Physique-chimie 1

# Physique-chimie 1

Concours Centrale-Supélec — filière PSI — session 2026

4 heures. Calculatrice autorisée.

## Transferts, mesures et stockage d'énergie électrique

Le problème comporte 4 parties indépendantes. Le formulaire et les données sont regroupés en fin d'énoncé. Un document réponse est à rendre avec la copie.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Elles sont repérées par un soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

La transmission et la conversion d'énergie sont des domaines de recherche important, dont les applications sont nombreuses : recharges de batteries de véhicules électriques, d'électronique portable, implants médicaux, etc. Nous allons ici décrire des moyens de conversion d'énergie électrique entre deux systèmes et des moyens de mesure de la puissance transférée.

*On utilise la notation complexe pour les grandeurs sinusoïdales : $u(t) = U_0\cos(\omega t + \varphi)$ a pour image complexe $\underline{u}(t) = \underline{U}\exp(j\omega t)$ où $j^2 = -1$ et $\underline{U} = U_0\exp(j\varphi)$ est l'amplitude complexe ; $U_0 = |\underline{U}|$ est le module de $\underline{U}$ et $\varphi = \arg(\underline{U})$ son argument. Le complexe conjugué de $\underline{U}$ est noté $\underline{U}^*$ : $\underline{U}^* = U_0\exp(-j\varphi)$. La valeur efficace est notée $U_{0,\mathrm{eff}}$ telle que $U_0 = \sqrt{2}\,U_{0,\mathrm{eff}}$.*

*On pourra utiliser la propriété suivante : pour $x \geqslant 0$, $a > 0$ et $k > -1$, la fonction*

$$f(x) = \frac{x}{x^2 + 2kax + a^2}$$

*est positive et présente un maximum en $x = a$.*

## Partie A – Transfert filaire

### I – Adaptation d'impédance

Un générateur électrique de force électromotrice (f.e.m.) constante $e_0$ et de résistance interne $r_i$ alimente un circuit récepteur d'impédance d'entrée équivalente à une résistance de valeur $r_e$ (figure 1a).

**Figure 1** — Sources - Récepteurs

(a) Générateur continu. Générateur : source $e_0$ en série avec $r_i$. Récepteur : résistance $r_e$.

(b) Générateur sinusoïdal. Générateur : source $e(t)$ en série avec $\underline{Z}_i$, intensité $\underline{i}$. Récepteur : tension $\underline{u}_e$ aux bornes de $\underline{Z}_e$.

**Q1.** Établir l'expression de la puissance $P_g$ fournie par le générateur au récepteur en fonction de $e_0$, $r_i$ et $r_e$. Pour quelle valeur de $r_e$ cette puissance est-elle maximale, $r_i$ et $e$ étant fixés ? Donner dans ce cas l'expression de la puissance maximale $P_{g,\max}$ en fonction de $e_0$ et de $r_i$.

On se place à présent en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$. La f.e.m. du générateur sinusoïdal s'écrit $e(t) = \sqrt{2}\,E_{0,\mathrm{eff}}\cos(\omega t)$ et son impédance interne est le complexe $\underline{Z}_i = Z_i\exp(j\varphi_i)$. Le récepteur présente une impédance d'entrée complexe $\underline{Z}_e = Z_e\exp(j\varphi_e)$ (figure 1b).

**Q2.** Donner les expressions de la tension complexe $\underline{u}_e$ aux bornes d'entrée du récepteur et de l'intensité $\underline{i}_e$ qui le traverse en fonction de $\underline{e}$, $\underline{Z}_i$ et $\underline{Z}_e$.

**Q3.** Quelle est l'expression de la puissance moyenne $P_a$ consommée par le récepteur en fonction de $Z_e$, $\varphi_e$ et $I_{e,\mathrm{eff}}$ puis en fonction de $E_{0,\mathrm{eff}}$, $Z_e$, $Z_i$, $\varphi_e$ et $\varphi_i$ ?

**Q4.** En admettant que $\varphi_i = -\varphi_e$, déterminer, en fonction de $Z_i$, la valeur de $Z_e$ qui rend la puissance moyenne $P_a$ maximale. Donner l'expression de cette puissance maximale $P_{a,\max}$. Pour cette valeur $P_{a,\max}$ de $P_a$, donner la puissance dissipée $P_{\mathrm{diss}}$ dans l'impédance interne du générateur. Commenter.

Dans les conditions de la question précédente, on dit qu'il y a « adaptation d'impédance ».

**Q5.** On désire alimenter de manière optimale un haut-parleur modélisé par une résistance $r_e = 6\,\Omega$ en série avec une bobine d'inductance $\ell_e = 0{,}5\,\mathrm{mH}$, sous une fréquence $f = 1\,\mathrm{kHz}$. Quel serait l'association de dipôles formant $\underline{Z}_i$ respectant l'adaptation d'impédance ? On précisera la nature et la valeur associées aux dipôles.

### II – Transfert résonnant

Un récepteur est formé d'une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ alimenté par un générateur de f.e.m. $e(t)$ et d'impédance interne nulle. Le générateur et le récepteur sont reliés par l'intermédiaire d'une bobine d'inductance $L$ (figure 2). La f.e.m. est sinusoïdale de pulsation $\omega$ et d'amplitude $E_0 = \sqrt{2}\,E_{0,\mathrm{eff}}$ : $e(t) = \sqrt{2}\,E_{0,\mathrm{eff}}\cos(\omega t)$.

**Figure 2** — Récepteur $RC$.

Générateur : source $e(t)$. Bobine $L$ en série. Récepteur : condensateur $C$ en parallèle avec la résistance $R$, tension $u_s$ aux bornes de ce parallèle.

**Q6.** Y a-t-il adaptation d'impédance entre le générateur et le récepteur du montage de la figure 2 ?

**Q7.** La tension $u_s$ est la tension aux bornes de la résistance $R$ de la figure 2. Établir l'expression de la fonction de transfert $\underline{H} = \dfrac{\underline{u}_s}{\underline{e}}$. On écrira la fonction de transfert sous la forme :

$$\underline{H} = \frac{\underline{H}_0}{1 + j\dfrac{\omega}{Q\omega_0} - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}}$$

et on donnera les expressions de $H_0$, $Q$ et $\omega_0$ en fonction de $R$, $L$ et $C$.

On s'intéresse au transfert de puissance entre la source de tension $e(t)$ et le récepteur formé de la résistance $R$ et de la capacité $C$.

**Q8.** Quel dipôle du récepteur consomme de la puissance ? En déduire l'expression de la puissance moyenne $P_a$ consommée par le récepteur en fonction de $U_{s,\mathrm{eff}}$ et d'un des paramètres du récepteur. Montrer que la dépendance en fréquence de la puissance consommée est donnée par :

$$P_a = \frac{P_{a,0}}{\left(1 - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^2 + \dfrac{\omega^2}{Q^2\omega_0^2}}.$$

Exprimer $P_{a,0}$ en fonction de $E_{0,\mathrm{eff}}$ et d'autre(s) paramètre(s).

**Figure 3** — Puissance consommée en fonction de la pulsation, en coordonnées réduites $x = \dfrac{\omega}{\omega_0}$ et $y = \dfrac{P_a}{P_{a,0}}$. Le graphe de droite est un agrandissement du graphe de gauche au voisinage de l'abscisse $x = 1$.

Graphe de gauche. Axes $x$ et $y$. Graduations de $x$ : $0{,}5$ ; $1$ ; $1{,}5$ ; $2$. Graduations de $y$ : $0$ ; $5$ ; $10$ ; $15$. Une courbe est tracée.

Graphe de droite. Axes $x$ et $y$. Graduations de $x$ : $0{,}92$ ; $0{,}94$ ; $0{,}96$ ; $0{,}98$ ; $1$ ; $1{,}02$ ; $1{,}04$. Graduations de $y$ : $13$ ; $14$ ; $15$ ; $16$. Une courbe est tracée.

**Q9.** On a représenté figure 3, en coordonnées réduites, la puissance moyenne consommée par le récepteur. Pour quelle valeur de $Q$ est-elle tracée ? Évaluer l'écart relatif $\dfrac{\delta\omega}{\omega_0}$ entre la pulsation du maximum de puissance moyenne et $\omega_0$. Comment cet écart dépend-il de $Q$ ? Justifier.

**Q10.** On se place dans les conditions de la figure 3. Quelle inductance $L$ faut-il utiliser pour que le transfert de puissance soit maximal à la fréquence $f_0 = 200\,\mathrm{kHz}$ si $C = 20\,\mathrm{pF}$ ? Avec ces valeurs, on veut transférer une puissance $P_{a,\max} = 1\,\mathrm{kW}$ pour $E_{0,\mathrm{eff}} = 100\,\mathrm{V}$. Quelle valeur de la résistance $R$ doit-on utiliser ? Quel écart de fréquence est acceptable si la puissance ne s'écarte pas de plus de $10\,\%$ de la valeur maximale ? Commenter, sachant que la capacité $C$ est susceptible de grandes variations. Quelle solution proposeriez-vous ?

## Partie B – Transfert d'énergie sans contact

### I – Couplage capacitif

On désire recharger une batterie d'un véhicule électrique sans contact direct, c'est-à-dire sans fil entre le générateur et le récepteur formé du circuit de la batterie (figure 4a). Le générateur est fixé dans la chaussée tandis que le récepteur est lié au véhicule. Pour coupler les deux circuits, chacun est lié à un conducteur formant une armature d'un condensateur. Soient $C_{m,1}$ et $C_{m,2}$ les capacités de ces condensateurs, dits de couplage. Ils sont formés d'armatures carrées parallèles de côtés $\ell$. On note $d$ la distance entre les armatures (figure 4b). Le milieu inter-armatures est de l'air.

Sur la figure 5 sont représentées, en coupe, des équipotentielles d'un condensateur plan dont les armatures sont placées respectivement à $V_0 = 100\,\mathrm{V}$ et $-V_0 = -100\,\mathrm{V}$. Ces équipotentielles sont calculées par résolution numérique de l'équation de Laplace.

**Q11.** Représenter, sur le document réponse qui reproduit la figure 5, le champ électrique $\vec{E}$ aux points $A$, $B$ et $C$. Tracer et orienter les lignes de champ passant par ces points. Évaluer numériquement la norme du champ électrique en $A$ et en $C$.

**Q12.** Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électrique $u_E$ en fonction du champ électrique $\vec{E}$ et de la permittivité du vide $\varepsilon_0$. En admettant que le champ électrique est uniforme et localisé uniquement entre les armatures, déduire de l'expression de l'énergie emmagasinée $U_E$ dans un condensateur l'expression de sa capacité $C_0$ en fonction de $d$, $\ell$ et de $\varepsilon_0$. Calculer $C_0$.

**Figure 4** — Couplage capacitif sans contact

(a) Circuits couplés. Véhicule au-dessus du sol. Dans le véhicule : circuit de la batterie, relié à $C_{m,1}$ et $C_{m,2}$. Dans le sol : générateur, relié aux mêmes capacités.

(b) Armatures de la capacité de couplage $C_{m,1}$ (ou $C_{m,2}$). Deux plaques carrées parallèles, écartement $d$, côté $\ell$.

**Figure 5** — Topographie des équipotentielles entre les armatures d'un condensateur plan pour $d = 11\,\mathrm{cm}$ et $\ell = 48\,\mathrm{cm}$. *En trait plein les équipotentielles positives, en pointillés les équipotentielles négatives. Deux équipotentielles voisines sont séparées de $10\,\mathrm{V}$.*

Axes $x\,(\mathrm{cm})$ et $y\,(\mathrm{cm})$. Graduations de $x$ : $-30$ ; $-20$ ; $-10$ ; $0$ ; $10$ ; $20$ ; $30$. Graduations de $y$ : $-20$ ; $-10$ ; $0$ ; $10$ ; $20$. Équipotentielles en pointillés dans la partie supérieure, légendées $-80\,\mathrm{V}$ et $-90\,\mathrm{V}$. Équipotentielles en trait plein dans la partie inférieure, légendées $+90\,\mathrm{V}$ et $+80\,\mathrm{V}$. Points marqués $A$, $B$ et $C$.

**Q13.** Quand les effets de bord ne sont pas négligeables, la capacité $C_{\mathrm{réel}}$ du condensateur s'écarte de $C_0$. En se fondant par exemple sur la figure 5, justifier sommairement que $C_{\mathrm{réel}} > C_0$.

On peut décrire $C_{\mathrm{réel}}$ par la loi suivante :

$$C_{\mathrm{réel}} = C_0\left(1 + \kappa\left(\frac{d}{\ell}\right)^\beta\right).$$

Le graphe de la figure 6 est tracé pour dix mesures de $d$ et $C_{\mathrm{réel}}$. On pose $x = \ln\dfrac{d}{\ell}$ et $y = \ln\dfrac{C_{\mathrm{réel}} - C_0}{C_0}$. On dispose donc de deux listes de dix valeurs $[x_0, x_1, \ldots, x_9]$ et $[y_0, y_1, \ldots, y_9]$.

**Figure 6** — $y = \ln\dfrac{C_{\mathrm{réel}} - C_0}{C_0}$ en fonction de $x = \ln\dfrac{d}{\ell}$. On a représenté la droite de régression d'équation $y = 0{,}927\,x + 0{,}819$.

Axes $x$ et $y$. Graduations de $x$ : $-3$ ; $-2{,}5$ ; $-2$ ; $-1{,}5$ ; $-1$ ; $-0{,}5$ ; $0$. Graduations de $y$ : $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$. Points expérimentaux marqués par des croix et droite de régression.

**Q14.** À l'aide de ce graphe, évaluer les constantes $\kappa$ et $\beta$. Calculer $C_{\mathrm{réel}}$ pour le condensateur de la figure 5.

Les incertitudes-types des valeurs $y_i$, $i \in \{0, \ldots, 9\}$ sont toutes de valeur $u_y = 0{,}05$. Les incertitudes-types des valeurs $x_i$ sont négligeables. On veut en déduire les incertitudes-types des paramètres $\kappa$ et $\beta$ par la méthode de Monte-Carlo pour $N = 10000$ tirages. Le code Python partiel est donné ci-dessous.

```text
 1 import numpy as np
 2
 3 ## Mesures
 4 x=np.array([-2.3, -1.61, -1.2, -0.92, -0.69, -0.51, -0.36, -0.22, -0.11, 0.0])
 5 y=np.array([-1.2, -0.61, -0.23, 0.02, 0.2, 0.34, 0.48, 0.59, 0.73, 0.77])
 6
 7 ## Incertitude-type
 8 u_y=0.05
 9
10 ## Nombre de tirages aleatoires
11 N=10000
12
13 ## Initialisation des listes des pentes et ordonnées à l'origine
14 a,b=[],[]
15
16 ## Tirages aléatoires
17 for i in range(N):
18     Y_i=[]
19     for j in range(...):
20         Y_i.append(...)
21     a_i,b_i=...
22     a.append(a_i)
23     b.append(b_i)
24
25 ## Moyennes et écart-types des régressions linéaires
26 a_m,u_a=np.average(a),np.std(a,ddof=1)
27 b_m,u_b=np.average(b),np.std(b,ddof=1)
28
29 ## kappa et u_kappa
30 kappa=np.exp(b_m)
31 u_kappa=kappa*u_b
32
33 ## Affichage
34 print('kappa=',kappa,'u_kappa=',u_kappa)
35 print('beta=',a_m,'u_beta=',u_a)
```

**Q15.** Compléter les lignes 19 à 21 en utilisant les informations figurant dans les données, en fin de sujet. Justifier les lignes 30 et 31 donnant la moyenne et l'écart-type du paramètre $\kappa$.

### II – Couplage magnétique

Le transfert d'énergie peut être réalisé par couplage magnétique, c'est-à-dire par inductance mutuelle. De nombreux dispositifs de rechargement sans fil utilisent cette technologie, que ce soit pour recharger des batteries d'objets mobiles ou plus particulièrement quand il faut éviter tout contact électrique, en milieu humide notamment, dans le cas de brosses à dents électriques par exemple.

Le générateur et la batterie à recharger sont couplés par deux bobines, la bobine primaire du côté du générateur et la bobine secondaire du côté de la batterie. On note respectivement $L_1$ et $L_2$ les inductances propres des bobines primaire et secondaire et $M$ l'inductance mutuelle entre ces bobines (figure 7). On suppose que le coefficient de couplage est positif avec les orientations choisies. Le coefficient de couplage est $\eta = \dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$. On prendra $L_1 = 50\,\mu\mathrm{H}$, $L_2 = 30\,\mu\mathrm{H}$ et $\eta = 0{,}7$, sous une fréquence $f = 120\,\mathrm{kHz}$. Le générateur délivre la tension efficace $U_{e,\mathrm{eff}} = 9\,\mathrm{V}$.

**Figure 7** — Couplage magnétique.

Générateur : tension $\underline{u}_e$, intensité $\underline{i}_e$, condensateur $C_1$, bobine $L_1$. Couplage $M$ vers la bobine $L_2$, condensateur $C_2$, intensité $\underline{i}_s$, tension $\underline{u}_s$, circuit de la batterie.

**Q16.** Établir deux relations entre les grandeurs $\underline{u}_e$, $\underline{u}_s$, $\underline{i}_e$, $\underline{i}_s$, $L_1$, $L_2$, $C_1$, $C_2$, $M$ et $\omega$, traduisant le couplage magnétique entre les deux circuits. Les capacités $C_1$ et $C_2$ sont choisies de telle sorte que $L_1 C_1\omega^2 = L_2 C_2\omega^2 = 1$ (cas idéal). En déduire une simplification des relations précédentes. Quel est le rôle des condensateurs ? Calculer $C_1$.

On considère que le circuit de la batterie est équivalent à une résistance $R = 10\,\Omega$.

**Q17.** Représenter, dans un diagramme de Fresnel où l'intensité $\underline{i}_e$ forme la référence des phases, les quatre grandeurs $\underline{i}_e$, $\underline{u}_e$, $\underline{u}_s$ et $\underline{i}_s$ dans le cas des relations simplifiées de la question précédente. Quelle est la puissance $P$ transférée à la batterie ?

<u>**Q18.**</u> On a pris $C_1 = 40\,\mathrm{nF}$. Comment est modifié le diagramme de Fresnel précédent ? Si $U_{e,\mathrm{eff}}$ est fixée à la même valeur que dans le cas idéal, évaluer la variation de puissance transférée.

## Partie C – Mesures de puissances

La mesure de puissances électriques nécessite d'effectuer une opération non linéaire sur l'intensité $i$ et la tension $u$, le produit $u \times i$ de ces deux grandeurs. Nous allons étudier différentes méthodes utilisées pour réaliser cette multiplication.

### I – Multiplicateur à effet Hall

Une plaquette constituée d'un semi-conducteur, l'arséniure d'indium $\mathrm{InAs}$, a la forme d'un parallélépipède de dimensions $a \times b \times c$. L'arséniure d'indium est un conducteur électrique mais n'a pas de propriétés magnétiques particulières, sa perméabilité magnétique relative est $\mu_r(\mathrm{InAs}) = 1$. On donne $a = 5\,\mathrm{mm}$, $b = 3\,\mathrm{mm}$ et $c = 0{,}5\,\mathrm{mm}$.

La plaquette est placée dans un champ magnétique $\vec{B}_0$ uniforme et constant orienté selon l'axe $Oz$ (figure 8). On applique entre deux de ses faces une tension $u$ créant une intensité $I$ qui traverse la plaquette. On néglige le champ magnétique créé par le courant circulant dans la plaquette. Le semi-conducteur possède des porteurs de charge libres, de deux variétés différentes, indicées par $i = \{1, 2\}$, de masse $m_i$, de charge $q_i$ et de densité volumique $n_i$. Soit $\vec{E}$ le champ électrique régnant dans la plaquette. Lorsqu'il se déplace, un porteur de charge subit, en plus de la force de Lorentz, une force moyenne $\vec{f}_i = -\lambda_i\vec{v}_i$ exercée par les charges environnantes, où $\vec{v}_i$ est la vitesse du porteur de charge libre et $\lambda_i$ une constante.

**Figure 8** — Plaquette de semi-conducteur

Repère $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$, $\vec{e}_z$. Parallélépipède de dimensions $a$, $b$, $c$. Champ $\vec{B}_0$. Points $C$ et $D$, tension $U_H$. Tension $u$ et intensité $I$.

**Q19.** Exprimer la force de Lorentz $\vec{f}_{L,i}$ subie par un porteur de charge libre de variété $i$. En admettant un régime de déplacement stationnaire, exprimer la vitesse $\vec{v}_{i,s}$ du porteur de charge sous la forme

$$\vec{v}_{i,s} = \mu_i\left(\vec{E} + \vec{v}_{i,s} \wedge \vec{B}_0\right)$$

où $\mu_i$ est la mobilité du porteur. Donner la mobilité $\mu_i$ en fonction de $q_i$ et $\lambda_i$.

Dans l'arséniure d'indium, les porteurs de charge principaux sont les électrons libres, de charge $-e$, de mobilité $\mu_e$, de densité volumique $n_e$. On négligera par la suite toutes les autres variétés de porteurs de charge.

**Q20.** Montrer que l'on peut écrire

$$\vec{j} = \gamma\left(\vec{E} + K_H\,\vec{j} \wedge \vec{B}_0\right)$$

et exprimer $\gamma$ et $K_H$ en fonction des paramètres relatifs à l'arséniure d'indium, parmi $e$, $\mu_e$ et $n_e$.

On pose $\vec{E} = E_x\vec{e}_x + E_y\vec{e}_y$ et $\vec{j} = j_x\vec{e}_x$. Soit $I$ l'intensité électrique traversant la plaquette selon l'axe $x$. La densité de courant $\vec{j} = j_x\vec{e}_x$ est supposée uniforme et constante dans la plaquette.

**Q21.** Pour l'arséniure d'indium, $|K_H| = 9{,}98 \times 10^{-5}\,\mathrm{m^3 C^{-1}}$. En déduire la densité de porteurs $n_e$ et la conductivité $\gamma$. Comparer cette valeur à celle d'un métal usuel. Pourquoi utilise-t-on un semi-conducteur plutôt qu'un métal ?

**Q22.** Montrer que $E_y = K_H B_0 j_x$. En déduire l'expression de la différence de potentiel $U_H = V(D) - V(C)$, dite tension de Hall, en fonction de $K_H$, $B_0$ et $I$ et de paramètres géométriques. En déduire la relation

$$U_H = A_H B_0 u$$

et exprimer la constante $A_H$ en fonction de $K_H$, $\gamma$ et de constantes géométriques.

La plaquette est insérée dans l'entrefer d'épaisseur $\ell_e = 2\,\mathrm{mm}$ d'un tore ferromagnétique doux, de perméabilité magnétique relative $\mu_r = 10^5$, de périmètre moyen $l = 50\,\mathrm{mm}$, de section rectangulaire $h \times h'$, telle que $l \gg \ell_e$, $l \gg h$ et $l \gg h'$. Le tore enlace un fil conducteur rectiligne parcouru par un courant d'intensité $i$ (figure 9). Le champ magnétique traversant l'entrefer et dans lequel est plongée la plaquette est considéré uniforme.

**Figure 9** — Mesure de $u \times i$. *L'entrefer a été agrandi pour des raisons de clarté.*

Tore de périmètre moyen $l$, section repérée par $h$ et $h'$, entrefer $\ell_e$. Fil central parcouru par $i$. Plaquette dans l'entrefer, points $D$ et $C$, tension $u$.

<u>**Q23.**</u> Montrer que la mesure de la tension $U_H = V_D - V_C$ permet d'obtenir une valeur proportionnelle au produit $u \times i$. Évaluer la constante de proportionnalité notée $\alpha$. On peut aussi accéder expérimentalement à cette valeur. Décrire un protocole expérimental qui permettrait de mesurer $\alpha$.

### II – Le cristal

L'arséniure d'indium cristallise dans une configuration où les ions indium $\mathrm{In}^{3+}$ forment un réseau cubique à faces centrées (cfc) tandis que les ions arséniure $\mathrm{As}^{3-}$ occupent la moitié des sites tétraédriques de la structure cfc.

**Figure 10** — Représentation de la maille de l'arséniure d'indium. *Par souci de clarté, seuls les ions $\mathrm{In}^{3+}$ visibles sont représentés.*

Maille cubique de paramètre $a$. Sphères grises : ion $\mathrm{In}^{3+}$. Point noir : centre d'un site tétraédrique.

**Q24.** Donner la population de la maille représentée sur la figure 10. Justifier l'électro-neutralité du cristal. Quelle est la coordinence $\mathrm{As}$-$\mathrm{In}$ ?

**Q25.** Déterminer et calculer le paramètre de maille $a$ en fonction des rayons ioniques $r_{\mathrm{In}^{3+}}$ et $r_{\mathrm{As}^{3-}}$. En déduire l'expression de la masse volumique $\rho_{\mathrm{InAs}}$ et la calculer.

### III – Multiplicateur numérique à modulation d'amplitude

Il s'agit ici d'étudier un montage dont le schéma est donné figure 11, destiné à calculer le produit d'une tension $u(t)$ et d'une intensité $i(t)$.

Le signal $u(t)$ est échantillonné selon une période d'échantillonnage $T_e$, ce qui renvoie la suite de valeurs :

$$\{u_n = u(nT_e)\}, n \in \mathbb{N}$$

On note $u_{\mathrm{ech}}(t)$ le signal échantillonné, c'est-à-dire le signal tel que

$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in [nT_e, (n+1)T_e], u_{\mathrm{ech}}(t) = u_n.$$

**Q26.** On considère que le spectre du signal $u(t)$ est contenu dans l'intervalle de fréquence $[0, F]$. Rappeler la condition dite de Nyquist-Shannon permettant un échantillonnage satisfaisant de ce signal.

Un oscillateur OSC crée une tension périodique $s_r(t)$ en rampe, de période $T_e$, variant entre les tensions $-U_0$ et $+U_0$ (figure 12a) telle que $\forall t, |u(t)| < U_0$. Cet oscillateur synchronise les deux échantillonneurs ECHT en imposant les intervalles d'échantillonnage $[nT_e, (n+1)T_e]$.

Le signal $s_r(t)$ est comparé au signal $u(t)$ grâce à un comparateur simple dont le signal de sortie est noté $S(t)$ (figure 12b). Les ALI du montage sont idéaux. Les tensions de saturation sont notées $\pm V_{\mathrm{sat}}$.

**Figure 11** — Montage multiplicateur numérique. (*ECHT désigne un échantillonneur, MOD le modulateur, INT l'intégrateur et OSC l'oscillateur.*) L'oscillateur synchronise les deux échantillonneurs mais les contacts entre ces circuits ne sont pas représentés.

Entrée $u$ vers un bloc ECHT, sortie $u_{\mathrm{ech}}$, signal $s_r$ vers un comparateur (ALI), sortie $S$. Entrée $i$ vers un ALI avec résistance $R$, sortie $v_i$, puis un bloc ECHT, sortie $v_{i,\mathrm{ech}}$, bloc MOD, sortie $v_{i,\mathrm{mod}}$, bloc INT, sortie $v_m$. Bloc OSC. Masse.

**Figure 12** — Signaux

(a) Signal $s_r(t)$ en rampe. Axes $s_r$ et $t$. Instants $0$, $T_e$, $2T_e$. Niveaux $U_0$ et $-U_0$.

(b) Signal $S(t)$. Axes $S$ et $t$. Instants $0$, $T_e$, $2T_e$. Niveaux $+V_{\mathrm{sat}}$ et $-V_{\mathrm{sat}}$. Durées marquées $\alpha_0 T_e$ et $\alpha_1 T_e$.

**Q27.** On a représenté figure 12b le signal $S(t)$ sur les deux premiers intervalles de temps $n = 0$ et $n = 1$. Pour chaque intervalle de temps $[nT_e, (n+1)T_e]$, la durée pour laquelle $S(t) > 0$ est notée $\alpha_n T_e$ où $\alpha_n$ est le rapport cyclique. Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $u_n$ et $U_0$.

L'intensité $i(t)$ est appliquée à la seconde entrée du montage de la figure 11.

**Q28.** Exprimer la tension $v_i(t)$ en fonction de $i(t)$ et $R$. Quel est l'intérêt de ce montage ?

La tension $v_i(t)$ est elle aussi échantillonnée selon les mêmes paramètres que la tension $u(t)$ ; on obtient en sortie de l'échantillonneur la tension $v_{i,\mathrm{ech}}(t)$ telle que :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in [nT_e, (n+1)T_e], v_{i,\mathrm{ech}}(t) = v_{i,n} = v_i(nT_e).$$

Le modulateur, schématisé figure 13, reçoit en entrée $v_{i,\mathrm{ech}}$. L'interrupteur $K$, idéal, est commandé à l'ouverture et à la fermeture par le signal $S$ :

$$K \begin{cases} \text{fermé si } S(t) > 0, \\ \text{ouvert si } S(t) < 0. \end{cases}$$

**Figure 13** — Modulateur

Entrée $v_{i,\mathrm{ech}}$, trois résistances $R$, ALI, interrupteur $K$, sortie $v_{i,\mathrm{mod}}$, masse.

**Q29.** Le signal de sortie du modulateur est noté $v_{i,\mathrm{mod}}$. Exprimer $v_{i,\mathrm{mod}}$ en fonction de $v_{i,\mathrm{ech}}$ selon la valeur du signal de commande $S$.

La tension $v_{i,\mathrm{mod}}(t)$ est ensuite intégrée sur un intervalle de longueur $T_e$.

**Q30.** Proposer le schéma d'un montage actif intégrant un signal d'entrée $v_e(t)$ par rapport au temps. Donner l'expression de la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée.

Soit $v_{i,\mathrm{mod}}(t)$ le signal d'entrée de l'intégrateur. Celui-ci fournit en sortie la tension

$$v_m(t) = -\frac{1}{\tau}\int_{nT_e}^{t} v_{i,\mathrm{mod}}(u)\,\mathrm{d}u, \text{ pour } t \in ]nT_e, (n+1)T_e].$$

$\tau$ est une constante caractéristique de l'intégrateur, homogène à un temps.

**Q31.** Exprimer $v_{m,n} = v_m((n+1)T_e)$ en fonction de $u_n$, $i_n = i(nT_e)$ et des différentes constantes du montage. Montrer que l'on a bien obtenu le résultat voulu à une constante multiplicative près.

Le signal périodique nécessaire au fonctionnement du circuit est généré par un oscillateur. On étudie ici un oscillateur dit « à réseau déphaseur », à trois cellules $RC$ (figure 14).

**Figure 14** — Oscillateur à réseau déphaseur

Trois cellules $RC$ en cascade, tension d'entrée $v_e$, tension $v$ après le réseau, résistance $R$, résistance $R'$, ALI, sortie $v_s$, interrupteur $K'$, masse.

La fonction de transfert des trois cellules $RC$ est donnée par :

$$\underline{H} = \frac{\underline{v}}{\underline{v}_e} = \frac{1}{1 - \dfrac{5}{(RC\omega)^2} + \dfrac{1}{jRC\omega}\left(6 - \dfrac{1}{(RC\omega)^2}\right)}.$$

**Q32.** Préciser la nature de ce filtre.

**Q33.** Exprimer le gain $G = \dfrac{\underline{v}_s}{\underline{v}}$ de l'amplificateur. Quand l'interrupteur $K'$ est fermé, montrer que la tension $v_s$ peut être sinusoïdale si $G$ et $\underline{H}$ vérifient une condition que l'on précisera. En déduire l'expression de la pulsation $\omega_{\mathrm{osc}}$ du signal $v_s$ ainsi que la valeur numérique de $G$.

On pose $v_s = A_{\mathrm{osc}}\cos(\omega_{\mathrm{osc}} t + \varphi_{\mathrm{osc}})$. Dans le circuit présenté figure 14, aucun paramètre ne permet de contrôler l'amplitude $A_{\mathrm{osc}}$. Pour pallier ce problème, la résistance $R'$ est remplacée par une résistance $R_{\mathrm{com}}$ commandée en tension selon l'une des deux expressions suivantes :

$$1)\ R_{\mathrm{com}} = R_0 + \frac{r}{1 + \dfrac{A_{\mathrm{osc}}}{V_0}} \qquad 2)\ R_{\mathrm{com}} = R_0 - \frac{r}{1 + \dfrac{A_{\mathrm{osc}}}{V_0}},$$

où $R_0$, $r$ et $V_0$ sont des constantes positives caractéristiques de la résistance commandée.

<u>**Q34.**</u> Quelle est l'expression de $R_{\mathrm{com}}$ qui permet de stabiliser les oscillations, et pourquoi ? En particulier, quelle valeur faut-il donner à $r$ pour obtenir $A_{\mathrm{osc}} = 7\,\mathrm{V}$ ? On prendra $R = 5\,\mathrm{k}\Omega$, $R_0 = 125\,\mathrm{k}\Omega$ et $V_0 = 5\,\mathrm{V}$.

## Partie D – Accumulateur lithium-air

L'énergie électrique nécessaire au fonctionnement d'un dispositif embarqué ou un véhicule doit pouvoir être stockée en grande quantité et de manière réversible. Le stockage électrochimique est une technologie ancienne mais il continue à profiter de recherches importantes. Récemment, une technologie dite lithium-air a montré des avantages indéniables pour la fabrication de batteries de véhicules électriques en particulier parce qu'une des espèces électrochimiques, le dioxygène $\mathrm{O}_2$, est apporté gratuitement par l'air.

### I – Stabilité du lithium

On s'intéresse aux réactions entre l'eau et le lithium métallique, selon le $\mathrm{pH}$.

**Q35.** Écrire les deux demi-équations rédox relatives au couples $\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}$ et $\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2$. En déduire la réaction bilan d'oxydation du lithium métallique par les ions $\mathrm{H}^+$. *L'équation sera ajustée avec deux atomes de lithium.* Exprimer l'enthalpie libre standard de réaction $\Delta_r G^\circ$ de la réaction précédente en fonction des potentiels standards des deux couples.

**Q36.** En déduire l'expression et la valeur à $298\,\mathrm{K}$ de la constante d'équilibre $K^\circ$. S'il n'y a pas de blocage cinétique de cette réaction, quelles pourraient en être les conséquences ?

On étudie la possibilité de la réaction précédente en fonction du $\mathrm{pH}$. On suppose que la seule forme oxydée du lithium, à tout $\mathrm{pH}$, est l'ion $\mathrm{Li}^+$.

**Q37.** Pourquoi peut-on s'attendre à ce qu'une augmentation du $\mathrm{pH}$ défavorise thermodynamiquement l'équation bilan de la question **Q35** ?

**Q38.** Exprimer les potentiels des couples mis en jeu à la question **Q35** en fonction du $\mathrm{pH}$, pour $p(\mathrm{H}_2) = 1\,\mathrm{bar}$. *On notera $E_1$ le potentiel du couple du lithium et $E_2$ celui du couple de l'eau.* En déduire l'expression de l'enthalpie libre $\Delta_r G$ de la réaction bilan en fonction de $\Delta_r G^\circ$ et du $\mathrm{pH}$. Calculer $\Delta_r G$ pour $\mathrm{pH} = 14$ et $[\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}] = 1{,}0\,\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ à $T = 298\,\mathrm{K}$. La réaction est-elle évitée en milieu basique ?

### II – Fonctionnement de l'accumulateur

On peut utiliser un électrolyte aqueux à condition de protéger le lithium métallique par un revêtement perméable aux ions $\mathrm{Li}^+$ mais étanche à l'eau et à ses ions (figure 15a). Dans cet accumulateur lithium-air, les couples rédox mis en jeu sont les couples $\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}/\mathrm{Li}$ et $\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}$. Le dioxygène est sous forme dissoute dans l'électrolyte basique.

**Q39.** Écrire l'équation de demi-réaction ayant lieu sur l'électrode de nickel, en milieu basique. Exprimer et calculer le potentiel $E_{\mathrm{O}_2}$ de cette électrode pour une pression de dioxygène gazeux $p(\mathrm{O}_2) = 0{,}2\,\mathrm{bar}$ et à $\mathrm{pH} = 14$. Exprimer et calculer le potentiel $E_{\mathrm{Li}}$ de l'électrode au lithium pour une concentration $[\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}] = 0{,}1\,\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. En déduire la fem $e$ de l'accumulateur dans ces conditions.

**Figure 15** — Schémas de l'accumulateur Li-air

(a) Schéma de l'accumulateur à double électrode à $\mathrm{O}_2$. Circuit extérieur et interrupteur $K$ à positions $1$ et $2$. De gauche à droite : $\mathrm{Li}$ ; revêtement perméable aux ions $\mathrm{Li}^+$, avec $\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}$ ; électrode de nickel, avec $\mathrm{O}_2$ ; $\mathrm{HO}^-$ et $\mathrm{H}_2\mathrm{O}$ ; $\mathrm{O}_2$ air.

(b) Schéma simplifié de l'accumulateur (*le revêtement protecteur du lithium n'est pas représenté*). Résistance $R$. De gauche à droite : $\mathrm{Li}$ ; électrolyte avec $\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}$, $\mathrm{HO}^-$ et $\mathrm{H}_2\mathrm{O}$ ; $\mathrm{O}_2$ air. Électrode de lithium. Électrode de carbone poreux.

**Q40.** Le schéma simplifié (figure 15b) de l'accumulateur est reproduit sur le document réponse. Compléter le document réponse en indiquant, lorsque l'accumulateur est **en décharge** :

- les polarités des électrodes ($\pm$) ;
- le sens de déplacement des électrons ;
- le sens du courant dans le circuit ;
- la nature des électrodes (anode, cathode) ;
- les réactions ayant lieu sur chacune d'entre elles ;
- le déplacement des ions dans l'électrolyte.

La présence d'ions $\mathrm{Li}^+$ dans la solution basique permet la formation d'un précipité d'hydroxyde de lithium (ou lithine) $\mathrm{LiOH}$.

**Q41.** Préciser en quel endroit de l'accumulateur (schéma de la figure 15a) le précipité va se former et dans quelle condition (charge ou décharge de l'accumulateur). Quel problème cela peut-il poser ?

On suppose par la suite que le problème précédent est résolu et que le précipité éventuellement formé se dépose au fond de l'accumulateur. Le précipité apparaît quand la concentration en ions $\mathrm{Li}^+$ atteint la valeur $c_{\max} = 5{,}25\,\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

<u>**Q42.**</u> Une batterie formée d'une association série de cellules élémentaires Li-air, identiques à l'accumulateur étudié précédemment, équipe un véhicule électrique. À partir des données du tableau 1, estimer la masse maximale de lithine $\mathrm{LiOH}$ qui peut se déposer dans la batterie.

| | |
|---|---|
| Consommation pour $100\,\mathrm{km}$ | $15\,\mathrm{kW\cdot h}$ |
| Tension aux bornes de la batterie | $400\,\mathrm{V}$ |
| F.e.m. d'une cellule élémentaire Li-air | $3\,\mathrm{V}$ |
| Densité volumique maximale d'énergie stockée | $W_{\max} = 2{,}2\,\mathrm{kW\cdot h\cdot L^{-1}}$ |
| Autonomie maximale du véhicule | $600\,\mathrm{km}$ |

**Tableau 1** — Caractéristiques d'un véhicule électrique et de sa batterie

Le fonctionnement cyclique de l'accumulateur nécessite une double électrode à $\mathrm{O}_2$, l'une en carbone poreux à travers laquelle diffuse le dioxygène et l'autre en nickel, qui permet une réaction plus rapide. La commutation entre les deux électrodes est réalisée par l'interrupteur $K$ (figure 15a).

**Q43.** Est-ce à la charge ou à la décharge de l'accumulateur que l'on a besoin d'une réaction rapide ? Justifier l'intérêt de l'une ou de l'autre électrode selon le fonctionnement de l'accumulateur en charge ou en décharge.

**Q44.** Proposer, sur un schéma simple, une réalisation de l'interrupteur $K$, de telle sorte que la commutation entre les deux électrodes soit spontanée.

## Données et formulaire

### Données numériques partie B

| | |
|---|---|
| Permittivité du vide | $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F\cdot m^{-1}}$. |
| Perméabilité du vide | $\mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\,\mathrm{H\cdot m^{-1}}$ |
| Kilowattheure | $1\,\mathrm{kW\cdot h} = 3{,}6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. |

### Données numériques partie C

| | |
|---|---|
| Charge élémentaire | $e = 1{,}602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ |
| Mobilité de l'électron dans $\mathrm{AsIn}$ | $\mu_e = -3{,}3\,\mathrm{U.S.I.}$ |
| Rayons ioniques | $r_{\mathrm{In}^{3+}} = 80\,\mathrm{pm}$ |
| | $r_{\mathrm{As}^{3-}} = 160\,\mathrm{pm}$. |
| Masses molaires | $M_{\mathrm{In}} = 114{,}8\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ |
| | $M_{\mathrm{As}} = 74{,}9\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ |
| Nombre d'Avogadro | $\mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$ |

### Données numériques partie D

| | |
|---|---|
| Potentiels standard | $E^\circ(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = 0\,\mathrm{V}$ |
| | $E^\circ(\mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) = 1{,}23\,\mathrm{V}$ |
| | $E^\circ(\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}/\mathrm{Li}) = -3{,}045\,\mathrm{V}$ |
| Produit ionique de l'eau à $298\,\mathrm{K}$ | $K_e = [\mathrm{H}^+][\mathrm{HO}^-] = 10^{-14}$ |
| Constante de Nernst à $298\,\mathrm{K}$ | $\dfrac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 = 0{,}059\,\mathrm{V}$ |
| Constante de Faraday | $\mathcal{F} = 9{,}6485 \times 10^{4}\,\mathrm{C\cdot mol^{-1}}$. |
| Constante des gaz parfaits | $R = 8{,}314\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$ |
| Masse molaire du lithium | $M_{\mathrm{Li}} = 6{,}9\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$. |
| Masse molaire de l'oxygène | $M_{\mathrm{O}} = 16\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$. |
| Masse molaire de l'hydrogène | $M_{\mathrm{H}} = 1\,\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$. |

### Spécifications Python

`np.polyfit(x,y,1)` : renvoie le couple $(a, b)$ (flottants) où $a$ est la pente et $b$ l'ordonnée à l'origine de la droite de régression des points dont les abscisses sont données dans la liste $x$ et les ordonnées dans la liste $y$.

`np.random.uniform(a,b)` : renvoie une valeur aléatoire (flottante) comprise dans l'intervalle $[a, b]$ selon une loi de probabilité uniforme.

`np.average(L)` : renvoie la moyenne (flottante) des valeurs de la liste (ou du tableau) $L$.

`np.std(L)` : renvoie l'écart-type (flottant) des valeurs de la liste (ou du tableau) $L$.

◇ Fin ◇

## Document réponse

Numéro de place

Numéro d'inscription

Signature

Nom

Prénom

Épreuve : Physique-chimie 1 PSI

Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'en-tête.

Feuille

Document réponse

*Les candidats doivent rendre ce document réponse avec leur copie, même s'ils ne l'ont pas utilisé.*

Ne rien écrire dans la partie barrée.

**Q11.**

**Figure 5** — Topographie des équipotentielles entre les armatures d'un condensateur plan pour $d = 11\,\mathrm{cm}$ et $\ell = 48\,\mathrm{cm}$. *En trait plein les équipotentielles positives, en pointillés les équipotentielles négatives. Deux équipotentielles voisines sont séparées de $10\,\mathrm{V}$.*

Axes $x\,(\mathrm{cm})$ et $y\,(\mathrm{cm})$. Graduations de $x$ : $-30$ ; $-20$ ; $-10$ ; $0$ ; $10$ ; $20$ ; $30$. Graduations de $y$ : $-20$ ; $-10$ ; $0$ ; $10$ ; $20$. Équipotentielles en pointillés dans la partie supérieure, légendées $-80\,\mathrm{V}$ et $-90\,\mathrm{V}$. Équipotentielles en trait plein dans la partie inférieure, légendées $+90\,\mathrm{V}$ et $+80\,\mathrm{V}$. Points marqués $A$, $B$ et $C$.

**Q40.**

**Figure 15** — Schéma simplifié de l'accumulateur (*le revêtement protecteur du lithium n'est pas représenté*)

Résistance $R$. De gauche à droite : $\mathrm{Li}$ ; électrolyte avec $\mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})}$, $\mathrm{HO}^-$ et $\mathrm{H}_2\mathrm{O}$ ; $\mathrm{O}_2$ air. Électrode de lithium. Électrode de carbone poreux.

Numéro de place

Numéro d'inscription

Signature

Nom

Prénom

Épreuve : Physique-chimie 1 PSI

Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'en-tête.

Feuille

Document réponse

*Les candidats doivent rendre ce document réponse avec leur copie, même s'ils ne l'ont pas utilisé.*