Maths

# e3a-Polytech MPI — Mathématiques 2026 · Corrigé guidé

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

## Présentation du sujet

Épreuve de 4 heures, **calculatrices interdites**, composée de **trois exercices indépendants** totalisant 40 questions. Le sujet est d'une difficulté modérée, typique d'e3a : beaucoup de questions courtes et guidées, où les points se gagnent sur la **précision des justifications** (hypothèses des théorèmes, cas particuliers) plus que sur des idées difficiles.

- **Exercice 1 (17 questions) — probabilités et optimisation.** Des préliminaires (convexité de $t\mapsto t^n$, inégalité de Jensen, matrice $J$ dont tous les coefficients valent 1) préparent un problème : on répète $n$ fois une épreuve à $r$ issues de probabilités $x_1,\dots,x_r$, et l'on calcule l'espérance du nombre d'issues jamais obtenues, $\mathbb E(X)=\sum_j(1-x_j)^n$. On la minimise ensuite sous la contrainte $\sum x_j=1$ de deux façons : calcul différentiel (gradient, point critique, hessienne, qui fait réapparaître $I+J$) pour un minimum **local**, puis convexité pour le minimum **global**.
- **Exercice 2 (13 questions) — séries de fonctions et séries entières.** On étudie $E_k(x)=\sum_{m\in\mathbb Z}\frac1{(x+m)^k}$ (pour $k=1$, en regroupant les termes $m$ et $-m$) : existence, périodicité, parité, dérivation terme à terme ($E_k'=-kE_{k+1}$), puis développement de $E_1$ au voisinage de $0$ faisant apparaître les $\zeta(2s)$ grâce au théorème de Fubini pour les séries doubles. (On peut montrer, hors sujet, que $E_1(x)=\pi\cot(\pi x)$.)
- **Exercice 3 (10 questions) — réduction.** Une matrice « en flèche » symétrique, nulle sauf sa dernière ligne et sa dernière colonne. Sur $\mathbb R$, le théorème spectral garantit la diagonalisation, qu'on explicite (rang 2, noyau, deux valeurs propres non nulles racines d'un trinôme). Sur $\mathbb C$, une matrice symétrique n'est plus forcément diagonalisable : on obtient une condition nécessaire et suffisante.

**Notions mobilisées** : convexité, inégalité de Jensen ; polynôme annulateur, théorème spectral, matrices symétriques définies positives ; variables de Bernoulli, linéarité de l'espérance ; ouverts de $\mathbb R^p$, gradient, hessienne, condition du second ordre ; séries de Riemann, séries de fonctions (convergence normale, dérivation terme à terme), séries entières, familles sommables ; rang, sous-espaces propres, multiplicités, polynôme caractéristique.

**Questions à ne pas laisser passer** : tout l'exercice 3 partie 1, les préliminaires de l'exercice 1, les questions 4.x et 5.1 à 5.5 de l'exercice 1, les questions 1 à 5 et 7–8 de l'exercice 2. Les questions qui demandent le plus de rédaction sont 5.6.3 (exercice 1), 6.1 et 9 (exercice 2), 2.1 (exercice 3).

**Gestion du temps** : environ 1 h 20 par exercice. L'exercice 3 partie 1 est le plus mécanique ; l'exercice 2 est le plus exigeant en rédaction, et la question 9 demande explicitement de citer un théorème « avec précision ».

## Exercice 1 — Questions préliminaires

Trois résultats isolés en apparence ; ils servent tous à la fin de l'exercice : la convexité stricte en 5.6.3, la matrice $I_p+J$ en 5.6.2.

### Question 1

> [!INDICATION]
> Une fonction de classe $\mathcal C^2$ sur un intervalle est convexe si sa dérivée seconde y est positive.

#### Solution

$\varphi$ est polynomiale, donc $\mathcal C^2$, et pour $t\in\,]0,1[$, $\varphi''(t)=n(n-1)t^{n-2}>0$ (car $n\ge2$ et $t>0$). Donc **$\varphi$ est convexe sur $]0,1[$**. Mieux : $\varphi'$ est strictement croissante sur $]0,1[$, donc $\varphi$ est strictement convexe.

> [!METHODE]
> Noter dès maintenant le caractère **strict** ($\varphi''>0$, pas seulement $\ge0$) : c'est ce qui donnera l'unicité du minimum en 5.6.3.

### Question 2

> [!INDICATION]
> Énoncer l'inégalité pour une famille finie de points de $]0,1[$ et de poids positifs de somme 1.

#### Solution

Pour $m\ge1$, $t_1,\dots,t_m\in\,]0,1[$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_m\ge0$ avec $\sum_i\lambda_i=1$ :
$$\Big(\sum_{i=1}^m\lambda_it_i\Big)^n\le\sum_{i=1}^m\lambda_it_i^{\,n}.$$
Avec des poids égaux $\lambda_i=\frac1m$ : $\Big(\frac1m\sum_i t_i\Big)^n\le\frac1m\sum_i t_i^{\,n}$.

> [!PIEGE]
> Le sens de l'inégalité : pour une fonction convexe, l'image de la moyenne est **inférieure** à la moyenne des images. Pour s'en souvenir, penser à $t\mapsto t^2$ : le carré de la moyenne est inférieur à la moyenne des carrés.

### Question 3.1

> [!INDICATION]
> Calculer $J^2$ coefficient par coefficient.

#### Solution

$(J^2)_{ij}=\sum_{k=1}^p1\cdot1=p$, donc $J^2=pJ$ : le polynôme $X^2-pX=X(X-p)$, de degré 2, annule $J$.

### Question 3.2

> [!INDICATION]
> Les valeurs propres d'une matrice sont parmi les racines de tout polynôme annulateur.

> [!INDICATION]
> Relier les vecteurs propres de $J$ à ceux de $I_p+J$.

#### Solution

$\mathrm{Sp}(J)\subset\{0,p\}$. Et $(I_p+J)V=\nu V\iff JV=(\nu-1)V$ : donc $\mathrm{Sp}(I_p+J)=1+\mathrm{Sp}(J)\subset\{1,1+p\}$.

Les deux valeurs sont effectivement atteintes ($J$ est de rang 1 avec $p\ge2$, et $J(1,\dots,1)^T=p(1,\dots,1)^T$), mais la question ne demande que les valeurs « possibles ».

> [!PIEGE]
> Un polynôme annulateur donne une **inclusion** du spectre dans l'ensemble de ses racines, pas une égalité. Écrire « $\mathrm{Sp}(J)=\{0,p\}$ » sans justification supplémentaire est une affirmation non démontrée.

### Question 3.3

> [!INDICATION]
> Il faut deux choses : la symétrie, puis le signe des valeurs propres.

> [!INDICATION]
> Pour passer des valeurs propres à la forme quadratique $V^T(I_p+J)V$, utiliser une base orthonormée de vecteurs propres.

#### Solution

$I_p+J$ est symétrique réelle. Par le théorème spectral, il existe une base orthonormée $(e_i)$ de vecteurs propres associés à $\mu_i\in\{1,1+p\}$. Pour $V=\sum v_ie_i\ne0$, $V^T(I_p+J)V=\sum_i\mu_iv_i^2>0$. Donc $I_p+J\in\mathcal S_p^{++}(\mathbb R)$.

Variante directe : $V^T(I_p+J)V=\|V\|^2+\big(\sum_iv_i\big)^2>0$ pour $V\neq0$.

> [!METHODE]
> Pour une matrice symétrique réelle : définie positive $\iff$ toutes ses valeurs propres sont strictement positives. C'est l'outil qui fera fonctionner 5.6.2.

## Exercice 1 — Une expression de l'espérance de $X$

On modélise par des indicatrices ; aucune indépendance n'est nécessaire pour l'espérance.

### Question 4.1

> [!INDICATION]
> $X_j$ ne prend que les valeurs 0 et 1 : quelle loi ? Il suffit de calculer $\mathbb P(X_j=1)$.

> [!INDICATION]
> $(X_j=1)$ est l'intersection de $n$ événements indépendants.

#### Solution

$X_j$ suit une loi de Bernoulli. $(X_j=1)$ : « $\alpha_j$ n'apparaît à aucune des $n$ épreuves » ; à chaque épreuve cela a lieu avec probabilité $1-x_j$, et les épreuves sont indépendantes :
$$\mathbb P(X_j=1)=(1-x_j)^n,\qquad\mathbb P(X_j=0)=1-(1-x_j)^n,\qquad X_j\sim\mathcal B\big((1-x_j)^n\big).$$

> [!PIEGE]
> Ici $X_j=1$ code l'**absence** de $\alpha_j$. Une inversion à ce stade fausse tout l'exercice.

### Question 4.2

> [!INDICATION]
> Que compte la somme de toutes les indicatrices ?

#### Solution

$X=\sum_{j=1}^rX_j$ : la somme compte les $j$ pour lesquels $\alpha_j$ n'a pas été obtenu.

### Question 4.3

> [!INDICATION]
> Linéarité de l'espérance.

#### Solution

$\mathbb E(X)=\sum_j\mathbb E(X_j)=\sum_j\mathbb P(X_j=1)=\sum_{j=1}^r(1-x_j)^n$.

> [!PIEGE]
> Les $X_j$ ne sont **pas** indépendantes (par exemple, elles ne peuvent pas valoir toutes 1, puisqu'une issue au moins est obtenue). La linéarité de l'espérance n'en a pas besoin.

## Exercice 1 — Minimisation de $\mathbb E(X)$

On se ramène à une fonction de $r-1$ variables libres sur un ouvert, on cherche ses points critiques, on étudie la hessienne, puis on conclut globalement par convexité.

### Question 5.1

> [!INDICATION]
> Pour $r=3$, trois inégalités strictes sur $(x_1,x_2)$ : trois demi-plans ouverts.

#### Solution

$U=\{x_1>0,\ x_2>0,\ x_1+x_2<1\}$ est l'intérieur du triangle de sommets $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, **côtés exclus** (tirets sur la figure).

![Figure 1 — Domaine U pour r = 3 : intérieur du triangle de sommets (0, 0), (1, 0), (0, 1), côtés et sommets exclus](/figures/corriges/e3a-polytech_mpi_maths_2026/q5-1-domaine-u.svg)

### Question 5.2

> [!INDICATION]
> Image réciproque d'un ouvert par une application continue ; intersection finie d'ouverts.

> [!INDICATION]
> Pour borner, encadrer chaque coordonnée.

#### Solution

*Ouvert* : $x\mapsto x_k$ et $x\mapsto\sum_jx_j$ sont linéaires, donc continues sur $\mathbb R^{r-1}$ ; $\{x_k>0\}$ et $\{\sum_jx_j<1\}$ sont des images réciproques d'intervalles ouverts, donc des ouverts, et $U$ est l'intersection de ces $r$ ouverts.

*Borné* : pour $x\in U$, $0<x_k\le\sum_jx_j<1$, donc $U\subset\,]0,1[^{r-1}$.

### Question 5.3

> [!INDICATION]
> Éliminer $x_r$ grâce à la contrainte ; que devient $1-x_r$ ?

#### Solution

$x_r=1-\sum_{j<r}x_j$ et $1-x_r=\sum_{j<r}x_j$. Pour $(x_1,\dots,x_{r-1})\in U$, on a bien $x_r\in\,]0,1[$, et
$$h(x_1,\dots,x_{r-1})=\sum_{j=1}^{r-1}(1-x_j)^n+\Big(\sum_{j=1}^{r-1}x_j\Big)^n.$$

> [!METHODE]
> C'est la façon standard de traiter un extremum sous une contrainte affine : on paramètre l'ensemble des contraintes par $r-1$ variables libres, sur un **ouvert**, pour pouvoir utiliser la condition nécessaire $\nabla h=0$.

### Question 5.4

> [!INDICATION]
> De quel type de fonction s'agit-il ?

#### Solution

$h$ est polynomiale en $(x_1,\dots,x_{r-1})$, donc de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^{r-1}$, a fortiori $\mathcal C^2$ sur $U$.

### Question 5.5.1

> [!INDICATION]
> Deux termes dépendent de $x_j$ : $(1-x_j)^n$ et la puissance de la somme.

#### Solution

Avec $s=\sum_kx_k$ :
$$\frac{\partial h}{\partial x_j}(m)=-n(1-x_j)^{n-1}+n\,s^{n-1}.$$

> [!PIEGE]
> Oublier la contribution de $s^n$, qui dépend de toutes les variables.

### Question 5.5.2

> [!INDICATION]
> Annuler toutes les dérivées partielles ; sur $U$, les quantités élevées à la puissance $n-1$ sont strictement positives.

> [!INDICATION]
> L'injectivité de $t\mapsto t^{n-1}$ sur $]0,+\infty[$ montre que tous les $x_j$ sont égaux.

#### Solution

Sur $U$, $s>0$ et $1-x_j>0$ ; $t\mapsto t^{n-1}$ étant injective sur $]0,+\infty[$, $\nabla h(m)=0\iff\forall j,\ 1-x_j=s$. Tous les $x_j$ valent donc $c=1-s$, d'où $s=(r-1)c$ et $1-c=(r-1)c$, soit $c=\frac1r$. Réciproquement $(\frac1r,\dots,\frac1r)\in U$ annule le gradient. L'unique point critique est $b=(\frac1r,\dots,\frac1r)$.

> [!PIEGE]
> Pour $n-1$ pair, $t\mapsto t^{n-1}$ n'est pas injective sur $\mathbb R$ : il faut dire que les quantités sont positives.

### Question 5.6.1

> [!INDICATION]
> Dériver le gradient : distinguer $i=j$ et $i\ne j$. Puis évaluer en $b$, où $s$ et $1-x_j$ prennent la même valeur.

#### Solution

$$\frac{\partial^2h}{\partial x_i\partial x_j}(m)=n(n-1)s^{n-2}+\delta_{ij}\,n(n-1)(1-x_j)^{n-2}.$$
En $b$, $s=1-x_j=\frac{r-1}r$, donc
$$H_h(b)=A\,(I_{r-1}+J),\qquad A=n(n-1)\Big(\frac{r-1}r\Big)^{n-2}>0,$$
où $J$ est la matrice de taille $r-1$ dont tous les coefficients valent 1.

> [!METHODE]
> Reconnaître la matrice des préliminaires (avec $p=r-1\ge2$, ce qui explique l'hypothèse $r\ge3$) : c'est le fil conducteur de l'exercice.

### Question 5.6.2

> [!INDICATION]
> Condition suffisante du second ordre : point critique et hessienne définie positive.

> [!INDICATION]
> Utiliser 3.3 avec la bonne valeur de $p$, et le signe de $A$.

#### Solution

D'après 3.3, $I_{r-1}+J\in\mathcal S^{++}_{r-1}(\mathbb R)$ ; comme $A>0$, $H_h(b)\in\mathcal S^{++}_{r-1}(\mathbb R)$. $h$ est $\mathcal C^2$ sur l'ouvert $U$, $b$ est critique, la hessienne y est définie positive : **$h$ admet un minimum local strict en $b$**. En ce point $x_r=1-\frac{r-1}r=\frac1r$ : $\mathbb E(X)$ admet un minimum local pour $x_1=\dots=x_r=\frac1r$.

> [!JURY]
> La condition du second ordre suppose une fonction $\mathcal C^2$ sur un **ouvert** et un point **critique** : on rappelle explicitement les trois hypothèses avant de conclure.

### Question 5.6.3

> [!INDICATION]
> Appliquer Jensen avec des poids égaux aux $r$ nombres $u_j=1-x_j$ ; calculer leur somme.

> [!INDICATION]
> Pour le « seulement si », il faut un cas d'égalité. Penser à la position de la courbe d'une fonction strictement convexe par rapport à une de ses tangentes.

> [!INDICATION]
> Écrire $\varphi(t)-\varphi(\mu)-\varphi'(\mu)(t-\mu)$ comme une intégrale de $\varphi'(v)-\varphi'(\mu)$, puis sommer en $t=u_j$ avec $\mu$ la moyenne des $u_j$.

#### Solution

Soit $(x_j)\in\,]0,1[^r$ avec $\sum x_j=1$, $u_j=1-x_j\in\,]0,1[$. Alors $\sum_ju_j=r-1$, de moyenne $\mu=\frac{r-1}r$.

*Minoration.* Par Jensen à poids $\frac1r$ : $\mu^n\le\frac1r\sum_ju_j^n=\frac1r\mathbb E(X)$, donc $\mathbb E(X)\ge r\big(\frac{r-1}r\big)^n$, valeur atteinte en $x_j=\frac1r$.

*Égalité.* Posons $g(t)=\varphi(t)-\varphi(\mu)-\varphi'(\mu)(t-\mu)=\int_\mu^t(\varphi'(v)-\varphi'(\mu))\,dv$. Comme $\varphi'$ est strictement croissante, l'intégrande a le signe de $v-\mu$, donc $g(t)>0$ si $t\ne\mu$, et $g(\mu)=0$. Or
$$\sum_{j=1}^rg(u_j)=\sum_ju_j^n-r\mu^n-\varphi'(\mu)\sum_j(u_j-\mu)=\mathbb E(X)-r\Big(\frac{r-1}r\Big)^n,$$
puisque $\sum_j(u_j-\mu)=0$. Une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chacun est nul : $\mathbb E(X)=r\big(\frac{r-1}r\big)^n$ si et seulement si tous les $u_j$ valent $\mu$, c'est-à-dire tous les $x_j$ valent $\frac1r$.

**Conclusion** : $\mathbb E(X)$ est minimale (de minimum $r\big(\frac{r-1}r\big)^n$) si et seulement si $x_1=\dots=x_r=\frac1r$.

> [!PIEGE]
> Écrire « par stricte convexité, il y a égalité si et seulement si les $u_j$ sont égaux » sans démonstration : le cas d'égalité de Jensen n'est pas un résultat du cours, et c'est précisément le sens « seulement si » qui est demandé.

> [!METHODE]
> Le minimum local de 5.6.2 ne donne rien de global ; la convexité, elle, donne directement un minimum global et son unicité. Les deux approches sont complémentaires.

## Exercice 2 — Question de cours

Deux rappels qui serviront de briques : séries de Riemann (pour toutes les comparaisons) et série géométrique (pour la question 7).

### Question 1

> [!INDICATION]
> Résultat de cours sur les séries de Riemann.

#### Solution

$\sum_{n\ge1}\frac1{n^x}$ converge si et seulement si $x>1$ ; on note alors $\zeta(x)$ sa somme.

### Question 2

> [!INDICATION]
> Série géométrique : rayon, comportement au bord, somme.

#### Solution

Rayon de convergence $1$, intervalle de convergence $]-1,1[$ (divergence grossière en $\pm1$), et $\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=\frac1{1-t}$ pour $|t|<1$.

## Exercice 2 — Les fonctions $E_k$

On établit l'existence, la périodicité et la parité, en faisant attention au cas $k=1$, où seules les **paires** de termes forment une série convergente.

### Question 3

> [!INDICATION]
> Réduire $\frac1{x-n}+\frac1{x+n}$ au même dénominateur, puis donner un équivalent quand $n\to+\infty$.

#### Solution

Pour $n\ge1$, $x\pm n\ne0$ car $x\notin\mathbb Z$, et $\frac1{x-n}+\frac1{x+n}=\frac{2x}{x^2-n^2}\sim-\frac{2x}{n^2}$. Le terme général est $O(1/n^2)$, donc la série converge absolument (comparaison à une série de Riemann convergente). Comme $x\ne0$, **$E_1(x)$ existe**.

> [!PIEGE]
> Les séries $\sum\frac1{x-n}$ et $\sum\frac1{x+n}$ **divergent** séparément (elles se comportent comme la série harmonique). On ne doit jamais les séparer pour $k=1$, ni ici ni dans la suite.

### Question 4.1

> [!INDICATION]
> Pour $k\ge2$, chaque série se traite seule : un équivalent du module du terme général suffit.

#### Solution

$\big|\frac1{(x\pm n)^k}\big|\sim\frac1{n^k}$ avec $k\ge2>1$ : par comparaison de séries à termes positifs, les deux séries convergent absolument.

### Question 4.2

> [!INDICATION]
> Somme d'un terme défini et de deux séries convergentes.

#### Solution

$x\ne0$ et les deux séries de 4.1 convergent : $E_k(x)$ existe pour $k\ge2$.

Dans toute la suite, on note $u_{k,n}(x)=\frac1{(x-n)^k}+\frac1{(x+n)^k}$, de sorte que, pour **tout** $k\ge1$, $E_k(x)=\frac1{x^k}+\sum_{n\ge1}u_{k,n}(x)$.

> [!METHODE]
> Cette écriture unique par paires $u_{k,n}$ permet de traiter tous les $k$ (y compris $k=1$) d'un seul coup dans les questions 5 et 6.

### Question 5.1

> [!INDICATION]
> Raisonner sur des sommes partielles **finies** symétriques, de $m=-N$ à $m=N$.

> [!INDICATION]
> Après le décalage $x\to x+1$, comparer les deux sommes finies : il reste deux termes « de bord ».

#### Solution

Pour $N\ge1$, soit $S_N(x)=\frac1{x^k}+\sum_{n=1}^Nu_{k,n}(x)=\sum_{m=-N}^N\frac1{(x+m)^k}$ ; $S_N(x)\to E_k(x)$. Par changement d'indice,
$$S_N(x+1)=\sum_{m=-N+1}^{N+1}\frac1{(x+m)^k}=S_N(x)-\frac1{(x-N)^k}+\frac1{(x+N+1)^k}.$$
Les termes de bord tendent vers $0$ ; à la limite, $E_k(x+1)=E_k(x)$ pour tout $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z$ (et $x+1\in\mathbb R\setminus\mathbb Z$) : **$E_k$ est 1-périodique**.

> [!PIEGE]
> Réindexer directement « la série $\sum_n\frac1{x+1-n}$ » n'a pas de sens pour $k=1$ (elle diverge). Sur des sommes finies, toutes les manipulations sont licites ; on ne passe à la limite qu'à la fin.

### Question 5.2

> [!INDICATION]
> Comparer $u_{k,n}(-x)$ et $u_{k,n}(x)$, terme apparié par terme apparié.

#### Solution

$u_{k,n}(-x)=\frac1{(-(x+n))^k}+\frac1{(-(x-n))^k}=(-1)^ku_{k,n}(x)$ et $\frac1{(-x)^k}=\frac{(-1)^k}{x^k}$. En sommant la série convergente des $u_{k,n}$ :
$$E_k(-x)=(-1)^kE_k(x),$$
sur $\mathbb R\setminus\mathbb Z$, symétrique par rapport à $0$. **$E_k$ est paire si $k$ est pair, impaire si $k$ est impair.**

> [!PIEGE]
> Pour $k=1$, écrire $E_1(-x)$ comme somme de deux séries séparées puis « factoriser » : c'est manipuler deux séries divergentes. Le calcul sur les paires évite le problème.

## Exercice 2 — Une relation de récurrence

Le théorème de dérivation terme à terme donne $E_k'=-kE_{k+1}$ ; une récurrence en déduit la régularité et l'expression de $E_k$ par les dérivées de $E_1$.

### Question 6.1

> [!INDICATION]
> Théorème de dérivation terme à terme : il porte sur un **intervalle**. Or $\mathbb R\setminus\mathbb Z$ n'en est pas un ; découper.

> [!INDICATION]
> Sur un segment $[\alpha,\beta]$ inclus dans $]p,p+1[$, minorer $|x\pm n|$ par $n/2$ pour $n$ assez grand, puis majorer $|u_{k,n}'|$ uniformément.

#### Solution

Fixons $k\ge1$, $p\in\mathbb Z$ et $I_p=\,]p,p+1[$.

- $u_{k,n}\in\mathcal C^1(I_p)$ et $u_{k,n}'=-k\,u_{k+1,n}$.
- $\sum u_{k,n}$ converge simplement sur $I_p$ (questions 3 et 4).
- Sur $[\alpha,\beta]\subset I_p$, avec $A=\max(|\alpha|,|\beta|)$ : pour $n\ge2A$, $|x\pm n|\ge n-|x|\ge\frac n2$, donc $\sup_{[\alpha,\beta]}|u_{k,n}'|\le\frac{2^{k+2}k}{n^{k+1}}$, terme d'une série convergente ($k+1\ge2$). Donc $\sum u_{k,n}'$ converge normalement, donc uniformément, sur tout segment de $I_p$.

Le théorème de dérivation terme à terme s'applique : $\sum_nu_{k,n}$ est $\mathcal C^1$ sur $I_p$ et se dérive terme à terme. D'où, sur chaque $I_p$, donc sur $\mathbb R\setminus\mathbb Z$ :
$$E_k'(x)=-\frac k{x^{k+1}}-k\sum_{n\ge1}u_{k+1,n}(x)=-k\,E_{k+1}(x).$$

> [!METHODE]
> Schéma standard : **convergence simple** de la série, **dérivées continues**, **convergence uniforme (ici normale) de la série des dérivées sur tout segment** de l'intervalle. La convergence n'est pas uniforme au voisinage des entiers ; on ne la demande que sur les segments.

> [!JURY]
> Une dérivation terme à terme sans les hypothèses du théorème n'est pas une justification : on énonce le théorème, on vérifie chaque hypothèse, et on précise l'intervalle sur lequel on travaille.

### Question 6.2

> [!INDICATION]
> Pour la régularité, une récurrence sur l'ordre de dérivation valable pour **tous** les $k$ simultanément.

> [!INDICATION]
> Pour la formule, une récurrence sur $k$ utilisant $E_{k+1}=-\frac1kE_k'$.

#### Solution

*Régularité.* Hypothèse $\mathcal P(q)$ : « pour tout $k\ge1$, $E_k\in\mathcal C^q(\mathbb R\setminus\mathbb Z)$ ». $\mathcal P(0)$ : $E_k$ est dérivable donc continue. Si $\mathcal P(q)$, alors $E_k'=-kE_{k+1}$ est $\mathcal C^q$, donc $E_k$ est $\mathcal C^{q+1}$. Ainsi chaque $E_k$ est $\mathcal C^\infty$.

*Formule.* $k=1$ : trivial. Si $E_k=\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}E_1^{(k-1)}$, alors
$$E_{k+1}=-\frac1kE_k'=-\frac1k\cdot\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}E_1^{(k)}=\frac{(-1)^k}{k!}E_1^{(k)}.$$
Donc $E_k=\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}E_1^{(k-1)}$ pour tout $k\ge1$.

> [!PIEGE]
> Une récurrence qui ne porterait que sur $E_1$ (« $E_1$ est $\mathcal C^p$ ») oblige à invoquer 6.1 pour $E_{p+1}$ ; c'est correct, mais il faut le dire. La version « pour tout $k$ simultanément » ci-dessus est la plus propre.

### Question 7

> [!INDICATION]
> Faire apparaître une série géométrique de raison $x/n$.

#### Solution

$\big|\frac xn\big|\le|x|<1$, donc par la question 2, $\sum_k\frac{x^k}{n^{k+1}}=\frac1n\sum_k\big(\frac xn\big)^k$ converge et vaut $\frac1n\cdot\frac n{n-x}=\frac1{n-x}$ (et $n-x>0$).

### Question 8

> [!INDICATION]
> Appliquer 7 en $x$ et en $-x$, puis soustraire.

> [!INDICATION]
> Que deviennent les termes d'indice pair ? Réindexer les impairs par $k=2s-1$.

#### Solution

Pour $n\ge1$ :
$$\frac1{n-x}-\frac1{n+x}=\sum_{k\ge0}\frac{(1-(-1)^k)x^k}{n^{k+1}}=\sum_{s\ge1}\frac{2x^{2s-1}}{n^{2s}},$$
les termes d'indice pair étant nuls. Le membre de gauche, égal à $\frac{2x}{n^2-x^2}=O(1/n^2)$, est le terme général d'une série convergente ; en sommant sur $n$ :
$$\sum_{n\ge1}\Big(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\Big)=\sum_{n\ge1}\sum_{s\ge1}\frac2{n^{2s}}x^{2s-1}.$$

> [!METHODE]
> Aucune interversion n'est faite ici : on somme sur $n$ une égalité établie pour chaque $n$. L'interversion est le travail de la question suivante.

### Question 9

> [!INDICATION]
> Relier le membre de gauche de 8 à $E_1(x)$, puis échanger l'ordre des deux sommations pour faire apparaître $\zeta(2s)$.

> [!INDICATION]
> Le théorème adapté est celui de Fubini pour les séries doubles ; son hypothèse porte sur les **valeurs absolues**.

> [!INDICATION]
> Pour $n$ fixé, $\sum_s|a_{n,s}|$ est une série géométrique : calculer sa somme et la majorer par une constante fois $\frac1{n^2}$.

#### Solution

Comme $\frac1{x-n}+\frac1{x+n}=-\big(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\big)$, la question 8 donne $E_1(x)=\frac1x-\sum_n\sum_sa_{n,s}$ avec $a_{n,s}=\frac{2x^{2s-1}}{n^{2s}}$.

**Théorème de Fubini pour les séries doubles.** Si $(a_{n,s})_{(n,s)\in\mathbb N^*\times\mathbb N^*}$ est une famille de complexes telle que, pour tout $n$, $\sum_s|a_{n,s}|$ converge, et que $\sum_n\sum_{s=1}^{+\infty}|a_{n,s}|$ converge, alors la famille est sommable, toutes les séries $\sum_na_{n,s}$ et $\sum_sa_{n,s}$ convergent, et $\sum_n\sum_sa_{n,s}=\sum_s\sum_na_{n,s}$.

**Hypothèses.** Pour $n\ge1$, série géométrique de raison $\frac{x^2}{n^2}<1$ :
$$\sum_{s\ge1}|a_{n,s}|=\frac{2|x|}{n^2}\cdot\frac1{1-x^2/n^2}=\frac{2|x|}{n^2-x^2}\le\frac{2|x|}{(1-x^2)\,n^2},$$
et $\sum_n\frac1{n^2}$ converge : les hypothèses sont satisfaites.

**Conclusion.** $\sum_na_{n,s}=2x^{2s-1}\zeta(2s)$, d'où, pour $x\in\,]-1,1[\setminus\{0\}$,
$$E_1(x)=\frac1x-2\sum_{s=1}^{+\infty}\zeta(2s)\,x^{2s-1}.$$

> [!PIEGE]
> Intervertir les deux sommes sans vérifier la sommabilité : le résultat est juste, mais la question porte précisément sur la justification. L'énoncé demande de citer le théorème « avec précision ».

> [!METHODE]
> Autre majoration possible : $\sum_n|a_{n,s}|=2|x|^{2s-1}\zeta(2s)\le2\zeta(2)|x|^{2s-1}$, puis sommer en $s$. Pour des termes positifs, on peut vérifier la sommabilité dans l'ordre de sommation que l'on préfère.

### Question 10

> [!INDICATION]
> Combiner 6.2 et 9 : dériver $k-1$ fois l'égalité de 9.

> [!INDICATION]
> Il faut savoir que la série entière $\sum\zeta(2s)x^{2s-1}$ peut être dérivée terme à terme sur $]-1,1[$ : que dit la question 9 de son rayon de convergence ?

> [!INDICATION]
> Exprimer la dérivée $(k-1)$-ième de $x^{2s-1}$ à l'aide d'un coefficient binomial, en traitant à part les monômes de degré $<k-1$.

#### Solution

Soit $g(x)=\sum_{s\ge1}\zeta(2s)x^{2s-1}$. La série converge en tout point de $]-1,1[$ (question 9) : son rayon est $R\ge1$. Donc $g$ est $\mathcal C^\infty$ sur $]-1,1[$ et se dérive terme à terme :
$$g^{(q)}(x)=q!\sum_{s\ge1}\binom{2s-1}{q}\zeta(2s)\,x^{2s-1-q},$$
car $(x^{2s-1})^{(q)}=\frac{(2s-1)!}{(2s-1-q)!}x^{2s-1-q}=q!\binom{2s-1}qx^{2s-1-q}$ si $q\le2s-1$, et $0$ sinon, ce que traduit la convention $\binom{2s-1}q=0$.

Sur $]-1,0[$ et sur $]0,1[$, $E_1=\frac1x-2g$. En dérivant $k-1$ fois, avec $\big(\frac1x\big)^{(k-1)}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}$ :
$$E_1^{(k-1)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}-2(k-1)!\sum_{s\ge1}\binom{2s-1}{k-1}\zeta(2s)x^{2s-k}.$$
Par 6.2, en multipliant par $\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}$ et avec $-(-1)^{k-1}=(-1)^k$ :
$$E_k(x)=\frac1{x^k}+2(-1)^k\sum_{s=1}^{+\infty}\binom{2s-1}{k-1}\zeta(2s)\,x^{2s-k}\qquad(x\in\,]-1,1[,\ x\ne0).$$

> [!PIEGE]
> Invoquer la « règle de Cauchy » ($\zeta(2s)^{1/(2s-1)}\to1$) pour le rayon de convergence : elle n'est pas au programme, et elle est inutile puisque la question 9 donne déjà la convergence sur $]-1,1[$.

> [!METHODE]
> Contrôle rapide : pour $k=1$ on retrouve la question 9 ; pour $k=2$, la formule redonne $E_2=-E_1'$ en dérivant terme à terme. Vérifier ainsi un ou deux cas particuliers évite les erreurs de signe.

## Exercice 3 — Cas $\mathbb K=\mathbb R$

On explicite la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle de rang 2 : noyau de dimension $n-2$, puis deux valeurs propres non nulles, racines d'un trinôme. Notations : $\sigma=\sum_{j=1}^{n-1}a_j^2$, $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique, $F_\lambda=\ker(M-\lambda I_n)$.

### Question 1.1

> [!INDICATION]
> Regarder la transposée de $M$.

#### Solution

$M_{i,n}=a_i=M_{n,i}$ pour $i<n$, les autres coefficients hors de la dernière ligne et de la dernière colonne sont nuls : $M^T=M$. $M$ est symétrique réelle, donc diagonalisable (en base orthonormée) par le théorème spectral.

### Question 1.2

> [!INDICATION]
> Décrire les colonnes : les $n-1$ premières sont toutes colinéaires à un même vecteur.

> [!INDICATION]
> Utiliser $a_1\ne0$ pour exhiber deux colonnes non colinéaires.

#### Solution

$C_j=a_je_n$ pour $j<n$, $C_n=(a_1,\dots,a_n)^T$. Donc $\mathrm{Im}\,M\subset\mathrm{Vect}(e_n,C_n)$ et $\mathrm{rg}\,M\le2$. Comme $C_1=a_1e_n\ne0$ et que $C_n$, de première coordonnée $a_1\ne0$, n'est pas colinéaire à $e_n$, $(C_1,C_n)$ est libre. Donc $\mathrm{rg}\,M=2$.

> [!PIEGE]
> Le rang ne dépend que de $a_1\ne0$ : si $a_1=\dots=a_{n-1}=0$, le rang tomberait à $1$ ou $0$. C'est la seule hypothèse qui intervient.

### Question 1.3

> [!INDICATION]
> Théorème du rang, puis lien entre multiplicité et dimension du sous-espace propre pour une matrice diagonalisable.

#### Solution

$\dim\ker M=n-2\ge1$ : $0$ est valeur propre. $M$ étant diagonalisable, la multiplicité de $0$ comme racine de $\chi_M$ égale $\dim\ker M$ : **multiplicité $n-2$**.

> [!PIEGE]
> L'égalité « multiplicité $=$ dimension du sous-espace propre » n'est vraie en général que dans un sens (dimension $\le$ multiplicité). Ici, c'est la diagonalisabilité (1.1) qui donne l'égalité : il faut la citer.

### Question 1.4

> [!INDICATION]
> Pour une matrice diagonalisable, les multiplicités des valeurs propres totalisent $n$.

#### Solution

$\chi_M$ est scindé (car $M$ est diagonalisable) de degré $n$ ; $0$ y est racine de multiplicité exactement $n-2$, donc les deux racines restantes (comptées avec multiplicité) sont non nulles : $\chi_M=X^{n-2}(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$ avec $\lambda_1,\lambda_2\neq0$.

### Question 1.5

> [!INDICATION]
> Résoudre $MX=0$ ligne par ligne : que disent les $n-1$ premières lignes ?

> [!INDICATION]
> Il reste une seule équation linéaire en $x_1,\dots,x_{n-1}$ ; chercher des vecteurs simples qui la vérifient, sans dénominateur.

#### Solution

Les lignes $i<n$ donnent $a_ix_n=0$, donc $x_n=0$ (car $a_1\ne0$) ; la dernière donne $\sum_{j<n}a_jx_j=0$. Ainsi $\ker M=\{x_n=0,\ \sum_{j<n}a_jx_j=0\}$.

Pour $2\le k\le n-1$, $v_k=a_ke_1-a_1e_k$ est dans $\ker M$. Les $n-2$ vecteurs $v_2,\dots,v_{n-1}$ sont libres (seul $v_k$ a une coordonnée d'indice $k$ non nulle, égale à $-a_1$) ; comme $\dim\ker M=n-2$ :
$$\ker M=\mathrm{Vect}(v_2,\dots,v_{n-1}).$$

> [!METHODE]
> Pour un hyperplan d'équation $\sum_ja_jx_j=0$ avec $a_1\ne0$, les vecteurs $a_ke_1-a_1e_k$ en donnent toujours une base, sans fraction.

### Question 1.6

> [!INDICATION]
> Les $n-1$ premières lignes de $MX=\lambda X$ expriment chaque $x_i$ en fonction de $x_n$, puisque $\lambda\ne0$.

> [!INDICATION]
> Montrer que $x_n\ne0$, puis reporter dans la dernière ligne.

#### Solution

$a_ix_n=\lambda x_i$ donne $x_i=\frac{a_i}\lambda x_n$ ($i<n$). Si $x_n=0$, $X=0$ : exclu, donc $x_n\ne0$. La dernière ligne : $\frac\sigma\lambda x_n+a_nx_n=\lambda x_n$, d'où, en divisant par $x_n$ et en multipliant par $\lambda$ :
$$\lambda^2-\lambda a_n-\sigma=0.$$
$\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont des valeurs propres non nulles : elles vérifient cette équation.

Discriminant $\Delta=a_n^2+4\sigma\ge4a_1^2>0$, produit des racines $-\sigma<0$ : les racines sont réelles, distinctes, de signes opposés,
$$\lambda_1=\frac{a_n-\sqrt{a_n^2+4\sigma}}2<0<\lambda_2=\frac{a_n+\sqrt{a_n^2+4\sigma}}2,$$
et comme $\lambda_1,\lambda_2$ (comptées avec multiplicité) sont des racines de ce trinôme à racines simples, ce sont exactement ces deux racines.

> [!PIEGE]
> L'énoncé dit « éventuellement égales » en 1.4 ; sur $\mathbb R$ elles ne le sont jamais. Ce sera la différence essentielle avec le cas complexe.

### Question 1.7

> [!INDICATION]
> L'analyse de 1.6 donne la forme de tout vecteur propre ; choisir $x_n$ pour éliminer les dénominateurs, puis vérifier.

#### Solution

Par 1.6, tout vecteur de $F_\lambda$ ($\lambda\in\{\lambda_1,\lambda_2\}$) est proportionnel à $w_\lambda=(a_1,\dots,a_{n-1},\lambda)^T$ (prendre $x_n=\lambda$). Réciproquement $(Mw_\lambda)_i=a_i\lambda$ pour $i<n$ et $(Mw_\lambda)_n=\sigma+a_n\lambda=\lambda^2$ : $Mw_\lambda=\lambda w_\lambda$. Donc
$$F_{\lambda_1}=\mathrm{Vect}\big((a_1,\dots,a_{n-1},\lambda_1)^T\big),\qquad F_{\lambda_2}=\mathrm{Vect}\big((a_1,\dots,a_{n-1},\lambda_2)^T\big).$$

### Question 1.8

> [!INDICATION]
> Concaténer les bases des trois sous-espaces propres ; justifier que l'on obtient une base de $\mathbb R^n$.

#### Solution

Les sous-espaces propres associés à $0,\lambda_1,\lambda_2$ (deux à deux distinctes) sont en somme directe, de dimensions $n-2,1,1$, de somme $n$. La matrice $P$ de colonnes $v_2,\dots,v_{n-1},w_{\lambda_1},w_{\lambda_2}$,
$$P=\begin{pmatrix}
a_2&a_3&\cdots&a_{n-1}&a_1&a_1\\
-a_1&0&\cdots&0&a_2&a_2\\
0&-a_1&\cdots&0&a_3&a_3\\
\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&-a_1&a_{n-1}&a_{n-1}\\
0&0&\cdots&0&\lambda_1&\lambda_2
\end{pmatrix},$$
est inversible, et
$$P^{-1}MP=\mathrm{diag}\Big(\underbrace{0,\dots,0}_{n-2},\ \frac{a_n-\sqrt{a_n^2+4\sigma}}2,\ \frac{a_n+\sqrt{a_n^2+4\sigma}}2\Big).$$

> [!JURY]
> « On précisera la matrice diagonale obtenue » : il faut donner les valeurs explicites de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ et respecter l'ordre des colonnes de $P$.

## Exercice 3 — Cas $\mathbb K=\mathbb C$

Une matrice symétrique complexe n'est pas forcément diagonalisable : il faut calculer $\chi_M$ et comparer, valeur propre par valeur propre, multiplicité et dimension du sous-espace propre.

### Question 2.1

> [!INDICATION]
> Commencer par le polynôme caractéristique. Pour $X\ne0$, une opération sur les colonnes de $XI_n-M$ la rend triangulaire.

> [!INDICATION]
> Les résultats de 1.2, 1.5 et 1.6 restent vrais sur $\mathbb C$ : ils ne reposent que sur $a_1\ne0$. Ils donnent la dimension de chaque sous-espace propre.

> [!INDICATION]
> Discuter selon que $\sigma$ est nul ou non, puis selon le discriminant du trinôme.

#### Solution

*Polynôme caractéristique.* Pour $X\ne0$, l'opération $C_n\leftarrow C_n+\sum_{j<n}\frac{a_j}XC_j$ sur $XI_n-M$ (dont la colonne $j<n$ vaut $Xe_j-a_je_n$) remplace la dernière colonne par $\big(X-a_n-\frac\sigma X\big)e_n$ ; la matrice devient triangulaire inférieure, et
$$\chi_M(X)=X^{n-1}\Big(X-a_n-\frac\sigma X\Big)=X^{n-2}Q(X),\qquad Q=X^2-a_nX-\sigma.$$
Égalité de deux polynômes en une infinité de points : elle vaut pour tout $X$.

*Dimensions.* Sur $\mathbb C$ : $\dim\ker M=n-2$, et $\dim F_\lambda=1$ pour toute valeur propre $\lambda\ne0$. $\chi_M$ étant scindé, $M$ est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace propre a pour dimension la multiplicité de la valeur propre.

- $\sigma=0$ : $Q=X(X-a_n)$, la multiplicité de $0$ est au moins $n-1>\dim\ker M$ : **non diagonalisable**.
- $\sigma\ne0$, $a_n^2+4\sigma=0$ : racine double $\mu=\frac{a_n}2\ne0$ (car $Q(0)=-\sigma\ne0$), de multiplicité 2 et $\dim F_\mu=1$ : **non diagonalisable**.
- $\sigma\ne0$, $a_n^2+4\sigma\ne0$ : deux racines simples non nulles distinctes, $0$ de multiplicité exactement $n-2$ ; dimensions $(n-2)+1+1=n$ : **diagonalisable**.

D'où : $M$ n'est pas diagonalisable si et seulement si $\sum_{j<n}a_j^2=0$ ou $a_n^2+4\sum_{j<n}a_j^2=0$.

> [!PIEGE]
> Sur $\mathbb C$, $\sum a_j^2=0$ n'entraîne pas $a_j=0$ (par exemple $1^2+i^2=0$). C'est exactement ce qui fait échouer la diagonalisation : ne pas transposer les réflexes du cas réel.

> [!METHODE]
> Pour une matrice « en flèche », l'opération sur les colonnes $C_n\leftarrow C_n+\sum_j\frac{a_j}XC_j$ (ou, ce qui revient au même, un développement par blocs) donne le polynôme caractéristique en une ligne. On évite ainsi le complément de Schur, qui n'est pas au programme.

### Question 2.2

> [!INDICATION]
> Choisir $a_1,a_2$ complexes avec $a_1\ne0$ et $a_1^2+a_2^2=0$ ; le plus simple est de prendre aussi $a_3=0$.

#### Solution

$a_1=1$, $a_2=i$, $a_3=0$ :
$$M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&i\\1&i&0\end{pmatrix}.$$
Ici $\sigma=0$, donc par 2.1 $M$ n'est pas diagonalisable. Directement : $\chi_M=X^3$, $0$ est la seule valeur propre ; diagonalisable, $M$ serait semblable à la matrice nulle, donc nulle, ce qui est faux. On vérifie d'ailleurs $M^2=\begin{pmatrix}1&i&0\\i&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq0$ et $M^3=0$.

Exemple relevant de la seconde condition : $a=(1,0,2i)$, pour lequel $\sigma=1$, $a_3^2+4\sigma=0$, $\chi_M=X(X-i)^2$ et $\dim F_i=1$.

## Bilan

**Méthodes à retenir**

- Convexité par le signe de $\varphi''$ ; inégalité de Jensen, et son **cas d'égalité** démontré par l'inégalité de la tangente (écart à la tangente écrit comme une intégrale de $\varphi'(v)-\varphi'(\mu)$).
- Polynôme annulateur $\Rightarrow$ inclusion du spectre ; matrice symétrique réelle définie positive $\iff$ spectre dans $]0,+\infty[$.
- Comptage par indicatrices et linéarité de l'espérance, sans indépendance.
- Extremum sous contrainte affine : élimination d'une variable, ouvert, gradient, hessienne, condition suffisante du second ordre ; puis argument global (convexité) pour passer du local au global.
- Séries de fonctions : regroupement par paires quand les séries séparées divergent ; sommes partielles finies pour les réindexations ; dérivation terme à terme sur chaque **intervalle** avec convergence normale des dérivées sur les segments.
- Interversion de sommes : théorème de Fubini pour les séries doubles, sommabilité vérifiée sur les valeurs absolues.
- Réduction : rang par les colonnes, théorème du rang, multiplicités et dimensions des sous-espaces propres ; calcul de $\chi_M$ par opérations élémentaires.

**Prérequis à revoir** : théorème spectral et caractérisation de $\mathcal S_n^{++}$ ; conditions d'ordre 1 et 2 pour les extrema ; théorèmes de régularité des séries de fonctions et des séries entières ; familles sommables ; critère de diagonalisabilité par les dimensions des sous-espaces propres.

**Questions classiques transposables** : problème du « collectionneur » (nombre d'issues manquantes après $n$ tirages) ; développement de $\pi\cot(\pi x)$ et valeurs $\zeta(2s)$ ; matrices de rang 2 et matrices « en flèche » ; matrices symétriques complexes non diagonalisables (une matrice symétrique complexe nilpotente non nulle en est l'exemple type).