Maths

# Épreuve spécifique — Filière PSI

## Mathématiques

Session 2026. Code : PSI1M.

Durée : 4 heures.

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

### Rappel des consignes

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème indépendants.

## Exercice 1

### Un jeu de pile ou face

#### Préliminaires

**Q1.** On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{1-x}$.

Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $f$ est de classe $\mathscr{C}^k$ sur $]-1, 1[$, et que pour tout $x \in ]-1, 1[$,

$$
f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}.
$$

**Q2.** Établir que :

$$
\forall k \in \mathbb{N},\ \forall x \in ]-1, 1[,\quad \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!}\, x^{n-k} = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}.
$$

#### Étude d’un jeu de Pile ou Face

Soit $p \in ]0, 1[$. Deux joueurs effectuent des lancers indépendants d’une même pièce. À chaque lancer, la probabilité d’obtenir Pile est $p$. Le jeu se déroule de la manière suivante.

- Le joueur 1 effectue une succession de lancers et s’arrête lorsqu’il obtient Pile pour la première fois. On admettra qu’avec une probabilité 1, le joueur obtient Pile après un nombre fini de lancers.
- Le joueur 2 effectue ensuite le même nombre de lancers que le joueur 1 et compte le nombre de fois où il a obtenu Pile.

On admet que l’expérience est modélisée par un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathrm{P})$.

- On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers effectués par le joueur 1.
- On note $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de Pile obtenus par le joueur 2.

**Q3.** Préciser la loi de $X$.

**Q4.** Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ et tout entier $k \in \mathbb{N}$, calculer la probabilité de l’événement $\{Y = k\}$ sachant $\{X = n\}$, notée par la suite $\mathrm{P}(Y = k \mid X = n)$.

**Q5.** Pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, exprimer $\mathrm{P}(Y = k)$ en fonction des réels $\mathrm{P}(Y = k \mid X = n)$ et $\mathrm{P}(X = n)$, pour $n \in \mathbb{N}^*$.

**Q6.** Établir que :

$$
\mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1-p}{2-p}.
$$

**Q7.** Établir que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :

$$
\mathrm{P}(Y = k) = \frac{(1-p)^{k-1}}{(2-p)^{k+1}}.
$$

## Exercice 2

### Une caractérisation de la fonction Gamma

L’objet de cet exercice est l’étude d’une caractérisation de la fonction Gamma connue sous le nom de théorème de Bohr-Mollerup.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant.

**Lemme 1.** Si $g$ est une fonction convexe sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ et $a \in I$, alors pour tous $x, y$ éléments de $I \setminus \{a\}$ tels que $x \leqslant y$,

$$
\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leqslant \frac{g(y)-g(a)}{y-a}.
$$

Dans cet exercice, nous cherchons à montrer que la seule fonction $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ qui vérifie :

$$
\begin{cases}
\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ f(x+1) = x f(x) \\
f(1) = 1 \\
\ln \circ f \text{ est une fonction convexe}
\end{cases}
\tag{S}
$$

est la fonction $\Gamma$, définie par :

$$
\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\quad \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t.
$$

#### Existence : la fonction $\Gamma$ vérifie $(S)$

**Q8.** Montrer que la fonction $\Gamma$ est bien définie sur $\mathbb{R}_+^*$ et que $\Gamma(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$.

**Q9.** Montrer que $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$.

Dans les questions **Q10** à **Q12**, $a$ et $b$ désignent des réels vérifiant $0 < a < 1 < b$ et $\varphi$ désigne la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$
\varphi(t) =
\begin{cases}
t^{a-1} & \text{si } t \in ]0, 1] \\
t^{b-1} e^{-t} & \text{si } t \in ]1, +\infty[
\end{cases}.
$$

**Q10.** Établir que :

$$
\forall (x, t) \in [a, b] \times \mathbb{R}_+^*,\quad t^{x-1} e^{-t} \leqslant \varphi(t).
$$

**Q11.** Pour $k \in \{0, 1, 2\}$, on définit la fonction $\psi_k$ sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$
\forall t \in \mathbb{R}_+^*,\quad \psi_k(t) = |\ln t|^k\, \varphi(t).
$$

Montrer que les fonctions $\psi_k$ ($k \in \{0, 1, 2\}$) sont intégrables sur $\mathbb{R}_+^*$.

**Q12.** Déduire des deux questions précédentes que la fonction $\Gamma$ est de classe $\mathscr{C}^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Donner l’expression des deux fonctions $\Gamma'$ et $\Gamma''$ sous une forme intégrale.

**Q13.** Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}_+^*$ vérifiant $\alpha < \beta$. Pour tout couple $(u, v)$ de fonctions continues sur $[\alpha, \beta]$, on pose :

$$
\langle u, v \rangle = \int_{\alpha}^{\beta} u(t) v(t)\, \mathrm{d}t.
$$

Montrer que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ définit un produit scalaire sur $\mathscr{C}^0([\alpha, \beta])$.

**Q14.** En utilisant la question **Q13** et en ayant recours à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que :

$$
\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\quad \bigl(\Gamma'(x)\bigr)^2 \leqslant \Gamma(x)\, \Gamma''(x).
$$

En déduire que la fonction $\ln \circ \Gamma$ est convexe et conclure que $\Gamma$ vérifie bien $(S)$.

#### Unicité

On suppose que $f$ est une fonction de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}_+^*$ qui vérifie $(S)$. On introduit par ailleurs la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$
\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\quad g(x) = \ln\bigl(f(x)\bigr).
$$

**Q15.** Montrer que si $x \in \mathbb{R}_+^*$ et $n \in \mathbb{N}$, on a :

$$
f(x+n) = x(x+1)\ldots(x+n-1) f(x).
$$

En déduire les valeurs de $f(n+1)$ et de $g(n+1)$.

**Q16.** Montrer que :

$$
\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall n \in \mathbb{N},\quad g(x+n+1) = g(x) + \ln\bigl(x(x+1)\ldots(x+n)\bigr).
$$

**Q17.** À l’aide du **Lemme 1**, justifier que :

$$
\forall x \in ]0, 1],\ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad g(n+1) - g(n) \leqslant \frac{g(x+n+1) - g(n+1)}{x} \leqslant g(n+2) - g(n+1).
$$

**Q18.** À l’aide des questions **Q16** et **Q17**, établir que :

$$
\forall x \in ]0, 1],\quad f(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x\, n!}{x(x+1)\ldots(x+n)}.
\tag{1}
$$

**Q19.** Déduire des questions **Q14** et **Q18** que pour tout $x \in ]0, 1]$, $f(x) = \Gamma(x)$.

**Q20.** En utilisant la question **Q15**, conclure que $f = \Gamma$.

## Problème

### Étude d’une classe d’endomorphismes

#### Notations

Dans tout le problème, $\mathbb{K}$ désigne indifféremment $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \geqslant 1$.

On note $\mathscr{L}(E)$ l’ensemble des endomorphismes de $E$.

Pour tout $u \in \mathscr{L}(E)$, par convention $u^0 = \mathrm{Id}_E$ et pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ on note :

$$
u^k = \underbrace{u \circ u \circ \ldots \circ u}_{k \text{ fois}}.
$$

Soient $k \in \mathbb{N}$ et $F_1, \ldots, F_k$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsque la somme $F_1 + \ldots + F_k$ est directe, on la note $\bigoplus_{i=1}^{k} F_i$. Par convention, si $k = 0$ (cas d’une somme vide), la somme vaut $\{0\}$.

Pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, on note $M_p(\mathbb{K})$ le $\mathbb{K}$-espace vectoriel des matrices de taille $p \times p$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ et $\mathbb{K}_p[X]$ le $\mathbb{K}$-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré inférieur ou égal à $p$.

Soit $u \in \mathscr{L}(E)$. On admet que les assertions suivantes sont équivalentes :

$(i)$ il existe $(p, q) \in \mathbb{N}^2$ tels que $p + 2q = n$ et des sous-espaces vectoriels $D_1, \ldots, D_p, P_1, \ldots, P_q$ de $E$ stables par $u$, les $D_i$ étant de dimension 1 et les $P_j$ de dimension 2, tels que :

$$
E = \bigoplus_{i=1}^{p} D_i \oplus \bigoplus_{j=1}^{q} P_j.
$$

$(ii)$ il existe $(p, q) \in \mathbb{N}^2$ tels que $p + 2q = n$ et une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs avec des blocs de taille 1 ou 2. Autrement dit,

$$
\exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{K}^p,\ \exists (M_1, \ldots, M_q) \in M_2(\mathbb{K})^q :\quad
\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}} u =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & & & \\
& \ddots & & & (0) & \\
& & \lambda_p & & & \\
& & & M_1 & & \\
& (0) & & & \ddots & \\
& & & & & M_q
\end{pmatrix}.
$$

Dans tout le problème, on note $\mathcal{D}$ l’ensemble des endomorphismes de $E$ qui vérifient $(i)$ ou $(ii)$.

#### Objectif du problème

L’objet de ce problème est d’étudier quelques propriétés de l’ensemble $\mathcal{D}$. Après avoir étudié deux exemples dans la **partie I**, on étudie dans la **partie II** les endomorphismes nilpotents de $\mathcal{D}$. Dans la **partie III**, on démontre un critère d’appartenance à $\mathcal{D}$ faisant intervenir des polynômes annulateurs.

### Partie I — Deux exemples

Dans cette partie, on note $E = \mathbb{K}_2[X]$. On définit $u, v \in \mathscr{L}(E)$ par :

$$
\begin{array}{ccc}
u : E \longrightarrow E & & v : E \longrightarrow E \\
P \longmapsto X^2 P'' + P' & & P \longmapsto P''.
\end{array}
$$

#### Étude de $u$

**Q21.** Écrire la matrice de $u$ dans la base canonique de $\mathbb{K}_2[X]$. Est-elle diagonalisable ?

**Q22.** Déterminer $\ker u^2$ et justifier que $\ker u^2$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$.

**Q23.** Donner une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle :

$$
\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) =
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

et conclure que $u \in \mathcal{D}$.

#### Étude de $v$

**Q24.** Donner la matrice de $v$ dans la base canonique de $\mathbb{K}_2[X]$.

**Q25.** Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension 1 stables par $v$.

**Q26.** Montrer que $\mathbb{K}_1[X]$ est le seul sous-espace vectoriel de $E$ de dimension 2 stable par $v$.

**Q27.** En déduire que $v \in \mathcal{D}$.

**Q28.** $\mathcal{D}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}(E)$ ?

### Partie II — Le cas des endomorphismes nilpotents

Un endomorphisme $u \in \mathscr{L}(E)$ est dit nilpotent s’il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $u^k = 0$. Dans ce cas, le plus petit entier naturel $k$ vérifiant $u^k = 0$ est appelé indice de nilpotence de $u$.

Dans la suite, on note $\mathcal{N}$ l’ensemble des endomorphismes de $E$ nilpotents et on pose :

$$
N_2 = \{ u \in \mathscr{L}(E) : u^2 = 0 \}.
$$

Dans toute cette partie, $u \in \mathcal{N}$ est un endomorphisme nilpotent d’indice $k \in \mathbb{N}^*$ et de rang $r \in \mathbb{N}$.

On note $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})$.

#### Cas $n = 1$

**Q29.** Que dire de $u$ si $\dim E = 1$ ?

#### Cas $n = 2$

On suppose dans ce cas que $\dim E = 2$ et que $u$ est non nul.

**Q30.** Soit $x \in E$ tel que $u^{k-1}(x) \neq 0$. Justifier que $\bigl(u^{k-1}(x), u^{k-2}(x), \ldots, u(x), x\bigr)$ est une famille libre.

**Q31.** En déduire que $k = 2$, puis que $u \in N_2$.

#### Cas général

$E$ désigne maintenant un espace vectoriel de dimension $n \geqslant 1$.

**Q32.** Montrer que $\mathcal{D} \cap \mathcal{N} \subset N_2$.

Soit $u \in N_2$.

**Q33.** Justifier que $\operatorname{Im} u \subset \ker u$ et que $r \leqslant n - r$.

**Q34.** Notons $(e_1, \ldots, e_r)$ une base de $\operatorname{Im} u$ que l’on complète en une base $(e_1, \ldots, e_{n-r})$ de $\ker u$. Soient $f_1, \ldots, f_r \in E$ tels que pour tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$, $u(f_i) = e_i$. Montrer que la famille $(e_1, \ldots, e_{n-r}, f_1, \ldots, f_r)$ est une base de $E$.

**Q35.** Montrer qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme diagonale par blocs :

$$
\begin{pmatrix}
0_{n-2r} & & & \\
& J & & (0) \\
& & \ddots & \\
& (0) & & J
\end{pmatrix},
$$

où $0_{n-2r}$ désigne la matrice nulle de $M_{n-2r}(\mathbb{K})$ et où les autres blocs diagonaux égaux à $J$ sont au nombre de $r$.

**Q36.** En déduire que $N_2 = \mathcal{D} \cap \mathcal{N}$.

### Partie III — Un critère d’appartenance à $\mathcal{D}$

Dans toute cette partie, $u \in \mathscr{L}(E)$ est un endomorphisme quelconque.

On souhaite montrer que s’il existe un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples ou doubles, alors $u \in \mathcal{D}$.

**Q37.** Soient $a, b \in \mathbb{K}$, distincts. On définit :

$$
\begin{array}{ccc}
\varphi : \mathbb{K}_1[X]^2 & \longrightarrow & \mathbb{K}_3[X] \\
(A, B) & \longmapsto & (X-a)^2 A + (X-b)^2 B.
\end{array}
$$

Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme. En déduire l’existence d’un couple $(A, B) \in \mathbb{K}_1[X]^2$ tel que :

$$
(X-a)^2 A + (X-b)^2 B = 1.
$$

**Q38.** Justifier que pour tous $a, b \in \mathbb{K}$ distincts, $\ker(u - a\, \mathrm{Id}_E)^2 \cap \ker(u - b\, \mathrm{Id}_E)^2 = \{0\}$.

Soient $(p, q) \in \mathbb{N}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ et $(\alpha_1, \ldots, \alpha_p) \in \mathbb{K}^p$ et $(\beta_1, \ldots, \beta_q) \in \mathbb{K}^q$ deux familles de scalaires telles que les $\alpha_1, \ldots, \alpha_p, \beta_1, \ldots, \beta_q$ sont distincts. On notera que l’une des deux familles $(\alpha_1, \ldots, \alpha_p)$ et $(\beta_1, \ldots, \beta_q)$ peut éventuellement être vide.

**Q39.** Justifier que la somme :

$$
\bigoplus_{i=1}^{p} \ker(u - \alpha_i\, \mathrm{Id}_E)
$$

est directe.

**Q40.** Montrer que la somme :

$$
\bigoplus_{i=1}^{p} \ker(u - \alpha_i\, \mathrm{Id}_E) \oplus \bigoplus_{j=1}^{q} \ker(u - \beta_j\, \mathrm{Id}_E)^2
$$

est directe.

On pourra procéder par récurrence sur $q \in \mathbb{N}$.

**Q41.** Soit :

$$
P = \prod_{i=1}^{p} (X - \alpha_i) \prod_{j=1}^{q} (X - \beta_j)^2 \in \mathbb{K}[X].
\tag{2}
$$

Pour $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$ et $j \in \llbracket 1, q \rrbracket$, on note $P_i$, $Q_j$ et $R_j$ les polynômes tels que :

$$
P = (X - \alpha_i) P_i, \qquad P = (X - \beta_j) Q_j, \qquad P = (X - \beta_j)^2 R_j.
$$

Montrer que la famille $\mathcal{B} = (P_1, \ldots, P_p, Q_1, \ldots, Q_q, R_1, \ldots, R_q)$ est libre. En déduire que $\mathcal{B}$ est une base de $\mathbb{K}_{p+2q-1}[X]$.

On suppose à partir de maintenant que le polynôme $P$ défini en $(2)$ est annulateur de $u$.

**Q42.** En décomposant le polynôme constant égal à 1 sur la base $\mathcal{B}$, justifier que :

$$
E = \bigoplus_{i=1}^{p} \ker(u - \alpha_i\, \mathrm{Id}_E) \oplus \bigoplus_{j=1}^{q} \ker(u - \beta_j\, \mathrm{Id}_E)^2.
$$

**Q43.** Conclure que $u \in \mathcal{D}$.

On pourra utiliser le résultat de la question **Q36**.

FIN