Physique-chimie
CCINPMPI2026
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## Présentation du sujet
**Cadre.** Épreuve spécifique MPI2PC, 4 heures, **calculatrices interdites**. Une annexe fournit les logarithmes décimaux des données ($\log\pi=0{,}50$, $\log R_T=6{,}81$, $\log M_T=24{,}78$, $\log G=-10{,}17$, $\log\Omega=-4{,}14$, $\log C=3{,}00$, $\log N_A=23{,}78$, $\log\mu_0=-5{,}90$) et une courbe de $\log_{10}x$ sur $[1,10]$. Les résultats numériques peuvent être donnés avec **un seul chiffre significatif**. Le sujet, « Notre Terre : attractive, si chaleureuse et… magn(if)(ét)ique », compte **33 questions** (Q1 à Q33, beaucoup à sous-questions) réparties en **sept parties indépendantes**.
**Données générales.** $R_T=6{,}4\cdot10^6$ m ; $M_T=6{,}0\cdot10^{24}$ kg ; $G=6{,}7\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ ; $\Omega=7{,}3\cdot10^{-5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; $C\approx10^3\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ; $N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$. Partie IV : $R=8{,}31\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$, masses molaires de C, O, Si, Al, Ca, Fe, $K_e=10^{-14}$.
**Les sept parties.**
- *Partie I (Q1–Q3)* : analogie gravitation/électrostatique, théorème de Gauss gravitationnel, champ d'une boule homogène, puis détection gravimétrique d'un gisement de pétrole par superposition.
- *Partie II (Q4–Q8)* : poids en référentiel terrestre (force d'inertie d'entraînement), négligeabilité de Coriolis, énergies potentielles et forme approchée d'une équipotentielle de pesanteur : aplatissement de la Terre.
- *Partie III (Q9–Q10)* : gravimètre absolu interférométrique (Mach-Zehnder et coins de cube) : différence de marche, minima d'intensité, exploitation d'une droite.
- *Partie IV (Q11–Q14)* : chimie. IV.1 formules de Bogue du ciment mises sous forme matricielle en Python ; IV.2 diacide carbonique : diagramme de distribution, pH d'une pluie en équilibre avec le $\mathrm{CO_2}$ de l'air.
- *Partie V (Q15–Q24)* : résistance thermique et mesure de conductivité d'une roche ; énergie gravitationnelle d'une boule et température d'accrétion ; décroissance radioactive, puissance volumique et lecture d'un script Python ; bilan thermique en sphérique avec source et profil de température.
- *Partie VI (Q25–Q29)* : bilan radiatif d'après le document de Trenberth : conservation de la puissance rayonnée, lois de Wien et de Stefan, puissance solaire, bilan du sol, échauffement.
- *Partie VII (Q30–Q33)* : champ d'un dipôle magnétique, lignes de champ, composantes horizontale et verticale, moment dipolaire terrestre.
**Notions du programme mobilisées.** Théorème de Gauss et analyse des symétries ; dynamique en référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe ; énergie potentielle ; développement limité au premier ordre ; interférences à deux ondes ; stœchiométrie ; couples acide-base et diagrammes de distribution ; loi de Fourier, résistance thermique, premier principe appliqué à un système élémentaire ; équation différentielle d'ordre 1 ; champ magnétique d'un dipôle et lignes de champ ; Python (numpy, matplotlib).
**Difficulté et longueur.** Sujet long mais peu calculatoire, riche en questions de cours. Les difficultés sont localisées : Q3 (choix de la superposition), Q8 (développement limité justifié), Q10a (lecture du montage), Q12 (sens de la matrice), Q13c (lecture précise d'un graphe), Q14 (concentration imposée par la phase gazeuse), Q21 (interprétation d'un script et de l'origine des temps), Q24d et Q28 (commentaires et facteur 4).
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q2, Q4, Q5, Q7, Q9, Q11, Q13a-b, Q15, Q17, Q19, Q22, Q23, Q26, Q27, Q30, Q33 sont des applications directes du cours.
**Gestion du temps.** Environ 25 min pour la partie I, 35 min pour la II, 25 min pour la III, 35 min pour la IV, 1 h 10 pour la V, 30 min pour la VI et 20 min pour la VII. Les parties étant indépendantes, on peut commencer par les plus proches du cours (I, VII, V.1).
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## Partie I — Champ gravitationnel et champ de pesanteur
On établit le théorème de Gauss gravitationnel par analogie, on l'applique à une boule homogène, puis on utilise la superposition pour modéliser une poche moins dense.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Écrire côte à côte les deux champs créés en $M$ par une source ponctuelle en $O$ et identifier terme à terme.
> [!INDICATION]
> La gravitation est toujours attractive : quel signe doit porter l'analogue de $1/(4\pi\varepsilon_0)$ ?
#### Solution
$$\vec G(M)=-\frac{Gm}{r^2}\,\vec u_r,\qquad \vec E(M)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vec u_r .$$
L'identification donne
$$\boxed{q\ \longleftrightarrow\ m,\qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\ \longleftrightarrow\ -G\quad\text{soit}\quad \varepsilon_0\ \longleftrightarrow\ -\frac{1}{4\pi G}}$$
Le théorème de Gauss électrostatique $\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S_{\rm ext}=Q_{\rm int}/\varepsilon_0$ devient : le flux du champ gravitationnel sortant d'une **surface fermée** $S$ est égal à $-4\pi G$ fois la masse **intérieure** au volume $V$ qu'elle délimite :
$$\boxed{\oint_S\vec G\cdot\mathrm d\vec S_{\rm ext}=-4\pi G\iiint_V\mu(P)\,\mathrm d\tau}$$
> [!PIEGE]
> Oublier le signe moins conduit à $\varepsilon_0\leftrightarrow1/(4\pi G)$, donc à un champ de gravitation répulsif. Contrôle : le flux est négatif, le champ est entrant.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Commencer par les invariances et les plans de symétrie de la boule : quelle forme a $\vec G_T$ ?
> [!INDICATION]
> Prendre comme surface de Gauss une sphère de centre $O$ et distinguer $r\ge R_T$ et $r\le R_T$ : « en tout point de l'espace » impose les deux cas.
#### Solution
Invariance par toute rotation autour de $O$ : la norme ne dépend que de $r$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie, donc $\vec G_T(M)=G_T(r)\,\vec u_r$. Sur la sphère de rayon $r$ : $4\pi r^2G_T(r)=-4\pi G\,M_{\rm int}(r)$.
$$\boxed{\vec G_T=-\frac{GM_T}{r^2}\,\vec u_r\ \ (r\ge R_T),\qquad \vec G_T=-\frac{4\pi G\mu_T}{3}\,r\,\vec u_r=-\frac{GM_T}{R_T^3}\,r\,\vec u_r\ \ (r\le R_T)}$$
Le champ est continu en $R_T$, nul au centre. Contrôle : $\frac43\pi R_T^3\mu_T\approx6{,}0\cdot10^{24}$ kg $=M_T$.
> [!METHODE]
> Symétries d'abord (direction et variables du champ), Gauss ensuite : c'est l'analyse des symétries qui permet de sortir $G_T(r)$ de l'intégrale de flux.
### Question 3
> [!INDICATION]
> La poche de pétrole « remplace » de la roche : comment écrire la distribution réelle comme somme de deux boules homogènes ?
> [!INDICATION]
> Terre pleine de masse volumique $\mu_T$ plus une petite boule de masse volumique algébrique bien choisie ; vue de $M$, extérieure à elle, cette petite boule agit comme une masse ponctuelle en $C$.
> [!INDICATION]
> Pour le sens de variation, raisonner sur les normes : les deux champs sont négatifs selon $\vec u_z$.
#### Solution
Distribution réelle $=$ Terre homogène ($\mu_T$) $+$ boule de centre $C$, de rayon $r'$, de masse volumique $\mu_p-\mu_T$, donc de masse $m'=\frac43\pi r'^3(\mu_p-\mu_T)<0$. Elle crée en $M$ le champ $-Gm'/d^2\,\vec u_z$. D'où
$$\boxed{G_{Tp}(M)\,\vec u_z=\left[-\frac{4\pi G\mu_TR_T}{3}-\frac{4\pi G\,r'^3(\mu_p-\mu_T)}{3\,d^2}\right]\vec u_z},\qquad\boxed{\varepsilon=\left(\frac{r'}{d}\right)^2\frac{r'}{R_T}\,\frac{\mu_T-\mu_p}{\mu_T}}$$
$\varepsilon>0$ et $G_{Tp}=G_T(1-\varepsilon)$ avec $G_T<0$ : $|G_{Tp}|<|G_T|$, **le champ devient moins intense** (déficit de masse sous $M$).
$$\varepsilon=\frac14\times\frac{10^{-3}}{4}\times\frac56\approx5\cdot10^{-5},$$
soit environ $5\cdot10^3$ fois la précision relative des gravimètres : **le gisement est détectable**.
> [!PIEGE]
> Superposer la Terre pleine et une boule de masse volumique $\mu_p$ compte deux fois la matière dans la poche. Autre piège : conclure de $\varepsilon>0$ que le champ augmente, alors que $G_T$ est négatif.
> [!METHODE]
> Une cavité ou une inclusion dans une distribution homogène se traite par superposition d'une distribution pleine et d'une distribution de densité algébrique (différence des masses volumiques).
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## Partie II — Forme de la Terre
On définit le poids dans le référentiel terrestre, on justifie qu'on néglige Coriolis, puis on construit l'énergie potentielle de pesanteur pour obtenir la forme d'une équipotentielle et l'aplatissement.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel géocentrique : quelles forces d'inertie subit un point immobile dans $R'$ ?
> [!INDICATION]
> L'accélération d'entraînement est celle du point coïncidant, en mouvement circulaire uniforme autour de l'axe des pôles.
#### Solution
$R'$ tourne uniformément autour de l'axe fixe $OZ$ de $R$ (galiléen) : il n'est pas galiléen. Pour $M$ immobile dans $R'$, la force de Coriolis est nulle et la force d'inertie d'entraînement vaut $-m\vec a_e=m\Omega^2\overrightarrow{HM}$ (le point coïncidant décrit un cercle de rayon $HM$). Le poids, opposé de la force qui maintient $M$ en équilibre dans $R'$, est
$$\vec P=\underbrace{-\frac{GM_Tm}{r^2}\vec u_r}_{\text{gravitation}}+\underbrace{m\Omega^2\overrightarrow{HM}}_{\text{inertie d'entraînement}} .$$
Ordre de grandeur : $\log(GM_T/R_T^2)=-10{,}17+24{,}78-13{,}62=0{,}99$, donc $\boxed{g\approx10\ \mathrm{m\,s^{-2}}}$.
> [!PIEGE]
> La force d'inertie d'entraînement est centrifuge ($+m\Omega^2\overrightarrow{HM}$) ; un signe moins donnerait un poids plus fort à l'équateur qu'aux pôles.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Majorer la norme de la force de Coriolis et la comparer au poids.
#### Solution
$\|\vec F_{ic}\|=\|2m\vec\Omega\wedge\vec v\|\le2m\Omega v$, donc
$$\frac{\|\vec F_{ic}\|}{mg}\le\frac{2\Omega v}{g}=\frac{2\times7{,}3\cdot10^{-5}\times100}{9{,}8}\approx1{,}5\cdot10^{-3}\ll1 .$$
**La force de Coriolis ne dépasse pas 0,15 % du poids : elle est négligeable devant lui.**
### Question 6
> [!INDICATION]
> Écrire le rapport des deux termes de Q4 à la surface et repérer ce qui dépend de la position.
> [!INDICATION]
> $HM=R_T\sin\theta$ : où ce rapport est-il maximal ?
#### Solution
$$\frac{m\Omega^2R_T\sin\theta}{GM_Tm/R_T^2}=\frac{\Omega^2R_T^3}{GM_T}\sin\theta\le\boxed{\eta=\frac{\Omega^2R_T^3}{GM_T}},$$
borne atteinte à l'équateur. $\log\eta=-8{,}28+20{,}43+10{,}17-24{,}78=-2{,}46$ : $\boxed{\eta\approx3{,}5\cdot10^{-3}}$. Le champ de pesanteur ne diffère du champ gravitationnel que de quelques millièmes ; l'effet reste mesurable (variation de $g$ entre pôle et équateur, verticale légèrement non radiale).
> [!METHODE]
> Pour montrer qu'une quantité est « majorée par », exhiber l'inégalité et dire où le maximum est atteint.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Pour chaque force, calculer le travail élémentaire $\delta W=\vec F\cdot\mathrm d\overrightarrow{OM}$ et l'écrire comme $-\mathrm dE_p$.
> [!INDICATION]
> Pour la force centrifuge, utiliser les coordonnées cylindriques d'axe $OZ$ : seule la distance $\rho=HM$ à l'axe intervient.
#### Solution
**a)** $\delta W=-\dfrac{GM_Tm}{r^2}\mathrm dr=-\mathrm d\!\left(-\dfrac{GM_Tm}{r}\right)$, et avec $E_{pG}(\infty)=0$ : $\boxed{E_{pG}=-\dfrac{GM_Tm}{r}}$.
**b)** $\vec F_{ie}=m\Omega^2\rho\,\vec u_\rho$ et $\mathrm d\overrightarrow{OM}=\mathrm d\rho\,\vec u_\rho+\rho\,\mathrm d\varphi\,\vec u_\varphi+\mathrm dz\,\vec u_z$ : $\delta W=m\Omega^2\rho\,\mathrm d\rho=-\mathrm d\!\left(-\frac12m\Omega^2\rho^2\right)$. La constante est nulle car $\rho=0$ en $r=0$ : $\boxed{E_{pe}=-\frac12m\Omega^2(HM)^2}$.
**c)** $HM=r\sin\theta$ :
$$\boxed{E_{pp}(M)=-\frac{GM_Tm}{r}-\frac12m\Omega^2r^2\sin^2\theta}$$
### Question 8
> [!INDICATION]
> Écrire l'égalité $E_{pp}(M)=E_{pp}(N)$ et isoler $1/r$.
> [!INDICATION]
> Le terme centrifuge est petit devant le terme gravitationnel (Q6) : on travaille au premier ordre, ce qui autorise à remplacer $r$ par $r_n$ dans le terme correctif.
> [!INDICATION]
> Pour l'aplatissement, évaluer $r$ dans le plan équatorial.
#### Solution
$$\frac{r_n}{r}=1-\frac{\Omega^2r^2r_n\sin^2\theta}{2GM_T},$$
où le dernier terme est de l'ordre de $\eta/2\ll1$. Au premier ordre, $r\approx r_n$ dans ce terme et $(1-x)^{-1}\approx1+x$ :
$$\boxed{r(\theta)\approx r_n\left(1+\varepsilon\sin^2\theta\right),\qquad\varepsilon=\frac{\Omega^2r_n^3}{2GM_T}=\frac\eta2\left(\frac{r_n}{R_T}\right)^3}$$
Allure : ovale symétrique par rapport à l'axe des pôles et au plan équatorial, de rayon minimal $r_n$ aux pôles et maximal $r_e$ à l'équateur, très proche d'un cercle (aplatissement à exagérer sur le dessin). Avec $r_e=r_n(1+\varepsilon)$ :
$$\boxed{\varepsilon'=\frac{r_e-r_n}{r_n}=\varepsilon\approx\frac\eta2\approx1{,}7\cdot10^{-3}\approx\frac1{580}}$$
L'aplatissement réel ($1/298$) est environ deux fois plus grand : le modèle ignore l'excès de masse du bourrelet équatorial.
> [!PIEGE]
> Sans l'argument du premier ordre, l'équation en $r$ est du troisième degré ; il faut écrire explicitement pourquoi on peut remplacer $r$ par $r_n$ dans le terme correctif.
> [!JURY]
> Un dessin demandé doit porter les éléments remarquables (axe des pôles, $r_n$, $r_e$) et signaler que l'échelle de la déformation est exagérée.
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## Partie III — Détermination optique du champ de pesanteur
Un coin de cube en chute libre fait varier la différence de marche d'un interféromètre ; le défilement des minima d'intensité mesure $g$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> a) Écrire $g(h)$ à partir de la loi de la gravitation et développer au premier ordre en $h/R_T$.
> [!INDICATION]
> b) Chute libre sans vitesse initiale, axe orienté vers le bas.
#### Solution
**a)** $g(h)=g(0)(1+h/R_T)^{-2}$, d'où $\dfrac{g(h)-g(0)}{g(0)}\approx-\dfrac{2h}{R_T}\approx-3\cdot10^{-7}$ : **$g$ peut être pris uniforme** sur la hauteur de chute.
**b)** $\ddot z_1=g$, $z_1(0)=0$, $\dot z_1(0)=0$ : $\boxed{z_1(t)=\frac12gt^2}$.
### Question 10
> [!INDICATION]
> a) Suivre sur la figure 3(a) les deux rayons qui atteignent $P$ en tenant compte de l'orientation des séparatrices : l'un visite les deux coins de cube, l'autre va directement de $O$ à $J$.
> [!INDICATION]
> a) Un coin de cube impose un aller-retour : chemin double de la distance au sommet. Le quadrilatère $OJHK$ permet d'éliminer les longueurs inconnues.
> [!INDICATION]
> b) De combien varie $\delta$ entre deux minima consécutifs ? Dans quel sens varie $\delta$ ? c) Chercher une combinaison des $t_q$ proportionnelle à $q$.
#### Solution
**a)** Rayon (1) : $S\to O\to J\to P$ (transmis par $S_{p1}$, réfléchi par $S_{p3}$). Rayon (2) : réfléchi vers le haut en $O$, renvoyé par $C_1$, traversant $S_{p1}$ puis $S_{p2}$, renvoyé par $C_2$, réfléchi vers la droite en $K$, réfléchi vers le haut par $M$ en $H$, transmis en $J$ vers $P$. Avec $n=1$ et les portions communes éliminées :
$$\delta=\left[2\,OO_1+OK+2\,KO_2+KH+HJ\right]-OJ .$$
$OJHK$ est un rectangle ($KH=OJ$, $HJ=OK$), donc $\delta=2\,O_1O_2=2(z_2-z_1)$ :
$$\boxed{\delta(P,t)=2z_2-g\,t^2}$$
**b)** $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ : minima pour $\delta=(k+\frac12)\lambda$, espacés de $\lambda$ en $\delta$. Comme $\delta$ décroît :
$$\boxed{\Delta_q=-g\left(t_q^2-t_0^2\right)=-q\lambda}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{g=\frac{q\lambda}{t_q^2-t_0^2}}$$
Contrôle sur la figure 3(b) : $t_0\approx155\ \mu$s, $t_1\approx300\ \mu$s donnent $g\approx10\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ ; les minima se resserrent car $t_q=\sqrt{t_0^2+q\lambda/g}$.
**c)** $\boxed{y(q)=t_q^2-t_0^2=\dfrac{\lambda}{g}\,q}$ : on relève les $t_q$, on trace $y$ en fonction de $q$, on ajuste une droite passant par l'origine, de pente $a=\lambda/g$, et $g=\lambda/a$. Les temps étant en microsecondes, $a=64\,598\ \mu\mathrm s^2=6{,}4598\cdot10^{-8}\ \mathrm{s^2}$ et $g=632{,}82\cdot10^{-9}/6{,}4598\cdot10^{-8}\approx9{,}796\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, valeur annoncée $9{,}7961\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ au cinquième chiffre près (arrondi de la pente).
> [!PIEGE]
> Oublier le facteur 2 de l'aller-retour sur le coin de cube donne un $g$ doublé ; oublier l'unité de la pente ($\mu\mathrm s^2$) fausse $g$ d'un facteur $10^{12}$.
> [!METHODE]
> Pour exploiter une loi non linéaire, chercher la grandeur qui varie linéairement (ici $t_q^2$ en fonction de $q$) et identifier la pente.
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## Partie IV — Le calcaire et l'argile : des richesses du sol bon marché
La chimie du ciment conduit à un système linéaire résolu en Python ; les pluies acides mobilisent un diagramme de distribution et un calcul de pH.
### Partie IV.1 — Obtention d'un ciment
### Question 11
> [!INDICATION]
> La deuxième ligne du tableau 2 écrit chaque composant comme un assemblage d'oxydes : elle donne directement les coefficients.
#### Solution
$$\begin{aligned}
&(A)\quad 3\,\mathrm{CaO_{(s)}}+\mathrm{SiO_{2(s)}}\longrightarrow\mathrm{Ca_3SiO_{5(s)}}\\
&(B)\quad 2\,\mathrm{CaO_{(s)}}+\mathrm{SiO_{2(s)}}\longrightarrow\mathrm{Ca_2SiO_{4(s)}}\\
&(C)\quad 3\,\mathrm{CaO_{(s)}}+\mathrm{Al_2O_{3(s)}}\longrightarrow\mathrm{Ca_3Al_2O_{6(s)}}\\
&(D)\quad 4\,\mathrm{CaO_{(s)}}+\mathrm{Al_2O_{3(s)}}+\mathrm{Fe_2O_{3(s)}}\longrightarrow\mathrm{Ca_4Al_2Fe_2O_{10(s)}}
\end{aligned}$$
Contrôle : $3\times56+60=228$, $2\times56+60=172$, $3\times56+102=270$, $4\times56+102+160=486$.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Raisonner sur 100 g de mélange : quelle masse d'oxyde $i$ contient une masse unité de composant $j$ ?
> [!INDICATION]
> L'égalité $\mathtt{oxy}=\mathtt{gob}\cdot\mathtt{cim}$ fixe le sens de la matrice : lignes indexées par les oxydes, colonnes par les composants.
#### Solution
$\beta_{ij}=\nu_{ij}M_i/M_{j+4}$ ($\nu_{ij}$ nombre de motifs d'oxyde $i$ dans le composant $j$) ; les hypothèses (H1)–(H4) donnent $p_i=\sum_j\beta_{ij}p_{j+4}$.
```python
5 gob=np.array([[3*M1/M5, 2*M1/M6, 3*M1/M7, 4*M1/M8],
[ M2/M5, M2/M6, 0, 0],
[ 0, 0, M3/M7, M3/M8],
[ 0, 0, 0, M4/M8]])
```
Chaque colonne est de somme 1 (conservation de la masse). Avec l'exemple de la ligne 4, le script affiche `cim` $\approx[2{,}5\ ;\ 66{,}9\ ;\ 15{,}3\ ;\ 15{,}3]$. On peut signaler que `M4=159` (ligne 2) diffère de $M(\mathrm{Fe_2O_3})=160\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$, écart sans effet notable.
> [!PIEGE]
> Écrire la transposée donne un script qui s'exécute mais un résultat faux. $\beta_{ij}$ est un rapport de **masses** : la masse molaire de l'oxyde est au numérateur, celle du composant au dénominateur.
> [!METHODE]
> Contrôle gratuit d'une matrice de composition massique : chaque colonne doit sommer à 1.
### Partie IV.2 — Les pluies acides
### Question 13
> [!INDICATION]
> a) Un diacide cède successivement deux protons à l'eau. b) Quelle forme prédomine aux faibles pH, aux pH élevés, et laquelle passe par un maximum ?
> [!INDICATION]
> c) Que vaut le pH là où deux espèces conjuguées ont la même proportion ? Lire l'abscisse avec la précision du quadrillage (0,2 unité de pH par graduation).
#### Solution
**a)**
$$\begin{aligned}
\mathrm{H_2CO_3}+\mathrm{H_2O}&=\mathrm{HCO_3^-}+\mathrm{H_3O^+}, & Q_{r1}&=\frac{[\mathrm{HCO_3^-}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{H_2CO_3}]}\\
\mathrm{HCO_3^-}+\mathrm{H_2O}&=\mathrm{CO_3^{2-}}+\mathrm{H_3O^+}, & Q_{r2}&=\frac{[\mathrm{CO_3^{2-}}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]}
\end{aligned}$$
(concentrations en $\mathrm{mol\,L^{-1}}$, activité de l'eau égale à 1).
**b)** $\boxed{(1)=\mathrm{CO_{2(aq)},H_2O},\quad(2)=\mathrm{HCO_3^-},\quad(3)=\mathrm{CO_3^{2-}}}$ : l'acide le plus fort prédomine à pH faible, la base la plus forte à pH élevé, l'ampholyte passe par un maximum.
**c)** Aux intersections à 50 %, $\mathrm{pH}=\mathrm pK_a$. On lit $\mathrm{pH}\approx6{,}35$ pour (1)/(2) et $\approx10{,}35$ pour (2)/(3) :
$$\boxed{K_{a1}\approx4\cdot10^{-7}\ (\mathrm pK_{a1}\approx6{,}35),\qquad K_{a2}\approx4\cdot10^{-11}\ (\mathrm pK_{a2}\approx10{,}35)}$$
Contrôle : le maximum de (2) est à $\mathrm{pH}=\frac12(\mathrm pK_{a1}+\mathrm pK_{a2})\approx8{,}35$, à environ 98 %, comme sur la figure.
> [!PIEGE]
> Ne pas répondre de mémoire ni lire grossièrement : un décalage de quelques dixièmes sur $\mathrm pK_{a1}$ se répercute directement sur le pH de Q14.
### Question 14
> [!INDICATION]
> La concentration de $\mathrm{CO_{2(aq)}}$ est imposée par l'atmosphère : ce n'est pas un acide de concentration apportée $c$, il n'y a pas de conservation de la matière à écrire.
> [!INDICATION]
> Écrire toutes les concentrations en fonction de $h=[\mathrm{H_3O^+}]$, puis l'électroneutralité ; annoncer les approximations avant de les faire et les vérifier ensuite.
#### Solution
$[\mathrm{H_2CO_3}]=c$, $[\mathrm{HCO_3^-}]=K_{a1}c/h$, $[\mathrm{CO_3^{2-}}]=K_{a1}K_{a2}c/h^2$, $[\mathrm{OH^-}]=K_e/h$ ; électroneutralité $h=[\mathrm{HCO_3^-}]+2[\mathrm{CO_3^{2-}}]+[\mathrm{OH^-}]$. En négligeant $[\mathrm{OH^-}]$ (milieu acide) et $2[\mathrm{CO_3^{2-}}]$ ($K_{a2}\ll K_{a1}$) : $h=\sqrt{K_{a1}c}$,
$$\boxed{\mathrm{pH}=\frac12(\mathrm pK_{a1}-\log c)=\frac12(6{,}35+5{,}0)\approx5{,}7}$$
$[\mathrm{H_3O^+}]=[\mathrm{HCO_3^-}]\approx2\cdot10^{-6}$ ; $[\mathrm{CO_{2(aq)},H_2O}]=1{,}0\cdot10^{-5}$ ; $[\mathrm{CO_3^{2-}}]\approx K_{a2}\approx5\cdot10^{-11}$ ; $[\mathrm{OH^-}]\approx5\cdot10^{-9}$ (en $\mathrm{mol\,L^{-1}}$). Vérification : $[\mathrm{OH^-}]/h\approx2\cdot10^{-3}$ et $2[\mathrm{CO_3^{2-}}]/[\mathrm{HCO_3^-}]\approx4\cdot10^{-5}$. Une pluie non polluée est naturellement acide.
> [!JURY]
> Les formules de pH ne sont pas à réciter : on établit le résultat à partir des constantes et de l'électroneutralité, et l'on demande toutes les concentrations, y compris $[\mathrm{OH^-}]$ et $[\mathrm{CO_3^{2-}}]$.
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## Partie V — Quelques propriétés thermodynamiques de la Terre
V.1 exploite l'association en série de résistances thermiques pour mesurer une conductivité ; V.2 estime l'énergie d'accrétion, la puissance radioactive (avec un script Python) puis le profil de température d'une Terre conductrice avec source.
### Partie V.1 — Mesure de la conductivité thermique d'une roche
### Question 15
> [!INDICATION]
> Penser à l'analogie électrique : quelle grandeur joue le rôle de la tension, laquelle celui de l'intensité ?
> [!INDICATION]
> Pour l'expression, intégrer la loi de Fourier en régime stationnaire, sans source, flux uniforme.
#### Solution
$$\boxed{R_{th}=\frac{T_1-T_2}{\Phi}}\quad(\mathrm{K\,W^{-1}}),$$
où $\Phi$ est le flux thermique traversant le conducteur de la face à $T_1$ vers la face à $T_2$, en régime stationnaire. Avec $\vec j=-\lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,T$ et $\Phi=js$ conservé, $T_1-T_2=\Phi\,l/(\lambda s)$ :
$$\boxed{R_{th}=\frac{l}{\lambda\,s}}$$
### Question 16
> [!INDICATION]
> En régime stationnaire, le même flux traverse toutes les couches : comment s'associent leurs résistances ?
> [!INDICATION]
> Pour éliminer les contacts, faire varier un paramètre qui ne les modifie pas, puis tracer une droite.
#### Solution
$$T_c-T_1=\Phi\frac{l}{\lambda_ls},\qquad T_1-T_2=\Phi\left(\frac{e_1}{\lambda_1s}+\frac{d}{\lambda s}+\frac{e_2}{\lambda_2s}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{T_1-T_2}{T_c-T_1}=\frac{\lambda_l}{l}\left(\frac d\lambda+\frac{e_1}{\lambda_1}+\frac{e_2}{\lambda_2}\right)}$$
On mesure le rapport $Y=\dfrac{T_1-T_2}{T_c-T_1}$ pour plusieurs échantillons de la même roche d'épaisseurs $d$ différentes, contacts réalisés à l'identique. $Y(d)$ est une droite de pente $a=\lambda_l/(l\lambda)$ ; les contacts n'interviennent que dans l'ordonnée à l'origine. D'où $\boxed{\lambda=\lambda_l/(l\,a)}$.
> [!PIEGE]
> Répondre « on mesure les températures et on applique la formule » ne règle rien : $e_1/\lambda_1$ et $e_2/\lambda_2$ restent inconnus.
> [!METHODE]
> Éliminer une inconnue parasite constante : faire varier un paramètre contrôlé et exploiter une pente, l'inconnue étant rejetée dans l'ordonnée à l'origine.
### Partie V.2 — Évolution de la température à l'intérieur de la Terre
### Question 17
> [!INDICATION]
> a) Vue de l'extérieur, une boule homogène équivaut à une masse ponctuelle placée en son centre.
> [!INDICATION]
> b) Quand la boule a le rayon $r$, exprimer sa masse et celle de la coquille apportée en fonction de $\mu$ et $r$, puis intégrer de $0$ à $R$.
#### Solution
**a)** $\boxed{\mathrm dE_{pG}(r)=-\dfrac{Gm\,\mathrm dm}{r}}$.
**b)** $m(r)=\frac43\pi r^3\mu$, $\mathrm dm=4\pi r^2\mu\,\mathrm dr$ :
$$\mathrm dE_{pG}=-\frac{16\pi^2G\mu^2}{3}r^4\,\mathrm dr,\qquad E_{pG}(R)=-\frac{16\pi^2G\mu^2R^5}{15},$$
et avec $\mu=3M/(4\pi R^3)$ :
$$\boxed{E_{pG}(R)=-\frac35\,\frac{GM^2}{R}}$$
Le signe négatif traduit un état lié : la formation de la boule à partir de matière dispersée **libère** l'énergie $\frac35GM^2/R$.
> [!PIEGE]
> $m$ et $\mathrm dm$ dépendent tous deux de $r$ : il faut les exprimer avant d'intégrer, sinon on perd le facteur $3/5$.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Bilan d'énergie : l'énergie libérée sert à élever la température de toute la masse terrestre depuis 0 K.
#### Solution
$$M_TCT_{eq}=\frac35\frac{GM_T^2}{R_T}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{T_{eq}=\frac{3GM_T}{5R_TC}}$$
$\log T_{eq}=-0{,}22-10{,}17+24{,}78-6{,}81-3{,}00=4{,}58$ : $\boxed{T_{eq}\approx4\cdot10^4\ \mathrm K}$.
Valeur très supérieure à la température du centre de la Terre (quelques milliers de kelvins) : l'accrétion suffisait à fondre la planète, mais le modèle surestime l'échauffement (énergie rayonnée pendant l'accrétion, changements d'état négligés).
> [!JURY]
> Quand on demande d'estimer et de commenter, une valeur numérique seule ne suffit pas : il faut la confronter à une grandeur connue et discuter les hypothèses du modèle.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Équation linéaire du premier ordre à coefficient constant.
#### Solution
$$\boxed{N_i(t)=N_{i0}\exp\left(-\frac{\ln2}{\tau_i}t\right)=N_{i0}\,2^{-t/\tau_i}}$$
et l'on vérifie $N_i(\tau_i)=N_{i0}/2$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Puissance volumique $=$ énergie par désintégration $\times$ nombre de désintégrations par unité de temps et de volume.
> [!INDICATION]
> Passer de la fraction massique au nombre de noyaux par unité de volume avec $\mu$, $M_i$ et $N_A$.
#### Solution
$N_{i0}=x_i\mu N_A/M_i$ et $-\mathrm dN_i/\mathrm dt=\frac{\ln2}{\tau_i}N_i$ :
$$\boxed{p_{v,i}(t)=\frac{\ln2\ \varepsilon_ix_i\mu N_A}{M_i\tau_i}\exp\left(-\frac{\ln2}{\tau_i}t\right)},\qquad\boxed{p_v(t)=\sum_{i=1}^3p_{v,i}(t)}$$
avec $M_i$ en $\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ et $\tau_i$ en secondes.
> [!PIEGE]
> Les unités : le script écrit $M_i$ en $\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ (0,238) et convertit les demi-vies en secondes (ligne 7) ; c'est indispensable pour obtenir des $\mathrm{W\,m^{-3}}$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Relier chaque ligne à une grandeur de Q20 : reconnaître $\ln2$, $N_{i0}$, $\tau_i$.
> [!INDICATION]
> b)–d) La grille temporelle est discrète : que cherche-t-on en minimisant $|p_v(t)-p_v(0)/2|$ ? De quoi dépend la précision ?
> [!INDICATION]
> f) Que signifie $t=0$ ? Comparer $p_v(0)$ multiplié par le volume du manteau à la puissance $P$ donnée dans l'énoncé.
#### Solution
**a)** `pvi0` contient les puissances volumiques à $t=0$ des trois éléments, $p_{v,i}(0)$, en $\mathrm{W\,m^{-3}}$ (environ 5,4 ; 4,6 et 2,5 $\mathrm{nW\,m^{-3}}$).
**b)** `Dp` est le plus petit écart, sur la grille de 100 dates, entre $p_v(t)$ et $p_v(0)/2$.
**c)** `n` est l'indice de la date de la grille où cet écart est minimal.
**d)** `pv(0)` $\approx12{,}5\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ est la puissance volumique totale à $t=0$ ; `t0` $\approx4{,}95$ Ga est la date de la grille la plus proche de celle où la puissance est réduite de moitié. Le pas étant $10/99\approx0{,}1$ Ga, on améliore la précision en augmentant le nombre de points de `np.linspace`, ou par une dichotomie sur $p_v(t)-p_v(0)/2$. La fonction de la ligne 13, avec `t` en milliards d'années :
```python
12 def pv(t):
13 return sum(pvi0[k]*np.exp(-np.log(2)*t/tGyi[k]) for k in range(0,3))
```
**e)**
```python
20 plt.plot(t, pv(t))
21 plt.xlabel("t (milliards d'années)")
22 plt.ylabel("pv (W/m3)")
23 plt.grid(False)
24 plt.show()
```
**f)** Courbe décroissante et convexe, de $12{,}5$ à environ $4\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ sur 10 Ga (somme de trois exponentielles). L'horizontale $p_v(0)/2\approx6{,}25\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ coupe la courbe en
$$\boxed{t_{1/2}\approx5\cdot10^9\ \text{ans}}$$
Ici $t=0$ est l'instant présent : $p_v(0)\times0{,}84\times\frac43\pi R_T^3\approx1{,}2\cdot10^{13}$ W, c'est la puissance $P$ estimée aujourd'hui, et $t_{1/2}$ est une date future. Ce n'est aucune des trois demi-vies, $p_v$ n'étant pas une exponentielle unique.
> [!PIEGE]
> Utiliser `taui` (en secondes) à la ligne 13 avec `t` en milliards d'années rend la courbe plate. Autre piège : prendre $t=0$ pour la formation de la Terre, ce qui fausse la comparaison de Q24d.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Invariances et symétries du problème (géométrie, sources, condition à la surface), comme pour le champ gravitationnel.
#### Solution
Matériau homogène, source uniforme, température de surface uniforme : invariance par toute rotation autour de $O$, donc $T=T(r,t)$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie, donc $\vec j=-\lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,T$ est radial :
$$\boxed{\vec j=j(r,t)\,\vec u_r}$$
$j$ ne dépend ni de $\theta$ ni de $\varphi$.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Appliquer le premier principe à la coquille, système fermé et indéformable, entre $t$ et $t+\mathrm dt$.
> [!INDICATION]
> Le flux sortant à travers la sphère de rayon $r$ vaut $j\,4\pi r^2$ : la surface dépend de $r$, il faut différentier le produit.
#### Solution
$\mathrm dU=\delta Q_{\rm cond}+\delta Q_{\rm prod}$ (pas de travail) :
$$\boxed{\underbrace{\mu C\,4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm dt\,\mathrm dr}_{\text{variation d'énergie interne}}=\underbrace{-\mathrm d\!\left(j\,4\pi r^2\right)\mathrm dt}_{\text{transfert conductif reçu}}+\underbrace{p'_v\,4\pi r^2\mathrm dr\,\mathrm dt}_{\text{énergie produite}}}$$
Le premier terme est la variation d'énergie interne de la coquille pendant $\mathrm dt$ ; le deuxième, la différence entre la puissance entrant par la sphère intérieure et celle sortant par la sphère extérieure ; le troisième, l'énergie libérée dans la coquille par la radioactivité.
> [!PIEGE]
> Écrire $-4\pi r^2\,\mathrm dj$ au lieu de $-\mathrm d(4\pi r^2j)$ oublie la variation de surface avec $r$.
### Question 24
> [!INDICATION]
> a) Annuler la dérivée temporelle et injecter la loi de Fourier. b) Intégrer deux fois ; une constante est fixée par le centre, l'autre par la surface.
> [!INDICATION]
> d) Inverser c) en $r=R_T$. Pour le commentaire, comparer à la puissance radiogénique **actuelle** du manteau, en tenant compte de la fraction de volume qu'il occupe.
#### Solution
**a)** $\dfrac{\mathrm d(r^2j)}{\mathrm dr}=p'_vr^2$ et $j=-\lambda\dfrac{\mathrm dT}{\mathrm dr}$ :
$$\boxed{\frac1{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)=-\frac{p'_v}{\lambda}}$$
**b)** $r^2T'=-\dfrac{p'_v}{3\lambda}r^3+A$ ; $A=0$ sinon $T\sim-A/r$ diverge au centre ; puis $T(R_T)=T_s$ :
$$\boxed{T(r)=T_s+\frac{p'_v}{6\lambda}\left(R_T^2-r^2\right)}$$
**c)** $\boxed{j(r)=\dfrac{p'_v\,r}{3}}$ (contrôle : $\frac43\pi r^3p'_v=4\pi r^2j$).
**d)** $p'_v=\dfrac{3j(R_T)}{R_T}=\dfrac{3\times7{,}0\cdot10^{-2}}{6{,}4\cdot10^6}$, soit $\boxed{p'_v\approx3\cdot10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-3}}}$ (33 $\mathrm{nW\,m^{-3}}$).
La radioactivité fournit aujourd'hui $12{,}5\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ dans le manteau, soit environ $10\ \mathrm{nW\,m^{-3}}$ en moyenne sur toute la Terre ; de même $P=1{,}2\cdot10^{13}$ W contre $4\pi R_T^2j(R_T)\approx3{,}6\cdot10^{13}$ W. Elle n'explique qu'**environ un tiers** du flux géothermique ; le reste vient du refroidissement de la Terre (chaleur primitive, Q18), ce qui contredit l'hypothèse stationnaire. Le modèle conductif prévoit de plus $T(0)\approx7\cdot10^4$ K, irréaliste : le manteau évacue sa chaleur par convection et la radioactivité est concentrée près de la surface.
> [!METHODE]
> En sphérique avec source, la constante en $1/r^2$ s'élimine par la finitude au centre ; le flux se contrôle par un bilan global sur la boule de rayon $r$.
---
## Partie VI — Bilan énergétique sur le sol de la Terre, d'après une analyse documentaire
On transpose le bilan thermique au rayonnement, on relie la puissance solaire à ce que reçoit la Terre, puis on exploite le document de Trenberth.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Remplacer dans la relation de Q23 chaque grandeur par son analogue ; que devient le terme de source dans le vide ?
> [!INDICATION]
> En régime permanent, quelle quantité est indépendante de $r$ ?
#### Solution
$$\boxed{4\pi r^2\frac{\partial u_{em}}{\partial t}\,\mathrm dt\,\mathrm dr=-\mathrm d\!\left(R\,4\pi r^2\right)\mathrm dt}$$
(pas de source ni d'absorption dans le vide). En régime permanent, $4\pi r^2R$ est indépendant de $r$ : la puissance traversant toute sphère centrée sur le Soleil est la même, d'où $\boxed{P_{em}(D)=4\pi D^2R(D)=P_S}$.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Quelle surface de la Terre intercepte un faisceau parallèle ?
#### Solution
$$\boxed{P_T=\frac{P_S}{4\pi D^2}\,\pi R_T^2=P_S\frac{R_T^2}{4D^2}}$$
La Terre intercepte le rayonnement par sa section droite, un disque de rayon $R_T$.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Wien donne la température de surface, Stefan la puissance surfacique émise ; multiplier par l'aire émettrice.
#### Solution
$T_S=C_W/\lambda_S$ et $P_S=S_S\,\sigma T_S^4$, donc $\boxed{P_S=\sigma S_S\left(\dfrac{C_W}{\lambda_S}\right)^4}$.
On peut signaler que $C_W\approx0{,}03$ m·K est dix fois trop grand : la constante de Wien vaut $2{,}9\cdot10^{-3}$ m·K, ce qui donne $T_S\approx5{,}6\cdot10^3$ K pour $\lambda_S=0{,}52\ \mu$m. Aucune application numérique n'en dépend.
> [!METHODE]
> Un contrôle d'ordre de grandeur (ici la température de surface du Soleil) permet de repérer une donnée erronée : on la signale et on poursuit, comme le prévoit le préambule.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Vérifier la cohérence du document au sommet de l'atmosphère (incident, réfléchi, émis) : sur quelle surface les flux sont-ils moyennés ?
> [!INDICATION]
> Pour le sol seul, faire la somme algébrique des seuls flux qui touchent la surface.
#### Solution
Au sommet de l'atmosphère, $341=102+239$ : les flux sont des moyennes sur toute la surface $4\pi R_T^2$, donc $P_T=4\pi R_T^2\varphi_S$. Avec Q26 :
$$\boxed{P_S=16\pi D^2\varphi_S}\approx16\times3{,}14\times2{,}25\cdot10^{22}\times341\approx\boxed{4\cdot10^{26}\ \mathrm W}$$
Bilan du sol (en $\mathrm{W\,m^{-2}}$) : reçu $161+333$, cédé $396+17+80$ :
$$\boxed{\varphi_{tot}=161+333-396-17-80=+1\ \mathrm{W\,m^{-2}}}$$
Le déséquilibre est faible (0,2 % des flux) mais positif : le sol accumule de l'énergie, sa température tend à croître.
> [!PIEGE]
> Prendre 341 comme éclairement d'un disque de section $\pi R_T^2$ donne $P_S\approx1\cdot10^{26}$ W, quatre fois trop peu. Pour le bilan, ne pas inclure les flux du sommet de l'atmosphère (341, 102, 239), qui ne concernent pas le sol.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Énergie accumulée pendant $\tau$ sur toute la surface, puis capacité thermique de la Terre.
> [!INDICATION]
> Convertir 10 ans en secondes ($1\ \text{an}\approx\pi\cdot10^7$ s) et discuter la masse qui s'échauffe réellement.
#### Solution
$$\boxed{\Delta T=\frac{4\pi R_T^2\varphi_{tot}\,\tau}{M_TC}}$$
$\tau\approx3{,}2\cdot10^8$ s : $\log\Delta T=1{,}10+13{,}62+8{,}50-24{,}78-3{,}00=-4{,}56$, soit $\boxed{\Delta T\approx3\cdot10^{-5}\ \mathrm K}$.
Valeur infime parce que toute la masse terrestre est supposée s'échauffer ; sur une décennie, seules l'atmosphère, la couche superficielle des océans et une faible épaisseur de sol participent, et l'échauffement observé est de l'ordre du dixième de kelvin par décennie.
---
## Partie VII — Le champ magnétique terrestre
On projette l'expression intrinsèque du champ dipolaire, on intègre l'équation des lignes de champ, puis on exploite une mesure au sol.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Décomposer $\vec u_z$ sur $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ et calculer $\vec m\cdot\vec r$.
#### Solution
$\vec u_z=\cos\theta\,\vec u_r-\sin\theta\,\vec u_\theta$, $\vec m=-m\cos\theta\,\vec u_r+m\sin\theta\,\vec u_\theta$, $\vec m\cdot\vec r=-mr\cos\theta$ :
$$\boxed{B_r=-\frac{\mu_0m\cos\theta}{2\pi r^3},\qquad B_\theta=-\frac{\mu_0m\sin\theta}{4\pi r^3},\qquad B_\varphi=0}$$
Contrôle : au pôle Nord, $B_r<0$, le champ entre dans le sol.
> [!PIEGE]
> Oublier de projeter $\vec u_z$ fait disparaître $B_\theta$ ; oublier le signe de $\vec m=-m\vec u_z$ inverse tout le champ.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Une ligne de champ est tangente au champ : écrire la colinéarité de $\mathrm d\vec\ell$ et de $\vec B$ en coordonnées sphériques.
> [!INDICATION]
> Séparer les variables : le rapport $B_r/B_\theta$ ne dépend que de $\theta$.
#### Solution
$$\frac{\mathrm dr}{B_r}=\frac{r\,\mathrm d\theta}{B_\theta}\iff\frac{\mathrm dr}r=\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}\mathrm d\theta\quad\Longrightarrow\quad\boxed{r(\theta)=K\sin^2\theta}$$
$K$ est la distance maximale de la ligne à $O$, atteinte dans le plan équatorial. Allure : boucles symétriques par rapport au plan équatorial, d'autant plus larges que $K$ est grand ; hors de la Terre, elles sortent dans l'hémisphère sud et rentrent dans l'hémisphère nord, le champ étant orienté du sud vers le nord à l'équateur.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Exprimer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ en fonction de $\Lambda$, puis identifier localement la verticale et la direction du nord dans la base sphérique.
#### Solution
$\cos\theta=\sin\Lambda$, $\sin\theta=\cos\Lambda$ ; $\vec u_r$ est la verticale ascendante, $-\vec u_\theta$ pointe vers le nord. Avec $B_h$ compté vers le nord et $B_v$ vers le bas :
$$\boxed{B_h=\frac{\mu_0m\cos\Lambda}{4\pi R_T^3},\qquad B_v=\frac{\mu_0m\sin\Lambda}{2\pi R_T^3}}$$
L'inclinaison vérifie $\tan I=2\tan\Lambda$ ; dans l'hémisphère sud ($\Lambda<0$), le champ remonte vers le haut.
> [!JURY]
> Une composante n'a de sens qu'avec son orientation : on précise toujours le sens choisi pour compter $B_h$ et $B_v$.
### Question 33
> [!INDICATION]
> À l'équateur, quelle composante est nulle ? Simplifier $4\pi/\mu_0$.
#### Solution
$\Lambda=0$ : $B=B_h=\dfrac{\mu_0m}{4\pi R_T^3}$, d'où
$$\boxed{m=\frac{4\pi R_T^3B}{\mu_0}=10^7R_T^3B}$$
$\log m=7+20{,}43+0{,}41-5=22{,}84$ : $\boxed{m\approx7\cdot10^{22}\ \mathrm{A\,m^2}}$, proche de la valeur admise ($8\cdot10^{22}\ \mathrm{A\,m^2}$).
> [!PIEGE]
> Utiliser la formule de $B_v$ (facteur 2) à l'équateur, où c'est la composante horizontale qui porte tout le champ.
---
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Symétries et invariances avant tout théorème de Gauss ou toute loi de Fourier (Q2, Q22) ; superposition avec masse volumique algébrique pour une cavité (Q3).
- Référentiel en rotation uniforme : force d'inertie d'entraînement centrifuge et énergie potentielle $-\frac12m\Omega^2\rho^2$ (Q4, Q7) ; développement au premier ordre justifié par un petit paramètre (Q8).
- Interférométrie : différence de marche par lecture du montage, minima espacés de $\lambda$, linéarisation $t_q^2=f(q)$ (Q10).
- Chimie : stœchiométrie matricielle et contrôle par conservation de la masse (Q12) ; $\mathrm{pH}=\mathrm pK_a$ à l'intersection des courbes de distribution ; pH avec concentration imposée par une phase gazeuse (Q13, Q14).
- Thermique : résistances en série et élimination d'une inconnue par variation d'épaisseur (Q16) ; bilan sur une coquille sphérique, finitude au centre (Q23, Q24).
- Rayonnement : conservation de la puissance à travers une sphère, section interceptrice $\pi R_T^2$ contre surface moyenne $4\pi R_T^2$ (Q25–Q28).
- Dipôle : projection d'une expression intrinsèque, équation des lignes de champ $r=K\sin^2\theta$ (Q30, Q31).
**Prérequis à revoir.** Coordonnées sphériques et cylindriques ; table de logarithmes et calcul sans calculatrice ; lecture précise d'un graphe ; numpy (tableaux, `linalg.inv`, `dot`) et matplotlib.
**Questions classiques transposables.** Champ d'une boule homogène et énergie de constitution $-\frac35GM^2/R$ ; aplatissement d'une planète en rotation ; gravimètre absolu à coin de cube ; pH d'une eau en équilibre avec le $\mathrm{CO_2}$ atmosphérique ; profil parabolique de température d'une boule avec source ; température d'équilibre et bilan radiatif ; champ du dipôle terrestre et inclinaison magnétique.
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