Maths 1
Centrale-SupélecPC2026
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Signaler une erreur# Centrale-Supélec PC — Mathématiques 1 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet, intitulé *Découverte de la planète Neptune*, suit le calcul d'Urbain Le Verrier en quatre parties **indépendantes** (4 heures, calculatrice autorisée, 34 questions). Un même objet revient trois fois : le spectre d'une matrice $3\times3$, qu'on fait apparaître (partie B), qu'on calcule autrement (partie C), puis dont on mesure la sensibilité (partie D).
**Découpage.**
- **Partie A (Q1–Q10), l'ellipse.** À partir de la seule définition bifocale $MF+MF'=2a$, une chaîne guidée (inégalité triangulaire, produit nul, identités remarquables) mène à l'équation réduite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Suivent une étude de fonction, deux tracés et l'excentricité. Géométrie et analyse de première année.
- **Partie B (Q11–Q15), système différentiel.** Dériver une relation matricielle, diagonaliser $A=-B^2$ pour découpler $H''=AH$ en trois équations $y_i''=\lambda_iy_i$, résoudre, revenir aux inconnues. Cours de réduction et équations différentielles linéaires d'ordre 2.
- **Partie C (Q16–Q23), méthode de Le Verrier.** $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$, traces des puissances, coefficients du polynôme caractéristique exprimés par les sommes de Newton $S_1,S_2,S_3$, puis un exemple numérique complet (traces, spectre, matrice de passage).
- **Partie D (Q24–Q34), perturbation de rang 1.** Spectre de $D(t)=D+tUU^\top$ caractérisé par l'équation scalaire $F(\lambda)=\frac1t$ ; étude de $F$, théorème de la bijection, réciproques, prolongement par continuité, dérivabilité en $0$ et comportement asymptotique.
**Notions mobilisées.** Inégalité triangulaire ; dérivation, tangentes et demi-tangentes, convexité ; diagonalisation (valeurs propres distinctes), trigonalisation sur $\mathbb{C}$ ; trace, polynôme caractéristique ; équations différentielles $y''+\omega^2y=0$ ; théorème de la bijection, dérivée d'une réciproque ; limites et taux d'accroissement.
**Difficulté et longueur.** Sujet long mais très guidé et d'une difficulté modérée : la plupart des questions sont des applications directes du cours. Les vrais points de discrimination sont la rigueur (justifier qu'un facteur est non nul, écarter le cas $U^\top X=0$, traiter les deux côtés d'une limite) et quelques questions plus fines : Q20, Q29, Q32, Q33.
**À ne pas laisser passer.** Q1–Q3, Q6, Q9, Q11–Q14, Q16–Q18, Q21–Q23, Q24–Q27 : ce sont des points quasi assurés pour qui connaît son cours.
**Gestion du temps.** Environ 50 minutes pour A, 35 pour B, 55 pour C, 1 h 20 pour D, et 20 minutes de relecture. Les parties étant indépendantes, on peut commencer par C (calculs vérifiables) ou par B (court), puis revenir à A et D. Dans D, ne rien bâcler avant d'avoir un tableau de variations de $F$ propre (Q27) : toute la suite le relit.
Convention utilisée partout : $P_A=\det(XI_3-A)$, polynôme unitaire. C'est celle du programme, et l'énoncé la confirme en annonçant en Q21 que $P_A$ est le polynôme unitaire $R$.
## Partie A — Étude du mouvement d'une planète seulement soumise à l'attraction du soleil
On démontre que l'ensemble bifocal $\mathcal{E}$ est l'ellipse d'équation réduite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, puis on étudie sa forme. Rappel : $0<c<a$, $b=\sqrt{a^2-c^2}>0$, $F=(c,0)$, $F'=(-c,0)$, $FF'=2c$.
### I — Équation réduite de $\mathcal{E}$
### Question 1
> [!INDICATION]
> L'inégalité triangulaire majore un côté du triangle $MFF'$ par la somme des deux autres. Elle s'applique trois fois, selon le côté choisi.
> [!INDICATION]
> Isolez $MF$, puis $MF'$, et obtenez une majoration de $MF-MF'$ et de $MF'-MF$.
#### Solution
L'inégalité triangulaire dans le triangle (éventuellement aplati) $MFF'$ s'écrit $FF'\leqslant MF+MF'$ ; elle donne de même $MF\leqslant MF'+F'F$ et $MF'\leqslant MF+FF'$. Ces deux dernières donnent $MF-MF'\leqslant FF'$ et $MF'-MF\leqslant FF'$. Comme $|MF-MF'|$ est égal à $MF-MF'$ ou à $MF'-MF$,
$$\boxed{FF'\geqslant |MF-MF'|.}$$
> [!PIEGE]
> La question demande d'abord de *rappeler* l'inégalité triangulaire : il faut l'écrire. Et la valeur absolue impose de majorer les **deux** différences.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Calculez $FF'$ à l'aide des coordonnées et comparez à $2a$.
#### Solution
$FF'=2c<2a$, donc, par Q1, $-2c\leqslant MF-MF'\leqslant 2c$. D'où $MF-MF'-2a\leqslant 2c-2a<0$ et $MF-MF'+2a\geqslant 2a-2c>0$ :
$$\boxed{MF-MF'-2a\neq0\quad\text{et}\quad MF-MF'+2a\neq0.}$$
> [!METHODE]
> L'inégalité est **stricte** grâce à $c<a$ : c'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse sert dans la chaîne Q1–Q4. Dites-le.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Un produit de réels est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Combien de facteurs peuvent réellement s'annuler ?
> [!INDICATION]
> Deux facteurs sont traités par Q2. Le facteur $MF'+MF+2a$ demande un argument à part.
#### Solution
$MF'+MF+2a\geqslant2a>0$, et les deux derniers facteurs sont non nuls par Q2. Le produit de ces trois facteurs est donc non nul, et le produit total s'annule si et seulement si $MF'+MF-2a=0$, c'est-à-dire si et seulement si $M\in\mathcal{E}$ :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff(MF'+MF-2a)(MF'+MF+2a)(MF-MF'-2a)(MF-MF'+2a)=0.}$$
> [!PIEGE]
> Oublier le facteur $MF'+MF+2a$, le seul dont la non-nullité ne vient pas de Q2.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Ne développez pas brutalement : regroupez les facteurs deux par deux pour faire apparaître $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)$.
> [!INDICATION]
> Après un premier regroupement, posez $s=(MF)^2+(MF')^2-4a^2$ et cherchez à écrire chaque crochet comme $s\pm p$.
#### Solution
En groupant le premier facteur avec le deuxième, et le troisième avec le quatrième :
$$\Pi=\big[(MF+MF')^2-4a^2\big]\big[(MF-MF')^2-4a^2\big].$$
Avec $s=(MF)^2+(MF')^2-4a^2$ et $p=2\,MF\cdot MF'$, les crochets valent $s+p$ et $s-p$, donc $\Pi=s^2-p^2$, et par Q3 :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff\big((MF')^2+(MF)^2-4a^2\big)^2=4(MF')^2(MF)^2.}$$
> [!METHODE]
> Repérer les facteurs **conjugués** avant de développer. Le résultat ne fait plus intervenir que des carrés de distances, donc des polynômes en $x,y$ : c'est ce qui rend Q5 calculatoire.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Exprimez $(MF)^2$ et $(MF')^2$ en fonction de $x,y,c$ ; leur somme et leur produit sont simples.
> [!INDICATION]
> Posez $r=x^2+y^2+c^2$ : alors $(MF)^2=r-2cx$ et $(MF')^2=r+2cx$. Le terme $r^2$ disparaît.
#### Solution
On a $(MF)^2=r-2cx$ et $(MF')^2=r+2cx$ avec $r=x^2+y^2+c^2$, donc la somme vaut $2r$ et le produit $r^2-4c^2x^2$. L'équivalence de Q4 s'écrit $(2r-4a^2)^2=4(r^2-4c^2x^2)$, soit $-4a^2r+4a^4=-4c^2x^2$, soit
$$a^4-a^2(x^2+y^2+c^2)+c^2x^2=0\iff(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\iff b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2.$$
Comme $a^2b^2>0$ :
$$\boxed{M\in\mathcal{E}\iff\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.}$$
> [!METHODE]
> Contrôle final immédiat : $A(a,0)$ et $B(0,b)$ vérifient l'équation, et ils sont bien sur $\mathcal{E}$ ($AF+AF'=(a-c)+(a+c)=2a$, $BF=BF'=\sqrt{b^2+c^2}=a$).
### II — Étude d'une fonction
### Question 6
> [!INDICATION]
> $f$ est la composée de la racine carrée et d'une fonction qui s'annule en $a$. Où $f$ est-elle dérivable ?
> [!INDICATION]
> En $a$, étudiez la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ : que traduit une limite infinie ?
#### Solution
Avec $f(x)=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$, $f$ est continue sur $[0,a]$, dérivable sur $[0,a[$, et
$$f'(x)=-\frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}}.$$
Ainsi $f'(0)=0$ et $f'<0$ sur $]0,a[$ : $f$ décroît strictement de $f(0)=b$ à $f(a)=0$.
| $x$ | $0$ | | $a$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | (non définie) |
| $f$ | $b$ | décroissante | $0$ |
En $(0,b)$, la tangente est horizontale : $\boxed{y=b}$. En $a$,
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\frac ba\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\xrightarrow[x\to a^-]{}-\infty,$$
donc $f$ n'est pas dérivable en $a$ et $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente verticale : $\boxed{x=a}$.
> [!PIEGE]
> Une tangente verticale n'a pas d'équation $y=mx+p$ : la réponse attendue est $x=a$. Et la formule de $f'$ ne vaut pas en $a$ (division par $0$) : il faut passer par le taux d'accroissement.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le tableau de Q6 donne l'essentiel. Pour l'allure exacte, étudiez le signe de $f''$.
#### Solution
Sur $[0,a[$, $f''(x)=-\dfrac{ab}{(a^2-x^2)^{3/2}}<0$ : $f$ est concave. De plus, par Q5, $(x,f(x))\in\mathcal{E}$ pour $x\in[0,a]$ : $\mathcal{C}_f$ est le quart de $\mathcal{E}$ situé dans le quadrant $x\geqslant0$, $y\geqslant0$.
Tracé attendu : les deux tangentes tracées, points et axes nommés.
> [!PIEGE]
> Faire arriver la courbe en $(a,0)$ avec une pente finie, comme un morceau de parabole : le tracé contredit alors Q6.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Quelles symétries laissent invariante l'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ?
#### Solution
L'équation est invariante par $(x,y)\mapsto(-x,y)$ et $(x,y)\mapsto(x,-y)$ : $\mathcal{E}$ est symétrique par rapport à $(Ox)$, à $(Oy)$ et à $O$. Un point de $\mathcal{E}$ dans le premier quadrant vérifie $x\in[0,a]$ et $y=f(x)$, donc $\mathcal{E}$ est la réunion de $\mathcal{C}_f$ et de ses trois images par ces symétries.
Tangentes verticales en $A(a,0)$, $A'(-a,0)$, horizontales en $B(0,b)$, $B'(0,-b)$ ; $\mathcal{E}$ est allongée horizontalement ($b<a$) et ses foyers $F(c,0)$, $F'(-c,0)$ sont strictement entre $O$ et les sommets.
> [!PIEGE]
> Placer les foyers sur le petit axe, ou à l'extérieur de l'ellipse. Ici $0<c<a$.
### III — Paramètres de l'ellipse
### Question 9
> [!INDICATION]
> Divisez l'encadrement $0<c<a$ par $a$, puis réécrivez $b$.
#### Solution
$0<c<a$ et $a>0$ donnent $\boxed{e\in\,]0,1[}$. Puis $\boxed{c=ae}$ et $\boxed{b=\sqrt{a^2-a^2e^2}=a\sqrt{1-e^2}}$, en utilisant $a>0$ pour sortir $a$ de la racine.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Raisonnez à $a$ fixé et suivez $b$ et $c$ grâce aux formules de Q9.
#### Solution
À $a$ fixé, $b=a\sqrt{1-e^2}$ et $c=ae$.
- $e$ proche de $0$ : $b\approx a$ et $c\approx0$ ; l'ellipse est presque le cercle de centre $O$ et de rayon $a$, les foyers sont presque au centre.
- $e$ proche de $1$ : $b\approx0$ et $c\approx a$ ; l'ellipse est très aplatie le long du grand axe $[A'A]$ et les foyers sont proches des sommets $A$ et $A'$.
> [!METHODE]
> L'excentricité mesure la **forme**, pas la taille : deux ellipses de même $e$ sont semblables. D'où l'intérêt de fixer $a$ pour comparer. Pour les planètes, $e$ est petit (orbites presque circulaires).
## Partie B — Étude du mouvement des planètes massives du système solaire sans négliger les interactions
On transforme les relations de Lagrange-Laplace en un système $H''=AH$, qu'on découple en diagonalisant $A$. Outils : dérivation de vecteurs, critère de diagonalisabilité, équations $y''+\omega^2y=0$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> $G_t$ est la dérivée de $H_t$, $K_t$ celle de $L_t$. Laquelle des deux relations faut-il dériver ?
> [!INDICATION]
> Dérivez $G_t=BL_t$ ligne par ligne, en utilisant que $B$ est constante, puis injectez l'autre relation.
#### Solution
Avec $B=(\beta_{ij})$ constante, $h_i'(t)=\sum_j\beta_{ij}l_j(t)$ ; les $l_j$ étant dérivables, $h_i''(t)=\sum_j\beta_{ij}l_j'(t)$, soit $F_t=BK_t$. Avec $K_t=-BH_t$ :
$$\boxed{F_t=-B^2H_t=AH_t,\qquad A=-B^2.}$$
> [!JURY]
> Une dérivation de produit matriciel $(BL_t)'=BL_t'$ doit être justifiée par la constance de $B$ : l'énoncé insiste sur ce point, il faut s'en servir explicitement.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Combien de valeurs propres distinctes $A$ possède-t-elle, et dans quel corps ? Quel critère du cours s'applique ?
#### Solution
$A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ a trois valeurs propres réelles deux à deux distinctes ($\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3$) : elle est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Concrètement, des vecteurs propres $X_1,X_2,X_3$ associés forment une famille libre, donc une base de $\mathbb{R}^3$ ; la matrice $Q$ de colonnes $X_1,X_2,X_3$ est inversible et $AQ=Q\Delta$, avec $\Delta=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ :
$$\boxed{A=Q\,\Delta\,Q^{-1},\quad Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R}).}$$
> [!PIEGE]
> Invoquer le théorème spectral : rien ne dit que $A=-B^2$ soit symétrique.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Dérivez deux fois $Y_t=Q^{-1}H_t$ et utilisez successivement Q11 et Q12.
#### Solution
$Q^{-1}$ étant constante, $Y$ est deux fois dérivable et $Y_t''=Q^{-1}H_t''=Q^{-1}AH_t=Q^{-1}Q\Delta Q^{-1}H_t=\Delta Y_t$. Ligne par ligne :
$$\boxed{y_i''-\lambda_iy_i=0\quad(i=1,2,3),}$$
soit, avec $\omega_i=\sqrt{-\lambda_i}>0$, $y_i''+\omega_i^2y_i=0$.
> [!METHODE]
> Diagonaliser pour **découpler** : dans la base propre, le système $H''=AH$ devient trois équations scalaires indépendantes. La même idée sert pour $X'=AX$.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Écrivez l'équation caractéristique ; le signe de $\lambda_i$ décide de la nature des solutions.
#### Solution
$r^2=\lambda_i<0$ a pour racines $\pm i\omega_i$. Donc
$$\boxed{y_i(t)=\alpha_i\cos\big(\sqrt{-\lambda_i}\,t\big)+\beta_i\sin\big(\sqrt{-\lambda_i}\,t\big),\quad(\alpha_i,\beta_i)\in\mathbb{R}^2,}$$
ou encore $y_i(t)=C_i\cos(\omega_it-\varphi_i)$ : une oscillation de pulsation $\sqrt{-\lambda_i}$.
> [!METHODE]
> L'hypothèse $\lambda_i<0$ donne des solutions bornées (oscillations) ; avec $\lambda_i>0$ on aurait des exponentielles $e^{\pm\sqrt{\lambda_i}t}$. Le mouvement de chaque planète, $h_k=\sum_jq_{kj}y_j$, superpose trois oscillations de périodes en général incommensurables.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Pour l'inversibilité : $A$ est inversible (pourquoi ?). Reliez $\det A$ à $\det B$, ou $\ker B$ à $\ker A$.
> [!INDICATION]
> Pour les $l_i$, renversez la relation qui donne $L_t$ sans intégration.
#### Solution
$A$ est semblable à $\Delta$, donc $\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\neq0$ ; or $\det A=\det(-B^2)=(-1)^3(\det B)^2$, donc $\det B\neq0$ : $\boxed{B\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})}$. (Autre voie : si $BX=0$, alors $AX=-B(BX)=0$, donc $X=0$.)
De $Y_t=Q^{-1}H_t$ :
$$\boxed{H_t=QY_t,\qquad h_i=\sum_{j=1}^3q_{ij}\,y_j.}$$
De $G_t=BL_t$ : $L_t=B^{-1}G_t=B^{-1}H_t'=B^{-1}QY_t'$, d'où
$$\boxed{L_t=B^{-1}Q\,Y_t',\qquad l_i=\sum_{j=1}^3r_{ij}\,y_j'\ \text{ où } B^{-1}Q=(r_{ij}).}$$
> [!PIEGE]
> Partir de $K_t=-BH_t$, soit $L_t'=-BQY_t$, impose d'intégrer et fait apparaître une constante qu'il faudrait ensuite identifier. La relation $G_t=BL_t$ donne $L_t$ directement. (Les deux voies concordent : comme $y_j''=\lambda_jy_j$, une primitive de $Y$ est $\Lambda^{-1}Y'$, et $-BQ\Lambda^{-1}=-BA^{-1}Q=B^{-1}Q$ puisque $A^{-1}=-B^{-2}$.)
## Partie C — Méthode de Le Verrier pour déterminer les valeurs propres
On montre que les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice $3\times3$ s'obtiennent à partir des seules traces de $A$, $A^2$, $A^3$, puis on applique la méthode à un exemple.
### I — Résolution des équations
### Question 16
> [!INDICATION]
> Écrivez le coefficient diagonal $(i,i)$ d'un produit, puis sommez.
> [!INDICATION]
> Pour deux matrices semblables, groupez $P^{-1}MP$ en un produit de deux facteurs bien choisis.
#### Solution
$\mathrm{Tr}(AB)=\sum_i\sum_ja_{ij}b_{ji}=\sum_j\sum_ib_{ji}a_{ij}=\mathrm{Tr}(BA)$, une somme finie ne dépendant pas de l'ordre de sommation. Si $N=P^{-1}MP$, alors $\mathrm{Tr}(N)=\mathrm{Tr}\big(P^{-1}(MP)\big)=\mathrm{Tr}\big((MP)P^{-1}\big)=\mathrm{Tr}(M)$ : **deux matrices semblables ont même trace.**
> [!PIEGE]
> $\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(BCA)$ (permutation circulaire), mais en général $\mathrm{Tr}(ABC)\neq\mathrm{Tr}(ACB)$.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Exprimez $A^k$ à l'aide de $\Delta^k$ : les $Q^{-1}Q$ se simplifient.
#### Solution
Par récurrence immédiate, $A^k=Q\Delta^kQ^{-1}$, avec $\Delta^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\lambda_3^k)$. Par Q16 :
$$\boxed{\mathrm{Tr}(A)=S_1,\quad\mathrm{Tr}(A^2)=S_2,\quad\mathrm{Tr}(A^3)=S_3.}$$
> [!PIEGE]
> $\mathrm{Tr}(A^2)\neq\mathrm{Tr}(A)^2$ en général : c'est justement l'écart entre $S_1^2$ et $S_2$ qui donne $\alpha_1$.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Le polynôme caractéristique est invariant par similitude. Celui d'une matrice diagonale se lit directement.
#### Solution
$XI_3-A=Q(XI_3-\Delta)Q^{-1}$, d'où $P_A=\det(XI_3-\Delta)$ :
$$\boxed{P_A=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3),}$$
et, en développant et en identifiant ($\alpha_3=1$),
$$\boxed{\alpha_2=-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3),\quad\alpha_1=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3,\quad\alpha_0=-\lambda_1\lambda_2\lambda_3.}$$
> [!PIEGE]
> Avec la convention $\det(A-XI_3)$, tous les coefficients changent de signe et Q21 donnerait $-R$. Annoncez la convention $\det(XI_3-A)$, qui est aussi la seule compatible avec la valeur admise de $\alpha_0$.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Développez $S_1^2=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2$.
#### Solution
$\alpha_2=-S_1$, et $S_1^2=S_2+2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)=S_2+2\alpha_1$ :
$$\boxed{\alpha_2=-S_1,\qquad\alpha_1=\frac{S_1^2-S_2}{2}.}$$
Avec Q17 et la valeur admise de $\alpha_0$, $P_A$ ne dépend que de $\mathrm{Tr}(A)$, $\mathrm{Tr}(A^2)$, $\mathrm{Tr}(A^3)$.
> [!METHODE]
> Test de contrôle en trente secondes : $A=I_3$ ($S_1=S_2=S_3=3$) donne $\alpha_2=-3$, $\alpha_1=3$, $\alpha_0=-1$, soit $(X-1)^3$.
### II — Étude d'un cas particulier
On pose $N=2A=\begin{pmatrix}-4&11&13\\0&1&7\\0&7&1\end{pmatrix}$, ce qui évite les fractions : $A^k=N^k/2^k$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Sur $\mathbb{C}$, que peut-on dire de tout polynôme non constant ? Quel critère de trigonalisation s'applique alors ?
> [!INDICATION]
> Pour le second volet, repérez ce que Q17 et Q18 utilisaient vraiment de la forme diagonale, et vérifiez que cela reste vrai pour une matrice triangulaire.
#### Solution
$P_A$ est scindé sur $\mathbb{C}$ (théorème de d'Alembert-Gauss), donc $A$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ : $\boxed{A=QTQ^{-1}}$ avec $T$ triangulaire supérieure, $Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{C})$. Soient $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ les coefficients diagonaux de $T$. Les puissances $T^k$ sont triangulaires supérieures de diagonale $(\mu_i^k)$, donc $\mathrm{Tr}(A^k)=\sum\mu_i^k$ (Q16 vaut sur $\mathbb{C}$) ; et $P_A=\det(XI_3-T)=\prod(X-\mu_i)$. Les calculs de Q17–Q19 se répètent à l'identique : **oui, les relations de Q19 restent valables**, avec $S_k=\mathrm{Tr}(A^k)$ et les valeurs propres complexes comptées avec multiplicité.
> [!METHODE]
> Pour la trace des puissances et le polynôme caractéristique, une forme triangulaire suffit : seule la diagonale compte. Les $S_k$, traces de matrices réelles, restent réels.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Calculez $N^2$ puis $N^3=N^2N$ ; la structure triangulaire par blocs simplifie les calculs.
> [!INDICATION]
> Appliquez ensuite Q19, légitimée par Q20.
#### Solution
$$N^2=\begin{pmatrix}16&58&38\\0&50&14\\0&14&50\end{pmatrix},\qquad N^3=\begin{pmatrix}-64&500&652\\0&148&364\\0&364&148\end{pmatrix},$$
d'où
$$\boxed{\mathrm{Tr}(A)=\frac{-2}{2}=-1,\quad\mathrm{Tr}(A^2)=\frac{116}{4}=29,\quad\mathrm{Tr}(A^3)=\frac{232}{8}=29.}$$
Alors $\alpha_2=1$, $\alpha_1=\frac{1-29}{2}=-14$, $\alpha_0=\frac{-87+1-58}{6}=-24$, et $\boxed{P_A=X^3+X^2-14X-24=R.}$
> [!METHODE]
> Recoupement : $N$ est triangulaire par blocs, $\begin{pmatrix}-4&*\\0&S\end{pmatrix}$ avec $S=\begin{pmatrix}1&7\\7&1\end{pmatrix}$ de valeurs propres $8$ et $-6$ ; donc $\mathrm{Tr}(N^k)=(-4)^k+8^k+(-6)^k$, soit $-2$, $116$, $232$.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Cherchez une racine entière parmi les diviseurs de $24$.
#### Solution
$R(-2)=0$, $R=(X+2)(X^2-X-12)=(X+2)(X+3)(X-4)$, donc
$$\boxed{\mathrm{Sp}(A)=\{-3,-2,4\}.}$$
Trois valeurs propres distinctes : $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Résolvez $(N-2\lambda I_3)X=0$ pour chacune des trois valeurs propres.
> [!INDICATION]
> Pour $\lambda=-2$, la première colonne de $N+4I_3$ est nulle.
#### Solution
- $\lambda=-2$ : $11y+13z=5y+7z=7y+5z=0$ impose $y=z=0$ ($25-49\neq0$) : $X_1=(1,0,0)^\top$.
- $\lambda=-3$ : $2x+11y+13z=0$ et $y+z=0$ donnent $y=-z$, $x=-z$ : $X_2=(1,1,-1)^\top$.
- $\lambda=4$ : $-12x+11y+13z=0$ et $y=z$ donnent $x=2z$ : $X_3=(2,1,1)^\top$.
Vérification : $NX_1=-4X_1$, $NX_2=-6X_2$, $NX_3=8X_3$. Donc
$$\boxed{Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}AQ=\mathrm{diag}(-2,-3,4),\qquad\det Q=2.}$$
> [!PIEGE]
> L'ordre des valeurs propres sur la diagonale est celui des colonnes de $Q$. Et c'est $Q^{-1}AQ$ qui est diagonale : les vecteurs propres sont **en colonnes**.
## Partie D — Perturbation sur une matrice d'ordre 3
On caractérise le spectre de $D(t)=D+tUU^\top$ par l'équation scalaire $F(\lambda)=\frac1t$, puis on suit ses valeurs propres comme fonctions de $t$. Outils : calcul matriciel, théorème de la bijection, limites, taux d'accroissement. Notation : $F(\lambda)=\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}$, et $u^2,v^2,w^2>0$.
### I — Solutions et spectre
### Question 24
> [!INDICATION]
> $\lambda I_3-D$ est diagonale : son inversibilité se lit sur la diagonale.
> [!INDICATION]
> Partez de $D(t)X=\lambda X$, isolez le terme $tU(U^\top X)$, puis multipliez à gauche par $(\lambda I_3-D)^{-1}$ et enfin par $U^\top$.
#### Solution
$\lambda I_3-D=\mathrm{diag}(\lambda-a,\lambda-b,\lambda-c)$ a ses coefficients diagonaux non nuls : $\boxed{\lambda I_3-D\in\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})}$. Si $X\neq0$ et $D(t)X=\lambda X$, alors $(\lambda I_3-D)X=tU(U^\top X)$, d'où $X=t(\lambda I_3-D)^{-1}U(U^\top X)$, puis
$$\boxed{U^\top X=t\,U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}UU^\top X.}$$
> [!PIEGE]
> $U^\top X$ est un scalaire (matrice $1\times1$), alors que $UU^\top=T$ est une matrice $3\times3$ de rang 1. Les confondre rend la partie incompréhensible.
### Question 25
> [!INDICATION]
> La relation de Q24 est de la forme $s=\kappa s$ avec $s$ scalaire. Que faut-il exclure pour simplifier ?
> [!INDICATION]
> Si $s=U^\top X$ était nul, que deviendrait l'expression de $X$ obtenue en Q24 ?
#### Solution
Soit $s=U^\top X$. Si $s=0$, alors $X=t(\lambda I_3-D)^{-1}U\,s=0$, ce qui est exclu pour un vecteur propre. Donc $s\neq0$, et l'on simplifie : $t\,U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=1$. Comme $t\neq0$,
$$\boxed{U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=\frac1t.}$$
> [!JURY]
> Toute simplification par une quantité doit être précédée de la preuve que cette quantité est non nulle : c'est l'unique difficulté de la question.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Explicitez le produit avec l'inverse diagonal de Q24.
#### Solution
$(\lambda I_3-D)^{-1}U=\big(\frac u{\lambda-a},\frac v{\lambda-b},\frac w{\lambda-c}\big)^\top$, donc $U^\top(\lambda I_3-D)^{-1}U=F(\lambda)$, et Q25 donne $\boxed{F(\lambda)=\frac1t}$ : $\lambda$ est solution de $(E_t)$.
### Question 27
> [!INDICATION]
> $F$ est définie sur une réunion de quatre intervalles. Calculez $F'$ et son signe.
> [!INDICATION]
> En chaque point singulier, un seul terme explose ; les deux autres restent bornés. Concluez sur chaque intervalle avec le théorème de la bijection.
#### Solution
Sur $I_1=\,]-\infty,a[$, $I_2=\,]a,b[$, $I_3=\,]b,c[$, $I_4=\,]c,+\infty[$ :
$$F'(\lambda)=-\frac{u^2}{(\lambda-a)^2}-\frac{v^2}{(\lambda-b)^2}-\frac{w^2}{(\lambda-c)^2}<0,$$
donc $F$ est strictement décroissante sur **chacun** des quatre intervalles. Limites : $0^-$ en $-\infty$ (sur $I_1$, $F<0$), $-\infty$ en $a^-$, $+\infty$ en $a^+$, $-\infty$ en $b^-$, $+\infty$ en $b^+$, $-\infty$ en $c^-$, $+\infty$ en $c^+$, $0^+$ en $+\infty$ (sur $I_4$, $F>0$).
| $\lambda$ | $-\infty$ | | $a$ | | $b$ | | $c$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $F'(\lambda)$ | | $-$ | ‖ | $-$ | ‖ | $-$ | ‖ | $-$ | |
| $F$ | $0^-$ | décroît vers $-\infty$ | ‖ | de $+\infty$ à $-\infty$ | ‖ | de $+\infty$ à $-\infty$ | ‖ | décroît de $+\infty$ | $0^+$ |
$F$ réalise donc des bijections de $I_1$ sur $]-\infty,0[$, de $I_2$ et $I_3$ sur $\mathbb{R}$, de $I_4$ sur $]0,+\infty[$ :
$$\boxed{F\text{ s'annule exactement en }\rho_1\in\,]a,b[\text{ et }\rho_2\in\,]b,c[.}$$
> [!PIEGE]
> Écrire « $F$ est décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{a,b,c\}$ » : cet ensemble n'est pas un intervalle et le théorème de la bijection ne s'y applique pas.
> [!METHODE]
> L'hypothèse $u,v,w\neq0$ est essentielle. Si par exemple $v=0$, $b$ n'est plus une singularité de $F$, qui n'a plus qu'un zéro, et $b$ devient valeur propre de $D(t)$ (vecteur propre $e_2$) : le lien entre $(E_t)$ et le spectre se rompt.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Coupez le graphe de $F$ par la droite horizontale d'ordonnée $\frac1t$. Le signe de $\frac1t$ décide des branches concernées.
> [!INDICATION]
> Pour placer une solution par rapport à $\rho_i$, comparez $\frac1t$ à $0=F(\rho_i)$ et utilisez la décroissance.
#### Solution
*$t>0$* : pas de solution sur $I_1$ ; une sur $I_2$, inférieure à $\rho_1$ car $F(\lambda)=\frac1t>0=F(\rho_1)$ ; une sur $I_3$, inférieure à $\rho_2$ ; une sur $I_4$ :
$$\boxed{a<\lambda_1(t)<\rho_1<b<\lambda_2(t)<\rho_2<c<\lambda_3(t).}$$
*$t<0$* : une solution sur $I_1$ ; une sur $I_2$, supérieure à $\rho_1$ ; une sur $I_3$, supérieure à $\rho_2$ ; aucune sur $I_4$ :
$$\boxed{\lambda_1(t)<a<\rho_1<\lambda_2(t)<b<\rho_2<\lambda_3(t)<c.}$$
Dans les deux cas : exactement trois solutions, distinctes.
> [!PIEGE]
> $\lambda_1(t)$ est la plus petite solution ; elle n'est pas sur la même branche selon le signe de $t$ ($I_2$ si $t>0$, $I_1$ si $t<0$).
### Question 29
> [!INDICATION]
> Une inclusion vient de Q24–Q26, mais sous l'hypothèse $\lambda\notin\{a,b,c\}$. Montrez d'abord que $a,b,c$ ne sont pas valeurs propres de $D(t)$.
> [!INDICATION]
> Pour l'autre inclusion, la formule de $X$ dans Q24 suggère un candidat vecteur propre fabriqué à partir de $U$.
#### Solution
*$a\notin\mathrm{Sp}(D(t))$* : si $D(t)X=aX$, alors $\mathrm{diag}(0,a-b,a-c)X=tU(U^\top X)$ ; la première ligne donne $tu(U^\top X)=0$, donc $U^\top X=0$ ; alors $x_2=x_3=0$, puis $U^\top X=ux_1=0$ donne $x_1=0$. Même argument pour $b$ et $c$.
*$\mathrm{Sp}(D(t))\subset\mathcal{S}$* : par ce qui précède et Q24–Q26.
*$\mathcal{S}\subset\mathrm{Sp}(D(t))$* : pour $\lambda$ solution, $X=(\lambda I_3-D)^{-1}U$ est non nul (première composante $\frac u{\lambda-a}\neq0$), $DX=\lambda X-U$ et $U^\top X=F(\lambda)=\frac1t$, donc $D(t)X=\lambda X-U+tU\cdot\frac1t=\lambda X$.
$$\boxed{\mathcal{S}=\mathrm{Sp}\big(D(t)\big)=\{\lambda_1(t),\lambda_2(t),\lambda_3(t)\}.}$$
> [!METHODE]
> Pour montrer l'égalité d'un ensemble de solutions et d'un spectre : double inclusion, et pour le sens « solution $\Rightarrow$ valeur propre », **exhiber** un vecteur propre. Le théorème spectral ($D(t)$ symétrique réelle) ne dispense d'aucune des deux étapes.
### II — Les limites
### Question 30
> [!INDICATION]
> Existence des $g_i$ : théorème de la bijection, déjà utilisé en Q27.
> [!INDICATION]
> Pour les limites de $g_2$, utilisez la monotonie (limite monotone), puis un raisonnement par l'absurde avec la continuité de $F$.
#### Solution
Chaque restriction $F_{|I_i}$ est continue et strictement décroissante sur un intervalle, donc bijective sur $F(I_i)$, de réciproque $g_i$ continue strictement décroissante :
$$g_1:\,]-\infty,0[\,\to I_1,\quad g_2:\mathbb{R}\to I_2,\quad g_3:\mathbb{R}\to I_3,\quad g_4:\,]0,+\infty[\,\to I_4.$$
$\boxed{g_2(0)=\rho_1}$. $g_2$ décroissante minorée par $a$ admet en $+\infty$ une limite $\ell\in[a,b[$ ; si $\ell>a$, on aurait $y=F(g_2(y))\to F(\ell)$, fini, absurde. De même en $-\infty$. Donc
$$\boxed{\lim_{+\infty}g_2=a,\qquad\lim_{-\infty}g_2=b.}$$
> [!PIEGE]
> $g_2$ est décroissante : sa limite en $+\infty$ est la borne **inférieure** $a$, pas $b$. Et $g_2$ est définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]a,b[$, et non l'inverse.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Appariez les branches de Q28 et les réciproques de Q30, en n'oubliant pas que l'argument est $\frac1t$.
#### Solution
$$\boxed{t>0:\ \lambda_1(t)=g_2\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_2(t)=g_3\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_3(t)=g_4\Big(\frac1t\Big)}$$
$$\boxed{t<0:\ \lambda_1(t)=g_1\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_2(t)=g_2\Big(\frac1t\Big),\ \lambda_3(t)=g_3\Big(\frac1t\Big)}$$
Les domaines sont respectés : $\frac1t>0$ pour $g_4$, $\frac1t<0$ pour $g_1$.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Continuité sur $\mathbb{R}^*$ par composition ; il reste à comparer les limites en $0^+$ et $0^-$.
> [!INDICATION]
> En $0^-$, c'est la limite de $g_1$ en $-\infty$ qu'il faut : même argument qu'en Q30.
#### Solution
$\lambda_1$ est continue sur $]0,+\infty[$ ($g_2\circ\frac1t$) et sur $]-\infty,0[$ ($g_1\circ\frac1t$). En $0^+$ : $\frac1t\to+\infty$, donc $\lambda_1(t)\to a$ par Q30. En $0^-$ : $\frac1t\to-\infty$ ; $g_1$ décroissante majorée par $a$ admet en $-\infty$ une limite $\ell\leqslant a$, et $\ell<a$ donnerait $y=F(g_1(y))\to F(\ell)$ fini, absurde ; donc $\lambda_1(t)\to a$. En posant $\boxed{\lambda_1(0)=a}$, $\lambda_1$ est continue sur $\mathbb{R}$.
> [!PIEGE]
> Les deux côtés passent par des réciproques **différentes** ($g_2$ et $g_1$) : traiter un seul côté ne suffit pas.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Sur $\mathbb{R}^*$ : dérivée d'une bijection réciproque ($F'$ ne s'annule pas). En $0$ : revenez au taux d'accroissement.
> [!INDICATION]
> Posez $\varepsilon(t)=\lambda_1(t)-a$, écrivez $F(\lambda_1(t))=\frac1t$ et multipliez par $t$ : quels termes tendent vers $0$ ?
#### Solution
Sur $\mathbb{R}^*$, $g_1,g_2$ sont dérivables (car $F'\neq0$), donc $\lambda_1$ aussi par composition. En $0$ : $\varepsilon(t)\neq0$ pour $t\neq0$ (Q28) et $\varepsilon(t)\to0$ (Q32). En multipliant $F(\lambda_1(t))=\frac1t$ par $t$ :
$$\frac{tu^2}{\varepsilon(t)}+t\Big(\frac{v^2}{\lambda_1(t)-b}+\frac{w^2}{\lambda_1(t)-c}\Big)=1.$$
La parenthèse tend vers $\frac{v^2}{a-b}+\frac{w^2}{a-c}$, finie, donc $\frac{tu^2}{\varepsilon(t)}\to1$ et $\frac{\lambda_1(t)-\lambda_1(0)}{t}=\frac{\varepsilon(t)}t\to u^2$. Ainsi $\lambda_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$$\boxed{\lambda_1'(0)=u^2,\qquad\lambda_2'(0)=v^2,\qquad\lambda_3'(0)=w^2.}$$
> [!METHODE]
> Contrôle par la trace : $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\mathrm{Tr}\,D(t)=a+b+c+t(u^2+v^2+w^2)$, dont la dérivée vaut bien $u^2+v^2+w^2$. Résultat cohérent avec la diagonale $(a+tu^2,b+tv^2,c+tw^2)$ de $D(t)$.
### Question 34
> [!INDICATION]
> En $\pm\infty$, $\frac1t\to0$ : utilisez Q31 et le comportement de $g_2$ en $0$ et de $g_1$ en $0^-$.
> [!INDICATION]
> Pour $g_1$ en $0^-$, raisonnez comme en Q30 : une limite finie contredirait $F(g_1(y))=y\to0$ puisque $F<0$ sur $I_1$. Pour le commentaire, rassemblez Q28, Q32 et Q33.
#### Solution
Pour $t>0$, $\lambda_1(t)=g_2(\frac1t)\to g_2(0)=\rho_1$ quand $t\to+\infty$ (continuité de $g_2$). Pour $t<0$, $\lambda_1(t)=g_1(\frac1t)$ avec $\frac1t\to0^-$ ; $g_1$ est décroissante, et si elle était minorée près de $0^-$, sa limite $m<a$ donnerait $y=F(g_1(y))\to F(m)<0$, alors que $y\to0$ : absurde. Donc $g_1(y)\to-\infty$ et
$$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\lambda_1(t)=\rho_1,\qquad\lim_{t\to-\infty}\lambda_1(t)=-\infty.}$$
Commentaires sur les spectres de $D$ et de $D(t)$ :
- **continuité** : $\lambda_i(t)\to$ $a$, $b$, $c$ quand $t\to0$ ; une petite erreur sur la matrice ne déplace que peu le spectre ;
- **sensibilité au premier ordre** : $\lambda_1(t)=a+u^2t+o(t)$, $\lambda_2(t)=b+v^2t+o(t)$, $\lambda_3(t)=c+w^2t+o(t)$ ;
- **entrelacement** : pour $t>0$, $a<\lambda_1(t)<b<\lambda_2(t)<c<\lambda_3(t)$ ; pour $t<0$, $\lambda_1(t)<a<\lambda_2(t)<b<\lambda_3(t)<c$ ;
- **grande perturbation** : quand $t\to+\infty$, $\lambda_1\to\rho_1$ et $\lambda_2\to\rho_2$ restent bornées et seule $\lambda_3\to+\infty$ ; quand $t\to-\infty$, $\lambda_2\to\rho_1$, $\lambda_3\to\rho_2$ et seule $\lambda_1\to-\infty$. Une perturbation de rang 1 n'envoie à l'infini qu'une seule valeur propre.
> [!PIEGE]
> Croire par symétrie que $\lambda_1\to\rho_1$ aussi en $-\infty$ : les deux limites sont de natures différentes (finie d'un côté, infinie de l'autre).
> [!METHODE]
> Un commentaire demandé se nourrit des résultats établis : citez les questions (continuité Q32, dérivée Q33, encadrements Q28) plutôt que des généralités.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Majorer une différence de distances par l'inégalité triangulaire appliquée deux fois ; regrouper des facteurs conjugués pour éliminer les racines carrées.
- Tangente verticale : limite infinie du taux d'accroissement, équation $x=x_0$.
- Diagonaliser pour découpler un système différentiel linéaire à coefficients constants ; résoudre $y''+\omega^2y=0$.
- $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$, invariance de la trace et du polynôme caractéristique par similitude ; lien entre coefficients du polynôme caractéristique et sommes de Newton (relations coefficients-racines).
- Trigonaliser sur $\mathbb{C}$ pour étendre un résultat démontré dans le cas diagonalisable.
- Étudier une équation $F(\lambda)=k$ branche par branche avec le théorème de la bijection ; limites des réciproques par monotonie et contradiction.
- Dériver en un point délicat par le taux d'accroissement, en exploitant une relation implicite.
**Prérequis à revoir.** Critère de diagonalisabilité (valeurs propres distinctes), trigonalisation, convention $\det(XI_n-A)$, théorème de la bijection et dérivée d'une réciproque, limite monotone.
**Questions transposables.** L'équation réduite de l'ellipse (Q1–Q5) ; la méthode de Le Verrier et le polynôme caractéristique par les traces (Q16–Q21), qui se généralise aux identités de Newton ; la perturbation de rang 1 $D+tUU^\top$ et l'entrelacement des valeurs propres (Q24–Q34), classique aussi bien en algèbre linéaire qu'en analyse numérique.
Aide sur le corrigé
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