Maths 1
Mines-PontsMP2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts MP — Maths 1 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet démontre l'**équation d'Euler-Lagrange**, condition nécessaire satisfaite par une fonction $z_0$ qui rend extrémale une intégrale de la forme $T(y)=\int_{x_A}^{x_B}f(x,y(x),y'(x))\,\mathrm dx$, puis l'applique à trois problèmes historiques du calcul des variations : le plus court chemin (la droite), le chemin de descente le plus rapide (la cycloïde, problème de la brachistochrone) et le film de savon entre deux cercles (la caténoïde). L'épreuve dure 3 heures, sans calculatrice.
**Découpage.**
| Partie | Questions | Contenu |
|---|---|---|
| I – Lemme fondamental | 1 à 4 | fonction $\varphi(x)=e^{-1/x}$ prolongée par $0$, classe $\mathcal C^\infty$, fonction bosse $\psi_{c,d}$, lemme « orthogonale à toutes les fonctions test $\Rightarrow$ nulle » |
| II – Euler-Lagrange | 5 à 10 | existence de $T$, stabilité de $\mathcal C$ par Bolzano-Weierstrass, dérivation sous l'intégrale, théorème de Fermat et intégration par parties, équation d'Euler-Lagrange, identité de Beltrami |
| III – Ligne droite | 11 | Beltrami pour $f=\sqrt{1+z^2}$ |
| IV – Cycloïde | 12 à 15 | intégrale première, fonction $\operatorname{arccotan}$, paramétrage par $\theta$ |
| V – Caténoïde | 16 à 18 | intégrale première, fonction $\operatorname{argch}$, chaînette |
**Notions du programme mobilisées.** Récurrence, croissances comparées, théorème de la limite de la dérivée (classe $\mathcal C^k$ par prolongement) ; continuité, fonction continue positive d'intégrale nulle ; Bolzano-Weierstrass, fermés et caractérisation séquentielle, image continue d'un compact ; théorème de dérivation des intégrales à paramètre (domination) ; règle de la chaîne pour les fonctions de plusieurs variables ; théorème de Fermat (extremum en un point intérieur) ; intégration par parties ; théorème des valeurs intermédiaires ; théorème de la bijection et dérivée d'une réciproque ; équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants (complément de Q18).
**Difficulté et longueur.** Le sujet est court (18 questions) et très guidé. Les parties I et II sont des classiques de l'analyse (fonctions plateau, intégrales à paramètre) où se joue l'essentiel de la rigueur. Les parties III à V sont des calculs qui n'utilisent que le **résultat** de Q10 : elles sont abordables même sans avoir fait la partie II.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q3, Q5, Q11, Q13, Q14, Q16, Q17 : courtes et purement techniques. Q2, Q6, Q7 et Q15 demandent plus de soin.
**Gestion du temps.** Environ 45 min pour la partie I, 1 h pour la partie II, 1 h 15 pour III à V. Si la partie II résiste, admettre Q9–Q10 et traiter III à V.
**Trois points d'énoncé à connaître** (à signaler sur la copie, comme l'énoncé y invite) :
1. En partie II, $f$ n'est supposée de classe $\mathcal C^2$ que sur l'**ouvert** $]x_A,x_B[\times U\times V$, mais Q7–Q9 utilisent ses dérivées jusqu'aux bornes $x_A$, $x_B$. On suppose que les dérivées partielles d'ordre $\le2$ se prolongent continûment à $[x_A,x_B]\times U\times V$ (c'est vrai dans toutes les applications).
2. En partie IV, la contrainte $y'<0$ ne porte que sur $]x_A,x_B]$ : on ne peut pas citer la partie II telle quelle, il faut adapter l'argument (voir Q12).
3. En Q18, l'hypothèse $y_0'>0$ sur $[0,1]$ contredit $y_0(0)=y_0(1)$ (théorème de Rolle).
## Partie I — Lemme fondamental du calcul variationnel
On construit une fonction de classe $\mathcal C^\infty$, nulle hors d'un intervalle et strictement positive dedans, pour « tester » une fonction continue localement. Outils : récurrence, croissances comparées, limite de la dérivée, continuité.
Notations : $a<b$, $f:[a,b]\to\mathbf R$ continue avec $\int_a^bfh=0$ pour toute $h\in\mathcal C^\infty([a,b],\mathbf R)$ telle que $h(a)=h(b)=0$ ; $\varphi(x)=e^{-1/x}$ pour $x>0$, $\varphi(x)=0$ pour $x\le0$.
### Question 1
> [!INDICATION]
> La régularité sur $\mathbf R_+^\star$ découle des théorèmes généraux. Pour la formule, raisonner par récurrence sur $n$.
> [!INDICATION]
> Dériver $P_n(1/x)e^{-1/x}$ comme un produit : chaque dérivation fait apparaître un facteur $1/x^2$. En déduire une relation donnant $P_{n+1}$ à partir de $P_n$ et $P_n'$.
#### Solution
Sur $\mathbf R_+^\star$, $x\mapsto-1/x$ est de classe $\mathcal C^\infty$ (fonction rationnelle sans pôle) et $\exp$ l'est sur $\mathbf R$ : par composition, **$\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R_+^\star$**.
Montrons par récurrence sur $n\in\mathbf N$ : il existe $P_n\in\mathbf R[X]$ tel que $\varphi^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x}$ pour tout $x>0$.
*Initialisation.* $P_0=1$.
*Hérédité.* Si $P_n$ convient, pour $x>0$ :
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}P_n\!\left(\frac1x\right)=-\frac1{x^2}P_n'\!\left(\frac1x\right),\qquad \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^{-1/x}=\frac1{x^2}e^{-1/x},$$
donc
$$\varphi^{(n+1)}(x)=\frac1{x^2}\left(P_n\!\left(\frac1x\right)-P_n'\!\left(\frac1x\right)\right)e^{-1/x}=P_{n+1}\!\left(\frac1x\right)e^{-1/x}$$
avec $P_{n+1}=X^2(P_n-P_n')$, polynôme.
$$\boxed{P_0=1,\qquad P_{n+1}=X^2(P_n-P_n').}$$
Par exemple $P_1=X^2$, $P_2=X^4-2X^3$ ; on vérifie que $\deg P_n=2n$.
> [!PIEGE]
> $P_n$ est évalué en $1/x$, pas en $x$. Écrire $\varphi^{(n)}(x)=P_n(x)e^{-1/x}$ rend la récurrence fausse et ruine la question 2.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Le seul point délicat est le raccord en $0$. Montrer d'abord que $\varphi^{(n)}(x)$ tend vers $0$ quand $x\to0^+$, pour tout $n$.
> [!INDICATION]
> Un calcul de limite ne suffit pas à prouver la dérivabilité en $0$. Montrer par récurrence que $\varphi$ est de classe $\mathcal C^n$ sur $\mathbf R$ en utilisant le théorème de la limite de la dérivée (prolongement de la classe $\mathcal C^1$).
#### Solution
**Lemme.** Pour tout polynôme $P$, $P(1/x)e^{-1/x}\xrightarrow[x\to0^+]{}0$. En effet, avec $t=1/x\to+\infty$, $P(t)e^{-t}\to0$ par croissances comparées.
Montrons par récurrence sur $n$ la propriété $\mathcal Q(n)$ : « $\varphi$ est de classe $\mathcal C^n$ sur $\mathbf R$ et $\varphi^{(n)}$ est nulle sur $\mathbf R_-$ ».
*$\mathcal Q(0)$.* $\varphi$ est continue sur $\mathbf R_-^\star$ (nulle) et sur $\mathbf R_+^\star$ (Q1). En $0$, $\varphi(x)\to0=\varphi(0)$ à gauche (fonction nulle) et à droite (lemme avec $P=1$). Donc $\varphi$ est continue sur $\mathbf R$.
*$\mathcal Q(n)\Rightarrow\mathcal Q(n+1)$.* La fonction $g=\varphi^{(n)}$ est continue sur $\mathbf R$, de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbf R^\star$ : $g'=0$ sur $\mathbf R_-^\star$ et $g'(x)=P_{n+1}(1/x)e^{-1/x}$ sur $\mathbf R_+^\star$. Par le lemme, $g'(x)\to0$ quand $x\to0^+$, et $g'(x)\to0$ quand $x\to0^-$. Par le théorème de la limite de la dérivée, $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0)=0$, et $g'$ est continue en $0$. Donc $\varphi$ est de classe $\mathcal C^{n+1}$ sur $\mathbf R$, et $\varphi^{(n+1)}=g'$ est nulle sur $\mathbf R_-$.
Conclusion : **$\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R$**, et $\varphi^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$.
> [!METHODE]
> Pour montrer qu'une fonction définie par morceaux est de classe $\mathcal C^\infty$ en un point de raccord : récurrence sur $n$ + théorème de la limite de la dérivée à chaque étape. Les hypothèses à vérifier sont : continuité au point, classe $\mathcal C^1$ sur un voisinage épointé, limite finie de la dérivée.
> [!PIEGE]
> Montrer seulement que $\varphi^{(n)}(x)\to0$ en $0^+$ ne prouve rien sur l'existence de $\varphi^{(n)}(0)$ : c'est l'existence de $\varphi^{(n)}$ sur $\mathbf R$ entier qu'il faut établir de proche en proche.
> [!JURY]
> Un théorème invoqué doit être nommé et ses hypothèses vérifiées une à une : ici, la limite à gauche, quoique triviale, doit figurer.
*Remarque.* Toutes les dérivées de $\varphi$ sont nulles en $0$ mais $\varphi$ n'est pas nulle au voisinage de $0$ : $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sans être développable en série entière en $0$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> $\varphi$ est nulle à gauche de $0$ et strictement positive à droite. Comment obtenir une fonction nulle à gauche de $c$ ? nulle à droite de $d$ ?
> [!INDICATION]
> Combiner deux fonctions de ce type par une opération qui conserve la classe $\mathcal C^\infty$ et qui s'annule dès qu'un des facteurs s'annule.
#### Solution
Posons
$$\boxed{\psi_{c,d}(x)=\varphi(x-c)\,\varphi(d-x)\qquad(x\in\mathbf R).}$$
- *Régularité.* Composée de $\varphi$ (de classe $\mathcal C^\infty$ par Q2) avec des fonctions affines, puis produit : $\psi_{c,d}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R$.
- *Positivité.* Si $c<x<d$, $x-c>0$ et $d-x>0$, donc $\psi_{c,d}(x)=e^{-1/(x-c)}\,e^{-1/(d-x)}>0$.
- *Annulation.* Si $x\le c$, $\varphi(x-c)=0$ ; si $x\ge d$, $\varphi(d-x)=0$. Donc $\psi_{c,d}=0$ sur $\mathbf R\setminus\,]c,d[$.
> [!PIEGE]
> Une fonction comme $(x-c)^2(d-x)^2$ sur $[c,d]$, prolongée par $0$, n'est que de classe $\mathcal C^1$ : elle ne convient pas.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Raisonner par l'absurde : si $f$ ne s'annule pas en un point, elle garde un signe strict au voisinage.
> [!INDICATION]
> Prendre pour $h$ une fonction $\psi_{c,d}$ portée par ce voisinage et examiner le signe de $\int_a^b fh$. Se placer d'abord à l'intérieur de $]a,b[$ et conclure aux bornes par continuité.
#### Solution
Supposons qu'il existe $x_0\in\,]a,b[$ tel que $f(x_0)\ne0$. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, qui vérifie la même hypothèse, on suppose $f(x_0)>0$. Par continuité de $f$ en $x_0$, il existe $\delta>0$ tel que $[x_0-\delta,x_0+\delta]\subset\,]a,b[$ et $f(x)\ge f(x_0)/2>0$ sur ce segment. Posons $c=x_0-\delta$, $d=x_0+\delta$.
La restriction $h$ de $\psi_{c,d}$ à $[a,b]$ est de classe $\mathcal C^\infty$, et $h(a)=h(b)=0$ puisque $a,b\notin\,]c,d[$. Par hypothèse, $\int_a^bfh=0$.
Mais $h$ est nulle hors de $]c,d[$, donc $\int_a^bfh=\int_c^dfh$ ; sur $[c,d]$, $fh$ est continue, positive, et $f(x_0)h(x_0)>0$. Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment est nulle : on aurait $f(x_0)h(x_0)=0$, contradiction. Donc $\int_c^dfh>0$, ce qui contredit l'hypothèse.
Ainsi $f=0$ sur $]a,b[$, et par continuité en $a$ et en $b$ :
$$\boxed{f=0\ \text{sur}\ [a,b].}$$
> [!METHODE]
> La preuve n'utilise que des fonctions test $\psi_{c,d}$ avec $a<c<d<b$, nulles au voisinage des bornes. Retenir ce raffinement : il permet d'appliquer le lemme quand seules des perturbations « loin des bords » sont autorisées (c'est le cas en Q12).
> [!PIEGE]
> Oublier le cas $f(x_0)<0$, ou affirmer « $\int_c^dfh>0$ car $fh>0$ » sans citer le résultat sur les fonctions continues positives d'intégrale nulle.
## Partie II — Équation d'Euler-Lagrange
On transforme le problème d'extremum en dimension infinie en un problème à une variable : $\varepsilon\mapsto T(z_0+\varepsilon\eta)$. Sa dérivée nulle en $0$, après intégration par parties et application du lemme de la partie I, donne l'équation d'Euler-Lagrange. Outils : compacité, dérivation sous l'intégrale, règle de la chaîne.
**Convention de lecture.** On suppose que les dérivées partielles de $f$ d'ordre au plus $2$ se prolongent continûment à $[x_A,x_B]\times U\times V$ (voir la présentation). On note $(x,y,z)$ les variables de $f$, la troisième étant la place de $y'$.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Sur un segment, une fonction continue est intégrable. Pourquoi $x\mapsto(x,y(x),y'(x))$ est-elle à valeurs dans le domaine de $f$ ?
#### Solution
Soit $y\in\mathcal C$. Comme $y$ est de classe $\mathcal C^2$, $\Gamma:x\mapsto(x,y(x),y'(x))$ est continue sur $[x_A,x_B]$, et, par définition de $\mathcal C$ ($y(x)\in U$, $y'(x)\in V$), elle est à valeurs dans $[x_A,x_B]\times U\times V$, où $f$ est continue. Donc $f\circ\Gamma$ est continue sur le segment $[x_A,x_B]$, donc intégrable : **$T(y)$ existe**.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Les conditions de régularité et de valeurs aux bords sont vraies pour tout $\varepsilon$. Seules les conditions $y_\varepsilon(x)\in U$ et $y_\varepsilon'(x)\in V$ doivent être vérifiées, et ce **uniformément en $x$**.
> [!INDICATION]
> Par l'absurde, construire des suites $\varepsilon_n\to0$ et $x_n\in[x_A,x_B]$ qui fautent. Extraire une sous-suite de $(x_n)$ convergente et utiliser que le complémentaire d'un ouvert est fermé.
#### Solution
Pour tout $\varepsilon$, $y_\varepsilon=z_0+\varepsilon\eta$ est de classe $\mathcal C^2$, et $y_\varepsilon(x_A)=y_0$, $y_\varepsilon(x_B)=y_1$ car $\eta(x_A)=\eta(x_B)=0$.
Supposons qu'aucun $\alpha>0$ ne convienne. Pour tout $n\ge1$, $\alpha=1/n$ ne convient pas : il existe $\varepsilon_n\in\,]-\frac1n,\frac1n[$ et $x_n\in[x_A,x_B]$ tels que
$$z_0(x_n)+\varepsilon_n\eta(x_n)\notin U\qquad\text{ou}\qquad z_0'(x_n)+\varepsilon_n\eta'(x_n)\notin V.$$
L'un des deux cas se produit pour une infinité d'indices ; quitte à extraire, on suppose que c'est toujours le premier (le second se traite à l'identique avec $(z_0',\eta',V)$ à la place de $(z_0,\eta,U)$).
$(x_n)$ est à valeurs dans le segment $[x_A,x_B]$ : par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite $(x_{\sigma(n)})$ convergeant vers $\ell\in[x_A,x_B]$. Comme $z_0$ est continue, $\eta$ bornée sur le segment et $\varepsilon_{\sigma(n)}\to0$ :
$$u_n=z_0(x_{\sigma(n)})+\varepsilon_{\sigma(n)}\eta(x_{\sigma(n)})\longrightarrow z_0(\ell).$$
Chaque $u_n$ appartient à $\mathbf R\setminus U$, qui est fermé car $U$ est ouvert ; par caractérisation séquentielle des fermés, $z_0(\ell)\in\mathbf R\setminus U$. C'est absurde puisque $z_0\in\mathcal C$ donne $z_0(\ell)\in U$.
**Il existe donc $\alpha>0$ tel que $y_\varepsilon\in\mathcal C$ pour tout $\varepsilon\in\,]-\alpha,\alpha[$.**
> [!PIEGE]
> Raisonner à $x$ fixé : pour chaque $x$, il existe bien un $\alpha_x>0$, mais rien n'empêche $\inf_x\alpha_x=0$. Tout l'intérêt de la compacité est de rendre le seuil uniforme.
> [!METHODE]
> « Absurde + suite de contre-exemples + extraction (Bolzano-Weierstrass) + passage à la limite dans un fermé » : schéma standard pour obtenir une propriété uniforme sur un compact. On aurait pu aussi raisonner avec la distance de l'ensemble compact $z_0([x_A,x_B])$ au fermé $\mathbf R\setminus U$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> C'est une intégrale dépendant d'un paramètre : appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégral. Calculer $\partial F/\partial\varepsilon$ par la règle de la chaîne.
> [!INDICATION]
> Pour la domination, se restreindre à $\varepsilon\in[-\beta,\beta]$ avec $\beta<\alpha$, et considérer l'image de $[-\beta,\beta]\times[x_A,x_B]$ par $(\varepsilon,x)\mapsto(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))$.
#### Solution
Posons $F(\varepsilon,x)=f(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))$. Fixons $\beta\in\,]0,\alpha[$ et $J=[-\beta,\beta]$.
*Intégrabilité.* Pour $\varepsilon\in J$, $y_\varepsilon\in\mathcal C$ et $x\mapsto F(\varepsilon,x)$ est continue sur le segment (Q5).
*Dérivée en $\varepsilon$.* Pour $x$ fixé, $\varepsilon\mapsto\big(x,\ z_0(x)+\varepsilon\eta(x),\ z_0'(x)+\varepsilon\eta'(x)\big)$ est affine, à valeurs dans $[x_A,x_B]\times U\times V$ où $f$ est de classe $\mathcal C^1$. Par la règle de la chaîne (le terme en $\partial f/\partial x$ est multiplié par $0$) :
$$\frac{\partial F}{\partial\varepsilon}(\varepsilon,x)=\eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))+\eta'(x)\frac{\partial f}{\partial z}(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x)),$$
continue en $\varepsilon$ à $x$ fixé et continue en $x$ à $\varepsilon$ fixé.
*Domination.* $\Phi:(\varepsilon,x)\mapsto(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))$ est continue sur le compact $J\times[x_A,x_B]$ ; son image $K$ est donc compacte, et incluse dans $[x_A,x_B]\times U\times V$ par Q6. Les fonctions continues $\partial f/\partial y$, $\partial f/\partial z$ sont bornées sur $K$ par un réel $M$, d'où
$$\left\lvert\frac{\partial F}{\partial\varepsilon}(\varepsilon,x)\right\rvert\le M\big(\lVert\eta\rVert_\infty+\lVert\eta'\rVert_\infty\big),$$
majorant indépendant de $\varepsilon$ et intégrable sur $[x_A,x_B]$.
*Conclusion.* Le théorème de dérivation sous le signe intégral montre que $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]-\beta,\beta[$ pour tout $\beta<\alpha$, donc sur $]-\alpha,\alpha[$, avec
$$\boxed{\varphi'(\varepsilon)=\int_{x_A}^{x_B}\left(\eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))+\eta'(x)\frac{\partial f}{\partial z}(x,y_\varepsilon(x),y_\varepsilon'(x))\right)\mathrm dx.}$$
> [!PIEGE]
> Écrire « $\partial f/\partial y$ est continue, donc bornée » : c'est faux sur l'ouvert $U\times V$, qui peut être non borné ou dont les dérivées peuvent exploser au bord. C'est la compacité de $K$, rendue possible par le $\alpha$ uniforme de Q6, qui donne la borne.
> [!JURY]
> Pour un théorème d'intégrale à paramètre, chaque hypothèse (continuité en $x$, classe $\mathcal C^1$ en $\varepsilon$, domination par une fonction intégrable indépendante du paramètre) doit être énoncée et vérifiée explicitement ; la domination sur tout segment du domaine du paramètre suffit et doit être dite.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Relier $\lVert y_\varepsilon-z_0\rVert_\infty$ à $\lvert\varepsilon\rvert$ pour montrer que $\varphi$ a un extremum local en $0$, puis utiliser la condition nécessaire d'extremum en un point intérieur.
> [!INDICATION]
> Pour faire disparaître $\eta'$, intégrer par parties le terme $\eta'(x)\frac{\partial f}{\partial z}(\ldots)$. Vérifier que l'autre facteur est de classe $\mathcal C^1$ et regarder les termes de bord.
#### Solution
*Étape 1 : $\varphi'(0)=0$.* Supposons que $T$ admet un minimum local en $z_0$ (le cas d'un maximum se traite en renversant les inégalités) : il existe $r>0$ tel que $T(y)\ge T(z_0)$ pour tout $y\in\mathcal C$ avec $\lVert y-z_0\rVert_\infty\le r$. Soit $\alpha'=\min\big(\alpha,\ r/(\lVert\eta\rVert_\infty+1)\big)>0$. Pour $\lvert\varepsilon\rvert<\alpha'$, $y_\varepsilon\in\mathcal C$ et
$$\lVert y_\varepsilon-z_0\rVert_\infty=\lvert\varepsilon\rvert\,\lVert\eta\rVert_\infty\le r,$$
donc $\varphi(\varepsilon)=T(y_\varepsilon)\ge T(z_0)=\varphi(0)$. La fonction $\varphi$ admet un minimum local en $0$, point intérieur de $]-\alpha,\alpha[$, et y est dérivable : $\varphi'(0)=0$. Comme $y_\varepsilon=z_0$ pour $\varepsilon=0$, Q7 donne
$$\int_{x_A}^{x_B}\left(\eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0(x),z_0'(x))+\eta'(x)\,w(x)\right)\mathrm dx=0,\qquad w(x)=\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x)).\tag{1}$$
*Étape 2 : intégration par parties.* $x\mapsto(x,z_0(x),z_0'(x))$ est de classe $\mathcal C^1$ (car $z_0$ est $\mathcal C^2$) et $\partial f/\partial z$ est de classe $\mathcal C^1$ (car $f$ est $\mathcal C^2$) : $w$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[x_A,x_B]$, et $w'$ est la dérivée notée $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\big(\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0,z_0')\big)$. Comme $\eta$ est de classe $\mathcal C^1$ :
$$\int_{x_A}^{x_B}\eta'w=\big[\eta w\big]_{x_A}^{x_B}-\int_{x_A}^{x_B}\eta w'=-\int_{x_A}^{x_B}\eta w',$$
car $\eta(x_A)=\eta(x_B)=0$. En reportant dans (1) :
$$\boxed{\int_{x_A}^{x_B}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0(x),z_0'(x))-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x))\right)\right)\eta(x)\,\mathrm dx=0.}$$
> [!PIEGE]
> La condition $\varphi'(0)=0$ n'est valable que parce que $0$ est **intérieur** à l'intervalle de définition de $\varphi$ : la fonction $t\mapsto t$ sur $[0,1]$ a un minimum en $0$ sans dérivée nulle. Le dire.
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ (dérivée de la fonction composée $x\mapsto\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x))$) avec la dérivée partielle $\frac{\partial}{\partial x}$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Reconnaître la situation de la partie I. Quelle fonction joue le rôle de $f$ ? Est-elle continue ?
> [!INDICATION]
> Vérifier que les fonctions test de la partie I sont admissibles comme $\eta$ en Q8.
#### Solution
Posons $E(x)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0(x),z_0'(x))-w'(x)$. Le premier terme est continu (composée de fonctions continues) et $w'$ est continue ($w$ de classe $\mathcal C^1$, Q8) : $E$ est continue sur $[x_A,x_B]$.
Soit $h\in\mathcal C^\infty([x_A,x_B],\mathbf R)$ telle que $h(x_A)=h(x_B)=0$. Elle est de classe $\mathcal C^2$, donc admissible comme $\eta$ dans Q8 : $\int_{x_A}^{x_B}Eh=0$. Par le lemme fondamental (Q4, avec $a=x_A$, $b=x_B$), $E=0$ sur $[x_A,x_B]$ :
$$\boxed{\forall x\in[x_A,x_B],\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0(x),z_0'(x))-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x))\right)=0.}$$
*Remarque.* Sans la convention de prolongement, on obtient l'équation sur $]x_A,x_B[$ en prenant $\eta=\psi_{c,d}$ avec $x_A<c<d<x_B$ : $\varphi(\varepsilon)$ vaut alors une constante plus une intégrale sur $[c,d]$, où $f$ est bien de classe $\mathcal C^2$, et la preuve de Q4 n'utilise que ces fonctions test.
> [!METHODE]
> L'équation d'Euler-Lagrange n'est qu'une condition **nécessaire** : elle donne des candidats, pas des extremums. Les parties III à V déterminent les seuls candidats possibles, en admettant l'existence d'un extremum.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Dériver la fonction $H(x)=f(x,z_0,z_0')-z_0'\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0,z_0')$ en utilisant la règle de la chaîne.
> [!INDICATION]
> Dans $H'$, deux termes en $z_0''$ se compensent ; le reste se factorise par $z_0'$ et fait apparaître l'expression de Q9.
#### Solution
Pour $x\in\,]x_A,x_B[$, posons $H(x)=f(x,z_0(x),z_0'(x))-z_0'(x)\,w(x)$. Sur $]x_A,x_B[\times U\times V$, $f$ est de classe $\mathcal C^2$ et $x\mapsto(x,z_0,z_0')$ est de classe $\mathcal C^1$ : par la règle de la chaîne, $x\mapsto f(x,z_0,z_0')$ est dérivable, et $z_0'w$ aussi (produit de fonctions $\mathcal C^1$). En abrégeant les arguments :
$$H'=\frac{\partial f}{\partial x}+z_0'\frac{\partial f}{\partial y}+z_0''\frac{\partial f}{\partial z}-z_0''w-z_0'w'=\frac{\partial f}{\partial x}+z_0'\left(\frac{\partial f}{\partial y}-w'\right),$$
car $w=\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0,z_0')$. Par hypothèse $\frac{\partial f}{\partial x}=0$, et le crochet est nul par Q9. Donc $H'=0$ sur l'**intervalle** $]x_A,x_B[$, et $H$ y est constante :
$$\boxed{\exists C\in\mathbf R,\ \forall x\in\,]x_A,x_B[,\quad f(x,z_0(x),z_0'(x))-z_0'(x)\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x))=C.}$$
> [!METHODE]
> L'identité de Beltrami est une **intégrale première** : quand le lagrangien ne dépend pas de $x$, l'équation d'Euler-Lagrange (ordre 2) se ramène à une équation d'ordre 1. C'est l'analogue de la conservation de l'énergie en mécanique.
## Partie III — Le chemin le plus court est la ligne droite !
Première application : la longueur d'un graphe. L'intégrale première donne $y_0'^2$ constante ; il reste un argument de connexité.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Identifier $f$, $U$ et $V$, et vérifier les hypothèses de Q10. Calculer $f-z\,\partial f/\partial z$.
> [!INDICATION]
> On obtient que $y_0'^2$ est constante. Pourquoi cela entraîne-t-il que $y_0'$ est constante ? Penser à la continuité de $y_0'$ sur un intervalle.
#### Solution
On applique la partie II avec $U=V=\mathbf R$, les valeurs aux bords $y_A$, $y_B$ et $f(x,y,z)=\sqrt{1+z^2}$, de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R^3$ (car $1+z^2>0$). L'ensemble $\mathcal C$ est celui de la partie II, et un extremum de $T$ est en particulier un extremum local. On a $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ et $\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}$. L'identité de Beltrami fournit $C$ tel que, pour $x\in\,]x_A,x_B[$ :
$$C=\sqrt{1+y_0'^2}-\frac{y_0'^2}{\sqrt{1+y_0'^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+y_0'(x)^2}}.$$
Donc $C>0$ et $y_0'(x)^2=\frac1{C^2}-1$ ; ce réel est positif, notons-le $k^2$ avec $k\ge0$. Ainsi $y_0'(]x_A,x_B[)\subset\{-k,k\}$. Comme $y_0'$ est continue sur l'intervalle $]x_A,x_B[$, son image est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires) ; un intervalle non vide inclus dans $\{-k,k\}$ est un singleton (sinon il contiendrait $0\notin\{-k,k\}$ lorsque $k>0$). Donc $y_0'$ est constante, égale à $m$, sur $]x_A,x_B[$, puis sur $[x_A,x_B]$ par continuité. La fonction $y_0-mx$ est de dérivée nulle sur $[x_A,x_B]$, donc constante :
$$\boxed{y_0\ \text{est affine :}\quad y_0(x)=y_A+\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A).}$$
Son graphe est le segment $[AB]$.
> [!PIEGE]
> « $y_0'^2$ constante donc $y_0'$ constante » est faux sans argument : une fonction à valeurs dans $\{-1,1\}$ n'est pas forcément constante. C'est la **continuité** de $y_0'$ qui conclut.
*Remarque (minimalité effective).* La question ne montre pas que la droite minimise : elle montre que c'est le seul candidat. On le vérifie directement : avec $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbf R^2$ appliquée à $(1,t)$ et $(1,m)$ donne $\sqrt{1+t^2}\sqrt{1+m^2}\ge1+mt$ ; en intégrant avec $t=y'(x)$, pour toute $y\in\mathcal C$,
$$L(y)\sqrt{1+m^2}\ge(x_B-x_A)+m(y_B-y_A)=(x_B-x_A)(1+m^2),$$
soit $L(y)\ge(x_B-x_A)\sqrt{1+m^2}=AB$.
## Partie IV — Le chemin le plus rapide est la cycloïde
On obtient une intégrale première, puis on la résout par un changement de variable angulaire $\theta=2\operatorname{arccotan}(y_0')$. La fonctionnelle correspond à une vitesse proportionnelle à $\sqrt y$ ; le modèle physique de l'énoncé est simplifié et n'intervient pas dans les questions.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Avec $f(x,y,z)=\sqrt{(1+z^2)/y}$, le calcul de $f-z\,\partial f/\partial z$ est le même qu'en Q11 au facteur $1/\sqrt y$ près.
> [!INDICATION]
> Avant de citer Beltrami, vérifier que la partie II s'applique : $y_0$ ne minimise $T$ que sur un ensemble où $y'<0$ sur $]x_A,x_B]$. Pour rester dans cet ensemble, choisir des perturbations $\eta$ nulles au voisinage de $x_A$ et $x_B$ (voir la méthode de Q4).
> [!INDICATION]
> La constante de Beltrami s'exprime comme l'inverse d'une racine : elle est donc non nulle, et l'égalité s'étend aux bornes par continuité.
#### Solution
Posons $f(x,y,z)=\sqrt{\dfrac{1+z^2}{y}}$, de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R\times\mathbf R_+^\star\times\mathbf R$ ; $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ et
$$\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt y\,\sqrt{1+z^2}}.$$
*Équation d'Euler-Lagrange.* Soient $x_A<c<d<x_B$ et $\eta$ la restriction de $\psi_{c,d}$ à $[x_A,x_B]$. Les nombres $m=\min_{[x_A,x_B]}y_0$ et $\mu=-\max_{[c,d]}y_0'$ sont strictement positifs (fonctions continues sur des segments ; $y_0'<0$ sur $[c,d]\subset\,]x_A,x_B]$). Pour
$$\lvert\varepsilon\rvert<\alpha=\min\left(\frac{m}{\lVert\eta\rVert_\infty+1},\ \frac{\mu}{\lVert\eta'\rVert_\infty+1}\right),$$
$y_\varepsilon=y_0+\varepsilon\eta$ est de classe $\mathcal C^2$, prend les valeurs $y_A$, $y_B$ aux bords, vérifie $y_\varepsilon\ge m-\lvert\varepsilon\rvert\lVert\eta\rVert_\infty>0$, $y_\varepsilon'=y_0'<0$ sur $]x_A,x_B]\setminus[c,d]$ et $y_\varepsilon'\le-\mu+\lvert\varepsilon\rvert\lVert\eta'\rVert_\infty<0$ sur $[c,d]$ : $y_\varepsilon\in\mathcal C$. Donc $\varphi(\varepsilon)=T(y_\varepsilon)\ge T(y_0)=\varphi(0)$ sur $]-\alpha,\alpha[$. Les raisonnements de Q7 et Q8 s'appliquent sans changement (l'ensemble compact $K$ est inclus dans $\mathbf R\times\mathbf R_+^\star\times\mathbf R$, où $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$) et donnent $\int_{x_A}^{x_B}E\,\psi_{c,d}=0$ avec $E=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_0,y_0')-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\partial f}{\partial z}(x,y_0,y_0')$ continue. La preuve de Q4 n'utilisant que ces fonctions test, $E=0$ sur $[x_A,x_B]$.
*Intégrale première.* Le calcul de Q10 n'utilise que $\partial f/\partial x=0$ et l'équation d'Euler-Lagrange sur $]x_A,x_B[$ : il existe $K$ tel que, pour $x\in\,]x_A,x_B[$,
$$K=\sqrt{\frac{1+y_0'^2}{y_0}}-\frac{y_0'^2}{\sqrt{y_0}\,\sqrt{1+y_0'^2}}=\frac{(1+y_0'^2)-y_0'^2}{\sqrt{y_0}\,\sqrt{1+y_0'^2}}=\frac{1}{\sqrt{y_0(x)\big(1+y_0'(x)^2\big)}}.$$
Donc $K>0$ et $y_0(1+y_0'^2)=1/K^2$ sur $]x_A,x_B[$ ; la fonction $y_0(1+y_0'^2)$ étant continue sur $[x_A,x_B]$, l'égalité vaut aux bornes. Avec $C=1/K^2$ :
$$\boxed{\forall x\in[x_A,x_B],\quad y_0(x)\big(1+y_0'(x)^2\big)=C\qquad(C>0).}$$
*Si l'on admet que la partie II s'applique avec $U=\mathbf R_+^\star$, le résultat est une application directe de Beltrami ; l'argument ci-dessus justifie cette application. La suite prend $C=2$.*
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre la constante $C$ de cette question (imposée ensuite égale à $2$) avec la constante de Beltrami de Q10, qui vaut ici $1/\sqrt C$.
> [!JURY]
> Quand l'énoncé demande une relation sur le segment fermé alors que le théorème utilisé la donne sur l'ouvert, la ligne de passage à la limite par continuité est attendue.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Domaine : où $\sin$ s'annule-t-il ? Pour la bijection : signe de la dérivée, limites aux bornes de $]0,\pi[$, théorème de la bijection.
> [!INDICATION]
> Pour la dérivée de la réciproque, exprimer $\sin^2$ en fonction de $\operatorname{cotan}$ par une identité trigonométrique.
#### Solution
$\operatorname{cotan}(x)=\cos x/\sin x$ est définie si et seulement si $\sin x\ne0$ :
$$\boxed{\mathcal D_{\operatorname{cotan}}=\mathbf R\setminus\pi\mathbf Z.}$$
Sur $]0,\pi[$, $\operatorname{cotan}$ est dérivable et
$$\operatorname{cotan}'(x)=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}<0,$$
donc continue et strictement décroissante. Quand $x\to0^+$ : $\cos x\to1$, $\sin x\to0^+$, donc $\operatorname{cotan}x\to+\infty$. Quand $x\to\pi^-$ : $\cos x\to-1$, $\sin x\to0^+$, donc $\operatorname{cotan}x\to-\infty$. Par le théorème de la bijection, **$\operatorname{cotan}$ réalise une bijection de $]0,\pi[$ sur $\mathbf R$** ; sa réciproque $\operatorname{arccotan}:\mathbf R\to\,]0,\pi[$ est continue et strictement décroissante.
Comme $\operatorname{cotan}'$ ne s'annule pas sur $]0,\pi[$, $\operatorname{arccotan}$ est dérivable **en tout point** de $\mathbf R$. Pour $t\in\mathbf R$, avec $u=\operatorname{arccotan}t$ : $1+\operatorname{cotan}^2u=\frac1{\sin^2u}$, donc $\sin^2u=\frac1{1+t^2}$, et
$$\boxed{\operatorname{arccotan}'(t)=\frac{1}{\operatorname{cotan}'(u)}=-\sin^2u=-\frac{1}{1+t^2}.}$$
> [!PIEGE]
> Le « lorsque cela est possible » n'annonce pas d'exception ici : $\operatorname{cotan}'$ ne s'annule jamais sur $]0,\pi[$. Contrairement à Q17.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Q12 avec $C=2$ exprime $y_0$ en fonction de $y_0'$. Exprimer $1-\cos\theta$ en fonction de $\operatorname{cotan}(\theta/2)$.
> [!INDICATION]
> Formule de duplication pour $1-\cos(2u)$, puis identité $1+\operatorname{cotan}^2=1/\sin^2$.
#### Solution
Soit $x\in[x_A,x_B]$ et $u=\theta(x)/2=\operatorname{arccotan}(y_0'(x))\in\,]0,\pi[$. Alors $\sin u\ne0$ et $\operatorname{cotan}u=y_0'(x)$, d'où
$$1-\cos\theta(x)=1-\cos(2u)=2\sin^2u=\frac{2}{1+\operatorname{cotan}^2u}=\frac{2}{1+y_0'(x)^2}.$$
Or Q12 avec $C=2$ donne $y_0(x)=\dfrac{2}{1+y_0'(x)^2}$. Donc
$$\boxed{\forall x\in[x_A,x_B],\quad y_0(x)=1-\cos\theta(x).}$$
*Remarque.* Pour $x\in\,]x_A,x_B]$, $y_0'(x)<0$ impose $u\in\,]\pi/2,\pi[$, donc $\theta(x)\in\,]\pi,2\pi[$ : c'est la seconde moitié d'une arche de cycloïde, où l'ordonnée décroît de $2$ à $0$.
> [!PIEGE]
> Confondre $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$ et $1+\cos\theta=2\cos^2(\theta/2)$. Ne pas chercher à dériver ici : la question est purement algébrique.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Il s'agit de montrer que $x\mapsto\theta(x)-\sin\theta(x)-x$ est constante. Établir d'abord que $\theta$ est de classe $\mathcal C^1$, puis chercher à prouver $\theta'(1-\cos\theta)=1$.
> [!INDICATION]
> Dériver la relation de Q14 et la confronter à $y_0'=\operatorname{cotan}(\theta/2)$, en écrivant $\sin\theta$ à l'aide de l'angle moitié.
> [!INDICATION]
> Une simplification par $\cos(\theta/2)$ est nécessaire : c'est là que sert l'hypothèse $y_0'<0$ sur $]x_A,x_B]$. Traiter $x_A$ par continuité.
#### Solution
*Régularité.* $y_0'$ est de classe $\mathcal C^1$ ($y_0$ est $\mathcal C^2$) et $\operatorname{arccotan}$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbf R$ (dérivée $-1/(1+t^2)$ continue) : $\theta=2\operatorname{arccotan}\circ y_0'$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[x_A,x_B]$.
*Relation entre $\theta$ et $\theta'$.* En dérivant $y_0=1-\cos\theta$ (Q14) :
$$y_0'(x)=\theta'(x)\sin\theta(x)=2\theta'(x)\sin\frac{\theta(x)}2\cos\frac{\theta(x)}2.$$
Par définition de $\theta$, $y_0'(x)=\operatorname{cotan}\frac{\theta(x)}2=\dfrac{\cos(\theta(x)/2)}{\sin(\theta(x)/2)}$. Égalons et multiplions par $\sin\frac{\theta(x)}2\ne0$ :
$$\cos\frac{\theta(x)}2=2\theta'(x)\sin^2\frac{\theta(x)}2\cos\frac{\theta(x)}2.$$
Soit $x\in\,]x_A,x_B]$ : $y_0'(x)<0$ et $\sin\frac{\theta(x)}2>0$ imposent $\cos\frac{\theta(x)}2<0$, donc non nul. En simplifiant :
$$1=2\theta'(x)\sin^2\frac{\theta(x)}2=\theta'(x)\big(1-\cos\theta(x)\big).$$
*Conclusion.* Soit $\Lambda(x)=\theta(x)-\sin\theta(x)-x$, de classe $\mathcal C^1$ sur $[x_A,x_B]$. Sur $]x_A,x_B[$, $\Lambda'=\theta'(1-\cos\theta)-1=0$ : $\Lambda$ y est constante, égale à un réel $-c$, et par continuité $\Lambda(x_A)=-c$. Donc
$$\boxed{\exists c\in\mathbf R,\ \forall x\in[x_A,x_B],\quad x=\theta(x)-\sin\theta(x)+c.}$$
Le graphe de $y_0$ est l'ensemble des points $(\theta-\sin\theta+c,\ 1-\cos\theta)$, $\theta$ parcourant l'intervalle $\theta([x_A,x_B])$ : **un arc de cycloïde**.
> [!METHODE]
> Pour montrer qu'une courbe $y=y_0(x)$ admet un paramétrage $\theta\mapsto(X(\theta),Y(\theta))$ avec $y_0=Y\circ\theta$ déjà acquis, il suffit de prouver que $x-X(\theta(x))$ est constante, c'est-à-dire $X'(\theta(x))\,\theta'(x)=1$.
> [!PIEGE]
> Diviser par $\cos(\theta/2)$ sans justification. Sans l'hypothèse $y_0'\ne0$, la simplification est illégitime aux points où $y_0'$ s'annule.
*Vérification.* Pour $x=\theta-\sin\theta+c$, $y=1-\cos\theta$, on a $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\operatorname{cotan}\frac\theta2$ et $y(1+y'^2)=\frac{2\sin^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)}=2$ : le paramétrage est cohérent avec Q12.
## Partie V — Une application à une structure optimale : la caténoïde
Dernière application : l'aire d'une surface de révolution. L'intégrale première se résout par la fonction $\operatorname{argch}$ ; la courbe obtenue est une chaînette.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Identifier $f$ (le facteur $2\pi$ ne change pas les minimiseurs) et appliquer Beltrami. Le calcul est celui de Q11, multiplié par $y$.
> [!INDICATION]
> Pour montrer que la constante obtenue est non nulle, évaluer en un point où l'on connaît $y_0$.
#### Solution
Le facteur $2\pi>0$ ne change pas les minimiseurs : $y_0$ minimise $y\mapsto\int_0^1y\sqrt{1+y'^2}$ sur $\mathcal C$, qui est l'ensemble de la partie II avec $x_A=0$, $x_B=1$, $U=V=\mathbf R$ et les valeurs $1$, $1$ aux bords. On prend $f(x,y,z)=y\sqrt{1+z^2}$, de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbf R^3$, avec $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ et $\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{yz}{\sqrt{1+z^2}}$. L'identité de Beltrami fournit $K$ tel que, pour $x\in\,]0,1[$ :
$$K=y_0\sqrt{1+y_0'^2}-\frac{y_0\,y_0'^2}{\sqrt{1+y_0'^2}}=\frac{y_0(x)}{\sqrt{1+y_0'(x)^2}}.$$
Le membre de droite est continu sur $[0,1]$ : l'égalité vaut sur $[0,1]$. En $x=0$, où $y_0(0)=1$ :
$$K=\frac{1}{\sqrt{1+y_0'(0)^2}}>0.$$
Posons $c=1/K\ne0$. Alors $\sqrt{1+y_0'^2}=c\,y_0$ et, en élevant au carré :
$$\boxed{\exists c\in\mathbf R^\star,\ \forall x\in[0,1],\quad 1+y_0'(x)^2=c^2y_0(x)^2.}$$
On note au passage que $y_0=K\sqrt{1+y_0'^2}>0$ sur $[0,1]$.
> [!PIEGE]
> Poser $c=1/K$ sans avoir justifié $K\ne0$. L'énoncé insiste sur « $c$ non nul » : la condition au bord $y_0(0)=1$ règle la question en une ligne.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Même plan qu'en Q13 : signe de la dérivée, valeurs aux bornes, théorème de la bijection.
> [!INDICATION]
> Pour la dérivée de la réciproque, repérer le point où $\operatorname{ch}'$ s'annule et exprimer $\operatorname{sh}$ en fonction de $\operatorname{ch}$ en tranchant le signe.
#### Solution
$\operatorname{ch}$ est de classe $\mathcal C^\infty$, de dérivée $\operatorname{sh}=\frac{e^x-e^{-x}}2$, nulle en $0$ et strictement positive sur $\mathbf R_+^\star$ (car $e^x>1>e^{-x}$). Donc $\operatorname{ch}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbf R_+$. De plus $\operatorname{ch}(0)=1$ et $\operatorname{ch}x\ge e^x/2\to+\infty$. Par le théorème de la bijection, **$\operatorname{ch}$ réalise une bijection de $\mathbf R_+$ sur $[1,+\infty[$** ; $\operatorname{argch}:[1,+\infty[\to\mathbf R_+$ est continue et strictement croissante.
Pour $t>1$, $u=\operatorname{argch}t>0$, donc $\operatorname{ch}'(u)=\operatorname{sh}u>0$ : $\operatorname{argch}$ est dérivable en $t$. Comme $\operatorname{ch}^2u-\operatorname{sh}^2u=1$ et $\operatorname{sh}u>0$, $\operatorname{sh}u=\sqrt{t^2-1}$ :
$$\boxed{\forall t>1,\quad \operatorname{argch}'(t)=\frac{1}{\operatorname{sh}(\operatorname{argch}t)}=\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}.}$$
En $t=1$, $\operatorname{argch}$ **n'est pas dérivable** : si elle l'était, en dérivant $\operatorname{ch}(\operatorname{argch}t)=t$ en $t=1$, on obtiendrait $1=\operatorname{sh}(0)\,\operatorname{argch}'(1)=0$. (La courbe a une demi-tangente verticale en $(1,0)$.)
> [!PIEGE]
> L'image est $[1,+\infty[$, **fermé** en $1$ (valeur atteinte en $0$). Et l'exception en $t=1$ doit être signalée : c'est exactement ce que vise « lorsque cela est possible ».
### Question 18
> [!INDICATION]
> Sous les hypothèses données, exprimer $y_0'$ en fonction de $y_0$ en tranchant le signe. La question 17 fournit l'outil.
> [!INDICATION]
> Dériver $x\mapsto\operatorname{argch}(\lvert c\rvert y_0(x))$ : vérifier que $\operatorname{argch}$ est dérivable au point considéré, puis simplifier.
> [!INDICATION]
> Les hypothèses sont-elles compatibles avec $y_0(0)=y_0(1)$ ? Penser au théorème de Rolle, et le signaler.
#### Solution
**Remarque sur l'énoncé.** L'hypothèse « $y_0'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$ » est incompatible avec $y_0(0)=y_0(1)=1$ : par le théorème de Rolle, $y_0'$ s'annule en un point de $]0,1[$. On mène donc le calcul sur un intervalle non trivial $I\subset[0,1]$ où $y_0'>0$ et $c^2y_0^2>1$ — ce qui donne l'expression demandée — puis on détermine $y_0$ sur $[0,1]$ sans hypothèse de signe.
**Calcul sous les hypothèses.** Posons $\gamma=\lvert c\rvert>0$ (seul $c^2$ intervient). Comme $y_0>0$ (Q16), $c^2y_0^2>1$ équivaut à $\gamma y_0>1$. Sur $I$, Q16 donne $y_0'^2=\gamma^2y_0^2-1>0$ et, avec $y_0'>0$,
$$y_0'=\sqrt{\gamma^2y_0^2-1}.$$
Posons $u(x)=\operatorname{argch}(\gamma y_0(x))$. Comme $\gamma y_0(x)\in\,]1,+\infty[$, où $\operatorname{argch}$ est dérivable (Q17), $u$ est dérivable sur $I$ et
$$u'(x)=\frac{\gamma\,y_0'(x)}{\sqrt{\gamma^2y_0(x)^2-1}}=\gamma.$$
Donc $u-\gamma x$ est constante sur l'intervalle $I$ : il existe $k\in\mathbf R$ tel que $\operatorname{argch}(\gamma y_0(x))=\gamma x+k$, et en appliquant $\operatorname{ch}$ :
$$\boxed{y_0(x)=\frac{1}{\gamma}\operatorname{ch}(\gamma x+k)=\frac{e^{\gamma x+k}+e^{-(\gamma x+k)}}{2\gamma},\qquad\gamma=\lvert c\rvert,\ k\ \text{constante d'intégration.}}$$
Réciproquement, $y_0'=\operatorname{sh}(\gamma x+k)$ et $1+y_0'^2=\operatorname{ch}^2(\gamma x+k)=c^2y_0^2$. Le graphe est une **chaînette**, et la surface de révolution engendrée une **caténoïde**.
**Détermination complète sur $[0,1]$ (complément).** Pour $f=y\sqrt{1+z^2}$, $\frac{\partial f}{\partial y}=\sqrt{1+z^2}$ et
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{y_0y_0'}{\sqrt{1+y_0'^2}}\right)=\frac{y_0'^2+y_0'^4+y_0y_0''}{(1+y_0'^2)^{3/2}},$$
si bien que l'équation d'Euler-Lagrange (Q9) s'écrit, après multiplication par $(1+y_0'^2)^{3/2}$, $y_0y_0''=1+y_0'^2$ sur $[0,1]$. Avec Q16 et $y_0>0$ : $y_0''=\gamma^2y_0$. Donc $y_0=A\operatorname{ch}(\gamma x)+B\operatorname{sh}(\gamma x)$ ; en reportant dans Q16, $\gamma^2(A^2-B^2)=1$, et $A=y_0(0)=1>0$. Il existe donc $k$ tel que $\gamma A=\operatorname{ch}k$ et $\gamma B=\operatorname{sh}k$, d'où $y_0=\frac1\gamma\operatorname{ch}(\gamma x+k)$ sur tout $[0,1]$. Les conditions $\operatorname{ch}k=\operatorname{ch}(\gamma+k)=\gamma$, la parité de $\operatorname{ch}$ et son injectivité sur $\mathbf R_+$ donnent $\lvert\gamma+k\rvert=\lvert k\rvert$, donc $k=-\gamma/2$ (car $\gamma\ne0$) :
$$y_0(x)=\frac1\gamma\operatorname{ch}\!\Big(\gamma\big(x-\tfrac12\big)\Big),\qquad\operatorname{ch}\frac\gamma2=\gamma.$$
La fonction $g:\gamma\mapsto\operatorname{ch}(\gamma/2)-\gamma$ est strictement convexe, vaut $1$ en $0$, tend vers $+\infty$ et vérifie $g(2)=\operatorname{ch}1-2<0$ : l'équation a exactement deux solutions strictement positives, $\gamma_1\approx1{,}18$ et $\gamma_2\approx4{,}25$. Le profil est symétrique par rapport à $x=\frac12$, décroissant puis croissant : l'hypothèse $y_0'>0$ n'est satisfaite que sur $]\frac12,1]$.
> [!METHODE]
> Pour intégrer une équation autonome $y'=F(y)$ sans « séparer les variables » formellement, chercher une primitive $G$ de $1/F$ et montrer que $x\mapsto G(y(x))-x$ est de dérivée nulle. Ici $G=\frac1\gamma\operatorname{argch}(\gamma\,\cdot)$.
> [!PIEGE]
> Invoquer la dérivabilité de $\operatorname{argch}$ en un point où $\gamma y_0=1$ : elle échoue en $1$. C'est pourquoi l'énoncé ajoute l'hypothèse $c^2y_0^2>1$.
> [!JURY]
> L'énoncé invite à signaler toute erreur repérée et à expliquer les initiatives prises. Relever l'incompatibilité entre $y_0'>0$ et $y_0(0)=y_0(1)$, puis traiter la question sur un intervalle où les hypothèses valent, est la conduite attendue.
*Remarque culturelle.* Des deux chaînettes, seule celle de col le plus large ($\gamma_1\approx1{,}18$, rayon minimal $1/\gamma_1\approx0{,}85$) est un minimum de l'aire ; l'étude de stabilité (second ordre) dépasse le programme.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- **Fonctions plateau** : $e^{-1/x}$ prolongée par $0$ est de classe $\mathcal C^\infty$ (récurrence + limite de la dérivée) ; les produits $\varphi(x-c)\varphi(d-x)$ fournissent des fonctions test localisées.
- **Lemme fondamental** : une fonction continue orthogonale à toutes les fonctions test est nulle — preuve par l'absurde, continuité et positivité de l'intégrale. Les fonctions test peuvent être choisies nulles près des bords.
- **Uniformité par compacité** : absurde, suite de contre-exemples, Bolzano-Weierstrass, fermeture du complémentaire d'un ouvert.
- **Dérivation sous l'intégrale** : domination obtenue en bornant une fonction continue sur un compact image.
- **Calcul des variations** : perturber $z_0$ en $z_0+\varepsilon\eta$, écrire $\varphi'(0)=0$ (point intérieur), intégrer par parties, appliquer le lemme. Quand le lagrangien ne dépend pas de $x$, utiliser l'intégrale première de Beltrami.
- **Fonctions réciproques** : théorème de la bijection, dérivabilité là où la dérivée ne s'annule pas, et non-dérivabilité aux points où elle s'annule.
**Prérequis à revoir.** Théorème de la limite de la dérivée ; théorème de dérivation des intégrales à paramètre (énoncé exact du programme) ; règle de la chaîne en plusieurs variables ; formules trigonométriques de l'angle moitié ; fonctions hyperboliques ; théorème de Rolle.
**Questions transposables.** Q1–Q2 (fonction $e^{-1/x}$) et Q3 (fonction bosse) reviennent régulièrement, de même que Q6 (uniformité par compacité) et Q7 (intégrale à paramètre). Les études de Q13 et Q17 se refont pour toute fonction réciproque construite par l'énoncé ($\operatorname{arccotan}$, $\operatorname{argch}$, $\operatorname{argsh}$…). Le schéma général de la partie II (perturbation, dérivée nulle, intégration par parties, lemme fondamental) sert dans tout problème de minimisation d'une fonctionnelle intégrale.
Aide sur le corrigé
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