Physique-chimie
CCINPMP2026
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## Présentation du sujet
**Cadre.** Épreuve spécifique MP2PC, 4 heures, **calculatrices interdites**. Une annexe donne les logarithmes décimaux des données et une courbe de $\log_{10}x$ sur $[1,10]$ ; les résultats numériques peuvent être donnés avec un seul chiffre significatif. Le sujet, intitulé « Notre Terre : attractive, si chaleureuse et… magn(if)(ét)ique », compte **33 questions** (Q1 à Q33, plusieurs avec des sous-questions) en six parties indépendantes.
**Données générales.** $R_T=6{,}4\cdot10^6$ m ; $M_T=6{,}0\cdot10^{24}$ kg ; $G=6{,}7\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ ; $\Omega=7{,}3\cdot10^{-5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; $C\approx10^3\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ; $\mathcal N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$. Pour la chimie : $R=8{,}31\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$, masses molaires de C, O, Mg, Ca (12, 16, 24, 40), $K_e=10^{-14}$.
**Les six parties.**
- *Partie I (Q1–Q3)* : analogie gravitation/électrostatique, théorème de Gauss gravitationnel, champ d'une boule homogène, puis détection d'un gisement de pétrole par superposition.
- *Partie II (Q4–Q8)* : poids dans le référentiel terrestre (force d'inertie d'entraînement), négligeabilité de Coriolis, énergies potentielles et forme approchée de l'équipotentielle de pesanteur : aplatissement de la Terre.
- *Partie III (Q9–Q10)* : gravimètre absolu à interférométrie (Mach-Zehnder et coins de cube) : différence de marche, minima d'intensité, exploitation d'une droite.
- *Partie IV (Q11–Q19)* : chimie. IV.1 thermodynamique de la calcination (approximation d'Ellingham, rupture d'équilibre) ; IV.2 ciment : formules de Bogue mises en matrice en Python, eau de gâchage, solubilité, corrosion et passivation, composition d'une argile ; IV.3 diacide carbonique, diagramme de distribution et pH d'une pluie en équilibre avec l'air.
- *Partie V (Q20–Q29)* : résistance thermique et mesure de conductivité ; énergie gravitationnelle d'une boule, température d'accrétion ; décroissance radioactive et puissance volumique ; bilan thermique en sphérique avec source et profil de température.
- *Partie VI (Q30–Q33)* : champ d'un dipôle magnétique, lignes de champ, composantes horizontale et verticale, estimation du moment dipolaire terrestre.
**Notions du programme mobilisées.** Théorème de Gauss et symétries ; dynamique en référentiel en rotation uniforme ; énergie potentielle ; développement limité au premier ordre ; interférences à deux ondes ; enthalpie libre standard, constante d'équilibre, quotient réactionnel ; stœchiométrie ; produit de solubilité ; oxydoréduction et corrosion ; couples acide-base ; diffusion thermique et résistance thermique ; premier principe infinitésimal ; décroissance radioactive (équation différentielle d'ordre 1) ; champ magnétique, lignes de champ.
**Difficulté et longueur.** Sujet long mais peu calculatoire, avec beaucoup de questions de cours. Les difficultés sont localisées : Q8 (développement limité justifié), Q10 (lecture du montage et comptage des minima), Q12a (deux équilibres hétérogènes), Q14 (sens de la matrice), Q19 (concentration imposée par la phase gazeuse), Q26 (lecture graphique justifiée), Q29d (commentaire).
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q2, Q4, Q5, Q7, Q9, Q11, Q13, Q16a, Q18, Q20, Q22, Q24, Q30, Q33 sont des applications directes du cours.
**Gestion du temps.** Environ 30 min pour la partie I, 40 min pour la II, 25 min pour la III, 1 h 10 pour la IV, 1 h pour la V et 15 min pour la VI. Comme les parties sont indépendantes, on peut commencer par la VI et la V.1, très proches du cours.
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## Partie I — Champ gravitationnel et champ de pesanteur
On établit le théorème de Gauss gravitationnel par analogie, on l'applique à une boule homogène, puis on utilise la superposition pour modéliser une cavité de densité différente.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Écrire côte à côte les deux champs en $1/r^2$ et identifier terme à terme.
> [!INDICATION]
> Attention au signe : la gravitation est toujours attractive. Que devient alors $1/\varepsilon_0$ ?
#### Solution
Une masse $m$ et une charge $q$ placées en $O$ créent en $M$ ($\overrightarrow{OM}=r\,\vec u_r$) :
$$\vec G(M)=-\frac{Gm}{r^2}\,\vec u_r,\qquad \vec E(M)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec u_r .$$
L'identification $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\leftrightarrow-Gm$ donne
$$\boxed{q\leftrightarrow m,\qquad \frac1{\varepsilon_0}\leftrightarrow-4\pi G}$$
Le théorème de Gauss électrostatique $\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S_{\rm ext}=Q_{\rm int}/\varepsilon_0$ devient : le flux de $\vec G$ sortant d'une surface **fermée** $S$ vaut $-4\pi G$ fois la masse intérieure,
$$\boxed{\oint_S\vec G(P)\cdot\mathrm d\vec S_{\rm ext}=-4\pi G\iiint_V\mu(P)\,\mathrm d\tau}$$
> [!PIEGE]
> Oublier le signe $-$ : l'analogue de $\varepsilon_0$ est négatif, c'est la trace mathématique de l'attraction. Ce signe se propage dans tout le sujet.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Commencer par les symétries et invariances de la boule pour obtenir la direction et les variables du champ.
> [!INDICATION]
> Choisir une surface de Gauss sphérique et distinguer $r\ge R_T$ et $r\le R_T$ : la masse intérieure n'est pas la même.
#### Solution
La distribution est invariante par toute rotation autour de $O$ : la norme du champ ne dépend que de $r$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie : $\vec G_T(M)=G(r)\,\vec u_r$. Sur la sphère de rayon $r$ : $4\pi r^2G(r)=-4\pi G M_{\rm int}(r)$.
$$\boxed{\vec G_T=-\frac{GM_T}{r^2}\vec u_r=-\frac{4\pi G\mu_TR_T^3}{3r^2}\vec u_r\ \ (r\ge R_T),\qquad \vec G_T=-\frac{4\pi G\mu_T}{3}\,r\,\vec u_r\ \ (r\le R_T)}$$
Le champ est nul au centre, croît linéairement jusqu'à la surface puis décroît en $1/r^2$ ; les deux expressions se raccordent en $R_T$.
> [!METHODE]
> Symétries (direction) puis invariances (variables) puis surface de Gauss adaptée : c'est l'ordre attendu, dans toute la physique des champs à symétrie sphérique ou cylindrique.
> [!JURY]
> « En tout point de l'espace » impose de traiter l'intérieur et l'extérieur. Le raccordement en $r=R_T$ est un contrôle de cohérence qui ne coûte qu'une ligne.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Une cavité de masse volumique $\mu_p$ dans un milieu $\mu_T$ équivaut à la superposition du milieu plein et d'une boule de masse volumique bien choisie.
> [!INDICATION]
> La boule fictive a pour masse volumique $\mu_p-\mu_T$, négative. Le point $M$ lui est extérieur : appliquer le résultat de Q2.
#### Solution
Superposition de la Terre homogène et d'une boule de centre $C$, de rayon $r'$, de masse $m'=\frac43\pi r'^3(\mu_p-\mu_T)<0$. En $M$ ($\vec u_r=\vec u_z$, $CM=d>r'$) :
$$G_T(M)=-\frac{4\pi G\mu_TR_T}{3},\qquad \vec G_{\rm corr}=-\frac{Gm'}{d^2}\vec u_z=+\frac{4\pi Gr'^3(\mu_T-\mu_p)}{3d^2}\vec u_z,$$
$$\boxed{G_{Tp}(M)=-\frac{4\pi G}{3}\left[\mu_TR_T-\frac{(\mu_T-\mu_p)r'^3}{d^2}\right]},\qquad\boxed{\varepsilon=\left(1-\frac{\mu_p}{\mu_T}\right)\left(\frac{r'}{d}\right)^2\frac{r'}{R_T}}$$
$\varepsilon>0$ : le champ correcteur, vers le haut, s'oppose au champ terrestre ; **le champ est moins intense** au-dessus du pétrole, moins dense que la roche.
$$\varepsilon=\frac56\times\frac14\times2{,}5\cdot10^{-4}\approx\boxed{5\cdot10^{-5}}$$
C'est environ $5\cdot10^3$ fois la précision des gravimètres ($10^{-8}$) : le gisement est détectable.
> [!PIEGE]
> Superposer la Terre pleine et une boule de masse volumique $\mu_p$ revient à compter deux fois la matière à l'emplacement du gisement. C'est la **différence** $\mu_p-\mu_T$ qu'on ajoute.
> [!METHODE]
> Pour conclure sur « plus ou moins intense » avec des composantes algébriques négatives, raisonner explicitement sur les normes.
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## Partie II — Forme de la Terre
On passe dans le référentiel terrestre, non galiléen. Le poids inclut la force d'inertie d'entraînement ; on en déduit une énergie potentielle de pesanteur, et la surface équipotentielle donne l'aplatissement de la Terre.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Écrire les forces d'inertie dans un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe.
> [!INDICATION]
> Le poids se mesure sur un corps au repos dans le référentiel terrestre : que devient alors la force de Coriolis ?
#### Solution
Dans $R'$, en rotation uniforme $\vec\Omega=\Omega\vec u_z$ par rapport au référentiel géocentrique galiléen :
$$\vec F_{ie}=-m\vec a_e=m\Omega^2\overrightarrow{HM},\qquad \vec F_{ic}=-2m\vec\Omega\wedge\vec v_{R'} .$$
Le poids est défini pour un corps au repos dans $R'$ : $\vec v_{R'}=\vec 0$, la force de Coriolis est nulle, et
$$\vec P=m\vec g=m\Big(\underbrace{-\frac{GM_T}{r^2}\vec u_r}_{\text{gravitation}}+\underbrace{\Omega^2\overrightarrow{HM}}_{\text{inertie d'entraînement}}\Big).$$
Ordre de grandeur : $\log\dfrac{GM_T}{R_T^2}=-10{,}17+24{,}78-13{,}62=0{,}99$, donc $\boxed{g\approx10\ \mathrm{m\,s^{-2}}}$ ($9{,}8$).
Le terme gravitationnel est radial et centripète ; le terme d'entraînement est perpendiculaire à l'axe des pôles et dirigé vers l'extérieur. Leur somme n'est donc pas exactement radiale (sauf aux pôles et à l'équateur) : c'est ce qui définit la verticale locale, légèrement différente de la direction du centre de la Terre.
> [!PIEGE]
> $\overrightarrow{HM}$ joint l'axe des pôles au point (norme $r\sin\theta$), ce n'est pas $\overrightarrow{OM}$. L'accélération d'entraînement est centripète, la force d'inertie est axifuge.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Majorer la norme d'un produit vectoriel par le produit des normes, puis comparer au poids.
#### Solution
$\|\vec F_{ic}\|\le2m\Omega v$, d'où
$$\frac{\|\vec F_{ic}\|}{mg}\le\frac{2\Omega v}{g}=\frac{2\times7{,}3\cdot10^{-5}\times100}{9{,}8}\approx\boxed{1{,}5\cdot10^{-3}}$$
La force de Coriolis vaut au plus 0,15 % du poids : elle est négligeable.
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre $v$, vitesse du train dans le référentiel terrestre, avec la vitesse d'entraînement d'un point de l'équateur, $\Omega R_T\approx470\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, qui n'intervient pas dans la force de Coriolis.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Exprimer le rapport en un point de colatitude $\theta$ à la surface ; où est-il maximal ?
> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique, prendre le logarithme de l'expression littérale et utiliser l'annexe.
#### Solution
$$\frac{\Omega^2R_T\sin\theta}{GM_T/R_T^2}=\frac{\Omega^2R_T^3}{GM_T}\sin\theta\le\boxed{\eta=\frac{\Omega^2R_T^3}{GM_T}}$$
avec égalité à l'équateur. $\log\eta=2(-4{,}14)+3(6{,}81)+10{,}17-24{,}78=-2{,}46$, d'où $\boxed{\eta\approx3{,}5\cdot10^{-3}}$ (soit $3\cdot10^{-3}$ à un chiffre). Le terme d'entraînement est une petite correction (0,3 %) au champ de gravitation, mais c'est elle qui aplatit la Terre (Q8).
> [!METHODE]
> Sans calculatrice : $\log(\text{expression})=\sum\pm k\log(\text{donnée})$, puis lecture de $10^{\text{partie décimale}}$ sur la courbe de l'annexe ($10^{0{,}54}\approx3{,}5$).
### Question 7
> [!INDICATION]
> Dans chaque cas, calculer le travail élémentaire $\delta W=\vec F\cdot\mathrm d\vec\ell$ et l'écrire comme $-\mathrm dE_p$.
> [!INDICATION]
> Pour (b), utiliser la distance $\rho$ à l'axe comme variable : la force est portée par le vecteur unitaire de $\overrightarrow{HM}$.
#### Solution
**a)** $\delta W=-\dfrac{GM_Tm}{r^2}\mathrm dr=-\mathrm d\!\left(-\dfrac{GM_Tm}{r}\right)$, nulle à l'infini : $\boxed{E_{pG}=-\dfrac{GM_Tm}{r}}$
**b)** $\vec F_e=m\Omega^2\rho\,\vec u_\rho$ ; seule la composante $\mathrm d\rho$ de $\mathrm d\vec\ell$ travaille : $\delta W=m\Omega^2\rho\,\mathrm d\rho=-\mathrm d\!\left(-\frac12m\Omega^2\rho^2\right)$. Nulle en $r=0$ :
$$\boxed{E_{pe}=-\frac12m\Omega^2\left(\overrightarrow{HM}\right)^2=-\frac12m\Omega^2r^2\sin^2\theta}$$
**c)** $\boxed{E_{pp}=-\dfrac{GM_Tm}{r}-\dfrac12m\Omega^2r^2\sin^2\theta}$
> [!PIEGE]
> L'énergie potentielle centrifuge est négative et décroît quand on s'éloigne de l'axe : la force pousse vers les $\rho$ croissants.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Écrire l'égalité $E_{pp}(M)=E_{pp}(N)$ et isoler $1/r$.
> [!INDICATION]
> Le terme centrifuge est petit (Q6) : développer au premier ordre et, dans le terme correctif, remplacer $r$ par $r_n$.
> [!INDICATION]
> Pour faire apparaître $\eta$, il faut faire intervenir $R_T^3$ au numérateur et au dénominateur.
#### Solution
$$\frac{GM_T}{r}+\frac12\Omega^2r^2\sin^2\theta=\frac{GM_T}{r_n}\iff r=\frac{r_n}{1-\dfrac{\Omega^2r_nr^2\sin^2\theta}{2GM_T}} .$$
Le terme soustrait est d'ordre $\eta/2\ll1$ ; au premier ordre, $(1-u)^{-1}\approx1+u$ et $r\approx r_n$ dans la correction (erreur du second ordre) :
$$\boxed{r(\theta)\approx r_n(1+\varepsilon\sin^2\theta),\qquad\varepsilon=\frac{\Omega^2r_n^3}{2GM_T}=\frac\eta2\left(\frac{r_n}{R_T}\right)^3}$$
Allure (figure 1) : $r_n$ aux pôles, $r_n(1+\varepsilon)$ à l'équateur ; cercle légèrement aplati aux pôles (ellipse au premier ordre).
$$\boxed{\varepsilon'=\frac{r_e-r_n}{r_n}=\varepsilon\approx\frac\eta2\approx1{,}7\cdot10^{-3}\approx\frac1{580}}$$
Ordre de grandeur de l'effet : $r_e-r_n=\varepsilon r_n\approx1{,}7\cdot10^{-3}\times6{,}4\cdot10^6\approx11$ km. Le modèle prévoit donc un renflement équatorial d'une dizaine de kilomètres (la valeur réelle, environ 21 km, est du même ordre).
> [!METHODE]
> Équation implicite avec un petit paramètre : résoudre à l'ordre 0 ($r=r_n$), puis réinjecter dans le terme correctif. C'est le principe d'un développement perturbatif ; il faut annoncer l'ordre auquel on travaille.
> [!PIEGE]
> L'aplatissement réel ($1/298$) est environ double : ce n'est pas une erreur de calcul, le modèle suppose un champ de gravitation sphérique alors que la Terre déformée ne l'est plus.
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## Partie III — Détermination optique du champ de pesanteur
Un coin de cube en chute libre modifie la différence de marche d'un interféromètre ; chaque minimum d'intensité marque une variation de $\lambda$ de cette différence de marche. On en tire $g$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Pour (a), écrire $g(h)$ et faire un développement limité en $h/R_T$.
> [!INDICATION]
> Pour (b), attention à l'orientation imposée de l'axe.
#### Solution
**a)** $\dfrac{g(h)-g(0)}{g(0)}=\left(1+\dfrac h{R_T}\right)^{-2}-1\approx-\dfrac{2h}{R_T}\approx\boxed{-3\cdot10^{-7}}$ : $g$ peut être tenu pour constant sur 1 m.
**b)** $\ddot z_1=+g$ (axe descendant), $z_1(0)=\dot z_1(0)=0$ : $\boxed{z_1(t)=\frac12gt^2}$
### Question 10
> [!INDICATION]
> Suivre sur la figure 3(a) le trajet de chaque rayon depuis $S_{p1}$ jusqu'à $P$, en notant qu'un coin de cube renvoie la lumière parallèlement à elle-même.
> [!INDICATION]
> Repérer chaque point par sa cote : les longueurs fixes du montage doivent se compenser, seule subsiste la position relative des sommets des coins de cube.
> [!INDICATION]
> Pour (b) et (c) : entre deux minima successifs, de combien varie la différence de marche ? Puis chercher une grandeur qui soit proportionnelle à $q$.
#### Solution
**a)** Rayon (1) : transmis par $S_{p1}$, $O\to J\to P$. Rayon (2) : réfléchi vers $C_1$, renvoyé vers le bas, il traverse $S_{p1}$ et $S_{p2}$, va jusqu'à $C_2$, remonte, est réfléchi par $S_{p2}$ vers $H$, puis par $M$ vers $J$ et $P$ (figure 2).
Avec des cotes ascendantes et $L=OJ=KH$ :
$$(2)-(1)=2(Z_{O_1}-Z_O)+(Z_O-Z_K)+2(Z_K-Z_{O_2})+(Z_J-Z_H)=2(Z_{O_1}-Z_{O_2})$$
puisque $Z_J-Z_H=Z_O-Z_K$. Sur l'axe descendant d'origine $O_{1,0}$ :
$$\boxed{\delta(P,t)=2\big(z_2-z_1(t)\big)=2z_2-gt^2}$$
Numériquement, $\delta(P,0)=2z_2=0{,}60$ m ; cette valeur n'est pas un multiple entier de $\lambda$, ce qui explique que l'intensité initiale de la figure 3(b) ne soit pas maximale.
**b)** $I=2I_0[1+\cos(2\pi\delta/\lambda)]$ ; minima pour $\delta=(k+\frac12)\lambda$. $\delta$ décroît strictement : du premier minimum au $q$-ième suivant, l'ordre diminue de $q$ :
$$\boxed{\Delta_q=-g(t_q^2-t_0^2)=-q\lambda},\qquad\boxed{g=\frac{q\lambda}{t_q^2-t_0^2}}$$
**c)** $\boxed{y(q)=t_q^2-t_0^2=\dfrac\lambda g\,q}$, linéaire en $q$. On relève les $t_q$ sur la figure 3(b), on trace $y(q)$, on ajuste la pente $a=\lambda/g$. Avec les temps en $\mu$s, $a=64\,598\ \mu\mathrm s^2=6{,}4598\cdot10^{-8}\ \mathrm s^2$, et
$$g=\frac{\lambda}{a}=\frac{632{,}82\cdot10^{-9}}{6{,}4598\cdot10^{-8}}\ \mathrm{m\,s^{-2}}\approx9{,}796\ \mathrm{m\,s^{-2}},$$
soit $9{,}7961\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ à l'arrondi de la pente près.
Contrôle sur la figure 3(b) : le premier minimum est vers $t_0\approx155\ \mu$s ; la relation donne $t_1=\sqrt{t_0^2+64\,598}\approx298\ \mu$s et $t_2\approx391\ \mu$s, en accord avec les minima suivants du tracé. Les minima se resserrent bien au cours du temps.
> [!PIEGE]
> Oublier le facteur 2 du coin de cube (aller-retour) divise $g$ par deux ; le compter une seconde fois en écrivant des minima espacés de $\lambda/2$ le multiplie par deux. Ici $\delta$ contient déjà le 2, et deux minima consécutifs correspondent à une variation de $\lambda$.
> [!PIEGE]
> L'unité de la pente : $\mu\mathrm s^2=10^{-12}\ \mathrm s^2$.
> [!METHODE]
> Exploiter tous les minima par une régression plutôt que deux points isolés : l'incertitude diminue. On remarque aussi le resserrement des franges sur la figure 3(b), signature d'une phase quadratique en $t$.
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## Partie IV — Le calcaire et l'argile : des richesses du sol bon marché
### Partie IV.1 — Calcination du calcaire
Deux équilibres hétérogènes de décomposition de carbonates ; l'approximation d'Ellingham donne $\Delta_rH^0$ et $\Delta_rS^0$ par lecture directe.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Identifier l'expression donnée avec $\Delta_rG^0=\Delta_rH^0-T\Delta_rS^0$.
> [!INDICATION]
> Relier $K^0$ et $\Delta_rG^0$ ; écrire les activités des solides purs et du gaz.
#### Solution
**a)** $\boxed{\Delta_rH_1^0=177{,}4\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}>0}$ : réaction **endothermique**.
**b)** $\boxed{\Delta_rS_1^0=159\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}>0}$, cohérent avec la formation d'un gaz à partir d'un solide ($\Delta\nu_{\rm gaz}=+1$).
**c)** $\boxed{K_1^0(T)=\exp\left(-\dfrac{\Delta_rG_1^0}{RT}\right)=\exp\left(19{,}1-\dfrac{2{,}13\cdot10^4}{T}\right)}$ ; $K_1^0=1\iff\Delta_rG_1^0=0$ : $\boxed{T_{1,i}=1116\ \mathrm K\ (843\ ^\circ\mathrm C)}$
**d)** $\boxed{Q_{r,1}=\dfrac{a(\mathrm{CaO})\,a(\mathrm{CO_2})}{a(\mathrm{CaCO_3})}=\dfrac{P_{\mathrm{CO_2}}}{P^0}}$ (solides purs : activité 1).
> [!PIEGE]
> C'est l'ordonnée à l'origine de $\Delta_rG^0(T)$ qui donne $\Delta_rH^0$, la pente donne $-\Delta_rS^0$. Et ne pas oublier la conversion kJ en J dans l'exponentielle.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Sous $P_{\mathrm{CO_2}}=P^0$, que vaut le quotient de chaque réaction ? Conclure sur le signe de $\Delta_rG$ selon $T$.
> [!INDICATION]
> Deux équilibres partagent la même phase gazeuse : quelle condition sur $K_1^0$ et $K_2^0$ leur coexistence imposerait-elle ?
> [!INDICATION]
> Pour (b), la perte de masse est celle du gaz dégagé, pas du carbonate.
#### Solution
**a)** $T_{2,i}=118{,}0/0{,}175=674$ K. Sous $P_{\mathrm{CO_2}}=P^0$, $Q_r=1$ et $\Delta_rG=\Delta_rG^0$ : rien ne se passe en dessous de 674 K ; à 674 K, $\mathrm{MgCO_3}$ se décompose totalement à température constante (rupture d'équilibre) ; entre 674 et 1116 K, il reste $\mathrm{CaCO_3}$ et $\mathrm{MgO}$ ; à 1116 K, $\mathrm{CaCO_3}$ se décompose à son tour.
Simultanéité : il faudrait $P_{\mathrm{CO_2}}=K_1^0P^0=K_2^0P^0$, soit $\Delta_rG_1^0=\Delta_rG_2^0$, d'où $T=-59{,}4/0{,}0161\approx-3{,}7\cdot10^3$ K : impossible. **Les deux équilibres ne peuvent pas être simultanés** ; les décompositions sont successives.
**b)** On raisonne sur 100 g de mélange, contenant $x$ g de $\mathrm{MgCO_3}$ ($M=24+12+48=84\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$). La première perte de masse est le $\mathrm{CO_2}$ ($44\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$) dégagé par la décomposition totale de $\mathrm{MgCO_3}$, le $\mathrm{MgO}$ restant dans le solide :
$$\frac{44\,x}{84}=2{,}2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=4{,}2\,\%}$$
C'est sous la limite de 6 % : le calcaire est utilisable. La seconde perte, due à $\mathrm{CaCO_3}$ ($100\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$), vaut $0{,}44\times95{,}8\approx42$ g : bien plus grande, comme attendu.
> [!PIEGE]
> Attribuer la première perte de masse au carbonate le plus abondant : c'est la température de décomposition qui décide.
> [!METHODE]
> Pour un équilibre hétérogène dont le seul gaz est imposé, $Q_r$ est fixé : l'équilibre n'existe qu'à une température donnée, et au-delà la réaction est totale (rupture d'équilibre).
### Partie IV.2 — Obtention d'un ciment
Bilans de matière de la cimenterie, traduits en système linéaire résolu par `numpy`, puis hydratation, solubilité de la chaux et corrosion des armatures.
### Question 13
> [!INDICATION]
> La notation cimentière ($3\mathrm{CaO\cdot SiO_2}$…) donne directement les coefficients.
#### Solution
$$\begin{aligned}
&3\,\mathrm{CaO}+\mathrm{SiO_2}\to\mathrm{Ca_3SiO_5}\ (\text{A}),\qquad 2\,\mathrm{CaO}+\mathrm{SiO_2}\to\mathrm{Ca_2SiO_4}\ (\text{B}),\\
&3\,\mathrm{CaO}+\mathrm{Al_2O_3}\to\mathrm{Ca_3Al_2O_6}\ (\text{C}),\qquad 4\,\mathrm{CaO}+\mathrm{Al_2O_3}+\mathrm{Fe_2O_3}\to\mathrm{Ca_4Al_2Fe_2O_{10}}\ (\text{D})
\end{aligned}$$
tous les réactifs et produits étant solides. Bilans en oxygène : 5, 4, 6, 10.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Partir de $p_j$ grammes du composant $j$ : combien de moles, combien de moles de chaque oxyde, quelle masse d'oxyde ?
> [!INDICATION]
> Les lignes de `gob` correspondent aux oxydes, les colonnes aux composants, puisque `oxy = gob * cim`.
#### Solution
La masse d'oxyde $i$ contenue dans $p_j$ grammes de composant $j$ est $\nu_{ij}\dfrac{M_i}{M_j}p_j$, d'où $\beta_{ij}=\nu_{ij}M_i/M_j$ :
```python
gob=np.array([[3*M1/M5, 2*M1/M6, 3*M1/M7, 4*M1/M8],
[ M2/M5, M2/M6, 0, 0],
[ 0, 0, M3/M7, M3/M8],
[ 0, 0, 0, M4/M8]])
```
Exécuté avec `oxy=[62, 24, 9, 5]`, le script affiche environ `cim= [ 2.51 66.91 15.33 15.25]` : $p_5\approx2{,}5\,\%$, $p_6\approx66{,}9\,\%$, $p_7\approx15{,}3\,\%$, $p_8\approx15{,}3\,\%$, de somme 100. La matrice est inversible (structure triangulaire par blocs, bloc $(p_5,p_6)$ de déterminant $-M_1M_2/(M_5M_6)\ne0$).
Lecture de la matrice : la dernière ligne traduit (H1) (tout le fer est dans D), la troisième (H2) (l'alumine est dans C et D), la deuxième (H3) (la silice dans A et B), la première (H4) (la chaux partout). On peut donc résoudre à la main par substitutions successives : $p_4$ donne $p_8$, puis $p_3$ donne $p_7$, et il reste un système $2\times2$ en $(p_5,p_6)$ ; c'est ce qu'automatise `np.linalg.inv`.
> [!PIEGE]
> Écrire la transposée : le script tourne quand même et affiche des valeurs fausses, parfois négatives. Le contrôle « somme des $p_j$ égale à 100 » détecte l'erreur.
> [!METHODE]
> Signaler les incohérences d'énoncé sans s'y arrêter : ici `M4=159` dans le script contre 160 dans le tableau 1 (écart négligeable).
### Question 15
> [!INDICATION]
> Pourcentages massiques puis quantités de matière, multiplier par les moles d'eau, revenir en masse.
#### Solution
$$\boxed{r=\frac{m_e}{m_c}=\frac{M_0}{100}\left(\frac{3p_5}{M_5}+\frac{2p_6}{M_6}+\frac{6p_7}{M_7}+\frac{10p_8}{M_8}\right)}$$
(le 100 est $p_5+p_6+p_7+p_8$). Démarche : une masse $m_c$ de ciment contient $m_cp_j/100$ g du composant $j$, soit $m_cp_j/(100M_j)$ mol, qui consomment respectivement 3, 2, 6, 10 fois plus de moles d'eau ; on multiplie la somme par $M_0$ et on divise par $m_c$. Avec Q14 et $M_0=18\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$, $r\approx0{,}26$, soit environ 260 g d'eau par kilogramme de ciment pour l'hydratation seule.
> [!PIEGE]
> $r$ est sans dimension : $M_0$ doit apparaître au numérateur.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Pour (a), écrire $K_s$ en fonction de la solubilité, sans oublier le coefficient 2.
> [!INDICATION]
> Pour (b), équilibrer les demi-équations avec $\mathrm{OH^-}$ ; sous quelle forme le fer(III) existe-t-il en milieu basique ?
> [!INDICATION]
> Pour (c), la couche protectrice est-elle encore stable en milieu acide ?
#### Solution
**a)** $K_s=s(2s)^2=4s^3$, $\log s=\frac13(-5{,}2-0{,}60)=-1{,}93$, $[\mathrm{OH^-}]=2s=2{,}3\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$ : $\boxed{\mathrm{pH}\approx12{,}4}$.
**b)** $\mathrm{Fe}+3\,\mathrm{OH^-}=\mathrm{Fe(OH)_3}+3e^-$ et $\mathrm{O_2}+2\,\mathrm{H_2O}+4e^-=4\,\mathrm{OH^-}$ :
$$\boxed{4\,\mathrm{Fe_{(s)}}+3\,\mathrm{O_2}+6\,\mathrm{H_2O}\to4\,\mathrm{Fe(OH)_{3(s)}}}$$
Passivation : la couche d'oxyde ou d'hydroxyde formée est compacte, adhérente et très peu soluble ; elle isole le métal et rend la corrosion extrêmement lente (courant anodique résiduel très faible sur la courbe courant-potentiel). À pH 12,4, les armatures sont passivées.
**c)** En milieu acide, le fer(III) est soluble : $4\,\mathrm{Fe}+3\,\mathrm{O_2}+12\,\mathrm{H^+}\to4\,\mathrm{Fe^{3+}}+6\,\mathrm{H_2O}$, et $\mathrm{Fe}+2\,\mathrm{H^+}\to\mathrm{Fe^{2+}}+\mathrm{H_2}$ ; la couche d'hydroxyde se dissout. **Plus de passivation : le fer se corrode.** La rouille, plus volumineuse que le fer, fait éclater le béton : c'est la dégradation du béton armé acidifié.
> [!PIEGE]
> Écrire une demi-équation avec $\mathrm{H^+}$ quand l'énoncé impose le milieu basique.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Exprimer la masse molaire de K en fonction de $x$ et $y$ ; à quoi correspond la perte de masse au chauffage ?
#### Solution
$M_K=102+60x+18y$ (en $\mathrm{g\,mol^{-1}}$). Vers 550 °C, ni la silice ni l'alumine ne sont volatiles : la perte de masse est l'eau de constitution, et sa valeur relative est la fraction massique d'eau dans K. L'autre analyse donne la fraction massique de silice :
$$\boxed{\frac{18y}{102+60x+18y}=0{,}140,\qquad\frac{60x}{102+60x+18y}=0{,}465}$$
(Solution : $x=y=2$, kaolinite.)
### Partie IV.3 — Les pluies acides
### Question 18
> [!INDICATION]
> Écrire deux réactions de l'acide sur l'eau ; ordonner les espèces de la plus acide à la plus basique.
> [!INDICATION]
> Que vaut le pH au croisement des courbes de deux espèces conjuguées ?
#### Solution
**a)** $\mathrm{H_2CO_3}+\mathrm{H_2O}=\mathrm{HCO_3^-}+\mathrm{H_3O^+}$, $Q_{r,1}=\dfrac{[\mathrm{HCO_3^-}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{H_2CO_3}]c^0}$ ; $\mathrm{HCO_3^-}+\mathrm{H_2O}=\mathrm{CO_3^{2-}}+\mathrm{H_3O^+}$, $Q_{r,2}=\dfrac{[\mathrm{CO_3^{2-}}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]c^0}$.
**b)** $\boxed{(1)=\mathrm{H_2CO_3},\ (2)=\mathrm{HCO_3^-},\ (3)=\mathrm{CO_3^{2-}}}$ : la forme la plus protonée domine aux bas pH, l'ampholyte au milieu.
**c)** Aux croisements, $\mathrm{pH}=\mathrm pK_a$ : $\boxed{K_{a1}=10^{-6{,}3}\approx5\cdot10^{-7},\ K_{a2}=10^{-10{,}3}\approx5\cdot10^{-11}}$.
> [!PIEGE]
> Le maximum de la courbe en cloche (pH 8,3) n'est pas un $\mathrm pK_a$ : c'est leur demi-somme, utile comme contrôle.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Écrire la constante de l'équilibre de dissolution du gaz : de quoi dépend la concentration dissoute ?
> [!INDICATION]
> Électroneutralité simplifiée et première acidité ; la concentration de la forme acide n'est pas consommée, elle est imposée.
#### Solution
$$K^0=\frac{c/c^0}{P_{\mathrm{CO_2}}/P^0}\Longrightarrow\boxed{c=K^0\,x_{\mathrm{CO_2}}\frac{P}{P^0}c^0}$$
constante à $T$ et $P$ fixées. Pour $P=P^0$, $c=1{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$.
$h\approx[\mathrm{HCO_3^-}]$ et $K_{a1}=h^2/c$ : $\boxed{\mathrm{pH}=\frac12(\mathrm pK_{a1}-\log c)\approx5{,}6}$.
Justification de l'électroneutralité simplifiée : la solution est acide, donc $[\mathrm{OH^-}]\ll h$, et $K_{a2}$ est très petit devant $h$, donc $[\mathrm{CO_3^{2-}}]\ll[\mathrm{HCO_3^-}]$. On le vérifie a posteriori.
Concentrations ($\mathrm{mol\,L^{-1}}$) : $[\mathrm{H_2CO_3}]=1{,}1\cdot10^{-5}$ ; $[\mathrm{H_3O^+}]=[\mathrm{HCO_3^-}]=2{,}3\cdot10^{-6}$ ; $[\mathrm{OH^-}]=4{,}3\cdot10^{-9}$ ; $[\mathrm{CO_3^{2-}}]=K_{a2}=5\cdot10^{-11}$. Les approximations sont vérifiées.
> [!METHODE]
> Une phase gazeuse de composition fixée impose la concentration du gaz dissous : on écrit $h^2=K_{a1}c$, et non $h^2=K_{a1}(c-h)$ comme pour un acide faible en solution fermée.
> [!JURY]
> Lorsque l'énoncé demande « toutes les concentrations », on donne chaque espèce, y compris les minoritaires, qui servent à valider les approximations.
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## Partie V — Quelques propriétés thermodynamiques de la Terre
### Partie V.1 — Mesure de la conductivité thermique d'une roche
Analogie électrique et association en série, puis un protocole qui élimine des inconnues parasites.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Définition par analogie avec la loi d'Ohm, puis intégration de la loi de Fourier à flux constant.
#### Solution
$R_{\rm th}=\dfrac{T_e-T_s}{\Phi}$ en régime stationnaire ; avec $\Phi=js$ conservé et $j=-\lambda\,\mathrm dT/\mathrm dz$ : $\boxed{R_{\rm th}=\dfrac{l}{\lambda s}}$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Même flux dans toutes les couches : écrire deux différences de température et en faire le rapport.
> [!INDICATION]
> Pour éliminer les contacts, faire varier un paramètre dont la relation dépend de façon affine.
#### Solution
Les cinq couches sont en série, traversées par le même flux $\Phi$ (figure 3).
$T_c-T_1=\Phi\dfrac{l}{\lambda_ls}$, $T_1-T_2=\Phi\left(\dfrac{e_1}{\lambda_1s}+\dfrac{d}{\lambda s}+\dfrac{e_2}{\lambda_2s}\right)$, d'où
$$\boxed{\frac{T_1-T_2}{T_c-T_1}=\frac{\lambda_l}{l}\left(\frac d\lambda+\frac{e_1}{\lambda_1}+\frac{e_2}{\lambda_2}\right)}$$
Le rapport est affine en $d$ : avec plusieurs échantillons de même roche d'épaisseurs différentes et des contacts reproduits à l'identique, la pente $a=\lambda_l/(l\lambda)$ donne $\boxed{\lambda=\lambda_l/(la)}$ ; les contacts ne modifient que l'ordonnée à l'origine.
> [!METHODE]
> Une contribution parasite additive inconnue se neutralise en exploitant une pente, pas une mesure unique.
### Partie V.2 — Évolution de la température à l'intérieur de la Terre
Énergie gravitationnelle d'une boule, chaleur radiogénique, puis bilan thermique local en sphérique.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Pour (a), la sphère déjà formée agit à l'extérieur comme une masse ponctuelle.
> [!INDICATION]
> Pour (b), la masse de la sphère augmente avec $r$ : utiliser $m(r)$, pas la masse finale.
#### Solution
**a)** $\boxed{\mathrm dE_{pG}(r)=-\dfrac{Gm\,\mathrm dm}{r}}$
**b)** $m(r)=\frac43\pi r^3\mu$, $\mathrm dm=4\pi r^2\mu\,\mathrm dr$ : $\mathrm dE_{pG}=-\frac{16\pi^2}3G\mu^2r^4\mathrm dr$, $E_{pG}=-\frac{16\pi^2}{15}G\mu^2R^5$, et avec $\mu=\frac{3M}{4\pi R^3}$ :
$$\boxed{E_{pG}(R)=-\frac35\frac{GM^2}{R}}$$
Énergie négative : système lié ; sa formation a libéré $\frac35GM^2/R$.
> [!PIEGE]
> Prendre la masse totale $M$ au lieu de $m(r)$ donne un facteur $3/2$ au lieu de $3/5$.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Bilan énergétique : énergie libérée égale à $M_TC\,\Delta T$.
#### Solution
$$\boxed{T_{eq}=\frac{3GM_T}{5CR_T}},\qquad\log T_{eq}=-0{,}22-10{,}17+24{,}78-3{,}00-6{,}81=4{,}58,\qquad\boxed{T_{eq}\approx4\cdot10^4\ \mathrm K}$$
Beaucoup plus que la température actuelle du centre de la Terre (quelques milliers de kelvins) : énergie rayonnée pendant l'accrétion, changements d'état, refroidissement depuis 4,5 Ga. Mais l'énergie disponible suffisait largement à fondre la planète.
> [!JURY]
> Un résultat numérique « commenté » se compare à une valeur de référence connue avant de discuter les hypothèses du modèle.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Équation linéaire du premier ordre à coefficient constant.
#### Solution
$$\boxed{N_i(t)=N_{i0}\,e^{-\ln2\,t/\tau_i}=N_{i0}\,2^{-t/\tau_i}}$$
et $N_i(\tau_i)=N_{i0}/2$.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Puissance volumique = énergie par désintégration × nombre de désintégrations par seconde et par mètre cube.
> [!INDICATION]
> Exprimer $N_{i0}$ à partir de $x_i$, $\mu$, $M_i$ et $\mathcal N_A$, en surveillant les unités.
#### Solution
$$\boxed{p_{v,i}(t)=\frac{\ln2\,\varepsilon_ix_i\mu\mathcal N_A}{\tau_iM_i}e^{-\ln2\,t/\tau_i},\qquad p_v=\sum_{i=1}^3p_{v,i}}$$
Contrôle avec $\mu=4{,}5\cdot10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ et $1\ \text{an}=3{,}16\cdot10^7$ s :
| Noyau | $N_{i0}$ ($\mathrm{m^{-3}}$) | $p_{v,i}(0)$ ($\mathrm{nW\,m^{-3}}$) |
|---|---|---|
| $^{238}\mathrm U$ | $1{,}5\cdot10^{20}$ | $5{,}4$ |
| $^{232}\mathrm{Th}$ | $4{,}7\cdot10^{20}$ | $4{,}6$ |
| $^{40}\mathrm K$ | $1{,}3\cdot10^{21}$ | $2{,}6$ |
Ainsi $p_{v,i}(0)\approx5{,}4$ ; $4{,}6$ ; $2{,}6\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ (U, Th, K), soit $p_v(0)\approx12{,}5\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ comme sur la figure 6, et $p_v(0)\times0{,}84\times\frac43\pi R_T^3\approx1{,}2\cdot10^{13}$ W, comme l'énoncé.
> [!PIEGE]
> $M_i$ en $\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ et $\tau_i$ en secondes : oublier ces conversions décale le résultat de nombreux ordres de grandeur.
### Question 26
> [!INDICATION]
> $p_v$ est une somme d'exponentielles : sa « demi-vie » n'est celle d'aucun des trois noyaux.
> [!INDICATION]
> Construction graphique à la demi-valeur initiale.
#### Solution
On reproduit la courbe, décroissante et convexe (figure 4).
L'horizontale $p_v(0)/2\approx6{,}25\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ la coupe en $\boxed{t_{1/2}\approx5\cdot10^9\ \text{ans}}$ (4,9 Ga). La valeur est intermédiaire entre les demi-vies : le potassium s'épuise vite, l'uranium et le thorium décroissent lentement.
> [!PIEGE]
> Répondre $4{,}46$ Ga (demi-vie de l'uranium) ou la moyenne des trois demi-vies : une somme d'exponentielles n'est pas une exponentielle.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Invariances de la distribution des sources et des conditions aux limites ; puis plans de symétrie pour la direction.
#### Solution
La Terre est homogène, les sources sont uniformément réparties et la température de surface est uniforme : la distribution (milieu, sources, conditions aux limites) est invariante par toute rotation autour de $O$, d'où $T=T(r,t)$. Tout plan contenant $(OM)$ est plan de symétrie, donc $\vec j=-\lambda\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,T$ est porté par $\vec u_r$ : $\boxed{\vec j=j(r,t)\,\vec u_r}$.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Premier principe pour la coquille, solide immobile, entre $t$ et $t+\mathrm dt$.
> [!INDICATION]
> Ce qui entre par la face de rayon $r$ moins ce qui sort par celle de rayon $r+\mathrm dr$.
#### Solution
$\mathrm dU=\delta Q$ avec :
- $\mathrm dU=\mu C4\pi r^2\mathrm dr\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\mathrm dt$ : variation d'énergie interne ;
- $[\Phi(r)-\Phi(r+\mathrm dr)]\mathrm dt=-\mathrm d(j4\pi r^2)\mathrm dt$ : énergie nette reçue par conduction ;
- $p'_v4\pi r^2\mathrm dr\,\mathrm dt$ : énergie produite par la radioactivité dans la coquille.
$$\boxed{\mu C4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm dt\,\mathrm dr=-\mathrm d(j4\pi r^2)\mathrm dt+p'_v4\pi r^2\mathrm dr\,\mathrm dt}$$
> [!METHODE]
> Un bilan local se construit toujours de la même façon : système (ici une coquille), durée $\mathrm dt$, premier principe, puis inventaire « stockage = entrée − sortie + production ». Les mises en équation locales au programme se font sur des géométries à une seule variable d'espace, ce qui est le cas ici.
> [!PIEGE]
> Le signe $-$ devant $\mathrm d(j4\pi r^2)$ : une erreur ici donne une température croissante vers la surface.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Annuler la dérivée temporelle, puis injecter la loi de Fourier.
> [!INDICATION]
> Deux intégrations ; la condition au centre élimine une constante.
> [!INDICATION]
> Pour (d), évaluer $j$ en $R_T$ et comparer à la puissance volumique radiogénique de Q25–Q26.
#### Solution
**a)** $\boxed{\dfrac1{r^2}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\dfrac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)=-\dfrac{p'_v}\lambda}$
**b)** $T=-\dfrac{p'_v}{6\lambda}r^2-\dfrac Ar+B$ ; $T(0)$ finie impose $A=0$ ; $T(R_T)=T_s$ :
$$\boxed{T(r)=T_s+\frac{p'_v}{6\lambda}(R_T^2-r^2)}$$
**c)** $\boxed{j(r)=\dfrac{p'_vr}3}$ (et $4\pi r^2j=\frac43\pi r^3p'_v$ : tout ce qui est produit est évacué).
**d)** $p'_v=\dfrac{3j(R_T)}{R_T}=\dfrac{3\times0{,}070}{6{,}4\cdot10^6}\approx\boxed{3\cdot10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-3}}}$ (33 $\mathrm{nW\,m^{-3}}$). C'est environ trois fois la puissance radiogénique actuelle ($12{,}5\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$). La radioactivité n'explique qu'une partie du flux géothermique ; le reste est la chaleur primitive évacuée par une Terre qui se refroidit, si bien que le régime n'est pas stationnaire. De plus, $T(0)\approx7\cdot10^4$ K avec $\lambda=3\ \mathrm{W\,K^{-1}\,m^{-1}}$ est irréaliste : la convection du manteau évacue la chaleur bien plus efficacement que la conduction.
> [!JURY]
> « Commenter compte tenu de Q26 » appelle une comparaison chiffrée entre les deux puissances volumiques et une conclusion physique, pas seulement la valeur obtenue.
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## Partie VI — Le champ magnétique terrestre
Projection d'une expression intrinsèque, équation des lignes de champ, passage aux composantes locales.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Décomposer $\vec u_z$ sur $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ et calculer $\vec m\cdot\vec r$.
#### Solution
$\vec u_z=\cos\theta\vec u_r-\sin\theta\vec u_\theta$, $\vec m\cdot\vec r=-mr\cos\theta$ :
$$\boxed{B_r=-\frac{\mu_0m\cos\theta}{2\pi r^3},\quad B_\theta=-\frac{\mu_0m\sin\theta}{4\pi r^3},\quad B_\varphi=0}$$
> [!PIEGE]
> Le signe de $\vec m=-m\vec u_z$ : le champ obtenu est l'opposé du champ du dipôle « standard » des formulaires. Contrôle : $B_r/B_\theta=2\cot\theta$.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Colinéarité du déplacement élémentaire et du champ dans un plan méridien ; ne pas oublier le facteur $r$ devant $\mathrm d\theta$.
#### Solution
$\dfrac{\mathrm dr}{B_r}=\dfrac{r\,\mathrm d\theta}{B_\theta}\iff\dfrac{\mathrm dr}r=2\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\mathrm d\theta$, d'où $\boxed{r=K\sin^2\theta}$.
Allure (figure 5) : boucles emboîtées, symétriques par rapport à l'équateur, qu'elles coupent en $r=K$.
Avec $\vec m$ dirigé vers le sud, le champ sort de la Terre dans l'hémisphère Sud et y rentre dans l'hémisphère Nord : à l'extérieur, les lignes vont du pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique.
> [!PIEGE]
> Écrire $\mathrm dr/B_r=\mathrm d\theta/B_\theta$ donne $r=K\sin\theta$, faux et non homogène.
### Question 32
> [!INDICATION]
> À la surface, $\vec u_r$ est la verticale ascendante et $\vec u_\theta$ une horizontale : vers quel point cardinal pointe-t-elle ?
#### Solution
$\vec u_\theta$ pointe vers le sud ; $\cos\theta=\sin\Lambda$, $\sin\theta=\cos\Lambda$ :
$$\boxed{B_h=\frac{\mu_0m\cos\Lambda}{4\pi R_T^3}\ (\text{vers le nord}),\qquad B_v=-\frac{\mu_0m\sin\Lambda}{2\pi R_T^3}\ (\text{sur la verticale ascendante})}$$
Le champ est horizontal à l'équateur, vertical aux pôles, plongeant dans l'hémisphère Nord ; l'inclinaison $I$ sous l'horizontale vérifie $\tan I=|B_v|/B_h=2\tan\Lambda$.
> [!PIEGE]
> Confondre latitude et colatitude échange sinus et cosinus. Contrôle immédiat : à l'équateur, une boussole d'inclinaison reste horizontale, donc $B_v(0)=0$.
### Question 33
> [!INDICATION]
> À l'équateur, quelle composante subsiste ? Utiliser $\mu_0/4\pi=10^{-7}$.
#### Solution
$B=B_h=\dfrac{\mu_0m}{4\pi R_T^3}$, d'où $\boxed{m=\dfrac{4\pi R_T^3B}{\mu_0}}$ ; $\log m=20{,}43-4{,}59+7=22{,}84$ : $\boxed{m\approx7\cdot10^{22}\ \mathrm{A\,m^2}}$, ordre de grandeur du moment dipolaire terrestre admis.
> [!PIEGE]
> Utiliser $B_r$ (et son $2\pi$) à l'équateur, où il est nul : on se trompe d'un facteur 2.
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## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Analogie gravitation/électrostatique : $q\leftrightarrow m$, $1/\varepsilon_0\leftrightarrow-4\pi G$ ; théorème de Gauss précédé des symétries et invariances.
- Superposition pour une cavité : ajouter la différence de masse volumique.
- Référentiel en rotation uniforme : poids = gravitation + inertie d'entraînement ; énergie potentielle centrifuge $-\frac12m\Omega^2\rho^2$.
- Développement perturbatif d'une équation implicite à petit paramètre.
- Interférométrie : comptage des chemins optiques, facteur 2 d'un rétroréflecteur, une frange = $\lambda$ de différence de marche, exploitation linéaire.
- Approximation d'Ellingham, $K^0=1\iff\Delta_rG^0=0$, rupture d'équilibre pour un équilibre hétérogène à gaz imposé.
- Bilan de matière d'oxydes mis en matrice ; contrôle par conservation de la masse.
- pH d'une solution au contact d'un réservoir gazeux : concentration dissoute imposée.
- Résistances thermiques en série ; élimination d'inconnues par variation d'un paramètre.
- Énergie d'une boule homogène $-\frac35GM^2/R$ ; décroissance radioactive ; bilan local sur une coquille sphérique.
- Dipôle : $r=K\sin^2\theta$, composantes horizontale et verticale.
**Prérequis à revoir.** Coordonnées sphériques (éléments de longueur, décomposition de $\vec u_z$), calcul de logarithmes à la main, écriture des quotients réactionnels avec activités, demi-équations en milieu basique, loi de Fourier.
**Questions classiques transposables.** Champ d'une boule homogène (Q2), aplatissement par la rotation (Q8), gravimètre interférométrique (Q10), température de décomposition d'un carbonate (Q11–Q12), pH d'une eau de pluie (Q19), mesure de conductivité avec résistances de contact (Q21), énergie de liaison gravitationnelle (Q22), profil de température avec source uniforme (Q29), lignes de champ dipolaires (Q31).
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