équations donne $x=y$, celle des deux dernières $y=z$ ; réciproquement $x=y=z$ vérifie le système.
$$\boxed{E_{\lambda_2}=E_2=\operatorname{Vect}\big((1,1,1)^T\big),\qquad\dim E_2=1.}$$
**Question 2(b).** $A+I_3$ a ses trois lignes égales à $(1\ 1\ 1)$ : $(x,y,z)\in E_{-1}\iff x+y+z=0$, plan vectoriel.
$$\boxed{E_{\lambda_1}=E_{-1}=\operatorname{Vect}\big((1,-1,0)^T,(1,0,-1)^T\big),\qquad\dim E_{-1}=2.}$$
Les deux vecteurs sont dans $E_{-1}$ et non colinéaires ; $\operatorname{rg}(A+I_3)=1$ donne $\dim E_{-1}=3-1=2$.
**Question 2(c).** $\dim E_{-1}+\dim E_2=2+1=3$ : la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la taille de la matrice, donc **$A$ est diagonalisable** :
$$A=PDP^{-1},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$$
**Question 3(a).** $B-I_3$ a des $0$ sur la diagonale et des $1$ ailleurs : $\boxed{A=B-I_3.}$
**Question 3(b).** $B$ et $-I_3$ commutent ($I_3$ commute avec toute matrice), donc la formule du binôme s'applique dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ : pour $n\in\mathbb{N}$, $A^n=(B+(-I_3))^n=\sum_{k=0}^n\binom nkB^k(-I_3)^{n-k}$, et $(-I_3)^{n-k}=(-1)^{n-k}I_3$.
$$\boxed{A^n=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}B^k.}$$
**Question 3(c).** Chaque coefficient de $B^2$ vaut $1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=3$ : $B^2=3B$. Récurrence sur $k\ge1$ : $B^1=3^0B$ ; si $B^k=3^{k-1}B$, alors $B^{k+1}=3^{k-1}B^2=3^kB$.
$$\boxed{B^2=3B,\qquad\forall k\in\mathbb{N}^*,\ B^k=3^{k-1}B.}$$
**Question 3(d).** Pour $n\ge1$, on isole le terme $k=0$ ($B^0=I_3$), puis on applique 3(c) aux autres :
$$\boxed{A^n=(-1)^nI_3+\Big(\sum_{k=1}^n\binom nk3^{k-1}(-1)^{n-k}\Big)B.}$$
**Question 3(e).** Binôme dans $\mathbb{R}$ : $\sum_{k=0}^n\binom nk3^k(-1)^{n-k}=(3-1)^n=2^n$. On retire le terme $k=0$, égal à $(-1)^n$, puis on divise par $3$ :
$$\boxed{\sum_{k=1}^n\binom nk3^{k-1}(-1)^{n-k}=\frac13\big(2^n-(-1)^n\big).}$$
**Question 3(f).** Pour $n\ge1$, $A^n=(-1)^nI_3+\frac{2^n-(-1)^n}3B$ : coefficients diagonaux $(-1)^n+\frac{2^n-(-1)^n}3$, autres coefficients $\frac{2^n-(-1)^n}3$. Pour $n=0$, les formules donnent $a_0=1$, $b_0=0$, soit $A^0=I_3$ : elles valent pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$$\boxed{A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&b_n\\b_n&a_n&b_n\\b_n&b_n&a_n\end{pmatrix},\qquad a_n=\frac{2^n+2(-1)^n}3,\qquad b_n=\frac{2^n-(-1)^n}3.}$$
Contrôle : $A^2=B^2-2B+I_3=B+I_3$, soit $a_2=2$, $b_2=1$.
### Partie B
**Question 4.** $AX_n=\begin{pmatrix}v_n+w_n\\u_n+w_n\\u_n+v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\\w_{n+1}\end{pmatrix}$, donc $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ X_{n+1}=AX_n.}$
**Question 5.** Récurrence : $X_0=A^0X_0$ ; si $X_n=A^nX_0$, $X_{n+1}=AX_n=A^{n+1}X_0$. $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ X_n=A^nX_0.}$
**Question 6.** Avec 3(f), $X_n=A^n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=(a_n+2b_n)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $a_n+2b_n=\frac{2^n+2(-1)^n+2\cdot2^n-2(-1)^n}3=2^n$.
$$\boxed{X_n=2^n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad u_n=v_n=w_n=2^n.}$$
(Contrôle : $X_0$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $2$, d'où $A^nX_0=2^nX_0$.)
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## Exercice 3
$\lambda\in\mathbb{C}$, $|\lambda|=1$, $\lambda\neq1$, $f(z)=\lambda z$, $z_{n+1}=\lambda z_n$, $z_0\in\mathbb{C}^*$.
### Partie A — Étude de la transformation
**Question 1.** $|f(z)|=|\lambda|\,|z|=|z|$.
**Question 2.** $f(z)=z\iff(\lambda-1)z=0\iff z=0$, car $\lambda-1\neq0$. $\boxed{\text{L'unique solution est } z=0.}$
**Question 3.** Pour $z\neq0$, $z=|z|e^{i\varphi}$ avec $\varphi=\arg z$ : $f(z)=|z|e^{i(\varphi+\theta)}$ avec $|z|>0$, donc
$$\boxed{\arg f(z)\equiv\arg z+\theta\pmod{2\pi}\qquad(z\neq0).}$$
($z=0$ n'a pas d'argument.)
**Question 4.** $D=\{r\mid r\in\mathbb{R}_+\}$, donc $f(D)=\{r\lambda\mid r\ge0\}=\{re^{i\theta}\mid r\ge0\}$.
$$\boxed{f(D)\ \text{est la demi-droite fermée d'origine } O \text{ dirigée par } e^{i\theta}.}$$
Chaque point $r\in D$ est envoyé sur le point de $f(D)$ situé à la même distance $r$ de $O$ : $f$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
### Partie B — Étude de la suite $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}$
**Question 5.** Récurrence : $z_0=\lambda^0z_0$ ; si $z_n=\lambda^nz_0$, alors $z_{n+1}=\lambda z_n=\lambda^{n+1}z_0$. $\boxed{z_n=\lambda^nz_0.}$
**Question 6.** $|z_n|=|\lambda|^n|z_0|=|z_0|$.
**Question 7.** La distance de $O$ au point d'affixe $z_n$ est $|z_n-0|=|z_0|$ ; comme $|z_0|>0$, **le point d'affixe $z_n$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $|z_0|$**.
**Question 8(a).** $\frac\theta{2\pi}=\frac ap$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $p\in\mathbb{N}^*$ (on choisit le dénominateur positif). Alors $\lambda^p=e^{ip\theta}=e^{2ia\pi}=1$. $\boxed{\exists p\ge1,\ \lambda^p=1.}$
**Question 8(b).** Pour tout $n$, $z_{n+p}=\lambda^p\lambda^nz_0=z_n$ : $\boxed{(z_n) \text{ est périodique, de période } p.}$
**Question 9.** Supposons $(z_n)$ périodique de période $p\ge1$ et $z_0\neq0$. Alors $z_p=z_0$, soit $(\lambda^p-1)z_0=0$, donc $\lambda^p=1$, $e^{ip\theta}=1$, $p\theta=2k\pi$ pour un $k\in\mathbb{Z}$ et $\frac\theta{2\pi}=\frac kp\in\mathbb{Q}$ : contradiction. **$(z_n)$ n'est pas périodique** (si $z_0=0$, la suite serait nulle donc périodique).
### Partie C — Application numérique
$z_0=1+i$, $\lambda\in\mathbb{U}_N$.
**Question 10.** $\boxed{r_0=|1+i|=\sqrt2}$ ; $z_0=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$.
**Question 11.** $\lambda^N=1$ et $|\lambda|=1$ ; en écrivant $\lambda=e^{i\theta}$, $e^{iN\theta}=1$ donne $N\theta\in2\pi\mathbb{Z}$.
$$\boxed{\lambda=e^{\frac{2ik\pi}{N}}=\cos\frac{2k\pi}N+i\sin\frac{2k\pi}N,\qquad k\in\{0,\dots,N-1\}.}$$
L'hypothèse $\lambda\neq1$ impose $k\neq0$ (donc $N\ge2$). En particulier $\frac\theta{2\pi}=\frac kN\in\mathbb{Q}$.
**Question 12.** $\lambda^N=1$, donc pour tout $n$, $z_{n+N}=\lambda^N\lambda^nz_0=z_n$. $\boxed{(z_n) \text{ est périodique, } N \text{ est une période.}}$ (La plus petite période est $\frac N{\gcd(k,N)}$.)
**Question 13.** Si $\mu\in\mathbb{U}_N$, $(\lambda\mu)^N=\lambda^N\mu^N=1$, donc $f(\mathbb{U}_N)\subset\mathbb{U}_N$. Réciproquement, si $\nu\in\mathbb{U}_N$, $\mu=\lambda^{-1}\nu$ vérifie $\mu^N=\frac{\nu^N}{\lambda^N}=1$ et $f(\mu)=\nu$, donc $\mathbb{U}_N\subset f(\mathbb{U}_N)$. $\boxed{f(\mathbb{U}_N)=\mathbb{U}_N.}$
**Question 14.** $\lambda=e^{i\theta}$ avec $\theta=2\sqrt2\pi$, $|\lambda|=1$, $\lambda\neq1$, et $\frac\theta{2\pi}=\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ (si $\sqrt2=\frac ab$ irréductible, $a^2=2b^2$ rend $a$ puis $b$ pairs). Comme $z_0=1+i\neq0$, la question 9 s'applique : $\boxed{(z_n) \text{ n'est pas périodique.}}$
**Question 15.** *Existence.* Les $z_n$ sont deux à deux distincts ($z_n=z_m$ avec $n<m$ donnerait $\lambda^{m-n}=1$, donc $\frac\theta{2\pi}\in\mathbb{Q}$). Découpons $C_{r_0}$ en $K$ arcs de corde inférieure à $\varepsilon$ ; parmi $z_0,\dots,z_K$, deux points $z_n,z_m$ ($n<m$) tombent dans le même arc, d'où, avec $q=m-n\ge1$, $0<r_0|\lambda^q-1|=|z_m-z_n|<\varepsilon$. Les points $z_{jq}=(\lambda^q)^jz_0$, $j\in\mathbb{N}$, parcourent alors le cercle dans un sens fixé par pas de corde $r_0|\lambda^q-1|<\varepsilon$, et en font le tour : tout $z\in C_{r_0}$ est à distance $<\varepsilon$ de l'un d'eux. L'ensemble $\{n\in\mathbb{N}\mid|z_n-z|<\varepsilon\}$ est donc non vide et admet un plus petit élément.
*Algorithme* ($\theta$ est passé en paramètre) :
```python
import cmath
def premier_indice(eps, z, theta):
lam = cmath.exp(1j * theta) # lambda = e^{i theta}
n = 0
zn = 1 + 1j # z_0
while abs(zn - z) >= eps:
n = n + 1
zn = lam * zn # z_{n} = lambda * z_{n-1}
print(n)
return n
```
La boucle s'arrête au premier $n$ tel que $|z_n-z|<\varepsilon$, qui est affiché.
---
## Exercice 4
### Partie A — Étude de la convergence de la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$
**Question 1(a).** $a_{n+1}-a_n=\frac1{(n+1)!}>0$ : $\boxed{(a_n) \text{ est strictement croissante.}}$
**Question 1(b).** Avec $(n+1)!=(n+1)\,n!$, réduisons au dénominateur $n(n+1)^2n!$ :
$$b_{n+1}-b_n=\frac1{(n+1)!}+\frac1{(n+1)(n+1)!}-\frac1{n\,n!}=\frac{n(n+1)+n-(n+1)^2}{n(n+1)^2\,n!}=\frac{-1}{n(n+1)^2\,n!}<0.$$
$$\boxed{(b_n) \text{ est strictement décroissante.}}$$
**Question 1(c).** $(a_n)$ croît, $(b_n)$ décroît et $b_n-a_n=\frac1{n\,n!}\to0$ : $\boxed{(a_n) \text{ et } (b_n) \text{ sont adjacentes.}}$
**Question 1(d).** Par le théorème des suites adjacentes, $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite $\ell\in\mathbb{R}$, avec $a_n<\ell<b_n$ pour tout $n\ge1$ (monotonies strictes).
**Question 2(a).** $t\mapsto e^{-t}$ est décroissante, donc $e^{-1}\le e^{-t}\le1$ sur $[0,1]$. En multipliant par $t^n\ge0$ et en intégrant sur $[0,1]$ (croissance de l'intégrale) avec $\int_0^1t^n\,dt=\frac1{n+1}$ :
$$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ \frac1{e(n+1)}\le f_n\le\frac1{n+1}.}$$
**Question 2(b).** $0\le\frac{f_n}{n!}\le\frac1{(n+1)!}\to0$, donc $\frac{f_n}{n!}\to0$ et $\boxed{\varphi_n\to e.}$
**Question 3(a).** $f_0=\int_0^1e^{-t}\,dt=1-e^{-1}$, $\varphi_0=e\big(1-(1-e^{-1})\big)=1$. $\boxed{f_0=1-\frac1e,\quad\varphi_0=1.}$
**Question 3(b).** Intégration par parties ($u=t^{n+1}$, $v=-e^{-t}$, fonctions $\mathcal{C}^1$) :
$$f_{n+1}=\big[-t^{n+1}e^{-t}\big]_0^1+(n+1)\int_0^1t^ne^{-t}\,dt,\qquad\boxed{f_{n+1}=(n+1)f_n-\frac1e.}$$
**Question 3(c).** $\frac{f_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{(n+1)f_n-e^{-1}}{(n+1)\,n!}=\frac{f_n}{n!}-\frac{e^{-1}}{(n+1)!}$, donc $\varphi_{n+1}=e\big(1-\frac{f_n}{n!}\big)+\frac{e\cdot e^{-1}}{(n+1)!}$.
$$\boxed{\varphi_{n+1}=\varphi_n+\frac1{(n+1)!}.}$$
**Question 3(d).** Par définition, $a_{n+1}=a_n+\frac1{(n+1)!}$. (Lecture retenue de l'énoncé : « en déduire que, pour tout entier naturel non nul, $\varphi_n=a_n$ ».) Récurrence sur $n\ge1$ : $\varphi_1=\varphi_0+\frac1{1!}=2=a_1$ ; si $\varphi_n=a_n$, alors $\varphi_{n+1}=a_n+\frac1{(n+1)!}=a_{n+1}$. $\boxed{\forall n\ge1,\ \varphi_n=a_n.}$
**Question 3(e).** $a_n=\varphi_n\to e$ (question 2(b)) : $\boxed{\ell=e,\ \text{soit } \sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{k!}=e.}$
### Partie B — Étude de la convergence de la suite $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$
**Question 1.** $c_n=e^{n\ln(1+1/n)}$. Avec $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+o(x^2)$ en $0$ et $x=\frac1n$ : $n\ln\big(1+\frac1n\big)=1-\frac1{2n}+o\big(\frac1n\big)$. Avec $e^u=1+u+o(u)$ et $u_n=-\frac1{2n}+o\big(\frac1n\big)\to0$ :
$$c_n=e\cdot e^{u_n}=e\Big(1-\frac1{2n}+o\Big(\frac1n\Big)\Big),\qquad\boxed{c_n=e-\frac e{2n}+o\Big(\frac1n\Big).}$$
**Question 2.** $\frac e{2n}\to0$ et $o\big(\frac1n\big)\to0$ : $\boxed{(c_n) \text{ converge vers } e.}$
### Partie C — Étude de la vitesse de convergence des suites $(a_n)$ et $(c_n)$
**Question 1(a).** Par 1(d) et 3(e) de la partie A, $a_{n+1}<e<b_n$. Donc $e-a_n<b_n-a_n=\frac1{n\,n!}$ et $e-a_n>a_{n+1}-a_n=\frac1{(n+1)!}$.
$$\boxed{\forall n\ge1,\ \frac1{(n+1)!}\le e-a_n\le\frac1{n\cdot n!}.}$$
**Question 1(b).** $e-a_n>0$, donc $(a_n)$ ne prend pas la valeur $e$. Par 1(a) aux rangs $n+1$ et $n$ :
$$0<\frac{|a_{n+1}-e|}{|a_n-e|}=\frac{e-a_{n+1}}{e-a_n}\le\frac{1/\big((n+1)(n+1)!\big)}{1/(n+1)!}=\frac1{n+1}\to0.$$
Par encadrement, $\beta=0$ : $\boxed{\text{la convergence de } (a_n) \text{ vers } e \text{ est rapide.}}$
**Question 2(a).** Par B.1, $c_n-e=-\frac e{2n}+o\big(\frac1n\big)$, et $\frac e{2n}\neq0$ :
$$\boxed{c_n-e\underset{n\to+\infty}{\sim}-\frac e{2n}.}$$
**Question 2(b).** Pour $x>0$, $\ln(1+x)<x$ (la fonction $x\mapsto x-\ln(1+x)$ est nulle en $0$ et de dérivée $\frac x{1+x}>0$). Donc $n\ln(1+\frac1n)<1$ et $c_n<e$ pour tout $n\ge1$ : $(c_n)$ ne prend pas la valeur $e$. Par 2(a), $|c_n-e|\sim\frac e{2n}$ et $|c_{n+1}-e|\sim\frac e{2(n+1)}$, donc
$$\frac{|c_{n+1}-e|}{|c_n-e|}\sim\frac{e/(2(n+1))}{e/(2n)}=\frac n{n+1}\to1.$$
$\beta=1$ : $\boxed{\text{la convergence de } (c_n) \text{ vers } e \text{ est lente.}}$
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