Maths

# SESSION 2026 PSI8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

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MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. • Ne pas utiliser de correcteur. • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. ________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Questions préliminaires

1. Soit f une fonction de classe C2 sur Rn. Écrire pour la fonction f, sans la redémontrer, la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en un point a de Rn.

2. Soient J ∈Mn(R) la matrice dont tous les éléments sont égaux à 1 et In la matrice identité de Mn(R).

2.1. Déterminer le rang de J.

2.2. Justifier que 0 est valeur propre de J. Quel est son ordre de multiplicité?

2.3. Démontrer alors que la matrice In + J est symétrique réelle définie positive.

* * * * *

On considère la fonction f définie sur Rn par :

2 −

n ∑ k=1

n ∑ k=1

n ∑ k=1

∀m = (x1,..., xn) ∈Rn, f(m) =

k + (

xk)

x2

xk,

c’est-à-dire :

1 + x2 2 + ⋯+ x2 n) + (x1 + x2 + ⋯+ xn)2 −(x1 + x2 + ⋯+ xn).

f(m) = (x2

3. Justifier que f est de classe C2 sur Rn.

4. Soit m = (x1,..., xn) ∈Rn.

4.1. Calculer ∂f ∂x1

(m).

4.2. Calculer ∂2 f ∂x2∂x1

(m) et ∂2 f ∂x1∂x2

(m).

4.3. Calculer ∂2 f ∂x2

1 (m).

5. Déterminer le vecteur gradient ∇f(m) de f au point m = (x1,..., xn).

6. Déterminer le seul point critique a = (a1,...,an) de f dans Rn.

7. Soit m = (x1,..., xn) ∈Rn.

7.1. Déterminer la matrice Hessienne Hf(m) de f.

7.2. Déterminer le spectre de Hf(m).

8. Montrer que f admet un extremum local en a et préciser sa nature et sa valeur.

EXERCICE 2

On définit, lorsque cela est possible, la suite réelle (vn)n∈N par :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

v0 ∈[−1,1]

et

∀n ∈N, vn+1 = ln(1 −1

2 vn)

1. Étude de la suite (vn)n∈N

1.1. Dresser le tableau de variations sur [−1,1] de la fonction f ∶x ↦ln(1 −1 2 x).

En particulier, on déterminera les deux réels a et b tels que f([−1,1]) = [a,b].

1.2. Justifier que [a,b] ⊂] −1,1[.

1.3. Montrer que, pour tout n ∈N∗, vn est bien défini et que vn ∈[a,b].

1.4. Démontrer qu’il existe k ∈]0,1[ tel que, pour tout x ∈[a,b], ∣f ′(x)∣⩽k.

1.5. Prouver alors que pour tout entier n ⩾2, ∣vn∣⩽k × ∣vn−1∣.

1.6. Démontrer que la suite (vn)n∈N converge et déterminer sa limite.

2. Étude d’une série de fonctions On définit la suite de fonctions (un)n∈N sur [−1,1] par :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u0(x) = x

et

∀n ∈N, un+1(x) = ln(1 −1

2 un(x))

Prouver que la série de fonctions ∑

un converge uniformément sur [−1,1].

n⩾1

EXERCICE 3

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 3, et En = Rn[X]. Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée. Pour tout k ∈⟦0,n⟧, on pose Pk(X) = Xk et on rappelle que B = (P0, P1,..., Pn) est une base de En.

On note Φ l’application qui à tout polynôme P de En associe :

Φ(P) = ((X2 −1)P)′′ = (X2 −1)P′′ + 4XP′ + 2P.

1. Vérifier que Φ est un endomorphisme de En.

2. Soit k ∈⟦0,n⟧. Calculer Φ(Pk).

3. Déterminer la matrice M de Φ dans la base B. On explicitera soigneusement les trois premières colonnes et, en fonction de j, une j-ième colonne de la matrice M, avec j ∈⟦3,n + 1⟧.

4. Montrer que Φ admet n + 1 valeurs propres deux à deux distinctes notées : λ0 < λ1 < ⋯< λn.

5. L’endomorphisme Φ de En est-il un automorphisme de En ?

6. Vérifier que Φ est diagonalisable et déterminer la dimension de ses sous-espaces propres.

7. Soient k ∈⟦0,n⟧et T un vecteur propre de Φ associé à la valeur propre λk.

7.1. Montrer que le degré de T est égal à k.

7.2. Montrer que le polynôme Q défini par : Q(X) = T(−X) est un vecteur propre de Φ associé à la valeur propre λk.

8. Montrer qu’il existe une unique base U = (Q0, Q1,..., Qn) de En constituée de vecteurs propres de Φ, telle que, pour tout k ∈⟦0,n⟧, Qk est un polynôme unitaire de degré k et vérifie :

Qk(−X) = (−1)k Qk(X).

9. Que peut-on en déduire sur la parité des polynômes Qk ?

10. Soit k ∈⟦0,n⟧. Justifier que (Q0, Q1,..., Qk) est une base de Rk[X].

11. Calculer Qk pour k ∈⟦0,3⟧.

12. Montrer que l’application (P, Q) ↦(P∣Q) = ∫

−1 (1 −t2) P(t) Q(t)dt définit un produit scalaire sur En.

13. On munit alors En de ce produit scalaire.

13.1. Montrer que Φ est un endomorphisme symétrique de (En,(∣)). On pourra intégrer par parties.

13.2. Montrer que la base U est orthogonale pour le produit scalaire (∣). On pourra calculer pour (i, j) ∈⟦0,n⟧2, i ≠j, le produit scalaire (Φ(Qi)∣Q j).

14. Soit j ∈⟦1,n⟧. Montrer que : ∀S ∈Rj−1[X], (S ∣Qj) = 0.

EXERCICE 4

Dans tout l’exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Questions préliminaires

1. Montrer qu’un polynôme de R[X] de degré impair possède au moins une racine réelle.

2. Déterminer les racines complexes du polynôme X11 −1.

3. En déduire les racines complexes du polynôme 1 + X + X2 + ⋯+ X10 =

10 ∑ k=0

Xk. Justifier qu’aucune

n’est réelle.

*****

Soient U et V les variables aléatoires de l’espace probabilisé (Ω,A ,P) correspondant chacune au lancer d’un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6, pas forcément équilibré, les lancers étant indépendants.

On suppose que chaque face de chaque dé possède une probabilité non nulle d’apparition. Enfin, on note S = U + V.

4. Déterminer les valeurs prises par les variables aléatoires U, V et S .

On suppose que S suit une loi uniforme.

5. Démontrer que la fonction génératrice GS de S est une fonction polynomiale que l’on déterminera.

6. Déterminer les racines de GS dans C.

7. Soient GU et GV les fonctions génératrices des variables aléatoires U et V. Déterminer un polynôme Q (respectivement R) dont les coefficients dépendent de la loi de la variable aléatoire U (respectivement de la variable aléatoire V), vérifiant :

∀t ∈R, GU(t) = t Q(t) et GV(t) = t R(t).

8. Démontrer que les polynômes Q et R possèdent chacun au moins une racine réelle. On pourra utiliser une des questions préliminaires.

9. Montrer que ∀t ∈R, GS(t) = t2 Q(t)R(t).

10. Établir une contradiction qui démontre que la supposition encadrée est fausse. On pourra utiliser une des questions préliminaires.

11. Est-il possible de truquer deux dés à six faces de façon à ce que la somme des résultats obtenus au cours de lancers suive une loi uniforme?

FIN

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 26 1020 – D’après documents fournis