Physique 2
Mines-PontsMP2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts MP — Physique 2 2026 · Corrigé
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Épreuve de 3 heures, calculatrice interdite. « De la physique avec les galaxies » : 22 questions en deux parties indépendantes. Applications numériques à un chiffre significatif, comme le demande l'énoncé.
**Remarque sur l'énoncé.** La liste des données porte « $1M_\odot=2^{30}$ kg », incompatible avec la page 5 ($M_\odot\simeq2\times10^{30}$ kg) et absurde ($2^{30}\ \mathrm{kg}\approx10^9$ kg). Il s'agit d'une coquille : on retient $M_\odot=2\times10^{30}$ kg.
## I — L'observation des galaxies
### Question 1
Le domaine visible s'étend de $0{,}4\ \mu\mathrm m$ environ (violet) à $0{,}8\ \mu\mathrm m$ (rouge). Comme $\lambda_0=2{,}0\ \mu\mathrm m>0{,}8\ \mu\mathrm m$, **ces ondes appartiennent à l'infrarouge (proche infrarouge)**.
### I.A Télescope unique
### Question 2
*Construction.* $A$ et $B$ sont à l'infini : tous les rayons issus de l'un d'eux arrivent parallèles entre eux, et leur image est dans le plan focal image $(F')$.
- Les rayons issus de $A$ sont parallèles à l'axe optique : ils convergent au foyer image, $A'=F'$.
- Les rayons issus de $B$ sont inclinés de $\epsilon/2$ sur l'axe : ils convergent au point $B'$ du plan focal image situé sur le rayon passant par le centre optique $O$, qui n'est pas dévié.
*Distance entre les images.* Le rayon issu de $B$ passant par $O$ coupe le plan focal à la distance $f'\tan(\epsilon/2)$ de l'axe. Comme $\epsilon\ll1$ :
$$\boxed{A'B'=f'\tan\frac{\epsilon}{2}\simeq\frac{f'\epsilon}{2}}$$
*Résolution du capteur.* Les deux images sont distinguées si elles tombent sur deux cellules différentes, c'est-à-dire si $A'B'\geqslant a$ :
$$\frac{f'\epsilon}{2}\geqslant a\iff\epsilon\geqslant\frac{2a}{f'},\qquad\boxed{r_{\rm cap}=\frac{2a}{f'}}$$
### Question 3
*Ouverture angulaire de la tache.* La diffraction par une ouverture de taille $D$ étale la lumière sur un demi-angle d'ordre de grandeur
$$\boxed{\theta_{\rm diff}\sim\frac{\lambda_0}{D}}$$
(c'est le seul angle constructible avec $\lambda_0$ et $D$ ; le calcul pour une pupille circulaire donne $1{,}22\,\lambda_0/D$, préfacteur sans importance ici).
*Résolution due à la diffraction.* Dans le plan focal, la tache a une taille caractéristique (rayon) $f'\theta_{\rm diff}\sim f'\lambda_0/D$. Les deux points sont distingués si $A'B'$ dépasse cette taille :
$$\frac{f'\epsilon}{2}>\frac{f'\lambda_0}{D}\iff\epsilon>\frac{2\lambda_0}{D},\qquad\boxed{r_{\rm diff}=\frac{2\lambda_0}{D}}$$
### Question 4
Pour être séparés, deux points doivent satisfaire les deux critères à la fois : la résolution effective est $r=\max(r_{\rm cap},r_{\rm diff})=\max\left(\dfrac{2a}{f'},\dfrac{2\lambda_0}{D}\right)$. Quand $D$ augmente, $r_{\rm diff}$ diminue ; dès que $r_{\rm diff}<r_{\rm cap}$, la résolution est fixée par le capteur et n'augmente plus. Le diamètre limite vérifie $r_{\rm diff}=r_{\rm cap}$ :
$$\frac{2\lambda_0}{D_{\max}}=\frac{2a}{f'}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D_{\max}=\frac{\lambda_0f'}{a}}$$
*Application numérique.* $D_{\max}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}\times10}{1{,}0\times10^{-6}}=\mathbf{20\ m}$ (et $r_{\rm cap}=r_{\rm diff}=2\times10^{-7}$ rad).
*Commentaire.* $D_{\max}\approx20$ m est de l'ordre du diamètre des plus grands télescopes actuels (8 à 10 m) ou en construction (39 m pour l'ELT) : capteur et optique sont bien dimensionnés l'un pour l'autre. Pour tirer profit d'un miroir plus grand, il faut réduire le pas $a$ des cellules ou allonger la focale $f'$. Au sol, la turbulence atmosphérique limite de toute façon la résolution, sauf correction par optique adaptative.
### I.B Association de 2 télescopes
### I.B.1 Élaboration d'un modèle équivalent
### Question 5
La source est à l'infini : l'onde reçue est plane, ses surfaces d'onde sont perpendiculaires à la direction de propagation, qui fait l'angle $\theta$ avec la verticale. Sur la figure 2, la direction d'observation est inclinée du côté de $T_1$ : la surface d'onde atteint $T_1$ en premier.
Le plan d'onde passant par $T_1$ coupe le rayon qui va vers $T_2$ en $K$. Le triangle $T_1KT_2$ est rectangle en $K$, d'hypoténuse $T_1T_2=b_0$, et l'angle en $T_2$ entre la base et le rayon vaut $\pi/2-\theta$.
Les points $T_1$ et $K$ étant sur le même plan d'onde, les chemins optiques depuis la source jusqu'à $T_1$ et jusqu'à $K$ sont égaux (théorème de Malus). La différence de marche est donc $\delta_0=KT_2=b_0\cos(\pi/2-\theta)$ :
$$\boxed{\delta_0(\theta)=b_0\sin\theta}$$
(nulle au zénith, comme il se doit).
*Nécessité de la compensation.* Avec $b_0$ de quelques centaines de mètres, $\delta_0$ atteint la centaine de mètres.
- La lumière d'une galaxie n'est pas réellement monochromatique : même après un filtrage étroit, sa longueur de cohérence $\ell_c=\lambda_0^2/\Delta\lambda$ reste au plus décimétrique ($4$ mm pour $\Delta\lambda=1$ nm). Si $\delta_0\gg\ell_c$, les deux faisceaux sont incohérents et les franges disparaissent.
- Même dans le modèle monochromatique, $\delta_0(\theta)$ varie au cours du temps car $\theta$ suit le mouvement apparent de l'astre : sa vitesse de variation atteint $b_0\Omega_T\approx10^3\times7\times10^{-5}\approx7\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$, soit plusieurs dizaines de milliers de franges par seconde à $\lambda_0=2\ \mu$m. La figure défilerait et serait brouillée pendant la pose.
Le système de miroirs mobiles (ligne à retard) doit donc allonger le trajet du faisceau 1 de $\delta_0(\theta)$, **en permanence**, pour ramener la différence de marche à zéro au niveau de la recombinaison.
### Question 6
Les deux télescopes visent la même direction : leurs axes optiques sont deux droites parallèles, inclinées de $\theta$ sur la verticale, passant par $T_1$ et $T_2$. Leur distance est la longueur de la perpendiculaire commune, menée de $T_1$ jusqu'à l'axe de $T_2$, de pied $K$ (c'est le même point $K$ qu'à la question 5).
Dans le même triangle $T_1KT_2$ rectangle en $K$, d'hypoténuse $b_0$, $T_1K$ est perpendiculaire aux axes, donc fait l'angle $\theta$ avec l'horizontale.
$$T_1K=b_0\cos\theta,\qquad\boxed{b(\theta)=b_0\cos\theta}$$
(on vérifie $b^2+\delta_0^2=b_0^2$, et $b=b_0$ au zénith).
*Paramètre variable.* La Terre tourne : un astre suivi en permanence par les télescopes change de direction dans le référentiel terrestre au cours de la nuit. L'angle $\theta$ varie, donc $b(\theta)=b_0\cos\theta$ varie aussi, entre $b_0$ (astre au zénith) et $0$ (astre à l'horizon). La base équivalente n'est pas fixée par la construction : c'est un paramètre que la rotation terrestre fait balayer au cours d'une observation.
### I.B.2 Étude du système équivalent
### Question 7
*Construction.* $A$ est à l'infini sur l'axe : les surfaces d'onde incidentes sont parallèles au plan des fentes, que l'onde atteint en phase. En $M(x)$ convergent, après la lentille, les rayons qui sortent des fentes parallèlement à la direction $\alpha=x/f'$ (rayon non dévié passant par $O$). Le plan d'onde perpendiculaire à ces rayons, mené par la fente $(2)$, coupe le rayon issu de $(1)$ en $H$ ; d'après le théorème de Malus et le stigmatisme de la lentille, les chemins optiques de ce plan d'onde jusqu'à $M$ sont égaux. La différence de marche vaut donc $(1)H=b(\theta)\sin\alpha\simeq b(\theta)x/f'$ (avec $x\ll f'$). En orientant $x$ comme sur la figure 3 :
$$\delta_A(x)=\frac{b(\theta)\,x}{f'},\qquad\boxed{p_A(x)=\frac{\delta_A}{\lambda_0}=\frac{b(\theta)\,x}{\lambda_0f'}}$$
*Intensité.* Les deux ondes viennent du même point source : elles sont cohérentes. Si chacune a l'intensité $I_0$, la formule de Fresnel donne
$$I_A(x)=I_0+I_0+2\sqrt{I_0I_0}\cos\left(2\pi p_A\right),\qquad\boxed{I_A(x)=2I_0\left[1+\cos\left(\frac{2\pi b(\theta)x}{\lambda_0f'}\right)\right]}$$
**$I_0$ est l'intensité que produirait en $M$ une seule des deux voies (un seul télescope), l'autre étant masquée.**
*Allure.* L'intensité ne dépend que de $x$ : les franges sont des **droites parallèles aux fentes** (perpendiculaires à l'axe $Ox$), équidistantes, d'interfrange
$$\boxed{i=\frac{\lambda_0f'}{b(\theta)}}$$
et de **contraste** $C=\dfrac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\dfrac{4I_0-0}{4I_0+0}=1$.
*Dépendance en $b(\theta)$.* **Le contraste vaut 1 quelle que soit $b(\theta)$** (deux ondes cohérentes de même intensité) ; **l'interfrange est inversement proportionnel à $b(\theta)$**.
### Question 8
*Ordre d'interférence pour $B$.* L'onde issue de $B$ arrive inclinée de $\epsilon/2$ : les fentes sont atteintes avec une différence de marche $b(\theta)\sin(\epsilon/2)\simeq b(\theta)\epsilon/2$, qui s'ajoute à celle acquise après les fentes. En orientant l'angle comme l'énoncé (terme $x/f'+\alpha$ dans $\mathrm dI_{\rm gal}$) :
$$\boxed{p_B(x)=\frac{b(\theta)}{\lambda_0}\left(\frac{x}{f'}+\frac{\epsilon}{2}\right)}$$
Le système de franges de $B$ est celui de $A$ translaté de $-f'\epsilon/2$ : sa frange d'ordre 0 est sur l'image géométrique de $B$.
*Superposition.* $A$ et $B$ sont deux points distincts de la galaxie, qui émettent indépendamment : le déphasage entre une onde issue de $A$ et une onde issue de $B$ varie aléatoirement sur des durées très courtes devant le temps de réponse du détecteur, et le terme d'interférence croisé a une moyenne nulle. Les deux sources sont **incohérentes : leurs intensités s'ajoutent**, et la figure observée est la superposition des deux figures.
$$I(x)=I_A+I_B=2I_0\left[2+\cos(2\pi p_A)+\cos(2\pi p_B)\right]=4I_0\left[1+\cos\left(\frac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\cos\left(\frac{2\pi bx}{\lambda_0f'}+\frac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right]$$
L'interfrange est inchangé et le contraste vaut $C=\left|\cos\left(\dfrac{\pi b(\theta)\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right|$.
*Brouillage.* $C=0$ lorsque les deux systèmes sont décalés d'un demi-interfrange, c'est-à-dire lorsque $p_B-p_A=\dfrac{b\epsilon}{2\lambda_0}$ est demi-entier :
$$\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{2\lambda_0}=\frac{\pi}{2}+k\pi\iff\boxed{b(\theta)=(2k+1)\frac{\lambda_0}{\epsilon},\quad k\in\mathbb N}$$
### Question 9
La plus petite valeur annulant le contraste correspond à $k=0$ :
$$\boxed{b_{\min}=\frac{\lambda_0}{\epsilon}}$$
*Mesure de la taille.* On suit le contraste des franges pendant que $b(\theta)$ varie (rotation terrestre, ou changement de paire de télescopes), en partant de bases faibles, et l'on relève la valeur $b^\star$ pour laquelle les franges disparaissent **pour la première fois**. On en déduit $\epsilon=\lambda_0/b^\star$, puis, connaissant la distance $d$ de la galaxie et puisque $\epsilon\ll1$, son diamètre
$$\boxed{L=\epsilon\,d=\frac{\lambda_0d}{b^\star}}$$
### Question 10
La base équivalente prend toutes les valeurs de $[0,b_0]$. L'extinction n'est observable, donc l'angle $\epsilon$ mesurable, que si $\lambda_0/\epsilon\leqslant b_0$, soit $\epsilon\geqslant\lambda_0/b_0$ :
$$\boxed{r_{\rm double}=\frac{\lambda_0}{b_0}}$$
*Équivalence.* Un télescope unique de diamètre $D$ a une résolution $r_{\rm diff}\sim\lambda_0/D$ (question 3, au facteur 2 de convention près) : en remplaçant $D$ par $b_0$, on retrouve $r_{\rm double}$. Du point de vue de la résolution angulaire, les deux télescopes distants de $b_0$ équivalent à un télescope unique de diamètre $b_0$.
*Application numérique.* $r_{\rm double}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{10^3}=\mathbf{2\times10^{-9}\ rad}$, cent fois mieux que le télescope unique de 20 m de la question 4.
### Question 11
La puissance lumineuse recueillie, donc la possibilité de détecter un objet peu lumineux, est proportionnelle à la **surface collectrice**. Un télescope de diamètre $b_0$ collecte sur $\pi b_0^2/4$ ; le télescope double ne collecte que sur ses deux pupilles, $2\times\pi D^2/4$. Le rapport $2D^2/b_0^2$ vaut environ $2\times10^{-4}$ pour $D=10$ m et $b_0=1$ km. **Le télescope double a la résolution d'un télescope de diamètre $b_0$, pas sa sensibilité** : un objet peu lumineux ne fournit pas assez de flux pour émerger du bruit.
### Question 12
Le centre de la galaxie est sur l'axe et elle est vue sous l'angle $\epsilon$ : $\alpha$ décrit $[-\epsilon/2,\epsilon/2]$. Les étoiles étant mutuellement incohérentes, les intensités s'ajoutent. Avec $\kappa=2\pi b(\theta)/\lambda_0$ et $\Phi=\kappa x/f'$ :
$$I_{\rm gal}(x)=\Gamma\int_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2}\left[1+\cos(\Phi+\kappa\alpha)\right]\mathrm d\alpha=\Gamma\epsilon+\frac{\Gamma}{\kappa}\left[\sin\left(\Phi+\frac{\kappa\epsilon}{2}\right)-\sin\left(\Phi-\frac{\kappa\epsilon}{2}\right)\right]$$
La formule $\sin p-\sin q=2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$ donne $\dfrac{2\Gamma}{\kappa}\sin\dfrac{\kappa\epsilon}{2}\cos\Phi=\Gamma\epsilon\,\mathrm{sinc}\left(\dfrac{\kappa\epsilon}{2}\right)\cos\Phi$, avec $\dfrac{\kappa\epsilon}{2}=\dfrac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}$ :
$$\boxed{I_{\rm gal}(x)=\Gamma\epsilon\left[1+\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}\right)\cos\left(\frac{2\pi b(\theta)x}{\lambda_0f'}\right)\right]}$$
(valable aussi pour $b=0$ puisque $\mathrm{sinc}(0)=1$).
*Contraste.*
$$\boxed{C=\left|\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}\right)\right|}$$
*Allure de $C$ en fonction de $b(\theta)$* :
| $b(\theta)$ | $0$ | $\lambda_0/\epsilon$ | $\approx1{,}43\,\lambda_0/\epsilon$ | $2\lambda_0/\epsilon$ | $\approx2{,}46\,\lambda_0/\epsilon$ | $3\lambda_0/\epsilon$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $C$ | $1$ | $0$ | $0{,}22$ (max.) | $0$ | $0{,}13$ (max.) | $0$ |
Le contraste décroît de 1 à 0 entre $b=0$ et $b=\lambda_0/\epsilon$, puis ne présente plus que des lobes secondaires de hauteur décroissante.
*Commentaire.* Quand la base augmente, les systèmes de franges dus aux différents points de la galaxie se décalent les uns par rapport aux autres et se brouillent. La première annulation a lieu pour $b=\lambda_0/\epsilon$, comme pour le modèle à deux points de la question 9 : la mesure de cette base donne le diamètre angulaire $\epsilon$.
*Galaxie ou étoile double.* Pour deux points sources séparés de $\epsilon/2$, le contraste $\left|\cos\left(\dfrac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right|$ est une fonction **périodique** de $b$, qui revient à 1 pour $b=2\lambda_0/\epsilon,\,4\lambda_0/\epsilon,\dots$ Pour la galaxie, le contraste reste inférieur à $0{,}22$ au-delà de la première annulation. La première extinction est la même ; **c'est le comportement au-delà (retour du contraste à 1 ou lobes faibles et décroissants) qui distingue l'étoile double de l'objet étendu.**
### I.C Association de $N$ télescopes
### Question 13
*Dispositif.* $N$ télescopes alignés, distants de $b_0$ au sol et visant la direction $\theta$, sont équivalents à $N$ fentes régulièrement espacées de $b(\theta)$ devant la lentille de focale $f'$, avec observation dans le plan focal image (même schéma que la figure 3, avec $N$ ouvertures au lieu de deux).
*Condition d'intensité non nulle.* Pour une source dans la direction $\alpha$, deux voies voisines présentent en $M(x)$ la différence de marche $b(\theta)(x/f'+\alpha)$, la même d'un couple au suivant. Pour $N$ grand, l'intensité n'est non nulle que si deux voisines sont en phase :
$$\frac{b(\theta)}{\lambda_0}\left(\frac{x}{f'}+\alpha\right)\in\mathbb Z\iff x=f'\left(p\frac{\lambda_0}{b(\theta)}-\alpha\right),\quad p\in\mathbb Z.$$
Dès que l'on s'écarte de ces positions, le déphasage entre la première et la dernière voie dépasse $2\pi$ pour un écart $N$ fois plus petit qu'avec deux voies : les $N$ ondes se répartissent sur tout le cercle des phases et leur somme s'annule. Les maxima gardent l'espacement $\lambda_0f'/b$ mais deviennent des pics très fins, de largeur $\sim\lambda_0f'/(Nb)$ dans le plan focal, soit une largeur angulaire $\sim\lambda_0/(Nb)$.
*Télescope de diamètre infini.* La position des pics dépend de la direction $\alpha$ de la source : deux sources séparées d'un angle supérieur à $\lambda_0/(Nb)$ donnent des pics distincts. La résolution angulaire $\sim\lambda_0/(Nb)$ est celle d'un télescope de diamètre $\sim Nb$, qui tend vers l'infini avec $N$ : l'image d'un point devient un point, comme pour un instrument sans diffraction. **Tout se passe comme si l'on avait un télescope de diamètre infiniment grand, mais seulement pour la résolution angulaire, et dans certaines limites** :
- les pics se répètent avec la période angulaire $\lambda_0/b$ : des sources dont les directions diffèrent d'un multiple de $\lambda_0/b$ ne sont pas distinguées, l'analogie ne vaut que dans un champ de largeur $\lambda_0/b$ ;
- la surface collectrice n'est que $N\pi D^2/4$ (question 11) ;
- $N$ reste fini en pratique.
## II — Quelques propriétés galactiques
### II.A Répartition de masse
### Question 14
*Uniformité.* Dans le référentiel galactique supposé galiléen, en coordonnées polaires de centre $T$ dans le plan $(T,XY)$, le mouvement circulaire de rayon $r$ a pour accélération $\vec a=-r\dot\varphi^2\,\hat u_r+r\ddot\varphi\,\hat u_\varphi$. La seule force, $\vec F=-\dfrac{GM_TM_\odot}{r^2}\hat u_r$, est centrale. La projection du principe fondamental sur $\hat u_\varphi$ donne $M_\odot r\ddot\varphi=0$, donc $\dot\varphi$ est constant et $v=r|\dot\varphi|$ aussi : **le mouvement est uniforme.**
*Vitesse et période.* La projection sur $\hat u_r$ donne $M_\odot\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GM_TM_\odot}{r^2}$ :
$$\boxed{v(r)=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}},\qquad\boxed{\tau=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}}}$$
*Application numérique.* $r=8\ \mathrm{kpc}=8\times10^3\times3\times10^{16}=2{,}4\times10^{20}$ m ; $M_T=4\times10^6\times2\times10^{30}=8\times10^{36}$ kg ; $GM_T=5{,}4\times10^{26}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-2}}$ ;
$$v=\sqrt{\frac{5{,}4\times10^{26}}{2{,}4\times10^{20}}}=\sqrt{2{,}2\times10^6}\approx1{,}5\times10^3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}},\quad\text{soit}\quad v\approx1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}.$$
**Non** : la vitesse observée, 200 km/s, est plus de cent fois supérieure. Le trou noir seul ne peut pas expliquer le mouvement du Soleil ; il faudrait une masse intérieure $v^2r/G\approx1\times10^{41}\ \mathrm{kg}\approx7\times10^{10}M_\odot$, environ $2\times10^4$ fois $M_T$.
### Question 15
Le champ électrostatique d'une charge ponctuelle $q$ et le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle $m$, placées en $O$, s'écrivent
$$\vec E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat u_r,\qquad\vec g=-\frac{Gm}{r^2}\hat u_r,$$
et obéissent tous deux au principe de superposition. Ils sont formellement identiques moyennant la correspondance
$$q\longleftrightarrow m,\qquad\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\longleftrightarrow-G,\quad\text{soit}\quad\frac1{\varepsilon_0}\longleftrightarrow-4\pi G.$$
Le théorème de Gauss de l'électrostatique, $\displaystyle\oint\!\!\!\!\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}$, ne repose que sur la forme radiale en $1/r^2$ du champ d'une source ponctuelle et sur la superposition ; il se transpose donc :
$$\boxed{\oint\!\!\!\!\oint_S\vec g\cdot\mathrm d\vec S=-4\pi G\,M_{\rm int}}$$
où $M_{\rm int}$ est la masse contenue à l'intérieur de la surface fermée $S$. Le signe $-$ traduit le caractère toujours attractif de la gravitation.
### Question 16
*Symétries.* Le bulbe homogène de centre $T$ (masse volumique $\mu_0$, $M_b=\frac43\pi R_b^3\mu_0$), le disque étant assimilé au vide, est une distribution à symétrie sphérique : invariance par rotation autour de $T$, donc $\vec g=g(r)\hat u_r$ ; tout plan contenant $(TM)$ est plan de symétrie, donc $\vec g$ est radial.
*Gauss.* Sur la sphère de centre $T$ et de rayon $r$ : $4\pi r^2g(r)=-4\pi GM_{\rm int}(r)$.
- $r\leqslant R_b$ : $M_{\rm int}=M_b\dfrac{r^3}{R_b^3}$, d'où $\boxed{\vec g=-\dfrac{GM_b}{R_b^3}\,r\,\hat u_r}$.
- $R_b\leqslant r\leqslant R_d$ : $M_{\rm int}=M_b$, d'où $\boxed{\vec g=-\dfrac{GM_b}{r^2}\,\hat u_r}$.
Le champ est continu en $r=R_b$.
*Vitesse circulaire.* Comme à la question 14, $v_0^2/r=|g(r)|$ :
$$\boxed{v_0(r)=r\sqrt{\frac{GM_b}{R_b^3}}\ \ (r\leqslant R_b),\qquad v_0(r)=\sqrt{\frac{GM_b}{r}}\ \ (R_b\leqslant r\leqslant R_d)}$$
*Allure.* $v_0$ croît linéairement de 0 à $v_{\max}=\sqrt{GM_b/R_b}$ en $r=R_b$ (rotation d'ensemble du bulbe), puis décroît en $1/\sqrt r$ jusqu'en $R_d$ ; la courbe est continue, avec un point anguleux en $R_b$.
*Domaine képlérien.* Pour $R_b\leqslant r\leqslant R_d$, le champ est exactement celui d'une masse ponctuelle $M_b$ placée en $T$ : **c'est le disque qui suit les lois de Kepler**, avec $\tau^2/r^3=4\pi^2/(GM_b)$. Dans le bulbe, le champ est proportionnel à $r$ : la période $2\pi\sqrt{R_b^3/(GM_b)}$ est la même pour tous les rayons, et la troisième loi de Kepler n'est pas vérifiée.
### Question 17
*Forme locale.* Pour tout volume $V$ de frontière $S$, le théorème de Gauss et celui de Green-Ostrogradski donnent
$$\oint\!\!\!\!\oint_S\vec g\cdot\mathrm d\vec S=-4\pi G\iiint_V\mu\,\mathrm dV=\iiint_V\mathrm{div}\,\vec g\,\mathrm dV.$$
L'égalité $\iiint_V(\mathrm{div}\,\vec g+4\pi G\mu)\,\mathrm dV=0$ valant pour tout volume $V$, l'intégrande (continu) est nul en tout point :
$$\boxed{\mathrm{div}\,\vec g=-4\pi G\mu}$$
*Masse volumique du halo.* Dans le halo, les étoiles ont un mouvement circulaire de vitesse $v_1$ constante ; le principe fondamental donne $\vec g=-\dfrac{v_1^2}{r}\hat u_r$. Avec la divergence en coordonnées sphériques d'un champ radial :
$$\mathrm{div}\,\vec g=\frac1{r^2}\frac{\partial(r^2g_r)}{\partial r}=\frac1{r^2}\frac{\mathrm d(-v_1^2r)}{\mathrm dr}=-\frac{v_1^2}{r^2},\qquad\boxed{\mu(r)=\frac{v_1^2}{4\pi Gr^2}}\quad(R_b\leqslant r\leqslant R_h).$$
*Analyse dimensionnelle.* On cherche $\mu=k\,v_1^aG^br^c$ avec $k$ sans dimension ; $[\mu]=\mathrm{M\,L^{-3}}$, $[v_1]=\mathrm{L\,T^{-1}}$, $[G]=\mathrm{M^{-1}L^3T^{-2}}$, $[r]=\mathrm L$. Masse : $-b=1$ ; temps : $-a-2b=0$ ; longueur : $a+3b+c=-3$. D'où $b=-1$, $a=2$, $c=-2$ : $\mu=k\,\dfrac{v_1^2}{Gr^2}$, qui est le résultat précédent avec $k=1/(4\pi)$.
Remarque : avec un bulbe sans effet, le théorème de Gauss intégral appliqué à cette densité donnerait $g=-v_1^2(r-R_b)/r^2$, qui ne se confond avec $-v_1^2/r$ que pour $r\gg R_b$ ; le modèle de l'énoncé n'est rigoureusement cohérent que loin du bulbe.
### Question 18
En découpant le halo en coquilles sphériques de volume $4\pi r^2\,\mathrm dr$ :
$$M_h=\int_{R_b}^{R_h}\frac{v_1^2}{4\pi Gr^2}\,4\pi r^2\,\mathrm dr,\qquad\boxed{M_h=\frac{v_1^2(R_h-R_b)}{G}}$$
*Application numérique.* $v_1^2=4\times10^{10}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-2}}$ ; $R_h-R_b=98\ \mathrm{kpc}\approx3\times10^{21}$ m ;
$$M_h\approx\frac{4\times10^{10}\times3\times10^{21}}{6{,}7\times10^{-11}}\approx1{,}8\times10^{42}\ \mathrm{kg},\qquad\boxed{M_h\approx9\times10^{11}M_\odot}$$
*Proportion.* La masse visible est celle du bulbe, $M_b=2\times10^{11}M_\odot$ (trou noir négligeable, disque assimilé au vide). La fraction de matière noire vaut
$$\frac{M_h}{M_h+M_b}\approx\frac{9}{11}\approx0{,}8:$$
**la matière noire représente environ 80 % de la masse de la galaxie.**
### II.B Formation d'étoiles
### Question 19
En logarithme décimal, $\dot m=\alpha_0m^{\beta_0}$ s'écrit $\log\dot m=\log\alpha_0+\beta_0\log m$ : une droite de pente $\beta_0$ dans les axes de la figure 6. On lit sur la droite de la séquence principale $\log\dot m=-0{,}8$ en $\log m=9{,}0$ et $\log\dot m=1{,}6$ en $\log m=12{,}0$ :
$$\beta_0=\frac{1{,}6-(-0{,}8)}{12{,}0-9{,}0}=0{,}8,\qquad\log\alpha_0=-0{,}8-0{,}8\times9{,}0=-8{,}0.$$
$$\boxed{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=\alpha_0m^{\beta_0},\quad\alpha_0=10^{-8},\ \beta_0=0{,}8}$$
($m$ en $M_\odot$, $\dot m$ en $M_\odot$/an, donc $\alpha_0$ en $M_\odot^{0{,}2}\cdot\mathrm{an^{-1}}$). Contrôle : en $\log m=10$, $\log\dot m=0$, ce que montre bien la figure.
*Efficacité.* L'efficacité de la formation d'étoiles se mesure par le taux rapporté à la masse déjà présente :
$$\frac{\dot m}{m}=\alpha_0m^{\beta_0-1}=\alpha_0m^{-0{,}2},$$
fonction décroissante de $m$ puisque $\beta_0<1$. **Une galaxie peu massive forme chaque année une plus grande fraction de sa masse en étoiles : la création d'étoiles y est plus efficace.**
*Inversion.* Ce ne serait plus le cas si $\dot m/m$ croissait avec $m$, c'est-à-dire si
$$\boxed{\beta_0>1}$$
($\beta_0=1$ : efficacité indépendante de la masse).
### Question 20
$m>0$ : on sépare les variables, $m^{-\beta_0}\,\mathrm dm=\alpha_0\,\mathrm dt$, et on intègre entre $0$ et $t$ (avec $\beta_0\neq1$) :
$$\frac{m^{1-\beta_0}-m_0^{1-\beta_0}}{1-\beta_0}=\alpha_0t.$$
En posant
$$\boxed{\tau_0=\frac{m_0^{1-\beta_0}}{(1-\beta_0)\alpha_0}=\frac{m_0}{(1-\beta_0)\,\dot m(0)}}$$
on obtient
$$\boxed{m(t)=m_0\left(1+\frac{t}{\tau_0}\right)^{\frac1{1-\beta_0}}=m_0\left(1+\frac{t}{\tau_0}\right)^5}$$
*Régimes limites.*
- $t\ll\tau_0$ : $m(t)\simeq m_0\left(1+\dfrac{5t}{\tau_0}\right)=m_0+\alpha_0m_0^{\beta_0}\,t$. Croissance **linéaire** à taux constant $\dot m(0)$ : la masse a trop peu changé pour que le taux évolue.
- $t\gg\tau_0$ : $m(t)\simeq m_0\left(\dfrac{t}{\tau_0}\right)^5=\left[(1-\beta_0)\alpha_0t\right]^5$. Croissance en **loi de puissance** $t^5$, indépendante de $m_0$ : la masse nourrit le taux de formation, qui nourrit la masse ; la mémoire de la condition initiale est perdue. Il n'y a pas de divergence en temps fini car $\beta_0<1$.
*Allure.* Courbe croissante et convexe, partant de $m_0$ avec la pente $\dot m(0)$ (tangente à l'origine, régime linéaire), puis s'incurvant vers le haut au-delà de $\tau_0$ ($m=32\,m_0$ en $t=\tau_0$).
*Ordre de grandeur.* Pour $m_0=10^{10}M_\odot$, $\dot m(0)=1\ M_\odot$/an et $\tau_0=\dfrac{10^{10}}{0{,}2}=5\times10^{10}$ ans, plus que l'âge de l'Univers : une telle galaxie serait encore dans le régime linéaire.
### Question 21
La relation est valable pour $z>1$, donc pour $z=2$. On l'inverse :
$$\Delta t=\frac1{H_0}\left[\frac{4}{3(1+z)}\right]^{3/2}=\frac1{H_0}\left(\frac49\right)^{3/2}=\frac{1}{H_0}\left(\frac23\right)^3=\frac{8}{27H_0}.$$
$H_0=\dfrac{7\times10^4}{10^6\times3\times10^{16}}\approx2{,}3\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}$, donc $\dfrac1{H_0}\approx4{,}3\times10^{17}\ \mathrm s\approx1{,}4\times10^{10}$ ans, et
$$\Delta t\approx0{,}30\times1{,}4\times10^{10}\approx4\times10^9\ \text{ans}:\qquad\boxed{\Delta t\approx4\ \text{milliards d'années}}$$
### Question 22
*Lecture.* À masse fixée, les deux séquences de la figure 7 sont décalées verticalement d'environ $1{,}5$ : en $\log m=9$, $0{,}7$ contre $-0{,}8$ ; en $\log m=10$, $1{,}5$ contre $0{,}0$ ; en $\log m=12$, $3{,}0$ contre $1{,}6$. Le décalage est quasi constant (pentes voisines de $0{,}8$), donc
$$\frac{\dot m(z=2)}{\dot m(z=0)}\approx10^{1{,}5}\approx30.$$
**À masse égale, le taux de formation d'étoiles a été divisé par environ 30 entre $z=2$ (il y a une dizaine de milliards d'années) et $z=0$.** Autrement dit, $\alpha_0$ a diminué d'un facteur $\approx30$, $\beta_0$ restant à peu près inchangé.
*Explication.* La formation d'étoiles dépend de la réserve de gaz froid disponible, qui résulte de la compétition décrite par l'énoncé :
- à $z=2$, l'Univers était plus dense et plus jeune ; les filaments de la toile cosmique apportaient abondamment du gaz frais aux galaxies ;
- depuis, l'expansion a dilué la matière et réduit cet apport, tandis que le gaz déjà présent a été consommé dans les étoiles formées.
Les galaxies d'aujourd'hui disposent d'un réservoir appauvri : leur taux de formation d'étoiles est plus faible à masse égale. La loi $\dot m=\alpha_0m^{\beta_0}$ décrit la dépendance en masse à une époque donnée, mais son coefficient $\alpha_0$ dépend de l'époque.
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