Maths

# SESSION 2026 MP8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

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MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. • Ne pas utiliser de correcteur. • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. ________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. On rappelle que Cn−1[X] est le C−espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n −1, à coefficients complexes.

Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Pour tout endomorphisme v de Cn−1[X] et tout entier naturel m, on rappelle que : v0 = Id où Id est l’endomorphisme identité de Cn−1[X] et lorsque m est non nul, vm = v ○vm−1.

On considère l’application u définie par :

∀P ∈Cn−1[X], u(P) = Q où Q(X) = P(X + 1).

1. Étude de u

1.1. Vérifier que u est un endomorphisme de Cn−1[X].

1.2. Soit B = (P0, P1,..., Pn−1) la base canonique ordonnée de Cn−1[X], c’est à dire :

∀j ∈⟦0,n −1⟧, Pj(X) = X j.

Pour tout j ∈⟦0,n −1⟧, déterminer l’expression de u(Pj) dans la base B.

1.3. Déterminer alors la matrice M de u dans la base B. On fera clairement apparaître sur la copie les deux premières colonnes ainsi que la k-ième colonne de la matrice M pour un entier naturel k ∈⟦3,n −2⟧.

1.4. Déterminer le polynôme caractéristique χu de l’endomorphisme u.

1.5. L’endomorphisme u est-il diagonalisable?

1.6. Justifier que l’endomorphisme u est un automorphisme de Cn−1[X] et préciser u−1.

1.7. Déterminer M−1.

1.8. Soit k ∈N. Déterminer uk.

2. On note ∆= u −Id.

2.1. Montrer que ∆est nilpotent avec : ∆n = 0.

2.2. L’endomorphisme ∆est-il diagonalisable?

3. Démontrer qu’il existe des entiers relatifs (ak)k∈⟦0,n−1⟧∈Zn, que l’on déterminera, tels que :

n−1 ∑ k=0

∀P ∈Cn−1[X], P(X + n) +

ak P(X + k) = 0.

EXERCICE 2

Dans tout l’exercice, a désigne un nombre réel.

+∞ ∑ n=1

+∞ ∑ n=1

Pour tout réel s > 1, on appelle ζ(s) =

1 ns et l’on rappelle que : ζ(2) =

1 n2 = π2

6 .

1. Justifier la convergence de la série de terme général un = 1 n2 + a2.

0 sin(at)

+∞

2. Justifier l’existence de l’intégrale ∫

et −1 dt.

+∞ ∑ k=1

3. Prouver que, pour tout t > 0, 1 et −1 =

e−k t.

+∞

4. Prouver que : ∀k ∈N∗, ∫

0 (sin(at))e−k t dt = a a2 + k2.

0 sin(at)

+∞ ∑ k=1

+∞

5. Démontrer que : ∫

et −1 dt = a

1 a2 + k2.

On pourra utiliser, en la démontrant, l’inégalité valable pour tout x ∈R : ∣sin(x)∣⩽∣x∣. Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.

+∞ ∑ k=1

1 a2 + k2.

6. Déterminer : lim a→0

Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.

0 sin(at)

+∞

7. Développement en série entière de la fonction H ∶a →∫

et −1 dt

7.1. Prouver que :

+∞ ∑ n=0

(−1)n (a

2n .

∀a ∈] −1,1[, ∀k ⩾1, 1 a2 + k2 = 1

k)

k2

7.2. Démontrer alors que :

+∞ ∑ n=0

∀a ∈] −1,1[, H(a) =

(−1)n ζ(2n + 2)a2n+1.

7.3. Montrer que H est de classe C∞sur ] −1,1[.

7.4. Déterminer H(p)(0) pour tout p ∈N.

0 ln(t)

8. Montrer que l’intégrale ∫

t −1 dt est convergente.

9. Montrer que : ∀p ∈N, l’intégrale Ip = ∫

0 tp ln(t)dt converge.

10. Soit p ∈N. Calculer Ip.

11. Prouver que :

0 ln(t)

+∞ ∑ p=1

1 p2.

t −1 dt =

∫

Le théorème utilisé sera cité avec précision et on s’assurera que ses hypothèses sont bien vérifiées.

0 ln(t)

12. Déterminer enfin la valeur de ∫

t −1 dt.

EXERCICE 3

Question de cours

1. Soient a un réel non nul et n un entier naturel non nul, écrire le développement limité en 0 des fonctions :

●t ↦ea t à l’ordre n,

●t ↦ln(1 + at) à l’ordre 2.

* * * * *

Pour X une variable aléatoire discrète finie, à valeurs dans R+, définie sur un espace probabilisé (Ω,A ,P), on note (xi)i∈⟦1,k⟧avec 0 ⩽x1 < ⋯< xk, où k est un entier naturel supérieur ou égal à 1, les valeurs prises par la variable aléatoire X avec une probabilité non nulle. On pose :

∀i ∈⟦1,k⟧, P(X = xi) = pi > 0.

On définit alors l’application ΦX de R∗dans R par :

k ∑

∀t ∈R∗, ΦX(t) = 1

t ln(

pi exi t).

i=1

2. Étude d’exemples

2.1. Déterminer ΦX si X est une variable aléatoire certaine à valeur dans R+.

2.2. Soit Z une variable aléatoire telle que :

P(Z = 0) = P(Z = 1) = 1

2.

2.2.1. Déterminer, pour tout t ∈R∗, ΦZ(t).

2.2.2. Montrer que ΦZ peut être prolongée en une fonction ˜ΦZ dérivable sur R.

3. Étude générale. On suppose pour la suite que k ⩾2.

3.1. Déterminer un développement limité de ΦX à l’ordre 1 en 0.

3.2. En déduire que ΦX peut être prolongée en une fonction ˜ΦX dérivable sur R.

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 26 1006 – D’après documents fournis

3.3. Montrer que ˜ΦX(0) est égal à E(X), l’espérance de la variable aléatoire X.

3.4. Reconnaître ˜Φ′ X(0).

3.5. Déterminer les limites de ˜ΦX en +∞et −∞.

3.6. La fonction ˜ΦX peut-elle être impaire? On justifiera soigneusement la réponse proposée.

4. Soit t ∈R∗. Déterminer une relation entre ΦX(t) et E(et X), espérance de la variable aléatoire et X.

5. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes finies, à valeurs dans R+ et indépendantes. Trouver une relation entre ΦX+Y, ΦX et ΦY.

FIN