Maths 1

# Centrale-Supélec PC — Mathématiques 1 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

**Découverte de la planète Neptune** — 4 heures, calculatrice autorisée. Quatre parties indépendantes, 34 questions.

Convention : le polynôme caractéristique est $P_A=\det(XI_3-A)$, unitaire (c'est celle du programme, et l'énoncé l'utilise puisqu'il annonce en Q21 que $P_A$ est le polynôme unitaire $R$).

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## Partie A — Étude du mouvement d'une planète seulement soumise à l'attraction du soleil

On rappelle : $0<c<a$, $b=\sqrt{a^2-c^2}>0$, $F=(c,0)$, $F'=(-c,0)$, donc $FF'=2c$, et $\mathcal{E}=\{M\in P : MF+MF'=2a\}$.

### I — Équation réduite de $\mathcal{E}$

**Q1.** L'inégalité triangulaire appliquée aux points $M,F,F'$ donne $FF'\leqslant MF+MF'$, et plus généralement chaque distance est majorée par la somme des deux autres. Ainsi
$$MF\leqslant MF'+F'F\quad\text{et}\quad MF'\leqslant MF+FF',$$
d'où $MF-MF'\leqslant FF'$ et $MF'-MF\leqslant FF'$. Comme $|MF-MF'|$ est l'un des deux nombres $MF-MF'$ ou $MF'-MF$,
$$\boxed{FF'\geqslant |MF-MF'|.}$$

**Q2.** Par Q1 et $c<a$ : $|MF-MF'|\leqslant FF'=2c<2a$. Donc $MF-MF'\leqslant 2c<2a$, soit $MF-MF'-2a<0$, et $MF-MF'\geqslant -2c>-2a$, soit $MF-MF'+2a>0$. En particulier
$$\boxed{MF-MF'-2a\neq 0\quad\text{et}\quad MF-MF'+2a\neq 0.}$$

**Q3.** Notons $\Pi$ le produit des quatre facteurs. On a $MF'+MF+2a\geqslant 2a>0$, et les deux derniers facteurs sont non nuls par Q2. Le produit de ces trois facteurs est donc non nul, et $\Pi=0$ si et seulement si $MF'+MF-2a=0$, c'est-à-dire si et seulement si $M\in\mathcal{E}$ :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff (MF'+MF-2a)(MF'+MF+2a)(MF-MF'-2a)(MF-MF'+2a)=0.}$$

**Q4.** On groupe les facteurs conjugués :
$$\Pi=\big[(MF+MF')^2-4a^2\big]\big[(MF-MF')^2-4a^2\big].$$
Avec $s=(MF)^2+(MF')^2-4a^2$ et $p=2\,MF\cdot MF'$, on a $(MF+MF')^2-4a^2=s+p$ et $(MF-MF')^2-4a^2=s-p$, donc $\Pi=s^2-p^2$. Par Q3 :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff \big((MF')^2+(MF)^2-4a^2\big)^2=4(MF')^2(MF)^2.}$$

**Q5.** On a $(MF)^2=(x-c)^2+y^2$ et $(MF')^2=(x+c)^2+y^2$. Posons $r=x^2+y^2+c^2$ : alors $(MF)^2=r-2cx$, $(MF')^2=r+2cx$, donc
$$(MF)^2+(MF')^2=2r,\qquad (MF)^2(MF')^2=r^2-4c^2x^2.$$
L'équivalence de Q4 devient $(2r-4a^2)^2=4(r^2-4c^2x^2)$, soit $r^2-4a^2r+4a^4=r^2-4c^2x^2$, soit
$$a^4-a^2(x^2+y^2+c^2)+c^2x^2=0\iff (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\iff b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2.$$
Comme $a^2b^2>0$ (car $c<a$ donne $b>0$), on divise :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.}$$

### II — Étude d'une fonction

On écrit $f(x)=\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pour $x\in[0,a]$.

**Q6.** $f$ est continue sur $[0,a]$ et, comme $a^2-x^2>0$ sur $[0,a[$, dérivable sur $[0,a[$ avec
$$f'(x)=-\frac{b\,x}{a\sqrt{a^2-x^2}}.$$
Donc $f'(0)=0$ et $f'<0$ sur $]0,a[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0,a]$, de $f(0)=b$ à $f(a)=0$.

| $x$ | $0$ | | $a$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | (non définie) |
| $f$ | $b$ | décroissante | $0$ |

*Tangente en $(0,b)$* : $f'(0)=0$, d'où la tangente horizontale $\boxed{y=b}$.

*Tangente en $(a,0)$* : pour $x\in[0,a[$,
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac ba\sqrt{(a-x)(a+x)}}{x-a}=-\frac ba\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\xrightarrow[x\to a^-]{}-\infty.$$
$f$ n'est pas dérivable en $a$ et $\mathcal{C}_f$ admet en $(a,0)$ une demi-tangente verticale, d'équation $\boxed{x=a}$.

**Q7.** Sur $[0,a[$, $f''(x)=-\dfrac{b}{a}\Big[\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}+\dfrac{x^2}{(a^2-x^2)^{3/2}}\Big]=-\dfrac{ab}{(a^2-x^2)^{3/2}}<0$ : $f$ est concave.

![Figure 1 — Tracé de $\mathcal{C}_f$ (Q7) : tangente horizontale $y=b$ en $(0,b)$, demi-tangente verticale $x=a$ en $(a,0)$ ; tracé avec $a=3$, $b=2$](/figures/corriges/centrale-supelec_pc_maths-1_2026/q7-courbe-cf.svg)

L'arc part horizontalement de $(0,b)$ et arrive verticalement en $(a,0)$. D'après Q5, pour $x\in[0,a]$, le point $(x,f(x))$ vérifie $\frac{x^2}{a^2}+\frac{f(x)^2}{b^2}=1$ et $f(x)\geqslant 0$ : $\mathcal{C}_f$ est exactement le quart de $\mathcal{E}$ contenu dans $\{x\geqslant 0,\ y\geqslant 0\}$.

**Q8.** L'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ est invariante par $(x,y)\mapsto(-x,y)$ et par $(x,y)\mapsto(x,-y)$ : $\mathcal{E}$ est symétrique par rapport aux deux axes. De plus, si $(x,y)\in\mathcal{E}$ avec $x\geqslant0,\ y\geqslant0$, alors $x\in[0,a]$ et $y=f(x)$. Donc $\mathcal{E}$ est la réunion de $\mathcal{C}_f$ et de ses images par les symétries d'axes $(Ox)$, $(Oy)$ et de centre $O$.

![Figure 2 — L'ellipse $\mathcal{E}$ (Q8) : sommets $A,A',B,B'$, foyers $F,F'$ sur le grand axe, et un point $M$ avec $MF+MF'=2a$ ; tracé avec $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt5$](/figures/corriges/centrale-supelec_pc_maths-1_2026/q8-ellipse-foyers.svg)

Tangentes verticales en $A(a,0)$, $A'(-a,0)$, horizontales en $B(0,b)$, $B'(0,-b)$ ; comme $b<a$, $\mathcal{E}$ est allongée horizontalement, et les foyers $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ sont strictement entre $O$ et les sommets puisque $0<c<a$.

### III — Paramètres de l'ellipse

**Q9.** De $0<c<a$ et $a>0$ on tire $0<\frac ca<1$, soit $\boxed{e\in\,]0,1[}$. Puis $\boxed{c=ae}$ et, puisque $a>0$ et $1-e^2>0$,
$$\boxed{b=\sqrt{a^2-a^2e^2}=a\sqrt{1-e^2}.}$$

**Q10.** À $a$ fixé (le grand axe est fixé) :
- si $e$ est proche de $0$ : $b=a\sqrt{1-e^2}$ est proche de $a$ et $c=ae$ proche de $0$ ; l'ellipse est presque le cercle de centre $O$ et de rayon $a$, ses foyers sont proches du centre ;
- si $e$ est proche de $1$ : $b$ est proche de $0$ et $c$ proche de $a$ ; l'ellipse est très aplatie le long de son grand axe $[A'A]$, presque confondue avec ce segment, et ses foyers sont proches des sommets $A$ et $A'$.

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## Partie B — Étude du mouvement des planètes massives du système solaire sans négliger les interactions

**Q11.** Écrivons $B=(\beta_{ij})$, à coefficients constants. La relation $G_t=BL_t$ s'écrit $h_i'(t)=\sum_{j}\beta_{ij}l_j(t)$ pour $i\in\llbracket1,3\rrbracket$. Les $l_j$ étant dérivables et les $\beta_{ij}$ constants, on dérive : $h_i''(t)=\sum_j\beta_{ij}l_j'(t)$, c'est-à-dire $F_t=BK_t$. Avec $K_t=-BH_t$ :
$$\boxed{\forall t\in\mathbb{R}_+,\quad F_t=B(-BH_t)=A\,H_t\quad\text{avec}\quad A=-B^2.}$$

**Q12.** $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ possède trois valeurs propres réelles deux à deux distinctes $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3$. Une matrice de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ayant trois valeurs propres réelles distinctes est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ : si $X_i$ est un vecteur propre associé à $\lambda_i$, la famille $(X_1,X_2,X_3)$ est libre (vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes), donc une base de $\mathbb{R}^3$. La matrice $Q$ de colonnes $X_1,X_2,X_3$ est inversible et vérifie $AQ=Q\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$, d'où
$$\boxed{A=Q\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{pmatrix}Q^{-1},\qquad Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R}).}$$

**Q13.** Notons $\Delta=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$. Chaque $y_i$ est combinaison linéaire à coefficients constants des $h_j$, donc deux fois dérivable, et $Y_t''=Q^{-1}H_t''=Q^{-1}F_t=Q^{-1}AH_t=Q^{-1}Q\Delta Q^{-1}H_t=\Delta Y_t$. Ligne par ligne :
$$\boxed{\forall i\in\llbracket1,3\rrbracket,\quad y_i''-\lambda_i\,y_i=0,}$$
équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants ; avec $\omega_i=\sqrt{-\lambda_i}>0$, elle s'écrit $y_i''+\omega_i^2y_i=0$.

**Q14.** L'équation caractéristique $r^2-\lambda_i=0$ a pour racines $\pm i\omega_i$ ($\lambda_i<0$). Les solutions réelles sont donc
$$\boxed{y_i(t)=\alpha_i\cos\big(\sqrt{-\lambda_i}\,t\big)+\beta_i\sin\big(\sqrt{-\lambda_i}\,t\big),\qquad (\alpha_i,\beta_i)\in\mathbb{R}^2,}$$
ou encore $y_i(t)=C_i\cos(\omega_it-\varphi_i)$ avec $C_i\geqslant 0$, $\varphi_i\in\mathbb{R}$ : oscillation de pulsation $\sqrt{-\lambda_i}$.

**Q15.** *Inversibilité de $B$.* $A$ est semblable à $\Delta$, de déterminant $\lambda_1\lambda_2\lambda_3\neq0$, donc $\det A\neq 0$. Or $\det A=\det(-B^2)=(-1)^3\det(B)^2=-\det(B)^2$. Donc $\det B\neq0$ :
$$\boxed{B\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R}).}$$
*Expression des $h_i$.* De $Y_t=Q^{-1}H_t$ :
$$\boxed{H_t=Q\,Y_t,\quad\text{soit}\quad h_i(t)=\sum_{j=1}^3 q_{ij}\,y_j(t)\quad\text{où } Q=(q_{ij}).}$$
*Expression des $l_i$.* De $G_t=BL_t$ et $B$ inversible, $L_t=B^{-1}G_t$ ; or $G_t=H_t'=QY_t'$ ($Q$ constante). Donc
$$\boxed{L_t=B^{-1}Q\,Y_t',\quad\text{soit}\quad l_i(t)=\sum_{j=1}^3 r_{ij}\,y_j'(t)\quad\text{où } B^{-1}Q=(r_{ij}),}$$
avec $y_j'(t)=\omega_j\big(-\alpha_j\sin(\omega_jt)+\beta_j\cos(\omega_jt)\big)$.

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## Partie C — Méthode de Le Verrier pour déterminer les valeurs propres

### I — Résolution des équations

**Q16.** Pour $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ :
$$\mathrm{Tr}(AB)=\sum_{i=1}^3(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}b_{ji}=\sum_{j=1}^3\sum_{i=1}^3b_{ji}a_{ij}=\sum_{j=1}^3(BA)_{jj}=\mathrm{Tr}(BA).$$
Si $N=P^{-1}MP$ avec $P\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$, alors $\mathrm{Tr}(N)=\mathrm{Tr}\big(P^{-1}(MP)\big)=\mathrm{Tr}\big((MP)P^{-1}\big)=\mathrm{Tr}(M)$ : **deux matrices semblables ont même trace.**

**Q17.** Notons $\Delta=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$. Par récurrence, $A^k=Q\Delta^kQ^{-1}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ (si c'est vrai au rang $k$, $A^{k+1}=Q\Delta^kQ^{-1}Q\Delta Q^{-1}=Q\Delta^{k+1}Q^{-1}$). Donc $A^k$ est semblable à $\Delta^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\lambda_3^k)$ et, par Q16,
$$\boxed{\mathrm{Tr}(A)=S_1,\qquad\mathrm{Tr}(A^2)=S_2,\qquad\mathrm{Tr}(A^3)=S_3.}$$

**Q18.** $XI_3-A=Q(XI_3-\Delta)Q^{-1}$, donc $P_A=\det(Q)\det(XI_3-\Delta)\det(Q^{-1})=\det(XI_3-\Delta)$ :
$$\boxed{P_A=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)}$$
$$=X^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)X^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)X-\lambda_1\lambda_2\lambda_3.$$
Par identification ($\alpha_3=1$) :
$$\boxed{\alpha_0=-\lambda_1\lambda_2\lambda_3,\qquad\alpha_1=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3,\qquad\alpha_2=-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3).}$$

**Q19.** D'abord $\alpha_2=-S_1$. Ensuite $S_1^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)=S_2+2\alpha_1$. Donc
$$\boxed{\alpha_2=-S_1,\qquad\alpha_1=\frac{S_1^2-S_2}{2},}$$
et, avec la valeur admise de $\alpha_0$ et Q17,
$$P_A=X^3-\mathrm{Tr}(A)X^2+\frac{\mathrm{Tr}(A)^2-\mathrm{Tr}(A^2)}{2}X+\frac{3\,\mathrm{Tr}(A)\mathrm{Tr}(A^2)-\mathrm{Tr}(A)^3-2\,\mathrm{Tr}(A^3)}{6}.$$

### II — Étude d'un cas particulier

On pose $N=2A=\begin{pmatrix}-4&11&13\\0&1&7\\0&7&1\end{pmatrix}$, de sorte que $A^k=N^k/2^k$.

**Q20.** $P_A$ est un polynôme de degré 3, scindé sur $\mathbb{C}$ (théorème de d'Alembert-Gauss). Toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable : il existe $T\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ triangulaire supérieure et $Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{C})$ telles que $\boxed{A=QTQ^{-1}}$.

Notons $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ les coefficients diagonaux de $T$. Le calcul de Q16 vaut sur $\mathbb{C}$. Un produit de matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, de diagonale le produit des diagonales, donc $A^k=QT^kQ^{-1}$ donne $\mathrm{Tr}(A^k)=\mu_1^k+\mu_2^k+\mu_3^k$. De même $P_A=\det(XI_3-T)=(X-\mu_1)(X-\mu_2)(X-\mu_3)$, le déterminant d'une matrice triangulaire étant le produit de ses coefficients diagonaux. Les calculs de Q17 à Q19 se transposent mot pour mot : **oui, les relations de Q19 restent valables**, avec $S_k=\mu_1^k+\mu_2^k+\mu_3^k=\mathrm{Tr}(A^k)$ (valeurs propres complexes comptées avec multiplicité).

**Q21.** Calcul direct :
$$N^2=\begin{pmatrix}16&58&38\\0&50&14\\0&14&50\end{pmatrix},\qquad N^3=\begin{pmatrix}-64&500&652\\0&148&364\\0&364&148\end{pmatrix}.$$
Donc $\mathrm{Tr}(N)=-2$, $\mathrm{Tr}(N^2)=116$, $\mathrm{Tr}(N^3)=232$, et
$$\boxed{\mathrm{Tr}(A)=-1,\qquad\mathrm{Tr}(A^2)=\frac{116}{4}=29,\qquad\mathrm{Tr}(A^3)=\frac{232}{8}=29.}$$
Par Q19 et Q20, avec $S_1=-1$, $S_2=29$, $S_3=29$ :
$$\alpha_2=1,\qquad\alpha_1=\frac{1-29}{2}=-14,\qquad\alpha_0=\frac{3(-1)(29)-(-1)-2\cdot29}{6}=\frac{-144}{6}=-24,$$
et $\alpha_3=1$, d'où $\boxed{P_A=X^3+X^2-14X-24=R.}$

**Q22.** Les valeurs propres de $A$ sont les racines de $R$. $R(-2)=-8+4+28-24=0$, et $R=(X+2)(X^2-X-12)$. Le trinôme a pour discriminant $49$ et pour racines $4$ et $-3$. Donc $R=(X+2)(X+3)(X-4)$ et
$$\boxed{\mathrm{Sp}(A)=\{-3,\,-2,\,4\}.}$$

**Q23.** $AX=\lambda X\iff NX=2\lambda X$.
- $\lambda=-2$ : $(N+4I_3)X=0$ s'écrit $11y+13z=0$, $5y+7z=0$, $7y+5z=0$ ; le système en $(y,z)$ formé des deux dernières équations a pour déterminant $25-49\neq0$, donc $y=z=0$, $x$ libre : $X_1=(1,0,0)^\top$.
- $\lambda=-3$ : $(N+6I_3)X=0$ s'écrit $2x+11y+13z=0$, $7y+7z=0$ ; donc $y=-z$, $x=-z$ : $X_2=(1,1,-1)^\top$.
- $\lambda=4$ : $(N-8I_3)X=0$ s'écrit $-12x+11y+13z=0$, $-7y+7z=0$ ; donc $y=z$, $x=2z$ : $X_3=(2,1,1)^\top$.

Vérifications : $NX_1=-4X_1$, $NX_2=(-6,-6,6)^\top=-6X_2$, $NX_3=(16,8,8)^\top=8X_3$. Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, ils forment une base ($\det=2\neq0$). Ainsi
$$\boxed{Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R}),\qquad Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}.}$$

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## Partie D — Perturbation sur une matrice d'ordre 3

Rappel : $a<b<c$, $u,v,w$ non nuls (donc $u^2,v^2,w^2>0$), $U=(u,v,w)^\top$, $T=UU^\top$, $D=\mathrm{diag}(a,b,c)$, $t\neq0$, $D(t)=D+tT$, et l'on note $F(\lambda)=\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{a,b,c\}$.

### I — Solutions et spectre

**Q24.** $\lambda I_3-D=\mathrm{diag}(\lambda-a,\lambda-b,\lambda-c)$ a ses coefficients diagonaux non nuls puisque $\lambda\notin\{a,b,c\}$ : $\boxed{\lambda I_3-D\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})}$, d'inverse $\mathrm{diag}\big(\frac1{\lambda-a},\frac1{\lambda-b},\frac1{\lambda-c}\big)$.

Soit $X\neq0$ avec $D(t)X=\lambda X$ : $DX+tU(U^\top X)=\lambda X$, donc $(\lambda I_3-D)X=tU(U^\top X)$, puis $X=t(\lambda I_3-D)^{-1}U(U^\top X)$. En multipliant à gauche par $U^\top$ :
$$\boxed{U^\top X=t\,U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}UU^\top X.}$$

**Q25.** Posons $s=U^\top X\in\mathbb{R}$. Si $s=0$, la relation $X=t(\lambda I_3-D)^{-1}U\,s$ donne $X=0$, ce qui est exclu. Donc $s\neq0$ ; en simplifiant Q24 par $s$ : $t\,U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=1$, et comme $t\neq0$,
$$\boxed{U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=\frac1t.}$$

**Q26.** Par Q24, $(\lambda I_3-D)^{-1}U=\big(\frac{u}{\lambda-a},\frac{v}{\lambda-b},\frac{w}{\lambda-c}\big)^\top$, donc $U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=F(\lambda)$. Par Q25, $\boxed{F(\lambda)=\frac1t}$ : **$\lambda$ est solution de $(E_t)$.**

**Q27.** $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{a,b,c\}=I_1\cup I_2\cup I_3\cup I_4$, avec $I_1=\,]-\infty,a[$, $I_2=\,]a,b[$, $I_3=\,]b,c[$, $I_4=\,]c,+\infty[$, et
$$F'(\lambda)=-\frac{u^2}{(\lambda-a)^2}-\frac{v^2}{(\lambda-b)^2}-\frac{w^2}{(\lambda-c)^2}<0.$$
$F$ est donc strictement décroissante sur chacun des quatre intervalles. Limites : chaque terme tend vers $0$ en $\pm\infty$ ; en $a$, les deux autres termes ont une limite finie et $\frac{u^2}{\lambda-a}\to\mp\infty$ en $a^{\mp}$ ; de même en $b$ et $c$. Sur $I_1$, les trois termes sont négatifs, donc $F<0$ ; sur $I_4$, $F>0$.

| $\lambda$ | $-\infty$ | | $a$ | | $b$ | | $c$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $F'(\lambda)$ | | $-$ | ‖ | $-$ | ‖ | $-$ | ‖ | $-$ | |
| $F$ | $0^-$ | décroît vers $-\infty$ | ‖ | de $+\infty$ à $-\infty$ | ‖ | de $+\infty$ à $-\infty$ | ‖ | décroît de $+\infty$ | $0^+$ |

Par le théorème de la bijection (continuité et stricte monotonie sur un intervalle), $F$ réalise des bijections de $I_1$ sur $]-\infty,0[$, de $I_2$ sur $\mathbb{R}$, de $I_3$ sur $\mathbb{R}$ et de $I_4$ sur $]0,+\infty[$. Ainsi $F$ ne s'annule ni sur $I_1$ ni sur $I_4$, et s'annule exactement une fois sur $I_2$ et une fois sur $I_3$ :
$$\boxed{F \text{ s'annule exactement en } \rho_1\in\,]a,b[ \text{ et } \rho_2\in\,]b,c[,\quad a<\rho_1<b<\rho_2<c.}$$

**Q28.** $(E_t)$ s'écrit $F(\lambda)=\frac1t$. On utilise les bijections de Q27 et la décroissance de $F$ (avec $F(\rho_i)=0$).

![Figure 3 — Résolution graphique de $(E_t)$ (Q28) : la droite d'ordonnée $\frac1t$ coupe le graphe de $F$ en $\lambda_1(t)<\lambda_2(t)<\lambda_3(t)$, (a) pour $t>0$, (b) pour $t<0$ ; tracé avec $a=1$, $b=3$, $c=5$, $u^2=v^2=w^2=1$](/figures/corriges/centrale-supelec_pc_maths-1_2026/q28-graphe-f-droite-1-sur-t.svg)

*Cas $t>0$* ($\frac1t>0$) : aucune solution dans $I_1$ ; une unique solution dans $I_2$, et $F(\lambda)=\frac1t>0=F(\rho_1)$ impose $\lambda<\rho_1$ ; de même une unique solution dans $I_3$, inférieure à $\rho_2$ ; une unique solution dans $I_4$. D'où
$$\boxed{t>0:\quad a<\lambda_1(t)<\rho_1<b<\lambda_2(t)<\rho_2<c<\lambda_3(t).}$$

*Cas $t<0$* ($\frac1t<0$) : une unique solution dans $I_1$ ; une unique solution dans $I_2$, supérieure à $\rho_1$ ; une unique dans $I_3$, supérieure à $\rho_2$ ; aucune dans $I_4$. D'où
$$\boxed{t<0:\quad \lambda_1(t)<a<\rho_1<\lambda_2(t)<b<\rho_2<\lambda_3(t)<c.}$$
Dans les deux cas, $(E_t)$ a exactement trois solutions réelles, distinctes car situées dans des intervalles disjoints.

**Q29.** Notons $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de $(E_t)$.

*$a,b,c$ ne sont pas valeurs propres de $D(t)$.* Si $D(t)X=aX$, alors $(aI_3-D)X=tU(U^\top X)$. La première ligne de $aI_3-D=\mathrm{diag}(0,a-b,a-c)$ est nulle, donc $tu\,(U^\top X)=0$, soit $U^\top X=0$ ($t,u\neq0$). Alors $\mathrm{diag}(0,a-b,a-c)X=0$ donne $x_2=x_3=0$, puis $U^\top X=ux_1=0$ donne $x_1=0$ : $X=0$. Même raisonnement pour $b$ (avec $v\neq0$) et $c$ (avec $w\neq0$).

*$\mathrm{Sp}(D(t))\subset\mathcal{S}$* : une valeur propre de $D(t)$ est donc dans $\mathbb{R}\setminus\{a,b,c\}$, et Q24–Q26 s'appliquent.

*$\mathcal{S}\subset\mathrm{Sp}(D(t))$* : soit $\lambda\in\mathcal{S}$ (donc $\lambda\notin\{a,b,c\}$). Posons $X=(\lambda I_3-D)^{-1}U$, non nul (sa première composante $\frac{u}{\lambda-a}$ est non nulle). Alors $DX=\lambda X-U$ et $U^\top X=F(\lambda)=\frac1t$, donc
$$D(t)X=DX+tU(U^\top X)=\lambda X-U+U=\lambda X.$$
Ainsi $\lambda$ est valeur propre de $D(t)$. Par double inclusion,
$$\boxed{\mathcal{S}=\mathrm{Sp}\big(D(t)\big)=\{\lambda_1(t),\lambda_2(t),\lambda_3(t)\}.}$$

### II — Les limites

**Q30.** Pour chaque $i$, la restriction de $F$ à l'intervalle $I_i$ est continue et strictement décroissante (Q27) : par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $I_i$ sur $F(I_i)$, dont la réciproque $g_i$ est continue et strictement décroissante :
$$g_1:\,]-\infty,0[\,\to\,]-\infty,a[,\quad g_2:\mathbb{R}\to\,]a,b[,\quad g_3:\mathbb{R}\to\,]b,c[,\quad g_4:\,]0,+\infty[\,\to\,]c,+\infty[.$$
Comme $\rho_1\in\,]a,b[$ et $F(\rho_1)=0$ : $\boxed{g_2(0)=\rho_1}$.

$g_2$ est décroissante et minorée par $a$, donc admet en $+\infty$ une limite $\ell\in[a,b[$. Si $\ell>a$, la continuité de $F$ en $\ell\in I_2$ donnerait $y=F(g_2(y))\to F(\ell)$, fini, quand $y\to+\infty$ : absurde. Donc $\ell=a$. De même, $g_2$ est majorée par $b$ et admet en $-\infty$ une limite $\ell'\in\,]a,b]$, et $\ell'<b$ conduirait à la même contradiction. Ainsi
$$\boxed{\lim_{+\infty}g_2=a,\qquad\lim_{-\infty}g_2=b.}$$

**Q31.** D'après Q28, $\lambda$ est solution de $(E_t)$ dans $I_i$ si et seulement si $\frac1t\in F(I_i)$ et $\lambda=g_i(\frac1t)$. Donc
$$\boxed{t>0:\ \lambda_1(t)=g_2\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_2(t)=g_3\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_3(t)=g_4\Big(\frac1t\Big);}$$
$$\boxed{t<0:\ \lambda_1(t)=g_1\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_2(t)=g_2\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_3(t)=g_3\Big(\frac1t\Big).}$$
(Pour $t>0$, $\frac1t\in\,]0,+\infty[$, domaine de $g_4$ ; pour $t<0$, $\frac1t\in\,]-\infty,0[$, domaine de $g_1$.)

**Q32.** Sur $]0,+\infty[$, $\lambda_1=g_2\circ(t\mapsto\frac1t)$ et sur $]-\infty,0[$, $\lambda_1=g_1\circ(t\mapsto\frac1t)$ : $\lambda_1$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ par composition.

En $0^+$ : $\frac1t\to+\infty$ et, par Q30, $\lambda_1(t)\to a$.

En $0^-$ : $\frac1t\to-\infty$. $g_1$ est décroissante et majorée par $a$, donc admet en $-\infty$ une limite $\ell\in\,]-\infty,a]$ ; si $\ell<a$, la continuité de $F$ en $\ell$ donnerait $y=F(g_1(y))\to F(\ell)$ fini, absurde. Donc $g_1(y)\to a$ quand $y\to-\infty$ et $\lambda_1(t)\to a$.

Les deux limites coïncident : en posant $\boxed{\lambda_1(0)=a}$, $\lambda_1$ se prolonge en une fonction continue sur $\mathbb{R}$. (Le même argument donne $\lambda_2(0)=b$ et $\lambda_3(0)=c$.)

**Q33.** *Sur $\mathbb{R}^*$* : $F$ est dérivable sur chaque $I_i$ et $F'$ ne s'y annule pas, donc chaque $g_i$ est dérivable (dérivée d'une bijection réciproque) ; par composition avec $t\mapsto\frac1t$, $\lambda_1$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et sur $]-\infty,0[$.

*En $0$* : pour $t\neq0$, $\varepsilon(t)=\lambda_1(t)-a\neq0$ (Q28) et $\varepsilon(t)\to0$ (Q32). La relation $F(\lambda_1(t))=\frac1t$, multipliée par $t$, donne
$$\frac{t\,u^2}{\varepsilon(t)}+t\left(\frac{v^2}{\lambda_1(t)-b}+\frac{w^2}{\lambda_1(t)-c}\right)=1.$$
Comme $\lambda_1(t)\to a$ avec $a\neq b$, $a\neq c$, la parenthèse tend vers $\frac{v^2}{a-b}+\frac{w^2}{a-c}$, finie, donc le second terme tend vers $0$. Ainsi $\frac{tu^2}{\varepsilon(t)}\to1$, et, $u^2\neq0$,
$$\frac{\lambda_1(t)-\lambda_1(0)}{t}=\frac{\varepsilon(t)}{t}\xrightarrow[t\to0]{}u^2.$$
$\lambda_1$ est donc dérivable en $0$, donc sur $\mathbb{R}$, et
$$\boxed{\lambda_1'(0)=u^2.}$$
En reprenant ce raisonnement : $\boxed{\lambda_2'(0)=v^2,\quad\lambda_3'(0)=w^2.}$

**Q34.** Pour $t>0$, $\lambda_1(t)=g_2(\frac1t)$ ; quand $t\to+\infty$, $\frac1t\to0$ et $g_2$ est continue en $0$ : $\lambda_1(t)\to g_2(0)=\rho_1$.

Pour $t<0$, $\lambda_1(t)=g_1(\frac1t)$ ; quand $t\to-\infty$, $\frac1t\to0^-$. $g_1$ est décroissante sur $]-\infty,0[$ ; si elle était minorée au voisinage de $0^-$, elle aurait une limite finie $m<a$ en $0^-$, et la continuité de $F$ en $m$ donnerait $y=F(g_1(y))\to F(m)<0$ quand $y\to0^-$, absurde. Donc $g_1(y)\to-\infty$ quand $y\to0^-$ et
$$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\lambda_1(t)=\rho_1,\qquad\lim_{t\to-\infty}\lambda_1(t)=-\infty.}$$

![Figure 4 — Allure de $\lambda_1$ prolongée (Q32–Q34) : égale à $a$ en $0$ avec la pente $u^2$, tendant vers $\rho_1$ en $+\infty$ et vers $-\infty$ en $-\infty$ ; courbe calculée avec $a=1$, $b=3$, $c=5$, $u^2=v^2=w^2=1$](/figures/corriges/centrale-supelec_pc_maths-1_2026/q34-allure-lambda1.svg)

*Commentaires.*
- **Continuité du spectre** : $\lambda_1(0)=a$, $\lambda_2(0)=b$, $\lambda_3(0)=c$ ; une petite perturbation $tT$ de $D$ ne déplace que peu ses valeurs propres.
- **Sensibilité au premier ordre** : $\lambda_1(t)=a+u^2t+o(t)$, $\lambda_2(t)=b+v^2t+o(t)$, $\lambda_3(t)=c+w^2t+o(t)$ ; l'écart est proportionnel à $t$, avec un coefficient explicite. (Contrôle : la somme des dérivées en $0$, $u^2+v^2+w^2$, est bien la dérivée de $\mathrm{Tr}\,D(t)=a+b+c+t(u^2+v^2+w^2)$.)
- **Sens et entrelacement** : pour $t>0$, chaque valeur propre est au-dessus de la valeur propre correspondante de $D$ ($a<\lambda_1(t)<b<\lambda_2(t)<c<\lambda_3(t)$), au-dessous pour $t<0$ ; les valeurs propres de $D(t)$ et de $D$ s'entrelacent.
- **Comportement pour une grande perturbation** : pour $t\to+\infty$, $\lambda_1(t)\to\rho_1$ et $\lambda_2(t)=g_3(\frac1t)\to\rho_2$ restent bornées, seule $\lambda_3$ tend vers $+\infty$ ; pour $t\to-\infty$, $\lambda_2\to\rho_1$, $\lambda_3\to\rho_2$, et seule $\lambda_1$ tend vers $-\infty$. Une perturbation de rang 1 n'envoie à l'infini qu'une seule valeur propre.