Modélisation de systèmes physiques ou chimiques
CCINPPC2026
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# CCINP PC — Modélisation de systèmes physiques ou chimiques 2026 · Corrigé guidé
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
## Présentation du sujet
L'épreuve (PC7MO, mutualisée avec e3a-Polytech, 4 heures, **calculatrices interdites**) a pour fil conducteur un **spectrophotomètre infrarouge**. Elle comporte 56 questions réparties en deux parties indépendantes, et une annexe qui donne les commandes Python autorisées, quelques formules (rotationnel du rotationnel, vecteur de Poynting moyen, développement limité) et une aide aux calculs.
- **Partie I — Absorption vibrationnelle (Q1 à Q36).** Trois modèles du même phénomène, de plus en plus fins.
- *I.1 (Q1-Q14), modèle classique* : potentiel de Morse, approximation harmonique, deux lois de Newton combinées en une équation pour la masse réduite, fréquence propre et nombre d'onde, puis modèle « ressorts en parallèle » de la multiplicité des liaisons, confronté à trois bandes IR de C–N, C=N et C≡N.
- *I.2 (Q15-Q26), modèle quantique* : équation de Schrödinger stationnaire de l'oscillateur harmonique, discrétisée par différences finies, puis résolue en Python par une récurrence à deux termes (méthode du tir), avec une normalisation par la méthode des rectangles et un tracé.
- *I.3 (Q27-Q36), modèle ondulatoire* : propagation d'une onde plane dans un milieu de permittivité complexe, relation de dispersion, onde atténuée, vecteur de Poynting, puis loi de Beer-Lambert.
- **Partie II — Le spectrophotomètre (Q37 à Q56).**
- *II.1 (Q37-Q47), la source* : configuration électronique du nickel, maille CFC de l'alliage Ni₃Cr, bilan thermique d'une tige chauffée par effet Joule (rayonnement et conducto-convection), puis résolution par dichotomie en Python.
- *II.2 (Q48-Q56), le monochromateur* : déphasage entre deux traits d'un réseau en conditions de Gauss, puis calcul en Python de l'intensité à $N$ ondes et de la bande spectrale transmise par une fente.
**Notions mobilisées** : mécanique du point et énergie potentielle (PCSI), oscillateur harmonique, équation de Schrödinger (PC), équations de Maxwell et ondes dans les milieux (PC), interférences et lentilles (PCSI-PC), architecture de la matière et cristallographie (PCSI), bilans thermiques et rayonnement (PC), et la partie « outils numériques » du programme : récurrences, intégration, dichotomie, numpy et matplotlib.
**Difficulté et longueur.** Le sujet est long, mais très guidé et régulier. Près de 20 questions sont des compléments de code courts. Les points techniques sont Q29 (racine d'un complexe et choix du signe), Q32-Q33 (champ $\vec B$ et Poynting en complexe), Q48 (rôle de la lentille) et Q56 (commentaire chiffré de la résolution).
**À ne pas laisser passer** : Q1, Q2, Q5, Q9-Q12, Q20-Q22, Q25, Q34-Q38, Q41, Q51-Q53, Q55. Ce sont des questions de cours ou de lecture directe.
**Gestion du temps** : environ 2 h 15 pour la partie I et 1 h 30 pour la partie II, plus 15 minutes de relecture. Les blocs de code ne demandent presque jamais la physique qui précède, car la formule est rappelée dans l'énoncé : en cas de blocage sur un calcul, on peut passer directement au code.
**Notations.** L'énoncé réutilise $\alpha$, $\mu$, $L$, $a$, $\delta$ et $\varphi$ pour des objets différents selon les sous-parties. On garde ses notations et on précise le sens quand il y a un risque de confusion.
## Partie I — Absorption vibrationnelle
### I.1 — Modèle classique de la vibration d'une molécule diatomique
On part d'un potentiel réaliste (Morse), on le linéarise près de l'équilibre et on obtient un oscillateur harmonique. Les outils sont l'analyse dimensionnelle, la lecture d'un profil d'énergie potentielle, les développements limités et la deuxième loi de Newton.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Que peut-on dire de l'argument d'une exponentielle ? Et de la dimension d'une énergie potentielle ?
#### Solution
L'argument $-\alpha(x-x_e)$ de l'exponentielle est sans dimension. Comme $x$ est une longueur, $x_e$ en est une aussi, et $\alpha$ est l'inverse d'une longueur. Le facteur $(1-e^{-\alpha(x-x_e)})^2$ est alors sans dimension, et $D$ a la dimension de $E_p$ :
$$\boxed{D\ \text{en J},\qquad \alpha\ \text{en m}^{-1},\qquad x_e\ \text{en m}}$$
> [!PIEGE]
> L'énoncé demande le Système international : $D$ s'exprime en joules, pas en électronvolts, même si l'ordre de grandeur usuel est de quelques eV.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Quelle caractérisation graphique des positions d'équilibre connaît-on pour un système conservatif à un degré de liberté ?
#### Solution
Les positions d'équilibre sont les extremums de $E_p$, et un minimum correspond à un équilibre stable. La figure 3 présente un unique extremum, un minimum en $x_e$ : **le système a une unique position d'équilibre, $x=x_e$, et elle est stable**, car un écart à $x_e$ augmente $E_p$, si bien que la force $-\mathrm dE_p/\mathrm dx$ ramène vers $x_e$.
> [!JURY]
> L'énoncé demande une phrase sans calcul : il faut citer le critère (minimum de $E_p$ donc équilibre stable) et l'appliquer à la figure, sans dériver $E_p$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Calculer $E_p$ en deux points remarquables : au fond du puits et pour une distance infinie.
> [!INDICATION]
> Pour la nature de l'état, tracer l'horizontale $E_m$ et chercher les points où $E_m=E_p(x)$.
#### Solution
On a $E_p(x_e)=0$ et $E_p(x)\to D$ quand $x\to+\infty$. Sur le tracé, la branche répulsive est très raide pour $x<x_e$, le minimum vaut zéro en $x_e$, et l'asymptote horizontale est $E_p=D$.
**$D$ est la profondeur du puits**, l'écart entre le minimum et l'asymptote : c'est l'énergie de dissociation.
Le mouvement n'a lieu que là où $E_m\ge E_p(x)$ :
- si $E_m>D$, il n'y a pas de point de rebroussement à droite et $x$ peut tendre vers l'infini : c'est un **état libre**, la molécule se dissocie ;
- si $E_m<D$, il y a deux points de rebroussement $x_1<x_e<x_2$ et le mouvement est borné : c'est un **état lié**, la molécule vibre.
> [!PIEGE]
> Placer $D$ comme l'ordonnée du minimum est faux, car celle-ci vaut zéro. $D$ se lit comme une hauteur entre le fond du puits et l'asymptote.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Appliquer le développement de l'annexe en $a=x_e$. Que valent $E_p(x_e)$ et $E_p'(x_e)$ ?
> [!INDICATION]
> Poser $u=x-x_e$ et dériver deux fois $D(1-e^{-\alpha u})^2$, ou bien développer $1-e^{-\alpha u}$ à l'ordre 1 avant d'élever au carré.
#### Solution
Avec $g(u)=D(1-e^{-\alpha u})^2$ :
$$g'(u)=2D\alpha e^{-\alpha u}(1-e^{-\alpha u}),\qquad g''(u)=2D\alpha^2e^{-2\alpha u}-2D\alpha^2e^{-\alpha u}(1-e^{-\alpha u}),$$
donc $g(0)=g'(0)=0$ et $g''(0)=2D\alpha^2$. Il vient
$$\boxed{E_p(x)\simeq D\alpha^2(x-x_e)^2}$$
> [!METHODE]
> Près d'un minimum, toute énergie potentielle régulière s'écrit $E_p(x)\simeq E_p(x_e)+\tfrac12E_p''(x_e)(x-x_e)^2$. La raideur équivalente vaut donc $E_p''(x_e)$, et ce réflexe sert dans tous les problèmes de petites oscillations.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Identifier terme à terme avec $\tfrac12k(x-x_e)^2$.
#### Solution
$$\boxed{k=2D\alpha^2}$$
Comme $D>0$, **$k>0$**, ce qui est cohérent avec le minimum stable de la Q2.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Faire un bilan des forces sur $A$ seul. Quel est l'allongement du ressort qui modélise la liaison ?
> [!INDICATION]
> Raisonner sur un cas : si $x>x_e$, le ressort est étiré. Dans quel sens tire-t-il $A$, qui est à gauche de $B$ sur la figure 2 ?
#### Solution
Système $\{A\}$ dans le référentiel galiléen. La molécule est isolée : la seule force est celle de la liaison. Le ressort a la longueur $x=x_B-x_A$ et la longueur à vide $x_e$. Étiré, il tire $A$ vers $B$, c'est-à-dire vers les $x$ croissants, d'où la force $+k(x-x_e)\vec u_x$. La relation (1) s'écrit
$$\boxed{m_A\ddot x_A=k(x-x_e)}$$
> [!PIEGE]
> Écrire $-k(x-x_e)$ par réflexe conduit en Q8 à $\mu\ddot x=+k(x-x_e)$, qui n'a pas de solution oscillante. Le signe dépend de la position de l'atome par rapport à l'autre extrémité du ressort.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Même démarche pour $B$, ou bien utiliser le principe des actions réciproques.
#### Solution
Le ressort étiré tire $B$ vers les $x$ décroissants. La relation (2) s'écrit
$$\boxed{m_B\ddot x_B=-k(x-x_e)}$$
Contrôle : $m_A\ddot x_A+m_B\ddot x_B=0$, puisque le centre de masse d'un système isolé a une accélération nulle.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Exprimer $\ddot x_A$ et $\ddot x_B$, puis former $\ddot x=\ddot x_B-\ddot x_A$.
#### Solution
$$\ddot x=-k(x-x_e)\left(\frac1{m_A}+\frac1{m_B}\right)=-\frac k\mu(x-x_e),\qquad \frac1\mu=\frac1{m_A}+\frac1{m_B},$$
d'où
$$\boxed{\mu\ddot x+kx=kx_e,\qquad \mu=\frac{m_Am_B}{m_A+m_B}}$$
> [!METHODE]
> Le problème à deux corps isolés se ramène à une seule particule fictive de masse $\mu$, soumise à la force d'interaction. Limite de contrôle : si $m_B\to\infty$, alors $\mu\to m_A$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Changer de variable pour faire disparaître le second membre constant.
#### Solution
Avec $X=x-x_e$, on obtient $\ddot X+\dfrac k\mu X=0$, un oscillateur harmonique de pulsation $\omega_0=\sqrt{k/\mu}$. D'où
$$\boxed{f_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac k\mu}}$$
> [!PIEGE]
> On demande une fréquence, pas une pulsation : le facteur $1/(2\pi)$ est indispensable.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Relier longueur d'onde dans le vide et fréquence.
#### Solution
On a $\lambda_0=c/f_0$, donc
$$\boxed{\sigma_0=\frac{f_0}c=\frac1{2\pi c}\sqrt{\frac k\mu}}$$
> [!PIEGE]
> Le nombre d'onde $\sigma=1/\lambda$ n'est pas le vecteur d'onde $2\pi/\lambda$. Les spectroscopistes l'expriment en cm⁻¹, ce qui fait un facteur 100 par rapport aux m⁻¹.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Deux ressorts en parallèle : qu'ont-ils en commun, la force ou l'allongement ?
#### Solution
Les deux ressorts relient le même support au même point matériel et ont la même longueur à vide $x_e$. Ils ont donc à chaque instant la même longueur $\ell$, donc le même allongement, et leurs forces s'ajoutent :
$$\vec F=-2k(\ell-x_e)\vec u_x\quad\Longrightarrow\quad\boxed{k_{eq}=2k}$$
> [!PIEGE]
> Pour des ressorts en série, ce sont les inverses des raideurs qui s'ajoutent. Ici, deux ressorts côte à côte rendent le système plus raide, donc $k_{eq}>k$.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Généraliser sans refaire le calcul.
#### Solution
$$\boxed{k_{eq}=3k}$$
Plus généralement, $k_{eq}=pk$ pour $p$ ressorts identiques en parallèle.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Qu'est-ce qui change avec la multiplicité de la liaison : la masse réduite, la raideur, ou les deux ?
#### Solution
$\mu$ ne change pas, puisque ce sont les mêmes atomes. On remplace $k$ par $k_{eq}$ dans la Q10 :
a) double liaison : $\boxed{\sigma_0=\dfrac1{2\pi c}\sqrt{\dfrac{2k}\mu}=\sqrt2\,\sigma_{0,\text{simple}}}$
b) triple liaison : $\boxed{\sigma_0=\dfrac1{2\pi c}\sqrt{\dfrac{3k}\mu}=\sqrt3\,\sigma_{0,\text{simple}}}$
**Conclusion** : à atomes donnés, le nombre d'onde croît avec la multiplicité, comme $\sqrt p$, donc dans les rapports $1:1{,}4:1{,}7$.
> [!JURY]
> « Conclure » attend une phrase quantitative (la loi en $\sqrt p$ et les rapports), pas seulement « $\sigma_0$ augmente ».
### Question 14
> [!INDICATION]
> Les trois liaisons relient les mêmes atomes : seule la multiplicité change. Lire attentivement l'ordre dans lequel l'énoncé les dessine.
> [!INDICATION]
> Classer les trois valeurs, puis vérifier les rapports à l'aide de $\sqrt2$ et $\sqrt3$.
#### Solution
$\mu$ et $k$ sont communs et $\sigma_0$ croît avec la multiplicité. Avec $1\,300<1\,650<2\,200$ :
$$\boxed{\mathrm{C{-}N}:1\,300\ \mathrm{cm^{-1}},\qquad \mathrm{C{\equiv}N}:2\,200\ \mathrm{cm^{-1}},\qquad \mathrm{C{=}N}:1\,650\ \mathrm{cm^{-1}}}$$
Contrôle : $2\,200/1\,300\simeq1{,}69$, proche de $\sqrt3\simeq1{,}73$, et $1\,650/1\,300\simeq1{,}27$, à comparer à $\sqrt2\simeq1{,}41$. Le modèle rend compte de l'ordre et de l'ordre de grandeur, sans être exact : une liaison double n'est pas rigoureusement deux fois plus raide qu'une simple.
> [!PIEGE]
> L'énoncé dessine les liaisons dans l'ordre simple, triple, double. Recopier les valeurs dans l'ordre croissant sans lire les traits de liaison mène à une attribution fausse.
### I.2 — Le modèle quantique
On obtient l'équation de Schrödinger stationnaire, on la discrétise par différences finies et on programme la récurrence obtenue (méthode du tir). Les outils sont la séparation des variables, la formule de Taylor, les tableaux numpy, la méthode des rectangles et matplotlib.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Injecter la forme proposée, dériver une fois en temps et deux fois en espace.
> [!INDICATION]
> Simplifier par le facteur temporel, en justifiant qu'il ne s'annule jamais.
#### Solution
$\dfrac{\partial\psi}{\partial t}=-\dfrac{iE}\hbar\psi$ et $\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\varphi''e^{-iEt/\hbar}$. On simplifie par $e^{-iEt/\hbar}$, de module 1 :
$$E\varphi=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\varphi''+\frac12\mu\omega_0^2x^2\varphi\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}+\frac\mu{\hbar^2}(2E-\mu\omega_0^2x^2)\varphi=0}$$
> [!PIEGE]
> On a $i\hbar\times(-iE/\hbar)=+E$. Une erreur de signe ici inverse le rôle de $E$ et de $V$.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Appliquer la formule de l'annexe autour de $a=x$, avec des écarts $+\mathrm dx$ puis $-\mathrm dx$.
#### Solution
Le développement est au second ordre **en $\mathrm dx$**. L'énoncé écrit « par rapport à $x$ », ce qui est une coquille à signaler.
$$\boxed{\varphi(x\pm\mathrm dx)\simeq\varphi(x)\pm\mathrm dx\,\varphi'(x)+\frac{\mathrm dx^2}2\varphi''(x)}$$
### Question 17
> [!INDICATION]
> Quelle combinaison des deux développements élimine $\varphi'$ ?
#### Solution
On fait la somme des deux développements :
$$\boxed{\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}(x)\simeq\frac{\varphi(x+\mathrm dx)+\varphi(x-\mathrm dx)-2\varphi(x)}{\mathrm dx^2}}$$
> [!METHODE]
> Le schéma centré à trois points pour la dérivée seconde est un classique. Le contrôle d'homogénéité impose $\mathrm dx^2$ au dénominateur.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Traduire $x\pm\mathrm dx$ en indices.
#### Solution
$$\boxed{\varphi_{i+1}+\varphi_{i-1}-2\varphi_i=\mathrm dx^2\,\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}(x_i)}$$
### Question 19
> [!INDICATION]
> Écrire la Q15 au point $x_i$ pour exprimer $\varphi''(x_i)$, puis égaler avec la Q18.
> [!INDICATION]
> Pour retrouver exactement la forme imposée, remplacer $E$ par sa valeur quantifiée et factoriser par $2\omega_0$.
#### Solution
$\varphi''(x_i)=\dfrac\mu{\hbar^2}(\mu\omega_0^2x_i^2-2E)\varphi_i$, donc
$$\varphi_{i+1}=\left(2+\frac{\mu\,\mathrm dx^2}{\hbar^2}(\mu\omega_0^2x_i^2-2E)\right)\varphi_i-\varphi_{i-1}.$$
Avec $E=\hbar\omega_0(v+\tfrac12)$, on a $\mu\omega_0^2x_i^2-2E=2\omega_0\big(\tfrac12\mu\omega_0x_i^2-\hbar(v+\tfrac12)\big)$. Il vient
$$\boxed{\varphi_{i+1}=\left(2+\frac{2\mu\omega_0}{\hbar^2}\mathrm dx^2\left(\frac12\mu\omega_0x_i^2-\hbar\left(v+\frac12\right)\right)\right)\varphi_i-\varphi_{i-1}}$$
> [!JURY]
> Pour un résultat imposé, la note porte sur le chemin. Les deux étapes doivent apparaître : l'élimination de $\varphi''$, puis la substitution de $E$ et la factorisation.
### Question 20
> [!INDICATION]
> $L$ est le point où la parabole $V(x)$ coupe le niveau $v=5$. Écrire cette égalité.
#### Solution
$\tfrac12\mu\omega_0^2L^2=\hbar\omega_0(5+\tfrac12)$, d'où $L=\sqrt{11\hbar/(\mu\omega_0)}\simeq3{,}4\cdot10^{-10}$ m.
```python
L = np.sqrt(11*hbar/(mu*omega0)) # instruction 1.1
```
> [!PIEGE]
> La figure 5 numérote les niveaux $E_1$ à $E_5$, mais l'énoncé impose $v=5$, soit $E=\tfrac{11}2\hbar\omega_0$. Ne pas oublier le $\tfrac12$ de l'énergie de point zéro.
### Question 21
> [!INDICATION]
> L'annexe donne une fonction qui fabrique exactement ce tableau.
#### Solution
```python
X = np.linspace(-L, L, N) # instruction 1.2
```
### Question 22
> [!INDICATION]
> L'écart entre deux éléments consécutifs.
#### Solution
```python
dx = X[1] - X[0] # instruction 1.3
```
> [!PIEGE]
> `linspace` produit $N$ points, donc $N-1$ intervalles : le pas vaut $2L/(N-1)$, et non $2L/N$. Il faut de toute façon le calculer « à partir du vecteur $X$ ».
### Question 23
> [!INDICATION]
> Deux valeurs initiales sont fixées. À partir de quel indice la récurrence peut-elle démarrer ?
> [!INDICATION]
> La récurrence calcule `phi[i+1]` à partir de `phi[i]` et `phi[i-1]` : en déduire les bornes de la boucle.
#### Solution
```python
phi = np.zeros(N) # instructions 2 : phi[0] = 0
phi[1] = 1
for i in range(1, N-1):
c = 2 + 2*mu*omega0/hbar**2*dx**2*(0.5*mu*omega0*X[i]**2 - hbar*(v + 1/2))
phi[i+1] = c*phi[i] - phi[i-1]
```
Le programme complet, exécuté, donne bien 0, 1 et 2 zéros pour $v=0,1,2$, avec $\max|\varphi_0|\simeq7{,}4\cdot10^4$ m$^{-1/2}$, la valeur théorique $(\mu\omega_0/\pi\hbar)^{1/4}$. Près de $x=+L$, on observe une légère divergence, qui croît avec $v$ : la condition $\varphi(-L)=0$ n'est qu'approchée, et la zone classiquement interdite amplifie les erreurs.
> [!PIEGE]
> Démarrer la boucle à 0 ferait lire `phi[-1]`, qui en Python désigne silencieusement le dernier élément : il n'y a pas d'erreur, mais le résultat est faux.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Sur $[x_i,x_{i+1}]$, la méthode utilise $f(x_i)$. Quels indices interviennent donc ?
#### Solution
Les points $x_0$ à $x_{N-2}$ :
```python
norm = np.sum(phi[:-1]**2)*dx # instruction 3.1
```
### Question 25
> [!INDICATION]
> Une opération vectorielle suffit.
#### Solution
```python
phi = phi/np.sqrt(norm) # instruction 3.2
```
> [!PIEGE]
> On divise par la **racine** de l'intégrale, puisque c'est $\int\varphi^2$ qui doit valoir 1.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Où placer `plt.show()` pour obtenir un seul graphique ?
#### Solution
```python
for v in [0, 1, 2]: # instructions 4
plt.plot(X, fonction_onde(v))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('phi(x)')
plt.show()
```
> [!METHODE]
> Superposer des courbes avec matplotlib : plusieurs `plt.plot` successifs, puis un seul `plt.show()` à la fin.
### I.3 — Le modèle ondulatoire : absorption d'une onde électromagnétique par une solution chimique
On mène l'étude classique d'une onde dans un milieu absorbant : équation de propagation, relation de dispersion avec un vecteur d'onde complexe, atténuation, puis bilan énergétique, qui conduit à la loi de Beer-Lambert. Tout se fait en notation complexe, avec la convention $e^{j(\omega t-kx)}$ de l'énoncé.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Prendre le rotationnel de Maxwell-Faraday et utiliser l'identité de l'annexe.
> [!INDICATION]
> Que vaut le terme en gradient de la divergence ? Utiliser ensuite Maxwell-Ampère.
#### Solution
$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec E}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\underline{\vec E})-\Delta\underline{\vec E}=-\Delta\underline{\vec E},$$
car $\mathrm{div}\,\underline{\vec E}=0$. D'autre part, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(-\dfrac{\partial\underline{\vec B}}{\partial t}\right)=-\dfrac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec B}=-\underline\varepsilon\mu_0\dfrac{\partial^2\underline{\vec E}}{\partial t^2}$. D'où
$$\boxed{\Delta\underline{\vec E}-\underline\varepsilon\mu_0\frac{\partial^2\underline{\vec E}}{\partial t^2}=\vec0}$$
> [!JURY]
> Il faut dire explicitement pourquoi le terme $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec E)$ disparaît, et ne pas se contenter de l'omettre.
### Question 28
> [!INDICATION]
> En notation complexe, comment agissent $\partial/\partial t$ et $\partial/\partial x$ sur la forme proposée ?
#### Solution
On a $\partial/\partial x\to-j\underline k$ et $\partial/\partial t\to j\omega$, donc $(-\underline k^2+\underline\varepsilon\mu_0\omega^2)\underline{\vec E}=\vec0$. Pour une onde non nulle :
$$\boxed{\underline k^2=\mu_0\omega^2(\varepsilon_r-j\varepsilon_i)}$$
### Question 29
> [!INDICATION]
> Factoriser $\varepsilon_r$ et utiliser un développement limité de $\sqrt{1+u}$ pour $|u|\ll1$.
> [!INDICATION]
> Une racine carrée complexe a deux déterminations : laquelle correspond à une onde qui avance vers les $x$ croissants et qui s'atténue ?
#### Solution
$\underline k^2=\mu_0\varepsilon_r\omega^2\left(1-j\dfrac{\varepsilon_i}{\varepsilon_r}\right)$, donc $\underline k\simeq\pm\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_r}\left(1-\dfrac j2\dfrac{\varepsilon_i}{\varepsilon_r}\right)$. Le signe $+$ donne $k'>0$ (propagation vers les $x$ croissants) et $k''>0$ (atténuation) :
$$\boxed{k'=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_r},\qquad k''=\frac{\omega\varepsilon_i}2\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_r}}}$$
On a bien $k''\ll k'$.
> [!PIEGE]
> Avec la convention $e^{j(\omega t-kx)}$, une atténuation correspond à $\underline k=k'-jk''$ avec $k''>0$. Avec la convention $e^{i(kx-\omega t)}$, les signes s'inversent : il faut s'en tenir à celle de l'énoncé.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Séparer dans $e^{-j\underline kx}$ un facteur réel et un facteur de phase, puis prendre la partie réelle.
#### Solution
$\underline{\vec E}=E_0e^{-k''x}e^{j(\omega t-k'x)}\vec u_y$, donc
$$\boxed{\vec E(x,t)=E_0e^{-k''x}\cos(\omega t-k'x)\vec u_y}$$
**Le milieu est absorbant** : l'amplitude décroît exponentiellement avec $x$, car $k''>0$. L'onde cède de l'énergie au milieu sur une distance caractéristique $1/k''$.
### Question 31
> [!INDICATION]
> La vitesse de phase se lit sur la partie réelle du vecteur d'onde. Le caractère dispersif se juge sur la dépendance en $\omega$.
#### Solution
$$\boxed{v_\varphi=\frac\omega{k'}=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_r}}}$$
Si $\varepsilon_r$ est une constante du milieu, $v_\varphi$ ne dépend pas de $\omega$ : **le milieu n'est pas dispersif dans ce modèle**. En réalité, $\varepsilon_r$ dépend de $\omega$ au voisinage des bandes d'absorption, et le milieu est alors dispersif.
> [!PIEGE]
> « Absorbant » et « dispersif » sont deux notions distinctes. Un $\underline k$ complexe signale une absorption, pas une dispersion.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Utiliser Maxwell-Faraday en notation complexe : à quoi se ramènent le rotationnel et la dérivée temporelle ?
#### Solution
$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec E}=\dfrac{\partial\underline E_y}{\partial x}\vec u_z=-j\underline k\,\underline E_y\vec u_z$ et $-\dfrac{\partial\underline{\vec B}}{\partial t}=-j\omega\underline{\vec B}$, donc $\underline{\vec B}=\dfrac{\underline k}\omega\underline E_y\vec u_z$ :
$$\boxed{\underline{\vec B}(x,t)=\frac{k'-jk''}\omega E_0e^{-k''x}e^{j(\omega t-k'x)}\vec u_z}$$
> [!METHODE]
> Pour une onde plane en notation complexe, $\underline{\vec B}=\dfrac{\underline k\,\vec u_x\wedge\underline{\vec E}}{\omega}$. Le facteur $\underline k/\omega$ complexe traduit un léger déphasage entre $\vec B$ et $\vec E$, qui n'existe pas dans le vide.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Appliquer la formule de l'annexe avec le **conjugué** de $\underline{\vec B}$. Que deviennent les facteurs de phase ? Et les facteurs d'atténuation ?
> [!INDICATION]
> Seule la partie réelle de $(k'+jk'')/\omega$ subsiste.
#### Solution
$\underline{\vec B}^*=\dfrac{k'+jk''}\omega E_0e^{-k''x}e^{-j(\omega t-k'x)}\vec u_z$ et $\vec u_y\wedge\vec u_z=\vec u_x$, donc
$$\langle\vec\Pi\rangle=\frac{k'E_0^2}{2\mu_0\omega}e^{-2k''x}\vec u_x\quad\Longrightarrow\quad\boxed{I=I_0e^{-x/\delta},\quad I_0=\frac{k'E_0^2}{2\mu_0\omega},\quad\delta=\frac1{2k''}}$$
> [!PIEGE]
> L'amplitude décroît en $e^{-k''x}$, mais l'intensité, quadratique, décroît en $e^{-2k''x}$. Écrire $\delta=1/k''$ est faux.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Où se trouve la sortie de la cuve ?
#### Solution
En $x=e$ :
$$\boxed{I_s=I_0\exp(-\alpha c_0e)}$$
Ici, $e$ désigne l'épaisseur de la cuve et $\alpha$ le coefficient défini par $\delta=1/(\alpha c_0)$, à ne pas confondre avec la constante de Morse.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Passer du logarithme népérien au logarithme décimal avec l'annexe.
#### Solution
$$\boxed{A=\frac{\alpha c_0e}{\ln10},\qquad T=\exp(-\alpha c_0e)}$$
On vérifie que $T=10^{-A}$.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Substitution directe, puis nommer la loi de chimie analytique ainsi obtenue.
#### Solution
$$\boxed{A=\epsilon_{em}c_0e}$$
C'est la **loi de Beer-Lambert**.
> [!METHODE]
> Le modèle montre l'origine de la loi : une décroissance exponentielle de l'intensité, valable pour une solution homogène, une lumière monochromatique et des réflexions négligées, dont le taux est proportionnel à la concentration.
## Partie II — Principe de fonctionnement d'un spectrophotomètre infrarouge
### II.1 — Étude de la source infrarouge
On étudie la structure de l'alliage (chimie de PCSI), puis un bilan de puissance sur la tige en régime permanent, résolu numériquement par dichotomie.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Appliquer la règle de Klechkowski. Le nickel fait-il partie des exceptions usuelles ?
> [!INDICATION]
> Pour un élément du bloc $d$, la colonne se lit sur le total des électrons $ns$ et $(n-1)d$.
#### Solution
$$\boxed{\mathrm{Ni}:\ 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^2\,3d^8}$$
La couche $n=4$ est la plus élevée occupée : **4e ligne**. Il y a $2+8=10$ électrons de valence : **10e colonne**.
> [!PIEGE]
> Le chrome ($4s^1\,3d^5$) et le cuivre sont des exceptions à la règle de Klechkowski, pas le nickel. Compter seulement les 8 électrons $3d$ donnerait la colonne 8, ce qui est faux.
### Question 38
> [!INDICATION]
> Quelle fraction d'un atome placé à un sommet, ou au centre d'une face, appartient à la maille ?
#### Solution
$$N(\mathrm{Ni})=8\times\tfrac18+4\times\tfrac12=3,\qquad N(\mathrm{Cr})=2\times\tfrac12=1 .$$
**3 Ni et 1 Cr par maille**, d'où la formule Ni₃Cr.
> [!METHODE]
> Une maille CFC contient toujours 4 sites. La somme des atomes doit donc valoir 4, ce qui permet de contrôler le décompte.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Masse volumique : masse d'une maille divisée par son volume. Passer des masses molaires aux masses d'atomes.
#### Solution
$\mu(\mathrm{NiCr})=\dfrac{3M(\mathrm{Ni})+M(\mathrm{Cr})}{N_Aa^3}$, donc
$$\boxed{a=\left(\frac{3M(\mathrm{Ni})+M(\mathrm{Cr})}{N_A\,\mu(\mathrm{NiCr})}\right)^{1/3}}$$
Ici, $\mu$ désigne une masse volumique, sans lien avec la masse réduite de la partie I.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Dans une structure CFC, sur quelle droite se trouvent deux plus proches voisins ?
> [!INDICATION]
> Utiliser l'aide aux calculs avec $\sqrt2\simeq1{,}4$.
#### Solution
Un sommet et le centre d'une face adjacente sont alignés sur la diagonale de face, de longueur $a\sqrt2$, qui contient deux distances entre voisins. Donc $d=a/\sqrt2$ :
$$\boxed{d\simeq\frac{350}{1{,}4}=250\ \mathrm{pm}}$$
> [!PIEGE]
> La grande diagonale du cube ($a\sqrt3$) est la direction de contact de la structure cubique centrée, pas de la CFC. Le quotient $350/1{,}7$ de l'aide aux calculs ne sert donc pas ici.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.
#### Solution
$$\boxed{P_{\text{élec}}=Ri^2=\frac{Li^2}{\gamma\pi a^2}}$$
### Question 42
> [!INDICATION]
> La tige émet selon la loi de Stefan, mais elle reçoit aussi le rayonnement du gaz, considéré comme un corps noir.
> [!INDICATION]
> Quelle surface retenir pour une tige longue et fine ?
#### Solution
On néglige les bases ($L\gg a$) : la surface d'échange est $S=2\pi aL$. La puissance nette cédée au gaz est
$$\boxed{P_{ray}=2\pi aL\,\sigma(T_s^4-T_a^4)}$$
C'est cohérent avec l'équation imposée en Q44, où seul $2\pi aL$ se simplifie.
> [!PIEGE]
> Oublier le rayonnement reçu, c'est-à-dire écrire $2\pi aL\sigma T_s^4$, rend la Q44 impossible.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Loi de Newton sur la même surface. Choisir le signe en fonction du sens de l'échange.
#### Solution
$$\boxed{P_{cc}=2\pi aL\,H(T_s-T_a)}$$
C'est une puissance cédée par la tige, positive puisque $T_s>T_a$.
### Question 44
> [!INDICATION]
> En régime permanent, que dire de l'énergie interne de la tige ?
#### Solution
Système : la tige. En régime permanent, $\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=0=P_{\text{élec}}-P_{ray}-P_{cc}$. On divise par $2\pi aL$ :
$$\frac{i^2}{2\pi^2\gamma a^3}=\sigma(T_s^4-T_a^4)+H(T_s-T_a)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\sigma T_a^4+HT_a=\sigma T_s^4+HT_s-\frac{i^2}{2\pi^2\gamma a^3}}$$
Contrôle : pour $i=0$, on retrouve $T_a=T_s$.
> [!JURY]
> Un bilan s'écrit en annonçant le système, le régime (permanent, d'où $\mathrm dU/\mathrm dt=0$) et une convention de signe cohérente pour les puissances.
### Question 45
> [!INDICATION]
> La dichotomie cherche un zéro : tout ramener dans un seul membre.
#### Solution
Le programme 2 n'importe pas numpy : on importe $\pi$ depuis `math`.
```python
from math import pi
def f(x): # instruction 4
return sigma*x**4 + H*x - sigma*Ts**4 - H*Ts + i**2/(2*pi**2*gamma*a**3)
```
> [!PIEGE]
> Le terme Joule change de signe en passant à gauche. Avec le mauvais signe, on trouve $T_a\simeq1\,014$ K, plus chaud que la tige, ce qui est absurde. Par ailleurs, `i` désigne ici l'intensité : il ne faut pas l'utiliser comme indice de boucle.
### Question 46
> [!INDICATION]
> Traduire le principe de l'énoncé : une boucle qui s'arrête quand l'intervalle est assez étroit.
> [!INDICATION]
> Comment tester que $f(b)$ et $f(m)$ sont de même signe, sans supposer $f$ croissante ?
#### Solution
```python
def dichotomie(f, b, c, p): # instructions 5
while c - b > p:
m = (b + c)/2
if f(b)*f(m) > 0: # même signe : racine dans [m, c]
b = m
else:
c = m
return (b + c)/2
```
$f$ est continue et strictement croissante. On a $f(298)\simeq-5{,}4\cdot10^4<0$ et $f(1\,000)\simeq+3{,}2\cdot10^3>0$ : la racine est unique, et 10 itérations suffisent pour $p=1$ K. L'énoncé contient deux coquilles : `Dichotomie` avec une majuscule dans l'appel, et l'espace dans `print(f "…")`, qui est une erreur de syntaxe.
> [!METHODE]
> La dichotomie se code avec trois éléments : un critère d'arrêt sur la largeur de l'intervalle, un test de signe par produit, et une valeur renvoyée par `return`, pas affichée.
### Question 47
> [!INDICATION]
> Comparer $T_a$ à $T_s$ : le sens de l'écart est-il cohérent ? Pourquoi l'écart est-il si faible ?
> [!INDICATION]
> Comparer le terme Joule à $\sigma T_s^4$, puis se demander si 986 K est une température « ambiante » vraisemblable.
#### Solution
On a $T_a\simeq986$ K $<T_s$, ce qui est cohérent avec le fait que la tige cède de la chaleur. L'écart n'est que de 14 K, parce que le terme Joule ($\simeq3{,}2\cdot10^3$ W·m⁻²) ne représente que 5,6 % de $\sigma T_s^4\simeq5{,}7\cdot10^4$ W·m⁻². En linéarisant :
$$\Delta T\simeq\frac{3{,}2\cdot10^3}{4\sigma T_s^3+H}\simeq14\ \mathrm K .$$
Une température ambiante de 713 °C est cependant irréaliste, ce qui révèle les limites du modèle. L'air (N₂, O₂) n'est pas un corps noir : il est transparent dans l'IR, et le rayonnement est absorbé par des parois plus froides. $H=1$ W·m⁻²·K⁻¹ est faible pour de l'air (plutôt 5 à 25). Les pertes par les supports et les extrémités sont négligées.
> [!JURY]
> « Commenter » une valeur, c'est la confronter à un ordre de grandeur et aux hypothèses du modèle. Paraphraser le résultat ne suffit pas.
### II.2 — Monochromateur à réseau
On établit le déphasage entre deux traits du réseau, puis on simule le filtrage par une fente. Les outils sont la différence de marche, le rôle d'une lentille, les conditions de Gauss, les nombres complexes en Python et les boucles imbriquées.
### Question 48
> [!INDICATION]
> Sous incidence normale, les traits vibrent en phase. Projeter l'écart $a$ entre deux traits sur la direction des rayons émergents.
> [!INDICATION]
> La lentille ajoute-t-elle une différence de marche entre des rayons parallèles qui convergent en $M$ ? Où convergent les rayons inclinés de $\theta$ ?
#### Solution
On a $\delta=a\sin\theta$.
Par le théorème de Malus et le stigmatisme de la lentille, celle-ci n'ajoute pas de différence de marche entre la surface d'onde et $M$. L'écran est dans le plan focal image, donc $x=f'\tan\theta$, et dans les conditions de Gauss $\sin\theta\simeq x/f'$. Avec $a=1/n$ :
$$\boxed{\delta\simeq\frac x{nf'},\qquad\varphi=\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}=\frac{2\pi x}{\lambda_0nf'}}$$
> [!PIEGE]
> $n$ est un nombre de traits **par unité de longueur** : il est au dénominateur, car $a=1/n$. On vérifie que $nf'$ est sans dimension.
### Question 49
> [!INDICATION]
> Traduction directe de la Q48. Attention au nom du paramètre.
#### Solution
```python
import numpy as np
def phi(x, lamda): # instruction 6
return 2*np.pi*x/(lamda*n*f)
```
`lambda` est un mot-clé réservé de Python, d'où le nom `lamda` imposé.
### Question 50
> [!INDICATION]
> Sommer les $N$ exponentielles complexes, puis multiplier par le conjugué.
> [!INDICATION]
> Le résultat sera comparé à un seuil en Q54 : quel type doit-il avoir ?
#### Solution
On prend $A_0=1$, de sorte que la fonction renvoie $I/I_0$.
```python
def intensite(x, lamda): # instructions 7
p = np.linspace(0, N-1, N) # indices 0..N-1
A = np.sum(np.exp(-1j*p*phi(x, lamda)))
return (A*A.conjugate()).real
```
Contrôle : en $x=0$, on obtient $N^2=10^6$, comme sur la figure 10.
> [!PIEGE]
> En Python, l'unité imaginaire s'écrit `1j`. Sans `.real`, le résultat reste de type complexe, et la comparaison avec un seuil lève une erreur.
### Question 51
> [!INDICATION]
> La fente a une largeur $b$ et elle est centrée en $x_0$.
#### Solution
```python
x_min = x0 - b/2 # instructions 8.1
x_max = x0 + b/2
```
### Question 52
> [!INDICATION]
> Deux appels à la même fonction de l'annexe.
#### Solution
```python
X_list = np.linspace(x_min, x_max, 1000) # instructions 8.2
Lambda_list = np.linspace(2e-6, 6e-6, 1000)
```
Le pas en longueur d'onde vaut $4\cdot10^{-6}/999\simeq4\cdot10^{-9}$ m : il interviendra en Q56.
### Question 53
> [!INDICATION]
> Quand l'intensité est-elle maximale ? Lire l'ordonnée des pics sur la figure 10.
#### Solution
Les $N$ ondes en phase donnent $I_{\max}=N^2I_0=10^6$ :
```python
I_seuil = 0.1*N**2 # instruction 8.3
```
### Question 54
> [!INDICATION]
> Deux boucles imbriquées, dans l'ordre indiqué par l'énoncé, et une liste remplie par `append`.
#### Solution
```python
longueur_onde = [] # instructions 8.4
for lamda in Lambda_list:
for x in X_list:
if intensite(x, lamda) > I_seuil:
longueur_onde.append(lamda)
```
Les doublons sont sans conséquence pour la suite.
### Question 55
> [!INDICATION]
> L'annexe fournit `max` et `min`.
#### Solution
```python
return max(longueur_onde) - min(longueur_onde) # instruction 8.5
```
### Question 56
> [!INDICATION]
> Commencer par identifier la longueur d'onde transmise : quel ordre d'interférence tombe en $x_0=3$ cm ?
> [!INDICATION]
> Comparer $\Delta\lambda$ à la largeur imposée par la fente, à $\lambda_0$ et à l'étendue du spectre de la source. Penser aussi au pas de `Lambda_list`.
> [!INDICATION]
> Pour faire le lien avec la partie I, convertir la résolution en nombre d'onde.
#### Solution
Les maxima principaux vérifient $\varphi=2\pi p$, soit $\lambda=x/(p\,nf')$ avec $nf'=10^4$. En $x_0=3$ cm, l'ordre 1 donne $\lambda_0=3$ µm, qui est dans le spectre. L'ordre 2 donnerait 1,5 µm, hors spectre. **Seul l'ordre 1 est transmis, autour de 3 µm.**
La largeur obtenue a deux origines. La fente donne $\Delta\lambda_{\text{fente}}=b/(nf')=10^{-8}$ m. La largeur propre d'un pic, finie car $N=1\,000$, vaut environ $4\cdot10^{-9}$ m au dixième du maximum. La somme, environ $1{,}4\cdot10^{-8}$ m, est échantillonnée au pas de $4\cdot10^{-9}$ m de `Lambda_list` : quatre valeurs sont retenues, d'où $\Delta\lambda=1{,}2\cdot10^{-8}$ m.
$$\boxed{\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}=4\cdot10^{-3},\qquad\frac{\lambda_0}{\Delta\lambda}\simeq250}$$
La bande transmise est environ 300 fois plus étroite que le spectre de la source : le faisceau est quasi monochromatique. En nombre d'onde, $\Delta\sigma=\Delta\lambda/\lambda_0^2\simeq13$ cm⁻¹, très inférieur aux écarts entre les bandes de la Q14 (350 cm⁻¹ et plus) : l'appareil sépare sans peine les liaisons simple, double et triple. C'est la fente qui limite la résolution. La rétrécir l'améliorerait, au prix d'une perte de flux lumineux.
> [!METHODE]
> Pour commenter une résolution spectrale, on la rapporte à $\lambda_0$ (pouvoir de résolution), à l'étendue du spectre et aux grandeurs que l'on veut séparer. On identifie aussi le facteur limitant : la fente, le réseau ou la discrétisation numérique.
## Bilan
**Méthodes à retenir**
- Lire un profil d'énergie potentielle : équilibre et stabilité, état lié ou libre, énergie de dissociation (Q2-Q3). Linéariser au voisinage d'un minimum pour obtenir $k=E_p''(x_e)$ (Q4-Q5).
- Ramener un problème à deux corps à une masse réduite (Q6-Q8). Associer des ressorts en parallèle : même allongement, les raideurs s'ajoutent (Q11).
- Séparer les variables dans l'équation de Schrödinger (Q15). Utiliser le schéma centré de la dérivée seconde et une récurrence à deux termes en Python (Q16-Q23).
- Onde dans un milieu de permittivité complexe : relation de dispersion, choix de la racine, atténuation de l'amplitude en $e^{-k''x}$ et de l'intensité en $e^{-2k''x}$ (Q27-Q33). On aboutit à la loi de Beer-Lambert (Q34-Q36).
- Décompter les atomes d'une maille, relier masse volumique et paramètre de maille, trouver la direction de contact en CFC (Q38-Q40).
- Bilan de puissance en régime permanent avec rayonnement et conducto-convection (Q41-Q44). Programmer une dichotomie (Q46).
- Réseau en conditions de Gauss : $\varphi=2\pi x/(\lambda nf')$ (Q48). Calculer une intensité à $N$ ondes en Python et estimer une résolution spectrale (Q50-Q56).
**Prérequis à revoir** : la règle de Klechkowski et ses exceptions, les identités d'analyse vectorielle, la notation complexe et la convention de signe, le vecteur de Poynting moyen, les fonctions numpy `linspace`, `zeros`, `sum` et les indices négatifs de Python.
**Questions classiques transposables** : potentiel de Morse ou de Lennard-Jones (Q1-Q5), masse réduite (Q8), effet de peau ou absorption dans un milieu conducteur (Q27-Q33), maille CFC (Q38-Q40), fil chauffé par effet Joule (Q41-Q44), pouvoir de résolution d'un réseau (Q56). Dans chacun de ces exercices, il faut chiffrer le résultat puis le confronter à la réalité physique.
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