Maths 2
Centrale-SupélecPSI2026
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Signaler une erreur# Centrale-Supélec PSI — Mathématiques 2 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le problème construit une famille classique de polynômes orthogonaux, les **polynômes de Jacobi**, associés au poids $w(t)=(1-t)^\alpha(1+t)^\beta$ sur $]-1,1[$ ($\alpha,\beta>-1$). Il en établit les propriétés structurelles (degré, relation de récurrence à trois termes, racines réelles dans $]-1,1[$), puis une formule explicite dite *de Rodrigues*, et termine sur le cas particulier $\alpha=\beta=0$ : les **polynômes de Legendre**.
**Découpage.**
| Partie | Questions | Contenu | Outils |
|---|---|---|---|
| A | Q1–Q8 | existence du produit scalaire à poids, deux exemples de calcul | intégrales impropres, Riemann, produit scalaire |
| B | Q9–Q10 | formule de Vandermonde, coefficient binomial généralisé $B^\lambda_\ell$ | dénombrement |
| C | Q11–Q19 | base orthonormale échelonnée : degré, relation à trois termes, racines | espaces préhilbertiens, orthogonal, TVI |
| D | Q20–Q28 | polynômes de Jacobi : formule explicite, orthogonalité | Leibniz, dérivées $p$-ièmes, intégration par parties sur un intervalle ouvert |
| E | Q29–Q42 | polynômes de Legendre : valeurs, parité, équation différentielle, $\lvert L_k\rvert\leqslant1$, récurrence, fonction génératrice | Leibniz, étude de fonction, séries entières, équation différentielle linéaire d'ordre 1 |
**Notions du programme PSI mobilisées.** Intégrales impropres et critère de Riemann ; produit scalaire, orthonormalisation, orthogonal d'un sous-espace ; polynômes (degré, racines, multiplicité, divisibilité) ; théorème des valeurs intermédiaires ; formule de Leibniz ; intégration par parties ; séries entières (rayon, dérivation terme à terme) ; équations différentielles linéaires.
**Difficulté et longueur.** Sujet long (42 questions) mais très progressif, sans piège calculatoire majeur. Les questions Q1–Q10 et Q29–Q34 sont des applications directes du cours, à ne surtout pas laisser passer. Les points délicats sont Q22–Q23 (double Leibniz avec les coefficients $B^\lambda_\ell$), Q25–Q26 (intégrations par parties répétées sur un intervalle ouvert), Q36 (dérivée de $f_k$, où il faut réinjecter l'équation différentielle) et Q41–Q42 (manipulation de séries entières puis résolution d'une équation différentielle).
**Gestion du temps.** La partie B est indépendante ; la partie E, sous-parties I à III, n'utilise de la partie D que la formule de Rodrigues, rappelée par l'énoncé. Un ordre efficace : A, B, C, puis E I–III, puis D, puis E IV–V. Compter environ 40 minutes pour A et B, 50 pour C, 60 pour D, 70 pour E.
**Deux défauts d'énoncé à connaître.** En Q25, pour $i=0$, la seconde intégrale contient $x^{-1}$ et n'a en général pas de sens : on traite ce cas à part. Dans la partie E, l'énoncé présente les $L_k$ comme une base *orthonormale*, alors qu'ils sont seulement orthogonaux ($\|L_0\|^2=2$) ; cela ne change rien aux raisonnements, à condition de le dire.
## Partie A — Un produit scalaire
On vérifie que la formule $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1(1-t)^\alpha(1+t)^\beta P(t)Q(t)\,dt$ a un sens et définit un produit scalaire, puis on calcule quelques produits scalaires dans deux cas particuliers.
### Question 1
> [!INDICATION]
> C'est un résultat de cours : on demande l'énoncé, pas la preuve. N'oubliez pas la valeur.
#### Solution
L'intégrale $\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^\delta}$ converge si et seulement si $\delta<1$, et alors
$$\int_0^1\frac{dt}{t^\delta}=\Big[\frac{t^{1-\delta}}{1-\delta}\Big]_0^1=\frac1{1-\delta}.$$
> [!PIEGE]
> En $0^+$ la condition est $\delta<1$ ; c'est l'inverse du critère en $+\infty$ ($\delta>1$). Confondre les deux fausse toute la partie A.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Où est la singularité ? Un changement de variable affine la ramène en $0$.
> [!INDICATION]
> Posez $u=a-t$, puis éventuellement $u=av$. Le sujet dit « $a\in\mathbb R$ » : regardez ce qui se passe si $a\leqslant0$.
#### Solution
Supposons $a>0$. La fonction $t\mapsto(a-t)^{-\delta}$ est continue sur $[0,a[$ ; seule la borne $a$ pose problème. Le changement de variable $u=a-t$, bijection de classe $\mathcal C^1$ strictement décroissante de $]0,a[$ sur lui-même, montre que
$$\int_0^a\frac{dt}{(a-t)^\delta}\quad\text{et}\quad\int_0^a\frac{du}{u^\delta}$$
sont de même nature (et égales en cas de convergence). Avec $u=av$, la seconde vaut $a^{1-\delta}\int_0^1\frac{dv}{v^\delta}$. Par Q1, **l'intégrale converge si et seulement si $\delta<1$**, et vaut alors $\dfrac{a^{1-\delta}}{1-\delta}$.
Si $a=0$, l'intégrale est nulle. Si $a<0$, $a-t\leqslant0$ entre $a$ et $0$, donc $(a-t)^\delta$ n'a de sens que pour $\delta$ entier ; on retrouve alors la même condition $\delta<1$. Seul le cas $a>0$ sert à la question suivante.
> [!METHODE]
> Pour une CNS, il faut une équivalence : le théorème de changement de variable dans les intégrales impropres affirme que les deux intégrales sont *de même nature*, ce qui donne les deux sens à la fois.
### Question 3
> [!INDICATION]
> L'intégrale est impropre aux deux bornes : coupez-la en un point intérieur.
> [!INDICATION]
> Près de $1$, le facteur $(1+t)^\beta f(t)$ est continu sur un *segment* qui contient $1$ : il est borné. Comparez alors à une intégrale de Q2.
#### Solution
Posons $h(t)=(1-t)^\alpha(1+t)^\beta f(t)$, continue sur $]-1,1[$. On étudie séparément $[0,1[$ et $]-1,0]$.
*Au voisinage de $1$.* La fonction $t\mapsto(1+t)^\beta f(t)$ est continue sur le segment $[0,1]$, donc bornée par un réel $M_1$. Ainsi $|h(t)|\leqslant M_1(1-t)^\alpha$ sur $[0,1[$. Comme $\alpha>-1$, on a $-\alpha<1$ et Q2 (avec $a=1$, $\delta=-\alpha$) assure la convergence de $\int_0^1(1-t)^\alpha\,dt$. Par comparaison de fonctions positives, $\int_0^1|h|$ converge.
*Au voisinage de $-1$.* De même $(1-t)^\alpha f(t)$ est bornée par $M_2$ sur $[-1,0]$, donc $|h(t)|\leqslant M_2(1+t)^\beta$ ; le changement de variable $u=-t$ transforme $\int_{-1}^0(1+t)^\beta\,dt$ en $\int_0^1(1-u)^\beta\,du$, convergente car $-\beta<1$.
$h$ est donc intégrable sur $]-1,1[$ et l'intégrale proposée converge (absolument).
> [!PIEGE]
> « $f$ est continue donc bornée » est faux sur un intervalle ouvert ; ici on borne sur le segment $[0,1]$ ou $[-1,0]$, ce qui est légitime car $f$ est continue sur $[-1,1]$. Et la comparaison ne s'applique qu'à des fonctions positives : on passe par $|h|$.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Quatre points : bonne définition, symétrie, bilinéarité, caractère défini positif. Un seul est délicat.
> [!INDICATION]
> Pour le caractère défini, le théorème « fonction continue positive d'intégrale nulle » est un énoncé sur un segment. Placez-vous sur $[c,d]\subset]-1,1[$.
#### Solution
*Bonne définition.* Pour $P,Q\in\mathbb R[X]$, $PQ$ est continue sur $[-1,1]$ ; Q3 assure que $\langle P,Q\rangle$ est un réel bien défini.
*Symétrie* : immédiate. *Bilinéarité* : par symétrie, il suffit de la linéarité à gauche, qui résulte de la linéarité de l'intégrale (toutes les intégrales en jeu convergent par Q3).
*Positivité* : $w(t)P(t)^2\geqslant0$ sur $]-1,1[$, donc $\langle P,P\rangle\geqslant0$.
*Caractère défini.* Supposons $\langle P,P\rangle=0$. Pour tout segment $[c,d]\subset]-1,1[$, la positivité de l'intégrande donne
$$0\leqslant\int_c^dw(t)P(t)^2\,dt\leqslant\int_{-1}^1w(t)P(t)^2\,dt=0.$$
La fonction $wP^2$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur le segment $[c,d]$, donc nulle sur $[c,d]$ ; comme $w>0$, $P$ s'annule sur $[c,d]$. Ayant une infinité de racines, $P=0$.
Donc $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive : **c'est un produit scalaire sur $\mathbb R[X]$.**
> [!JURY]
> La bonne définition (convergence des intégrales) fait partie de la question : on la rattache explicitement à Q3. Sur $\mathbb R[X]$, on parle d'espace préhilbertien, pas d'espace euclidien (dimension infinie).
### I – Un premier exemple
### Question 5
> [!INDICATION]
> Cherchez une primitive explicite de $t/\sqrt{1-t^2}$, ou utilisez une parité, après avoir justifié la convergence.
#### Solution
$\langle1,X\rangle=\displaystyle\int_{-1}^1\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$ converge par Q3. Sur $]-1,1[$, une primitive est $t\mapsto-\sqrt{1-t^2}$, de limite nulle en $\pm1$. Donc
$$\langle1,X\rangle=0.$$
> [!PIEGE]
> « L'intégrande est impair, donc l'intégrale est nulle » n'est valable que si l'intégrale converge. Ici la convergence vient de Q3 : il faut le dire.
### Question 6
> [!INDICATION]
> $\|1\|^2$ fait apparaître une primitive usuelle. Pour $\|X\|^2$, un changement de variable trigonométrique s'impose.
> [!INDICATION]
> Avec $t=\sin u$, vérifiez le signe de $\cos u$ avant d'écrire $\sqrt{1-t^2}=\cos u$.
#### Solution
$$\|1\|^2=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\big[\arcsin t\big]_{-1}^1=\pi.$$
Le changement de variable $t=\sin u$ est une bijection $\mathcal C^1$ croissante de $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$ sur $]-1,1[$, et $\sqrt{1-t^2}=\cos u>0$ sur cet intervalle :
$$\|X\|^2=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2u\,du=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1-\cos2u}2\,du=\frac\pi2.$$
$$\|1\|=\sqrt\pi,\qquad\|X\|=\sqrt{\frac\pi2}.$$
> [!PIEGE]
> On demande les normes, pas leurs carrés.
### II – Un second exemple
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le poids vaut $1$ ; tout dépend de la parité de $i+j$.
#### Solution
$$\langle X^i,X^j\rangle=\int_{-1}^1t^{i+j}\,dt=\frac{1-(-1)^{i+j+1}}{i+j+1}=\begin{cases}\dfrac2{i+j+1}&\text{si }i+j\text{ est pair,}\\[2mm]0&\text{si }i+j\text{ est impair.}\end{cases}$$
> [!PIEGE]
> $i\neq j$ n'entraîne pas l'orthogonalité : $\langle1,X^2\rangle=\frac23$. La base canonique n'est pas orthogonale, d'où la construction de la partie C.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Cas $j=i$ du calcul précédent.
#### Solution
$\|X^i\|^2=\displaystyle\int_{-1}^1t^{2i}\,dt=\frac2{2i+1}$, donc
$$\|X^i\|=\sqrt{\frac2{2i+1}}.$$
En particulier $\|1\|^2=2$ : ce résultat resservira en partie E.
## Partie B — Autour des coefficients binomiaux
Partie indépendante : une preuve combinatoire de la formule de Vandermonde, puis l'introduction de $B^\lambda_\ell$, qui prolonge $\binom{n}{\ell}$ à un « haut » réel et permettra de dériver des puissances non entières.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Dénombrez de deux façons les parties à $k$ éléments d'un ensemble à $m+p$ éléments.
> [!INDICATION]
> Coupez l'ensemble en un bloc de $m$ éléments et un bloc de $p$ éléments, et classez les parties selon le nombre d'éléments pris dans le second bloc.
#### Solution
Soient $(m,p)\in\mathbb N^2$, $k\in\{0,\dots,m+p\}$, et $\mathcal F=M\sqcup P$ un ensemble à $m+p$ éléments, réunion disjointe de $M$ ($|M|=m$) et $P$ ($|P|=p$). L'ensemble $\mathcal P_k$ des parties de $\mathcal F$ à $k$ éléments a pour cardinal $\binom{m+p}k$.
Pour $j\in\{0,\dots,k\}$, posons $\mathcal A_j=\{A\in\mathcal P_k:\ |A\cap P|=j\}$. Pour $A\in\mathcal P_k$, $0\leqslant|A\cap P|\leqslant k$ : les $\mathcal A_j$ sont deux à deux disjoints et recouvrent $\mathcal P_k$, ils en forment une partition (certains peuvent être vides).
Une partie $A\in\mathcal A_j$ est déterminée par $A\cap P$ (partie de $P$ à $j$ éléments) et $A\cap M$ (partie de $M$ à $k-j$ éléments), choisies indépendamment. Par le principe multiplicatif, $|\mathcal A_j|=\binom pj\binom m{k-j}$, avec la convention $\binom nr=0$ si $r>n$, qui correspond exactement à $\mathcal A_j=\varnothing$. En sommant :
$$\binom{m+p}k=\sum_{j=0}^k\binom m{k-j}\binom pj.$$
> [!METHODE]
> Le double comptage : on compte un même ensemble de deux manières, la seconde en le partitionnant selon un paramètre. Une preuve algébrique (coefficient de $X^k$ dans $(1+X)^m(1+X)^p$) est aussi correcte, mais l'énoncé oriente vers le dénombrement.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Écrivez le produit $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ comme un quotient de factorielles.
#### Solution
Si $k=0$, $B^n_0=1=\binom n0$. Si $1\leqslant k\leqslant n$, le produit $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ compte $k$ facteurs entiers et vaut $\frac{n!}{(n-k)!}$ :
$$B^n_k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\binom nk.$$
**Les deux nombres sont égaux.**
> [!PIEGE]
> Pour $\lambda$ réel non entier, on ne peut pas écrire $B^\lambda_\ell$ avec des factorielles : il faut garder la forme « produit descendant sur $\ell!$ », et ne pas noter $\binom\lambda\ell$ sans précaution.
## Partie C — Une famille de polynômes
On travaille avec une base orthonormale $(P_0,\dots,P_n)$ de $\mathbb R_n[X]$ échelonnée en degré, sans formule explicite. Tout se déduit des deux propriétés (i) et (ii) : degré, orthogonalité à $\mathbb R_{k-1}[X]$, relation à trois termes, puis localisation des racines par un argument de signe.
### I – Premières propriétés des $P_k$
### Question 11
> [!INDICATION]
> La condition (i) enferme $P_k$ dans $\mathbb R_k[X]$. Que se passerait-il si $P_k$ était dans $\mathbb R_{k-1}[X]$ ?
> [!INDICATION]
> Argument de dimension.
#### Solution
Par (i), $P_k\in\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_k)=\mathbb R_k[X]$, donc $\deg P_k\leqslant k$.
Pour $k=0$ : $P_0\neq0$ (il est de norme $1$), donc $\deg P_0=0$.
Pour $k\geqslant1$, supposons $P_k\in\mathbb R_{k-1}[X]$. Par (i) au rang $k-1$, $\mathbb R_{k-1}[X]=\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_{k-1})$ contient alors $P_0,\dots,P_k$, donc $\mathbb R_k[X]=\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_k)\subset\mathbb R_{k-1}[X]$, ce qui contredit $\dim\mathbb R_k[X]=k+1>k=\dim\mathbb R_{k-1}[X]$.
**Donc $\deg P_k=k$ pour tout $k$.**
> [!PIEGE]
> L'énoncé ne décrit pas le procédé de Gram-Schmidt : il en donne deux propriétés, et c'est sur elles seules qu'il faut raisonner.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Réécrivez $\mathrm{Vect}(1,\dots,X^{k-1})$ à l'aide de (i).
#### Solution
Par (i), $\mathrm{Vect}(1,X,\dots,X^{k-1})=\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_{k-1})$. Comme la famille est orthonormale, $\langle P_k,P_j\rangle=0$ pour tout $j\leqslant k-1$ ; par linéarité, $P_k$ est orthogonal à toute combinaison linéaire des $P_j$, $j\leqslant k-1$ :
$$P_k\in\mathrm{Vect}(1,X,\dots,X^{k-1})^\perp.$$
> [!METHODE]
> Être orthogonal à un sous-espace équivaut à être orthogonal à une famille génératrice de ce sous-espace (par bilinéarité).
### Question 13
> [!INDICATION]
> Décomposez $Q$ dans la base orthonormale : ses coordonnées sont des produits scalaires.
> [!INDICATION]
> Le degré de $Q$ élimine les coordonnées d'indice $>k$, l'orthogonalité celles d'indice $<k$.
#### Solution
Comme $\deg Q=k$, on a $Q\in\mathbb R_k[X]=\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_k)$, et, la famille étant orthonormale,
$$Q=\sum_{j=0}^k\langle Q,P_j\rangle P_j.$$
Pour $j\leqslant k-1$, $P_j$ est de degré $j\leqslant k-1$ (Q11), donc appartient à $\mathbb R_{k-1}[X]$, et $\langle Q,P_j\rangle=0$ puisque $Q\perp\mathbb R_{k-1}[X]$. Il reste $Q=\alpha_kP_k$ avec $\alpha_k=\langle Q,P_k\rangle$, non nul car $Q\neq0$.
> [!METHODE]
> C'est une propriété d'unicité : à un scalaire près, il n'existe qu'un polynôme de degré $k$ orthogonal à $\mathbb R_{k-1}[X]$. Elle permettra d'identifier les polynômes de Jacobi normalisés aux $P_k$ (Q28).
### II – Une relation entre $P_{k-1}$, $P_k$ et $P_{k+1}$
### Question 14
> [!INDICATION]
> $P_{k+1}$ et $XP_k$ ont le même degré : choisissez $a_k$ pour faire disparaître le terme de plus haut degré.
#### Solution
Notons $\lambda_j$ le coefficient dominant de $P_j$, non nul par Q11. $P_{k+1}$ et $XP_k$ sont de degré $k+1$, de coefficients dominants $\lambda_{k+1}$ et $\lambda_k$. En posant
$$a_k=\frac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k},$$
le coefficient de $X^{k+1}$ dans $P_{k+1}-a_kXP_k$ vaut $\lambda_{k+1}-a_k\lambda_k=0$, donc $\deg(P_{k+1}-a_kXP_k)\leqslant k$.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Décomposez $R=P_{k+1}-a_kXP_k$ dans la base $(P_0,\dots,P_k)$ et montrez que la plupart des coordonnées sont nulles.
> [!INDICATION]
> Pour ce produit scalaire, la multiplication par $X$ « passe d'un côté à l'autre » : comparez $\langle XA,B\rangle$ et $\langle A,XB\rangle$.
#### Solution
$R=P_{k+1}-a_kXP_k$ est dans $\mathbb R_k[X]=\mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_k)$ par Q14, donc $R=\sum_{j=0}^k\langle R,P_j\rangle P_j$.
Pour tous $A,B\in\mathbb R[X]$ :
$$\langle XA,B\rangle=\int_{-1}^1w(t)\,tA(t)B(t)\,dt=\langle A,XB\rangle.$$
Soit $j\in\{0,\dots,k-2\}$ (il n'y a rien à faire si $k=1$). Alors
$$\langle R,P_j\rangle=\langle P_{k+1},P_j\rangle-a_k\langle XP_k,P_j\rangle=0-a_k\langle P_k,XP_j\rangle=0,$$
car $j\neq k+1$ et $XP_j$, de degré $j+1\leqslant k-1$, est orthogonal à $P_k$ (Q12). Il ne reste que les indices $k-1$ et $k$ ; avec $b_k=\langle R,P_k\rangle$ et $c_k=\langle R,P_{k-1}\rangle$ :
$$P_{k+1}=(a_kX+b_k)P_k+c_kP_{k-1}.$$
> [!METHODE]
> La preuve n'utilise que l'orthogonalité et l'échelonnement des degrés. Elle vaut donc pour toute famille orthogonale (non nécessairement normée) avec $\deg P_j=j$, les coordonnées devenant $\langle R,P_j\rangle/\|P_j\|^2$. C'est ce qui permettra de l'appliquer aux $L_k$ en partie E.
### III – Racines des polynômes $P_k$
### Question 16
> [!INDICATION]
> Combien de racines, comptées avec multiplicité, un polynôme non nul de degré $k$ peut-il avoir ?
#### Solution
$P_k$ est non nul de degré $k$ (Q11) : il admet au plus $k$ racines réelles comptées avec multiplicité, et celles de $]-1,1[$ en font partie. **Donc $m\leqslant k$.**
### Question 17
> [!INDICATION]
> $S$ divise $P_k$. Que dire du quotient sur $]-1,1[$ ?
> [!INDICATION]
> Le quotient n'a pas de racine dans $]-1,1[$ : le théorème des valeurs intermédiaires fixe son signe. Écrivez ensuite $P_kS$ à l'aide de $S^2$.
#### Solution
Si $\mathcal R=\varnothing$, $S=1$ et $P_kS=P_k$, fonction continue qui ne s'annule pas sur l'intervalle $]-1,1[$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle y garde un signe strict constant.
Si $m\geqslant1$ : les racines de $P_k$ dans $]-1,1[$ sont exactement $x_1,\dots,x_m$, répétées selon leur multiplicité, donc $S$ divise $P_k$. Écrivons $P_k=ST$, où $T$ n'a aucune racine dans $]-1,1[$ (chaque racine y a été « consommée » par $S$ à l'ordre exact de sa multiplicité). $T$ est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle $]-1,1[$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle y garde un signe strict constant $\varepsilon\in\{-1,1\}$. Alors
$$P_k(x)S(x)=S(x)^2\,T(x),$$
**donc $P_kS$ est de signe constant sur $]-1,1[$ (celui de $T$), et ne s'y annule qu'en $x_1,\dots,x_m$.**
> [!PIEGE]
> Le signe n'est pas forcément positif : c'est celui de $T$. Et la divisibilité de $P_k$ par $S$ exige que les multiplicités soient respectées, d'où la précision de l'énoncé.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Une fonction continue de signe constant, non identiquement nulle, a une intégrale non nulle. Reprenez l'argument de segment de Q4.
#### Solution
Soit $\varphi=\varepsilon\,w\,P_kS$, continue et positive sur $]-1,1[$, avec $\varepsilon\langle P_k,S\rangle=\int_{-1}^1\varphi$ (intégrale convergente par Q3). Si l'on avait $\langle P_k,S\rangle=0$, l'argument de Q4 (restriction à tout segment $[c,d]\subset]-1,1[$) donnerait $\varphi=0$ sur $]-1,1[$, donc $P_kS=0$ sur $]-1,1[$ puisque $w>0$. Le polynôme $P_kS$ aurait une infinité de racines, donc serait nul, et $S\neq0$ imposerait $P_k=0$ : c'est absurde. **Donc $\langle P_k,S\rangle\neq0$.**
### Question 19
> [!INDICATION]
> Comparez Q18 avec Q12 : quel est le degré de $S$ ?
#### Solution
$S$ est de degré $m$. Si $m\leqslant k-1$, alors $S\in\mathbb R_{k-1}[X]$ et Q12 donne $\langle P_k,S\rangle=0$, contredisant Q18. Donc $m\geqslant k$, et avec Q16 :
$$m=k.$$
**Toutes les racines de $P_k$ sont réelles et appartiennent à $]-1,1[$.**
On peut aller plus loin : ces racines sont simples. Soient $y_1,\dots,y_r$ les racines distinctes de $P_k$ dans $]-1,1[$ de multiplicité impaire, et $U=\prod_{i=1}^r(X-y_i)$ ($U=1$ si $r=0$). Dans $P_kU$, toutes les racines situées dans $]-1,1[$ sont de multiplicité paire, donc $P_kU$ ne change pas de signe sur $]-1,1[$. Le raisonnement de Q18 donne $\langle P_k,U\rangle\neq0$, puis Q12 donne $r\geqslant k$ : $P_k$ a $k$ racines distinctes, toutes simples.
> [!PIEGE]
> Avec le $S$ de l'énoncé, qui compte les multiplicités, on obtient $m=k$ mais pas la simplicité. Pour la simplicité, il faut changer de polynôme auxiliaire.
## Partie D — Polynômes de Jacobi
On construit explicitement des polynômes orthogonaux : on dérive $k$ fois $g_k=(1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k}$ et on divise par le poids. La formule de Leibniz et les coefficients $B^\lambda_\ell$ donnent la forme polynomiale ; des intégrations par parties répétées donnent l'orthogonalité.
### I – Définition
### Question 20
> [!INDICATION]
> Dérivez $g_1$ comme un produit et factorisez par $(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$.
#### Solution
$g_0(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ et $g_1(x)=(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}$, donc $J_0=\dfrac{g_0}{(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}=1$. Puis
$$g_1'(x)=-(\alpha+1)(1-x)^\alpha(1+x)^{\beta+1}+(\beta+1)(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^\beta=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\big[(\beta-\alpha)-(\alpha+\beta+2)x\big].$$
Comme $J_1=-\dfrac{g_1'}{2(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}$ :
$$J_0=1,\qquad J_1=\frac{(\alpha+\beta+2)X+\alpha-\beta}{2}.$$
> [!METHODE]
> Contrôle : pour $\alpha=\beta=0$, on trouve $J_1=X$, qui sera $L_1$ en partie E.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Calculez les premières dérivées, conjecturez, démontrez par récurrence.
> [!INDICATION]
> Le point clé de l'hérédité est la relation entre $B^j_{p+1}$ et $B^j_p$.
#### Solution
Soit $j\in\mathbb R$. Montrons par récurrence sur $p$ que, sur $]-1,1[$,
$$\frac{d^p}{dx^p}(1-x)^j=(-1)^p\,p!\,B^j_p\,(1-x)^{j-p}.$$
Pour $p=0$ : $B^j_0=1$, c'est vrai. Si c'est vrai au rang $p$, en dérivant :
$$\frac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}(1-x)^j=(-1)^p\,p!\,B^j_p\,(j-p)\,(-1)\,(1-x)^{j-p-1}.$$
Or $(p+1)!\,B^j_{p+1}=j(j-1)\cdots(j-p)=p!\,B^j_p\,(j-p)$, y compris pour $p=0$ ($1!\,B^j_1=j$). D'où le rang $p+1$ ; par récurrence, pour tout $p\in\mathbb N$ :
$$\frac{d^{p}}{dx^{p}}(1-x)^j=(-1)^p\,p!\,B^j_p\,(1-x)^{j-p}.$$
Le même calcul sans le signe donne $\dfrac{d^p}{dx^p}(1+x)^j=p!\,B^j_p\,(1+x)^{j-p}$.
### Question 22
> [!INDICATION]
> $g_k$ est un produit de deux facteurs : formule de Leibniz, puis Q21 sur chaque facteur.
> [!INDICATION]
> Simplifiez $\binom pi\,i!\,(p-i)!$ et mettez en facteur le poids. Faites-le pour un ordre $p\leqslant k$ quelconque, cela servira en Q25.
#### Solution
Pour $p\in\{0,\dots,k\}$, la formule de Leibniz et Q21 donnent
$$g_k^{(p)}(x)=\sum_{i=0}^p\binom pi\Big[(-1)^ii!\,B^{\alpha+k}_i(1-x)^{\alpha+k-i}\Big]\Big[(p-i)!\,B^{\beta+k}_{p-i}(1+x)^{\beta+k-p+i}\Big].$$
Avec $\binom pi\,i!\,(p-i)!=p!$ et en mettant en facteur $(1-x)^{\alpha+k-p}(1+x)^{\beta+k-p}$ (les exposants restants $p-i$ et $i$ sont des entiers positifs) :
$$g_k^{(p)}(x)=(1-x)^{\alpha+k-p}(1+x)^{\beta+k-p}\,h_p(x),\qquad h_p(x)=p!\sum_{i=0}^p(-1)^iB^{\alpha+k}_iB^{\beta+k}_{p-i}(1-x)^{p-i}(1+x)^i,$$
où $h_p$ est polynomiale de degré au plus $p$. Pour $p=k$ :
$$g_k^{(k)}(x)=k!\,(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\sum_{i=0}^k(-1)^iB^{\alpha+k}_iB^{\beta+k}_{k-i}(1-x)^{k-i}(1+x)^i.$$
> [!PIEGE]
> Le signe $(-1)^i$ ne porte que sur le facteur $(1-x)^{\alpha+k}$. L'oublier fausse Q23 et Q24.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Reportez dans la définition de $J_k$ : le poids se simplifie.
> [!INDICATION]
> Absorbez le signe dans $(1-x)^{k-i}$, puis changez d'indice pour obtenir exactement la forme demandée.
#### Solution
En reportant Q22 dans la définition de $J_k$, le poids et $k!$ se simplifient :
$$J_k(x)=\frac1{2^k}\sum_{i=0}^k(-1)^{k+i}B^{\alpha+k}_iB^{\beta+k}_{k-i}(1-x)^{k-i}(1+x)^i.$$
Comme $k+i$ et $k-i$ ont même parité, $(-1)^{k+i}(1-x)^{k-i}=\big(-(1-x)\big)^{k-i}=(x-1)^{k-i}$. Le changement d'indice $i\mapsto k-i$ donne
$$J_k(x)=\frac1{2^k}\sum_{i=0}^kB^{k+\alpha}_{k-i}B^{k+\beta}_i(x-1)^i(x+1)^{k-i}.$$
Ce calcul vaut en fait pour tout $k\geqslant0$ : pour $k=1$, il redonne le $J_1$ de Q20.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Chaque terme de la somme est un polynôme de degré $k$ : quel est son coefficient dominant ?
> [!INDICATION]
> Vandermonde généralisée avec $s=k+\alpha$, $t=k+\beta$ ; vérifiez l'hypothèse $k\leqslant s+t$. Pour conclure au degré exact, il faut montrer que le coefficient obtenu n'est pas nul.
#### Solution
Pour chaque $i$, $(x-1)^i(x+1)^{k-i}$ est polynomial, unitaire, de degré $k$. Donc $J_k$ coïncide sur $]-1,1[$ avec un polynôme de degré au plus $k$, dont le coefficient de $X^k$ est
$$\lambda_k=\frac1{2^k}\sum_{i=0}^kB^{k+\alpha}_{k-i}B^{k+\beta}_i.$$
Pour $k\geqslant2$, $s+t=2k+\alpha+\beta>2k-2\geqslant k$ : la formule de Vandermonde généralisée s'applique et
$$\lambda_k=\frac{B^{2k+\alpha+\beta}_k}{2^k}=\frac1{2^k\,k!}\prod_{r=0}^{k-1}(2k+\alpha+\beta-r).$$
Chaque facteur vérifie $2k+\alpha+\beta-r\geqslant k+1+\alpha+\beta>k-1>0$. Donc $\lambda_k>0$ : **$J_k$ est polynomiale de degré exactement $k$, de coefficient dominant $B^{2k+\alpha+\beta}_k/2^k$.** Pour $k=0$ et $k=1$, Q20 donne directement $\lambda_0=1$ et $\lambda_1=\frac{\alpha+\beta+2}2>0$, conformes à la même formule.
> [!PIEGE]
> Majorer le degré par $k$ ne suffit pas : la question demande le degré $k$, donc la non-nullité de $\lambda_k$, qui repose sur $\alpha,\beta>-1$.
### II – Orthogonalité des polynômes de Jacobi
### Question 25
> [!INDICATION]
> Pour la convergence, utilisez la forme factorisée de Q22 : chaque intégrande est « poids de type Q3 × fonction continue sur $[-1,1]$ ».
> [!INDICATION]
> Intégrez par parties sur un segment $[u,v]\subset]-1,1[$, puis passez à la limite. Les termes de bord tendent vers $0$ grâce aux exposants $\alpha+1>0$, $\beta+1>0$. Regardez à part le cas $i=0$.
#### Solution
*Convergence.* Par Q22,
$$x^ig_k^{(k)}(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,x^ih_k(x),\qquad x^{i-1}g_k^{(k-1)}(x)=(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,x^{i-1}h_{k-1}(x).$$
Les fonctions $x^ih_k$ et (pour $i\geqslant1$) $x^{i-1}h_{k-1}$ sont continues sur $[-1,1]$, et les exposants $\alpha,\beta,\alpha+1,\beta+1$ sont $>-1$ : Q3 donne la convergence des deux intégrales.
*Intégration par parties* sur $[u,v]\subset]-1,1[$ (fonctions de classe $\mathcal C^1$) :
$$\int_u^vx^ig_k^{(k)}(x)\,dx=\Big[x^ig_k^{(k-1)}(x)\Big]_u^v-i\int_u^vx^{i-1}g_k^{(k-1)}(x)\,dx.$$
*Termes de bord.* $h_{k-1}$ est bornée sur $[-1,1]$ et
$$|x^ig_k^{(k-1)}(x)|\leqslant\|h_{k-1}\|_\infty(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\xrightarrow[x\to\pm1]{}0,$$
puisque $\alpha+1>0$ et $\beta+1>0$. Les intégrales convergeant, on fait $u\to-1$ et $v\to1$ :
$$\int_{-1}^1x^ig_k^{(k)}(x)\,dx=-i\int_{-1}^1x^{i-1}g_k^{(k-1)}(x)\,dx.$$
*Cas $i=0$.* La seconde intégrale contient $x^{-1}$ et diverge en général (pour $k=1$, l'intégrande est équivalent à $1/x$ en $0$). Le même calcul donne alors $\int_{-1}^1g_k^{(k)}=\big[g_k^{(k-1)}\big]_{-1}^1=0$, ce qui est la seule lecture cohérente de l'identité (le facteur $-i$ est nul).
> [!METHODE]
> Intégration par parties sur un intervalle ouvert : on l'écrit sur un segment, on justifie séparément la convergence des intégrales et la limite des termes de bord, puis on passe à la limite.
> [!JURY]
> Signaler un défaut d'énoncé (ici, le cas $i=0$) et l'interpréter de façon raisonnable est préférable à une démonstration de convergence fausse.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Exprimez $\langle J_k,X^i\rangle$ à l'aide de $\int x^ig_k^{(k)}$ : le poids se simplifie.
> [!INDICATION]
> Le calcul de Q25 marche à tout ordre de dérivation $p\leqslant k$. Itérez-le jusqu'à faire disparaître la puissance de $x$ ; il reste une intégrale de dérivée.
#### Solution
Par définition de $J_k$, $w(t)J_k(t)\,t^i=\dfrac{(-1)^k}{2^kk!}\,t^ig_k^{(k)}(t)$, donc
$$\langle J_k,X^i\rangle=\frac{(-1)^k}{2^kk!}\int_{-1}^1t^ig_k^{(k)}(t)\,dt.$$
*Généralisation de Q25.* Pour $p\in\{1,\dots,k\}$, Q22 donne $g_k^{(p-1)}=(1-x)^{\alpha+k-p+1}(1+x)^{\beta+k-p+1}h_{p-1}$, avec des exposants $\geqslant\alpha+1>0$ et $\geqslant\beta+1>0$. Le raisonnement de Q25 s'applique mot pour mot : pour $j\geqslant1$,
$$\int_{-1}^1x^jg_k^{(p)}(x)\,dx=-j\int_{-1}^1x^{j-1}g_k^{(p-1)}(x)\,dx.$$
*Itération.* En appliquant cette relation $i$ fois, aux ordres $k,k-1,\dots,k-i+1$ (tous $\geqslant1$ car $i\leqslant k-1$) :
$$\int_{-1}^1x^ig_k^{(k)}(x)\,dx=(-1)^i\,i!\int_{-1}^1g_k^{(k-i)}(x)\,dx.$$
*Conclusion.* Comme $k-i\geqslant1$, $g_k^{(k-i-1)}$ est une primitive de $g_k^{(k-i)}$, qui tend vers $0$ en $\pm1$ (exposants $\alpha+i+1>0$ et $\beta+i+1>0$) :
$$\int_{-1}^1g_k^{(k-i)}(x)\,dx=\Big[g_k^{(k-i-1)}\Big]_{-1}^1=0.$$
**Donc $\langle J_k,X^i\rangle=0$ pour tout $i\in\{0,\dots,k-1\}$.**
> [!PIEGE]
> La condition $i\leqslant k-1$ est essentielle : c'est elle qui laisse une dérivée d'ordre $\geqslant1$ à intégrer. Pour $i=k$ le résultat est faux ($\langle J_k,X^k\rangle>0$).
### Question 27
> [!INDICATION]
> « Base » : degrés échelonnés et dimension. « Orthogonale » : décomposez $J_i$ sur les monômes.
#### Solution
Par Q24, les $J_k$ sont non nuls et de degrés $0,1,\dots,n$ deux à deux distincts : la famille $(J_0,\dots,J_n)$ est libre. Elle compte $n+1=\dim E$ vecteurs, c'est donc une base de $E$.
Pour $0\leqslant i<k\leqslant n$, $J_i$ est de degré $i\leqslant k-1$, donc s'écrit $\sum_{r=0}^{k-1}\mu_rX^r$, et par bilinéarité et Q26 :
$$\langle J_k,J_i\rangle=\sum_{r=0}^{k-1}\mu_r\langle J_k,X^r\rangle=0.$$
**$(J_0,\dots,J_n)$ est une base orthogonale de $E$.**
### Question 28
> [!INDICATION]
> Comment rend-on unitaire un vecteur non nul ?
#### Solution
Chaque $J_k$ est non nul, donc $\|J_k\|>0$ (produit scalaire défini). La famille
$$\Big(\frac{J_0}{\|J_0\|},\dots,\frac{J_n}{\|J_n\|}\Big)$$
reste orthogonale et ses vecteurs sont unitaires : **c'est une base orthonormale de $E$**, obtenue en normalisant la base orthogonale de Q27.
Cette base est exactement celle de la partie C : $J_k/\|J_k\|$ est de degré $k$ et orthogonal à $\mathbb R_{k-1}[X]$, donc vaut $\pm P_k$ par Q13 (les deux sont unitaires). Or, en écrivant $X^k=J_k/\lambda_k+(\text{degré}<k)$, Q26 donne $\langle J_k,X^k\rangle=\|J_k\|^2/\lambda_k>0$ : la condition (ii) impose le signe $+$.
## Partie E — Le cas particulier $(\alpha,\beta)=(0,0)$
Pour $\alpha=\beta=0$, $g_k(x)=(1-x^2)^k=(-1)^k(x^2-1)^k$, donc
$$J_k=\frac{(-1)^k}{2^kk!}g_k^{(k)}=\frac1{2^kk!}\big[(X^2-1)^k\big]^{(k)}=L_k.$$
Les $L_k$ sont donc les polynômes de Jacobi eux-mêmes : **orthogonaux mais pas normés** ($\|L_0\|^2=\|1\|^2=2$ par Q8), contrairement à ce qu'affirme le préambule. Les raisonnements de Q14–Q15 restent valables pour eux (ils n'utilisent que l'orthogonalité et les degrés).
### I – Premières propriétés des polynômes $L_k$
### Question 29
> [!INDICATION]
> Développez $(X^2-1)^k$ et dérivez $k$ fois. Contrôlez avec $L_k(1)$.
#### Solution
$L_0=1$ et $L_1=\frac12(X^2-1)'=X$. Puis $(X^2-1)^2=X^4-2X^2+1$, de dérivée seconde $12X^2-4$, et $(X^2-1)^3=X^6-3X^4+3X^2-1$, de dérivée troisième $120X^3-72X$. Avec $2^2\cdot2!=8$ et $2^3\cdot3!=48$ :
$$L_0=1,\qquad L_1=X,\qquad L_2=\frac{3X^2-1}2,\qquad L_3=\frac{5X^3-3X}2.$$
> [!METHODE]
> Contrôles gratuits : $L_k(1)=1$ dans les quatre cas (ce sera Q33), et $L_k$ a la parité de $k$ (Q32).
### Question 30
> [!INDICATION]
> Résolvez, puis vérifiez les trois points de Q19 : racines réelles, dans $]-1,1[$, au nombre de $k$.
#### Solution
$L_1=X$ : racine $0$. $L_2=\frac{3X^2-1}2$ : racines $\pm\frac1{\sqrt3}\approx\pm0{,}577$. $L_3=\frac{X(5X^2-3)}2$ : racines $0$ et $\pm\sqrt{\frac35}\approx\pm0{,}775$.
Dans chaque cas, $L_k$ a $k$ racines réelles, simples, toutes dans $]-1,1[$ : **$m=k$, ce qui confirme Q19.**
### Question 31
> [!INDICATION]
> Seul le monôme de plus haut degré de $(X^2-1)^k$ contribue au coefficient dominant après $k$ dérivations.
#### Solution
$(X^2-1)^k=X^{2k}+(\text{termes de degré}<2k)$. La dérivée $k$-ième de $X^{2k}$ est $2k(2k-1)\cdots(k+1)X^k=\frac{(2k)!}{k!}X^k$, et celle d'un monôme de degré $r<2k$ est de degré $r-k<k$ (ou nulle). Donc $\big[(X^2-1)^k\big]^{(k)}$ est de degré $k$, de coefficient dominant $\frac{(2k)!}{k!}\neq0$ :
$$\deg L_k=k,\qquad\text{coefficient dominant}=\frac{(2k)!}{2^k(k!)^2}=\frac1{2^k}\binom{2k}k.$$
On retrouve $B^{2k}_k/2^k$ de Q24, par Q10.
### Question 32
> [!INDICATION]
> $(X^2-1)^k$ est pair. Que fait la dérivation à la parité ?
#### Solution
Si $Q$ est pair, on montre par récurrence que $Q^{(p)}(-x)=(-1)^pQ^{(p)}(x)$ : en dérivant $Q^{(p)}(-x)=(-1)^pQ^{(p)}(x)$, on obtient $-Q^{(p+1)}(-x)=(-1)^pQ^{(p+1)}(x)$. Avec $Q=(X^2-1)^k$ et $p=k$, puis division par $2^kk!$ :
$$L_k(-X)=(-1)^kL_k(X).$$
**$L_k$ est pair si $k$ est pair, impair si $k$ est impair.**
### Question 33
> [!INDICATION]
> Factorisez $X^2-1$ et appliquez Leibniz ; en $x=1$, presque tous les termes s'annulent.
> [!INDICATION]
> Pour $L_k(-1)$, inutile de recommencer : utilisez Q32.
#### Solution
Par Leibniz,
$$\big[(X-1)^k(X+1)^k\big]^{(k)}=\sum_{i=0}^k\binom ki\big[(X-1)^k\big]^{(i)}\big[(X+1)^k\big]^{(k-i)}.$$
Pour $i\leqslant k-1$, $\big[(X-1)^k\big]^{(i)}=\frac{k!}{(k-i)!}(X-1)^{k-i}$ s'annule en $1$ ; pour $i=k$, il vaut $k!$. En $x=1$, il reste $k!\cdot2^k$, d'où $L_k(1)=1$. Par Q32, $L_k(-1)=(-1)^kL_k(1)$ :
$$L_k(1)=1,\qquad L_k(-1)=(-1)^k.$$
### II – Une équation différentielle vérifiée par les $L_k$
### Question 34
> [!INDICATION]
> Dérivez et reconnaissez $g_k$. Pensez au cas $k=0$.
#### Solution
Pour $k\geqslant1$, $g_k'(x)=-2kx(1-x^2)^{k-1}$, donc $(1-x^2)g_k'(x)=-2kx(1-x^2)^k$. Pour $k=0$, $g_0'=0$. Dans tous les cas :
$$(1-x^2)g_k'(x)=-2kx\,g_k(x).$$
### Question 35
> [!INDICATION]
> Dérivez la relation de Q34 un certain nombre de fois par Leibniz. Combien de fois faut-il dériver pour faire apparaître $g_k^{(k)}$, $g_k^{(k+1)}$ et $g_k^{(k+2)}$ ?
> [!INDICATION]
> Dans chaque Leibniz, un facteur est un polynôme de petit degré : seuls deux ou trois termes subsistent. Reliez enfin $g_k^{(k)}$ à $L_k$.
#### Solution
Notons $u=g_k$, de sorte que $(1-x^2)u'+2kxu=0$ sur $]-1,1[$. Dérivons $k+1$ fois. Comme $(1-x^2)'=-2x$, $(1-x^2)''=-2$ et les dérivées suivantes sont nulles :
$$\big[(1-x^2)u'\big]^{(k+1)}=(1-x^2)u^{(k+2)}-2(k+1)x\,u^{(k+1)}-2\binom{k+1}2u^{(k)},$$
avec $2\binom{k+1}2=k(k+1)$. De même $\big[2kxu\big]^{(k+1)}=2k\big(xu^{(k+1)}+(k+1)u^{(k)}\big)$. En sommant :
$$(1-x^2)u^{(k+2)}-2x\,u^{(k+1)}+k(k+1)u^{(k)}=0.$$
Or $u^{(k)}=g_k^{(k)}=(-1)^k2^kk!\,L_k$ ; en divisant par cette constante non nulle :
$$(1-x^2)L_k''-2xL_k'+k(k+1)L_k=0\quad\text{sur }]-1,1[.$$
> [!METHODE]
> Multiplier par $1-x^2$ en Q34 donne une relation à coefficients polynomiaux, que Leibniz dérive à un ordre quelconque en ne gardant que quelques termes. C'est la technique standard pour obtenir l'équation différentielle d'une famille définie par une formule de Rodrigues.
### III – Une majoration des $L_k$ sur $[-1,1]$
### Question 36
> [!INDICATION]
> Dérivez $f_k$ ; un terme en $L_k''$ apparaît, dont on ne connaît pas le signe.
> [!INDICATION]
> Éliminez $(1-x^2)L_k''$ grâce à l'équation de Q35. Remarquez aussi que $f_k$ n'est pas définie pour toutes les valeurs de $k$.
#### Solution
$f_k$ n'est définie que pour $k\geqslant1$ (dénominateur $k(k+1)$). Pour $x\in[0,1]$ :
$$f_k'(x)=2L_kL_k'+\frac{1}{k(k+1)}\Big(-2xL_k'^2+2(1-x^2)L_k'L_k''\Big)=2L_kL_k'+\frac{2L_k'}{k(k+1)}\Big[(1-x^2)L_k''-xL_k'\Big].$$
L'équation de Q35 est une égalité entre fonctions polynomiales sur $]-1,1[$, donc sur $\mathbb R$ : $(1-x^2)L_k''=2xL_k'-k(k+1)L_k$, d'où $(1-x^2)L_k''-xL_k'=xL_k'-k(k+1)L_k$. En reportant, les termes en $L_kL_k'$ se compensent :
$$f_k'(x)=\frac{2x}{k(k+1)}\,L_k'(x)^2\geqslant0\quad\text{sur }[0,1].$$
**$f_k$ est croissante sur $[0,1]$.**
> [!PIEGE]
> L'équation de Q35 est établie sur $]-1,1[$ ; pour l'utiliser en $x=1$, on invoque le prolongement des identités polynomiales (ou la continuité).
### Question 37
> [!INDICATION]
> Comparez $L_k^2$ et $f_k$ sur $[0,1]$, puis utilisez la croissance et la valeur en $1$.
> [!INDICATION]
> Pour $[-1,0]$, une symétrie suffit.
#### Solution
Pour $k=0$, $L_0=1$ et le résultat est immédiat. Soit $k\geqslant1$ et $x\in[0,1]$. Comme $1-x^2\geqslant0$,
$$L_k(x)^2\leqslant f_k(x)\leqslant f_k(1)=L_k(1)^2+0=1,$$
par Q36 puis Q33 (le facteur $1-x^2$ annule le terme en $L_k'$ en $x=1$). Donc $|L_k(x)|\leqslant1$ sur $[0,1]$. Pour $x\in[-1,0]$, $|L_k(x)|=|L_k(-x)|\leqslant1$ par Q32.
**Ainsi $|L_k(x)|\leqslant1$ pour tout $x\in[-1,1]$.**
> [!METHODE]
> Fonction auxiliaire « énergie » : $f_k$ combine $L_k^2$ et $L_k'^2$ de sorte que l'équation différentielle rende sa dérivée de signe connu. On majore alors $L_k^2$ par la valeur de $f_k$ en un point où elle est connue.
### IV – Relation entre $L_{k-1}$, $L_k$ et $L_{k+1}$
### Question 38
> [!INDICATION]
> Dans Q14, $a_k$ est un quotient de coefficients dominants ; ceux des $L_k$ sont connus par Q31.
#### Solution
La relation de Q14 vaut pour la famille orthogonale échelonnée $(L_j)$ (voir le préambule de la partie E), avec $a_k$ égal au quotient des coefficients dominants de $L_{k+1}$ et $L_k$ :
$$a_k=\frac{(2k+2)!}{2^{k+1}((k+1)!)^2}\cdot\frac{2^k(k!)^2}{(2k)!}=\frac{(2k+2)(2k+1)}{2}\cdot\frac1{(k+1)^2}=\frac{2k+1}{k+1}.$$
> [!PIEGE]
> Si l'on prenait l'énoncé au pied de la lettre (polynômes orthonormés $P_k=\sqrt{\frac{2k+1}2}L_k$), on obtiendrait un autre $a_k$. Seule la lecture « $a_k$ relatif aux $L_k$ » est cohérente avec Q39.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Partez de la relation à trois termes de Q15 avec le $a_k$ de Q38. Il reste deux constantes.
> [!INDICATION]
> Une parité élimine $b_k$ ; une valeur particulière connue des $L_j$ donne $c_k$.
#### Solution
Par Q15 (valable pour la famille orthogonale $(L_j)$), il existe $(b_k,c_k)$ tels que
$$L_{k+1}=(a_kX+b_k)L_k+c_kL_{k-1},\qquad a_k=\frac{2k+1}{k+1}.$$
*Calcul de $b_k$.* Par Q32, $L_{k+1}$, $XL_k$ et $L_{k-1}$ ont la parité de $k+1$. Donc $b_kL_k=L_{k+1}-a_kXL_k-c_kL_{k-1}$ a la parité de $k+1$, tout en ayant celle de $k$ : un polynôme à la fois pair et impair est nul, et $L_k\neq0$, donc $b_k=0$.
*Calcul de $c_k$.* En $x=1$, Q33 donne $1=a_k+c_k$, donc $c_k=1-\frac{2k+1}{k+1}=-\frac k{k+1}$.
$$L_{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}XL_k-\frac k{k+1}L_{k-1}.$$
Vérification pour $k=1$ : $\frac32X^2-\frac12=L_2$.
> [!METHODE]
> Pour identifier des constantes dans une relation polynomiale, parité et valeurs particulières sont souvent plus rapides qu'un calcul de produits scalaires.
### V – Un développement en série entière faisant intervenir les $L_k$
### Question 40
> [!INDICATION]
> Utilisez la majoration de Q37 et la définition du rayon de convergence.
#### Solution
Fixons $x\in[-1,1]$. Par Q37 (étendue à tout $k\in\mathbb N$ comme l'énoncé l'autorise), $|L_k(x)|\leqslant1$. Pour $r\in[0,1[$, $|L_k(x)r^k|\leqslant1$ : la suite $(L_k(x)r^k)$ est bornée, donc le rayon $R_x$ vérifie $R_x\geqslant r$. Ceci valant pour tout $r<1$ :
$$R_x\geqslant1.$$
En particulier $S(t)$ est bien définie pour $t\in]-1,1[$.
> [!PIEGE]
> On demande une minoration du rayon, pas sa valeur. Ne pas affirmer $R_x=1$ sans preuve.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Dérivez $S$ terme à terme et écrivez $S'(t)=\sum(k+1)L_{k+1}(x)t^k$.
> [!INDICATION]
> Injectez la relation de Q39 écrite sous la forme $(k+1)L_{k+1}=\dots$ ; vérifiez qu'elle vaut aussi pour $k=0$. Exprimez chaque somme obtenue avec $S$ et $S'$ par décalage d'indice.
#### Solution
Le rayon étant $\geqslant1$, $S$ est dérivable sur $]-1,1[$ et
$$S'(t)=\sum_{k\geqslant1}kL_k(x)t^{k-1}=\sum_{k\geqslant0}(k+1)L_{k+1}(x)t^k.$$
La relation $(k+1)L_{k+1}=(2k+1)xL_k-kL_{k-1}$ vaut pour $k\geqslant1$ (Q39) et pour $k=0$ ($L_1=xL_0$, le terme $kL_{k-1}$ étant nul). Toutes les séries ci-dessous ont un rayon $\geqslant1$ (multiplier les coefficients par $k$ ne change pas le rayon), on peut donc séparer :
$$S'(t)=2x\sum_{k\geqslant0}kL_kt^k+x\sum_{k\geqslant0}L_kt^k-\sum_{k\geqslant1}kL_{k-1}t^k.$$
Or $\sum_{k\geqslant0}kL_kt^k=tS'(t)$ et, avec $j=k-1$,
$$\sum_{k\geqslant1}kL_{k-1}t^k=\sum_{j\geqslant0}(j+1)L_jt^{j+1}=t\big(tS'(t)+S(t)\big).$$
D'où $S'=2xtS'+xS-t^2S'-tS$, c'est-à-dire
$$(1-2tx+t^2)S'(t)+(t-x)S(t)=0.$$
> [!METHODE]
> Contrôle sur le terme constant : en $t=0$, on trouve $S'(0)=xS(0)$, c'est-à-dire $L_1(x)=x$.
### Question 42
> [!INDICATION]
> C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Vérifiez d'abord que $1-2tx+t^2$ ne s'annule pas sur $]-1,1[$.
> [!INDICATION]
> Plutôt que de diviser par $S$, étudiez le produit de $S$ par une fonction bien choisie, dont la dérivée est nulle. La constante se trouve en $t=0$.
#### Solution
Posons $\varphi(t)=1-2tx+t^2=(t-x)^2+(1-x^2)$. Si $|x|<1$, $\varphi(t)\geqslant1-x^2>0$. Si $x=\pm1$, $\varphi(t)=(t\mp1)^2>0$ pour $t\in]-1,1[$. Donc $\varphi>0$ sur $]-1,1[$, et $\varphi'(t)=2(t-x)$.
Soit $H=S\sqrt\varphi$, dérivable sur $]-1,1[$ :
$$H'(t)=S'(t)\sqrt{\varphi(t)}+S(t)\frac{\varphi'(t)}{2\sqrt{\varphi(t)}}=\frac{\varphi(t)S'(t)+(t-x)S(t)}{\sqrt{\varphi(t)}}=0$$
par Q41. $H$ est donc constante sur l'intervalle $]-1,1[$, égale à $H(0)=S(0)\sqrt{\varphi(0)}=L_0(x)=1$. Ainsi
$$\forall t\in]-1,1[,\qquad\sum_{k=0}^{+\infty}L_k(x)t^k=\frac1{\sqrt{1-2tx+t^2}}.$$
> [!METHODE]
> Pour $y'=a(t)y$, multiplier par $e^{-A(t)}$ (ici $\sqrt\varphi$) et montrer que le produit est constant évite toute division par la fonction inconnue.
> [!PIEGE]
> Les cas $x=\pm1$ sont ceux où le trinôme peut s'annuler ; il s'annule en $t=\pm1$, hors de l'intervalle ouvert. Il faut le dire. Contrôle : pour $x=1$, on retrouve $\sum t^k=\frac1{1-t}$, cohérent avec $L_k(1)=1$.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Intégrabilité d'un poids singulier aux bornes : couper l'intervalle, borner le facteur continu sur un segment, comparer à une intégrale de Riemann (Q3).
- Caractère défini d'un produit scalaire intégral sur un intervalle ouvert : se ramener à des segments intérieurs (Q4, Q18).
- Polynômes orthogonaux échelonnés : orthogonalité à $\mathbb R_{k-1}[X]$, unicité à un scalaire près, relation à trois termes grâce à $\langle XA,B\rangle=\langle A,XB\rangle$ (Q12–Q15).
- Racines dans l'intervalle d'orthogonalité : argument de signe avec le polynôme auxiliaire $S$ (Q17–Q19).
- Formule de Leibniz quand un facteur est polynomial de petit degré : la somme se réduit à deux ou trois termes (Q33, Q35).
- Intégrations par parties répétées sur un intervalle ouvert, avec annulation des termes de bord (Q25–Q26).
- Utiliser une équation différentielle pour éliminer une dérivée seconde (Q36) ou pour identifier la somme d'une série entière (Q41–Q42).
**Prérequis à revoir.** Critère de Riemann ; théorème de changement de variable pour les intégrales impropres ; multiplicité des racines et divisibilité ; dérivation terme à terme des séries entières ; résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1.
**Questions classiques transposables.** La démonstration que les racines d'un polynôme orthogonal sont réelles, simples et dans l'intervalle (Q16–Q19) vaut pour tout poids positif ; la récurrence à trois termes (Q14–Q15) et la formule de Rodrigues avec orthogonalité par intégrations par parties (Q25–Q26) se retrouvent pour les polynômes de Tchebychev, de Laguerre ou d'Hermite ; la fonction génératrice des polynômes de Legendre (Q42) est un exemple type d'identification d'une série entière par une équation différentielle.
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