Maths

# Épreuve spécifique — Filière TSI

## Mathématiques

Session 2026. Code : TSI1M.

Durée : 4 heures.

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

### Rappel des consignes

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

Chaque problème est constitué de parties globalement indépendantes.

## Problème 1

### Calcul d’une intégrale via les nombres complexes

Le but de ce problème est de calculer les intégrales du type :

$$
\int_0^{2\pi} \frac{\cos(nt)}{a - \cos(t)}\, \mathrm{d}t
$$

où $a$ désigne un nombre réel tel que $|a| > 1$ et $n$ un entier naturel.

### Partie I — Lemme préliminaire

Soit $a$ un nombre réel tel que $|a| > 1$.

**Q1.** Justifier qu’il existe deux nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ :

$$
z^2 - 2az + 1 = (z - \alpha)(z - \beta).
$$

**Q2.** Vérifier que $\alpha + \beta = 2a$ et $\alpha\beta = 1$.

**Q3.** On suppose dans cette question que $|\alpha| \geqslant 1$ et $|\beta| \geqslant 1$. Montrer que $|\alpha| = |\beta| = 1$, puis que $|a| \leqslant 1$.

**Q4.** En déduire que $|\alpha| < 1$ ou $|\beta| < 1$.

**Q5.** On suppose uniquement dans cette question que $a = 2$.

Donner la valeur de $\alpha$ et de $\beta$ pour ce choix de $a$.

On supposera dans la suite $|\alpha| < 1$. On rappelle que $a$ est un nombre réel quelconque tel que $|a| > 1$.

### Partie II — Calcul d’une intégrale

#### II.1 — Une première expression en série trigonométrique

Dans cette sous-partie, nous allons établir une première expression en série de $f : t \mapsto \dfrac{1}{a - \cos(t)}$.

**Q6.** Vérifier que pour tout réel $t$, $a - \cos(t) \neq 0$.

**Q7.** Montrer que la fonction $f : t \mapsto \dfrac{1}{a - \cos(t)}$ est continue, paire et $2\pi$-périodique sur $\mathbb{R}$.

**Q8.** Rappeler l’expression des coefficients de Fourier de $f$ sous leur forme intégrale.

On ne cherchera pas à les calculer et on utilisera les notations usuelles $(a_n)_{n \geqslant 0}$ et $(b_n)_{n \geqslant 0}$ pour désigner les suites de ces coefficients.

**Q9.** Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :

$$
f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(nt).
$$

#### II.2 — Une seconde expression en série trigonométrique

Dans cette sous-partie, nous allons établir une seconde expression en série de $f : t \mapsto \dfrac{1}{a - \cos(t)}$.

**Q10.** Montrer l’égalité :

$$
\forall t \in \mathbb{R},\quad \frac{1}{a - \cos(t)} = \frac{-2e^{it}}{(e^{it})^2 - 2a e^{it} + 1}.
$$

**Q11.** En déduire que :

$$
\forall t \in \mathbb{R},\quad \frac{1}{a - \cos(t)} = \frac{-2e^{it}}{(e^{it} - \alpha)(e^{it} - \beta)},
$$

puis que :

$$
\forall t \in \mathbb{R},\quad \frac{1}{a - \cos(t)} = \frac{2\alpha}{1 - \alpha^2}\left( \frac{\alpha e^{-it}}{1 - \alpha e^{-it}} + \frac{1}{1 - \alpha e^{it}} \right).
$$

**Q12.** Rappeler le rayon de convergence et la somme de la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} z^n$.

**Q13.** Montrer les égalités :

$$
\forall t \in \mathbb{R},\quad \frac{\alpha e^{-it}}{1 - \alpha e^{-it}} + \frac{1}{1 - \alpha e^{it}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha^{n+1} e^{-i(n+1)t} + \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha^n e^{int} = 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \alpha^n \cos(nt).
$$

**Q14.** En déduire l’expression : $\displaystyle\forall t \in \mathbb{R},\quad f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \gamma_n \cos(nt)$

avec

$$
\gamma_n =
\begin{cases}
\dfrac{4\alpha^{n+1}}{1 - \alpha^2} & \text{si } n \geqslant 1 \\[1em]
\dfrac{2\alpha}{1 - \alpha^2} & \text{si } n = 0.
\end{cases}
$$

**Q15.** Justifier que $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \gamma_n$ converge absolument.

#### II.3 — Conclusion

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = a_n - \gamma_n$. On souhaite montrer que les suites $(a_n)_{n \geqslant 0}$ et $(\gamma_n)_{n \geqslant 0}$ coïncident.

**Q16.** Montrer que pour tout réel $t$ :

$$
\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \cos(nt) = 0.
$$

**Q17.** Le but de cette question est de montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} u_n$ converge absolument.

a) Montrer que si une fonction périodique est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, alors sa fonction dérivée est également périodique de même période sur $\mathbb{R}$.

b) Montrer que $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$.

c) Par intégrations par parties successives, montrer que pour tout entier naturel $n$ :

$$
n^2 \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt)\, \mathrm{d}t = -\int_0^{2\pi} f''(t) \cos(nt)\, \mathrm{d}t.
$$

d) Montrer que :

$$
\forall n \geqslant 1,\quad |a_n| \leqslant \frac{1}{n^2 \pi} \int_0^{2\pi} |f''(t)|\, \mathrm{d}t.
$$

e) En déduire que la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} a_n$ converge absolument, puis que $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} u_n$ converge absolument.

On admet le théorème suivant. Soit $(u_n)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que la série $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} u_n$ converge absolument et telle que, pour tout réel $t$, on ait $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} u_n \cos(nt) = 0$. Alors, nécessairement, $u_n = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

On a montré dans les questions précédentes que les hypothèses de ce théorème étaient vérifiées. Ainsi, on a démontré que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 0$.

**Q18.** En déduire la formule suivante pour $n \in \mathbb{N}$ :

$$
\int_0^{2\pi} \frac{\cos(nt)}{a - \cos(t)}\, \mathrm{d}t = \frac{4\pi \alpha^{n+1}}{1 - \alpha^2}.
$$

**Q19.** Calculer l’intégrale suivante :

$$
\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}t}{2 - \cos(t)}.
$$

On pourra s’aider de la question **Q5**.

## Problème 2

### Matrices aléatoires

#### Notations et définitions

Dans ce problème :

- on note $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des matrices carrées réelles sur $\mathbb{R}$ d’ordre 2 ;
- on note $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ;
- pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $\det(A)$, $\operatorname{Tr}(A)$ et $A^{\mathsf{T}}$ désignent respectivement le déterminant, la trace et la matrice transposée de $A$ ;
- pour tout événement $E$ de l’univers $\Omega$, $\mathrm{P}(E)$ désigne la probabilité de $E$ ;
- pour toute variable aléatoire $X$, $\mathrm{E}(X)$ et $\mathrm{V}(X)$ désignent respectivement l’espérance et la variance de $X$ ;
- si $\Pi$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $A$ une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, alors le réel positif $\mathrm{d}(A, \Pi) = \displaystyle\inf_{B \in \Pi} \|A - B\|$ désigne la distance de $A$ à $\Pi$.

Soient $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ quatre variables aléatoires réelles discrètes sur un univers $\Omega$. Toute matrice de la forme $\Sigma = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$ s’appelle une matrice aléatoire de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

Plus précisément, pour tout $\omega \in \Omega$, $\Sigma(\omega) = \begin{pmatrix} X_1(\omega) & X_2(\omega) \\ X_3(\omega) & X_4(\omega) \end{pmatrix}$.

Puisque $\Sigma$ est aléatoire, la probabilité d’un événement relatif à $\Sigma$ se définit naturellement par :

$$
\mathrm{P}(\Sigma \in K) = \mathrm{P}\bigl(\{\omega \in \Omega : \Sigma(\omega) \in K\}\bigr)
$$

où $K \subset \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est un ensemble de matrices.

Autrement dit, on mesure la probabilité des réalisations $\omega$ pour lesquelles la matrice $\Sigma(\omega)$ satisfait la condition définissant l’ensemble $K$.

#### Exemple

On s’intéresse à la probabilité que la matrice aléatoire $\Sigma$ ne soit pas inversible. L’événement sur l’univers $\Omega$ correspondant aux matrices non inversibles est $\{\omega \in \Omega : \Sigma(\omega)\text{ n’est pas inversible}\}$.

On suppose que :

- $X_1$ et $X_2$ sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre $p$, où $p$ est un réel de $]0, 1[$ ;
- $X_3$ et $X_4$ sont deux variables aléatoires certaines avec $X_3(\Omega) = \{2\}$ et $X_4(\Omega) = \{3\}$.

Dans cet exemple, la matrice aléatoire $\Sigma = \begin{pmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$ peut prendre comme valeurs les matrices suivantes :

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.
$$

Parmi celles-ci, la seule matrice non inversible est $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, ce qui correspond à $[X_1 = 0]$ et $[X_2 = 0]$.

La probabilité que la matrice $\Sigma$ ne soit pas inversible est donc égale à $\mathrm{P}([X_1 = 0] \cap [X_2 = 0]) = (1-p)^2$.

Les parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

Les résultats de la **partie I** sont utiles pour la **partie III**.

### Partie I — Généralités sur l’espace vectoriel $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On définit le produit $\langle A, B \rangle$ par :

$$
\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(AB^{\mathsf{T}}).
$$

**Q20.** Soient $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}$ deux matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ où pour tout $i \in \{1, 2, 3, 4\}$, $a_i$ et $b_i$ sont des réels. Vérifier que $\langle A, B \rangle = \displaystyle\sum_{k=1}^{4} a_k b_k$.

**Q21.** Montrer que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ définit bien un produit scalaire sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

La norme associée à ce produit scalaire est notée : $\|A\| = \sqrt{\operatorname{Tr}(AA^{\mathsf{T}})}$.

**Q22.** Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Vérifier que la matrice $(A + A^{\mathsf{T}})/2$ est symétrique et que la matrice $(A - A^{\mathsf{T}})/2$ est antisymétrique. Montrer ensuite que ces deux matrices sont orthogonales pour le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

**Q23.** Montrer que toute matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est somme, d’une manière unique, d’une matrice symétrique $M$ et d’une matrice antisymétrique $N$, où $M = (A + A^{\mathsf{T}})/2$ et préciser l’expression de $N$ en fonction de $A$.

**Q24.** Montrer que pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, on a l’égalité $\mathrm{d}\bigl(A, \mathcal{S}_2(\mathbb{R})\bigr) = \dfrac{1}{2}\|A - A^{\mathsf{T}}\|$.

### Partie II — Matrice de Rademacher

Soient $X_1$ et $Y_1$ deux variables aléatoires réelles définies sur un univers $\Omega$ telles que :

- $X_1$ et $Y_1$ suivent la même loi, appelée loi de Rademacher, définie par :

$$
X_1(\Omega) = \{-1\,;\, 1\} \quad\text{et}\quad \mathrm{P}(X_1 = -1) = \mathrm{P}(X_1 = 1) = \frac{1}{2}\,;
$$

- $X_1$ et $Y_1$ sont indépendantes.

On se propose d’étudier quelques propriétés de la matrice aléatoire $\Sigma_1 = \begin{pmatrix} X_1 & 0 \\ 1 & Y_1 \end{pmatrix}$.

On définit les deux variables aléatoires discrètes $T_1$ et $Z_1$ par :

$$
T_1 = \operatorname{Tr}(\Sigma_1) = X_1 + Y_1, \qquad Z_1 = \det(\Sigma_1) = X_1 Y_1.
$$

**Q25.** Déterminer les valeurs de $\mathrm{E}(X_1)$ et de $\mathrm{V}(X_1)$.

**Q26.** Déterminer la loi de probabilité de $T_1$. Calculer $\mathrm{E}(T_1)$ et $\mathrm{V}(T_1)$.

**Q27.** Déterminer la loi de probabilité de $Z_1$. Calculer $\mathrm{E}(Z_1)$ et $\mathrm{V}(Z_1)$.

### Partie III — Matrice géométrique

Soit $p$ un réel dans $]0, 1[$. Dans cette partie, $X_2$ et $Y_2$ sont deux variables aléatoires telles que :

- $X_2$ et $Y_2$ suivent une loi géométrique de paramètre $p$, c’est-à-dire :

$$
X_2(\Omega) = \mathbb{N}^* \quad\text{et}\quad \forall k \in \mathbb{N}^*,\ \mathrm{P}(X_2 = k) = p(1-p)^{k-1}\,;
$$

- $X_2$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On introduit la matrice aléatoire $\Sigma_2$ définie par $\Sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & X_2 - Y_2 \\ X_2 + Y_2 & 0 \end{pmatrix}$.

De plus, on définit la variable aléatoire $T_2$ par :

$$
T_2 = \mathrm{d}\bigl(\Sigma_2, \mathcal{S}_2(\mathbb{R})\bigr).
$$

**Q28.** Rappeler les valeurs de $\mathrm{E}(X_2)$ et de $\mathrm{V}(X_2)$.

**Q29.** Étude de $\mathrm{d}\bigl(\Sigma_2, \mathcal{S}_2(\mathbb{R})\bigr)$.

a) À l’aide de la **partie I**, montrer que $T_2 = Y_2 \sqrt{2}$.

b) Calculer $\mathrm{E}(T_2)$ et $\mathrm{V}(T_2)$.

**Q30.** Montrer que pour tout $\delta > 0$, on a :

$$
\mathrm{P}\left(\left|T_2 - \frac{\sqrt{2}}{p}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \frac{2(1-p)}{\delta^2 p^2}.
$$

**Q31.** On choisit dans cette question $p = 1/2$.

a) Déterminer un $\delta > 0$ tel que :

$$
\mathrm{P}\bigl(\bigl|T_2 - 2\sqrt{2}\bigr| \geqslant \delta\bigr) \leqslant \frac{1}{4}.
$$

b) En déduire qu’avec une probabilité d’au moins $3/4$, on a :

$$
\bigl|\mathrm{d}\bigl(\Sigma_2, \mathcal{S}_2(\mathbb{R})\bigr) - 2\sqrt{2}\bigr| < 4.
$$

### Partie IV — Matrice de Poisson

Soient $X_3$ et $Y_3$ deux variables aléatoires telles que :

- $X_3$ et $Y_3$ suivent la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$, c’est-à-dire :

$$
X_3(\Omega) = \mathbb{N} \quad\text{et}\quad \forall k \in \mathbb{N},\ \mathrm{P}(X_3 = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\,;
$$

- $X_3$ et $Y_3$ sont indépendantes.

On se propose d’étudier quelques propriétés de la matrice aléatoire $\Sigma_3 = \begin{pmatrix} X_3 & 0 \\ 1 & Y_3 \end{pmatrix}$.

Puisque le paramètre $\lambda$ influence la loi de $X_3$ et de $Y_3$, il influence également la loi de $\Sigma_3$.

On note alors $D_\lambda$ l’événement : « la matrice $\Sigma_3$ est une matrice diagonalisable dans $\mathbb{R}$ ».

On définit les deux variables aléatoires discrètes $T_3$ et $Z_3$ par :

$$
T_3 = \operatorname{Tr}(\Sigma_3) = X_3 + Y_3, \qquad Z_3 = \det(\Sigma_3) = X_3 Y_3.
$$

**Q32.** Rappeler les valeurs de $\mathrm{E}(X_3)$ et de $\mathrm{V}(X_3)$.

**Q33.** Inversibilité de $\Sigma_3$.

a) Démontrer que $\mathrm{P}(Z_3 = 0) = 2\exp(-\lambda) - \exp(-2\lambda)$.

b) En déduire la probabilité que $\Sigma_3$ soit inversible.

**Q34.** Loi de $T_3$.

a) Montrer que $T_3(\Omega) = \mathbb{N}$, puis que pour tout entier naturel $n$ :

$$
\mathrm{P}(T_3 = n) = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{P}(X_3 = k)\, \mathrm{P}(Y_3 = n-k).
$$

b) En déduire que $T_3$ suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

**Q35.** Valeurs propres et vecteurs propres de $\Sigma_3$.

a) Vérifier que $\begin{pmatrix} X_3 - Y_3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $\Sigma_3$ et préciser la valeur propre associée.

b) Montrer que $Y_3$ est une valeur propre de $\Sigma_3$ et préciser un vecteur propre associé.

**Q36.** Diagonalisation de $\Sigma_3$.

a) Montrer que $\displaystyle\mathrm{P}(X_3 = Y_3) = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{P}(X_3 = k)^2$.

b) Vérifier que $\Sigma_3$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$ si et seulement si $X_3 \neq Y_3$.

c) Montrer que :

$$
\mathrm{P}(D_\lambda) = 1 - e^{-2\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(k!)^2}.
$$

**Q37.** Approximation de $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-2}}{(k!)^2}$ et de $\mathrm{P}(D_1)$.

a) Écrire en Python une fonction `Approx_Sum` qui prend pour argument d’entrée un entier naturel $N$ et renvoie $\displaystyle\sum_{k=0}^{N} \frac{e^{-2}}{(k!)^2}$. On pourra utiliser les fonctions `math.factorial()` et `math.exp()`.

b) Montrer que pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x \geqslant 0$ :

$$
\exp(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = \frac{1}{n!} \int_0^{x} (x-t)^n \exp(t)\, \mathrm{d}t.
$$

c) En déduire l’inégalité suivante pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x \geqslant 0$ :

$$
\exp(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \leqslant \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\, \exp(x).
$$

d) Montrer que pour tout entier naturel $n$ :

$$
\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!} \leqslant \frac{e}{(n+1)!}.
$$

e) En déduire que pour tout entier naturel $n$ :

$$
0 \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-2}}{(k!)^2} - \sum_{k=0}^{n} \frac{e^{-2}}{(k!)^2} \leqslant \frac{e^{-1}}{(n+1)!}.
$$

f) On donne $100 e^{-1} \in [36, 37]$. Déterminer un entier $N_0$ tel que :

$$
\left| \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-2}}{(k!)^2} - \sum_{k=0}^{N_0} \frac{e^{-2}}{(k!)^2} \right| \leqslant 10^{-2}.
$$

Avec Python, on obtient pour ce $N_0$ : `print(Approx_Sum(N_0))` $\approx 0{,}31$.

g) Donner une approximation à $10^{-1}$ près de $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-2}}{(k!)^2}$, puis de $\mathrm{P}(D_1)$.

h) Dans la question **Q37 a)**, la fonction `Approx_Sum` fait appel à la fonction `math.factorial()`. Est-il judicieux d’appeler `math.factorial()` dans une boucle `for` ?

On constate que cela ne pose pas de problème avec notre choix $N_0$, pourquoi ?

**Q38.** Étude d’une série entière.

a) Calculer le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k}{(k!)^2}$.

b) Montrer que $\displaystyle x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{(k!)^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

c) Montrer que $\displaystyle g : \lambda \mapsto 1 - e^{-2\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(k!)^2}$ est continue sur $[0, +\infty[$.

**Q39.** Démontrer qu’il existe un réel strictement positif $\mu$ tel que les variables aléatoires indépendantes $X_3$ et $Y_3$ suivent la loi de Poisson de paramètre $\mu$ et tel que la matrice

$$
\begin{pmatrix} X_3 & 0 \\ 1 & Y_3 \end{pmatrix}
$$

soit diagonalisable avec probabilité $1/2$.

**Q40.** Proposer une méthode numérique pertinente pour approcher $\mu$. On ne la mettra pas en œuvre.

FIN