Sciences industrielles

# S2I

TSI

4 heures Calculatrice autorisée

Le télésiège « Vologne Express »

Un document réponse de quatre pages est à rendre avec la copie. Les notations et les valeurs numériques de l’ensemble des grandeurs utilisées dans le sujet sont fournies en fin d’énoncé.

Les questions Q30 et Q37 sont peu guidées et demandent de l’initiative de la part du candidat : leurs énoncés sont repérés par un soulignement du numéro. Il est demandé d’expliciter clairement la démarche et les choix. Le barème valorise la prise d’initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

La station de tourisme de montagne de La Bresse - Hohneck est située dans le département des Vosges.

Figure 1 – Vue du bas des pistes de la station de La Bresse - Hohneck en hiver et des pistes de VTT en été.

Outre les activités historiques de ski, tant alpin que nordique, la station a développé depuis de nombreuses années des circuits balisés pour les promenades en raquettes, vélos tout terrain et cyclotourisme, ainsi que la randonnée : les domaines pour ces différentes activités sont accessibles de fin décembre à fin mars puis de fin avril à fin septembre.

Particulièrement connue pour la qualité et la diversité de ses circuits de vélo sportif, cette station a notamment accueilli une manche de la coupe du monde de VTT de descente et cross crountry en 2018. Elle a été également centre de préparation des sportifs lors des jeux olympiques de Paris 2024.

Les remontées mécaniques permettant l’accès à la partie haute de la station doivent être choisies pour permettre à la fois le transport des skieurs pendant la saison d’hiver mais également des randonneurs ou des vététistes avec leurs vélos pendant la saison d’été avec le minimum d’adaptation des nacelles. Parmi celles-ci, le télésiège débrayable à six places « Vologne Express » étudié dans ce sujet a été installé dans la station à l’été 2011 par l’entreprise française Poma, leader mondial de l’installation d’équipements de transports par câbles.

Le télésiège est constitué d’un câble qui entraîne N = 72 nacelles et qui se déroule entre deux gares en étant supporté par 11 pylônes (Pi) quasiment équirépartis sur toute la longueur du trajet, la partie motorisation est située en gare haute et la partie de mise en tension du câble par un ressort réglable en gare basse : voir synoptique en fin d’énoncé (pour des raisons de clarté, les nacelles montantes et descendantes n’ont pas été dessinées).

Objectif L’objectif du sujet est d’analyser la configuration existante utilisant une motorisation à courant continu (MCC) afin d’envisager son remplacement par une motorisation asynchrone (MAS) telle qu’implantée dans les télésièges modernes : les valeurs nécessaires au choix du moteur remplaçant sont progressivement déterminées par les questions du sujet.

Le sujet aborde quelques-unes des problématiques de la conception d’un tel système :

• l’analyse de l’organisation du système d’entraînement des nacelles et la vérification du fonctionnement du moteur à sa vitesse nominale est faite en Partie A ;

• la vérification du dimensionnement en puissance du moteur sur une évolution critique de charge maximale et définie par l’exploitant est faite en Partie B ;

• l’étude de quelques problématiques du pilotage et de l’alimentation électrique du moteur à courant continu sont faites en Partie C ;

• la synthèse d’une correction permettant d’assurer un pilotage cohérent en vitesse sous une perturbation constante est mise en œuvre en Partie D ;

• enfin, dans l’objectif du remplacement de la motorisation, une analyse et choix d’une autre solution technologique, plus classique actuellement, est faite en Partie E.

Quelques exigences du client (la station de La Bresse - Hohneck) sont regroupées dans le diagramme de la figure 2, les durées d’accélération et de freinage de la sous-exigence Id = "1.1" étant définies vers et depuis la vitesse nominale.

req [Vologne Express]

« Requirement »

« Requirement »

« Requirement »

id = "1.1" text = "Gérer la sécurité et le confort des usagers." – débrayage des nacelles en gare pour permettre de s’y asseoir ou d’en sortir à vitesse réduite – freinage d’urgence par frein à disque sur l’arbre moteur – accélération douce : tacc > 10 s – freinage doux : tarrêt > 12 s – facteur de sécurité en utilisation d’exploitation s > 3

id = "1" text = "Déplacer en montée ou en descente les usagers." – temps de montée : tm < 5 min – débits maximaux (en usagers / heure) : qn max > 2800 u · h−1

id = "1.2" text = "Entraîner le câble et les nacelles entre les gares" – vitesse du câble réglable en fonction de la charge – fluctuations de vitesse ∆v du câble telles que | ∆v

en fonctionnement normal et qr max > 1500 u · h−1 en fonctionnement à vitesse réduite – charge nacelle : 6 skieurs (hiver) ou 1 vélo + 4 piétons (été)

v | < 5% – erreur de vitesse nulle à une consigne en échelon – sensibilité nulle aux perturbations constantes

Figure 2 – Diagramme partiel des exigences (Requirement Diagram, identifiant req) du télésiège Vologne Express.

Les deux hypothèses suivantes sont faites pour tout le sujet :

– le câble ne glisse pas sur les poulies des deux gares grâce au système de mise en tension à ressort situé dans la

gare basse, sa vitesse de déroulement, et donc celle des nacelles qui y sont accrochées, est alors proportionnelle aux vitesses de rotation des poulies ;

– et toutes les pertes sont négligées, en particulier celles induites par guidage du câble par les roues situées sur les

onze pylônes répartis sur tout le trajet de montée ou de descente et dans les deux gares.

Partie A – Caractéristiques du télésiège « Vologne Express »

Objectif Afin de valider les exigences définies sur le diagramme de la figure 2 en termes de débit du télésiège afin que la montée soit suffisamment rapide tout en assurant la sécurité et le confort des passagers, il est nécessaire de vérifier certaines données techniques d’exploitation : c’est l’objet de cette partie.

I – Validation de l’exigence de débit

Objectif Le but de cette partie est de valider les performances en débit de ce système pour l’objectif d’exploitation en hiver.

Le télésiège comporte 33 nacelles en montée à chaque instant, pouvant chacune transporter 6 skieurs.

La vitesse de déplacement des nacelles est de vn = 5,08 m · s−1 (fonctionnement normal) ou de vr = 3,52 m · s−1

(fonctionnement à vitesse réduite) pour une longueur du trajet Lp = 1217 m : voir l’avant-dernière page de l’énoncé.

Q1. Déterminer les valeurs du temps tm que met un skieur pour rejoindre le sommet et les débits maximaux qn max et qr max en usagers par heure lors d’un fonctionnement normal ou à vitesse réduite et comparer ces valeurs aux exigences du client (exigence id = "1" figure 2).

II – Étude de la transmission cinématique

Objectif Le but de cette partie est de déterminer le rapport ktp de la chaîne cinématique reliant la vitesse ωm de rotation du moteur (en rad · s−1) et la vitesse v de déplacement des nacelles fixées au câble (en m · s−1) ainsi que la validation du comportement en configuration de secours avec l’alimentation par un moteur thermique diesel.

II.1 – Détermination du rapport de la chaîne cinématique

La valeur du rapport ktp de la chaîne cinématique doit être précisément connu pour dimensionner le moteur d’une manière cohérente : pour la déterminer, deux méthodes sont proposées, l’une « externe » utilisant des mesures sur site, l’autre « interne » utilisant les données constructeurs disponibles dans la documentation technique.

Première méthode : détermination « externe » par les valeurs mesurées en situation

Q2. À partir des données fournies dans le tableau en fin d’énoncé, et sachant que le régime nominal du moteur correspond à la vitesse normale d’évolution, calculer la valeur numérique du rapport ktp entre la vitesse v du câble qui entraîne les nacelles (en m · s−1) et la vitesse de rotation ωm du moteur électrique (en rad · s−1).

Seconde méthode : détermination « interne » par l’analyse de la chaîne cinématique

Une description en chaînes fonctionnelles (chaîne d’information et chaîne de puissance inter-connectées) de la commande d’axe assurant l’asservissement en vitesse du câble porteur est fournie sur le document réponse DR1.

Q3. Répondre sur le document réponse DR1. En utilisant les informations fournies sur l’avant-dernière page de l’énoncé et le diagramme de définition de blocs sur le document réponse, compléter les éléments manquants dans la description en chaînes fonctionnelles de l’asservissement de vitesse du câble.

Q4. Déterminer l’expression du coefficient ktp défini question Q2 en fonction du diamètre Dh de la poulie de la gare haute et du rapport kréd du réducteur. Faire l’application numérique et valider la valeur trouvée précédemment.

II.2 – Configuration de secours

En configuration de secours, le câble est entraîné à la vitesse de vs = 1,25 m · s−1 par le moteur diesel associé à un réducteur dédié, un coupleur de gain unitaire puis le réducteur principal (voir l’avant-dernière page de l’énoncé).

Q5. Déterminer la valeur de la vitesse de rotation Ns de ce moteur thermique, en tours · min−1, pour cette configuration de secours : est-elle compatible avec la valeur maximale possible ?

Partie B – Étude de l’exigence Id = 1.1 « gérer la sécurité et le

confort des usagers »

Objectif La motorisation actuellement implantée est une machine à courant continu (MCC) et il est envisagé qu’elle soit remplacée par un moteur asynchrone (MAS), technologie majoritaire dans les télésièges récents.

Pour cela, il est indispensable de connaître les niveaux de puissance nécessaires pour que ce télésiège soit à la fois efficace et sécurisé pour les usagers : le but de cette partie est d’estimer la valeur du coefficient de sécurité adopté pour le dimensionnement du moteur électrique pour atteindre les performances en débit horaire d’usagers.

Les éléments mobiles du réducteur sont supposés de masses et inerties négligeables devant celles des autres éléments.

Par ailleurs, le non glissement du câble entraîne, comme vu précédemment, Db ωb = Dh ωh avec ωh = kréd ωm.

Moteur et poulies

Q6. Donner, en fonction de son inertie Jm et de sa vitesse de rotation ωm, l’expression de l’énergie cinétique galiléenne Ec(mot/0) du rotor du moteur.

Q7. Donner, en fonction des inerties Jb ou Jh et de leurs vitesses ωb et ωh, les expressions des énergies cinétiques galiléennes Ec(bas/0) et Ec(haut/0) des deux poulies assurant la mise en tension et l’entraînement du câble. En déduire l’expression de l’inertie équivalente Jéq-poulies rapportée à l’axe moteur.

Câble et nacelles

L’étude faite en Partie A a permis d’établir la relation v = ktp ωm avec v la vitesse de déroulement du câble, et donc celle des nacelles qui y sont accrochées, et ωm la vitesse de rotation du moteur où ktp, en m · rad−1, est le coefficient déterminé aux questions Q2 et Q4.

Le câble est de masse linéique λ et la distance entre les deux gares est Lp. On néglige les parties du câble dans les deux gares, donc lorsqu’il est en contact avec les poulies haute et basse : par conséquent, on peut considérer que le câble a globalement uniquement un mouvement de translation rectiligne, une moitié en montée, l’autre en descente.

Q8. Donner l’expression de l’énergie cinétique galiléenne Ec(mont/0) de la portion de câble montant et Ec(desc/0) de la portion de câble descendant. En déduire l’expression de l’inertie équivalente Jéq-câble rapportée à l’axe moteur en fonction de la masse linéique λ, de la longueur d’un brin Lp et du coefficient ktp.

À chaque instant, sur les N = 72 nacelles, 3 nacelles sont débrayées dans chaque gare et ne sont donc pas entraînées par le moteur électrique. Les 66 nacelles en mouvement sont positionnées de manière régulière sur le câble : par conséquent, la moitié est en montée, l’autre moitié est en descente.

La trajectoire des nacelles est assimilée à une droite inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale (voir avant-dernière page de l’énoncé). Chaque nacelle est d’une masse à vide Mn et peut transporter une charge Mc.

Le cas de référence choisi pour le dimensionnement est celui d’une configuration extrêmement contraignante où toutes les nacelles montantes sont à pleine charge et toutes les nacelles descendantes n’ont aucune charge transportée.

Q9. Déterminer, en fonction du nombre N de nacelles, de la masse Mn de chaque nacelle, de la masse Mc de la charge transportée et de la vitesse v, les énergies cinétiques galiléennes Ec(mont/0) des N

2 −3 nacelles en montée et Ec(desc/0) des N

2 −3 nacelles en descente. En déduire l’expression de l’inertie équivalente Jéq-nacelles rapportée à l’axe moteur de cet ensemble mobile en fonction des grandeurs ktp, Mc, Mn et N.

Ensemble en mouvement

Q10. Définir, en fonction des informations obtenues aux questions précédentes, l’expression de l’inertie équivalente

Jéq de l’ensemble motorisé rapporté à l’axe moteur puis déterminer son expression sous la forme





Jéq = Jm + β1

Jh + β2Jb + µ1λLp + µ2Mn + µ3Mp

en précisant les expressions des coefficients β1, β2 et µ1 à µ3 en fonction de kréd, Dh, Db et N. En utilisant les données fournies sur l’avant-dernière page de l’énoncé, calculer la valeur numérique de Jéq.

Puissance des actions mécaniques de pesanteur

Q11. Justifier sans calcul que la puissance des actions mécaniques de pesanteur sur le câble est nulle.

On rappelle que les nacelles montantes sont chargées et les nacelles descendantes ne transportent aucune charge.

Q12. Déterminer, en fonction de la masse Mc des charges dans les nacelles montantes, du nombre N de nacelles, du

rapport ktp de la transmission, de l’accélération de la pesanteur g et de l’angle α, l’expression de la constante C telle que la puissance galiléenne de pesanteur sur les N

2 −3 nacelles en montée et pour les N 2 −3 nacelles en descente s’écrive sous la forme P(pes →nacelles/0) = C ωm. Faire l’application numérique.

Évaluation de la puissance moteur

On isole l’ensemble (Σ) constitué des N −6 nacelles entraînées par le câble, des deux poulies, du réducteur, du moteur électrique et du câble entraîné guidé par les deux poulies en gare et supporté sur les différents pylônes intermédiaires.

La puissance de la motorisation est notée P(moteur →poulie motrice/0) = Pm utile.

On suppose qu’il n’y a pas d’autres pertes significatives de puissance sur l’ensemble du télésiège (ainsi, les pertes par glissement du câble, dans le réducteur, sur les pylônes, dans les différentes liaisons, etc. sont négligées).

Q13. Écrire le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble (Σ) et en déduire l’expression de la puissance moteur

nécessaire Pm utile en fonction du coefficient C et de la vitesse ωm du moteur pour mouvoir le câble lors d’une évolution en régime stabilisé (donc à vitesse constante).

La charge limite, qui correspond à six skieurs de 108 kg dans chaque nacelle montante, n’est jamais atteinte en exploitation de ce télésiège : en pratique, la valeur limite vaut C ≃−900 N · m.

Q14. En déduire la valeur du facteur de sécurité sur le dimensionnement du moteur en exploitation lors d’une évolution

à vitesse constante, défini par

(

s = Pm nom

Pm nom est la puissance nominale du moteur implanté Pm utile est la puissance utile du moteur

où

Pm utile

L’exigence Id = "1.1" (voir figure 2) de valeur de ce facteur pour le dimensionnement est-elle vérifiée ?

Partie C – Étude de l’exigence Id = "1.2" « entraîner le câble et

les nacelles entre les gares »

Objectif Les vérifications des exigences sur le débit et le confort des passagers ont été réalisées par les études précédentes.

Il est maintenant nécessaire de déterminer les paramètres des éléments constituant la boucle d’asservissement non corrigée en vitesse du télésiège (moteur, préactionneur et capteur) dans le cas de la motorisation par moteur à courant continu (MCC) actuellement implantée : c’est l’objet de cette partie.

I – Estimation des grandeurs de la machine à courant continu en charge

Objectif La motorisation à courant continu implantée étant d’une puissance conséquente, les valeurs des paramètres (résistance, constantes de couplage, etc.) évoluent d’une manière non négligeable en fonction de la charge : le but de cette partie est d’estimer les valeurs des grandeurs associées au modèle de la machine à courant continu assurant la motorisation du télésiège en fonctionnement normal.

I.1 – Mise en place du schéma-bloc

La motorisation du système est faite par un moteur électrique à courant continu dont le comportement est modélisé par les quatre équations suivantes :

  

(E1) um(t) = Ldi(t)

dt + R i(t) + e(t)

(

(E3) e(t) = k ωm(t) (E4) cm(t) = k i(t)

avec

dωm(t)

(E2) Jéq

dt = cm(t) + cr(t) −féq ωm(t)

 

Dans ces équations :

– les grandeurs constantes sont la résistance R (en Ω) et l’inductance L de l’induit (en H), la constante de couplage

k (en N·m·A−1 = V·s·rad−1) ainsi que l’inertie équivalente Jéq (en kg · m2) et le frottement visqueux féq (en N·m·s·rad−1) équivalents rapportés à l’axe moteur ;

– et les grandeurs variables sont la tension d’alimentation um(t) (en V), l’intensité i(t) consommée dans l’induit

(en A), la vitesse de rotation ωm(t) de l’arbre moteur (en rad · s−1), la force contre-électromotrice e(t) (en V) ainsi que le couple moteur cm(t) et le couple résistant équivalent rapporté à l’axe moteur cr(t) (en N·m).

Des mesures sur site permettent de constater une faible influence de l’inductance L et du frottement visqueux équivalent rapporté à l’axe moteur féq : par conséquent, les équations (E1) et (E2) sont simplifiées en négligeant respectivement les termes L di(t)

dt et féq ωm(t) devant les autres termes de chaque équation.

Q15. Répondre sur le document réponse DR2. Compléter le schéma-bloc du document réponse dans le cadre

de ces hypothèses simplificatrices. Déterminer ensuite les expressions canoniques et les unités des grandeurs associées pour les fonctions de transfert Hm(p) et Hr(p) telles que

Ωm(p) = Hm(p) Um(p) + Hr(p) Cr(p)

I.2 – Estimation des grandeurs du modèle par des mesures sur site

Comme indiqué précédemment, les valeurs des grandeurs du modèle de la machine à courant continu dépendent de la configuration : une mesure en situation d’utilisation en charge est donc indispensable.

Estimation des valeurs de la résistance et de la constante de couplage

En régime permanent en charge, les grandeurs fournies dans le tableau de la figure 3 ont été mesurées.

Configuration Tension d’alimentation (V) Vitesse angulaire (tours·min−1) Intensité consommée (A) Petite vitesse 265,2 840 284,9 Grande vitesse 400,0 1267 429,7

Figure 3 – Mesures effectuées sur le système en évolution en régime permanent.

Q16. Répondre sur le document réponse DR3. À partir des valeurs obtenues sur ces deux essais, déterminer les

valeurs des éléments aij de la matrice A et bi du vecteur B tels que

a11 a12 a21 a22



R



b1



=

k

b2

| {z } A

| {z }

| {z }

X

B

Compléter les lignes de code pour résoudre cette équation matricielle, soient la bibliothèque Python à importer, les définitions de la matrice A et du vecteur B et finalement la détermination du résultat X.

Le calcul précédent permet d’obtenir un ordre de grandeur de la résistance R et de la constante de couple k.

Une série de mesures complémentaires permet d’estimer les valeurs moyennes de résistance R = 15 mΩet de constante de couple k = 3 N · m · A−1 pour les valeurs d’exploitation du télésiège, dont celle à la vitesse de référence de déplacement des nacelles vn = 5,08 m · s−1 correspondant à la vitesse nominale du moteur électrique. Ces valeurs, supposées valides pour toutes les vitesses inférieures à vn, sont utilisées dans la suite.

Estimation des valeurs du couple résistant équivalent et de l’inertie équivalente rapportée à l’axe moteur

On étudie la phase d’arrêt sans frein lors de la montée : l’alimentation est coupée et seuls les effets inertiels et les pertes participent au ralentissement puis à l’arrêt du déplacement des nacelles.

L’allure lissée de la courbe d’évolution de la vitesse du moteur, imposée par des conditions de sécurité associées à la configuration du télésiège, est fournie figure 4.

Nm (tours · min−1) N0

0 t (s)

tf

Figure 4 – Graphe de l’évolution de la vitesse moteur lors d’un arrêt sans freinage.

Q17. En suivant la courbe de la figure 4, donner l’expression de la décélération dωm(t)

dt (en rad · s−2) pour t ∈[0 ; tf]

et justifier que la forme fournie confirme l’hypothèse simplificatrice sur l’équation (E2).

Le couple résistant étant essentiellement dû aux frottements secs dans les contacts entre les pièces et à la pesanteur sur les nacelles en mouvement, on fait l’hypothèse qu’il est quasi constant : on pose donc cr(t) = cr0 à tout instant.

Q18. En déduire que, lors de la phase d’arrêt sans freinage pour laquelle l’alimentation est coupée (voir figure 4),

Nm(t) = 30 cr0

t + N0

πJéq

Les valeurs relevées depuis un fonctionnement en phase de montée pour lequel la vitesse de rotation initiale est N0 = 1267 tours · min−1 (l’indication « 0−» correspond à l’instant juste avant t = 0) sont les suivantes :

(

(

tf = 10,3 s I(t = 0−) = 360 A nacelles chargées :

tf = 8,9 s I(t = 0−) = 520 A

nacelles vides :

Q19. Réécrire l’équation (E2) dans la phase stabilisée avant t = 0. Déterminer les valeurs du couple résistant à

vide (cr0-v) et en charge (cr0-c). Déterminer finalement l’expression de l’inertie équivalente Jéq et ses valeurs numériques à vide (Jéq-v) et en charge (Jéq-c).

II – Obtention de la vitesse angulaire depuis la mesure de position

Objectif Le signal de la mesure de la vitesse d’évolution des nacelles est très bruité, rendant son utilisation problématique : le but de cette partie est l’étude du traitement numérique utilisé pour rendre exploitable le signal.

La vitesse angulaire du moteur est mesurée par une dynamo tachymétrique montée directement sur l’arbre moteur.

Q20. Expliquer en quelques mots le principe de fonctionnement d’une dynamo tachymétrique.

La courbe obtenue lors d’une phase d’évolution à vitesse constante en utilisant la dynamo tachymétrique implantée de gain kdt = 0,06 V · min · tours−1 est fournie sur le graphe supérieur de la figure 5.

Mesure brute (V)

t (s)

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,025

Mesure filtrée (V)

t (s)

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,025

Figure 5 – Courbe de la tension issue de la dynamo tachymétrique, mesurée par un oscilloscope de terrain de période de mesure Te = 100 µs puis courbe après traitement par le filtre du 2e ordre au régime critique placé en

entrée du variateur dont la forme est fournie sur la figure 6 (gain unitaire et constante de temps τ).

Par ailleurs, par la chaîne cinématique de gain constant, la vitesse v du câble, en m · s−1, est proportionnelle à la vitesse de rotation Nm du moteur, en tours · min−1.

Q21. Estimer la fluctuation de vitesse mesurée par la dynamo tachymétrique, en tours·min−1. La vitesse de rotation

du moteur électrique étant de 1267 tours·min−1, en déduire la fluctuation, en pourcentage, de la vitesse v du câble et la comparer aux exigences (voir figure 2 page 2).

Ce signal très bruité étant inexploitable pour l’asservissement étudié dans la suite, un filtrage est réalisé à l’entrée du variateur de vitesse par un deuxième ordre au régime critique (voir figure 6).

Signal

Filtre du

Signal

Fonction de transfert du filtre : Hfiltre(p) = U ∗(p)

U(p) = 1 (1 + τp)2

2e ordre critique

brut

filtré u∗(t)

u(t)

Figure 6 – Filtrage du signal brut par un deuxième ordre au régime critique.

Q22. À partir de la fonction de transfert Hfiltre(p) du filtre, déterminer l’équation différentielle reliant l’entrée u(t) à

la sortie u∗(t) et ses dérivées première ˙u∗(t) et seconde ¨u∗(t).

La technologie du filtre est numérique de période de calcul Te ≪τ.

L’opération de filtrage est implémentée dans le calculateur sous la forme d’une équation de récurrence reliant les grandeurs d’entrée et de sortie à des instants discrets ti = iTe, ti−1 = (i −1)Te, etc.

On rappelle l’écriture « à gauche » de l’approximation de la dérivée pour une fonction f(t) à l’instant ti = iTe :

df

dt (ti) = fi −fi−1

où fi = f(ti) et fi−1 = f(ti−1)

Te

Q23. Déterminer l’équation de récurrence reliant la sortie filtrée u∗

i à l’instant ti = iTe à l’entrée ui au même instant et à la sortie filtrée aux instants ti−1 = (i −1)Te et ti−2 = (i −2)Te et l’écrire sous la forme

u∗

i = a0ui + a1u∗

i−1 + a2u∗

i−2

où les trois constantes a0, a1 et a2 sont à exprimer en fonction du facteur x = τ

.

Te

Q24. Citer l’avantage principal de la solution numérique par rapport à un filtre analogique.

III – Pilotage du moteur en phase de démarrage en charge maximale

Objectif Pour envisager l’évolution de la technologie de la motorisation à courant continu (MCC) vers une motorisation asynchrone (MAS), il est nécessaire d’analyser la capacité en courant et les possibilités de pilotage du variateur actuel : le but de cette partie est d’estimer certaines de ses valeurs caractéristiques afin de maîtriser les critères d’évolution.

III.1 – Détermination de la capacité en courant du variateur implanté

Le démarrage le plus rapide permis par le constructeur est tel que le câble porteur atteigne la vitesse vn = 5,08 m · s−1, avec une accélération constante de γmax = 0,5 m · s−2 pendant un temps tacc puis reste à cette vitesse constante.

Q25. Tracer l’allure de la courbe de vitesse v des nacelles pour t ∈[0 ; tacc] puis pour t ⩾tacc. Calculer le temps

d’accélération tacc et le comparer à l’exigence Id = "1.2" (voir figure 2 page 2).

Conformément à ce qui a été trouvé précédemment, la loi d’évolution dynamique du système (Σ) est :

Méq ktp γ = k i −cr

dt l’accélération en m · s−2 et i l’intensité consommée dans l’induit qui, par sécurité, ne doit pas dépasser la valeur nominale inom = 1064 A, la constante de couple ayant pour valeur k = 3 N · m · A−1.

avec γ = dv

Dans une phase de fonctionnement normal, la masse équivalente rapportée au câble est estimée à une valeur maximale de Méq = 65 tonnes et le couple résistant équivalent à l’axe moteur vaut cr = 1800 N · m.

Indépendamment de ce qui a été obtenu précédemment, on prend ktp = 40 mm · rad−1.

Q26. Tracer la courbe de l’intensité consommée dans chacune de ces deux phases et vérifier que l’intensité maximale

n’est jamais atteinte dans ce pilotage contraignant.

III.2 – Du variateur actuellement implanté à une nouvelle technologie de motorisation

Le variateur est un redresseur triphasé de marque SIEMENS et de référence SIMOREG DC Master. Il est alimenté par un réseau triphasé 226 V/ 391 V et alimente le moteur à courant continu, sous tension réglable l’induit et sous tension fixe l’inducteur. La tension d’induit ⟨Um⟩en sortie du variateur est donnée par la formule

(

⟨Um⟩= 3

Umax (en V) est la tension composée maximale du réseau ψ (en rad) modélise le retard à l’amorçage de la partie puissance

π Umax cos ψ où :

Q27. Déterminer la valeur de ψ afin d’obtenir la tension nominale d’alimentation du moteur.

Q28. Exprimer la vitesse de rotation Nm-rp, en tours·min−1, atteinte par le moteur en régime permanent en fonction

des grandeurs ψ, Umax, R, I et k.

Q29. Répondre sur le document réponse DR4. L’inducteur de la machine à courant continu (MCC) implantée

est alimenté par un redresseur monophasé non commandé : choisir, en le justifiant rigoureusement dans la zone prévue à cet effet, la courbe correspondante (signal A, B ou C). Indiquer à quelles technologies correspondent les deux autres courbes.

Q30. Quel paramètre permet de faire varier la vitesse de rotation du moteur à courant continu (MCC) avec ce variateur ? Sera-t-il le même si on remplace la machine à courant continu actuellement implantée dans le téléphérique par un moteur asynchrone (MAS) ? Si ce n’est pas le cas, quel serait alors ce paramètre ?

Q31. Quelle devrait être la stratégie de commande du moteur asynchrone (MAS) afin d’avoir le maximum de couple

au démarrage ?

Partie D – Étude de la sous-exigence « maintenir la vitesse des

nacelles la plus régulière possible » de l’exigence 1.2

Objectif Afin de répondre au mieux aux exigences Id = ’1.2’ (voir figure 2 page 2), il est nécessaire d’asservir la vitesse de déplacement des nacelles par un choix et réglage approprié du correcteur : c’est l’objet de cette partie.

Le schéma-bloc de l’asservissement de la vitesse de déplacement des nacelles est fourni figure 7 où le filtre numérique étudié précédemment est assimilé à un gain unitaire car sa constante de temps τ est très petite et a donc une influence négligeable sur les performances de l’asservissement.

Moteur

Cr(p)

Hr(p)

+ kad

ε(p) D(p) Um(p)

Ωm(p) Ωr(p)

Dh

Vc(p)

+

C(p)

Hvar(p)

Hm(p)

+

kréd

V (p)

−

Adaptateur de consigne

Correcteur

Variateur + loi

Réducteur

Transmission

de commande

kdt

Dynamo tachymétrique

Filtre

Figure 7 – Schéma-bloc de l’asservissement de la vitesse de déplacement v(t) des nacelles.

Q32. Le gain kad de l’adaptateur de consigne est réglé pour que l’écart ε soit nul quand l’erreur ζ = vc −v l’est, soit

quand v = vc (la vitesse de déplacement des nacelles est égale à celle de consigne) : déterminer l’expression du gain kad de l’adapteur de consigne en fonction du gain kdt de la génératrice tachymétrique et de certaines autres grandeurs du schéma-bloc de la figure 7.

Le comportement statique du variateur est modélisé par un gain pur.

Pour le comportement dynamique, on constate qu’une variation de la commande se répercute sur la tension continue um seulement après un certain de temps de retard Tv qui peut, en première approximation, être modélisé par un premier ordre de constante de temps égale à la moitié du retard (approximation dite « de Padé »).

La fonction de transfert du variateur et de sa loi de commande est donc approchée par la forme suivante :

Hvar(p) ≃ Kv

1 + Tv 2 p

Q33. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte Hbo(p) de l’asservissement de la figure 7

dans le cas d’une correction unitaire (C(p) = 1). Préciser la classe de cette fonction de transfert.

On souhaite que le système soit à la fois précis à une consigne d’accélération constante et insensible à une perturbation constante (erreur nulle dans les deux cas) et, pour que cette exigence soit respectée, on propose trois correcteurs :



1 + 1 Ti p



C3(p) = Kp



1 + Td p 1 + Tf p



C1(p) = Kp C2(p) = Kp

p

avec le gain Kp > 0 et les constantes de temps Ti > 0, Td > 0 et Tf > 0 (Tf ≪Td pour le filtrage à haute fréquence).

Q34. Quel(s) correcteur(s) peu(ven)t être utilisé(s) pour respecter les exigences de précision et d’insensibilité aux

perturbations du cahier des charges (la réponse doit être rigoureusement justifiée) ?

On choisit le correcteur C2(p) précédemment proposé avec Ti = Tv

2 = 5 s, valeur déterminée par une pré-étude.

L’objectif est maintenant de régler la valeur du gain Kp afin d’avoir une marge de gain MG ⩾12 dB et une marge de phase Mφ ⩾60◦, valeurs importantes qui assurent une absence totale d’oscillations transitoires. Le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte pour la valeur Kp = 1 est fourni dans le document réponse DR5.

Q35. Répondre sur le document réponse DR5. Dans la zone prévue à cet effet, donner la valeur minimale du

gain Kp qui permette de respecter l’exigence d’amortissement définie par les valeurs des marges de stabilité en justifiant la démarche et en laissant les tracés nécessaires sur le graphe fréquentiel.

Partie E – Synthèse

Objectif Les étapes précédentes ont permis de déterminer les valeurs en termes de puissance, pilotage et asservissement du système actuellement implanté, motorisé par une machine à courant continu (MCC).

Bien que très fiable, cette technologie ancienne pose des problèmes de maintenance (voir question Q36) et, comme évoqué tout au long du sujet, la station de La Bresse - Hohneck envisage son remplacement par un moteur asynchrone (MAS) bien plus courant actuellement : l’objet de cette partie est de justifier l’évolution technologique actuelle observée sur les remontées mécaniques et de choisir la référence adéquate d’un moteur asynchrone.

Q36. Quel est l’avantage principal du point de vue maintenance d’un moteur électrique asynchrone (MAS) par rapport

à un moteur électrique à courant continu à excitation indépendante (MCC) ?

Q37. En utilisant le tableau fourni sur la dernière page de l’énoncé et les calculs faits précédemment :

(a) choisir le moteur asynchrone (MAS) qui permettrait de remplacer le moteur à courant continu (MCC)

initialement implanté dans le télésiège (la démarche de choix doit être clairement justifiée) ;

(b) choisir le couplage du moteur asynchrone adapté au réseau triphasé disponible ;

(c) en déduire la valeur du facteur de sécurité s sur le dimensionnement pour ce nouveau moteur (définition

question Q14 page 5) puis, en supposant l’absence de contraintes techniques d’implantation, conclure quant à la pertinence d’évolution de la technologie du moteur dans le cas du télésiège Vologne Express ;

(d) et indiquer ce qu’il faudrait modifier sur la chaîne de puissance pour que le moteur asynchrone choisi

fonctionne avec un glissement minimal autour de sa vitesse nominale.

Synoptique du télésiège débrayable Vologne Express

Poulie réceptrice

Gare haute comportant tout l’ensemble de motorisation du câble (principal + secours), située à l’altitude hh = 1181 m

de diamètre Db

v

Câble

(P11)

Longueur du parcours Lp

Câble

Poulie motrice de diamètre Dh

−→ y0

v

Câble

g α

Réducteur principal de rapport kréd

−→ x0⃗

Moteur diesel

(P1)

de secours

Gare basse comportant le système de mise en tension

Coupleur (rapport 1) Réducteur du moteur de

du câble par ressort, située à l’altitude hb = 910 m

secours de rapport kr

Chaque gare dispose d’un système de débrayage imposant aux nacelles d’y évoluer à vitesse lente pour permettre aux usagers de s’asseoir ou de se lever sans danger.

Moteur principal à courant continu

THRIGE-ENCO Réf. LAK-4280-C

Notations et données numériques des grandeurs utilisées dans le sujet

Grandeur Notation Valeur Environnement du télésiège – longueur du parcours entre gares Lp 1217 m – pente de référence moyenne α 12,9◦

Vitesses des nacelles fixées au câble – fonctionnement normal (référence d’utilisation) vn 5,08 m · s−1

– fonctionnement à vitesse réduite (vent trop fort, etc.) vr 3,52 m · s−1

– fonctionnement de secours avec le moteur thermique vs 1,25 m · s−1

Poulies – diamètre de la poulie en gare basse Db 4,1 m – diamètre de la poulie en gare haute Dh 4,6 m – moment d’inertie autour de son axe de la poulie en gare basse Jb 16 200 kg · m2

– moment d’inertie autour de son axe de la poulie en gare haute Jh 25 700 kg · m2

Charge à déplacer – masse d’une nacelle + système de fixation sur le câble Mn 110 kg – masse maximale de la charge par nacelle Mc 650 kg – masse linéique du câble λ 7,81 kg·m−1

– accélération de la pesanteur g 9,81 m · s−2

Moteur à courant continu + réducteur (motorisation principale) – tension nominale um nom 400 V – vitesse nominale Nm nom 1267 tours · min−1

– puissance nominale Pm nom 415 kW – moment d’inertie du rotor autour de son axe Jm 23 kg · m2

– réducteur à engrenages principal kréd 1 / 60,07 Moteur diesel + réducteur (motorisation de secours) – vitesse maximale du moteur Ns max 3000 tours · min−1

– réducteur à engrenages du moteur kr 1 / 7,04

Extrait du catalogue GAMAK pour les moteurs asynchrones 400 V/ 690 V de forte puissance, valeurs nominales des grandeurs (rpm = tours · min−1).

Grandeurs Puissance Vitesse Intensité Couple cos φ Rendement Inertie rotor Masse Unités kW rpm A N · m — % kg · m2 kg Deux pôles GMM2E 355 M 2b 315 2980 530 1009,5 0,90 95,0 4,1 1300 GMM2E 355 M 2c 355 2980 600 1137,7 0,90 95,0 4,5 1360 GMM2E 355 L 2d 400 2980 670 1281,9 0,91 95,0 4,7 1520 GMM 355 L 2e 450 2980 750 1442,1 0,91 95,0 5,3 1630 Quatre pôles GMM2E 355 M 4b 315 1490 560 2019,0 0,85 95,1 6,0 1400 GMM2E 355 M 4c 355 1490 630 2275,3 0,86 95,1 6,5 1438 GMM2E 355 L 4d 400 1490 710 2563,8 0,86 95,1 7,2 1639 GMM 355 L 4e 450 1490 800 2884,2 0,85 95,4 8,2 1740 GMM 355 L 4f 500 1490 890 3204,7 0,85 95,1 9,1 1850 Six pôles GMM2E 355 L 6d 315 960 580 3038,6 0,83 95,0 10,7 1746 GMM2E 355 L 6e 355 960 650 3424,5 0,83 95,0 11,7 1890 GMM2E 400 L 6b 400 960 740 3839,2 0,82 95,0 19,6 2575 GMM 400 L 6c 450 995 840 4319,1 0,81 95,4 26,6 2705 GMM 400 L 6d 500 995 920 4799,0 0,82 95,4 29,2 2855

S026 - 6 janvier 2026 - 13:43:58 c b e a

⋄ Fin ⋄

Numérodeplace

Numérod￿inscription

Signature

Nom

Prénom

Épreuve:S2ITSI

/

Nerienportersurcettefeuilleavantd’avoircomplètementremplil’entête

Feuille

Diagramme de définitions de blocs (Block Definition Diagram, identifiant bdd) partiel du télésiège.

bdd [Vologne Express]

« Block »

« Block » Câble +

« Block » Armoire +

« Block »

« Block »

Zone de débrayage

Moteur électrique

Zone de débrayage

nacelles

variateur

« System »

« Block »

« Subsystem »

« Subsystem »

« Block »

Vologne Express

Poulie

Gare basse

Gare haute (accès pistes)

Poulie motrice

folle

(en station)

« Block » Système de

« Block »

« Block » Unité de traitement

« Block » Réducteur à

« Block » Génératrice tachymètrique

Pylône

tension

engrenages

DR1 — Description en chaînes fonctionnelles de l’asservissement de vitesse du câble tracteur par le système de motorisation implanté dans la gare haute.

Interface

Unité de traitement

hommemachine

Traiter l’information

Acquérir l’information

Altitude y1

Armoire électrique de puissance

Variateur à

Câble +

thyristors

nacelles

Distribuer la puissance

Moduler la puissance

Convertir la puissance

Adapter la puissance

Transmettre

la puissance

Altitude y2

Source d’énergie électrique triphasée

Ne rien écrire dans la partie barrée

"DR S026" - 8 janvier 2026 - 16 :36

DR2 — Schéma-bloc à compléter (fonctions de transfert + opérations dans les sommateurs).

Cr(p)

I(p) Cm(p)

Um(p)

Ωm(p)

E(p)

import .............................................................................

Justifications des blocs et détermination des fonctions de transfert

A = ................................................................................

B = ................................................................................

X = ................................................................................

DR4 — Courbes possibles pour l’alimentation de l’inducteur de la machine à courant continu

A

0 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180

B

−200

100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 −400

C

0 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180

DR3 — Identification de la résistance de la constante de couple par mesure sur site.

Explications

Continuer la rédaction page suivante

DR5 — Réglage du correcteur de l’asservissement de vitesse des nacelles.

Gain GdB(ω) (dB)

−10

−20

−30

−40

−50

10−1 100 101 102 −60

Phase φ(ω) (deg)

−90 −60 −30

10−1 100 101 102 −180 −150 −120

Pulsation ω (rad · s−1)

Réglage du gain Kp