Physique-chimie
e3a-PolytechMPI2026
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Signaler une erreur# e3a-Polytech MPI — Physique-chimie 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème** : « Autour de l'hélium ». L'épreuve dure 4 heures, **calculatrice interdite**. Le sujet compte 10 pages et **40 questions**, réparties en cinq parties **indépendantes**. Les données sont regroupées en fin de chaque partie. L'énoncé prévient qu'un résultat numérique sans unité ou avec une unité fausse n'est pas compté, et que les explications physiques comptent autant que les calculs.
| Partie | Questions | Contenu | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| I – Un gaz « rare » dans l'atmosphère | Q1–Q9 | Pourquoi l'hélium quitte l'atmosphère : on compare la vitesse de libération à l'agitation thermique. | Force newtonienne, énergie potentielle, moment cinétique, énergie potentielle effective, états liés et de diffusion, gaz parfait |
| II – Le laser hélium-néon | Q10–Q18 | Modes propres de la cavité, puis mesure de $\lambda$ par la tache d'Airy : intégrale calculée en Python, dichotomie, incertitudes. | Conducteur parfait, équations de Maxwell, d'Alembert, ondes stationnaires, méthode des rectangles, dichotomie, propagation des incertitudes, écart normalisé |
| III – Détection de fuites | Q19–Q28 | Spectromètre de masse : tri des ions selon le rayon de leur trajectoire. | Force de Lorentz, puissance nulle, notation complexe, mouvement circulaire uniforme, ordre de grandeur relativiste |
| IV – Bulles de savon à l'hélium | Q29–Q34 | Forme sphérique, flottabilité et épaisseur du film, mesure interférentielle de cette épaisseur, fibre optique courbée. | Minimisation de surface, poussée d'Archimède, lame mince, théorème de Malus, spectre cannelé, réflexion totale |
| V – Ballon sans hélium | Q35–Q40 | L'aluminium attaqué par la soude produit du dihydrogène. | Base forte et pH, nombres d'oxydation, demi-équations en milieu basique, constante d'équilibre, gaz parfait et stœchiométrie |
**Difficulté.** Le sujet est long mais très guidé, avec beaucoup de questions de cours et d'applications directes. Cinq points demandent davantage de réflexion :
- la discussion graphique de l'énergie potentielle effective (Q6) ;
- la lecture de la photographie du laser pour estimer $L$ (Q14) ;
- la démonstration de la différence de marche par le théorème de Malus (Q31), à savoir refaire ;
- la lecture quantitative du spectre cannelé (Q33) ;
- la géométrie de la fibre courbée (Q34), la question la moins standard du sujet.
**Questions abordables à ne pas laisser passer** : Q1–Q5, Q7–Q13, Q15–Q16, Q19–Q25, Q27, Q29–Q30, Q35–Q38 et Q40. Elles représentent plus des deux tiers du sujet.
**Calcul sans calculatrice.** Les données sont choisies pour que les calculs tombent juste : $\sqrt{1{,}4}\approx1{,}2$ et $\sqrt{1{,}8}\approx1{,}3$ sont même fournis. Séparez toujours mantisse et puissance de dix, et donnez deux chiffres significatifs.
**Gestion du temps.** Comptez environ 45 minutes pour la partie I, 60 pour la II, 45 pour la III, 50 pour la IV et 30 pour la V, et gardez 10 minutes de relecture. La partie V, rapide et rentable, ne doit pas être sacrifiée en fin d'épreuve.
## Partie I – L'hélium, un gaz « rare » dans notre atmosphère
On étudie le mouvement d'un atome dans le champ de gravitation terrestre : forces centrales, énergie potentielle effective, vitesse de libération. On compare ensuite cette vitesse à la vitesse d'agitation thermique de l'hélium.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Question de culture générale : deux gaz, deux pourcentages approchés.
#### Solution
L'air sec contient environ **78 % de diazote $\mathrm N_2$** et **21 % de dioxygène $\mathrm O_2$**, en fraction molaire (donc en volume). Le pourcent restant est surtout de l'argon, avec un peu de $\mathrm{CO_2}$ et des traces d'autres gaz, dont l'hélium.
> [!PIEGE]
> Ce sont des fractions molaires (ou volumiques), pas massiques. Précisez-le.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Loi de la gravitation universelle. La Terre étant à symétrie sphérique, elle agit à l'extérieur comme un point matériel placé en $O$.
> [!INDICATION]
> Pour l'énergie potentielle, écrivez $\vec F=-\dfrac{\mathrm dE_\mathrm p}{\mathrm dr}\vec e_r$ et choisissez la constante d'intégration avec la condition à l'infini.
#### Solution
Avec $\vec e_r=\overrightarrow{OP}/r$ :
$$\boxed{\vec F=-\frac{GM_Tm}{r^2}\,\vec e_r}$$
Il faut $\dfrac{\mathrm dE_\mathrm p}{\mathrm dr}=\dfrac{GM_Tm}{r^2}$. On intègre avec $E_\mathrm p(\infty)=0$ :
$$\boxed{E_\mathrm p(r)=-\frac{GM_Tm}{r}}$$
> [!PIEGE]
> Une force attractive dérive d'une énergie potentielle **croissante** avec $r$. Avec la convention $E_\mathrm p(\infty)=0$, elle est donc négative partout.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Énergie cinétique plus énergie potentielle. Pour la conservation, quelles sont les forces qui travaillent, et sont-elles conservatives ?
#### Solution
$$\boxed{E_\mathrm m=\frac12mv^2-\frac{GM_Tm}{r}}$$
Dans le référentiel géocentrique galiléen, $P$ n'est soumis qu'à $\vec F$, qui est conservative. Le théorème de la puissance mécanique donne $\dfrac{\mathrm dE_\mathrm m}{\mathrm dt}=\mathcal P_{\text{non cons.}}=0$ : **$E_\mathrm m$ se conserve**.
> [!JURY]
> Pour justifier une conservation, nommez le théorème utilisé et vérifiez explicitement son hypothèse : ici, l'absence de force non conservative.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Pour une force centrale, une grandeur vectorielle se conserve. Laquelle ?
> [!INDICATION]
> Théorème du moment cinétique en $O$. Puis exprimez $\vec L_O$ en coordonnées polaires.
#### Solution
On applique le théorème du moment cinétique en $O$, point fixe du référentiel galiléen :
$$\frac{\mathrm d\vec L_O}{\mathrm dt}=\overrightarrow{OP}\wedge\vec F=\vec 0,$$
car $\vec F$ est colinéaire à $\overrightarrow{OP}$. $\vec L_O=\overrightarrow{OP}\wedge m\vec v$ est donc constant.
- Si $\vec L_O\ne\vec 0$ : $\overrightarrow{OP}$ reste orthogonal à un vecteur fixe, donc $P$ reste dans le plan passant par $O$ et orthogonal à $\vec L_O$.
- Si $\vec L_O=\vec 0$ : le mouvement est rectiligne selon $\overrightarrow{OP}$.
Dans les deux cas, **le mouvement est plan**. En polaires, $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta$, donc $\vec L_O=mr^2\dot\theta\,\vec e_z$, et :
$$\boxed{r^2\dot\theta=C=\text{cste}}$$
> [!METHODE]
> La **direction** constante de $\vec L_O$ donne la planéité, sa **composante** constante donne la loi des aires. Ce sont deux conclusions distinctes, à rédiger séparément.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Exprimez $v^2$ en polaires, puis éliminez $\dot\theta$ grâce à $C$.
#### Solution
On a $v^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2=\dot r^2+C^2/r^2$, d'où :
$$E_\mathrm m=\frac12m\dot r^2+E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}(r),\qquad\boxed{E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}(r)=\frac{mC^2}{2r^2}-\frac{GM_Tm}{r}}$$
> [!METHODE]
> Cette réduction ramène le problème à un mouvement radial à une seule variable, $r$, dans un potentiel effectif. C'est la méthode standard pour toutes les forces centrales conservatives.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Étudiez les limites en $0^+$ et en $+\infty$ : quel terme domine dans chaque cas ? Puis le signe de la dérivée.
> [!INDICATION]
> Comme $\frac12m\dot r^2\ge0$, les valeurs de $r$ accessibles sont celles où la courbe passe sous la droite horizontale d'ordonnée $E_\mathrm m$. Discutez selon la position de cette droite par rapport à l'asymptote.
#### Solution
On suppose $C\ne0$.
- Quand $r\to0^+$, le terme en $1/r^2$ domine : $E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}\to+\infty$.
- Quand $r\to+\infty$, le terme en $-1/r$ domine : $E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}\to0^-$.
- La dérivée $E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}'(r)=\dfrac{m}{r^3}(GM_Tr-C^2)$ s'annule en $r_0=C^2/(GM_T)$ : la fonction décroît sur $]0,r_0]$, puis croît.
- Le minimum vaut $-\dfrac{G^2M_T^2m}{2C^2}<0$, et la fonction s'annule en $r_0/2$.
Le mouvement n'est possible que là où $E_{\mathrm p,\mathrm{eff}}(r)\le E_\mathrm m$.
- Si $E_{\min}\le E_\mathrm m<0$, on a $r_1\le r\le r_2$ : c'est un **état lié**.
- Si $E_\mathrm m\ge0$, seul $r\ge r_1$ est imposé, et $r$ peut tendre vers l'infini : c'est un **état de diffusion**.
$$\boxed{\text{diffusion}\iff E_\mathrm m\ge0}$$
Le cas $C=0$ (mouvement radial) conduit à la même conclusion.
> [!PIEGE]
> Le minimum n'est pas à l'origine, et l'asymptote en $+\infty$ est $0^-$, pas $-\infty$. Sur votre tracé, faites apparaître les deux comportements limites, le minimum et l'asymptote.
### Question 7
> [!INDICATION]
> La vitesse de libération correspond au cas limite de la question précédente. Écrivez $E_\mathrm m$ au départ de la surface.
> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique, calculez d'abord $v_\ell^2$ et séparez la puissance de dix.
#### Solution
Au départ de $r=R_T$ avec une vitesse de norme $v$, $E_\mathrm m=\frac12mv^2-GM_Tm/R_T$. Cette énergie ne dépend que de la **norme** de la vitesse, pas de sa direction (pourvu que la trajectoire ne recoupe pas la Terre). La condition $E_\mathrm m\ge0$ donne :
$$\boxed{v_\ell=\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}}$$
$$v_\ell^2=\frac{2\times7{,}0\cdot10^{-11}\times6{,}0\cdot10^{24}}{6{,}0\cdot10^6}=1{,}4\cdot10^{8}\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}\quad\Rightarrow\quad\boxed{v_\ell\approx1{,}2\cdot10^4\ \mathrm{m\,s^{-1}}}$$
> [!PIEGE]
> Inutile de supposer un tir radial « pour minimiser l'énergie » : à norme de vitesse fixée, l'énergie mécanique est la même dans toutes les directions. Autre erreur fréquente : oublier le facteur 2, ce qui donne la vitesse en orbite circulaire rasante, $\sqrt{GM_T/R_T}\approx8$ km/s.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Trois idées : la taille des particules, leurs interactions, et la description statistique.
#### Solution
Le modèle du gaz parfait repose sur trois hypothèses :
- les particules sont ponctuelles : leur volume propre est négligeable ;
- il n'y a pas d'interaction à distance entre particules, donc pas d'énergie potentielle d'interaction. Seuls existent des chocs élastiques, entre particules et avec les parois ;
- les particules sont en très grand nombre, avec une agitation désordonnée, homogène et isotrope.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Application numérique avec l'aide fournie, puis comparaison avec $v_\ell/10$. Terminez par une phrase physique.
#### Solution
$$u=\sqrt{\frac{3\times8{,}0\times300}{4{,}0\cdot10^{-3}}}=\sqrt{1{,}8\cdot10^6}\quad\Rightarrow\quad\boxed{u\approx1{,}3\cdot10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}}$$
Or $v_\ell/10\approx1{,}2\cdot10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Comme $u>v_\ell/10$, **l'hélium s'échappe de l'attraction terrestre.** Il est produit en continu dans la croûte, mais il quitte aussi en continu la haute atmosphère, d'où sa faible concentration. $\mathrm N_2$ et $\mathrm O_2$ sont 7 à 8 fois plus lourds : leur $u$ est environ 2,7 fois plus faible, et ils restent piégés.
> [!METHODE]
> Le critère « $u>v_\ell/10$ » tient compte du fait que la distribution des vitesses s'étend bien au-delà de la moyenne. Les atomes les plus rapides suffisent à vider lentement l'atmosphère d'un gaz léger.
## Partie II – Le laser hélium-néon
La partie établit les modes propres de la cavité à partir des équations de Maxwell et confronte l'ISL à la photographie du laser. Elle exploite ensuite la tache d'Airy pour mesurer $\lambda$ : intégrale calculée en Python, recherche d'un zéro par dichotomie, incertitudes et écart normalisé.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Trois exemples concrets, dans trois domaines différents.
#### Solution
Trois applications du laser :
- **vie quotidienne** : lecteurs de codes-barres, lecture des disques optiques ;
- **industrie** : découpe et soudage de métaux, télémétrie ;
- **médecine** : chirurgie réfractive de l'œil, photocoagulation de la rétine.
On peut citer aussi les télécommunications par fibre optique et la recherche (interférométrie, refroidissement d'atomes).
### Question 11
> [!INDICATION]
> Loi d'Ohm locale et puissance volumique dissipée par effet Joule. Que se passe-t-il quand la conductivité tend vers l'infini ?
#### Solution
On a $\vec j=\gamma\vec E$, et la puissance volumique dissipée vaut $p=\vec j\cdot\vec E=\gamma E^2$. Pour un conducteur parfait, $\gamma\to+\infty$. Pour que la puissance dissipée et le courant restent finis, il faut $E^2=p/\gamma\to0$ :
$$\boxed{\vec E=\vec 0\ \text{dans un conducteur parfait}}$$
> [!JURY]
> L'énoncé demande des « considérations énergétiques ». La simple affirmation de cours ne suffit pas : il faut écrire la puissance Joule.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Écrivez les quatre équations de Maxwell dans le vide sans source, puis prenez le rotationnel de Maxwell-Faraday.
> [!INDICATION]
> Utilisez l'identité fournie et la nullité de la divergence de $\vec E$. Pour $f$, reportez la forme séparée $f(x)\sin(\omega t)$.
#### Solution
Les équations de Maxwell dans le vide sans source sont $\operatorname{div}\vec E=0$, $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E=-\partial_t\vec B$, $\operatorname{div}\vec B=0$ et $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B=\dfrac1{c^2}\partial_t\vec E$, avec $\mu_0\varepsilon_0c^2=1$. On en déduit :
$$\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E)=-\partial_t\,\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B=-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}.$$
Or $\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E)=\overrightarrow{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec E)-\Delta\vec E=-\Delta\vec E$, d'où :
$$\boxed{\Delta\vec E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=\vec 0}$$
Pour un champ transverse de composante $E=f(x)\sin\omega t$, on obtient $\left(f''+\dfrac{\omega^2}{c^2}f\right)\sin\omega t=0$ pour tout $t$ :
$$\boxed{f''(x)+\frac{\omega^2}{c^2}f(x)=0}$$
> [!PIEGE]
> Sans $\operatorname{div}\vec E=0$, le terme de gradient ne disparaît pas. Citez cette hypothèse, propre à l'absence de charges.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Oscillateur harmonique en $x$. Les conditions aux limites découlent de Q11 et de la continuité admise.
> [!INDICATION]
> La condition en $x=L$ quantifie $\omega$. Pensez à la corde vibrante fixée à ses deux extrémités.
#### Solution
La solution générale est $f=A\cos kx+B\sin kx$, avec $k=\omega/c$. On a $f(0)=0$, donc $A=0$, et $f(L)=0$, donc $\sin kL=0$ pour une solution non nulle, soit $kL=n\pi$ avec $n\in\mathbb N^*$ :
$$\boxed{\nu_n=\frac{nc}{2L}},\qquad\boxed{\mathrm{ISL}=\frac{c}{2L}}$$
> [!PIEGE]
> Le cas $n=0$ donne le champ nul : on prend $n\ge1$.
### Question 14
> [!INDICATION]
> La photographie de la figure 1 porte un trait d'échelle. Servez-vous-en pour estimer $L$.
> [!INDICATION]
> Un ordre de grandeur suffit. Commentez l'écart entre la longueur du boîtier et celle de la cavité.
#### Solution
Le tube, bague comprise, mesure environ 6,5 fois le trait de 2 cm, soit $L\approx13$ cm. La cavité est un peu plus courte que le boîtier. On en déduit :
$$\mathrm{ISL}=\frac{3{,}0\cdot10^8}{2\times0{,}13}\approx1{,}2\cdot10^9\ \mathrm{Hz},\qquad\boxed{\mathrm{ISL}\sim1\ \mathrm{GHz}}$$
**C'est cohérent avec les 1 090 MHz annoncés.** Inversement, cette valeur correspond à $L=c/(2\,\mathrm{ISL})\approx14$ cm, compatible avec la photographie.
> [!METHODE]
> Pour une lecture de photographie, donnez la mesure faite (« environ 6,5 fois le trait d'échelle »), puis concluez sur l'ordre de grandeur sans prétendre à une précision que l'image ne permet pas.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Méthode des rectangles : la somme des valeurs de la fonction, multipliée par le pas. Quel est le pas pour 201 points sur $[-1,1]$ ?
#### Solution
Le pas vaut $\Delta t=2/200$ (201 points, donc 200 intervalles). Les termes extrêmes sont nuls, car $\sqrt{1-t^2}=0$ en $\pm1$ : la somme sur les 201 points est donc bien une somme de 200 rectangles.
```python
def g(x):
S = 0 # ligne 5
T = np.linspace(-1,1,201)
for k in T:
S = S + airy(x,k)*(2/200) # ligne 9
return S # ligne 10
```
> [!PIEGE]
> Le pas vaut $2/200$, pas $2/201$. Comptez les intervalles, pas les points.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Pour quelle valeur de $x$ le cosinus disparaît-il de l'intégrande ? Comparez ensuite avec la figure 3.
#### Solution
En $x=0$ :
$$g(0)=\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dt=\left[\frac{t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t}{2}\right]_{-1}^1=\frac\pi2,\qquad\boxed{g(0)=\frac\pi2\approx1{,}57}$$
C'est le maximum lu sur la figure 3. Le programme de Q15 rend 1,5702.
> [!METHODE]
> Valider un programme numérique sur un cas calculable exactement est un réflexe à avoir systématiquement.
### Question 17
> [!INDICATION]
> On garde la moitié d'intervalle où $g$ change de signe. Le test porte sur le produit $g(a)\,g(\text{milieu})$.
> [!INDICATION]
> Choisissez sur la figure 3 un intervalle initial qui contient le premier zéro positif, et seulement lui. Pour $\varepsilon$, regardez la condition d'arrêt et la valeur renvoyée.
#### Solution
Si $g(a)\,g(\text{milieu})>0$, la racine est dans $[\text{milieu},b]$, donc `a = milieu`. Sinon, `b = milieu`. La boucle s'arrête quand $|b-a|\le2\varepsilon$, et le milieu est alors à moins de $\varepsilon$ de la racine : on prend $\varepsilon=10^{-2}$. Sur la figure 3, $g(1)>0$ et $g(2)<0$, avec un seul zéro entre les deux.
```python
def h(a,b,eps):
while abs(b-a) > 2*eps:
milieu = (a+b)/2
if g(a)*g(milieu) > 0:
a = milieu # ligne 5
else:
b = milieu # ligne 7
return ((a+b)/2)
print(h(1, 2, 1e-2)) # ligne 10
```
Le programme rend $\approx1{,}23$, à $10^{-2}$ près du zéro exact (1,2197).
> [!PIEGE]
> Un intervalle initial contenant plusieurs zéros, ou aucun changement de signe, fait converger la dichotomie vers une racine quelconque, voire vers un point qui n'est pas une racine.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Isolez $\lambda$ dans la formule (6). Pour un produit de puissances de grandeurs indépendantes, ce sont les incertitudes **relatives** qui se composent.
> [!INDICATION]
> Écart normalisé : la différence des deux valeurs, divisée par l'incertitude-type. Comparez le résultat au seuil usuel.
#### Solution
On a $\lambda=\phi R/(1{,}22\,d)$, d'où :
$$\boxed{u(\lambda)=\lambda\sqrt{\left(\frac{u(\phi)}{\phi}\right)^2+\left(\frac{u(R)}{R}\right)^2+\left(\frac{u(d)}{d}\right)^2}}$$
Vérification : $\sqrt{0{,}0625^2+0{,}040^2+0{,}0025^2}\approx0{,}074$, et $0{,}074\times656\approx49$ nm.
$$z=\frac{656-632{,}8}{49}\quad\Rightarrow\quad\boxed{z\approx0{,}47}$$
Comme $z<2$, **la mesure est compatible avec 632,8 nm**. C'est la mesure de $\phi$ qui limite la précision.
> [!METHODE]
> Pour conclure, énoncez toujours le seuil de compatibilité (ici $z\le2$) avant de comparer : « $z$ est petit » ne suffit pas.
## Partie III – De l'hélium pour détecter les fuites
Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme. On établit la trajectoire circulaire par la notation complexe, puis on exploite la dépendance du rayon en $\sqrt m$ pour trier les ions.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Projetez le principe fondamental de la dynamique sur $\vec e_z$, puis utilisez les conditions initiales.
#### Solution
On a $m\dot{\vec v}=e\vec v\wedge B\vec e_z$, et ce vecteur est orthogonal à $\vec e_z$, donc $m\ddot z=0$. Avec $\dot z(0)=0$ et $z(0)=0$, on obtient $z(t)=0$ : **la trajectoire est dans le plan $(O,\vec e_x,\vec e_y)$.**
> [!JURY]
> Écrivez les deux intégrations successives, avec leurs conditions initiales. « $F_z=0$ donc $z=0$ » saute une étape.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Calculez la puissance de la force magnétique.
> [!INDICATION]
> Pour le sens de $\vec B$, la force initiale doit être orientée vers l'intérieur de la courbure. Calculez $\vec e_x\wedge\vec e_z$.
#### Solution
On a $\mathcal P=(e\vec v\wedge\vec B)\cdot\vec v=0$. Par le théorème de l'énergie cinétique, $\|\vec v\|=v_0$ : **le mouvement est uniforme**.
Sur la figure 4, l'ion entre selon $+\vec e_x$ et tourne vers $-\vec e_y$ : la force initiale est selon $-\vec e_y$. Or $ev_0\vec e_x\wedge B_z\vec e_z=-ev_0B_z\vec e_y$, donc $B_z>0$ : **$\vec B$ est selon $+\vec e_z$**, sortant du plan de la figure.
> [!PIEGE]
> Le trièdre est direct : $\vec e_x\wedge\vec e_y=\vec e_z$, donc $\vec e_x\wedge\vec e_z=-\vec e_y$. Une erreur de signe ici inverse toute la suite de la partie.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Développez $\vec v\wedge\vec e_z$ en composantes.
#### Solution
$\vec v\wedge B\vec e_z=B(v_y\vec e_x-v_x\vec e_y)$, d'où :
$$\boxed{\dot v_x=\omega v_y,\qquad\dot v_y=-\omega v_x}$$
### Question 22
> [!INDICATION]
> Dérivez $\underline u$ et remplacez les dérivées par les expressions de Q21. Mettez ensuite $\mathrm j\omega$ en facteur.
#### Solution
$$\dot{\underline u}=\dot v_y+\mathrm j\dot v_x=-\omega v_x+\mathrm j\omega v_y=\mathrm j\omega(v_y+\mathrm jv_x)=\mathrm j\omega\underline u,\qquad\boxed{\frac{\mathrm d\underline u}{\mathrm dt}-\mathrm j\omega\underline u=0}$$
> [!METHODE]
> Deux équations couplées du type $\dot a=\omega b$, $\dot b=-\omega a$ se découplent en une seule équation complexe d'ordre 1. C'est la signature d'une rotation à vitesse angulaire $\omega$.
### Question 23
> [!INDICATION]
> L'équation est linéaire d'ordre 1 à coefficient constant. Calculez $\underline u(0)$ à partir de $\vec v_0$.
#### Solution
On a $\underline u=\underline u(0)e^{\mathrm j\omega t}$, avec $\underline u(0)=\mathrm jv_0$. D'où $\underline u=-v_0\sin\omega t+\mathrm jv_0\cos\omega t$, et en séparant parties réelle et imaginaire :
$$\boxed{v_x=v_0\cos\omega t,\qquad v_y=-v_0\sin\omega t}$$
On vérifie que $v_x^2+v_y^2=v_0^2$, ce qui confirme Q20.
> [!PIEGE]
> La partie réelle de $\underline u$ est $v_y$, pas $v_x$. Relisez la définition de $\underline u$ avant d'identifier.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Intégrez avec l'ion en $O$ à $t=0$. N'oubliez pas les constantes d'intégration.
#### Solution
$$\boxed{x(t)=\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t,\qquad y(t)=\frac{v_0}{\omega}(\cos\omega t-1)}$$
### Question 25
> [!INDICATION]
> Faites disparaître le temps en combinant $x^2$ et un carré bien choisi construit à partir de $y$.
#### Solution
$x^2+\left(y+\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2=\dfrac{v_0^2}{\omega^2}$ : c'est un cercle de centre $(0,-v_0/\omega)$, donc **la trajectoire est circulaire**, de rayon
$$\boxed{R=\frac{mv_0}{eB}}$$
### Question 26
> [!INDICATION]
> À énergie cinétique fixée, exprimez $mv_0$ en fonction de $m$ et de $E_\mathrm c$.
> [!INDICATION]
> Comment $R$ varie-t-il avec la masse ? Sur la figure, quelle trajectoire a le plus grand rayon ?
#### Solution
On a $mv_0=\sqrt{2mE_\mathrm c}$, donc $R=\sqrt{2mE_\mathrm c}/(eB)\propto\sqrt m$. Toutes les trajectoires partent de $O$ tangentes à $\vec e_x$. Le rayon croît de (1), la plus intérieure, à (3), la plus extérieure, et (2) mène au détecteur.
- **(1)** : ions légers ($\mathrm H_2^+$, $^3\mathrm{He}^+$) ;
- **(2)** : ions hélium ;
- **(3)** : ions lourds ($\mathrm N_2^+$, $\mathrm O_2^+$, $\mathrm{CO_2^+}$, $\mathrm{Ar}^+$).
> [!PIEGE]
> C'est l'énergie cinétique qui est commune, pas la vitesse. Les deux hypothèses donnent la même association (rayon croissant avec $m$), mais pas la même loi : $R\propto\sqrt m$ à énergie fixée, contre $R\propto m$ à vitesse fixée.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Longueur d'un quart de cercle divisée par la vitesse. Exprimez le résultat avec $\omega$, puis calculez la masse d'un atome d'hélium.
#### Solution
$$\tau=\frac{\pi R}{2v_0}=\frac{\pi m}{2eB},\qquad m=\frac{M_{\mathrm{He}}}{\mathcal N_A}=6{,}7\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg},\qquad\omega=2{,}4\cdot10^6\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$$
$$\boxed{\tau\approx6{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm s}$$
> [!METHODE]
> La période cyclotron $2\pi m/(eB)$ ne dépend pas de la vitesse. C'est le principe du cyclotron : la fréquence d'accélération reste fixe.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Déduisez $v_0$ de $R$ et de $\omega$, puis comparez à $c$.
#### Solution
On a $v_0=R\omega$. Pour $R\approx3$ cm, $v_0\approx7\cdot10^4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ :
$$\boxed{v_0/c\sim2\cdot10^{-4}\ll1}$$
**L'approximation non relativiste est justifiée** : $\gamma-1\sim10^{-8}$.
## Partie IV – Des bulles de savon remplies d'hélium
Trois sous-problèmes indépendants : un bilan de forces qui fixe l'épaisseur du film, une mesure interférentielle de cette épaisseur, puis le guidage de la lumière dans la fibre qui alimente le spectromètre.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Exprimez les deux surfaces en fonction du même volume $V_0$.
#### Solution
On a $r=(3V_0/4\pi)^{1/3}$ et $a=V_0^{1/3}$, d'où :
$$\frac{S_\mathrm s}{S_\mathrm c}=\frac{4\pi}{6}\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{2/3}=\left(\frac{(4\pi)^3\cdot9}{216\,(4\pi)^2}\right)^{1/3}=\boxed{\left(\frac\pi6\right)^{1/3}\approx0{,}81<1}$$
À volume égal, la sphère a moins de surface. Elle minimise l'aire, donc l'énergie de surface, ce qui explique que les bulles libres soient sphériques.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Trois forces verticales. Laquelle ne dépend pas de $e$ ?
> [!INDICATION]
> Pour une coque mince, le volume vaut la surface multipliée par l'épaisseur. Au rayon critique, les forces se compensent.
#### Solution
Les forces sur la bulle de rayon critique sont :
- le poids de l'hélium, $\rho_{\mathrm{He}}\frac43\pi r_\mathrm c^3g$, vers le bas ;
- le poids de la coque, $\rho_\ell 4\pi r_\mathrm c^2eg$, vers le bas ;
- la poussée d'Archimède, $\rho_\mathrm a\frac43\pi r_\mathrm c^3g$, vers le haut.
À l'équilibre limite :
$$\boxed{e=\frac{r_\mathrm c(\rho_\mathrm a-\rho_{\mathrm{He}})}{3\rho_\ell}}=\frac{6\cdot10^{-3}\times1{,}0}{3{,}0\cdot10^3}\quad\Rightarrow\quad\boxed{e\approx2\ \mu\mathrm m}$$
La poussée varie en $r^3$ et le poids de la coque en $r^2$ : les grosses bulles montent, conformément à l'expérience.
> [!METHODE]
> Pour interpréter un seuil, écrivez l'équilibre au seuil, puis vérifiez le sens de variation de part et d'autre. C'est ce qui valide le modèle.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Repérez les points d'entrée, de réflexion et de sortie du rayon (2) dans le film. Les deux rayons émergents sont parallèles.
> [!INDICATION]
> Malus : un plan orthogonal aux rayons émergents est une surface d'onde du faisceau qui converge à l'infini. Faites-le passer par le point de sortie du rayon (2).
> [!INDICATION]
> Projetez le segment entre les deux points d'émergence sur la direction des rayons, puis simplifiez avec la loi de Snell-Descartes.
#### Solution
On note $I$ le point de réflexion de (1), $J$ le point de réflexion de (2) sur la face supérieure et $K$ son point de sortie. On a $IJ=JK=e/\cos i_2$ et $IK=2e\tan i_2$.
Le plan orthogonal aux rayons émergents passant par $K$ coupe (1) en $H$, avec $IH=IK\sin i_1$. Par Malus et retour inverse de la lumière, ce plan est une surface d'onde : au-delà, les chemins jusqu'au point d'observation sont égaux.
On en déduit :
$$\delta=n_\ell(IJ+JK)-IH=\frac{2n_\ell e}{\cos i_2}-2e\tan i_2\,n_\ell\sin i_2=2n_\ell e\cos i_2.$$
Avec le déphasage $\pi$ subi par (1) :
$$\varphi=\frac{4\pi n_\ell e}{\lambda}\cos i_2-\pi,\qquad\boxed{\alpha=4\pi n_\ell e}$$
> [!PIEGE]
> Le terme $IH$, parcouru dans l'air par le rayon (1), est indispensable. L'oublier donne $2n_\ell e/\cos i_2$, ce qui est faux dès que $i_2\ne0$. Le plan d'onde passe par $K$ et coupe le rayon (1) : il ne faut pas projeter $I$ sur le rayon (2).
### Question 32
> [!INDICATION]
> Interférence destructive : $\varphi$ est un multiple impair de $\pi$. Ne perdez pas le $-\pi$.
#### Solution
On a $\varphi=(2p+1)\pi$, d'où $\dfrac{\alpha\cos i_2}{\lambda}=2k\pi$ avec $k=p+1\ge1$ :
$$\boxed{\lambda_k=\frac{\alpha\cos i_2}{2\pi k}=\frac{2n_\ell e\cos i_2}{k},\qquad k\in\mathbb N^*}$$
> [!METHODE]
> Contrôle rapide : avec un saut de phase $\pi$, l’extinction correspond à une différence de marche égale à un nombre **entier** de longueurs d'onde.
### Question 33
> [!INDICATION]
> En incidence normale, que valent les inverses des longueurs d'onde éteintes ? Lisez sur la figure 7 les points où l'intensité s'annule.
> [!INDICATION]
> Repérez l'ordre $k$ de chaque minimum, puis vérifiez que $k\lambda_k$ est constant. À défaut, utilisez deux minima éloignés et comptez les ordres qui les séparent.
#### Solution
On a $1/\lambda_k=k/(2n_\ell e)$. Les annulations sont lues vers 665, 592, 532, 484, 443, 409, 380 et 355 nm, et $k\lambda_k\approx5{,}32\ \mu$m pour $k=8$ à 15. On en déduit :
$$e=\frac{5{,}32\ \mu\mathrm m}{2\times1{,}33}\quad\Rightarrow\quad\boxed{e\approx2{,}0\ \mu\mathrm m}$$
**Ce résultat concorde avec Q30**, ce qui valide le modèle mécanique de la bulle.
> [!PIEGE]
> Deux minima voisins donnent une différence d'inverses petite, donc sensible à l'erreur de lecture. Préférez deux minima éloignés, ou la constance de $k\lambda_k$ sur tout le spectre. Lisez soigneusement les annulations, pas les maxima.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Un rayon entre parallèlement à l'axe puis se propage en ligne droite. Caractérisez-le par sa distance au centre de courbure.
> [!INDICATION]
> En un point de l'interface extérieure, la normale est radiale. Exprimez le sinus de l'angle d'incidence avec cette distance et le rayon de l'interface. Quel rayon est le plus défavorable ?
> [!INDICATION]
> Lisez sur la figure 8 où aboutit la flèche $R$ : sur l'axe de la fibre, pas sur un bord.
#### Solution
$R$ est mesuré jusqu'à l'axe : les bords du cœur sont à $R\pm d/2$ du centre $O'$. Un rayon entrant à la distance $b$ de $O'$ frappe l'interface extérieure avec $\sin i=b/(R+d/2)$. La réflexion conserve $b$, donc l'incidence reste la même aux réflexions suivantes. Le cas le plus défavorable est $b=R-d/2$. La réflexion totale exige $\sin i\ge n_2/n_1$ :
$$\frac{R-d/2}{R+d/2}\ge\frac{n_2}{n_1}\iff\boxed{R\ge R_{\min}=\frac d2\cdot\frac{n_1+n_2}{n_1-n_2}}$$
$$R_{\min}=25\ \mu\mathrm m\times\frac{3{,}00}{0{,}10}\quad\Rightarrow\quad\boxed{R_{\min}\approx0{,}75\ \mathrm{mm}}$$
> [!PIEGE]
> Si l'on mesure $R$ jusqu'au bord intérieur, on trouve $n_2d/(n_1-n_2)=0{,}73$ mm : la valeur numérique est proche, mais l'expression littérale ne répond pas au $R$ défini par la figure.
> [!METHODE]
> Pour une réflexion sur un cercle, la distance de la droite au centre est invariante : $r\sin i=\text{cste}$. Cette relation ressert pour les fibres courbées, les gouttes et les arcs-en-ciel.
## Partie V – Gonfler un ballon volant sans hélium
Chimie des solutions : base forte, oxydoréduction en milieu basique, caractère total de la réaction, puis bilan de matière avec un gaz parfait.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Quel gaz se forme ? Comparez sa masse volumique à celle de l'air, puis concluez avec la poussée d'Archimède.
#### Solution
La réaction produit du $\mathrm H_2$ gazeux qui gonfle le ballon. Pour un gaz parfait à $P$ et $T$ données, $\rho=PM/(RT)$ : avec $M=2\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$ contre $29$ pour l'air, le $\mathrm H_2$ est environ 15 fois moins dense que l'air. Pour un volume suffisant, la poussée d'Archimède l'emporte sur le poids total : **le ballon s'envole**.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Définissez la base forte par le caractère total de sa réaction avec l'eau. Puis utilisez $K_\mathrm e$.
#### Solution
**Une base forte réagit totalement avec l'eau.** On a donc $[\mathrm{HO^-}]=c$, puis $[\mathrm{H_3O^+}]=K_\mathrm e/c$ :
$$\boxed{\mathrm{pH}=\mathrm pK_\mathrm e+\log c=13}$$
### Question 37
> [!INDICATION]
> La somme des nombres d'oxydation est égale à la charge de l'espèce. Un corps simple a un n.o. nul.
#### Solution
On a $x+4\times(-\mathrm{II}+\mathrm I)=-1$, donc :
$$\boxed{\mathrm{n.o.}=+\mathrm{III}\ \text{dans}\ \mathrm{A\ell(OH)_4^-},\qquad0\ \text{dans}\ \mathrm{A\ell}}$$
**L'oxydant est $\mathrm{A\ell(OH)_4^-}$, le réducteur est $\mathrm{A\ell}$.**
### Question 38
> [!INDICATION]
> Pour chaque demi-équation, équilibrez l'élément principal, puis O, puis H, et vérifiez la charge.
> [!INDICATION]
> Pour le bilan, égalisez le nombre d'électrons échangés, puis simplifiez les $\mathrm{HO^-}$ présents des deux côtés.
#### Solution
$$\boxed{\alpha_1=3,\ \beta_1=1,\ \gamma_1=4;\quad\alpha_2=\beta_2=\gamma_2=2}$$
Avec $2\times$(1) dans le sens de l'oxydation et $3\times$(2) :
$$\boxed{2\,\mathrm{A\ell_{(s)}}+2\,\mathrm{HO^-_{(aq)}}+6\,\mathrm{H_2O_{(\ell)}}\longrightarrow2\,\mathrm{A\ell(OH)^-_{4(aq)}}+3\,\mathrm{H_{2(g)}}}$$
Contrôle : 2 $\mathrm{A\ell}$, 8 O, 14 H et une charge $-2$ de chaque côté.
> [!PIEGE]
> En milieu basique, on équilibre avec $\mathrm{HO^-}$ et $\mathrm{H_2O}$, jamais avec $\mathrm{H^+}$. Vérifiez la charge en dernier, comme contrôle indépendant.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Comparez les potentiels standard de l'oxydant et du réducteur qui réagissent. Que vaut la constante d'équilibre ?
#### Solution
On a $E_2^\circ>E_1^\circ$, avec un écart de 1,50 V. Pour 6 électrons échangés, $\log K^\circ=6\times1{,}50/0{,}06=150$. Comme $K^\circ\gg1$, **la réaction peut être supposée totale**.
> [!METHODE]
> Un écart de potentiels standard de quelques dixièmes de volt suffit déjà pour qu'une réaction soit quasi totale. Cette conclusion est thermodynamique : elle ne dit rien de la vitesse.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Calculez la quantité de dihydrogène avec la loi des gaz parfaits, en unités SI. Puis utilisez la stœchiométrie du bilan.
#### Solution
$$n(\mathrm H_2)=\frac{1{,}013\cdot10^5\times5{,}0\cdot10^{-3}}{8{,}3\times298}\approx0{,}20\ \mathrm{mol},\qquad n(\mathrm{A\ell})=\frac23n(\mathrm H_2)\approx0{,}137\ \mathrm{mol}$$
$$\boxed{m\approx3{,}7\ \mathrm g}$$
> [!PIEGE]
> Exprimez $P$ en pascals et $V$ en $\mathrm m^3$. Un oubli de conversion fausse le résultat d'un facteur $10^3$ ou $10^5$.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Force centrale conservative : conservation de $\vec L_O$ (planéité, loi des aires), énergie potentielle effective, discussion graphique des états liés et de diffusion.
- Particule chargée dans $\vec B$ uniforme : puissance nulle, notation complexe $\underline u$, rayon $mv/(eB)$, période indépendante de la vitesse.
- Cavité entre deux conducteurs parfaits : d'Alembert, conditions aux limites, modes $nc/(2L)$, ISL.
- Lame mince : Malus pour la différence de marche $2ne\cos r$, saut de phase à la réflexion, spectre cannelé exploité par la constance de $k\lambda_k$.
- Réflexion sur une paroi circulaire : invariance de $r\sin i$.
- Incertitudes : composition quadratique des incertitudes relatives, écart normalisé et seuil $z\le2$.
- Python : méthode des rectangles (le pas est la longueur divisée par le nombre d'intervalles), dichotomie et choix de l'intervalle initial.
**Prérequis à revoir.** Les équations de Maxwell et l'identité du double rotationnel ; les lois de Descartes et la réflexion totale ; les nombres d'oxydation et les demi-équations en milieu basique ; la relation entre $\log K^\circ$ et l'écart des potentiels standard.
**Questions classiques transposables.** La vitesse de libération et la fuite des gaz légers (Q7–Q9) ; le spectromètre de masse (Q19–Q27) ; les modes d'une cavité laser (Q12–Q14) ; la lame de savon en réflexion (Q31–Q33) ; le rayon de courbure minimal d'une fibre (Q34) ; la production de dihydrogène par un métal (Q38–Q40).
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