Physique A
Banque PTPT2026
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## Présentation du sujet
**Format.** Épreuve de 4 heures, **calculatrice interdite**, 12 pages d'énoncé et **50 questions**, plus une annexe à rendre obligatoirement (la reproduction de la figure 3, à compléter à la question 6). Les résultats numériques sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptés, et les résultats non justifiés non plus.
**Thème.** Un *système automatique d'irrigation maraîchère*, suivi de bout en bout : connaître le sol, mesurer son humidité, commander une électrovanne, distribuer l'eau par un tuyau microporeux, la pomper et la stocker dans un vase d'expansion.
**Découpage.** Trois parties annoncées comme totalement indépendantes.
- *Partie I — Arroser juste quand il faut (Q1 à Q31).*
- Sous-partie 1 (Q1 à Q10) : chute d'une particule dans l'eau avec frottement de Stokes, vitesse limite, temps de sédimentation, lecture d'une courbe en échelle log-log, conclusion sur le « test du bocal ».
- Sous-partie 2 (Q11 à Q20) : sonde conductimétrique à électrodes planes. Invariances et symétries, équation de Poisson, loi d'Ohm locale, résistance, linéarisation d'un modèle empirique, intérêt d'une excitation alternative.
- Sous-partie 3 (Q21 à Q31) : électronique de conditionnement. Pont diviseur, suiveur, comparateur à hystérésis, dimensionnement des résistances, diode idéale, vérification du fonctionnement.
- *Partie II — Arroser juste où il faut (Q32 à Q40).* Nombre de Reynolds, écoulement de Poiseuille établi par un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé, débit d'un pore, densité de pores.
- *Partie III — Dimensionnement du système de pompage (Q41 à Q50).* Vitesse débitante, limite d'aspiration d'une pompe, puissance par un bilan énergétique, nombre de Reynolds en conduite, rendements ; puis le vase d'expansion : gaz parfait en évolution isotherme, volume stockable, durée des cycles de pompage.
**Notions du programme mobilisées.** Deuxième loi de Newton, équation différentielle linéaire du premier ordre ; lecture de graphes log-log ; invariances et symétries, équation de Poisson, potentiel et champ, loi d'Ohm locale, résistance d'un conducteur ; ALI idéal en régime linéaire et en saturation, diviseur de tension, loi des nœuds en termes de potentiels, diode idéale ; nombre de Reynolds, viscosité, écoulement de Poiseuille, débit volumique ; relation de Bernoulli et bilan d'énergie avec une machine ; modèle du gaz parfait, évolutions quasi statiques et isothermes.
**Difficulté et gestion du temps.** Le sujet est long mais très guidé. Les questions sûres à ne pas laisser passer : Q1 à Q5, Q7, Q8, Q11, Q13, Q14, Q16, Q17, Q21 à Q23, Q26, Q27, Q30, Q38, Q39, Q41, Q44, Q46, Q48, Q49. Les questions où se fait la différence : Q6 (lecture graphique argumentée sur l'annexe), Q9, Q20 (question ouverte), Q24 (comparateur à hystérésis), Q29 et Q31 (tracés), Q37 (signe de la force de viscosité), Q42, Q50. Comme les parties sont indépendantes, on peut commencer par la partie III, courte et calculatoire. Partage possible : 1 h 45 pour la partie I, 50 min pour la partie II, 1 h pour la partie III, et 25 min de relecture.
**Deux points de l'énoncé à connaître.** À la question 28, « en déduire les valeurs à choisir pour $R_1$ et $R_4$ » contient une coquille ($R_1$ est déjà fixé) : il faut la signaler et poursuivre avec $R_2$ et $R_4$. Dans tout le sujet, les pressions sont à lire comme absolues ($P_0=1$ bar).
## Partie I — Arroser juste quand il faut
### 1. Connaître son sol par décantation fractionnée
On modélise la chute d'une particule sphérique dans l'eau. Toute la sous-partie repose sur une seule équation différentielle du premier ordre et sur le fait que la vitesse limite varie comme $r^2$, ce qui trie les particules par taille.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Trois forces : une à distance, deux exercées par le fluide. Écrivez-les en vecteurs, en tenant compte du sens de $\vec e_z$.
> [!INDICATION]
> Le volume de fluide déplacé est celui de la particule entière, puisqu'elle est totalement immergée.
#### Solution
L'axe $(Oz)$ est descendant. Pour une particule de volume $\mathcal V=\frac43\pi r^3$ :
- poids : $\vec P=\frac43\pi r^3\rho_0\,g\,\vec e_z$ ;
- poussée d'Archimède : $\vec\Pi=-\frac43\pi r^3\rho_e\,g\,\vec e_z$ ;
- frottement fluide : $\vec F=-6\pi\eta r\,v_z\,\vec e_z$.
$$\boxed{\vec P=\tfrac43\pi r^3\rho_0 g\,\vec e_z,\qquad \vec\Pi=-\tfrac43\pi r^3\rho_e g\,\vec e_z,\qquad \vec F=-6\pi\eta r\,v_z\,\vec e_z}$$
> [!PIEGE]
> Avec un axe descendant, le poids est selon $+\vec e_z$. Une erreur de signe ici rend la vitesse limite négative et se propage jusqu'à la question 9.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Deuxième loi de Newton projetée sur $\vec e_z$, puis divisez par la masse pour obtenir une forme canonique.
> [!INDICATION]
> La vitesse limite est la solution constante de l'équation. Son signe se discute à partir de l'hypothèse faite sur les masses volumiques.
#### Solution
Dans le référentiel du bocal supposé galiléen :
$$\tfrac43\pi r^3\rho_0\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt}=\tfrac43\pi r^3(\rho_0-\rho_e)g-6\pi\eta r\,v_z\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt}+\frac{9\eta}{2\rho_0r^2}\,v_z=\Big(1-\frac{\rho_e}{\rho_0}\Big)g}$$
En régime permanent, $\mathrm dv_z/\mathrm dt=0$ :
$$\boxed{v_\ell=\frac{2r^2(\rho_0-\rho_e)\,g}{9\eta}}$$
Comme $\rho_0>\rho_e$, $v_\ell>0$ : la vitesse limite est dirigée vers le fond du bocal.
> [!METHODE]
> Pour un premier ordre $\dot v+v/\tau=\text{cte}$, la limite s'obtient sans résoudre, en annulant la dérivée. On lit ensuite directement $\tau$ comme l'inverse du coefficient de $v$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Mettez l'équation sous la forme $\dot v_z+v_z/\tau_c=v_\ell/\tau_c$.
> [!INDICATION]
> Solution générale = solution de l'équation homogène + solution particulière constante, puis condition initiale.
#### Solution
$$\boxed{\tau_c=\frac{2\rho_0r^2}{9\eta}}$$
On vérifie que c'est un temps ($\mathrm{kg\cdot m^{-3}\cdot m^2/(Pa\cdot s)}=\mathrm s$) et que $v_\ell=(1-\rho_e/\rho_0)\,g\,\tau_c$. Avec $v_z(t)=Ae^{-t/\tau_c}+v_\ell$ et $v_z(0)=0$ :
$$\boxed{v_z(t)=v_\ell\big(1-e^{-t/\tau_c}\big)}$$
> [!PIEGE]
> Le coefficient de $v_z$ fait intervenir la masse de la particule, donc $\rho_0$, pas $\rho_0-\rho_e$. L'énoncé le signale en demandant $\tau_c$ « en fonction de $\rho_0$, $r$ et $\eta$ ».
Remarque : les valeurs de $\tau_c$ du tableau correspondent à $\rho_0\approx10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ (pour les limons, $2\rho_0r^2/(9\eta)=2\times10^3\times(2\times10^{-5})^2/(9\times10^{-3})\approx9\times10^{-5}$ s avec $\rho_0=10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$). Cette valeur est celle de l'eau, incompatible avec $\rho_0>\rho_e$ ; pour un minéral ($\rho_0\approx2{,}6\times10^3$), les $\tau_c$ seraient environ 2,6 fois plus grands. On utilise néanmoins le tableau tel qu'il est donné : les conclusions des questions 8 à 10 n'en dépendent pas qualitativement.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Intégrez $v_z$ entre $0$ et $t$, sans oublier la constante d'intégration.
#### Solution
$$z(t)=\int_0^tv_\ell\big(1-e^{-u/\tau_c}\big)\mathrm du\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z(t)=v_\ell\Big[t+\tau_c\big(e^{-t/\tau_c}-1\big)\Big]}$$
Contrôles : pour $t\ll\tau_c$, un développement à l'ordre 2 donne $z\simeq v_\ell t^2/(2\tau_c)=\frac12(1-\rho_e/\rho_0)g\,t^2$ ; pour $t\gg\tau_c$, $z\simeq v_\ell(t-\tau_c)$.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Traduisez la définition de $\tau_s$ par une équation sur $z$.
> [!INDICATION]
> Divisez ensuite par $v_\ell\tau_c$ pour faire apparaître la fonction $f$ de la figure 3.
#### Solution
$z(\tau_s)=p$ s'écrit
$$\boxed{v_\ell\Big[\tau_s+\tau_c\big\{\exp(-\tau_s/\tau_c)-1\big\}\Big]=p}$$
Avec $x=\tau_s/\tau_c$ : $f(x)=x-1+e^{-x}=\dfrac{p}{v_\ell\tau_c}$. Cette équation n'a pas de solution exprimable avec les fonctions usuelles : d'où la résolution graphique qui suit.
> [!METHODE]
> Adimensionner une équation transcendante ramène tous les cas (ici trois tailles de particules) à une seule courbe universelle, qu'on lit une fois pour toutes.
### Question 6
> [!INDICATION]
> D'après la question 5, quelle ordonnée faut-il chercher sur la courbe ? Elle est donnée dans le tableau.
> [!INDICATION]
> Sur une échelle logarithmique, $5\times10^{-2}$ est au cinquième trait de la décade $[10^{-2},10^{-1}]$. Tracez une horizontale, puis une verticale, sur l'annexe.
> [!INDICATION]
> Pour contrôler la lecture, cherchez l'équivalent de $f$ quand $x\ll1$.
#### Solution
Pour les sables, on cherche $x$ tel que $f(x)=p/(v_\ell\tau_c)=5\times10^{-2}$. Sur l'annexe :
1. placer l'ordonnée $5\times10^{-2}$ ;
2. tracer l'horizontale jusqu'à la courbe ;
3. abaisser la verticale et lire $x\approx0{,}33$ ;
4. en déduire $\tau_s=x\,\tau_c$.
$$\tau_s\approx0{,}33\times0{,}9\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\tau_s^{\text{sables}}\approx0{,}3\ \mathrm s}$$
Contrôle : $e^{-x}=1-x+x^2/2+o(x^2)$ donne $f(x)\simeq x^2/2$ pour $x\ll1$, d'où $x\simeq\sqrt{0{,}1}\approx0{,}32$. Ici $\tau_s<\tau_c$ : le sable atteint le fond avant d'avoir atteint sa vitesse limite.
> [!PIEGE]
> Écrire $\tau_s=p/v_\ell$ pour les sables est faux : cette formule suppose le régime de vitesse limite atteint, ce qui n'est pas le cas ici. C'est justement pour cela que l'énoncé fait passer par la courbe.
> [!JURY]
> La question demande d'expliciter toutes les étapes et de compléter l'annexe : une valeur lue sans tracé ni démarche ne suffit pas. L'annexe se rend même si elle est vierge.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Que devient $e^{-x}$ quand $x$ est grand ? Traduisez le résultat en échelle log-log.
#### Solution
Pour $x\gg1$, $e^{-x}\ll1\ll x$ :
$$\boxed{f(x)\simeq x-1\simeq x}$$
En log-log, $\log f\simeq\log x$ : droite de pente 1. La figure 3 montre bien, pour $x\gtrsim10$, une droite qui monte d'une décade par décade, avec $f(10^2)\approx10^2$ et $f(10^4)\approx10^4$. L'approximation est confirmée.
> [!METHODE]
> En échelle log-log, une loi de puissance $y\propto x^n$ est une droite de pente $n$. Ici, pente 2 pour $x\ll1$ ($f\simeq x^2/2$) et pente 1 pour $x\gg1$.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Les valeurs de $p/(v_\ell\tau_c)$ du tableau pour les limons et les argiles sont-elles grandes ou petites devant 1 ? Quelle approximation s'applique ?
> [!INDICATION]
> Inutile de chercher sur le graphe, qui s'arrête à $10^4$.
#### Solution
Pour les limons ($5\times10^6$) et les argiles ($8\times10^{11}$), $x\gg1$, donc $x\simeq p/(v_\ell\tau_c)$ et $\tau_s\simeq p/v_\ell$ : la particule parcourt le bocal à sa vitesse limite.
$$\boxed{\tau_s^{\text{limons}}\approx5\times10^{6}\times9\times10^{-5}=4{,}5\times10^{2}\ \mathrm s\approx7{,}5\ \text{min},\qquad\tau_s^{\text{argiles}}\approx8\times10^{11}\times2\times10^{-7}=1{,}6\times10^{5}\ \mathrm s\approx44\ \mathrm h}$$
### Question 9
> [!INDICATION]
> Pendant les quelque 0,3 s du dépôt des sables, les argiles ont-elles atteint leur vitesse limite ? Comparez à leur $\tau_c$.
> [!INDICATION]
> Formez $\epsilon/p$ et faites apparaître la grandeur $p/(v_\ell\tau_c)$ des argiles, donnée dans le tableau, pour éliminer $v_\ell$ qui n'est pas connu.
#### Solution
Les argiles ont $\tau_c^{\text a}=2\times10^{-7}\ \mathrm s\ll\tau_s^{\text s}\approx0{,}3$ s : elles sont à leur vitesse limite presque dès le départ et parcourent $\epsilon\simeq v_\ell^{\text a}\tau_s^{\text s}$. Donc
$$\boxed{\frac{\epsilon}{p}\simeq\frac{\tau_s^{\text s}}{\tau_c^{\text a}}\Big/\frac{p}{v_\ell^{\text a}\tau_c^{\text a}}=\frac{\tau_s^{\text s}}{\tau_s^{\text a}}}\qquad\frac{\epsilon}{p}\simeq\frac{0{,}3}{2\times10^{-7}\times8\times10^{11}}\approx2\times10^{-6}.$$
Quand les sables sont tous déposés, les argiles n'ont quasiment pas bougé (les limons non plus : fraction $0{,}3/450\approx7\times10^{-4}$). **Les dépôts se font successivement, sans se mélanger : la sédimentation fractionnée sépare efficacement les particules.**
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre $\tau_s^{\text s}\approx0{,}3$ s (temps de dépôt des sables) et $\tau_c^{\text s}=0{,}9$ s (temps caractéristique des sables). Et une valeur de $\epsilon/p$ sans phrase de conclusion ne répond pas à la question.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Quel est le dépôt le plus lent ? Comparez sa durée à 72 h.
#### Solution
Le dépôt le plus lent est celui des argiles, $\tau_s\approx1{,}6\times10^5$ s $\approx44$ h, inférieur à $72\ \mathrm h\approx2{,}6\times10^5$ s. **Attendre 72 h garantit que toutes les particules minérales, argiles comprises, sont déposées** : on peut alors mesurer les épaisseurs des strates. La marge (facteur 1,6) couvre la dispersion des tailles : une argile plus fine que le micromètre retenu met beaucoup plus longtemps, car $\tau_s\propto r^{-2}$.
### 2. Teneur en eau d'un sol
La sonde est un « condensateur plan » rempli d'un milieu conducteur. On établit sa résistance par la chaîne classique : symétries, Poisson, champ, loi d'Ohm locale, intensité. On exploite ensuite un modèle empirique de résistivité.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Que fixe un générateur idéal de f.é.m. $U$ ? Quelle armature est reliée à sa borne positive (voir la charge $+Q$) ?
#### Solution
Le générateur impose $V_d-V_g=U$ et $V_g=0$ :
$$\boxed{V_d=U}$$
### Question 12
> [!INDICATION]
> Négliger les effets de bord revient à traiter des armatures infinies. Comparez $c$ à $a$ et $b$.
> [!INDICATION]
> Invariances par translation pour les variables, plans de symétrie des charges pour la direction du champ.
#### Solution
**Condition** : $\boxed{c\ll a\ \text{et}\ c\ll b}$ ; ici $c/a\approx0{,}08$ et $c/b=0{,}1$, l'approximation est raisonnable.
**Invariances** : avec des armatures infinies, la distribution de charges est invariante par translation selon $\vec u_y$ et $\vec u_z$, donc $V$ ne dépend que de $x$.
**Symétries** : pour tout point $M$, les plans passant par $M$ et parallèles à $(\vec u_x,\vec u_y)$ et à $(\vec u_x,\vec u_z)$ sont plans de symétrie des charges. $\vec E(M)$ appartient à ces deux plans, donc est porté par $\vec u_x$ :
$$\boxed{\vec E=E(x)\,\vec u_x\qquad V(x,y,z)=V(x)}$$
> [!PIEGE]
> Le champ électrique est contenu dans les plans de symétrie des charges et perpendiculaire aux plans d'antisymétrie (c'est l'inverse pour le champ magnétique). Et ce sont les sources (les charges) qu'on étudie, pas « le système ».
### Question 13
> [!INDICATION]
> Rappelez l'équation de Poisson, puis utilisez l'hypothèse d'électroneutralité.
> [!INDICATION]
> Avec $V=V(x)$, le laplacien se réduit à une dérivée seconde. Deux conditions aux limites fixent les deux constantes.
#### Solution
$\Delta V+\rho_{\text{ch}}/\varepsilon_0=0$ ; le sol étant neutre, $\rho_{\text{ch}}=0$, donc $\mathrm d^2V/\mathrm dx^2=0$ et $V=Ax+B$. Avec $V(0)=0$ et $V(c)=U$ :
$$\boxed{V(x)=\frac Uc\,x}$$
### Question 14
> [!INDICATION]
> Le champ dérive du potentiel.
#### Solution
$$\vec E=-\frac{\mathrm dV}{\mathrm dx}\vec u_x\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\vec E=-\frac Uc\,\vec u_x}$$
Champ uniforme, orienté vers les potentiels décroissants (de droite à gauche).
### Question 15
> [!INDICATION]
> Loi d'Ohm locale pour obtenir $\vec j$, puis flux de $\vec j$ à travers une section droite.
> [!INDICATION]
> Choisissez l'orientation de la surface et dites-la : le signe de $I$ en dépend. Prendre l'orientation dans le sens réel du courant donne $I>0$.
#### Solution
$\vec j=\gamma_{\text{sol}}\vec E=-\gamma_{\text{sol}}\dfrac Uc\,\vec u_x$. On oriente la section $\Sigma$, d'aire $ab$, par $\vec n=-\vec u_x$, c'est-à-dire de l'armature de droite vers l'armature de gauche à travers le sol :
$$I=\iint_\Sigma\vec j\cdot\vec n\,\mathrm dS\quad\Longrightarrow\quad\boxed{I=\frac{\gamma_{\text{sol}}\,ab\,U}{c}}$$
### Question 16
> [!INDICATION]
> Définition de la résistance d'un dipôle en convention récepteur.
#### Solution
$$\boxed{R=\frac UI=\frac{c}{\gamma_{\text{sol}}ab}=\frac{\rho_{\text{sol}}\,c}{ab}}$$
C'est la résistance d'un barreau de longueur $c$ et de section $ab$. Ici $c/(ab)\approx0{,}83\ \mathrm{m^{-1}}$.
> [!METHODE]
> Chaîne classique pour une résistance : $V$ (Laplace) $\to\vec E\to\vec j=\gamma\vec E\to I=\iint\vec j\cdot\mathrm d\vec S\to R=U/I$. Elle s'applique aussi en géométrie cylindrique ou sphérique.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Partez de $\vec j=\gamma\vec E$ et des unités de $j$ et de $E$.
#### Solution
$[\gamma]=\mathrm{A\cdot m^{-2}}/(\mathrm{V\cdot m^{-1}})$ :
$$\boxed{\gamma_{\text{sol}}\ \text{en}\ \mathrm{S\cdot m^{-1}}=\Omega^{-1}\cdot\mathrm m^{-1}}$$
### Question 18
> [!INDICATION]
> Prenez le logarithme du modèle proposé : quelle relation prévoit-il entre $\ln(\rho_{\text{sol}}/\rho_0)$ et $1/Hr$ ?
> [!INDICATION]
> Lisez deux points bien placés de la droite tracée (pas des points de mesure), éloignés l'un de l'autre, de préférence sur des intersections de la grille.
#### Solution
$\ln(\rho_{\text{sol}}/\rho_0)=\alpha\,(1/Hr)+\beta$ : le modèle prévoit une relation affine. Le graphe de droite montre que les points se répartissent autour d'une droite : le modèle est acceptable, malgré la dispersion des mesures.
La droite passe par $(2\,;\,0{,}25)$ et $(10\,;\,2{,}0)$ :
$$\boxed{\alpha\approx\frac{2{,}0-0{,}25}{8}\approx0{,}22,\qquad\beta\approx0{,}25-2\times0{,}22\approx-0{,}2}$$
Les deux coefficients sont sans dimension. Contrôle sur le graphe de gauche : le modèle donne $\rho/\rho_0\approx e^{2}\approx7{,}4$ à $Hr=0{,}1$ et $e^{0{,}9}\approx2{,}5$ à $Hr=0{,}2$, en accord avec les points.
> [!PIEGE]
> L'axe horizontal commence à $1/Hr=1$ : $\beta$ est l'ordonnée extrapolée en $1/Hr=0$, pas l'ordonnée lue au bord du cadre.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Combinez les questions 16 et 18, puis étudiez le sens de variation en $Hr$.
> [!INDICATION]
> Une fonction décroissante atteint son maximum à la borne inférieure de l'intervalle.
#### Solution
$$R(Hr)=\frac{c\rho_0}{ab}\exp\Big(\frac\alpha{Hr}+\beta\Big)$$
Avec $\alpha>0$, $R$ est **décroissante** en $Hr$ :
$$\boxed{R_{\min}=\frac{c\rho_0}{ab}\exp\Big(\frac\alpha{Hr_{\max}}+\beta\Big),\qquad R_{\max}=\frac{c\rho_0}{ab}\exp\Big(\frac\alpha{Hr_{\min}}+\beta\Big)}$$
> [!METHODE]
> Même quand aucune application numérique n'est demandée, un rapport sans dimension se calcule vite et sert de contrôle : $R_{\max}/R_{\min}=e^{5\alpha}\approx e^{1{,}1}\approx3$, exactement le rapport $15\ \Omega/5\ \Omega$ de la sous-partie 3.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Le sol humide conduit grâce à des ions. Que font des ions soumis à un champ constant pendant longtemps, au voisinage d'électrodes métalliques ?
> [!INDICATION]
> Pensez à l'accumulation de charges près des électrodes (que devient la neutralité ?) et aux réactions électrochimiques. Puis : pourquoi l'alternatif supprime-t-il ces effets, et pourquoi 200 Hz plutôt qu'une très haute fréquence ?
#### Solution
Sous tension **continue**, les ions migrent toujours dans le même sens et s'accumulent au voisinage des électrodes : il se forme des couches chargées, le sol n'est plus neutre près des électrodes, et l'équation de Laplace, le champ uniforme et l'expression de $R$ (Q13 à Q16) ne s'appliquent plus. La polarisation des électrodes fait dériver la mesure dans le temps, et l'électrolyse (réactions d'oxydoréduction aux électrodes) corrode les électrodes et modifie le sol.
Sous tension **sinusoïdale**, le sens de migration s'inverse toutes les 2,5 ms : les ions oscillent sur une distance infime, aucune charge ne s'accumule, le sol reste neutre et le modèle ohmique reste valable à chaque instant. La fréquence de 200 Hz reste basse : l'approximation des régimes quasi stationnaires s'applique (longueur d'onde d'environ $10^6$ m) et le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction, donc le sol se comporte en résistance pure.
**L'excitation alternative préserve l'électroneutralité du sol, sur laquelle repose le calcul de $R$, et protège les électrodes.**
> [!JURY]
> L'énoncé demande explicitement de discuter l'hypothèse d'électroneutralité : c'est ce qui est attendu : relier le choix de l'alternatif à la validité du modèle des questions 13 à 16, pas seulement dire que le continu abîme les électrodes.
### 3. Signal de commande de l'électrovanne
On convertit $R$ en tension (bloc 1), on fabrique une référence (bloc 2), on compare avec hystérésis (bloc 3) et on met en forme pour l'électrovanne (bloc 4). Outils : ALI idéal en régime linéaire et en saturation, diode idéale.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Quel courant entre dans l'entrée $+$ d'un ALI idéal ? Écrivez la loi des nœuds en $A$.
> [!INDICATION]
> Pour $V_B$, regardez sur quelle entrée l'ALI 1 est rebouclé, et déduisez-en son régime.
#### Solution
$i_+=0$, donc la loi des nœuds en $A$ montre que $R$ et $R_3$ sont traversées par le même courant : elles sont en série. Pont diviseur :
$$\boxed{V_A=\frac{R_3}{R+R_3}V_0}$$
La sortie de l'ALI 1 est reliée à son entrée $-$ (rétroaction négative) : régime linéaire, $V_+=V_-$, soit
$$\boxed{V_B=V_A=\frac{R_3}{R+R_3}V_0}$$
### Question 22
> [!INDICATION]
> Le gain vaut 1 : l'intérêt n'est donc pas d'amplifier. Que se passerait-il si l'on reliait directement $A$ au bloc 3 ?
#### Solution
C'est un **montage suiveur**. Il réalise une **adaptation d'impédance** : son impédance d'entrée infinie ne charge pas le pont $R$–$R_3$, dont la tension reste $R_3V_0/(R+R_3)$ quel que soit l'étage suivant, et son impédance de sortie nulle impose $V_B$ quel que soit le courant demandé par $R_1$.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Même raisonnement qu'à la question 21, avec l'entrée $-$ de l'ALI 3.
#### Solution
$i_-=0$ : $R_4$ et $R_5$ sont en série et
$$\boxed{V_C=\frac{R_5}{R_4+R_5}V_0}$$
### Question 24
> [!INDICATION]
> Sur quelle entrée la sortie de l'ALI 3 est-elle rebouclée ? Une rétroaction positive permet-elle le régime linéaire ?
> [!INDICATION]
> Exprimez $V_D$ par la loi des nœuds en $D$ (ou par le théorème de Millman), puis écrivez la condition de basculement $V_D=V_C$ successivement pour $V_E=+V_0$ et pour $V_E=-V_0$.
> [!INDICATION]
> Partant de $V_E=+V_0$, c'est une diminution de $V_B$ qui peut provoquer le basculement ; partant de $V_E=-V_0$, une augmentation.
#### Solution
La sortie est rebouclée par $R_2$ sur l'entrée **non inverseuse** : rétroaction positive, l'ALI 3 **ne fonctionne pas en régime linéaire**. Il est saturé : $V_E=\pm V_0$ selon le signe de $\varepsilon=V_D-V_C$.
Loi des nœuds en $D$ ($i_+=0$) :
$$\frac{V_B-V_D}{R_1}+\frac{V_E-V_D}{R_2}=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V_D=\frac{V_B+\alpha V_E}{1+\alpha}},\qquad\alpha=\frac{R_1}{R_2}.$$
- Si $V_E=+V_0$ : l'état dure tant que $V_D>V_C$, soit $V_B>(1+\alpha)V_C-\alpha V_0$. En dessous, bascule vers $-V_0$.
- Si $V_E=-V_0$ : l'état dure tant que $V_D<V_C$, soit $V_B<(1+\alpha)V_C+\alpha V_0$. Au-dessus, bascule vers $+V_0$.
$$\boxed{V_b=(1+\alpha)V_C-\alpha V_0,\qquad V_h=(1+\alpha)V_C+\alpha V_0}$$
> [!METHODE]
> Pour tout comparateur à hystérésis : (1) justifier la saturation par la rétroaction positive ; (2) exprimer $\varepsilon$ en fonction de l'entrée et de la sortie ; (3) écrire $\varepsilon=0$ pour chacune des deux valeurs de la sortie. Les deux seuils naissent de ce que $\varepsilon$ dépend de la sortie.
> [!PIEGE]
> Écrire $V_+=V_-$ pour l'ALI 3 est la faute qui fait perdre toute la sous-partie : cette égalité ne vaut qu'en régime linéaire, assuré par une rétroaction négative.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Trois zones : $V_B<V_b$, $V_b<V_B<V_h$, $V_B>V_h$. Dans la zone centrale, l'état dépend de l'histoire. Indiquez le sens de parcours par des flèches.
#### Solution
Cycle rectangulaire de comparateur non inverseur :
| Domaine de $V_B$ | $V_B$ croissant | $V_B$ décroissant |
|---|---|---|
| $0\le V_B<V_b$ | $-V_0$ | $-V_0$ (bascule en $V_b$) |
| $V_b<V_B<V_h$ | $-V_0$ | $+V_0$ |
| $V_h<V_B\le2V_h$ | $+V_0$ (bascule en $V_h$) | $+V_0$ |
Sur la copie, portez $\pm V_0$, $V_b$, $V_h$ sur les axes et des flèches de parcours sur les verticales.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Faites la différence puis la somme des deux expressions de la question 24.
#### Solution
$$V_h-V_b=2\alpha V_0\ \Longrightarrow\ \boxed{\alpha=\frac{V_h-V_b}{2V_0}}\qquad V_h+V_b=2(1+\alpha)V_C\ \Longrightarrow\ \boxed{V_C=\frac{V_h+V_b}{2(1+\alpha)}}$$
La largeur du cycle fixe $\alpha$, son centre fixe ensuite $V_C$ : c'est la démarche de dimensionnement des questions 27 et 28.
### Question 27
> [!INDICATION]
> $V_B$ augmente-t-elle ou diminue-t-elle quand $R$ augmente ? Un sol sec correspond-il à $R$ grand ou petit ?
> [!INDICATION]
> Associez chaque seuil de tension ($V_b$, $V_h$) à la valeur de $R$ ($R_{\min}$ ou $R_{\max}$) qui lui correspond, puis utilisez la question 21.
#### Solution
$V_B=R_3V_0/(R+R_3)$ décroît quand $R$ croît. Sol sec : $R>R_{\max}$, $V_B$ petit, il faut ouvrir la vanne quand $V_B$ passe sous $V_b$, donc $V_b=V_B(R_{\max})$. Sol humide : $R<R_{\min}$, $V_B$ grand, fermeture quand $V_B$ dépasse $V_h=V_B(R_{\min})$.
$$\boxed{V_b=\frac{R_3}{R_{\max}+R_3}V_0=3{,}0\ \mathrm V,\qquad V_h=\frac{R_3}{R_{\min}+R_3}V_0=6{,}0\ \mathrm V}$$
> [!PIEGE]
> Le seuil **bas** de tension correspond à la résistance **maximale**. L'affectation inverse donnerait $V_b>V_h$, ce qui est impossible pour ce montage : c'est le contrôle à faire.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Appliquez les relations de la question 26. Puis lisez attentivement la fin de la question : une des résistances citées est à la fois donnée et demandée.
#### Solution
$$\boxed{\alpha=\frac{6-3}{24}=0{,}125,\qquad V_C=\frac{9}{2\times1{,}125}=4{,}0\ \mathrm V}$$
L'énoncé fixe $R_1=R_5=1$ kΩ et demande « $R_1$ et $R_4$ » : on signale la coquille et on détermine $R_2$ et $R_4$.
$$R_2=\frac{R_1}{\alpha}\quad\text{et}\quad\frac{R_5}{R_4+R_5}=\frac{V_C}{V_0}=\frac13\quad\Longrightarrow\quad\boxed{R_2=8{,}0\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_4=2R_5=2{,}0\ \mathrm{k\Omega}}$$
Avec l'autre lecture ($R_2=1$ kΩ fixé), $R_1=125\ \Omega$ ; $R_4$ ne change pas. Contrôle : le centre du cycle $(1+\alpha)V_C=4{,}5$ V est bien la moyenne de 3 V et 6 V.
> [!JURY]
> L'en-tête du sujet le prévoit : si l'on repère ce qui semble être une erreur d'énoncé, on le signale sur la copie, on choisit une lecture et on poursuit en expliquant ce choix.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Composez les monotonies : $Hr\mapsto R$ (question 19), puis $R\mapsto V_B$ (question 21). Le cycle est-il conservé ou retourné ?
> [!INDICATION]
> À quelles valeurs de $Hr$ correspondent $V_B=V_b$ et $V_B=V_h$ ? Regardez comment les seuils ont été construits à la question 27.
#### Solution
$R$ décroît avec $Hr$ et $V_B$ décroît avec $R$ : $V_B$ est une fonction **croissante** de $Hr$, et le cycle garde son orientation. $V_B=V_b$ pour $Hr=Hr_{\min}=0{,}10$ et $V_B=V_h$ pour $Hr=Hr_{\max}=0{,}20$.
| Domaine de $Hr$ | $Hr$ croissant | $Hr$ décroissant |
|---|---|---|
| $0<Hr<0{,}10$ | $-12$ V | $-12$ V (bascule en 0,10) |
| $0{,}10<Hr<0{,}20$ | $-12$ V | $+12$ V |
| $0{,}20<Hr\le0{,}40$ | $+12$ V (bascule en 0,20) | $+12$ V |
**Basculements en $Hr=0{,}20$ (montée vers $+12$ V) et en $Hr=0{,}10$ (descente vers $-12$ V).**
### Question 30
> [!INDICATION]
> Méthode des états supposés : faites une hypothèse sur l'état de la diode, déduisez $V_F$ et le courant, puis vérifiez la cohérence avec la caractéristique.
> [!INDICATION]
> $R_C$ relie $F$ à la masse : si aucun courant ne passe, que vaut $V_F$ ?
#### Solution
Diode passante : $U_D=V_E-V_F=0$ avec $I\ge0$ ; bloquée : $I=0$ avec $U_D\le0$. Et $I=V_F/R_C$.
- $V_E=+12$ V : bloquée donnerait $V_F=0$ et $U_D=12$ V $>0$, contradiction. Passante : $V_F=12$ V, $I=12/R_C>0$, cohérent.
- $V_E=-12$ V : passante donnerait $I=-12/R_C<0$, contradiction. Bloquée : $V_F=0$, $U_D=-12$ V $<0$, cohérent.
$$\boxed{V_E=+12\ \mathrm V\Rightarrow V_F=12\ \mathrm V;\qquad V_E=-12\ \mathrm V\Rightarrow V_F=0}$$
> [!METHODE]
> Pour un composant à plusieurs états (diode idéale, ALI saturé), on suppose un état, on calcule, on vérifie les inégalités de cet état. Un seul état doit être cohérent.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Remplacez $-12$ V par 0 dans le cycle de la question 29. Puis déroulez un cycle complet d'assèchement et d'arrosage en vous rappelant qu'une tension nulle **ouvre** la vanne.
#### Solution
| Domaine de $Hr$ | $Hr$ croissant | $Hr$ décroissant |
|---|---|---|
| $0<Hr<0{,}10$ | $0$ | $0$ |
| $0{,}10<Hr<0{,}20$ | $0$ | $12$ V |
| $0{,}20<Hr\le0{,}40$ | $12$ V | $12$ V |
Sol humide : $V_F=12$ V, vanne fermée. En s'asséchant, le sol garde $V_F=12$ V jusqu'à $Hr=0{,}10$, où $V_F$ tombe à 0 : la vanne s'ouvre, l'arrosage démarre. Le sol s'humidifie, $V_F$ reste nul jusqu'à $Hr=0{,}20$, où il passe à 12 V : la vanne se ferme. **L'électrovanne est correctement commandée : $Hr$ reste entre 0,10 et 0,20.**
> [!PIEGE]
> L'électrovanne est ouverte à tension **nulle**. Associer « 12 V » à « arrosage » conduit à conclure à l'envers.
L'hystérésis évite que la vanne ne s'ouvre et ne se ferme sans cesse autour d'un seuil unique sous l'effet du bruit de mesure.
## Partie II — Arroser juste où il faut
On établit la loi de Poiseuille dans un pore par un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé, puis on en déduit le nombre de pores par mètre de tuyau. Pressions absolues : $\Delta P=P_{\text{int}}-P_0=0{,}5$ bar.
### Question 32
> [!INDICATION]
> $Re$ compare des effets inertiels et des effets visqueux. Quelle longueur caractéristique choisir pour un pore ?
> [!INDICATION]
> Choisissez une vitesse « goutte à goutte » (de l'ordre du millimètre par seconde, par exemple) et justifiez-la. Faites le calcul des puissances de dix avec soin.
#### Solution
$$Re=\frac{\rho VL}{\eta}\quad\text{avec}\quad L=d=20\ \mu\mathrm m.$$
Avec $V\approx1\ \mathrm{mm\cdot s^{-1}}$ :
$$Re=\frac{10^3\times10^{-3}\times2\times10^{-5}}{10^{-3}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{Re\approx2\times10^{-2}}$$
Remarque : la question 39 montre que la vitesse moyenne réelle dans un pore est d'environ $0{,}6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, ce qui donne $Re\approx12$. La conclusion de la question 33 n'en est pas changée.
> [!PIEGE]
> Les puissances de dix : $10^3\times10^{-3}\times2\times10^{-5}=2\times10^{-5}$, puis on divise par $\eta=10^{-3}$, ce qui donne $2\times10^{-2}$. Oublier cette division fausse le résultat d'un facteur $10^3$.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Comparez à la valeur critique de transition en conduite cylindrique.
#### Solution
$Re\ll2\times10^3$ : **écoulement laminaire**, dominé par la viscosité (rampant si $Re\ll1$ ; avec la vitesse de la question 39, $Re\approx12$, il reste nettement laminaire).
### Question 34
> [!INDICATION]
> Le champ des vitesses a-t-il une composante radiale ? Que devient alors la distance $r$ d'une particule à l'axe au cours du temps ?
#### Solution
$\vec v=v(r)\vec u_z$ n'a pas de composante radiale : une particule garde son $r$. Sa vitesse $v(r)\vec u_z$ est donc constante (écoulement stationnaire). **Mouvement rectiligne uniforme.** Formellement, $\mathrm D\vec v/\mathrm Dt=\partial\vec v/\partial t+v\,\partial\vec v/\partial z=\vec0$.
> [!PIEGE]
> Le fluide n'accélère pas, alors qu'il est « poussé » par la différence de pression : les forces de pression sont exactement compensées par les forces de viscosité.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Un système fermé est formé des mêmes particules. Que vaut l'accélération de chacune d'elles ?
#### Solution
Chaque particule de $(\mathcal K)$ a une vitesse constante, donc la somme $\vec p_{\mathcal K}=\sum m_i\vec v_i$ l'est aussi :
$$\boxed{\frac{\mathrm d\vec p_{\mathcal K}}{\mathrm dt}=\vec0}$$
### Question 36
> [!INDICATION]
> Listez les forces de surface sur chaque partie de la frontière (deux disques, une surface latérale), puis les forces de volume.
#### Solution
$$\boxed{\vec0=\vec F_{p,\text{entrée}}+\vec F_{p,\text{sortie}}+\vec F_{p,\text{lat}}+\vec F_{\text{visc}}+m_{\mathcal K}\vec g}$$
Forces de pression sur les deux sections (disques de rayon $r$) ; forces de pression latérales, radiales, de résultante nulle ; force de viscosité exercée par le fluide extérieur ($r'>r$) sur la surface latérale ; poids.
> [!PIEGE]
> La surface latérale de $(\mathcal K)$ est au contact du fluide, pas de la paroi : c'est le fluide extérieur qui exerce la force de viscosité.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Identifiez la contrainte tangentielle et l'aire sur laquelle elle s'exerce.
> [!INDICATION]
> Pour le signe : comment varie $v$ entre l'axe et la paroi ? Le fluide extérieur, plus lent, accélère-t-il ou freine-t-il $(\mathcal K)$ ?
#### Solution
$\eta$ est la viscosité dynamique ; $\mathrm dv/\mathrm dr$ le taux de cisaillement ; $\eta\,\mathrm dv/\mathrm dr$ la contrainte tangentielle (en Pa) ; $S=2\pi re$ l'aire latérale de $(\mathcal K)$.
$v$ est maximale sur l'axe et nulle à la paroi : $\mathrm dv/\mathrm dr<0$. Le fluide extérieur, plus lent, freine $(\mathcal K)$ : la force est selon $-\vec u_z$, d'où le signe $+$ :
$$\boxed{\vec F_{\text{visc}}=+\eta\frac{\mathrm dv}{\mathrm dr}\,2\pi re\,\vec u_z}$$
Contrôle : projeté sur $\vec u_z$, le bilan $0=(P_{\text{int}}-P_0)\pi r^2+\eta\frac{\mathrm dv}{\mathrm dr}2\pi re$ redonne l'équation de l'énoncé.
> [!METHODE]
> Le signe d'une force de viscosité se trouve physiquement : la couche la plus rapide entraîne la plus lente, la plus lente freine la plus rapide. On contrôle ensuite par la cohérence avec le résultat attendu.
### Question 38
> [!INDICATION]
> Que vaut la vitesse d'un fluide visqueux au contact d'une paroi immobile ?
#### Solution
Non-glissement à la paroi : $\boxed{v(R)=0}$. En intégrant :
$$\boxed{v(r)=\frac{P_{\text{int}}-P_0}{4\eta e}\big(R^2-r^2\big)}$$
Profil parabolique, $v(0)=1{,}25\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Découpez la section en couronnes de rayon $r$ et d'épaisseur $\mathrm dr$.
> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique, utilisez le rayon $R=10\ \mu$m (et non le diamètre) et une différence de pression en pascals.
#### Solution
$$D_1=\int_0^Rv(r)\,2\pi r\,\mathrm dr\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D_1=\frac{\pi(P_{\text{int}}-P_0)R^4}{8\eta e}}$$
$$D_1=\frac{\pi\times5\times10^4\times10^{-20}}{8\times10^{-6}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D_1\approx2{,}0\times10^{-10}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}}$$
> [!METHODE]
> Le débit varie comme $R^4$ (loi de Hagen-Poiseuille) : doubler le diamètre multiplie le débit par 16. Le débit est aussi proportionnel à $\Delta P$, d'où la notion de résistance hydraulique.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Le débit linéique est le produit du débit d'un pore par le nombre de pores par mètre. Attention à la conversion des $\mathrm{L\cdot min^{-1}\cdot m^{-1}}$.
#### Solution
$$\boxed{n_t=\frac{D_{\text{lin}}}{D_1}=\frac{8\eta e\,D_{\text{lin}}}{\pi(P_{\text{int}}-P_0)R^4}}$$
$D_{\text{lin}}=6{,}0\times10^{-3}/60=1{,}0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}}$ :
$$\boxed{n_t\approx\frac{1{,}0\times10^{-4}}{2{,}0\times10^{-10}}\approx5\times10^{5}\ \mathrm{m^{-1}}}$$
Ces pores sont répartis sur toute la surface du tuyau, pas sur une seule ligne : pour un tuyau de quelques centimètres de périmètre, cela fait environ un pore tous les 0,3 mm, ce qui est plausible.
## Partie III — Dimensionnement du système de pompage
### 1. Choix de la pompe
On dimensionne la pompe par un bilan d'énergie, après avoir montré qu'une pompe en surface ne peut pas aspirer l'eau à 25 m. $D_p=1/60\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Définissez la vitesse débitante à partir du débit volumique à travers une section.
#### Solution
La vitesse débitante est la vitesse uniforme qui donnerait le même débit : $D_p=U\,\Sigma$, c'est la moyenne de la vitesse sur la section.
$$\boxed{U_B=\frac{4D_p}{\pi\delta^2}\approx\frac{4\times1{,}7\times10^{-2}}{3{,}14\times10^{-2}}\approx2{,}1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}$$
### Question 42
> [!INDICATION]
> Dans quel montage la pompe doit-elle aspirer l'eau ? Appliquez la relation de Bernoulli entre la surface libre et l'entrée de la pompe.
> [!INDICATION]
> Calculez la pression à l'entrée de la pompe en pression absolue et comparez-la à zéro. Puis : quelle hauteur maximale peut-on aspirer avec la pression atmosphérique ?
#### Solution
Montage B : entre $A_0$ (pression $P_0$, vitesse négligeable, 25 m sous le sol) et l'entrée $B$ de la pompe (au niveau du sol), sans machine :
$$P_B=P_0-\rho gh-\tfrac12\rho U_B^2<P_0-\rho gh\approx1{,}0\times10^5-2{,}45\times10^5=-1{,}45\times10^5\ \mathrm{Pa}.$$
Une pression absolue négative est impossible : l'eau se vaporiserait bien avant (cavitation) et la colonne se romprait. La hauteur d'aspiration est limitée à $P_0/(\rho g)\approx10$ m, quelle que soit la puissance de la pompe. **Le montage B ne peut pas fonctionner ; on retient le montage A (pompe immergée).** Cette limite a été expliquée par **Torricelli**, à la suite des observations de Galilée sur les pompes aspirantes.
> [!PIEGE]
> Raisonner en pression relative masque l'absurdité ($-1{,}5$ bar relatif ne choque pas). C'est la pression absolue qui ne peut pas être négative.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Conservation du débit sur la section du puits. Puis comparez $U_B^2/2$ à $gh$.
#### Solution
$v_{A_0}=D_p/S\approx1{,}7\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : **vitesse négligeable**. Entre $A_0$ et $D$ :
$$\frac{\Delta e_c}{\Delta e_p}\simeq\frac{U_B^2/2}{gh}\approx\frac{2{,}2}{245}\approx1\ \%\ll1.$$
**La variation d'énergie cinétique est négligeable.**
### Question 44
> [!INDICATION]
> Bilan d'énergie mécanique (relation de Bernoulli généralisée avec une pompe) entre deux points où la pression est connue.
> [!INDICATION]
> Choisissez $A_0$ (pression $P_0$) et $D$ (pression $P_{\max}$). Quelle est la dénivellation entre ces deux points ?
#### Solution
$$\boxed{\mathcal P=D_p\big[(P_{\max}-P_0)+\rho gh\big]}$$
$$\mathcal P=\frac{5{,}0\times10^5+2{,}45\times10^5}{60}=\frac{7{,}45\times10^5}{60}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal P\approx1{,}2\times10^4\ \mathrm W}$$
> [!PIEGE]
> La dénivellation utile est $h=25$ m (de la surface libre au sol), pas $h+h'=28$ m : l'eau est puisée à la surface libre, où la pression est connue.
### Question 45
> [!INDICATION]
> Même formule qu'à la question 32, avec la vitesse débitante et le diamètre de la conduite.
#### Solution
$$\boxed{Re=\frac{\rho U_B\delta}{\eta}\approx\frac{10^3\times2{,}1\times0{,}1}{10^{-3}}\approx2\times10^5}$$
$Re\gg2\times10^3$ : **écoulement turbulent.** Le modèle de la partie II, qui suppose un écoulement laminaire, **ne peut pas** servir à évaluer les pertes de charge dans la conduite.
### Question 46
> [!INDICATION]
> Deux conversions successives : les rendements se multiplient. La puissance électrique doit être plus grande que la puissance utile.
#### Solution
$$\boxed{\mathcal P_{\text{élec}}=\frac{\mathcal P}{\eta_{\text{élec}}\eta_{\text{méca}}}=\frac{1{,}24\times10^4}{0{,}49}\approx2{,}5\times10^4\ \mathrm W}$$
Ordre de grandeur : 25 kW pour un débit de $60\ \mathrm{m^3\cdot h^{-1}}$, soit environ 0,4 kWh par mètre cube pompé.
### 2. Vase d'expansion
Le gaz du vase joue le rôle d'un ressort : on calcule le volume d'eau qu'il peut stocker et la durée des cycles de la pompe.
### Question 47
> [!INDICATION]
> Deux conséquences : l'une vient de la lenteur seule, l'autre de la lenteur combinée au contact thermique avec l'atmosphère.
#### Solution
Évolutions lentes : le gaz passe par des états d'équilibre interne, l'évolution est **quasi statique**. Contact thermique avec l'atmosphère à $T_0$ : le gaz a le temps d'échanger de la chaleur et reste à $T_0$, l'évolution est **isotherme**. D'où $PV_{\text{gaz}}=nRT_0=\text{cte}$.
> [!PIEGE]
> Lente avec contact thermique : isotherme. C'est une évolution **rapide** (ou calorifugée) qui serait adiabatique.
### Question 48
> [!INDICATION]
> Le gaz occupe le volume que l'eau laisse libre. Écrivez la loi de Boyle-Mariotte entre les deux états extrêmes.
#### Solution
$P_{\min}(V_{\text{tot}}-V_{\min})=P_{\max}(V_{\text{tot}}-V_{\max})$, d'où
$$\boxed{\Delta V=(1-\alpha)(V_{\text{tot}}-V_{\min}),\qquad\alpha=\frac{P_{\min}}{P_{\max}}}$$
Contrôle : si $V_{\min}=V_{\text{tot}}$ (pas de gaz), $\Delta V=0$.
### Question 49
> [!INDICATION]
> Pour quelle valeur de $V_{\min}$ le volume $\Delta V$ est-il maximal ? Dans quel état (pression, volume) connaît-on alors complètement le gaz ?
#### Solution
$\Delta V$ décroît avec $V_{\min}$ : il est maximal pour $V_{\min}=0$. Le gaz occupe alors $V_{\text{tot}}$ sous $P_{\min}$ à $T_0$ :
$$\boxed{n_{\text{gaz}}=\frac{P_{\min}V_{\text{tot}}}{RT_0}=\frac{1{,}5\times10^5\times2{,}0}{8\times293}\approx1{,}3\times10^2\ \mathrm{mol}}$$
Et $\Delta V=0{,}75\times2000=1{,}5\times10^3$ L.
> [!PIEGE]
> Convertir les litres en m³ et les degrés Celsius en kelvins. Et utiliser un couple cohérent ($P_{\min}$ avec $V_{\text{tot}}$, ou $P_{\max}$ avec 500 L), pas $P_{\max}$ avec $V_{\text{tot}}$.
### Question 50
> [!INDICATION]
> Le vase reçoit le débit de la pompe quand elle tourne et fournit en permanence le débit d'arrosage. Faites un bilan de volume pour chaque phase.
> [!INDICATION]
> Pendant la phase « pompe allumée », le vase se remplit au débit **net**. Pour la seconde préconisation, demandez-vous ce que mesure la durée « entre deux allumages successifs ».
#### Solution
Débit d'arrosage continu : $D_{\text{arr}}=LD_{\text{lin}}=600\ \mathrm{L\cdot min^{-1}}$.
$$\boxed{\tau_1=\frac{\Delta V}{D_p-D_{\text{arr}}}=\frac{1500}{400}=3{,}75\ \text{min}},\qquad\boxed{\tau_2=\frac{\Delta V}{D_{\text{arr}}}=\frac{1500}{600}=2{,}5\ \text{min}}$$
- Pompe allumée : $3{,}75$ min $<4$ min, **respecté**.
- Entre deux allumages : la période vaut $\tau_1+\tau_2=6{,}25$ min $>6$ min, **respecté**.
**Les préconisations sont respectées, de justesse.** Si la seconde préconisation visait la seule durée d'arrêt ($2{,}5$ min), elle ne le serait pas ; il est prudent de le signaler.
> [!PIEGE]
> Oublier que l'arrosage continue pendant le remplissage donne $\tau_1=1500/1000=1{,}5$ min, et la conclusion est fausse.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Premier ordre : forme canonique, constante de temps, valeur limite, puis solution complète ; contrôles asymptotiques.
- Résolution graphique en log-log : adimensionner, lire une courbe universelle, reconnaître les pentes des lois de puissance.
- Électrostatique : invariances puis symétries, Poisson ou Laplace, conditions aux limites ; chaîne $V\to\vec E\to\vec j\to I\to R$.
- Linéariser un modèle empirique (logarithme, changement de variable) pour le tester et en lire les coefficients.
- ALI : régime linéaire si rétroaction négative ($V_+=V_-$), saturation si rétroaction positive ; seuils d'un comparateur à hystérésis par $\varepsilon=0$ dans chaque état ; diode idéale par la méthode des états supposés.
- Poiseuille : bilan de quantité de mouvement sur un cylindre de fluide, signe de la force de viscosité, non-glissement à la paroi, débit en $R^4$.
- Bilan d'énergie avec une machine entre deux points de pression connue ; rendements en série.
- Gaz parfait isotherme (Boyle-Mariotte) et bilans de volume pour des cycles de stockage.
**Prérequis à revoir.** Développements limités de $e^{-x}$ ; échelles logarithmiques ; règles de symétrie du champ électrique ; ALI idéal et diode idéale ; nombre de Reynolds et ses valeurs critiques ; relation de Bernoulli et ses hypothèses ; pression absolue et pression relative.
**Questions classiques transposables.** Vitesse limite d'une bille dans un fluide visqueux (viscosimètre à chute de bille) ; résistance d'un conducteur entre deux électrodes ; comparateur à hystérésis (thermostat, régulation tout-ou-rien) ; loi de Poiseuille et résistance hydraulique ; limite d'aspiration de 10 m ; ballon tampon ou vase d'expansion d'un circuit de chauffage.
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