Maths 1
CCINPMP2026
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Signaler une erreur# CCINP MP — Mathématiques 1 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Cadre.** Épreuve MP1M1, 4 heures, calculatrices interdites. Le sujet comprend deux exercices indépendants et un problème, soit 22 questions.
**Exercice I (Q1–Q4) : bases de données.** Quatre requêtes SQL sur deux tables, `ELEVES` et `PAIEMENTS`, reliées par la clé étrangère `id_eleve`. On y mobilise la sélection, la projection avec `DISTINCT`, la jointure, l'agrégation `SUM … GROUP BY`, l'autojointure et la différence ensembliste `EXCEPT` (programme d'informatique commune, deuxième année).
**Exercice II (Q5–Q8) : fonctions génératrices.** Définition de $G_X$ sur $[-1,1]$, fonction génératrice d'une loi de Poisson, formule $G_{X+Y}=G_XG_Y$ démontrée par produit de Cauchy, puis stabilité de la loi de Poisson par somme indépendante. Tout est au cœur du programme de probabilités de MP.
**Problème (Q9–Q22) : un cas de la formule sommatoire de Poisson.**
- *Partie I (Q9–Q14)* : calcul de $g(x)=\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+t^2}\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t$ par la méthode de l'équation différentielle : intégrabilité, changement de variable, convergence dominée, régularité $\mathcal{C}^2$ d'une intégrale à paramètre, intégrations par parties, résolution de $y''-y=0$.
- *Partie II (Q15–Q18)* : la périodisée $F(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(x+n)$ de $f(t)=\frac{1}{1+t^2}$ ; convergence, périodicité, continuité par convergence normale sur un segment, coefficients de Fourier par intégration terme à terme, orthogonalité des exponentielles.
- *Partie III (Q19–Q22)* : calcul explicite des $c_k(F)$ grâce à la partie I, identification de $F$ à une série trigonométrique $G$ grâce à un résultat d'unicité admis, et formule close de $F$.
**Difficulté et longueur.** Sujet de longueur raisonnable pour 4 heures, très guidé, sans piège calculatoire majeur. La difficulté est dans la **rigueur des justifications** : choix de la bonne forme de $g$ selon l'usage, domination locale, interversions série–intégrale, discussion d'indices.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q4, Q5, Q6, Q8, Q9, Q10, Q14, Q15, Q18 et Q19 (pour $c_0$) sont courtes et standard. Q14 se traite même si Q12–Q13 résistent, en admettant l'équation différentielle ; la partie III se traite en admettant les résultats des parties I et II.
**Gestion du temps.** Environ 30 minutes pour l'exercice I, 35 minutes pour l'exercice II, 1 h 15 pour la partie I, 50 minutes pour la partie II et 50 minutes pour la partie III, en gardant un peu de temps de relecture.
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## Exercice I — Bases de données
Quatre requêtes de difficulté croissante. On pense à la clé primaire pour identifier un élève, et aux doublons que créent les projections et les jointures.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Une condition sur une ligne s'écrit dans le `WHERE` ; une projection peut faire apparaître des répétitions.
> [!INDICATION]
> Un mot-clé du `SELECT` supprime les lignes répétées du résultat.
#### Solution
```sql
SELECT DISTINCT email
FROM ELEVES
WHERE promo <> 2025;
```
La sélection garde les élèves d'une autre promotion que 2025, la projection ne conserve que l'email, `DISTINCT` élimine les doublons (homonymes partageant une adresse, lignes dupliquées de la table).
> [!PIEGE]
> `promo` est un entier : on écrit `2025` sans guillemets. Oublier `DISTINCT` ne répond pas à « sans doublons ».
### Question 2
> [!INDICATION]
> « Montant total pour chaque élève » : c'est une fonction d'agrégation calculée par groupe.
> [!INDICATION]
> Par quoi regrouper pour ne pas confondre deux élèves homonymes ? Et quelle jointure garde un élève qui n'a aucune ligne dans `PAIEMENTS` ?
#### Solution
```sql
SELECT E.nom, E.prenom, SUM(P.montant) AS total
FROM ELEVES AS E
LEFT JOIN PAIEMENTS AS P ON E.id = P.id_eleve
GROUP BY E.id, E.nom, E.prenom
ORDER BY E.nom, E.prenom;
```
- On regroupe par `E.id`, la clé primaire : deux homonymes sont deux élèves distincts. On ajoute `nom` et `prenom` au `GROUP BY`, puisqu'ils sont affichés sans être agrégés (ils sont de toute façon constants dans chaque groupe).
- La jointure externe à gauche conserve chaque élève, même sans paiement ; son total vaut alors `NULL` (aucun montant à sommer), à lire comme 0.
- Le tri `ORDER BY nom, prenom` se place en fin de requête.
Si l'on comprend « chaque élève ayant payé », la jointure interne `JOIN PAIEMENTS AS P ON E.id = P.id_eleve` donne une réponse correcte pour cette lecture ; il est bon de signaler en une phrase quelle lecture on retient.
> [!PIEGE]
> Regrouper par `nom, prenom` seulement fusionnerait les paiements de deux homonymes. Et une jointure interne fait disparaître silencieusement les élèves sans paiement.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Il faut comparer chaque ligne de `ELEVES` à une autre ligne de la même table.
> [!INDICATION]
> Une autojointure (deux alias de `ELEVES`) avec égalité sur les quatre attributs autres que `id`. Quelle condition empêche une ligne de s'apparier avec elle-même ?
#### Solution
```sql
SELECT DISTINCT E1.id, E1.email
FROM ELEVES AS E1
JOIN ELEVES AS E2
ON E1.nom = E2.nom AND E1.prenom = E2.prenom
AND E1.email = E2.email AND E1.promo = E2.promo
WHERE E1.id <> E2.id;
```
- Sans `E1.id <> E2.id`, chaque ligne s'apparierait avec elle-même et toute la table serait renvoyée. (Cette condition peut aussi être placée dans le `ON`.)
- `DISTINCT` est nécessaire : une ligne présente en trois exemplaires s'apparie avec les deux autres et apparaîtrait deux fois.
Variante qui traduit littéralement « au moins deux lignes » :
```sql
SELECT E.id, E.email
FROM ELEVES AS E
JOIN (SELECT nom, prenom, email, promo
FROM ELEVES
GROUP BY nom, prenom, email, promo
HAVING COUNT(*) >= 2) AS D
ON E.nom = D.nom AND E.prenom = D.prenom
AND E.email = D.email AND E.promo = D.promo;
```
> [!PIEGE]
> Un `GROUP BY nom, prenom, email, promo HAVING COUNT(*) >= 2` seul ne permet pas d'afficher `id`, qui n'est pas constant dans un groupe : il faut revenir à la table par une jointure. Comparer seulement les emails répond à une autre question.
### Question 4
> [!INDICATION]
> « Aucun paiement » est une non-existence : une jointure interne ne produit que des lignes appariées.
> [!INDICATION]
> Pensez aux opérateurs ensemblistes sur deux requêtes renvoyant des identifiants.
#### Solution
```sql
SELECT id FROM ELEVES
EXCEPT
SELECT id_eleve FROM PAIEMENTS;
```
On retire de l'ensemble des identifiants d'élèves ceux qui apparaissent dans `PAIEMENTS`. Les deux requêtes renvoient une colonne d'entiers, ce qui rend la différence licite. Une requête imbriquée convient aussi : `SELECT id FROM ELEVES WHERE id NOT IN (SELECT id_eleve FROM PAIEMENTS);`.
> [!METHODE]
> Pour « les X qui n'ont aucun Y », penser d'abord à `EXCEPT` ou à `NOT IN`, ou à une jointure externe à gauche suivie d'un test `IS NULL`.
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## Exercice II — Fonctions génératrices
On démontre, par les fonctions génératrices, que la somme de deux variables de Poisson indépendantes suit une loi de Poisson. Outils : séries entières, produit de Cauchy, unicité du développement en série entière.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Que vaut $\sum_n P(X=n)$ ? Comparez le module du terme général à une quantité indépendante de $t$.
#### Solution
$X$ étant à valeurs dans $\mathbb{N}$, $\big((X=n)\big)_{n\in\mathbb{N}}$ est un système complet d'événements, donc $\sum P(X=n)$ converge, de somme $1$.
Soit $t\in[-1,1]$. Pour tout $n$, $|P(X=n)t^n|=P(X=n)|t|^n\le P(X=n)$. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum P(X=n)t^n$ converge absolument, donc converge : **$G_X$ est bien définie sur $[-1,1]$**. La majoration étant indépendante de $t$, la convergence est même normale sur $[-1,1]$.
> [!PIEGE]
> Dire « série entière de rayon au moins 1 » ne suffit pas pour les bornes $t=\pm1$ : un rayon égal à 1 ne dit rien sur le bord. C'est le cas par exemple pour $P(X=n)=\frac{6}{\pi^2n^2}$ ($n\ge1$). Seule la domination par $P(X=n)$ couvre le segment fermé.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Reportez la loi dans la définition et reconnaissez une série classique.
#### Solution
Si $X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)$, $P(X=n)=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$. La série exponentielle ayant un rayon infini, pour tout $t\in\mathbb{R}$ :
$$G_X(t)=\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^n}{n!}=\mathrm{e}^{-\lambda}\mathrm{e}^{\lambda t},\qquad\boxed{G_X(t)=\mathrm{e}^{\lambda(t-1)}}.$$
Contrôles rapides : $G_X(1)=1$ et $G_X'(1)=\lambda=\mathrm{E}(X)$.
> [!METHODE]
> Les fonctions génératrices des lois de Bernoulli, binomiale, géométrique et de Poisson doivent se retrouver en quelques lignes : elles sont explicitement exigibles.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série convergente dont on connaît le terme général.
> [!INDICATION]
> Décomposez l'événement $(X+Y=n)$ selon la valeur de $X$, puis utilisez l'indépendance.
#### Solution
Posons $a_n=P(X=n)$, $b_n=P(Y=n)$, et soit $t\in\,]-1,1[$. Les séries $\sum a_nt^n$ et $\sum b_nt^n$ convergent absolument (Q5) ; par le théorème du produit de Cauchy,
$$G_X(t)G_Y(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nt^n,\qquad c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.$$
Soit $n\in\mathbb{N}$. Comme $X,Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$, $(X+Y=n)$ est la réunion disjointe finie des $(X=k)\cap(Y=n-k)$, $0\le k\le n$. Par additivité puis indépendance :
$$P(X+Y=n)=\sum_{k=0}^{n}P(X=k,\,Y=n-k)=\sum_{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)=c_n.$$
Comme $X+Y$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ :
$$\boxed{\forall t\in\,]-1,1[,\quad G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t).}$$
> [!JURY]
> L'énoncé impose la méthode (produit de Cauchy) : la preuve par $\mathrm{E}(t^{X+Y})=\mathrm{E}(t^X)\mathrm{E}(t^Y)$ est juste mais ne répond pas à la consigne. Il faut aussi dire précisément où sert l'indépendance.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Utilisez Q6 et Q7, puis demandez-vous ce qui permet de passer d'une égalité de fonctions génératrices à une égalité de lois.
#### Solution
$Z=X+Y$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ et, pour $t\in\,]-1,1[$,
$$G_Z(t)=\mathrm{e}^{\lambda(t-1)}\mathrm{e}^{\mu(t-1)}=\mathrm{e}^{(\lambda+\mu)(t-1)}=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}t^n.$$
Deux séries entières de même somme sur $]-1,1[$ ont les mêmes coefficients (unicité du développement en série entière ; c'est le fait que $G_Z$ caractérise la loi de $Z$). Donc $P(Z=n)=\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}$ pour tout $n$ :
$$\boxed{Z\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda+\mu).}$$
Vérification directe par la formule du binôme : $\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}}{n!}(\lambda+\mu)^n$.
> [!PIEGE]
> Écrire $G_Z(t)=\mathrm{e}^{(\lambda+\mu)(t-1)}$ et conclure sans invoquer la caractérisation de la loi par la fonction génératrice laisse l'argument incomplet.
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## Problème — Partie I - Calcul d'une intégrale
On montre que $g(x)=\pi\mathrm{e}^{-x}$ sans primitive : $g$ est bornée, tend vers $\pi$ en $0^+$ et vérifie $y''=y$. Deux écritures de $g$ servent tour à tour : la forme après changement de variable pour borner et passer à la limite, la forme initiale pour dériver. On note $\varphi(x,t)=\frac{x}{x^2+t^2}$ et $h(x,t)=\varphi(x,t)\mathrm{e}^{it}$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Intégrande complexe : on étudie l'intégrabilité de son module.
> [!INDICATION]
> Que vaut $|\mathrm{e}^{it}|$ pour $t$ réel ? Comparez ensuite à une fonction de Riemann en $\pm\infty$.
#### Solution
Soit $x>0$. La fonction $t\mapsto h(x,t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ car $x^2+t^2\ge x^2>0$. De plus $|h(x,t)|=\frac{x}{x^2+t^2}\sim\frac{x}{t^2}$ en $\pm\infty$, intégrable par comparaison à une intégrale de Riemann d'exposant $2>1$. La fonction est donc intégrable sur $\mathbb{R}$ et **$g$ est bien définie sur $]0,+\infty[$**.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Un changement de variable linéaire doit faire disparaître $x$ du dénominateur.
> [!INDICATION]
> Posez $t=xu$ ; pour la borne, l'inégalité triangulaire suffit, à condition que le majorant ne dépende pas de $x$.
#### Solution
Pour $x>0$, $u\mapsto xu$ est une bijection $\mathcal{C}^1$ strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ et l'intégrale converge (Q9). Avec $t=xu$, $\mathrm{d}t=x\,\mathrm{d}u$ :
$$g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{x^2(1+u^2)}\mathrm{e}^{ixu}\,\mathrm{d}u=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{ixu}}{1+u^2}\,\mathrm{d}u.$$
Alors $|g(x)|\le\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\pi$ : **$g$ est bornée par $\pi$ sur $]0,+\infty[$**.
> [!PIEGE]
> Sur la forme initiale, majorer $|g(x)|$ par $\int\frac{x}{x^2+t^2}\,\mathrm{d}t$ donne aussi $\pi$, mais il faut le calculer ; une majoration grossière du type $\pi/x$ ne prouve rien, elle explose en $0^+$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Interversion limite–intégrale : quel théorème, et sur quelle forme de $g$ ?
> [!INDICATION]
> Le théorème de convergence dominée porte sur des suites de fonctions : passez par une suite $x_p\to0^+$.
#### Solution
Soit $(x_p)$ une suite de $]0,+\infty[$ de limite nulle et $f_p(u)=\frac{\mathrm{e}^{ix_pu}}{1+u^2}$. Les $f_p$ sont continues, convergent simplement vers $u\mapsto\frac{1}{1+u^2}$, et $|f_p(u)|=\frac{1}{1+u^2}$, fonction intégrable indépendante de $p$. Par convergence dominée, $g(x_p)\to\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\pi$. Par caractérisation séquentielle de la limite :
$$\boxed{\lim_{x\to0^+}g(x)=\pi.}$$
> [!METHODE]
> Pour une limite d'intégrale à paramètre réel, on applique la convergence dominée à une suite quelconque tendant vers le point, puis la caractérisation séquentielle. Choisir l'écriture où la domination est évidente.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Théorème de classe $\mathcal{C}^2$ des intégrales à paramètre. Sur quelle forme de $g$ les dérivées en $x$ restent-elles intégrables en la variable d'intégration ?
> [!INDICATION]
> Dérivez $\frac{x}{x^2+t^2}$ deux fois en $x$, puis dominez la dérivée seconde pour $x$ dans un segment $[a,b]$ avec $a>0$.
#### Solution
La forme de Q10 ne convient pas : sa dérivée en $x$ fait apparaître $\frac{iu\,\mathrm{e}^{ixu}}{1+u^2}$, de module équivalent à $1/|u|$, non intégrable. On travaille donc sur $h$.
Pour $t$ fixé, $x\mapsto h(x,t)$ est $\mathcal{C}^2$ sur $]0,+\infty[$ avec
$$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{t^2-x^2}{(x^2+t^2)^2}\mathrm{e}^{it},\qquad\frac{\partial^2h}{\partial x^2}=\frac{2x(x^2-3t^2)}{(x^2+t^2)^3}\mathrm{e}^{it}.$$
- $t\mapsto h(x,t)$ est intégrable (Q9) ; $t\mapsto\partial_xh(x,t)$ est continue et intégrable, car $|\partial_xh|\le\frac{1}{x^2+t^2}$.
- Pour $x\in[a,b]\subset\,]0,+\infty[$, $|2x(x^2-3t^2)|\le6x(x^2+t^2)$ donne
$$\left|\frac{\partial^2h}{\partial x^2}(x,t)\right|\le\frac{6x}{(x^2+t^2)^2}\le\frac{6b}{(a^2+t^2)^2},$$
fonction de $t$ seule, intégrable sur $\mathbb{R}$.
Le théorème de régularité (avec domination sur tout segment) montre que **$g$ est $\mathcal{C}^2$ sur $]0,+\infty[$**, avec $g''(x)=\int_{\mathbb{R}}\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}(x,t)\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t$.
> [!PIEGE]
> La domination ne peut pas être globale sur $]0,+\infty[$ : en $t=0$ le majorant vaut $6/x^3$, qui explose en $0^+$. On domine sur les segments, ce qui suffit puisque la régularité est une propriété locale.
> [!METHODE]
> Une même intégrale peut avoir plusieurs écritures : on choisit celle qui rend chaque hypothèse (domination, intégrabilité des dérivées) facile à vérifier, quitte à changer d'écriture d'une question à l'autre.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Le calcul est direct ; posez $D=x^2+t^2$ pour l'alléger.
> [!INDICATION]
> L'identité permet de remplacer la dérivée seconde en $x$ par une dérivée seconde en $t$ sous l'intégrale. Que donnent deux intégrations par parties face à $\mathrm{e}^{it}$ ?
> [!INDICATION]
> Intégrez par parties sur $[-A,A]$, puis faites tendre $A$ vers $+\infty$.
#### Solution
Avec $D=x^2+t^2$ :
$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big(\frac{x}{D}\Big)=\frac{-2xD-4x(t^2-x^2)}{D^3}=\frac{2x^3-6xt^2}{D^3},\qquad\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big(\frac{x}{D}\Big)=\frac{-2xD+8xt^2}{D^3}=\frac{6xt^2-2x^3}{D^3},$$
donc
$$\boxed{\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big(\frac{x}{x^2+t^2}\Big)+\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big(\frac{x}{x^2+t^2}\Big)=0.}$$
Fixons $x>0$ et $\psi(t)=\varphi(x,t)$. Par Q12 et l'identité, $g''(x)=-\int_{\mathbb{R}}\psi''(t)\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t$. Les fonctions $\psi$, $\psi'=\frac{-2xt}{D^2}$, $\psi''$ sont continues et intégrables (équivalentes à $x/t^2$, $-2x/t^3$, $6x/t^4$ en $\pm\infty$). Pour $A>0$,
$$\int_{-A}^{A}\psi''\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t=\Big[\psi'\mathrm{e}^{it}\Big]_{-A}^{A}-i\Big[\psi\mathrm{e}^{it}\Big]_{-A}^{A}-\int_{-A}^{A}\psi\,\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t,$$
car la seconde intégration par parties introduit $(-i)^2=-1$. Les crochets tendent vers $0$ car $\psi(\pm A)\to0$ et $\psi'(\pm A)\to0$. À la limite, $\int_{\mathbb{R}}\psi''\mathrm{e}^{it}=-g(x)$, d'où $g''(x)=g(x)$ : **$g$ est solution de $y''-y=0$ sur $]0,+\infty[$**.
> [!METHODE]
> La fonction $(x,t)\mapsto\frac{x}{x^2+t^2}$ est harmonique (c'est la partie réelle de $\frac{1}{x-it}$). L'identité $\partial_x^2\varphi=-\partial_t^2\varphi$ transfère la dérivation du paramètre vers la variable d'intégration, où l'intégration par parties la fait porter sur $\mathrm{e}^{it}$.
> [!PIEGE]
> Faire une intégration par parties directement sur $\mathbb{R}$ sans contrôler les crochets, ou se tromper sur le signe de $(-i)^2$ : on obtiendrait $y''+y=0$, incompatible avec la suite.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Résolvez l'équation linéaire à coefficients constants ; il reste deux constantes, et deux questions précédentes donnent deux informations.
> [!INDICATION]
> Une constante est éliminée par le comportement en $+\infty$, l'autre est fixée en $0^+$.
#### Solution
L'équation caractéristique $r^2-1=0$ a pour racines $\pm1$ ; sur l'intervalle $]0,+\infty[$, il existe $(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2$ tel que $g(x)=\alpha\mathrm{e}^{x}+\beta\mathrm{e}^{-x}$.
- Si $\alpha\neq0$, $|g(x)|\ge|\alpha|\mathrm{e}^{x}-|\beta|\to+\infty$, contredisant $|g|\le\pi$ (Q10). Donc $\alpha=0$.
- $g(x)=\beta\mathrm{e}^{-x}\to\beta$ en $0^+$, donc $\beta=\pi$ (Q11).
$$\boxed{\forall x>0,\quad g(x)=\pi\mathrm{e}^{-x}.}$$
En séparant parties réelle et imaginaire (le sinus donne une intégrande impaire), on obtient aussi $\int_{\mathbb{R}}\frac{x\cos t}{x^2+t^2}\,\mathrm{d}t=\pi\mathrm{e}^{-x}$.
> [!PIEGE]
> Les constantes sont a priori complexes, puisque $g$ est définie par une intégrale complexe. Le raisonnement n'en dépend pas, mais il ne faut pas supposer $\alpha,\beta$ réels sans le dire.
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## Partie II - Formule sommatoire de Poisson
On étudie la périodisée $F$ de $f:t\mapsto\frac{1}{1+t^2}$ et l'on montre que ses coefficients de Fourier sont les valeurs de $\int_{\mathbb{R}}f(t)\mathrm{e}^{-2i\pi kt}\,\mathrm{d}t$. Outils : séries de fonctions, convergence normale sur un segment, intégration terme à terme.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Pour $x$ fixé, cherchez un équivalent de $f(x\pm n)$ quand $n\to+\infty$.
> [!INDICATION]
> Pour la périodicité, changez d'indice dans chacune des deux séries et regardez quel terme passe de l'une à l'autre.
#### Solution
Pour $x$ fixé, $f(x\pm n)\ge0$ et $f(x\pm n)\sim\frac{1}{n^2}$ ; par comparaison à la série de Riemann $\sum\frac{1}{n^2}$, les deux séries convergent : **$F$ est définie sur $\mathbb{R}$**.
Les séries étant convergentes, on peut décaler les indices :
$$\sum_{n=0}^{+\infty}f(x+1+n)=\sum_{m=0}^{+\infty}f(x+m)-f(x),\qquad\sum_{n=1}^{+\infty}f(x+1-n)=f(x)+\sum_{m=1}^{+\infty}f(x-m).$$
En sommant, $F(x+1)=F(x)$ : **$F$ est 1-périodique**.
> [!PIEGE]
> Écrire « $F(x+1)=F(x)$ par translation de l'indice » sans détailler : tout le contenu est le transfert du terme $f(x)$ d'une série à l'autre.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Sur $[0,1]$, majorez $f(x+n)$ et $f(x-n)$ par des constantes indépendantes de $x$.
> [!INDICATION]
> Pour $f(x-n)$, minorez $|x-n|$ sur $[0,1]$ avec soin. Pour passer à $\mathbb{R}$, utilisez Q15 sur chaque $[k,k+1]$.
#### Solution
Pour $x\in[0,1]$ et $n\ge1$ : $x+n\ge n$, donc $0\le f(x+n)\le\frac{1}{1+n^2}$ ; $|x-n|\ge n-1$, donc $0\le f(x-n)\le\frac{1}{1+(n-1)^2}$. Ces majorants sont sommables : les deux séries de fonctions continues convergent normalement, donc uniformément, sur $[0,1]$. **$F$ est continue sur $[0,1]$.**
Pour $k\in\mathbb{Z}$ et $x\in[k,k+1]$, $F(x)=F(x-k)$ (périodicité), et $x\mapsto F(x-k)$ est continue sur $[k,k+1]$ par composition. $F$ est donc continue sur chaque $[k,k+1]$ ; en un entier $k$, les continuités sur $[k-1,k]$ et $[k,k+1]$ donnent la continuité à gauche et à droite. **$F$ est continue sur $\mathbb{R}$.**
> [!PIEGE]
> Majorer $f(x-n)$ par $\frac{1}{1+n^2}$ est faux en $x=1$. Et la convergence n'est pas normale sur $\mathbb{R}$ : $\sup_{\mathbb{R}}f(\cdot+n)=1$ pour tout $n$. D'où le passage par un segment, puis la périodicité.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Remplacez $F$ par sa série dans $c_k(F)$ et justifiez l'interversion série–intégrale sur $[0,1]$.
> [!INDICATION]
> Dans chaque intégrale, translatez la variable ; que vaut $\mathrm{e}^{2i\pi kn}$ ? Recollez ensuite les intervalles $[n,n+1]$.
#### Solution
Soit $k\in\mathbb{Z}$. $F$ est continue et 1-périodique, donc $c_k(F)$ existe. Les termes $f(t\pm n)\mathrm{e}^{-2i\pi kt}$ ont les mêmes majorants qu'en Q16 : convergence uniforme sur le segment $[0,1]$, intégration terme à terme :
$$c_k(F)=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1f(t+n)\mathrm{e}^{-2i\pi kt}\,\mathrm{d}t+\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^1f(t-n)\mathrm{e}^{-2i\pi kt}\,\mathrm{d}t.$$
Avec $s=t\pm n$ et $\mathrm{e}^{\pm2i\pi kn}=1$, ces intégrales valent $\int_n^{n+1}f(s)\mathrm{e}^{-2i\pi ks}\,\mathrm{d}s$ et $\int_{-n}^{-n+1}f(s)\mathrm{e}^{-2i\pi ks}\,\mathrm{d}s$. La fonction $s\mapsto f(s)\mathrm{e}^{-2i\pi ks}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ (module $f$) ; par Chasles, les sommes partielles valent $\int_0^{N+1}$ et $\int_{-N}^0$, de limites $\int_0^{+\infty}$ et $\int_{-\infty}^0$. Donc
$$\boxed{\forall k\in\mathbb{Z},\quad c_k(F)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm{e}^{-2i\pi kt}\,\mathrm{d}t.}$$
> [!METHODE]
> C'est le cœur de la formule de Poisson : les coefficients de Fourier de la périodisée sont les valeurs aux entiers de la transformée de Fourier de $f$. Retenir la technique : interversion sur une période, translation, recollement par Chasles.
> [!JURY]
> Les trois justifications attendues sont l'interversion série–intégrale (avec son hypothèse), l'égalité $\mathrm{e}^{2i\pi kn}=1$ parce que $k$ et $n$ sont entiers, et la convergence de l'intégrale sur $\mathbb{R}$ avant de la découper.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Posez $m=n+k$ et distinguez deux cas avant d'écrire une primitive.
#### Solution
Si $n+k=0$, l'intégrande vaut $1$ et l'intégrale vaut $1$. Si $m=n+k\neq0$,
$$\int_0^1\mathrm{e}^{-2i\pi mt}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{\mathrm{e}^{-2i\pi mt}}{-2i\pi m}\right]_0^1=\frac{\mathrm{e}^{-2i\pi m}-1}{-2i\pi m}=0.$$
$$\boxed{\int_0^1\mathrm{e}^{-2i\pi(n+k)t}\,\mathrm{d}t=\begin{cases}1&\text{si }n+k=0,\\0&\text{sinon.}\end{cases}}$$
> [!PIEGE]
> Écrire la primitive $\frac{\mathrm{e}^{-2i\pi mt}}{-2i\pi m}$ sans avoir écarté $m=0$.
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## Partie III - Applications
On calcule les $c_k(F)$ grâce à la partie I, on construit la série trigonométrique $G$ ayant ces coefficients, on identifie $F=G$ par le résultat d'unicité admis, puis on somme une série géométrique.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Q17 ramène $c_k(F)$ à une intégrale sur $\mathbb{R}$ ; pour $k=0$ elle est immédiate.
> [!INDICATION]
> Pour $k>0$, comparez avec l'écriture de $g$ obtenue en Q10 : quel $x$ choisir, et comment changer le signe de l'exposant ?
#### Solution
Par Q17, $c_0(F)=\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\pi$.
Soit $k\in\mathbb{N}^*$. Par Q17 puis le changement de variable $u=-t$ (bijection $\mathcal{C}^1$ strictement décroissante, licite sur une intégrale absolument convergente) :
$$c_k(F)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-2i\pi kt}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{2i\pi ku}}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=g(2\pi k)$$
d'après Q10 avec $x=2\pi k>0$. Par Q14 :
$$\boxed{c_0(F)=\pi,\qquad\forall k\in\mathbb{N}^*,\ c_k(F)=\pi\mathrm{e}^{-2\pi k}.}$$
Avec le résultat admis, $c_k(F)=\pi\mathrm{e}^{-2\pi|k|}$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$. (Variante : l'intégrande en sinus est impaire, donc $c_k(F)=\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(2\pi kt)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$, qui est la partie réelle de $g(2\pi k)$.)
> [!PIEGE]
> La partie I donne $g$ seulement pour $x>0$ : il faut se ramener à $\mathrm{e}^{+ixu}$ avec $x=2\pi k>0$, et ne pas évaluer $g$ en $-2\pi k$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Majorez le module de chaque terme par une quantité indépendante de $x$.
> [!INDICATION]
> Pour la périodicité, raisonnez sur les sommes partielles puis passez à la limite.
#### Solution
Avec $q=\mathrm{e}^{-2\pi}\in\,]0,1[$ et Q19, $|c_n(F)\mathrm{e}^{2i\pi nx}|=|c_{-n}(F)\mathrm{e}^{-2i\pi nx}|=\pi q^n$, majorant indépendant de $x$ et sommable. Les deux séries de fonctions continues convergent normalement sur $\mathbb{R}$ : **$G$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$**.
Chaque terme est 1-périodique ($\mathrm{e}^{\pm2i\pi n}=1$), donc chaque somme partielle $S_N$ aussi ; en passant à la limite dans $S_N(x+1)=S_N(x)$, on obtient **$G(x+1)=G(x)$**.
> [!METHODE]
> Contraste avec Q16 : des coefficients à décroissance géométrique devant des exponentielles de module 1 donnent la convergence normale sur $\mathbb{R}$ entier.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Le résultat admis ramène tout à l'égalité des coefficients de Fourier ; vérifiez d'abord ses hypothèses pour $F$ et $G$.
> [!INDICATION]
> Calculez $c_k(G)$ en intégrant terme à terme et en appliquant Q18 ; discutez selon le signe de $k$.
#### Solution
$F$ (Q15, Q16) et $G$ (Q20) sont continues et 1-périodiques : il suffit d'établir $c_k(G)=c_k(F)$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
Soit $k\in\mathbb{Z}$. La convergence normale de Q20 subsiste après multiplication par $\mathrm{e}^{-2i\pi kt}$ ; on intègre terme à terme sur $[0,1]$ :
$$c_k(G)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(F)\int_0^1\mathrm{e}^{-2i\pi(-n+k)t}\,\mathrm{d}t+\sum_{n=1}^{+\infty}c_{-n}(F)\int_0^1\mathrm{e}^{-2i\pi(n+k)t}\,\mathrm{d}t.$$
Par Q18, la première intégrale vaut $1$ si $n=k$, $0$ sinon ; la seconde vaut $1$ si $n=-k$, $0$ sinon.
- $k\ge0$ : seul le terme $n=k$ de la première série subsiste ; la seconde exigerait $n=-k\le0$, exclu. $c_k(G)=c_k(F)$.
- $k<0$ : la première exigerait $n=k<0$, exclu ; dans la seconde, seul $n=-k\ge1$ subsiste, de coefficient $c_{-n}(F)=c_k(F)$. $c_k(G)=c_k(F)$.
Par le résultat admis :
$$\boxed{F=G.}$$
> [!JURY]
> Avant d'invoquer un résultat admis, on cite explicitement les questions qui en établissent les hypothèses. La discussion sur le signe de $k$ doit montrer qu'il subsiste exactement un terme.
### Question 22
> [!INDICATION]
> $G$ est la somme de deux séries géométriques complexes.
> [!INDICATION]
> Posez $z=\mathrm{e}^{-2\pi}\mathrm{e}^{2i\pi x}$ et réduisez au même dénominateur $|1-z|^2$.
#### Solution
Soit $x\in\mathbb{R}$, $q=\mathrm{e}^{-2\pi}$ et $z=q\mathrm{e}^{2i\pi x}$, de module $q<1$. Par Q19 et Q21,
$$F(x)=\pi\sum_{n=0}^{+\infty}z^n+\pi\sum_{n=1}^{+\infty}\overline{z}^{\,n}=\pi\left(\frac{1}{1-z}+\frac{\overline{z}}{1-\overline{z}}\right)=\pi\,\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}.$$
Comme $|1-z|^2=1-2q\cos(2\pi x)+q^2$ :
$$\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\quad F(x)=\frac{\pi\left(1-\mathrm{e}^{-4\pi}\right)}{1-2\mathrm{e}^{-2\pi}\cos(2\pi x)+\mathrm{e}^{-4\pi}}=\frac{\pi\,\mathrm{sh}(2\pi)}{\mathrm{ch}(2\pi)-\cos(2\pi x)}.}$$
Contrôles :
- $F$ est réelle, strictement positive et 1-périodique, comme attendu.
- En $x=0$ : $F(0)=\pi\frac{1+q}{1-q}=\frac{\pi\,\mathrm{ch}\,\pi}{\mathrm{sh}\,\pi}$, d'où $\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi}{\mathrm{th}\,\pi}$.
- Comme $q\approx1{,}9\cdot10^{-3}$, $F(x)=\pi\big(1+2q\cos(2\pi x)+O(q^2)\big)$ : $F$ est presque constante, égale à sa valeur moyenne $c_0(F)=\pi$ à quelques millièmes près.
> [!METHODE]
> Pour sommer $\sum_{n\in\mathbb{Z}}r^{|n|}\mathrm{e}^{2i\pi nx}$, on écrit deux séries géométriques conjuguées : on obtient le noyau de Poisson $\frac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi x)+r^2}$, résultat classique à reconnaître.
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## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- SQL : regrouper par la clé primaire ; `DISTINCT` après une projection ou une autojointure ; `EXCEPT` ou `NOT IN` pour une non-existence ; jointure externe à gauche pour garder les lignes sans correspondant.
- Fonctions génératrices : domination $|P(X=n)t^n|\le P(X=n)$ ; produit de Cauchy et décomposition de $(X+Y=n)$ ; unicité des coefficients pour identifier une loi.
- Intégrales à paramètre : convergence dominée via une suite pour une limite ; théorème $\mathcal{C}^k$ avec domination sur les segments ; choisir l'écriture de l'intégrale adaptée à chaque hypothèse.
- Méthode de l'équation différentielle : obtenir une EDO vérifiée par l'intégrale, puis fixer les constantes par des informations qualitatives (bornitude, limite).
- Séries de fonctions : convergence normale sur un segment, transport par périodicité ; intégration terme à terme sur un segment.
- Fourier : orthogonalité $\int_0^1\mathrm{e}^{2i\pi(n-k)t}\,\mathrm{d}t=\delta_{n,k}$ ; unicité par les coefficients.
**Prérequis à revoir.** Énoncés précis des théorèmes de convergence dominée et de régularité des intégrales à paramètre ; changement de variable dans une intégrale généralisée (cas croissant et décroissant) ; produit de Cauchy ; fonctions génératrices des lois usuelles ; syntaxe SQL des jointures et des agrégats.
**Questions classiques transposables.** Le calcul de $\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(xt)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=\pi\mathrm{e}^{-|x|}$ par une équation différentielle, la stabilité des lois de Poisson par somme indépendante, la somme $\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi}{\mathrm{th}\,\pi}$ et, plus généralement, la formule sommatoire de Poisson $\sum_n f(x+n)=\sum_k\hat f(k)\mathrm{e}^{2i\pi kx}$ reviennent régulièrement dans les sujets d'analyse.
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