Physique 2

# Physique 2

Concours Centrale-Supélec — PC — 2026

4 heures. Calculatrice autorisée.

## Un bref aperçu des instruments du télescope spatial James Webb

Le télescope spatial James Webb (JWST) a été lancé le 25 décembre 2021. Il embarque à son bord 4 instruments dont le rôle est de photographier l'univers dans les longueurs d'onde comprises entre $0{,}6$ et $28\,\mu\mathrm{m}$. Il a été conçu pour contribuer aux grands enjeux de l'astronomie moderne : quête des premières étoiles et galaxies, formation et évolution des galaxies et des systèmes planétaires, et mesure des propriétés physico-chimiques des objets célestes.

Ce sujet comporte trois parties indépendantes. La première partie analyse le principe de fonctionnement du réseau optique d'un spectromètre embarqué dans le JWST. La seconde partie aborde l'intérêt d'étudier l'univers dans le domaine infrarouge. La dernière partie s'intéresse à la nécessité de refroidir le télescope à des températures cryogéniques, et en particulier aux méthodes retenues pour y arriver.

Des données et des formulaires sont regroupés en fin d'énoncé.

## Partie A – Spectrométrie par un réseau à échelette

NIRSpec (*Near-Infrared Spectrograph*) est l'un des quatre instruments du JWST, dont l'objectif est de mesurer le spectre d'objets célestes dans le domaine des proches infrarouges ($0{,}6$ à $5{,}0\,\mu\mathrm{m}$).

Le chemin suivi par un faisceau lumineux dans l'instrument NIRSpec est illustré dans la figure 1. Des miroirs plans permettent de dévier la lumière et des miroirs concaves permettent de faire converger la lumière, comme le ferait une lentille convergente. Au cours de son chemin, la lumière passe à travers un filtre et un réseau, avant d'être analysée par une caméra.

**Figure 1** — Chemin optique du NIRSpec [1].

Photographie de l'instrument. Légendes : « Lumière incidente, collectée par les miroirs » (flèche noire), « Roue des filtres », « Caméra », « Roue des réseaux ».

**Q1.** Citer une raison qui justifie pourquoi, dans un télescope, il est préférable d'utiliser des miroirs concaves plutôt que des lentilles pour faire converger la lumière.

Les réseaux du NIRSpec sont des réseaux échelles (figure 2). Un réseau échelle est un réseau de miroirs placés en « marches d'escalier ». On note $h$ la hauteur de la marche et $a$ l'espacement horizontal entre les centres $\mathrm{M}_i$ de deux miroirs successifs. Le réseau est éclairé en incidence normale par une source lumineuse $\mathrm{S}$ ponctuelle et monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, située à l'infini. Après avoir rencontré le réseau, les rayons lumineux sont diffractés dans toutes les directions. La caméra d'observation est située au point $\mathrm{P}$ à l'infini, faisant un angle $\theta$ par rapport à la normale aux miroirs.

Par ailleurs, la hauteur $h$ est largement exagérée sur le schéma de la figure 2. On considérera que $\theta \in [-\pi/2\,;\,\pi/2]$ sans se préoccuper du fait que le rayon diffracté peut heurter la partie verticale de la marche voisine.

**Figure 2** — Réseau échelle.

Marches $\mathrm{M}_1$, $\mathrm{M}_2$, $\mathrm{M}_3$, $\mathrm{M}_4$. Hauteur $h$, pas horizontal $a$. Source $\mathrm{S}(\infty)$, rayon incident vertical, rayon diffracté vers $\mathrm{P}(\infty)$ faisant l'angle $\theta$ avec la normale. Repère $\vec{u}_x$ horizontal, $\vec{u}_y$ vertical.

**Figure 3** — Réseau de 2 miroirs ponctuels.

Deux miroirs ponctuels $\mathrm{M}_1$ et $\mathrm{M}_2$, distants de $a$, sur un axe $x$. Deux rayons incidents issus de $\mathrm{S}(\infty)$, deux rayons diffractés d'angle $\theta$ vers $\mathrm{P}(\infty)$.

*Notation :*

On notera $\underline{s}(k) = A_k\,e^{\mathrm{i}\phi_k}$ l'amplitude complexe de la $k$-ième onde (où $\mathrm{i}^{2} = -1$) et on supposera par ailleurs que $A_k = A_0$ $\forall\,k$ dans notre cas.

On notera de plus $I_N$ l'intensité lumineuse pour des interférences à $N$ ondes et $I_{n,N}$ l'intensité normalisée, définie par :

$$I_{n,N} = \frac{I_N}{\max(I_N)}\,.$$

### Interférences à deux ondes

On considère, dans un premier temps, un réseau de $N = 2$ miroirs ponctuels $\mathrm{M}_1$ et $\mathrm{M}_2$, espacés d'une distance $a$ et d'une hauteur $h = 0$ (figure 3).

**Q2.** Établir l'expression de la différence de marche $\delta = (\mathrm{SM}_1\mathrm{P}) - (\mathrm{SM}_2\mathrm{P})$ entre les rayons passant par $\mathrm{M}_1$ et $\mathrm{M}_2$ en fonction de $a$ et $\theta$. En déduire l'expression du déphasage $\phi$ correspondant en fonction de $a$, $\theta$ et $\lambda$.

**Q3.** Déterminer l'expression de l'intensité normalisée $I_{n,2}(\phi)$ au point $\mathrm{P}$ en fonction de $\phi$, puis la tracer.

### Interférences à $N$ ondes

On considère à présent un réseau de $N \gg 1$ miroirs ponctuels $\mathrm{M}_1$ à $\mathrm{M}_N$, espacés d'une distance $a$ et d'une hauteur $h = 0$.

**Q4.** Établir l'expression de la différence de marche $\delta_k = (\mathrm{SM}_1\mathrm{P}) - (\mathrm{SM}_k\mathrm{P})$ entre les rayons passant par le premier miroir et le $k$-ième miroir, en fonction de $\delta$ et $k$. En déduire l'expression du déphasage $\phi_k$ correspondant en fonction de $\phi$ et $k$.

**Q5.** Déterminer l'expression de $I_N(\phi)$ au point $\mathrm{P}$ en fonction de $A_0$, $N$ et $\phi$, puis justifier soigneusement que l'intensité normalisée $I_{n,N}(\phi)$ s'écrit :

$$I_{n,N}(\phi) = \left(\frac{\sin(N\phi/2)}{N\sin(\phi/2)}\right)^{2}\,.$$

L'allure de la fonction $I_{n,N}(\phi)$ pour $N = 10$ est donnée en figure 4. La fonction possède des « pics principaux » où l'intensité varie de $0$ à $1$, et des « pics secondaires » où l'intensité reste proche de $0$. On note $\theta_p$ l'angle du $p$-ième pic principal ($p \in \mathbb{Z}$) et $\delta\theta_p$ sa largeur angulaire, définie comme l'écart angulaire entre les deux zéros d'intensité qui l'entourent.

**Q6.** Déterminer l'expression de $\sin(\theta_p)$ en fonction de $\lambda$, $a$ et $p$.

**Q7.** Déterminer l'expression de $\delta\theta_p$ en fonction de $\lambda$, $N$, $a$ et $\theta_p$.

On note $\theta_p^{\lambda}$ et $\delta\theta_p^{\lambda}$ les angles $\theta_p$ et $\delta\theta_p$ pour une longueur d'onde $\lambda$ donnée. Éclairé en lumière polychromatique, le réseau disperse chaque longueur d'onde comme étudié précédemment. On dit que le réseau peut résoudre deux longueurs d'onde voisines $\lambda$ et $\lambda + \delta\lambda$ si (avec $p > 0$ et $\delta\lambda > 0$) :

$$\theta_p^{\lambda + \delta\lambda} - \theta_p^{\lambda} \geqslant \frac{\delta\theta_p^{\lambda}}{2}\,.$$

**Figure 4** — Graphe de $I_{n,10}(\phi)$. Attention : la définition de $\delta\theta$ est illustrée sur le graphique, alors que les graduations de l'abscisse correspondent aux valeurs de $\phi$ et non $\theta$.

Axe vertical : graduations $0$, $0{,}5$, $1$. Axe horizontal $\phi\,(\mathrm{rad})$ : graduations $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$. Encadré : $I_{n,10}(\phi)$. Pics principaux en $-2\pi$, $0$ et $2\pi$, pics secondaires de faible amplitude entre eux. Une double flèche sous le pic central illustre $\delta\theta$.

**Q8.** Expliquer, en vous appuyant sur un schéma, ce que l'on observe lorsque ce critère n'est pas respect.

**Q9.** Montrer que ce critère est respecté lorsque $\delta\lambda \geqslant \delta\lambda_{\min}$, où $\delta\lambda_{\min}$ est à exprimer en fonction de $\lambda$, $p$ et $N$. En déduire l'expression du pouvoir de résolution du réseau, défini par :

$$P_r = \frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}}\,.$$

### Interférences à une infinité d'ondes

Dans la suite, on se place dans le cas limite où $N \to \infty$. L'intensité diffractée $I_{n,N}(\phi)$ tend alors vers la fonction $I_{n,\infty}(\phi)$ :

$$I_{n,\infty}(\phi) = \begin{cases} 1 & \text{si }\phi = 2\pi p\text{ avec }p \in \mathbb{Z} \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Notons $[\lambda_{\min}\,;\,\lambda_{\max}]$ la gamme de transparence en longueur d'onde du filtre optique utilisé. Soit un ordre $p$ positif.

**Q10.** Établir la condition reliant $\lambda_{\min}$, $\lambda_{\max}$ et $p$, pour que le spectre de l'ordre $p$ ne se recouvre pas avec le spectre de l'ordre $p + 1$.

Les filtres disponibles sur la roue des filtres du NIRSpec sont :

| Nom du filtre | f070lp | f100lp | f170lp | f295lp |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\lambda_{\min}\,(\mu\mathrm{m})$ | 0,70 | 0,97 | 1,66 | 2,87 |
| $\lambda_{\max}\,(\mu\mathrm{m})$ | 1,27 | 1,89 | 3,17 | 5,27 |

**Q11.** Montrer que, peu importe le filtre choisi, la caméra doit toujours être placée en face de l'ordre $p_0$ à déterminer.

### Prise en compte de la diffraction par les miroirs

On considère un miroir unique de taille $a$. Il est possible de montrer que l'intensité normalisée $I_{n,\mathrm{diff}}(\phi)$ au point $\mathrm{P}$ due à la diffraction par ce miroir vaut :

$$I_{n,\mathrm{diff}}(\phi) = \left(\frac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}\right)^{2}\,.$$

**Q12.** Tracer $I_{n,\mathrm{diff}}(\phi)$. Que retrouve-t-on lorsque la largeur $a$ du miroir devient extrêmement grande devant la longueur d'onde $\lambda$ ?

On admet que l'intensité normalisée totale $I_{n,\mathrm{tot}}$ en sortie du réseau comprenant une infinité de miroirs de taille $a$ est égale au produit de l'intensité $I_{n,\infty}$ due aux interférences et de l'intensité $I_{n,\mathrm{diff}}$ due à la diffraction par un miroir unique :

$$I_{n,\mathrm{tot}} = I_{n,\infty} \times I_{n,\mathrm{diff}}\,.$$

**Q13.** Quel ordre est le plus lumineux ? Expliquer pourquoi ce n'est pas une situation souhaitable.

### Réseau à échelette

On considère finalement un réseau échelle, constitué d'une infinité de miroirs de taille $a$, dont les centres $\mathrm{M}_k$ sont espacés d'une distance $a$ et d'une hauteur $h$ (figure 2).

**Q14.** Montrer que la différence de marche $\delta_c$ entre les rayons passant par les centres de deux miroirs adjacents est donnée par :

$$\delta_c = (\mathrm{SM}_k\mathrm{P}) - (\mathrm{SM}_{k+1}\mathrm{P}) = a\sin(\theta) + h\bigl[1 + \cos(\theta)\bigr]\,.$$

On note $\lambda_m$ la longueur d'onde moyenne du filtre optique utilisé et $p_0$ l'ordre choisi à la question Q11.

**Q15.** Montrer qu'il est possible de choisir $h$ afin que la direction du maximum de la diffraction corresponde à la longueur d'onde $\lambda_m$ de l'ordre $p_0$. Commenter l'intérêt d'un réseau échelle par rapport à un réseau plan (cas où $h = 0$), qu'il s'agisse d'un réseau en réflexion (étudié précédemment) ou d'un réseau en transmission (traditionnellement utilisé en TP).

## Partie B – Absorption IR d'une molécule diatomique

Le JWST possède 4 instruments d'analyse de lumière, tous sensibles dans les longueurs d'onde infrarouges ($0{,}6$ à $28\,\mu\mathrm{m}$). L'étude de ces longueurs offre de nombreux avantages par rapport aux longueurs d'onde du visible : étude de la formation des premières étoiles et galaxies, nuages de poussières interstellaires transparents aux IR mais opaques au domaine visible, étude de la composition de l'atmosphère d'exoplanètes, etc.

Cette partie s'intéresse à ce dernier point. Lorsqu'une planète passe devant son étoile, une partie de la lumière passe à travers l'atmosphère de la planète avant de nous parvenir. Le spectre de la lumière issue de l'étoile se retrouve alors modifié par les molécules de l'atmosphère, ce qui nous permet d'en déduire la composition de cette dernière.

### Approche classique

Soit une masse $\mu$ supposée ponctuelle, accrochée à l'extrémité d'un ressort dont l'autre extrémité est fixe (figure 5). On note $k$ la constante de raideur et $\ell_0$ la longueur à vide du ressort, que l'on suppose de masse nulle. La masse est soumise uniquement à la force de rappel élastique du ressort. Le référentiel d'étude du mouvement est supposé galiléen.

**Figure 5** — Système masse-ressort.

Paroi, ressort de longueur à vide $\ell_0$ et de raideur $k$, masse $\mu$, vecteur $\vec{e}_x$, longueur $\ell(t)$, axe $x$.

**Figure 6** — Modélisation d'une molécule diatomique.

Masses $m_{\mathrm{A}}$ et $m_{\mathrm{B}}$ reliées par un ressort $\ell_0$, $k$. Positions $x_{\mathrm{A}}(t)$ et $x_{\mathrm{B}}(t)$ sur l'axe $x$, vecteur $\vec{e}_x$.

**Q16.** Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $\ell(t)$. Introduire une pulsation propre $\omega_0$, à exprimer en fonction de $k$ et $\mu$.

Considérons à présent une molécule diatomique $\mathrm{AB}$. Notons $m_{\mathrm{A}}$, $m_{\mathrm{B}}$ les masses et $x_{\mathrm{A}}$, $x_{\mathrm{B}}$ les positions respectives des atomes $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ (figure 6). On modélise la liaison covalente qui les relie par un ressort de masse nulle, de constante de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$. Les atomes $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont soumis uniquement à la force de rappel élastique du ressort. Le référentiel d'étude du mouvement est supposé galiléen.

**Q17.** Montrer que la longueur de la liaison $\ell(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t)$ est solution de la même équation différentielle obtenue à la question Q16. Exprimer $\mu$, appelée masse réduite du système, en fonction de $m_{\mathrm{A}}$ et $m_{\mathrm{B}}$.

Dans la suite, les applications numériques seront faites pour la molécule de monoxyde de carbone $\mathrm{CO}$. Cette dernière possède une bande d'absorption dans l'IR, où le maximum d'absorption a lieu pour une longueur d'onde $\lambda = 4{,}67\,\mu\mathrm{m}$. On suppose que la pulsation du maximum d'absorption correspond à la pulsation propre du modèle étudié.

**Q18.** Déterminer la constante de raideur $k$ de la liaison covalente liant les atomes de carbone et d'oxygène. Commenter la valeur obtenue.

La modélisation par un ressort de la liaison covalente est en réalité une approximation harmonique de l'énergie potentielle d'interaction entre les atomes. Cette dernière est assez bien décrite par le potentiel de Morse, donné par :

$$V(\ell) = V_0\left[1 - e^{-a(\ell - \ell_0)}\right]^{2}$$

où $V_0$ et $a$ sont des constantes positives. Le graphe de $V(\ell)$ pour le monoxyde de carbone est donné ci-dessous.

**Figure 7** — Potentiel de Morse : $V/V_0$ en fonction de $\ell/\ell_0$.

Axe vertical $V/V_0$ : graduations $0$, $0{,}5$, $1$, $1{,}5$, $2$. Axe horizontal $\ell/\ell_0$ : graduations $0$, $0{,}5$, $1$, $1{,}5$, $2$, $2{,}5$. Encadré : « Potentiel de Morse ». La courbe présente un minimum nul en $\ell/\ell_0 = 1$, croît fortement pour $\ell/\ell_0 < 1$ et tend vers $1$ aux grandes abscisses.

**Q19.** Exprimer $V_0$ en fonction de $k$ et $a$. Faire l'application numérique et commenter la valeur obtenue.

**Q20.** Expliquer pourquoi une approche classique est insuffisante pour interpréter le fait que le monoxyde de carbone absorbe uniquement des longueurs d'onde proches de $4{,}67\,\mu\mathrm{m}$.

### Approche quantique

**Figure 8** — Potentiel de Morse approché.

Axe vertical jusqu'à $V_0$, axe horizontal gradué $0$ et $L$. Encadré : $V_{\mathrm{app}}(x)$. Trois zones numérotées $1$, $2$ et $3$.

$$V_{\mathrm{app}}(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si }x < 0 & \text{Zone n}^{\circ}\mathrm{1} \\ 0 & \text{si }0 \leqslant x \leqslant L & \text{Zone n}^{\circ}\mathrm{2} \\ V_0 & \text{si }x > L & \text{Zone n}^{\circ}\mathrm{3.} \end{cases}$$

Considérons la fonction $x \mapsto V_{\mathrm{app}}(x)$ définie et représentée ci-dessus, dont le rôle est d'approximer le potentiel de Morse par une fonction constante par morceau.

Soit une particule ponctuelle de masse $\mu$ soumise au potentiel $V_{\mathrm{app}}(x)$. On note $\underline{\psi}(x, t)$ la fonction d'onde complexe de la particule et $E$ son énergie. On rappelle l'équation de Schrödinger :

$$-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\,\frac{\partial^{2}\underline{\psi}}{\partial x^{2}} + V_{\mathrm{app}}(x)\times\underline{\psi}(x, t) = \mathrm{i}\hbar\,\frac{\partial\underline{\psi}}{\partial t}\,.$$

On cherche des états stationnaires d'énergie $E < V_0$ solutions de l'équation de Schrödinger. On pose donc :

$$\underline{\psi}(x, t) = \underline{\phi}(x)\times f(t)\,.$$

**Q21.** Montrer que $f(t)$ est solution de l'équation différentielle :

$$\mathrm{i}\hbar\,\frac{f'(t)}{f(t)} = A$$

où $A$ est une constante. Justifier que $A$ est homogène à une énergie. On admet que $A = E$, l'énergie de la particule. En déduire l'expression de $f(t)$ (on choisira la constante d'intégration égale à $1$).

On pose :

$$K = \frac{\sqrt{2\mu E}}{\hbar} \qquad K' = \frac{\sqrt{2\mu(V_0 - E)}}{\hbar}\,.$$

**Q22.** Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $\underline{\phi}(x)$ puis donner la forme générale des solutions dans les 3 zones de l'espace : $\underline{\phi}_1(x)$, $\underline{\phi}_2(x)$ et $\underline{\phi}_3(x)$.

**Q23.** En déduire que :

$$K'L = -\frac{KL}{\tan(KL)}\,.$$

On donne ci-dessous l'allure de la courbe $z \mapsto -z/\tan(z)$.

**Figure 9** — Fonction $z \mapsto -z/\tan(z)$.

Axe vertical : graduations $0$, $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$, $8\pi$. Axe horizontal : graduations $0$, $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$, $8\pi$.
**Q24.** Justifier que les valeurs de $KL$ solutions du problème s'obtiennent en analysant les points d'intersection entre la courbe $z \mapsto -z/\tan(z)$ et un cercle centré sur l'origine du repère, de rayon $R$ dont on donnera l'expression.

**Q25.** Estimer la valeur que doit valoir $L$ afin que la transition énergétique entre l'état fondamental et le premier état excité corresponde à l'absorption d'un photon de longueur d'onde $\lambda = 4{,}67\,\mu\mathrm{m}$. Conclure sur la qualité de l'approximation de $V(\ell)$ par la fonction continue par morceau $V_{\mathrm{app}}(x)$.

## Partie C – Refroidissement du télescope

Tout corps émet un rayonnement d'origine thermique. Plus la température du corps est faible, moins le rayonnement est intense et plus le spectre se décale vers les grandes longueurs d'onde. Par exemple, un corps à $300\,\mathrm{K}$ émet principalement dans l'IR, autour de $9{,}66\,\mu\mathrm{m}$. Puisque les capteurs du télescope ont pour objectif de capter des signaux IR de faible intensité, ce dernier doit nécessairement être refroidi à une température $T < 50\,\mathrm{K}$ afin qu'il émette lui-même un signal IR plus faible que les signaux interstellaires qu'il souhaite détecter.

### I – Refroidissement passif par rayonnement

Le télescope possède un bouclier thermique (figure 10) composé de 5 fines couches réfléchissantes qui, ensemble, renvoient la majorité de la puissance thermique reçue par le soleil dans l'espace, permettant au côté protégé par le bouclier de se refroidir passivement, par rayonnement, jusqu'à une température $T < 50\,\mathrm{K}$. Le bouclier divise ainsi le télescope en un « côté chaud » et un « côté froid ».

**Figure 10** — Bouclier thermique du JWST [2].

Schéma du télescope. Encadrés : « côté froid », $T < 50\,\mathrm{K}$ ; « côté chaud », $T \sim 350\,\mathrm{K}$. Légendes : « Miroir secondaire », « Entrée du flux lumineux vers les instruments », « Miroir primaire », « Instruments (MIRI à $T \sim 7\,\mathrm{K}$) », « Bouclier thermique ». Flèche noire : « Vers le soleil ».

On suppose que tous les corps (le soleil, le télescope) émettent une puissance surfacique par rayonnement donnée par la loi de Stefan : $\mathcal{P}_S = \sigma\,T^{4}$, où $T$ est la température du corps et $\sigma$ la constante de Stefan.

**Q26.** Estimer la puissance thermique $P_{\mathrm{sol}}$ en provenance du soleil reçue par le JWST.

Le bouclier thermique, très performant, ne transmet au côté froid du télescope que $P_t = 23\,\mathrm{mW}$. On souhaite étudier l'évolution temporelle de la température $T(t)$ du « côté froid » du télescope. On note $m$ la masse du système d'étude, $S$ sa surface et $c$ sa capacité thermique massique.

**Q27.** À l'aide d'un bilan d'énergie, montrer que $T(t)$ vérifie l'équation différentielle suivante :

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + a\,T^{4} = b$$

où $a$ et $b$ sont des constantes positives à exprimer en fonction de $P_t$, $S$, $m$, $c$ et $\sigma$.

**Q28.** Donner l'expression de $T_{\infty}$, la température en régime permanent en fonction de $a$ et $b$. En déduire par un raisonnement dimensionnel l'expression d'un temps caractéristique $\tau$ en fonction de $T_{\infty}$, $a$ et $b$. Calculer les valeurs numériques de $T_{\infty}$ (en kelvin) et $\tau$ (en jours).

Afin de mieux comprendre la dynamique du régime transitoire, nous allons résoudre l'équation différentielle de la question Q27 numériquement avec Python.

**Q29.** On a ici une équation différentielle de la forme $y'(t) = f(y)$. En supposant que les paramètres $a$ et $b$ ont été préalablement définis, compléter la fonction suivante.

```python
def f(y):
    return # à compléter
```

On veut résoudre l'équation différentielle par la méthode d'Euler. On note `dt` le pas temporel et `T0` la température du télescope le jour de son lancement (pris comme instant initial).

**Q30.** Compléter la fonction suivante qui renvoie deux listes, l'une contenant les valeurs du temps entre $0$ et $150$ jours, l'autre les valeurs correspondantes de température, en utilisant exclusivement des fonctions standards de python sans importer aucun module supplémentaire.

```python
def euler(f, dt, T0):
    t = [0]
    T = [T0]
    # à compléter
    return t, T
```

La figure 11 montre la superposition de la solution numérique obtenue par la méthode d'Euler (avec un pas de temps `dt` correctement choisi) ainsi que la courbe $T(t)$ mesurée par un capteur de température.

**Q31.** Commenter la figure 11.

**Figure 11** — Profil de température $T(t)$ du côté froid du JWST [3].

Axe vertical $T\,(\mathrm{K})$ : graduations $0$, $50$, $100$, $150$, $200$, $250$. Axe horizontal $t\,(\mathrm{jours})$ : graduations $0$, $30$, $60$, $90$, $120$, $150$. Légende : « Modélisation » (courbe), « Données capteur » (points).

### II – Refroidissement thermo-acoustique

MIRI (*Mid-Infrared Instrument*) est le seul des 4 instruments du JWST à être sensible aux IR moyens ($5$ à $28\,\mu\mathrm{m}$), là où les trois autres détecteurs sont sensibles aux IR proches ($0{,}6$ à $5\,\mu\mathrm{m}$). Il doit par conséquent être davantage refroidi que le reste du télescope, à une température proche de $7\,\mathrm{K}$, afin que son rayonnement d'origine thermique ne perturbe pas ces mesures.

Dans cette partie, nous allons étudier une version simplifiée du système de refroidissement de MIRI, qui exploite l'effet thermo-acoustique.

#### Solution en ondes stationnaires

On considère une enceinte cylindrique d'axe $x$ et de longueur $L$ aux parois rigides et indéformables ($y$ compris aux extrémités). Le fluide dans l'enceinte est assimilé à un gaz parfait de coefficient de Laplace $\gamma$. Au repos, il est caractérisé par sa masse volumique $\mu_0$, sa pression $p_0$, sa température $T_0$ et possède une vitesse moyenne nulle ($v_0 = 0$).

**Figure 12** — Enceinte aux parois rigides de longueur $L$.

Cylindre. Légende « Gaz parfait ». Grandeurs $\mu(x, t)$, $v(x, t)$, $p(x, t)$, $T(x, t)$. Axe $x$ de $0$ à $L$.

Une onde acoustique est générée dans l'enceinte. On néglige tous les phénomènes dissipatifs : conduction thermique longitudinale (selon $x$) et viscosité. L'écoulement est donc isentropique. De plus, on suppose que la propagation d'ondes sonores ne modifie que faiblement les paramètres du milieu : les grandeurs indicées par l'indice $1$ sont des infiniment petits d'ordre $1$.

$$\mu(x, t) = \mu_0 + \mu_1(x, t) \qquad p(x, t) = p_0 + p_1(x, t)$$

$$v(x, t) = v_1(x, t) \qquad T(x, t) = T_0 + T_1(x, t)\,.$$

**Q32.** Rappeler les équations d'Euler et de conservation de la masse en fonction de $\mu$, $p$ et $v$ dans le cas le plus général.

On rappelle l'expression du coefficient de compressibilité isentropique :

$$\chi_S = \frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial\mu}{\partial P}\right)_S\,.$$

**Q33.** Linéariser les trois relations précédentes (équations d'Euler, équation de conservation de la masse, expression du coefficient de compressibilité isentropique) et en déduire un système de 3 équations différentielles reliant $p_1$, $\mu_1$ et $v_1$.

**Q34.** En déduire l'équation différentielle de propagation à laquelle obéit la surpression $p_1(x, t)$. Donner l'expression de la célérité $c$.

L'onde générée est supposée sinusoïdale de pulsation $\omega$. On peut montrer que $p_1$, $T_1$, $v_1$ et $\mu_1$ prennent, en régime sinusoïdal établi, les formes suivantes :

$$\underline{\mu}_1(x, t) = \underline{\mu}_1(x)\,e^{\mathrm{i}\omega t} \qquad \underline{p}_1(x, t) = \underline{p}_1(x)\,e^{\mathrm{i}\omega t}$$

$$\underline{v}_1(x, t) = \mathrm{i}\,\underline{v}_1(x)\,e^{\mathrm{i}\omega t} \qquad \underline{T}_1(x, t) = \underline{T}_1(x)\,e^{\mathrm{i}\omega t}\,.$$

**Q35.** En notant $p_{\mathrm{a}}$ l'amplitude de l'onde de surpression, montrer que :

$$p_1(x) = p_{\mathrm{a}}\cos(kx)$$

où $k$ est à exprimer en fonction de $\omega$, $\mu_0$ et $\chi_S$.

On note $v_{\mathrm{a}}$ et $T_{\mathrm{a}}$ les amplitudes respectives des ondes de survitesse $v_1(x)$ et de surtempérature $T_1(x)$.

**Q36.** Montrer que la pulsation spatiale $k_n$ est quantifiée par un entier $n \in \mathbb{N}^{*}$. Déterminer l'expression de $k_n$, puis tracer sur un même graphique $k_n$ et $v_1(x)/v_{\mathrm{a}}$ pour $n = 2$.

**Q37.** Rappeler la loi de Laplace reliant $T$ et $P$ et ses hypothèses d'application.

**Q38.** Déterminer $T_1(x)$ et exprimer $T_{\mathrm{a}}$ en fonction de $\gamma$, $T_0$, $p_0$ et $p_{\mathrm{a}}$.

Dans la suite, nous allons voir comment l'introduction d'une plaque dans l'onde stationnaire permet de générer un flux de chaleur longitudinal (axe $x$).

#### Perturbation par une plaque : approche lagrangienne

Considérons (cf. figure 13) une particule de fluide qui, sous l'effet de l'onde sonore, effectue des mouvements sinusoïdaux d'amplitude $x_{\mathrm{a}}$, autour d'une valeur moyenne $x_m$, parallèlement à une plaque placée dans le plan $(\mathrm{O}xz)$. La position $x_m$ est prise entre un maximum de $v_1(x)$ et un maximum de $p_1(x)$.

On admet que la plaque possède une température non uniforme et stationnaire, maintenue par un dispositif extérieur non détaillé, nécessaire au fonctionnement de la machine.

**Figure 13** — Cycle thermodynamique d'une particule de fluide au voisinage de la plaque.

Plaque portant trois points : $T_m\times(1 - \varepsilon_T)$, $T_m$, $T_m\times(1 + \varepsilon_T)$.

Particule de fluide : à gauche, cercle $\dfrac{1}{4}$ et pression $p_m\times(1 - \varepsilon_p)$ ; au centre, pression $p_m$ ; à droite, cercle $\dfrac{2}{3}$ et pression $p_m\times(1 + \varepsilon_p)$. Flèches $[1]\to[2]$ et $[4]\leftarrow[3]$.

Axe $x$ : $x_m - x_{\mathrm{a}}$, $x_m$, $x_m + x_{\mathrm{a}}$. Encadrés : « Vers un maximum de vitesse » (vers la gauche), « Vers un maximum de pression » (vers la droite).

On note $p_m$ et $T_m$ respectivement la pression du fluide et la température de la plaque au point $x_m$. On note $p'_m = p'(x_m) > 0$ et $T'_m = T'(x_m) > 0$ respectivement la dérivée spatiale de la pression du fluide et la dérivée spatiale de la température de la plaque au point $x_m$. L'amplitude $x_{\mathrm{a}}$ étant très faible, on peut montrer à l'aide d'un développement limité à l'ordre $1$ que :

- la pression du fluide en $x = x_m \pm x_{\mathrm{a}}$ vaut :

$$p(x_m \pm x_{\mathrm{a}}) = p_m\times(1 \pm \varepsilon_p) \quad\text{avec :}\quad \varepsilon_p = \frac{x_{\mathrm{a}} p'_m}{p_m}\text{ un infiniment petit d'ordre }1\,.$$

Afin d'alléger les équations, on pose également :

$$\varepsilon'_p = \frac{\gamma - 1}{\gamma}\,\varepsilon_p\,.$$

- la température de la plaque en $x = x_m \pm x_{\mathrm{a}}$ vaut :

$$T(x_m \pm x_{\mathrm{a}}) = T_m\times(1 \pm \varepsilon_T) \quad\text{avec :}\quad \varepsilon_T = \frac{x_{\mathrm{a}} T'_m}{T_m}\text{ un infiniment petit d'ordre }1\,.$$

Il est possible de modéliser le cycle thermodynamique que subit la particule de fluide en 4 étapes :

- $[1]\to[2]$ compression adiabatique réversible par l'onde sonore ;
- $[2]\to[3]$ thermalisation isobare avec la plaque ;
- $[3]\to[4]$ détente adiabatique réversible par l'onde sonore ;
- $[4]\to[1]$ thermalisation isobare avec la plaque.

Le tableau ci-dessous résume l'ensemble des positions, pressions et températures de la particule de fluide au cours du cycle. Les températures des points 2 et 4 sont obtenues à l'aide d'un développement limité à l'ordre 2 de la loi de Laplace sur les étapes $[1]\to[2]$ et $[3]\to[4]$.

| Point | Abscisse | Pression | Température de la particule de fluide |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | $x_1 = x_m - x_{\mathrm{a}}$ | $p_1 = p_m\times(1 - \varepsilon_p)$ | $T_1 = T_m\times(1 - \varepsilon_T)$ |
| 2 | $x_2 = x_m + x_{\mathrm{a}}$ | $p_2 = p_m\times(1 + \varepsilon_p)$ | $T_2 = T_m\times\bigl[1 - \varepsilon_T + 2\varepsilon'_p - 2\varepsilon'_p\varepsilon_T + 2\left(\varepsilon'_p\right)^{2}\bigr]$ |
| 3 | $x_3 = x_m + x_{\mathrm{a}}$ | $p_3 = p_m\times(1 + \varepsilon_p)$ | $T_3 = T_m\times(1 + \varepsilon_T)$ |
| 4 | $x_4 = x_m - x_{\mathrm{a}}$ | $p_4 = p_m\times(1 - \varepsilon_p)$ | $T_4 = T_m\times\bigl[1 + \varepsilon_T - 2\varepsilon'_p - 2\varepsilon'_p\varepsilon_T + 2\left(\varepsilon'_p\right)^{2}\bigr]$ |

On note $c_v$ et $c_p$ les capacités thermiques massiques du gaz respectivement à volume et pression constante.

**Q39.** Expliquer où se trouvent les sources chaude et froide, ainsi que d'où provient le travail mécanique reçu par la particule de fluide au cours d'un cycle.

**Q40.** Tracer, pour un fonctionnement réfrigérateur, le cycle thermodynamique dans un diagramme de Clapeyron (pression en fonction du volume massique).

**Q41.** Comparer les valeurs de $T_2$ et $T_3$ ainsi que $T_1$ et $T_4$ pour que le cycle soit bien frigorifique. En déduire que $T'_m$ doit être inférieure à une valeur limite à déterminer.

**Q42.** Exprimer les chaleurs massiques $q_{ij}$ reçues par la particule de fluide à chaque étape $[i]\to[j]$ en fonction de $c_p$ et des températures $T_i$ et $T_j$. En déduire le travail massique total $w_{\mathrm{cycle}}$ reçu au cours d'un cycle en fonction de $c_p$, $T_m$, $\varepsilon'_p$ et $\varepsilon_T$. Commenter l'expression obtenue.

**Q43.** Définir puis exprimer l'efficacité réelle puis celle de Carnot du cycle, respectivement en fonction de $\varepsilon'_p$ et $\varepsilon_T$.

*L'ensemble des particules de fluides situées près de la plaque se relaient pour transporter, de proche en proche, la chaleur de l'extrémité froide vers l'extrémité chaude de la plaque. Un échangeur de chaleur permet de refroidir de l'hélium qui, après une détente de Joule-Thomson, atteint une température de l'ordre de $5\,\mathrm{K}$. Un deuxième échangeur de chaleur permet finalement de refroidir MIRI à une température de l'ordre de $7\,\mathrm{K}$.*

## Formulaires et données numériques

### Formulaire spécifique à la Partie A

Soit $q \in \mathbb{C}\setminus\{1\}$ :

$$\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\,.$$

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon$ un infiniment petit d'ordre $1$ :

$$\sin(x + \varepsilon) \simeq \sin(x) + \varepsilon\cos(x)\,.$$

Soit $x \in \,]-1\,;\,1[$ et $\varepsilon$ un infiniment petit d'ordre $1$ :

$$\arcsin(x + \varepsilon) \simeq \arcsin(x) + \frac{\varepsilon}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,.$$

### Données et formulaire spécifiques à la Partie B

Vitesse de la lumière : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Constante de Planck réduite : $\hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

Charge élémentaire : $e = 1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

Nombre d'Avogadro : $\mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

Masse réduite de $\mathrm{CO}$ : $\mu = 1{,}14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$.

Longueur d'onde absorbée par $\mathrm{CO}$ : $\lambda = 4{,}67\,\mu\mathrm{m}$.

Paramètre $a$ pour $\mathrm{CO}$ : $a = 2{,}27 \times 10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$.

Valeur de $\ell_0$ pour $\mathrm{CO}$ : $\ell_0 = 113\,\mathrm{pm} = 113 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$ :

$$e^{x} = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}\,.$$

### Données spécifiques à la Partie C.I

Constante de Stefan : $\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}$.

Température de surface du soleil : $T_{\mathrm{sol}} = 5{,}77 \times 10^{3}\,\mathrm{K}$.

Rayon du soleil : $R_{\mathrm{sol}} = 696 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$.

Puissance solaire transmise au satellite : $P_t = 23\,\mathrm{mW}$.

Distance soleil – JWST : $d = 151 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$.

Surface du bouclier thermique (une seule couche) : $S_b = 240\,\mathrm{m^{2}}$.

Masse du satellite (côté froid) : $m = 6{,}0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$.

Capacité thermique massique du satellite (côté froid) : $c = 1{,}6 \times 10^{3}\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}$.

Surface du satellite (côté froid) : $S = 150\,\mathrm{m^{2}}$.

## Références

[1] `https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NIRSpec-3.jpg`.

[2] `https://commons.wikimedia.org/wiki/File:JWST_spacecraft_model_1.png`.

[3] `https://jwst.nasa.gov/content/webbLaunch/whereIsWebb.html`.

Fin