Physique-chimie 1

# Centrale-Supélec MP — Physique-chimie 1 2026 · Corrigé brut

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Épreuve de 4 heures, calculatrice autorisée. « Spectroscopie rovibrationnelle et laser » : 46 questions. Constantes : $h=6{,}626\times10^{-34}$ J·s, $\hbar=1{,}0546\times10^{-34}$ J·s, $c=2{,}998\times10^{8}$ m·s⁻¹, $1$ cm⁻¹ $\leftrightarrow1{,}9863\times10^{-23}$ J, $m_{\mathrm H}=1{,}66\times10^{-27}$ kg ; on utilise en Q12 la constante de Boltzmann $k_B=1{,}38\times10^{-23}$ J·K⁻¹ (non fournie).

## Partie A — Spectroscopie rovibrationnelle

### I — Vibration de HCl

**Q1.** La force de rappel $F_x=-\dfrac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}=-\mu\omega_0^2x$ et le principe fondamental de la dynamique projeté sur $(Ox)$ dans un référentiel galiléen donnent

$$\boxed{\ddot x+\omega_0^2x=0}$$

L'équation caractéristique $r^2+\omega_0^2=0$ a pour racines $\pm j\omega_0$ ; la solution générale réelle est

$$\boxed{x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)}$$

avec $(A,B)$ ou $(X_m,\varphi)$ fixées par les conditions initiales.

**Q2.** Avec $x=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ : $E_c=\frac12\mu\omega_0^2X_m^2\sin^2(\omega_0t+\varphi)$ et $E_p=\frac12\mu\omega_0^2X_m^2\cos^2(\omega_0t+\varphi)$ (référence $E_p(0)=0$). Les moyennes sur une période valent

$$\langle E_c\rangle=\langle E_p\rangle=\tfrac14\mu\omega_0^2X_m^2,\qquad \langle E_m\rangle=\tfrac12\mu\omega_0^2X_m^2 .$$

Elles sont positives ou nulles et s'annulent simultanément pour $X_m=0$ : la particule immobile en $x=0$ est une solution permise ($x(0)=0$, $\dot x(0)=0$). Donc **les trois minima valent 0 et sont atteints** (oscillateur au repos au fond du puits).

**Q3.** Dans un état stationnaire lié, $\lvert\Psi\rvert^2=\lvert\varphi(x)\rvert^2$ ne dépend pas du temps et $\varphi\to0$ à l'infini.

- $E_p$ est paire ; si $\varphi(x)$ est solution d'énergie $E$, $\varphi(-x)$ l'est aussi, et les états liés à une dimension étant non dégénérés, $\varphi(-x)=\pm\varphi(x)$. La densité $\lvert\varphi\rvert^2$ est paire, donc $\langle x\rangle=\int x\lvert\varphi\rvert^2\,\mathrm dx=0$ et $\Delta x^2=\langle x^2\rangle$.
- L'équation de Schrödinger stationnaire étant à coefficients réels, on peut prendre $\varphi$ réelle ; alors $\langle p_x\rangle=-j\hbar\int\varphi\varphi'\,\mathrm dx=-j\hbar\left[\varphi^2/2\right]_{-\infty}^{+\infty}=0$, donc $\Delta p_x^2=\langle p_x^2\rangle$.

Par suite $\langle E_p\rangle=\frac12\mu\omega_0^2\langle x^2\rangle=\frac12\mu\omega_0^2\Delta x^2$ et $\langle E_c\rangle=\langle p_x^2\rangle/(2\mu)=\Delta p_x^2/(2\mu)$ :

$$\boxed{K_1=\tfrac12\mu\omega_0^2,\qquad K_2=\frac{1}{2\mu}}$$

**Q4.** $\langle E_m\rangle=\dfrac{\Delta p_x^2}{2\mu}+\dfrac12\mu\omega_0^2\Delta x^2$. L'inégalité de Heisenberg $\Delta x\,\Delta p_x\ge\hbar/2$ (avec $\Delta x>0$) donne $\Delta p_x^2\ge\hbar^2/(4\Delta x^2)$, d'où

$$\langle E_m\rangle\ge\frac{\hbar^2}{8\mu\Delta x^2}+\frac12\mu\omega_0^2\Delta x^2\ge2\sqrt{\frac{\hbar^2}{8\mu}\cdot\frac{\mu\omega_0^2}{2}}=\frac{\hbar\omega_0}{2}$$

par l'inégalité $a+b\ge2\sqrt{ab}$, l'égalité ayant lieu pour $\Delta x^2=\hbar/(2\mu\omega_0)$ :

$$\boxed{\langle E_m\rangle_{\min}=\frac{\hbar\omega_0}{2}}$$

Classiquement le minimum est nul (repos au fond du puits). Quantiquement, annuler $\langle E_p\rangle$ exigerait $\Delta x=0$, donc $\Delta p_x$ infini : l'oscillateur ne peut pas être immobile, il garde une **énergie de point zéro** $\hbar\omega_0/2$, atteinte par le niveau fondamental (Q8).

**Q5.** $[\hbar]=\mathrm{M\,L^2\,T^{-1}}$, $[\omega_0]=\mathrm T^{-1}$, $[\mu]=\mathrm M$. L'égalité $[a_0]=\mathrm L$ impose $\alpha+\delta=0$, $2\alpha=1$, $-\alpha-\beta=0$ :

$$\boxed{\alpha=\tfrac12,\quad\beta=-\tfrac12,\quad\delta=-\tfrac12,\qquad a_0=\sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega_0}}}$$

Avec $\mu\simeq m_{\mathrm H}$ et $\omega_0\simeq10^{15}$ rad·s⁻¹ : $a_0=\sqrt{1{,}05\times10^{-34}/(1{,}66\times10^{-27}\times10^{15})}$, soit

$$\boxed{a_0\approx8\times10^{-12}\ \mathrm m\sim10^{-11}\ \mathrm m}$$

C'est quelques pour cent de la longueur de liaison ($\sim10^{-10}$ m) : les oscillations sont petites, ce qui justifie le modèle harmonique.

**Q6.** Pour un état stationnaire d'énergie $E$, la séparation des variables dans $j\hbar\,\partial_t\Psi=\hat H\Psi$ donne

$$\boxed{\chi(t)=\chi_0\,e^{-jEt/\hbar}}$$

La partie spatiale vérifie $-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\dfrac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}+\dfrac12\mu\omega_0^2x^2\varphi=E\varphi$. Avec $x=a_0u$, $a_0^2=\hbar/(\mu\omega_0)$ : $\dfrac{\hbar^2}{2\mu a_0^2}=\dfrac{\hbar\omega_0}{2}$ et $\dfrac12\mu\omega_0^2a_0^2=\dfrac{\hbar\omega_0}{2}$. En divisant par $\hbar\omega_0$ :

$$\boxed{\varphi''(u)+\left(2\varepsilon-u^2\right)\varphi(u)=0}$$

**Q7.** Avec $\varphi=\mathcal H e^{-u^2/2}$ : $\varphi'=(\mathcal H'-u\mathcal H)e^{-u^2/2}$ et $\varphi''=\left(\mathcal H''-2u\mathcal H'+(u^2-1)\mathcal H\right)e^{-u^2/2}$. En reportant et en simplifiant par $e^{-u^2/2}\neq0$, les termes en $u^2\mathcal H$ se compensent :

$$\boxed{\mathcal H''(u)-2u\,\mathcal H'(u)+(2\varepsilon-1)\,\mathcal H(u)=0}$$

**Q8.** $\mathcal H''$ est de degré $n-2$ et ne contribue pas au coefficient de $u^n$ ; celui de $-2u\mathcal H'$ vaut $-2nc_n$, celui de $(2\varepsilon-1)\mathcal H$ vaut $(2\varepsilon-1)c_n$. Le polynôme étant nul et $c_n\neq0$ :

$$-2n+2\varepsilon-1=0\iff\boxed{\varepsilon=n+\tfrac12}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega_0,\quad n\in\mathbb N}$$

Les niveaux sont équidistants de $\hbar\omega_0$ et le fondamental vaut $\hbar\omega_0/2$, borne de Q4.

![Figure 1 — Puits harmonique et niveaux E_n = (n + ½)ħω₀ : niveaux équidistants de ħω₀, fondamental à l'énergie de point zéro ħω₀/2](/figures/corriges/centrale-supelec_mp_physique-chimie-1_2026/q8-niveaux-oscillateur.svg)

### II — Rovibration de HCl

**Q9.**

$$\Delta E_J=B\left[(J+1)(J+2)-J(J+1)\right]\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta E_J=2B(J+1)}$$

**Q10.** Pour une transition $(n=0,J'')\to(n=1,J')$, avec la même constante $B$ et en notant $\tilde B=B/(hc)$, $\tilde\nu_0=\omega_0/(2\pi c)$ :

- branche R ($J'=J''+1$) : $\tilde\nu=\tilde\nu_0+2\tilde B(J''+1)>\tilde\nu_0$ ;
- branche P ($J'=J''-1$, $J''\ge1$) : $\tilde\nu=\tilde\nu_0-2\tilde BJ''<\tilde\nu_0$.

Sur la figure 3 (axe des nombres d'onde **décroissant** vers la droite), les raies sont espacées d'environ 20 cm⁻¹ sauf entre 2865 et 2906 cm⁻¹ (écart de 41 cm⁻¹, soit $4\tilde B$) : ce trou, dû à l'absence de transition $\Delta J=0$, est le centre de bande, $\tilde\nu_0\approx2886$ cm⁻¹. D'où

$$\boxed{\text{branche R : }[2886\,;3100]\ \mathrm{cm^{-1}}\ (\text{raies de 2906 à 3073}),\qquad\text{branche P : }[2600\,;2886]\ \mathrm{cm^{-1}}\ (\text{raies de 2626 à 2865})}$$

La branche R est à gauche de la figure, la branche P à droite.

![Figure 2 — Lecture de la figure 3 (axe décroissant) : branche R à gauche, branche P à droite, trou central de 4B̃ autour de ν̃₀ ≈ 2886 cm⁻¹, attribution de R(0), R(1), P(1) et P(2)](/figures/corriges/centrale-supelec_mp_physique-chimie-1_2026/q10-branches-p-r.svg)

**Q11.** En partant du trou central : la première raie R est R(0), la première raie P est P(1) (pas de P(0), car $J'=-1$ n'existe pas).

| $\tilde\nu$ (cm⁻¹) | $J''$ | $J'$ | branche |
|---|---|---|---|
| 2926 | 1 | 2 | R |
| 2906 | 0 | 1 | R |
| 2865 | 1 | 0 | P |
| 2844 | 2 | 1 | P |

Contrôle avec $\tilde\nu_0=2885{,}5$ cm⁻¹ et $\tilde B=10{,}25$ cm⁻¹ (Q13) : $2906$ ; $2926{,}5$ ; $2865$ ; $2844{,}5$, conformes à 1 cm⁻¹ près.

**Q12.** Deux raisons.

- *Transitions possibles.* Les raies de la bande $n=0\to n=1$ sont en $\tilde\nu_0+2\tilde B(J''+1)$ et $\tilde\nu_0-2\tilde BJ''$ : plus $J''$ est grand, plus elles s'écartent du centre. Les autres transitions tombent loin de la fenêtre : rotation pure à quelques dizaines de cm⁻¹ (infrarouge lointain), $n=0\to2$ vers $2\tilde\nu_0\approx5800$ cm⁻¹ (et quasi interdite dans le modèle harmonique).
- *Population des niveaux de départ.* L'intensité d'une raie d'absorption est proportionnelle à la population du niveau $J''$, pondérée par le facteur de Boltzmann $\exp\left(-\tilde BJ''(J''+1)\,hc/k_BT\right)$. À 300 K, $k_BT/hc=1{,}38\times10^{-23}\times300/1{,}9863\times10^{-23}\approx208$ cm⁻¹ : le facteur vaut $4\times10^{-3}$ pour $J''=10$ et $5\times10^{-4}$ pour $J''=12$.

Les raies au-delà de $J''\approx11$–$12$, situées hors de $\tilde\nu_0\pm2\tilde B\times12\approx2886\pm250$ cm⁻¹, partent donc de niveaux quasi vides : **il n'y a pas de transition permise issue d'un niveau thermiquement peuplé en dehors de $[2600\,;3100]$ cm⁻¹.** (La dégénérescence $2J+1$ des niveaux de rotation, qui explique que le maximum d'intensité soit vers $J''\approx3$, ne change pas cette conclusion.)

**Q13.** *Démarche.* Le modèle comporte deux inconnues, $\tilde\nu_0$ et $\tilde B$. Les deux raies qui encadrent le trou, R(0) et P(1), donnent directement leur somme et leur différence et sont les moins sensibles à l'écart entre les constantes rotationnelles des deux états (petits $J$) :

$$\tilde\nu_{\mathrm R(0)}=\tilde\nu_0+2\tilde B=2906,\qquad\tilde\nu_{\mathrm P(1)}=\tilde\nu_0-2\tilde B=2865\ \ (\mathrm{cm^{-1}})$$

$$\tilde\nu_0=\frac{2906+2865}{2}=2885{,}5\ \mathrm{cm^{-1}},\qquad\tilde B=\frac{2906-2865}{4}=10{,}25\ \mathrm{cm^{-1}}$$

Les deux lectures étant indépendantes, d'incertitude-type 1 cm⁻¹ : $u(\tilde\nu_0)=\frac{\sqrt2}{2}=0{,}71$ cm⁻¹ et $u(\tilde B)=\frac{\sqrt2}{4}=0{,}35$ cm⁻¹.

*Longueur $d_0$.* $B=hc\tilde B=10{,}25\times1{,}9863\times10^{-23}=2{,}036\times10^{-22}$ J. La masse réduite de $\mathrm H^{35}\mathrm{Cl}$ (isotope majoritaire) vaut $\mu=\frac{35}{36}m_{\mathrm H}=1{,}614\times10^{-27}$ kg. De $B=\hbar^2/(2\mu d_0^2)$ :

$$d_0=\frac{\hbar}{\sqrt{2\mu B}}=\frac{1{,}0546\times10^{-34}}{\sqrt{2\times1{,}614\times10^{-27}\times2{,}036\times10^{-22}}}=1{,}30\times10^{-10}\ \mathrm m$$

Comme $d_0\propto\tilde B^{-1/2}$, $u(d_0)/d_0=\frac12u(\tilde B)/\tilde B=1{,}7$ % :

$$\boxed{d_0=(1{,}30\pm0{,}02)\times10^{-10}\ \mathrm m}$$

*Pulsation $\omega_0$.* Le centre de bande correspond à $\hbar\omega_0=hc\tilde\nu_0$ :

$$\omega_0=2\pi c\tilde\nu_0=\frac{2885{,}5\times1{,}9863\times10^{-23}}{1{,}0546\times10^{-34}}=5{,}435\times10^{14}\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}},\qquad u(\omega_0)=\omega_0\frac{u(\tilde\nu_0)}{\tilde\nu_0}=1{,}3\times10^{11}\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$

$$\boxed{\omega_0=5{,}435\times10^{14}\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}},\quad u(\omega_0)=1{,}3\times10^{11}\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}}$$

*Contrôles.* $d_0\sim10^{-10}$ m et $\omega_0\sim5\times10^{14}$ rad·s⁻¹ sont cohérents avec l'énoncé et avec Q5. L'hypothèse d'une même constante rotationnelle n'est qu'approchée : les espacements décroissent dans la branche R (20 à 14 cm⁻¹) et croissent dans la branche P (21 à 26 cm⁻¹), signe que $\tilde B'<\tilde B''$. Les différences de combinaison $\tilde\nu_{\mathrm R(J-1)}-\tilde\nu_{\mathrm P(J+1)}=2\tilde B''(2J+1)$, indépendantes de l'état excité, donnent $\tilde B''\approx10{,}35$ cm⁻¹ et $d_0\approx1{,}29\times10^{-10}$ m, compatible avec le résultat ci-dessus.

**Q14.** Le chlore naturel contient $^{35}$Cl (76 %) et $^{37}$Cl (24 %) ; l'hydrogène est pratiquement pur ($^1$H à 99,985 %). Les molécules $\mathrm H^{35}\mathrm{Cl}$ et $\mathrm H^{37}\mathrm{Cl}$ ont la même liaison (même raideur) mais des masses réduites différentes :

$$\frac{\mu_{37}}{\mu_{35}}=\frac{37\times36}{38\times35}=1{,}0015,\qquad\omega_0\propto\mu^{-1/2}\ \Longrightarrow\ \frac{\Delta\tilde\nu_0}{\tilde\nu_0}=\sqrt{\frac{\mu_{35}}{\mu_{37}}}-1=-7{,}5\times10^{-4},\quad\Delta\tilde\nu_0\approx-2{,}2\ \mathrm{cm^{-1}}$$

($\tilde B\propto1/\mu$ varie aussi, effet secondaire.) **Chaque raie est un doublet isotopique : la raie de $\mathrm H^{35}\mathrm{Cl}$ est accompagnée, environ 2 cm⁻¹ plus bas, de celle de $\mathrm H^{37}\mathrm{Cl}$, environ trois fois moins intense (76/24).**

## Partie B — Cavité d'un laser

### I — Cavité sans pertes

**Q15.** Dans le vide ($\rho=0$, $\vec\jmath=\vec0$) :

$$\boxed{\mathrm{div}\,\vec E=0,\qquad\mathrm{div}\,\vec B=0,\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}}$$

(Maxwell-Gauss, Maxwell-flux, Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère.)

**Q16.** Le rotationnel de Maxwell-Faraday donne $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E)=-\partial_t\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=-\mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vec E$. Le formulaire et $\mathrm{div}\,\vec E=0$ donnent $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E)=-\Delta\vec E$. Donc

$$\boxed{\Delta\vec E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=\vec 0,\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=2{,}998\times10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}$$

**Q17.** Pour une onde plane progressive harmonique $\underline{\vec E}=\underline E_0e^{j(\omega t-kx)}\vec u_y$, $\Delta\to-k^2$ et $\partial_t^2\to-\omega^2$ ; le champ étant non nul :

$$\boxed{k^2=\frac{\omega^2}{c^2},\quad\text{soit } k=\frac{\omega}{c}}$$

Le vide n'est pas dispersif.

**Q18.** Le champ total dans la cavité est $\underline{\vec E}=\left(\underline E_{0+}e^{-jkx}+\underline E_{0-}e^{jkx}\right)e^{j\omega t}\vec u_y$. Dans le conducteur parfait le champ est nul. En $x=0$, avec milieu 1 = conducteur et milieu 2 = cavité ($\vec n_{12}=\vec u_x$), la relation de passage s'écrit $\vec E(0^+,t)-\vec 0=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec u_x$ : la composante selon $\vec u_y$ (tangentielle) est nulle en $x=0$. De même en $x=L$ (avec $\vec n_{12}=-\vec u_x$). Comme $e^{j\omega t}\neq0$ :

$$\boxed{\underline E_{0+}+\underline E_{0-}=0\qquad\text{et}\qquad\underline E_{0+}e^{-jkL}+\underline E_{0-}e^{jkL}=0}$$

**Q19.** En reportant $\underline E_{0-}=-\underline E_{0+}$ : $-2j\,\underline E_{0+}\sin(kL)=0$. Pour un champ non identiquement nul, $\sin(kL)=0$, soit $kL=m\pi$. Avec $k=2\pi\nu/c$ :

$$\boxed{\nu_m=m\,\frac{c}{2L}=m\times\mathrm{FSR}_\nu,\qquad m\in\mathbb N^*}$$

$m=0$ donne un champ nul et $m<0$ redonne les mêmes ondes stationnaires. La cavité contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde, avec un nœud de champ électrique sur chaque miroir.

![Figure 3 — Mode m = 3 de la cavité sans pertes : un nœud de champ électrique sur chaque miroir, d'où L = mλ/2](/figures/corriges/centrale-supelec_mp_physique-chimie-1_2026/q19-mode-stationnaire.svg)

### II — Cavité avec pertes

**Q20.** $R+T=1$ équivaut à $I_r+I_t=I_i$ : la puissance incidente se répartit intégralement entre ondes réfléchie et transmise. **C'est la conservation de l'énergie sur le miroir, supposé sans absorption ni diffusion.**

**Q21.** Juste à droite de $M_1$, l'onde qui part vers la droite est, par linéarité, la superposition de la **fraction transmise** à travers $M_1$ de l'onde de pompe incidente par la gauche ($\tau\underline E_p$) et de la **fraction réfléchie** sur la face interne de $M_1$ de l'onde intracavité $\underline E_G$ qui revient de $M_2$ ($r\underline E_G$, $r$ ne dépendant pas du sens de traversée). D'où $\underline E_D=\tau\underline E_p+r\underline E_G$.

**Q22.** Dans la cavité, $\underline{\vec E}=\left(\underline E_De^{-jkx}+\underline E_Ge^{jkx}\right)e^{j\omega t}\vec u_y$ (amplitudes définies en $x=0$). $M_2$ est un conducteur parfait : le champ tangentiel est nul en $x=L$, $\underline E_De^{-jkL}+\underline E_Ge^{jkL}=0$, donc

$$\boxed{\underline E_G=-\underline E_D\,e^{-2jkL}}$$

(déphasage d'aller-retour $2kL$ et coefficient de réflexion $-1$ sur le conducteur parfait).

**Q23.** $\underline E_D=\tau\underline E_p-r\underline E_De^{-2jkL}$, et avec $r=-\sqrt R$, $\tau=\sqrt{1-R}$ :

$$\boxed{\frac{\underline E_D}{\underline E_p}=\frac{\sqrt{1-R}}{1-\sqrt R\,e^{-2jkL}}}$$

(dénominateur jamais nul puisque $\sqrt R<1$).

**Q24.** Les deux ondes se propagent dans le vide, donc $I\propto\lvert\underline E\rvert^2$ avec le même coefficient :

$$\left\lvert1-\sqrt Re^{-2jkL}\right\rvert^2=1+R-2\sqrt R\cos2kL=(1-\sqrt R)^2+4\sqrt R\sin^2kL$$

$$\frac{I_D}{I_p}=\frac{1-R}{(1-\sqrt R)^2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{4\sqrt R}{(1-\sqrt R)^2}\sin^2kL},\qquad\boxed{g=\frac{1-R}{(1-\sqrt R)^2}=\frac{1+\sqrt R}{1-\sqrt R}}$$

**Q25.** Pour $R=0{,}960$ : $\sqrt R=0{,}9798$, $g=97{,}99\approx98$ et $\mathcal M=\dfrac{4\sqrt R}{(1-\sqrt R)^2}=9{,}60\times10^{3}$. Le rapport $I_D/I_p=g/(1+\mathcal M\sin^2kL)$ vaut $g\approx98$ quand $\sin kL=0$ et tombe à $g/(1+\mathcal M)\approx1{,}0\times10^{-2}$ quand $\lvert\sin kL\rvert=1$, soit $10^{-4}$ fois le maximum. Il passe sous $g/2$ dès que $\lvert\sin kL\rvert>1/\sqrt{\mathcal M}=1{,}0\times10^{-2}$ et vaut $2\times10^{-2}$ pour $\sin^2kL=\frac12$. Il est donc **négligeable devant son maximum sauf au voisinage immédiat de**

$$\boxed{k=\frac{m\pi}{L},\quad m\in\mathbb N^*}$$

**Q26.** Fonction $\pi$-périodique de $kL$ (fonction d'Airy) : pics étroits de hauteur $g\approx98$ centrés en $kL=m\pi$, de largeur totale à mi-hauteur $\Delta(kL)=2/\sqrt{\mathcal M}\approx2{,}0\times10^{-2}$ rad (0,65 % de la période), séparés par un fond quasi nul de minimum $1/g\approx10^{-2}$ en $kL=\pi/2+m\pi$.

![Figure 4 — Rapport I_D/I_p en fonction de kL pour R = 96 % : pics de hauteur g ≈ 98 en kL = mπ, de largeur à mi-hauteur 2/√ℳ ≈ 2·10⁻² rad (zoom), fond quasi nul](/figures/corriges/centrale-supelec_mp_physique-chimie-1_2026/q26-fonction-airy.svg)

**Q27.** Les modes sont les maxima $k_m=m\pi/L$ ; avec $\nu=ck/2\pi$ :

$$\boxed{\nu_m=m\frac{c}{2L},\qquad\mathrm{FSR}'_\nu=\frac{c}{2L}=\mathrm{FSR}_\nu}$$

Les modes ont les mêmes fréquences et le même intervalle spectral libre que sans pertes (même condition d'accord de phase sur un aller-retour, $2kL=2m\pi$). La différence est qualitative : sans pertes seules les fréquences $\nu_m$ existent ; avec pertes toute fréquence pénètre un peu, mais efficacement seulement dans des résonances de largeur finie $\Delta\nu_c$ autour des $\nu_m$.

**Q28.** La mi-hauteur correspond à $\mathcal M\sin^2kL=1$. Près de $kL=m\pi+\delta$, avec $\lvert\delta\rvert\ll1$ ($1/\sqrt{\mathcal M}\approx10^{-2}$) : $\delta_{1/2}=\pm1/\sqrt{\mathcal M}$, d'où $\Delta(kL)=2/\sqrt{\mathcal M}$. Comme $kL=\pi\nu/\mathrm{FSR}'_\nu$ (relation linéaire), $\Delta(kL)=\pi\Delta\nu_c/\mathrm{FSR}'_\nu$ et

$$\boxed{\mathcal F=\frac{\pi}{\Delta(kL)}=\frac{\pi\sqrt{\mathcal M}}{2}=\frac{\pi R^{1/4}}{1-\sqrt R}}$$

$$\mathcal F=\frac{\pi\times0{,}98985}{0{,}020204}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal F\approx1{,}54\times10^{2}}$$

ce qui confirme $\Delta\nu_c\ll\mathrm{FSR}'_\nu$.

**Q29.** À intervalle spectral libre donné, une grande finesse donne une raie très fine, $\Delta\nu_c=\mathrm{FSR}_\nu/\mathcal F$, donc une **grande longueur de cohérence** $\ell_c\approx c/\Delta\nu_c=2L\mathcal F$. On peut alors faire interférer des ondes avec de grandes différences de marche sans perte de contraste (interférométrie à long bras, métrologie des longueurs, détection de très petits déplacements).

## Partie C — Milieu amplificateur d'un laser

### I — Évolution de populations

**Q30.** Chaque processus est d'ordre 1 par rapport à l'espèce qui disparaît :

$$\boxed{v_{\mathrm{pomp}}=\Gamma n_1,\quad v_{\mathrm{nr}}=k_{\mathrm{nr}}n_3,\quad v_{\mathrm{abs}}=\beta n_1,\quad v_{\mathrm{stim}}=\beta n_2,\quad v_{\mathrm{spont}}=An_2}$$

**Q31.** $\mathrm M$ est consommé par le pompage ($-\Gamma n_1$) et l'absorption ($-\beta n_1$), produit par l'émission spontanée ($+An_2$) et l'émission stimulée ($+\beta n_2$), et n'intervient pas dans la désexcitation non radiative. La somme algébrique donne $\dfrac{\mathrm dn_1}{\mathrm dt}=-\Gamma n_1+An_2+\beta n_2-\beta n_1$.

**Q32.** $\mathrm M^*$ est produit par la désexcitation non radiative et l'absorption, consommé par les émissions stimulée et spontanée ; $\mathrm M^{**}$ est produit par le pompage et consommé par la désexcitation non radiative :

$$\boxed{\frac{\mathrm dn_2}{\mathrm dt}=k_{\mathrm{nr}}n_3+\beta n_1-\beta n_2-An_2,\qquad\frac{\mathrm dn_3}{\mathrm dt}=\Gamma n_1-k_{\mathrm{nr}}n_3}$$

**Q33.** La somme des trois équations est nulle (termes $\pm\Gamma n_1$, $\pm\beta n_1$, $\pm\beta n_2$, $\pm An_2$, $\pm k_{\mathrm{nr}}n_3$) : **$n_1+n_2+n_3$ est constant.** Les processus ne font que redistribuer l'espèce M entre ses trois niveaux : c'est la conservation de la quantité totale de M (concentration totale du milieu).

**Q34.** En régime stationnaire, $\mathrm dn_3/\mathrm dt=0$ donne $n_1=\dfrac{k_{\mathrm{nr}}}{\Gamma}n_3$ ; $\mathrm dn_2/\mathrm dt=0$ donne $k_{\mathrm{nr}}n_3+\beta n_1=(A+\beta)n_2$, soit $(\Gamma+\beta)n_1=(A+\beta)n_2$. Alors

$$\Delta n=n_2-n_1=\frac{k_{\mathrm{nr}}n_3}{\Gamma}\left(\frac{\Gamma+\beta}{A+\beta}-1\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta n=\frac{k_{\mathrm{nr}}(\Gamma-A)}{\Gamma(A+\beta)}\,n_3}$$

(la troisième équation est redondante, d'après Q33).

**Q35.** Les constantes de vitesse sont positives et $n_3>0$ dès que le pompage agit : $\Delta n$ a le signe de $\Gamma-A$.

$$\boxed{\Delta n>0\iff\Gamma>A}$$

Le pompage (qui alimente $\mathrm M^*$ via $\mathrm M^{**}$, la relaxation non radiative étant très rapide) doit remplir le niveau excité plus vite que l'émission spontanée ne le vide. $\beta$ n'intervient pas dans la condition : l'émission stimulée réduit l'inversion sans pouvoir en changer le signe.

### II — Bilan de puissance électromagnétique dans le milieu amplificateur

**Q36.** Tous les processus ne contribuent pas au bilan de l'onde laser :

- **pompage** : énergie apportée par une source extérieure, à une autre fréquence ; ne contribue pas directement ;
- **désexcitation non radiative** : sans photon, l'énergie part en agitation thermique ; ne contribue pas ;
- **absorption** : retire des photons $\hbar\omega$ à l'onde, **perte** ($\hbar\omega\beta n_1$ par unité de volume et de temps) ;
- **émission stimulée** : photons cohérents ajoutés à l'onde, **gain** ($\hbar\omega\beta n_2$) ;
- **émission spontanée** : photons émis dans toutes les directions, sans relation de phase avec l'onde ; ils n'appartiennent pas au faisceau et l'énergie correspondante, prélevée sur les molécules excitées, est **perdue pour l'onde laser** ($\hbar\omega An_2$).

**Q37.** Bilan sur la tranche $[x,x+\mathrm dx]$ de section $S$ pendant $\mathrm dt$ : la variation de l'énergie $u_{\text{ém}}S\,\mathrm dx$ est égale au flux entrant net, $-\partial_x\Pi\,S\,\mathrm dx\,\mathrm dt$, plus le terme d'émission stimulée moins absorption, $\hbar\omega\beta(n_2-n_1)S\,\mathrm dx\,\mathrm dt$, moins le terme d'émission spontanée, $\hbar\omega An_2S\,\mathrm dx\,\mathrm dt$ :

$$\frac{\partial u_{\text{ém}}}{\partial t}=-\frac{\partial\Pi}{\partial x}+\hbar\omega\beta(n_2-n_1)-\hbar\omega An_2$$

Avec $u_{\text{ém}}=\Pi/c$ et $\beta=bu_{\text{ém}}=b\Pi/c$ :

$$\boxed{\frac{\partial\Pi}{\partial x}+\frac1c\frac{\partial\Pi}{\partial t}=\gamma(\omega)\Pi-p(\omega),\qquad\gamma(\omega)=\frac{b\hbar\omega(n_2-n_1)}{c},\qquad p(\omega)=\hbar\omega An_2}$$

Homogénéité : $p$ en W·m⁻³ et $\gamma$ en m⁻¹.

**Q38.** $\gamma\Pi=\hbar\omega\beta\Delta n$ et $p=\hbar\omega An_2$ : la condition s'écrit $An_2\ll\beta\Delta n$. **L'émission spontanée, incohérente, isotrope et spectralement large, est négligeable devant le gain net par émission stimulée**, qui produit des photons de même direction, fréquence et phase que l'onde. C'est ce qui garantit une lumière cohérente, directive et monochromatique, c'est-à-dire une lumière laser, et non celle d'une lampe.

**Q39.** En régime stationnaire, $\dfrac{\mathrm d\Pi}{\mathrm dx}=\gamma\Pi-p$, équation linéaire à coefficients constants. Avec $\Pi(0)=\Pi_0$ :

$$\Pi(x)=\left(\Pi_0-\frac{p}{\gamma}\right)e^{\gamma x}+\frac{p}{\gamma}\qquad\text{et, puisque }p\ll\gamma\Pi,\qquad\boxed{\Pi(x)=\Pi_0\,e^{\gamma(\omega)x}}$$

**Q40.** $\gamma=\dfrac{1}{\Pi}\dfrac{\mathrm d\Pi}{\mathrm dx}$ est le **coefficient de gain linéique** (en m⁻¹) : sur une longueur $1/\lvert\gamma\rvert$, l'intensité est multipliée ou divisée par $e$. Comme $b$, $\hbar\omega$ et $c$ sont positifs, $\gamma$ a le signe de $\Delta n$ :

- $\Delta n>0$ (inversion) : $\gamma>0$, amplification exponentielle, l'émission stimulée l'emporte sur l'absorption ;
- $\Delta n<0$ (situation ordinaire) : $\gamma<0$, atténuation exponentielle (loi de Beer-Lambert) ;
- $\Delta n=0$ : milieu transparent.

L'amplification exige donc $\Delta n>0$, c'est-à-dire, en régime stationnaire, $\Gamma>A$ (Q35).

$$\boxed{\gamma>0\iff\Delta n>0\iff\Gamma>A}$$

### III — Considérations expérimentales pour un laser à colorant compact

**Q41.** La solution absorbe entre 550 et 620 nm (vert-jaune-orangé) ; elle transmet le reste du spectre visible et apparaît de la couleur complémentaire de la lumière absorbée, **le bleu**, d'où son nom. L'émission laser (figure 6) s'étend de 687 à 704 nm environ, maximum vers 695 nm : **rouge profond**, à la limite du proche infrarouge. Elle est à plus grande longueur d'onde que la bande d'absorption, comme il se doit (pompage vers des niveaux plus hauts que le niveau émetteur).

**Q42.** Dans le milieu d'indice $n$, $k=n\omega/c$ ; les conditions aux miroirs sont inchangées, donc $kL=m\pi$ et

$$\nu_m=m\frac{c}{2nL},\qquad\mathrm{FSR}_\nu=\frac{c}{2nL}$$

(le résultat de Q19 avec $c\to c/n$). La longueur d'onde dans le vide du mode $m$ vaut $\lambda_m=c/\nu_m=2nL/m$, donc

$$\mathrm{FSR}_\lambda=\lambda_m-\lambda_{m+1}=\frac{2nL}{m(m+1)}\approx\frac{2nL}{m^2}=\frac{\lambda_m^2}{2nL}\qquad(m\approx650\gg1)$$

ce qui redonne $\boxed{\mathrm{FSR}_\lambda=\dfrac{\lambda^2}{2nL}}$. De façon équivalente, $\lvert\mathrm d\lambda\rvert=\dfrac{\lambda^2}{c}\lvert\mathrm d\nu\rvert$ appliqué à $\mathrm d\nu=\mathrm{FSR}_\nu$.

**Q43.** Sur la figure 6, les pics vont du mode 664 ($\approx687{,}7$ nm) au mode 649 ($\approx703{,}7$ nm) : $\mathrm{FSR}_\lambda\approx16{,}0/15=1{,}07$ nm, en accord avec l'insert (1,02 à 1,08 nm). Avec $\mathrm{FSR}_\lambda\approx1{,}06$ nm à $\lambda\approx695$ nm :

$$L=\frac{\lambda^2}{2n\,\mathrm{FSR}_\lambda}=\frac{(695\times10^{-9})^2}{2\times1{,}3587\times1{,}06\times10^{-9}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{L\approx1{,}7\times10^{-4}\ \mathrm m=0{,}17\ \mathrm{mm}}$$

Contrôle par le numéro de mode : $L=m\lambda_m/(2n)=657\times695\times10^{-9}/(2\times1{,}3587)=1{,}68\times10^{-4}$ m. La cavité est bien infra-millimétrique.

**Q44.** De $\nu=c/\lambda$ : $\lvert\Delta\nu\rvert=\dfrac{c}{\lambda^2}\lvert\Delta\lambda\rvert$ pour $\Delta\lambda\ll\lambda$ (ici $1{,}5\times10^{-3}$ et $1{,}4\times10^{-4}$ en valeur relative). Le facteur $c/\lambda^2$ est le même pour l'intervalle entre modes voisins et pour la largeur d'un pic, pris à la même longueur d'onde :

$$\mathcal F=\frac{\mathrm{FSR}_\nu}{\Delta\nu_c}=\frac{(c/\lambda^2)\,\mathrm{FSR}_\lambda}{(c/\lambda^2)\,\Delta\lambda_c}=\boxed{\frac{\mathrm{FSR}_\lambda}{\Delta\lambda_c}}\approx\frac{1{,}06}{0{,}1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal F\sim10}$$

C'est environ quinze fois moins que la cavité de la partie B.

**Q45.** Dans $\lambda_m=2nL/m$ et $\mathrm{FSR}_\lambda=\lambda^2/(2nL)$, $m$ est entier et $L$ fixé par la géométrie : le paramètre sensible est **l'indice optique $n$ de la solution qui remplit la cavité**. Il dépend de la température (via la masse volumique du liquide) et de la composition chimique (solvant, espèces dissoutes). On mesure le déplacement des pics, $\delta\lambda_m/\lambda_m=\delta n/n$ ; un déplacement de 0,1 nm correspond à $\delta n/n\approx1{,}4\times10^{-4}$.

**Q46.** *Hypothèses.* Miroirs inchangés, donc finesse $\mathcal F\approx10$ inchangée ; colorant inchangé, donc même bande de gain, de largeur $\Delta\lambda_{\mathrm{gain}}\approx15$–$20$ nm autour de 695 nm ; seule $L$ passe de 0,17 mm à $L\approx1$ m.

*Chiffrage.* Avec la cavité remplie de colorant ($n=1{,}3587$) :

$$\mathrm{FSR}_\lambda=\frac{\lambda^2}{2nL}=\frac{(695\times10^{-9})^2}{2\times1{,}3587\times1}=1{,}8\times10^{-13}\ \mathrm m=1{,}8\times10^{-4}\ \mathrm{nm},\qquad\mathrm{FSR}_\nu=\frac{c}{2nL}=110\ \mathrm{MHz}$$

(pour une cavité essentiellement dans l'air, $n\approx1$ : $2{,}4\times10^{-4}$ nm, même conclusion). Nombre de modes dans la bande de gain : $N\approx\Delta\lambda_{\mathrm{gain}}/\mathrm{FSR}_\lambda\approx10^{5}$ ; largeur de chaque résonance $\mathrm{FSR}_\lambda/\mathcal F\approx2\times10^{-5}$ nm ; numéro de mode $m=2nL/\lambda\approx4\times10^{6}$.

*Allure.* Un spectromètre usuel résout $10^{-2}$ à $10^{-1}$ nm, soit 50 à 500 fois l'écart entre modes : les modes ne sont pas résolus. Le spectre observé est une **bande quasi continue** dont l'enveloppe est la courbe de gain du colorant (même position et même largeur, environ 687–704 nm), au lieu du peigne de seize pics bien séparés de la figure 6.

![Figure 5 — Allure des spectres à colorant et miroirs identiques : (a) microcavité, 16 modes séparés de 1,06 nm ; (b) cavité métrique, environ 10⁵ modes non résolus, bande continue sous la courbe de gain](/figures/corriges/centrale-supelec_mp_physique-chimie-1_2026/q46-spectres-cavite-courte-longue.svg)

*Commentaire.* Plus la cavité est longue, plus les modes sont serrés : la microcavité sélectionne naturellement une quinzaine de modes séparés, ce qui permet d'en suivre le déplacement (capteur, Q45). Un laser à cavité métrique est fortement multimode (la compétition entre modes limite le nombre de modes effectivement oscillants sans rendre le spectre résoluble) ; pour le rendre monomode et accordable, on insère des éléments sélectifs (réseau, étalon Fabry-Pérot, filtre biréfringent). En contrepartie, il offre un plus grand volume amplificateur et donc davantage de puissance.