Maths

# SESSION 2026 MPI8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

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MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. • Ne pas utiliser de correcteur. • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. ________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Questions préliminaires

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Vérifier que ϕ ∶t ↦tn est une fonction convexe sur ]0,1[.

2. Écrire l’inégalité de convexité de Jensen pour cette fonction.

3. Soient p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et J la matrice de Mp(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. On note Ip la matrice identité de Mp(R).

3.1. Déterminer un polynôme annulateur de J de degré 2.

3.2. En déduire les valeurs propres possibles de Ip + J.

3.3. Justifier alors que la matrice Ip + J appartient à S ++ p (R), c’est-à-dire que Ip + J est une matrice symétrique réelle définie positive.

* * * * *

Soient n et r deux entiers naturels avec n ⩾2 et r ⩾3. On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à r résultats différents (αj)j∈⟦1,r⟧de probabilités respectives (x j)j∈⟦1,r⟧avec : ∀j ∈⟦1,r⟧, xj ∈]0,1[. On effectue n épreuves indépendantes du type de celle décrite au-dessus, ce qui définit un espace probabilisé (Ω,A ,P). Pour tout j ∈⟦1,r⟧, on note Xj la variable aléatoire telle que Xj(Ω) = {0,1}, et pour tout ω ∈Ω:

●X j(ω) = 0 si α j est obtenu au moins une fois à l’issue de ces n épreuves,

●X j(ω) = 1 sinon, c’est-à-dire si αj n’est jamais obtenu.

Enfin, on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n’ont pas été obtenus à l’issue des n épreuves.

4. Une expression de l’espérance de X

4.1. Soit j ∈⟦1,r⟧. Déterminer la loi de Xj.

4.2. Exprimer la variable aléatoire X à l’aide des variables (Xj)j∈⟦1,r⟧.

r ∑

4.3. Démontrer alors que l’espérance de la variable aléatoire X est : E(X) =

(1 −x j)n.

j=1

5. La suite de l’exercice consiste à rechercher les valeurs des réels x j pour lesquelles l’espérance E(X) est minimale.

Cela revient à dire que l’on cherche un minimum pour la fonction f ∶(x1,..., xr) ∈Rr ↦

r ∑

(1−x j)n

j=1

sous la contrainte :

r ∑

∀k ∈⟦1,r⟧, xk > 0 et

x j = 1.

j=1

r−1 ∑

On pose U = {(x1,..., xr−1) ∈Rr−1,∀k ∈⟦1,r −1⟧, xk > 0 et

x j < 1}.

j=1

5.1. Représenter graphiquement U dans le plan, c’est-à-dire dans le cas où r = 3.

5.2. Justifier que U est un ouvert borné de Rr−1.

5.3. Déterminer une fonction h, définie sur U, des r −1 variables (xj)j∈⟦1,r−1⟧, telle que :

h(x1,..., xr−1) = E(X).

5.4. Prouver que h est de classe C2 sur U.

5.5. Recherche des points critiques de h

5.5.1. Soient j ∈⟦1,r −1⟧et m = (x1,..., xr−1) ∈U. Déterminer la j-ième coordonnée du vecteur gradient de la fonction h en m .

5.5.2. Déterminer l’unique point critique b de h sur U.

5.6. Conclusion

5.6.1. Écrire la matrice Hessienne de h en b.

5.6.2. Démontrer alors que :

E(X) admet un minimum local pour x1 = ⋯= xr = 1

r .

On pourra utiliser une question préliminaire.

5.6.3. En utilisant la convexité de la fonction ϕ définie dans la question préliminaire, démontrer que :

E(X) est minimale si, et seulement si, x1 = ⋯= xr = 1

r .

EXERCICE 2

Question de cours

1 nx converge.

1. Rappeler, sans démonstration, les valeurs de x ∈R pour lesquelles la série ∑ n⩾1

Lorsqu’il y a convergence, on note ζ(x) sa somme.

2. Rappeler, sans démonstration, la somme et l’intervalle de convergence de la série entière ∑ n⩾0

tn.

* * * * *

On rappelle que si f est une fonction infiniment dérivable sur une partie I de R, alors, pour tout entier naturel p, f (p) désigne la dérivée d’ordre p de la fonction f avec la convention f (0) = f.

Pour tout k ∈N∗et tout x ∈R ∖Z, on note, lorsque cela existe :

+∞ ∑ n=1

+∞ ∑ n=1

+∞ ∑ n=1

E1(x) = 1

( 1 x −n + 1 x + n) et, pour k ⩾2, Ek(x) = 1

1 (x −n)k +

1 (x + n)k

x +

xk +

3. Justifier l’existence de E1(x) pour tout x ∈R ∖Z.

4. Soient x ∈R ∖Z et k un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1 (x −n)k et ∑

1 (x + n)k .

4.1. Étudier la nature des séries ∑ n⩾1

n⩾1

4.2. En déduire l’existence de Ek(x) pour tout k ⩾2. 5. Soit k ∈N∗.

5.1. Démontrer que la fonction Ek est 1-périodique. 5.2. Étudier la parité de la fonction Ek.

6. Une relation de récurrence 6.1. Prouver que pour tout k ∈N∗, la fonction Ek est dérivable sur R ∖Z et que l’on a :

∀x ∈R ∖Z, E′

k(x) = −k Ek+1(x).

6.2. En déduire que pour tout k ∈N∗, la fonction Ek est de classe C∞sur R ∖Z et que :

Ek = (−1)k−1

(k −1)! E(k−1)

1 .

7. Montrer que pour tout x de ] −1,1[ et pour tout entier naturel non nul n, la série ∑ k⩾0

xk

nk+1 converge

et calculer sa somme. 8. Établir que pour tout x ∈] −1,1[, on a :

+∞ ∑ n=1

+∞ ∑ n=1

+∞ ∑

( 1 n −x − 1 n + x) =

2 n2s x2s−1.

s=1

9. Montrer que pour tout x non nul de ] −1,1[, on a :

+∞ ∑

E1(x) = 1

x −2

ζ(2s) x2s−1.

s=1

Le théorème utilisé sera cité avec précision en vérifiant ses hypothèses avec soin. 10. En déduire que ∀k ∈N∗, ∀x ∈] −1,1[, x ≠0,

(2s −1

+∞ ∑

Ek(x) = 1

xk + 2(−1)k

k −1 )ζ(2s) x2s−k,

s=1

avec la convention (m

p) = 0 si p > m.

EXERCICE 3

Dans cet exercice, le corps K désigne R ou C. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. À tout n-uplet (a1,...,an) de K⋆× Kn−1, c’est-à-dire que a1 ≠0, on associe la matrice :

0 0 ⋯ 0 a1 0 0 ⋯ 0 a2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 an−1 a1 a2 ⋯ an−1 an

⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠

M =

∈Mn(K).

1. Dans cette question K = R

1.1. Justifier que M est diagonalisable.

1.2. Déterminer le rang de la matrice M.

1.3. Justifier que 0 est valeur propre et donner son ordre de multiplicité.

1.4. Démontrer alors que la matrice M possède deux valeurs propres non nulles (éventuellement égales) que l’on notera λ1 et λ2.

1.5. Déterminer une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.

1.6. Soit λ un réel non nul. En résolvant le système MX = λX où X est un vecteur non nul de Rn, montrer que λ1 et λ2 sont solutions de l’équation :

n−1 ∑

λ2 −λan −

j = 0.

a2

j=1

1.7. Déterminer une base des sous-espaces propres de M associés à λ1 et λ2.

1.8. Expliciter une matrice inversible P telle que P−1MP est diagonale. On précisera la matrice diagonale obtenue.

2. Étude du cas K = C

2.1. Montrer que :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

n−1 ∑

j = 0

a2

j=1

M n’est pas diagonalisable si, et seulement si,

ou

n−1 ∑

n + 4

j = 0

a2

a2

j=1

2.2. Donner un exemple de matrice M non diagonalisable dans le cas où n = 3.

FIN

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 26 1036 – D’après documents fournis