Modélisation de systèmes physiques ou chimiques
CCINPTPC2026
# CCINP TPC — Modélisation de systèmes physiques ou chimiques 2026 · Corrigé brut
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
Épreuve TPC7MO, durée 4 h, calculatrice interdite. *Étude d'un spectrophotomètre infrarouge.*
## Partie I — Absorption vibrationnelle
### I.1 — Modèle classique de la vibration d'une molécule diatomique
#### Q1
L'argument d'une exponentielle est sans dimension : $\alpha(x - x_e)$ est sans dimension. Comme $x$ est une longueur et que l'on retranche $x_e$ à $x$, $x_e$ est une longueur, donc $\alpha$ est l'inverse d'une longueur. Enfin $\bigl(1 - \mathrm{e}^{-\alpha(x-x_e)}\bigr)^2$ est sans dimension et $E_p$ est une énergie, donc $D$ est une énergie.
$$\boxed{D \ \text{en J}\ (\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}),\qquad \alpha\ \text{en}\ \mathrm{m^{-1}},\qquad x_e\ \text{en m}}$$
#### Q2
Allure de la courbe (figure 1) : branche répulsive très raide aux petits $x$, minimum nul en $x = x_e$, puis croissance avec un point d'inflexion vers l'asymptote horizontale $E_p = D$.
En effet $E_p = D(1-u)^2 \ge 0$ avec $u = \mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}$, et $E_p = 0 \iff u = 1 \iff x = x_e$.
La position d'équilibre est $x = x_e$ (où $\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}x = 0$). **Cet équilibre est stable car $E_p$ y présente un minimum** : tout écart fait apparaître une force $-\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}x$ qui ramène le système vers $x_e$.
#### Q3
$\alpha > 0$ donc $\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)} \to 0$ quand $x \to +\infty$, et $E_p \to D$. Comme $E_p(x_e) = 0$,
$$\boxed{D = \lim_{x\to+\infty} E_p(x) - E_p(x_e)}$$
Sur l'axe des ordonnées, $D$ est l'ordonnée de l'asymptote horizontale (comptée depuis le fond du puits, d'ordonnée nulle) : c'est la profondeur du puits, énergie à fournir pour dissocier la molécule au repos en $x_e$.
#### Q4
Posons $u = \mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}$, donc $u' = -\alpha u$ et $E_p = D(1-u)^2$.
$$\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x} = 2D(1-u)(-u') = \boxed{2\alpha D\,\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\left(1 - \mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\right)}$$
En dérivant $2\alpha D(u - u^2)$ :
$$\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}x^2} = 2\alpha D\,u'(1 - 2u) = -2\alpha^2 D\,u(1-2u)$$
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}x^2} = 2\alpha^2 D\,\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)}\left(2\,\mathrm{e}^{-\alpha(x - x_e)} - 1\right)}$$
#### Q5
En $x = x_e$, $u = 1$ :
$$\boxed{E_p(x_e) = 0,\qquad \left(\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}\right)(x_e) = 0,\qquad \left(\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}x^2}\right)(x_e) = 2\alpha^2 D}$$
La dérivée seconde est strictement positive : on retrouve un minimum, donc un équilibre stable.
#### Q6
Le développement limité devient $E_p(x) \approx 0 + 0 + \frac12 (x - x_e)^2 \cdot 2\alpha^2 D$, soit $E_p(x) = \frac12 k (x - x_e)^2$ avec
$$\boxed{k = 2\alpha^2 D}$$
(homogène à des $\mathrm{J\,m^{-2}} = \mathrm{N\,m^{-1}}$, unité d'une raideur).
#### Q7
Système : atome $A$, de masse $m_A$, dans le référentiel d'étude galiléen. La molécule étant isolée, la seule force est celle de liaison, qui dérive de $E_p = \frac12 k (x - x_e)^2$ avec $x = x_B - x_A$ :
$$\vec F_{B\to A} = -\frac{\partial E_p}{\partial x_A}\,\vec u_x = -k(x - x_e)\frac{\partial x}{\partial x_A}\,\vec u_x = +k(x - x_e)\,\vec u_x$$
(si $x > x_e$, le ressort étiré tire $A$ vers $B$, dans le sens $+\vec u_x$, figure 2).
La deuxième loi de Newton projetée sur $\vec u_x$ donne $m_A \ddot x_A = k(x - x_e)$ :
$$\boxed{\ddot x_A - \frac{k}{m_A}(x - x_e) = 0}\qquad (2)$$
#### Q8
Système : atome $B$, même référentiel. $\vec F_{A\to B} = -\dfrac{\partial E_p}{\partial x_B}\vec u_x = -k(x - x_e)\vec u_x = -\vec F_{B\to A}$ (troisième loi de Newton). D'où $m_B \ddot x_B = -k(x - x_e)$ :
$$\boxed{\ddot x_B + \frac{k}{m_B}(x - x_e) = 0}\qquad (3)$$
**Le signe devant $k/m_B$ est le signe $+$.**
#### Q9
$\ddot x = \ddot x_B - \ddot x_A = -\dfrac{k}{m_B}(x - x_e) - \dfrac{k}{m_A}(x - x_e) = -k\left(\dfrac{1}{m_A} + \dfrac{1}{m_B}\right)(x - x_e)$.
En posant $\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{m_A} + \dfrac{1}{m_B}$ et en multipliant par $\mu$ : $\mu \ddot x = -k(x - x_e)$, soit
$$\boxed{\mu\ddot x + kx = kx_e,\qquad \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}}$$
#### Q10
Avec $X = x - x_e$ : $\ddot X + \dfrac{k}{\mu} X = 0$, oscillateur harmonique de pulsation $\sqrt{k/\mu}$ :
$$\boxed{f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}}}$$
#### Q11
Dans le vide $\lambda_0 = c/f_0$, donc
$$\boxed{\sigma_0 = \frac{f_0}{c} = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu}}}$$
### Validité de la loi de Hooke sur la multiplicité de la liaison
#### Q12
Le point de masse $\mu$, d'abscisse $x$ comptée depuis le support $O$, est relié à $O$ par deux ressorts identiques de longueur $x$ : ils ont le **même allongement** $x - x_e$ et exercent chacun la force $-k(x - x_e)\vec u_x$. La somme des forces vaut
$$\sum \vec F = -2k(x - x_e)\,\vec u_x = -k_{\text{éq},2}(x - x_e)\,\vec u_x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{k_{\text{éq},2} = 2k}$$
#### Q13
Par le même raisonnement (même allongement pour les trois ressorts, forces qui s'ajoutent) :
$$\boxed{k_{\text{éq},3} = 3k}$$
#### Q14
La masse réduite est la même (mêmes atomes) ; on remplace $k$ par la raideur équivalente dans Q11 :
$$\boxed{\sigma_{0,2} = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{2k}{\mu}} = \sqrt2\,\sigma_0,\qquad \sigma_{0,3} = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{3k}{\mu}} = \sqrt3\,\sigma_0}$$
#### Q15
Les trois liaisons relient les mêmes atomes C et N, donc $\mu$ est commun ; le nombre d'onde croît avec la multiplicité ($\sigma \propto \sqrt{p}$). On attribue par ordre croissant :
$$\boxed{\text{C–N} : 1{,}30\cdot10^3\ \mathrm{cm^{-1}},\qquad \text{C=N} : 1{,}65\cdot10^3\ \mathrm{cm^{-1}},\qquad \text{C}\equiv\text{N} : 2{,}20\cdot10^3\ \mathrm{cm^{-1}}}$$
Contrôle : $\sqrt2 \times 1{,}30\cdot10^3 \approx 1{,}84\cdot10^3$ et $\sqrt3 \times 1{,}30\cdot10^3 \approx 2{,}25\cdot10^3\ \mathrm{cm^{-1}}$. Le modèle donne le bon ordre ; il surestime la raideur de la double liaison (écart d'environ 11 %), la triple étant bien décrite (environ 2 %).
### I.2 — Modèle quantique
#### Q16
Avec $\psi(x,t) = \varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$ : $\dfrac{\partial\psi}{\partial t} = -\dfrac{\mathrm{i}E}{\hbar}\psi$ et $\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = \varphi''(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$. L'équation de Schrödinger donne
$$E\varphi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar} = \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}\varphi''(x) + V(x)\varphi(x)\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$$
L'exponentielle ne s'annule pas ; on simplifie, et avec $V = \frac12\mu\omega_0^2 x^2$ :
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2\mu}{\hbar^2}\left(E - \tfrac12 \mu\omega_0^2 x^2\right)\varphi(x) = 0}\qquad (6)$$
#### Q17
Formule de l'annexe appliquée en $a = x$, avec les accroissements $+\mathrm{d}x$ et $-\mathrm{d}x$ :
$$\boxed{\varphi(x + \mathrm{d}x) \approx \varphi(x) + \mathrm{d}x\,\varphi'(x) + \frac{\mathrm{d}x^2}{2}\varphi''(x),\qquad \varphi(x - \mathrm{d}x) \approx \varphi(x) - \mathrm{d}x\,\varphi'(x) + \frac{\mathrm{d}x^2}{2}\varphi''(x)}$$
#### Q18
En sommant, les termes d'ordre 1 se compensent : $\varphi(x+\mathrm{d}x) + \varphi(x - \mathrm{d}x) \approx 2\varphi(x) + \mathrm{d}x^2\,\varphi''(x)$, d'où
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\varphi(x + \mathrm{d}x) - 2\varphi(x) + \varphi(x - \mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x^2}}$$
#### Q19
Au point $x_i$, avec $\mathrm{d}x = \mathtt{Dx}$, $x_i \pm \mathtt{Dx} = x_{i\pm1}$ :
$$\boxed{\left(\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}\right)_{x_i} = \frac{\varphi_{i+1} - 2\varphi_i + \varphi_{i-1}}{\mathtt{Dx}^2}},\qquad 1 \le i \le N-2$$
#### Q20
L'équation (6) en $x_i$, avec $E = (n + \frac12)\hbar\omega_0$ et Q19 :
$$\varphi_{i+1} - 2\varphi_i + \varphi_{i-1} = \frac{2\mu}{\hbar^2}\left(\tfrac12\mu\omega_0^2 x_i^2 - (n + \tfrac12)\hbar\omega_0\right)\mathtt{Dx}^2\,\varphi_i = \frac{2\mu\omega_0}{\hbar^2}\left(\tfrac12\mu\omega_0 x_i^2 - (n + \tfrac12)\hbar\right)\mathtt{Dx}^2\,\varphi_i$$
d'où, en isolant $\varphi_{i+1}$ et en factorisant 2 :
$$\boxed{\varphi_{i+1} = 2\left[1 + \frac{\mu\omega_0}{\hbar^2}\left(\tfrac12\mu\omega_0 x_i^2 - (n + \tfrac12)\hbar\right)\mathtt{Dx}^2\right]\varphi_i - \varphi_{i-1}}\qquad (7)$$
#### Q21
$V(L) = E(5)$ s'écrit $\frac12\mu\omega_0^2 L^2 = \frac{11}{2}\hbar\omega_0$, d'où ($L > 0$)
$$\boxed{L = \sqrt{\frac{11\hbar}{\mu\omega_0}}}$$
AN de contrôle : $L = \sqrt{11 \times 1{,}05\cdot10^{-34}/10^{-14}} = \sqrt{1{,}155\cdot10^{-19}} \approx 3{,}4\cdot10^{-10}$ m, cohérent avec la figure 7.
```python
L = np.sqrt(11 * hbar / (mu * omega0)) # Q21
```
#### Q22
```python
X = np.linspace(-L, L, N) # Q22
```
#### Q23
$N$ points délimitent $N - 1$ intervalles sur une longueur $2L$ :
```python
Dx = X[1] - X[0] # Q23 (ou Dx = 2 * L / (N - 1))
```
#### Q24
```python
phi = np.zeros(N) # Q24 : phi(x_0) = 0 déjà réalisé
phi[1] = 1 # Q24 : phi(x_1) = 1
```
#### Q25
La récurrence remplit $\varphi_{i+1}$ pour $i$ de 1 à $N-2$ :
```python
for i in range(1, N - 1): # Q25
phi[i + 1] = 2 * (1 + mu * omega0 / hbar**2 * (0.5 * mu * omega0 * X[i]**2 - (n + 0.5) * hbar) * Dx**2) * phi[i] - phi[i - 1] # Q25
```
(On utilise `X[i]` et non `i*Dx`, puisque `X` commence à $-L$.) Le programme complété reproduit la figure 7 (maximum de $\varphi_0$ voisin de $7{,}4\cdot10^4\ \mathrm{m^{-1/2}}$).
#### Q26
$|\varphi(x)|^2\,\mathrm{d}x$ est la probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + \mathrm{d}x$. $K = 1$ est la **condition de normalisation** : **la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle $[-L, L]$, où elle est localisée, vaut 1 (événement certain).**
#### Q27
Méthode des rectangles à gauche sur les $N-1$ intervalles, de largeur constante $\mathtt{Dx}$ : $K \approx \mathtt{Dx}\sum_{i=0}^{N-2}|\varphi_i|^2$.
```python
I = np.sum([abs(phi[i])**2 for i in range(N-1)]) * Dx # Q27
```
La ligne 26 divise alors `phi` par $\sqrt{I}$, ce qui rend l'intégrale égale à 1.
## Partie II — Principe de fonctionnement d'un spectrophotomètre infrarouge
### II.1 — Étude de la source infrarouge
#### Q28
$Z = 28$, règle de Klechkowski :
$$\boxed{\mathrm{Ni} : 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^2\,3d^8 = [\mathrm{Ar}]\,4s^2\,3d^8}$$
$n_{\max} = 4$ : **4ᵉ période** ; bloc $d$ avec $2 + 8 = 10$ électrons de valence ($4s$ et $3d$) : **groupe 10**.
#### Q29
CFC : $8 \times \frac18 = 1$ atome aux sommets, $6 \times \frac12 = 3$ aux centres des faces. Les deux centres de faces opposées occupés par Cr comptent $2 \times \frac12 = 1$ ; il reste $1 + 4 \times \frac12 = 3$ Ni.
$$\boxed{1\ \text{atome de Cr et 3 atomes de Ni par maille (}\mathrm{Ni_3Cr}\text{)}}$$
#### Q30
Masse d'une maille : $\dfrac{3M_{\mathrm{Ni}} + M_{\mathrm{Cr}}}{N_A}$ ; volume $a^3$. Donc $\mu_{\mathrm{NiCr}} = \dfrac{3M_{\mathrm{Ni}} + M_{\mathrm{Cr}}}{N_A a^3}$ :
$$\boxed{a = \left(\frac{3M_{\mathrm{Ni}} + M_{\mathrm{Cr}}}{\mu_{\mathrm{NiCr}}\,N_A}\right)^{1/3}}$$
#### Q31
Dans une structure CFC d'atomes identiques, les plus proches voisins sont un sommet et le centre d'une face adjacente, distants d'une demi-diagonale de face (le contact se fait le long de la diagonale de face) :
$$d = \frac{a\sqrt2}{2} = \frac{a}{\sqrt2} = \frac{350}{\sqrt2}\ \mathrm{pm} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{d \approx 247\ \mathrm{pm}}$$
#### Q32
Effet Joule : $P_{\text{élec}} = RI^2$ avec $R = \dfrac{4L}{\gamma\pi D^2}$ :
$$\boxed{P_{\text{élec}} = \frac{4LI^2}{\gamma\pi D^2}}$$
#### Q33
Surface d'échange : surface latérale $S = \pi DL$ (extrémités négligées, $L \gg D$). Le filament émet $\sigma T_s^4$ par unité de surface et reçoit $\sigma T_a^4$ du gaz. Puissance nette cédée par le filament au gaz :
$$\boxed{P_{\text{ray}} = \sigma\pi DL\left(T_s^4 - T_a^4\right)}$$
#### Q34
$$\boxed{P_{\text{conv}} = h\pi DL\,(T_s - T_a)}$$
comptée elle aussi du filament vers le gaz.
#### Q35
En régime permanent (température $T_s$ atteinte), l'énergie interne du filament est constante : $P_{\text{élec}} = P_{\text{ray}} + P_{\text{conv}}$, soit
$$\frac{4LI^2}{\gamma\pi D^2} = \pi DL\left[\sigma(T_s^4 - T_a^4) + h(T_s - T_a)\right]$$
En divisant par $\pi DL$ : $\dfrac{4I^2}{\gamma\pi^2 D^3} = \sigma T_s^4 - \sigma T_a^4 + hT_s - hT_a$, d'où
$$\boxed{\sigma T_a^4 + hT_a = \sigma T_s^4 + hT_s - \frac{4I^2}{\gamma\pi^2 D^3}}\qquad (8)$$
#### Q36
$f(T) = \sigma T^4 + hT - \sigma T_s^4 - hT_s + \dfrac{4I^2}{\gamma\pi^2 D^3}$, continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Le code 2 n'importe rien : on ajoute `from math import pi` en tête du programme.
```python
def f(T):
return sigma * T**4 + h * T - sigma * Ts**4 - h * Ts + 4 * I**2 / (gamma * pi**2 * D**3) # Q36
```
#### Q37
```python
def dichotomie(f, a, b, eps): # Q37
while b - a > eps:
m = (a + b) / 2
if f(m) == 0:
return m
if f(a) * f(m) > 0: # même signe : la racine est dans [m, b]
a = m
else: # sinon elle est dans [a, m]
b = m
return (a + b) / 2
```
Invariant : $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, la racine est dans $[a, b]$. La largeur est divisée par 2 à chaque tour : de $702$ K à moins de 1 K en 10 itérations ; le résultat est à moins de $\varepsilon/2$ de la racine.
#### Q38
$T_a \approx 986$ K est **inférieure** à $T_s = 1{,}00\cdot10^3$ K, comme il se doit (le filament chauffe le gaz ; $f(T_s) > 0$), et comprise dans l'intervalle de recherche $[298, 1000]$ K. L'écart n'est que d'environ 14 K, soit 1,4 % de $T_s$ : le gaz est presque à la température du filament.
Ordres de grandeur : $\dfrac{4I^2}{\gamma\pi^2 D^3} = \dfrac{4 \times 625}{10^7 \times \pi^2 \times 8\cdot10^{-9}} \approx 3{,}2\cdot10^3\ \mathrm{W\,m^{-2}}$, petit devant $\sigma T_s^4 = 5{,}67\cdot10^4\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ : un faible écart de température suffit à évacuer la puissance Joule. Le flux conducto-convectif $h(T_s - T_a) \approx 14\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ ne représente que 0,4 % du total : **l'échange est presque exclusivement radiatif** car $h = 1\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ est très faible.
La valeur est donnée à $\varepsilon = 1$ K près (trois chiffres significatifs, cohérents avec les données) ; l'écart $T_s - T_a$ est en revanche très sensible aux données (une variation de 0,5 % de $T_s$ déplace $T_a$ d'environ 5 K). Une température de gaz aussi élevée traduit les limites du modèle (gaz assimilé à un corps noir isotherme, sans autre perte vers les parois).
### II.2 — Monochromateur à réseau
#### Q39
Repère : $\vec u_x$ normal au réseau dans le sens de propagation, $\vec u_y$ le long du réseau dirigé de la fente $F_2$ (rayon 2) vers la fente $F_1$ (rayon 1), angles orientés positivement dans le sens de la figure 9. Directions incidente et diffractée : $\vec u_i = \cos i_0\,\vec u_x + \sin i_0\,\vec u_y$, $\vec u_d = \cos\theta\,\vec u_x + \sin\theta\,\vec u_y$ ; $\overrightarrow{F_1F_2} = -a\,\vec u_y$.
On prend un plan d'onde incident (perpendiculaire à $\vec u_i$) et un plan d'onde diffracté (perpendiculaire à $\vec u_d$), communs aux deux rayons. Par rapport au rayon (1), le rayon (2) parcourt avant le réseau le chemin supplémentaire $\vec u_i\cdot\overrightarrow{F_1F_2}$, et après le réseau le chemin supplémentaire $-\vec u_d\cdot\overrightarrow{F_1F_2}$. Dans l'air (indice 1) :
$$\delta_{2/1} = (\vec u_i - \vec u_d)\cdot\overrightarrow{F_1F_2} = -a(\sin i_0 - \sin\theta) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\delta_{2/1} = a\left(\sin\theta - \sin i_0\right)}$$
#### Q40
(9) s'écrit $a(\sin\theta - \sin i_0) = -\lambda$, soit $\delta_{2/1} = p\lambda$ avec $p = -1$. **C'est la condition d'interférences constructives entre les ondes issues de toutes les fentes (différence de marche multiple entier de $\lambda$ entre fentes consécutives) : la direction $\theta$ est celle d'un maximum principal de diffraction d'ordre $-1$ pour la longueur d'onde $\lambda$.** Cette direction dépend de $\lambda$ : le réseau disperse la lumière.
#### Q41
Les rayons qui convergent au foyer image $F'$ d'une lentille convergente sont ceux qui arrivent parallèlement à l'axe optique ; la lentille étant parallèle au réseau, son axe est normal au réseau :
$$\boxed{\theta = 0}$$
Alors (9) donne $0 = \sin i_0 - \lambda_0/a$ :
$$\boxed{i_0 = \arcsin\left(\frac{\lambda_0}{a}\right)}$$
qui n'existe que si $\lambda_0 \le a = 3{,}33\ \mu$m, soit $\sigma_0 \ge 3{,}0\cdot10^3\ \mathrm{cm^{-1}}$ (avec ce réseau, la zone 1500–3000 cm⁻¹ étudiée plus loin ne serait pas accessible à l'ordre −1 dans cette configuration : incohérence de données de l'énoncé).
#### Q42
Dans les conditions de Gauss, un faisceau parallèle incliné de $\theta$ sur l'axe converge dans le plan focal image au point d'abscisse $x = f'\tan\theta \approx f'\theta$. La fente de largeur $b$, centrée sur $F'$, a son bord supérieur en $x = b/2$ :
$$\boxed{\theta_\ell = \frac{b}{2f'}}$$
AN : $\theta_\ell = 5\cdot10^{-4}$ rad, angle très petit (conditions de Gauss vérifiées).
#### Q43
(9) en $\theta_\ell$ : $\lambda_\ell = a(\sin i_0 - \sin\theta_\ell)$, avec $\sin i_0 = \lambda_0/a$ et $\sin\theta_\ell \approx \theta_\ell = b/(2f')$ :
$$\boxed{\lambda_\ell = \lambda_0 - \frac{ab}{2f'}}$$
Le bord inférieur ($-\theta_\ell$) correspond à $\lambda_0 + \dfrac{ab}{2f'}$. Les longueurs d'onde qui atteignent la fente occupent l'intervalle de largeur
$$\boxed{\Delta\lambda = \frac{ab}{f'}}$$
AN : $a = \dfrac{1}{3\cdot10^2}\ \mathrm{mm} = 3{,}33\ \mu\mathrm{m}$, $b = 0{,}1$ mm, $f' = 100$ mm : $\Delta\lambda = \dfrac{3{,}33\cdot10^{-3} \times 0{,}1}{100}\ \mathrm{mm} \approx \boxed{3{,}3\ \mathrm{nm}}$.
**Cette valeur est en bon accord avec la largeur spectrale de 3 nm annoncée par la notice** : la largeur de la fente de sortie suffit à expliquer la résolution du constructeur (la précision et la reproductibilité de ±2 nm relèvent du positionnement du réseau, pas de ce calcul).
#### Q44
La transmittance est le rapport de l'intensité transmise par l'échantillon à une intensité de **référence** (blanc, ligne de base) mesurée séparément. Pour un milieu qui ne fait qu'absorber, $T \le 100$ % et $A \ge 0$. **Les valeurs $T > 100$ % (par exemple 102,2 % à 1536 cm⁻¹) sont des artefacts de mesure** dans des zones où la solution n'absorbe pas : bruit du détecteur, dérive de la source entre la mesure de référence et celle de l'échantillon, ou absorption parasite (vapeur d'eau, CO₂, solvant, cuve) plus forte lors de la référence que lors de la mesure. L'absorbance vraie y est nulle et le signal fluctue de quelques pour cent autour de 0.
#### Q45
`np.loadtxt` renvoie un tableau à deux dimensions (une ligne par point de mesure, deux colonnes ; la ligne d'en-tête commençant par `#` est ignorée).
- Ligne 5 : `s = data[:, 0]` extrait la première colonne (toutes les lignes, colonne 0) : tableau des **nombres d'onde** en $\mathrm{cm^{-1}}$.
- Ligne 6 : `T = data[:, 1]` extrait la seconde colonne : tableau des **transmittances**, en pourcentage.
Les deux tableaux ont la même indexation : `s[i]` et `T[i]` se rapportent au même point (ce qu'exploite la ligne 19).
#### Q46
$\log$ est le logarithme décimal (`np.log10` de l'annexe) et $T$ est donné en pourcentage :
```python
A = -np.log10(T / 100) # Q46
```
#### Q47
Un pic est un maximum local strict ($A_i > A_{i-1}$ et $A_i > A_{i+1}$), d'indice $1 \le i \le n-2$, dont le pourcentage d'absorption atteint le seuil. Avec l'absorbance de Q46, le pourcentage de lumière absorbée vaut $100(1 - 10^{-A_i}) = 100 - T_i$ (c'est la grandeur tracée sur la figure 11) :
```python
for i in range(1, n - 1): # Q47
if A[i] > A[i - 1] and A[i] > A[i + 1] and 100 * (1 - 10**(-A[i])) >= p_abs: # Q47
pics.append(i) # Q47
```
Variante équivalente : si l'on stocke à la ligne 7 le pourcentage absorbé `A = 100 - T`, le troisième test devient `A[i] >= p_abs` ; les maxima locaux sont les mêmes (fonctions décroissantes de $T$), le tableau d'indices aussi (`[45 61 103]`, soit 2042, 2235 et 2741 cm⁻¹).
**FIN**
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