Maths

# e3a-Polytech PC — Mathématiques 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

Épreuve PC8M, 4 heures, calculatrices interdites. Trois exercices indépendants.

## Exercice 1

### Questions préliminaires

#### Question 1

Soit $\mu$ une valeur propre de $g$ et $x\neq0$ tel que $g(x)=\mu x$. Alors
$$g^2(x)=g(\mu x)=\mu g(x)=\mu^2x,$$
et $x\neq0$ : **$\mu^2$ est valeur propre de $g^2$** (avec le même vecteur propre $x$).

#### Question 2

Soit $x\neq0$ tel que $g^2(x)=\lambda x$ avec $\lambda\neq0$. Alors
$$g^2(g(x))=g(g^2(x))=g(\lambda x)=\lambda\,g(x).$$
De plus $g(x)\neq0$ : sinon $\lambda x=g^2(x)=g(0)=0$, d'où $x=0$ puisque $\lambda\neq0$, ce qui est exclu. **$g(x)$ est donc vecteur propre de $g^2$ associé à la même valeur propre $\lambda$.**

#### Question 3

Soient $\mu_1\neq\mu_2$ deux valeurs propres de $g$ et $x\in E_{\mu_1}(g)\cap E_{\mu_2}(g)$. Alors $\mu_1x=g(x)=\mu_2x$, donc $(\mu_1-\mu_2)x=0$ et $x=0$. Deux sous-espaces dont l'intersection est $\{0\}$ sont en somme directe : **$E_{\mu_1}(g)+E_{\mu_2}(g)=E_{\mu_1}(g)\oplus E_{\mu_2}(g)$.**

#### Question 4

$$\boxed{\det(-A)=(-1)^n\det(A)}\qquad\boxed{\det(A^\top)=\det(A)}$$

### Question 5 — Premières propriétés de l'endomorphisme $f$

#### Question 5.1

$M$ a une diagonale nulle, des $-1$ sur la sur-diagonale et des $1$ sur la sous-diagonale ; $M^\top$ a des $1$ sur la sur-diagonale et des $-1$ sur la sous-diagonale. Donc
$$\boxed{M+M^\top=0_5},\qquad\text{c'est-à-dire } M^\top=-M.$$

#### Question 5.2

D'après 5.1 et la question 4 avec $n=5$ :
$$\det M=\det(M^\top)=\det(-M)=(-1)^5\det M=-\det M,$$
donc $\det M=0$. $M$ n'est pas inversible : **$f$ n'est pas un automorphisme de $E$.**

#### Question 5.3

$MX=0$ avec $X=(x_1,\dots,x_5)^\top$ s'écrit
$$-x_2=0,\quad x_1-x_3=0,\quad x_2-x_4=0,\quad x_3-x_5=0,\quad x_4=0,$$
soit $x_2=x_4=0$ et $x_1=x_3=x_5$. Donc $\operatorname{Ker}M=\operatorname{Vect}(w)$ avec $w=(1,0,1,0,1)^\top$, de dimension $1$, et par le théorème du rang
$$\boxed{\operatorname{rg}M=5-1=4}.$$

#### Question 5.4

La base $\mathscr B$ est orthonormale et la matrice de $f^2$ dans $\mathscr B$ est $M^2$. Or
$$(M^2)^\top=(M^\top)^2=(-M)^2=M^2.$$
$M^2$ est symétrique dans une base orthonormale : **$f^2$ est un endomorphisme symétrique de $E$.**

#### Question 5.5

$M^2$ est une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres : **$M^2$ est diagonalisable dans $\mathcal M_5(\mathbb R)$.**

#### Question 5.6

Pour $x,y\in E$ de coordonnées $X,Y$ dans $\mathscr B$ :
$$(f(x)\mid y)=(MX)^\top Y=X^\top M^\top Y=-X^\top MY=-(x\mid f(y)).$$
$$\boxed{\forall (x,y)\in E^2,\ (f(x)\mid y)=-(x\mid f(y))}$$

### Question 6 — Étude des éléments propres de l'endomorphisme $f$

#### Question 6.1

Avec $y=x$ dans 5.6 : $(f(x)\mid x)=-(x\mid f(x))$, donc $(f(x)\mid x)=0$ pour tout $x\in E$.

Si $\mu$ est valeur propre de $f$ et $x\neq0$ avec $f(x)=\mu x$, alors $0=(f(x)\mid x)=\mu\|x\|^2$ et $\|x\|^2>0$, donc $\mu=0$. Réciproquement, $0$ est valeur propre de $f$ car $\operatorname{Ker}f\neq\{0\}$ (5.3). **$0$ est la seule valeur propre de $f$.**

#### Question 6.2

Si $f$ était diagonalisable, sa matrice dans une base de vecteurs propres serait diagonale, de coefficients diagonaux les valeurs propres, tous nuls d'après 6.1 : on aurait $f=0$. Or $f(e_1)=e_2\neq0$. **$f$ n'est pas diagonalisable.**

#### Question 6.3

Soit $\lambda\neq0$ valeur propre de $f^2$ et $x\neq0$ tel que $f^2(x)=\lambda x$. Par 5.6 appliquée au couple $(x,f(x))$ :
$$\|f(x)\|^2=(f(x)\mid f(x))=-(x\mid f^2(x))=-\lambda\|x\|^2.$$
Donc $-\lambda\|x\|^2\ge0$ avec $\|x\|^2>0$, d'où $\lambda\le0$, et comme $\lambda\neq0$ : **$\lambda<0$.**

### Question 7

Par le théorème du rang, $\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f=5=\dim E$ (avec $1+4$ d'après 5.3). Il suffit de montrer que $\operatorname{Ker}f\cap\operatorname{Im}f=\{0\}$.

Soit $z\in\operatorname{Ker}f\cap\operatorname{Im}f$ : $z=f(y)$ pour un $y\in E$, et $f(z)=0$. Par 5.6 :
$$\|z\|^2=(f(y)\mid z)=-(y\mid f(z))=0,$$
donc $z=0$. L'intersection est nulle et les dimensions s'ajoutent en $\dim E$ :
$$\boxed{E=\operatorname{Ker}(f)\oplus\operatorname{Im}(f)}.$$

### Question 8

#### Question 8.1

Soit $\lambda\neq0$ valeur propre de $f^2$, donc $\lambda<0$ (6.3), et $x\neq0$ avec $f^2(x)=\lambda x$. Soient $a,b\in\mathbb R$ avec $ax+bf(x)=0$.

- Si $b=0$, alors $ax=0$ et $a=0$.
- Si $b\neq0$, alors $f(x)=kx$ avec $k=-a/b\in\mathbb R$, puis $f^2(x)=k^2x$, donc $\lambda=k^2\ge0$, ce qui contredit $\lambda<0$.

Donc $a=b=0$ : **$(x,f(x))$ est libre.**

#### Question 8.2

$f(x)\in\operatorname{Im}f$, et comme $\lambda\neq0$,
$$x=\frac1\lambda f^2(x)=f\!\left(\frac1\lambda f(x)\right)\in\operatorname{Im}f.$$
Donc $\operatorname{Vect}(x,f(x))\subset\operatorname{Im}f$, et ce sous-espace est de dimension $2$ par 8.1 : **$(x,f(x))$ engendre un plan vectoriel de $\operatorname{Im}(f)$.**

### Question 9

Notons $E_{-1}$ et $E_{-3}$ les sous-espaces propres de $f^2$ associés à $-1$ et $-3$.

- Par la question préliminaire 2 (avec $g=f$), $f(u)\in E_{-1}$ et $f(v)\in E_{-3}$. Donc $\operatorname{Vect}(u,f(u))\subset E_{-1}$ et $\operatorname{Vect}(v,f(v))\subset E_{-3}$.
- Par la question préliminaire 3, $E_{-1}\cap E_{-3}=\{0\}$.
- Par 8.1, $(u,f(u))$ et $(v,f(v))$ sont libres.

Soit alors $au+bf(u)+cv+df(v)=0$. Le vecteur $au+bf(u)=-(cv+df(v))$ appartient à $E_{-1}\cap E_{-3}=\{0\}$, donc $au+bf(u)=0$ et $cv+df(v)=0$, puis $a=b=c=d=0$ par liberté de chaque couple. La famille $(u,f(u),v,f(v))$ est libre, formée de $4$ vecteurs de $\operatorname{Im}f$ (8.2), et $\dim\operatorname{Im}f=4$ (5.3). **$(u,f(u),v,f(v))$ est une base de $\operatorname{Im}(f)$.**

### Question 10

Par 7 et 9, $\mathscr B'=(w,u,f(u),v,f(v))$ est une base de $E$ (concaténation d'une base de $\operatorname{Ker}f$ et d'une base de $\operatorname{Im}f$, supplémentaires). On a
$$f(w)=0,\quad f(u)=f(u),\quad f(f(u))=f^2(u)=-u,\quad f(v)=f(v),\quad f(f(v))=f^2(v)=-3v.$$
La matrice de $f$ dans $\mathscr B'$ est donc
$$T=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&-3\\0&0&0&1&0\end{pmatrix},$$
et $M$, matrice du même endomorphisme dans $\mathscr B$, lui est semblable :
$$\boxed{\alpha=-1,\quad\beta=1,\quad\gamma=-3,\quad\delta=1}.$$

Exemple explicite : $w=(1,0,1,0,1)$, $u=(0,1,0,1,0)$, $v=(0,-1,0,1,0)$ conviennent ($M^2u=-u$, $M^2v=-3v$).

## Exercice 2

### Questions préliminaires

#### Question 1

$$\boxed{e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\underset{t\to0}{o}(t^2)}$$

#### Question 2

$h$ est continue sur l'intervalle $\mathbb R_+^*$ et $a\in\mathbb R_+^*$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $H:x\mapsto\int_a^xh(t)\,dt$ est l'unique primitive de $h$ sur $\mathbb R_+^*$ qui s'annule en $a$. Elle est dérivable de dérivée $h$ continue :
$$\boxed{H\in\mathcal C^1(\mathbb R_+^*),\qquad H'=h}.$$

#### Question 3

Pour $x>0$, la relation de Chasles donne $G(x)=\int_a^{x+1}h-\int_a^xh=H(x+1)-H(x)$, avec $x+1\in\mathbb R_+^*$. Par composition avec $x\mapsto x+1$ et différence de fonctions de classe $\mathcal C^1$, $G$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ et
$$\boxed{G'(x)=h(x+1)-h(x)}.$$

### Question 4

Soit $x>0$. Pour $t\in[0,1]$, $x+t\ge x>0$, donc $t\mapsto\frac{f(t)}{x+t}$ est continue sur le segment $[0,1]$ et son intégrale existe. **$F$ est définie sur $\mathbb R_+^*$.**

### Question 5 — Un premier exemple

#### Question 5.1

$$F_0(x)=\int_0^1\frac{dt}{x+t}=\bigl[\ln(x+t)\bigr]_0^1=\ln(x+1)-\ln x,\qquad\boxed{F_0(x)=\ln\!\left(1+\frac1x\right)}.$$

#### Question 5.2

Pour $k\ge1$ :
$$F_k(x)+xF_{k-1}(x)=\int_0^1\frac{t^{k-1}(t+x)}{x+t}\,dt=\int_0^1t^{k-1}\,dt,\qquad\boxed{F_k(x)+xF_{k-1}(x)=\frac1k}.$$

#### Question 5.3

D'après 5.2, $F_k(x)=\frac1k+(-x)F_{k-1}(x)$. Comme $\dfrac{-x}{(-x)^k}=\dfrac{1}{(-x)^{k-1}}$, la division par $(-x)^k\neq0$ donne
$$\frac{F_k(x)}{(-x)^k}=\frac{1}{k(-x)^k}+\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}}.$$
Comme $\frac{1}{(-x)^k}=\frac{(-1)^k}{x^k}$ :
$$\boxed{\frac{F_k(x)}{(-x)^k}-\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}}=\frac{(-1)^k}{k}\left(\frac1x\right)^k}.$$

#### Question 5.4

Pour $n\ge1$, on somme 5.3 pour $k=1,\dots,n$ ; la somme télescope :
$$\frac{F_n(x)}{(-x)^n}-F_0(x)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}\left(\frac1x\right)^k.$$
Avec 5.1 :
$$\frac{F_n(x)}{(-x)^n}=\ln\!\left(1+\frac1x\right)-\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}\left(\frac1x\right)^k.$$
En posant
$$\boxed{P_n(X)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}X^k\quad(P_0=0)},$$
on obtient $F_n(x)=(-x)^n\bigl(\ln(1+\frac1x)-P_n(\frac1x)\bigr)$ pour tout $n\ge1$, et aussi pour $n=0$ d'après 5.1. ($P_n$ est la partie régulière du développement limité de $\ln(1+X)$ en $0$ à l'ordre $n$.)

### Question 6 — Un deuxième exemple

#### Question 6.1

Pour $x>0$, le changement de variable affine $u=x+t$ ($du=dt$, bornes $x$ et $x+1$) donne
$$G(x)=\int_x^{x+1}\frac{e^{u-x}}{u}\,du=e^{-x}\Phi(x),\qquad\Phi(x)=\int_x^{x+1}\frac{e^u}{u}\,du.$$
La fonction $\varphi:u\mapsto e^u/u$ est continue sur $\mathbb R_+^*$ ; par la question préliminaire 3, $\Phi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ et $\Phi'(x)=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}$. Produit de deux fonctions de classe $\mathcal C^1$, **$G$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$**, et
$$G'(x)=-e^{-x}\Phi(x)+e^{-x}\Phi'(x)=-G(x)+\frac{e}{x+1}-\frac1x.$$

#### Question 6.2.1

- $t\mapsto\frac{e^t}{1+t}$ est continue sur $\mathbb R_+$ ($1+t\ge1$). Par le théorème fondamental de l'analyse, $K$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$, $K'(x)=\frac{e^x}{1+x}$.
- Pour $t>0$, $\psi(t)=\frac{e^t-1}{t}$. D'après la question 1, $e^t-1=t+\frac{t^2}2+o(t^2)$, donc $\psi(t)=1+\frac t2+o(t)\to1$ quand $t\to0^+$. Prolongée par $\psi(0)=1$, $\psi$ est continue sur $\mathbb R_+$ ; l'intégrale $J(x)$ existe donc pour tout $x\ge0$ (intégrale de ce prolongement), et par le théorème fondamental $J$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$ avec $J'(x)=\frac{e^x-1}{x}$ pour $x>0$, $J'(0)=1$.

**$J$ et $K$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$.**

#### Question 6.2.2

$L$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ (6.1, 6.2.1). Pour $x>0$, avec 6.1 :
$$\bigl(G(x)e^x\bigr)'=\bigl(G'(x)+G(x)\bigr)e^x=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}.$$
Donc
$$L'(x)=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}-e\cdot\frac{e^x}{1+x}+\frac{e^x-1}{x}+\frac1x=\frac{-e^x+e^x-1+1}{x}=0.$$
$L'$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb R_+^*$ : **$L$ est constante sur $\mathbb R_+^*$.**

#### Question 6.2.3

Notons $C$ la valeur de $L$. Pour $x>0$ :
$$G(x)e^x=C+eK(x)-J(x)-\ln x.$$
$J$ et $K$ sont continues en $0$ avec $J(0)=K(0)=0$, donc $C+eK(x)-J(x)\to C$ quand $x\to0^+$, tandis que $-\ln x\to+\infty$. Ainsi $G(x)e^x\to+\infty$, et comme $e^{-x}\to1$ :
$$\boxed{\lim_{x\to0^+}G(x)=+\infty}.$$
De plus $\dfrac{G(x)e^x}{-\ln x}=1+\dfrac{C+eK(x)-J(x)}{-\ln x}\to1$, donc $G(x)e^x\sim-\ln x$, et comme $e^x\to1$ :
$$\boxed{G(x)\underset{x\to0^+}{\sim}-\ln x}.$$

## Exercice 3

### Question 1

$X(\Omega)\subset\{1,2,3\}$, donc $X^2(\Omega)\subset\{1,4,9\}$. **Les valeurs possibles de $X^2$ sont $1$, $4$ et $9$** (la valeur $k^2$ est prise avec probabilité $p_k$).

### Question 2

Par la formule de transfert :
$$\boxed{\mathbb E(X^2)=\sum_{k=1}^3k^2p_k=p_1+4p_2+9p_3}.$$

### Question 3

Avec $p_3=1-p_1-p_2$ :
$$\mathbb E(X^2)=9-8p_1-5p_2,\qquad\mathbb E(X)=p_1+2p_2+3p_3=3-2p_1-p_2.$$
Par la formule de König-Huygens, $\mathbb V(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2$, et $(3-2p_1-p_2)^2=9+4p_1^2+p_2^2-12p_1-6p_2+4p_1p_2$, donc
$$\boxed{\mathbb V(X)=4p_1+p_2-4p_1^2-p_2^2-4p_1p_2}.$$

### Question 4

#### Question 4.1

$T$ est le triangle plein (bord compris) de sommets $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(0,1)$ : la partie du carré $[0,1]^2$ située sous la diagonale $x+y=1$.

![Figure 1 — Le triangle T, de sommets O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), bord compris](/figures/corriges/e3a-polytech_pc_maths_2026/q4-1-triangle-t.svg)

#### Question 4.2

$f$ est une fonction polynomiale de $(x,y)$, donc de classe $\mathcal C^\infty$, et en particulier **$f$ est de classe $\mathcal C^2$ sur $\mathbb R^2$.**

#### Question 4.3

$f$ est continue sur $\mathbb R^2$. $T$ est une partie non vide, fermée et bornée de $\mathbb R^2$ (bornée car incluse dans $[0,1]^2$, fermée comme intersection des demi-plans fermés $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le1$ et de $[0,1]^2$). D'après le théorème des bornes atteintes, **$f$ est bornée sur $T$ et y atteint un maximum et un minimum.**

#### Question 4.4

$$\boxed{\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}4-8x-4y\\1-4x-2y\end{pmatrix}}$$

#### Question 4.5

Un point critique vérifierait $8x+4y=4$ et $4x+2y=1$. La seconde équation donne $8x+4y=2$, incompatible avec la première. **$f$ n'a aucun point critique dans $\mathbb R^2$, donc aucun dans l'intérieur de $T$.**

#### Question 4.6

$g(x)=x-x^2$, $g'(x)=1-2x$, positive sur $[0,\frac12]$, négative sur $[\frac12,1]$.

| $x$ | $0$ | | $\frac12$ | | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g'(x)$ | $1$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-1$ |
| $g(x)$ | $0$ | croissante | $\frac14$ | décroissante | $0$ |

Représentation graphique : arc de parabole concave, symétrique par rapport à la droite $x=\frac12$ (figure 2).

![Figure 2 — Graphe de g : x ↦ x(1 − x) pour 0 ⩽ x ⩽ 1, en repère orthonormé, maximum 1/4 en 1/2, tangentes de pentes 1 et −1 aux extrémités](/figures/corriges/e3a-polytech_pc_maths_2026/q4-6-graphe-g.svg)

#### Question 4.7

L'intérieur de $T$ est un ouvert ; si $f$ atteignait un extremum sur $T$ en un point intérieur, ce serait un extremum local sur un ouvert, donc un point critique, ce que 4.5 exclut. Les extrema (qui existent par 4.3) sont donc atteints sur le bord, réunion des trois côtés :

- $[OB]$ ($x=0$, $y\in[0,1]$) : $f(0,y)=y-y^2=g(y)$ ;
- $[OA]$ ($y=0$, $x\in[0,1]$) : $f(x,0)=4x-4x^2=4g(x)$ ;
- $[AB]$ ($y=1-x$, $x\in[0,1]$) : $f(x,1-x)=4x+1-x-4x^2-(1-2x+x^2)-4x+4x^2=x-x^2=g(x)$.

Par 4.6, sur $[0,1]$, $0\le g\le\frac14$, avec $g=0$ exactement en $0$ et $1$, et $g=\frac14$ exactement en $\frac12$. Sur le bord, $f$ prend donc ses valeurs dans $[0,1]$, le maximum $1$ n'étant atteint qu'en $(\frac12,0)$ et le minimum $0$ qu'aux trois sommets :
$$\boxed{\max_Tf=f\!\left(\tfrac12,0\right)=1,\qquad\min_Tf=0\ \text{atteint en }(0,0),\ (1,0),\ (0,1)}.$$

![Figure 3 — Restriction de f aux trois côtés de T : maximum 1 en (1/2, 0), minimum 0 aux sommets](/figures/corriges/e3a-polytech_pc_maths_2026/q4-7-bord-triangle.svg)

### Question 5

Les conditions $p_1,p_2,p_3\in[0,1]$ et $p_1+p_2+p_3=1$ équivalent à $(p_1,p_2)\in T$ avec $p_3=1-p_1-p_2$, et $\mathbb V(X)=f(p_1,p_2)$ (question 3). D'après 4.7 :

- **la variance est maximale, égale à $1$, pour $(p_1,p_2,p_3)=(\frac12,0,\frac12)$** ;
- **la variance est minimale, égale à $0$, pour $(p_1,p_2,p_3)\in\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$.**

### Question 6

Lorsque la variance est minimale, l'un des $p_k$ vaut $1$ : **$X$ est presque sûrement constante**, égale à $1$, $2$ ou $3$. C'est cohérent avec la propriété générale : $\mathbb V(X)=0$ si et seulement si $X=\mathbb E(X)$ presque sûrement.