Physique 2
Mines-PontsMP2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts MP — Physique 2 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** « De la physique avec les galaxies ». Le sujet aborde la galaxie par deux côtés totalement indépendants : comment on l'**observe** (optique, partie I) et comment on la **pèse** et suit sa croissance (mécanique, analyse vectorielle et lecture de graphes, partie II).
**Format.** 3 heures, calculatrice interdite, 22 questions numérotées de 1 à 22. Les applications numériques sont demandées avec **un chiffre significatif** et se font de tête. Données : $G=6{,}7\times10^{-11}$ SI, $1\ \mathrm{pc}=3\times10^{16}$ m, 1 an $=3\times10^7$ s, $M_\odot=2\times10^{30}$ kg. La liste des données porte par erreur « $2^{30}$ kg » pour la masse du Soleil : la page 5 donne la bonne valeur, et il faut signaler la coquille sur la copie, comme le demande la consigne de l'épreuve.
**Découpage.**
| Partie | Questions | Contenu |
|---|---|---|
| I (préambule) | Q1 | domaine spectral |
| I.A Télescope unique | Q2–Q4 | images à l'infini, résolution du capteur, diffraction, diamètre utile maximal |
| I.B.1 Modèle équivalent | Q5–Q6 | différence de marche entre deux télescopes, base équivalente |
| I.B.2 Système équivalent | Q7–Q12 | trous d'Young, ordre d'interférence, sources incohérentes, brouillage, résolution, contraste d'une source étendue (sinus cardinal) |
| I.C $N$ télescopes | Q13 | interférences à $N$ ondes, qualitatif |
| II.A Répartition de masse | Q14–Q18 | orbite circulaire, théorème de Gauss gravitationnel, courbe de rotation, matière noire |
| II.B Formation d'étoiles | Q19–Q22 | loi de puissance en échelle log-log, équation différentielle à variables séparables, redshift, lecture de graphe |
**Notions du programme mobilisées.** Première année : optique géométrique (images dans le plan focal, rayon non dévié), mécanique du point (mouvement circulaire, forces centrales, lois de Kepler), analyse dimensionnelle. Deuxième année MP : superposition d'ondes lumineuses (formule de Fresnel, cohérence, trous d'Young, $N$ ondes), électrostatique et analogie gravitationnelle (théorème de Gauss, forme locale), équations différentielles.
**Difficulté.** Moyenne. La partie I demande surtout des **schémas justes** et une bonne maîtrise du raisonnement par différence de marche ; le seul vrai calcul est l'intégrale de la question 12. La partie II est plus classique (Gauss en symétrie sphérique, courbe de rotation) et se termine par des lectures de graphes qui demandent du soin.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q2, Q5, Q6, Q7 (le résultat est donné), Q9, Q11, Q14, Q15, Q16, Q18, Q19, Q21. Elles représentent plus de la moitié du barème probable et ne demandent que du cours.
**Gestion du temps.** Les deux parties sont indépendantes ; à l'intérieur de la partie I, les sous-parties I.A et I.B le sont presque aussi. Comptez environ 1 h 45 pour la partie I et 1 h 15 pour la partie II. Les questions 12, 13 et 20 sont les plus longues : ne pas s'y enliser au détriment des questions de cours de la partie II.
## Partie I — L'observation des galaxies
La partie montre qu'un télescope unique a une résolution limitée par son capteur et par la diffraction, puis qu'on la dépasse en combinant deux télescopes éloignés : le dispositif devient un système de trous d'Young, et c'est la **disparition du contraste** des franges qui renseigne sur la taille angulaire de la source. Outils : optique géométrique, formule de Fresnel, cohérence, sommation d'intensités.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Il suffit de connaître les bornes du domaine visible, en micromètres.
#### Solution
Le domaine visible s'étend de $0{,}4\ \mu$m (violet) à $0{,}8\ \mu$m (rouge) environ. Comme $\lambda_0=2{,}0\ \mu\mathrm m>0{,}8\ \mu\mathrm m$, **ces ondes appartiennent à l'infrarouge (proche infrarouge)**.
### I.A Télescope unique
On modélise le télescope par une lentille mince de focale $f'$ et de diamètre $D$, la caméra étant dans le plan focal image. On cherche ce qui limite la finesse des détails observables.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Où se forme l'image d'un point situé à l'infini ? Quel rayon particulier permet de la placer sans calcul ?
> [!INDICATION]
> Attention à l'angle : le point $B$ est au bord de la galaxie, à $\epsilon/2$ de l'axe, et non à $\epsilon$.
> [!INDICATION]
> Deux images sont distinguées par le capteur si elles ne tombent pas sur la même cellule.
#### Solution
*Construction.* $A$ et $B$ sont à l'infini : les rayons issus de chacun arrivent parallèles entre eux et convergent dans le plan focal image.
- Les rayons issus de $A$ sont parallèles à l'axe : ils convergent au foyer image, $A'=F'$.
- Les rayons issus de $B$ sont inclinés de $\epsilon/2$ : ils convergent au point $B'$ du plan focal où arrive le rayon passant par le centre optique $O$, qui n'est pas dévié.
*Distance entre les images.* $A'B'=f'\tan(\epsilon/2)$, et comme $\epsilon\ll1$ :
$$\boxed{A'B'\simeq\frac{f'\epsilon}{2}}$$
*Résolution du capteur.* Les deux images sont séparées si $A'B'\geqslant a$, soit $\epsilon\geqslant2a/f'$ :
$$\boxed{r_{\rm cap}=\frac{2a}{f'}}$$
> [!METHODE]
> Image d'un point à l'infini dans la direction $\alpha$ : point du plan focal image situé à la distance $f'\tan\alpha\simeq f'\alpha$ de l'axe. Ce résultat sert dans toute la partie I : il convertit un angle en une position dans le plan d'observation.
> [!PIEGE]
> Les objets étant à l'infini, la relation de conjugaison de Descartes avec $\overline{OA}$ fini n'a pas de sens ici ; on raisonne directement sur les faisceaux parallèles.
### Question 3
> [!INDICATION]
> On demande un ordre de grandeur : quel est le seul angle que l'on peut former avec $\lambda_0$ et $D$ ?
> [!INDICATION]
> Pour appliquer le critère de l'énoncé, convertir l'ouverture angulaire de la tache en une taille dans le plan focal, puis la comparer à $A'B'$.
#### Solution
*Ouverture angulaire de la tache.* La diffraction par une pupille de taille $D$ étale la lumière dans un cône de demi-angle
$$\boxed{\theta_{\rm diff}\sim\frac{\lambda_0}{D}}$$
(le calcul pour une pupille circulaire donne $1{,}22\,\lambda_0/D$, préfacteur inutile en ordre de grandeur).
*Résolution.* La tache a dans le plan focal une taille caractéristique (rayon) $f'\lambda_0/D$. Les deux points sont distingués si
$$\frac{f'\epsilon}{2}>\frac{f'\lambda_0}{D}\iff\epsilon>\frac{2\lambda_0}{D},\qquad\boxed{r_{\rm diff}=\frac{2\lambda_0}{D}}$$
> [!PIEGE]
> Comparer directement un angle ($\lambda_0/D$) à une longueur ($A'B'$) est une faute d'homogénéité : passer par le plan focal (facteur $f'$) ou tout raisonner en angles.
> [!JURY]
> Les facteurs numériques de ce type de critère dépendent de conventions (rayon ou diamètre de la tache, demi-angle ou angle total). Annoncer clairement la convention choisie et la garder jusqu'à la question 4 vaut mieux qu'un préfacteur « exact » non justifié.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Pour séparer deux points, les deux critères doivent être satisfaits simultanément : la résolution effective est la plus défavorable des deux.
> [!INDICATION]
> Laquelle des deux résolutions dépend de $D$ ? À partir de quand cesse-t-elle d'être la plus contraignante ?
#### Solution
La résolution effective est $r=\max\left(\dfrac{2a}{f'},\dfrac{2\lambda_0}{D}\right)$. Quand $D$ croît, $r_{\rm diff}$ diminue ; dès que $r_{\rm diff}<r_{\rm cap}$, c'est le capteur qui limite et la résolution n'augmente plus. Le diamètre limite vérifie $r_{\rm diff}=r_{\rm cap}$ :
$$\boxed{D_{\max}=\frac{\lambda_0f'}{a}}$$
*Application numérique.* $D_{\max}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}\times10}{1{,}0\times10^{-6}}=\mathbf{20\ m}$, pour une résolution de $2\times10^{-7}$ rad.
*Commentaire.* C'est l'ordre de grandeur des plus grands télescopes actuels (8 à 10 m) et en construction (39 m pour l'ELT) : capteur et optique sont dimensionnés l'un pour l'autre. Pour profiter d'un miroir plus grand, il faut réduire $a$ ou allonger $f'$. Au sol, la turbulence atmosphérique limite en pratique la résolution, sauf optique adaptative.
> [!PIEGE]
> Ce n'est pas la somme des deux résolutions ni la plus petite des deux qui compte, mais la plus grande : il faut satisfaire les deux critères à la fois.
### I.B Association de 2 télescopes
Deux télescopes séparés d'une base $b_0$ pointent dans la même direction ; leurs faisceaux sont recombinés. La sous-partie I.B.1 construit un modèle équivalent (des trous d'Young), la sous-partie I.B.2 l'exploite.
### Question 5
> [!INDICATION]
> La source est à l'infini : à quoi ressemblent ses surfaces d'onde au niveau du sol ?
> [!INDICATION]
> Tracer le plan d'onde passant par le télescope atteint en premier, et chercher sur l'autre rayon le chemin restant à parcourir. Un triangle rectangle d'hypoténuse $b_0$ apparaît.
> [!INDICATION]
> Pour la compensation : à quelle condition deux ondes peuvent-elles interférer ? Et la différence de marche reste-t-elle constante au cours d'une nuit ?
#### Solution
L'onde issue d'une source à l'infini est plane ; ses surfaces d'onde sont perpendiculaires à la direction de propagation, inclinée de $\theta$ sur la verticale. Sur la figure 2, la direction d'observation penche du côté de $T_1$, qui est donc atteint en premier.
Le plan d'onde passant par $T_1$ coupe en $K$ le rayon qui va vers $T_2$. Le triangle $T_1KT_2$ est rectangle en $K$ ; l'angle en $T_2$, entre la base horizontale et le rayon, vaut $\pi/2-\theta$.
$T_1$ et $K$ sont sur le même plan d'onde, donc à même chemin optique depuis la source (théorème de Malus). La différence de marche est la longueur $KT_2=b_0\cos(\pi/2-\theta)$ :
$$\boxed{\delta_0(\theta)=b_0\sin\theta}$$
Contrôle : au zénith ($\theta=0$), les deux télescopes sont sur le même plan d'onde et $\delta_0=0$.
*Nécessité de la compensation.* Pour $b_0$ de quelques centaines de mètres, $\delta_0$ est de l'ordre de la centaine de mètres.
- La lumière réelle n'est pas monochromatique : sa longueur de cohérence $\ell_c=\lambda_0^2/\Delta\lambda$ reste au plus décimétrique, même avec un filtre étroit ($4$ mm pour $\Delta\lambda=1$ nm). Si $\delta_0\gg\ell_c$, les faisceaux sont incohérents et il n'y a plus de franges.
- Même dans le modèle monochromatique, $\delta_0(\theta)$ change avec la rotation de la Terre, à une vitesse pouvant atteindre $b_0\Omega_T\approx10^3\times7\times10^{-5}\approx7\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$ : plusieurs dizaines de milliers de franges défileraient chaque seconde, et la figure serait brouillée pendant la pose.
Les miroirs mobiles (ligne à retard) doivent donc allonger le trajet du faisceau 1 de $\delta_0(\theta)$, **à chaque instant**.
> [!METHODE]
> Différence de marche entre deux points recevant une onde plane : projeter le vecteur qui les joint sur la direction de propagation. Ici $\delta_0=\overrightarrow{T_1T_2}\cdot\hat u$, avec $\hat u$ unitaire de la direction de propagation.
> [!PIEGE]
> Confondre $\sin\theta$ et $\cos\theta$ : le test du zénith ($\delta_0(0)=0$) tranche immédiatement.
### Question 6
> [!INDICATION]
> La distance entre deux droites parallèles se mesure sur une perpendiculaire commune.
> [!INDICATION]
> Réutiliser le triangle de la question 5 : le côté cherché est l'autre côté de l'angle droit.
#### Solution
Les axes optiques sont deux droites parallèles, inclinées de $\theta$ sur la verticale, passant par $T_1$ et $T_2$. La perpendiculaire commune menée de $T_1$ coupe l'axe de $T_2$ au point $K$ de la question 5. Dans le triangle $T_1KT_2$ rectangle en $K$, d'hypoténuse $b_0$, le segment $T_1K$ fait l'angle $\theta$ avec l'horizontale :
$$\boxed{b(\theta)=T_1K=b_0\cos\theta}$$
(contrôle : $b^2+\delta_0^2=b_0^2$, et $b(0)=b_0$).
*Paramètre variable.* Les télescopes suivent l'astre au cours de la nuit. La Terre tournant, la direction de l'astre change dans le référentiel terrestre : $\theta$ varie, et avec lui $b(\theta)=b_0\cos\theta$, entre $b_0$ (astre au zénith) et $0$ (astre à l'horizon). La base équivalente est donc un paramètre que la rotation terrestre fait balayer, et que l'on va exploiter.
> [!METHODE]
> Ce qui compte pour un interféromètre n'est pas la distance au sol entre les télescopes, mais sa **projection perpendiculairement à la direction visée**. C'est elle qui joue le rôle de l'écartement des trous d'Young.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Les deux fentes sont-elles atteintes en phase par l'onde issue de $A$ ? Toute la différence de marche naît alors après les fentes.
> [!INDICATION]
> Quels rayons convergent en $M(x)$ après la lentille ? Tracer le plan d'onde perpendiculaire à ces rayons et utiliser le théorème de Malus.
> [!INDICATION]
> Pour l'intensité, la formule de Fresnel avec deux ondes cohérentes de même intensité.
#### Solution
*Construction.* $A$ est à l'infini sur l'axe : les surfaces d'onde incidentes sont parallèles au plan des fentes, atteintes en phase. En $M(x)$ convergent les rayons sortant des fentes parallèlement à la direction $\alpha=x/f'$ (celle du rayon non dévié passant par $O$ et $M$). Le plan d'onde perpendiculaire à ces rayons, mené par la fente $(2)$, coupe le rayon issu de $(1)$ en $H$ ; de ce plan d'onde à $M$, les chemins optiques sont égaux (Malus et stigmatisme de la lentille). La différence de marche vaut $(1)H=b(\theta)\sin\alpha\simeq b(\theta)x/f'$ pour $x\ll f'$ :
$$\boxed{p_A(x)=\frac{b(\theta)\,x}{\lambda_0f'}}$$
*Intensité.* Les deux ondes viennent du même point source : elles sont cohérentes. Chacune ayant l'intensité $I_0$, la formule de Fresnel donne
$$I_A=I_0+I_0+2\sqrt{I_0I_0}\cos(2\pi p_A),\qquad\boxed{I_A(x)=2I_0\left[1+\cos\left(\frac{2\pi b(\theta)x}{\lambda_0f'}\right)\right]}$$
**$I_0$ est l'intensité que donnerait en $M$ une seule voie (un seul télescope), l'autre étant masquée.**
*Allure.* Franges rectilignes, **parallèles aux fentes** (perpendiculaires à $Ox$), équidistantes, d'interfrange $\boxed{i=\dfrac{\lambda_0f'}{b(\theta)}}$, de contraste $C=\dfrac{4I_0-0}{4I_0+0}=1$.
*Dépendance en $b(\theta)$.* **Le contraste ne dépend pas de $b(\theta)$** (il vaut toujours 1) ; **l'interfrange est inversement proportionnel à $b(\theta)$**.
> [!PIEGE]
> $I_0$ n'est ni l'intensité maximale ($4I_0$) ni l'intensité moyenne ($2I_0$).
> [!JURY]
> Quand le résultat est donné par l'énoncé, toute la valeur de la réponse tient dans la justification : dire pourquoi les fentes sont atteintes en phase et pourquoi la lentille n'ajoute pas de différence de marche entre le plan d'onde et $M$.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Pour $B$, l'onde arrive inclinée : une différence de marche existe déjà à l'entrée des fentes, calculée comme à la question 5.
> [!INDICATION]
> $A$ et $B$ sont deux points distincts de la galaxie : leurs ondes peuvent-elles interférer entre elles ? Qu'additionne-t-on alors ?
> [!INDICATION]
> Pour le brouillage, transformer la somme des deux cosinus en produit et isoler le facteur indépendant de $x$.
#### Solution
*Ordre d'interférence.* À l'entrée des fentes, l'onde issue de $B$ présente la différence de marche $b(\theta)\sin(\epsilon/2)\simeq b(\theta)\epsilon/2$, qui s'ajoute à celle acquise après les fentes. Avec l'orientation de l'énoncé (terme $x/f'+\alpha$) :
$$\boxed{p_B(x)=\frac{b(\theta)}{\lambda_0}\left(\frac{x}{f'}+\frac{\epsilon}{2}\right)}$$
La figure de $B$ est celle de $A$ translatée : sa frange d'ordre 0 est en $x=-f'\epsilon/2$, sur l'image géométrique de $B$.
*Superposition.* $A$ et $B$ émettent indépendamment : le déphasage entre leurs ondes fluctue aléatoirement sur des durées très courtes devant le temps de réponse du détecteur, et le terme d'interférence croisé a une moyenne nulle. **Les sources sont incohérentes : on ajoute les intensités**, d'où la superposition des deux figures :
$$I=2I_0\left[2+\cos(2\pi p_A)+\cos(2\pi p_B)\right]=4I_0\left[1+\cos\left(\frac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\cos\left(\frac{2\pi bx}{\lambda_0f'}+\frac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right].$$
L'interfrange est inchangé ; le contraste vaut $C=\left|\cos\left(\dfrac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right|$.
*Brouillage.* $C=0$ quand les deux systèmes sont décalés d'un demi-interfrange :
$$\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{2\lambda_0}=\frac\pi2+k\pi\iff\boxed{b(\theta)=(2k+1)\frac{\lambda_0}{\epsilon},\ k\in\mathbb N}$$
> [!METHODE]
> Critère rapide de brouillage pour deux sources incohérentes de même intensité : les franges disparaissent quand la différence des ordres d'interférence, $p_B-p_A$, est demi-entière (franges brillantes de l'une sur les franges sombres de l'autre).
> [!PIEGE]
> Oublier la différence de marche à l'entrée des fentes donne $p_B=p_A$ : la figure ne serait jamais brouillée et toute la suite tomberait.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Choisir l'entier qui minimise la famille obtenue à la question 8.
> [!INDICATION]
> Pour la mesure : quel paramètre varie naturellement au cours de l'observation, et que faut-il repérer pour remonter à $\epsilon$ sans ambiguïté sur l'entier ?
#### Solution
La plus petite valeur correspond à $k=0$ :
$$\boxed{b_{\min}=\frac{\lambda_0}{\epsilon}}$$
*Mesure.* On suit le contraste des franges pendant que $b(\theta)$ varie (rotation terrestre, ou changement de paire de télescopes), en partant des petites bases, et l'on note la base $b^\star$ de la **première** disparition des franges. Alors $\epsilon=\lambda_0/b^\star$ et, la distance $d$ étant connue et $\epsilon\ll1$, le diamètre de la galaxie vaut
$$\boxed{L=\epsilon d=\frac{\lambda_0d}{b^\star}}$$
> [!PIEGE]
> Une extinction quelconque ne suffit pas : l'entier $k$ serait inconnu. C'est la première qui donne $\epsilon$ sans ambiguïté.
### Question 10
> [!INDICATION]
> La mesure de la question 9 n'est possible que si la base critique est accessible. Que cela impose-t-il à $\epsilon$ ?
> [!INDICATION]
> Pour l'équivalence, comparer avec la forme de la résolution d'un télescope unique obtenue à la question 3.
#### Solution
$b(\theta)$ prend les valeurs de $[0,b_0]$. L'extinction n'est observable que si $\lambda_0/\epsilon\leqslant b_0$, c'est-à-dire $\epsilon\geqslant\lambda_0/b_0$ :
$$\boxed{r_{\rm double}=\frac{\lambda_0}{b_0}}$$
*Équivalence.* Un télescope unique de diamètre $D$ a une résolution $\sim\lambda_0/D$ (question 3, au facteur 2 de convention près). En remplaçant $D$ par $b_0$, on retrouve $r_{\rm double}$ : pour la résolution angulaire, le télescope double équivaut à un télescope unique de diamètre $b_0$.
*Application numérique.* $r_{\rm double}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{10^3}=\mathbf{2\times10^{-9}\ rad}$, cent fois mieux que le télescope de 20 m de la question 4.
> [!JURY]
> L'égalité n'est vraie qu'en ordre de grandeur : les préfacteurs dépendent des critères choisis. Il faut le dire plutôt que forcer une égalité stricte.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Résolution et sensibilité ne dépendent pas de la même caractéristique de la pupille. De quoi dépend la quantité de lumière recueillie ?
#### Solution
La puissance recueillie est proportionnelle à la **surface collectrice**. Un télescope de diamètre $b_0$ collecte sur $\pi b_0^2/4$ ; le télescope double seulement sur ses deux pupilles, $2\pi D^2/4$. Le rapport $2D^2/b_0^2$ vaut environ $2\times10^{-4}$ pour $D=10$ m et $b_0=1$ km. **Le télescope double a la résolution d'un télescope de diamètre $b_0$, mais pas sa sensibilité** : un objet peu lumineux ne fournit pas assez de flux pour être détecté.
> [!METHODE]
> Résolution : liée à l'**étendue** de la pupille (sa plus grande dimension). Sensibilité : liée à sa **surface**. L'interférométrie gagne la première, pas la seconde.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Les étoiles de la galaxie sont des sources incohérentes entre elles. Quelles sont les bornes de $\alpha$, sachant que le centre est sur l'axe et que la galaxie est vue sous l'angle $\epsilon$ ?
> [!INDICATION]
> L'intégrale du cosinus fait apparaître une différence de deux sinus : utiliser la formule du formulaire et reconnaître un sinus cardinal.
> [!INDICATION]
> Pour distinguer galaxie et étoile double, comparer les deux fonctions contraste au-delà de leur première annulation.
#### Solution
$\alpha$ décrit $[-\epsilon/2,\epsilon/2]$ et les intensités s'ajoutent. Avec $\kappa=2\pi b(\theta)/\lambda_0$ et $\Phi=\kappa x/f'$ :
$$I_{\rm gal}=\Gamma\int_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2}\left[1+\cos(\Phi+\kappa\alpha)\right]\mathrm d\alpha=\Gamma\epsilon+\frac\Gamma\kappa\left[\sin\left(\Phi+\frac{\kappa\epsilon}2\right)-\sin\left(\Phi-\frac{\kappa\epsilon}2\right)\right].$$
Avec $\sin p-\sin q=2\sin\frac{p-q}2\cos\frac{p+q}2$, le second terme vaut $\dfrac{2\Gamma}{\kappa}\sin\dfrac{\kappa\epsilon}2\cos\Phi=\Gamma\epsilon\,\mathrm{sinc}\left(\dfrac{\kappa\epsilon}2\right)\cos\Phi$, et $\dfrac{\kappa\epsilon}{2}=\dfrac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}$ :
$$\boxed{I_{\rm gal}(x)=\Gamma\epsilon\left[1+\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}\right)\cos\left(\frac{2\pi b(\theta)x}{\lambda_0f'}\right)\right]}$$
(valable aussi pour $b=0$, puisque $\mathrm{sinc}(0)=1$).
*Contraste.*
$$\boxed{C=\left|\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi b(\theta)\epsilon}{\lambda_0}\right)\right|}$$
*Allure* (en fonction de $b(\theta)$) :
| $b(\theta)$ | $0$ | $\lambda_0/\epsilon$ | $\approx1{,}43\,\lambda_0/\epsilon$ | $2\lambda_0/\epsilon$ | $\approx2{,}46\,\lambda_0/\epsilon$ | $3\lambda_0/\epsilon$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $C$ | $1$ | $0$ | $0{,}22$ (max.) | $0$ | $0{,}13$ (max.) | $0$ |
Le contraste décroît de 1 à 0 entre $b=0$ et $b=\lambda_0/\epsilon$, puis ne présente plus que des lobes de hauteur décroissante.
*Commentaire.* Quand la base augmente, les figures dues aux différents points de la galaxie se décalent les unes par rapport aux autres et se brouillent. La première annulation, en $b=\lambda_0/\epsilon$, coïncide avec celle du modèle à deux points : sa mesure donne $\epsilon$.
*Galaxie ou étoile double.* Pour deux points séparés de $\epsilon/2$, $C=\left|\cos\left(\dfrac{\pi b\epsilon}{2\lambda_0}\right)\right|$ est **périodique** en $b$ et revient à 1 pour $b=2\lambda_0/\epsilon,4\lambda_0/\epsilon,\dots$ Pour la galaxie, $C$ reste inférieur à $0{,}22$ après la première annulation. **Même première extinction ; c'est le comportement au-delà (retour à 1 ou lobes faibles décroissants) qui distingue l'étoile double de l'objet étendu.**
> [!METHODE]
> Source étendue incohérente : on somme les intensités élémentaires sur l'étendue angulaire. Le contraste est alors, au module près, la moyenne de $\cos$ de la phase sur la source, ce qui donne un sinus cardinal pour une source uniforme.
> [!PIEGE]
> Le contraste est positif par définition : écrire $C=|\mathrm{sinc}(\cdot)|$. Un sinus cardinal négatif correspond simplement à une inversion des franges brillantes et sombres.
### I.C Association de $N$ télescopes
### Question 13
> [!INDICATION]
> Le dispositif équivaut à $N$ fentes équidistantes devant une lentille. Écrire la condition de l'énoncé (voisines en phase) en fonction de $x$ et de la direction de la source.
> [!INDICATION]
> Que deviennent les maxima quand $N$ grandit : leur position change-t-elle ? leur largeur ? Relier la largeur angulaire d'un pic à la résolution.
> [!INDICATION]
> « Dans quelle mesure » invite à dire aussi ce que l'analogie ne restitue pas.
#### Solution
*Dispositif.* $N$ fentes régulièrement espacées de $b(\theta)$ devant la lentille de focale $f'$, observation dans le plan focal image (comme la figure 3, avec $N$ ouvertures).
*Condition.* Pour une source dans la direction $\alpha$, deux voies voisines présentent en $M(x)$ la différence de marche $b(x/f'+\alpha)$. L'intensité n'est non nulle (pour $N$ grand) que si
$$\frac{b(\theta)}{\lambda_0}\left(\frac{x}{f'}+\alpha\right)\in\mathbb Z\iff x=f'\left(p\frac{\lambda_0}{b(\theta)}-\alpha\right),\ p\in\mathbb Z.$$
Hors de ces positions, le déphasage entre la première et la dernière voie atteint $2\pi$ pour un écart $N$ fois plus petit qu'avec deux voies : les $N$ ondes se répartissent sur tout le cercle des phases et s'annulent. Les maxima gardent l'espacement $\lambda_0f'/b$ mais deviennent des pics fins, de largeur angulaire $\sim\lambda_0/(Nb)$.
*Télescope de diamètre infini.* La position des pics dépend de la direction $\alpha$ : deux sources séparées de plus de $\lambda_0/(Nb)$ donnent des pics distincts. La résolution $\lambda_0/(Nb)$ est celle d'un télescope de diamètre $\sim Nb$, qui tend vers l'infini avec $N$ : l'image d'un point source devient un point. **Tout se passe comme pour un télescope de diamètre infiniment grand, mais seulement pour la résolution, et avec des limites :**
- les pics d'une même source se répètent avec la période angulaire $\lambda_0/b$ ; deux sources dont les directions diffèrent d'un multiple de $\lambda_0/b$ sont confondues, l'analogie ne vaut que dans un champ de largeur $\lambda_0/b$ ;
- la surface collectrice reste $N\pi D^2/4$ (question 11) ;
- $N$ est fini en pratique.
> [!METHODE]
> Pour $N$ ondes de phases en progression arithmétique, le raisonnement qualitatif suffit : positions des maxima fixées par l'accord de phase entre voisines, largeur des pics divisée par $N$. Le programme n'exige pas de calcul de la somme.
## Partie II — Quelques propriétés galactiques
La partie II pèse la galaxie par sa dynamique : orbite képlérienne autour du trou noir, champ d'un bulbe sphérique par le théorème de Gauss, courbe de rotation incompatible avec l'observation, d'où un halo de matière noire. Elle s'achève sur la croissance en masse des galaxies, à partir de lectures de graphes en échelle logarithmique.
### II.A Répartition de masse
### Question 14
> [!INDICATION]
> La force est centrale : que dit la projection du principe fondamental sur la direction orthoradiale ?
> [!INDICATION]
> La projection radiale relie $v^2/r$ à l'attraction. Attention aux conversions : kiloparsec en mètres, masse du Soleil en kilogrammes.
#### Solution
*Uniformité.* Dans le référentiel galactique supposé galiléen, en polaires de centre $T$, $\vec a=-r\dot\varphi^2\hat u_r+r\ddot\varphi\,\hat u_\varphi$. La force $\vec F=-\dfrac{GM_TM_\odot}{r^2}\hat u_r$ est centrale ; la projection sur $\hat u_\varphi$ donne $r\ddot\varphi=0$ : $\dot\varphi$ est constant, $v=r|\dot\varphi|$ aussi. **Le mouvement est uniforme.**
*Vitesse et période.* Projection sur $\hat u_r$ : $\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GM_T}{r^2}$, donc
$$\boxed{v(r)=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}},\qquad\boxed{\tau=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}}}$$
*Application numérique.* $r=8\times10^3\times3\times10^{16}=2{,}4\times10^{20}$ m, $M_T=8\times10^{36}$ kg, $GM_T\approx5{,}4\times10^{26}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-2}}$ :
$$v=\sqrt{\frac{5{,}4\times10^{26}}{2{,}4\times10^{20}}}=\sqrt{2{,}2\times10^6}\approx1{,}5\times10^3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\approx1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}.$$
**Non** : c'est plus de cent fois moins que les 200 km/s observés. Il faudrait une masse intérieure $v^2r/G\approx7\times10^{10}M_\odot$, environ $2\times10^4$ fois celle du trou noir.
> [!PIEGE]
> Uniforme ne veut pas dire rectiligne uniforme : l'accélération centripète n'est pas nulle. On peut aussi conclure par la puissance de la force, nulle car $\vec F$ est radiale et $\vec v$ orthoradiale.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Écrire côte à côte le champ d'une charge ponctuelle et celui d'une masse ponctuelle, et établir le dictionnaire de correspondance.
> [!INDICATION]
> Bien garder le signe : l'une des interactions peut être répulsive, l'autre jamais.
#### Solution
$$\vec E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat u_r,\qquad\vec g=-\frac{Gm}{r^2}\hat u_r.$$
Les deux champs sont radiaux, en $1/r^2$, et obéissent au principe de superposition. Ils sont identiques moyennant
$$q\longleftrightarrow m,\qquad\frac1{4\pi\varepsilon_0}\longleftrightarrow-G,\ \text{soit}\ \frac1{\varepsilon_0}\longleftrightarrow-4\pi G.$$
Le théorème de Gauss électrostatique $\displaystyle\oint\!\!\!\!\oint_S\vec E\cdot\mathrm d\vec S=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}$ ne repose que sur ces propriétés ; il se transpose en
$$\boxed{\oint\!\!\!\!\oint_S\vec g\cdot\mathrm d\vec S=-4\pi GM_{\rm int}}$$
$M_{\rm int}$ étant la masse intérieure à $S$. Le signe $-$ traduit le caractère toujours attractif de la gravitation.
> [!METHODE]
> Analogie électrostatique-gravitation : $q\to m$, $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\to-G$. Tout résultat d'électrostatique fondé sur Gauss (champ d'une boule, d'une coquille, d'un plan) se transpose immédiatement.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Étudier les symétries et invariances de la distribution pour réduire $\vec g$ à une seule composante dépendant d'une seule variable.
> [!INDICATION]
> Surface de Gauss : sphère de centre $T$ passant par $M$. La masse intérieure n'a pas la même expression dans le bulbe et à l'extérieur.
> [!INDICATION]
> Pour Kepler : à quel champ connu ressemble le champ à l'extérieur du bulbe ?
#### Solution
*Symétries.* Bulbe homogène de centre $T$, disque assimilé au vide : distribution à symétrie sphérique, donc $\vec g=g(r)\hat u_r$.
*Gauss* sur la sphère de rayon $r$ : $4\pi r^2g(r)=-4\pi GM_{\rm int}(r)$, avec $M_b=\frac43\pi R_b^3\mu_0$.
- $r\leqslant R_b$ : $M_{\rm int}=M_br^3/R_b^3$, $\boxed{\vec g=-\dfrac{GM_b}{R_b^3}\,r\,\hat u_r}$.
- $R_b\leqslant r\leqslant R_d$ : $M_{\rm int}=M_b$, $\boxed{\vec g=-\dfrac{GM_b}{r^2}\hat u_r}$.
*Vitesse.* $v_0^2/r=|g|$ :
$$\boxed{v_0=r\sqrt{\frac{GM_b}{R_b^3}}\ (r\leqslant R_b),\qquad v_0=\sqrt{\frac{GM_b}{r}}\ (R_b\leqslant r\leqslant R_d)}$$
*Allure.* Croissance linéaire de 0 à $v_{\max}=\sqrt{GM_b/R_b}$ en $R_b$ (rotation d'ensemble du bulbe), puis décroissance en $1/\sqrt r$ jusqu'à $R_d$ ; courbe continue avec un point anguleux en $R_b$.
*Kepler.* Pour $R_b\leqslant r\leqslant R_d$, le champ est celui d'une masse ponctuelle $M_b$ en $T$ : **le disque suit les lois de Kepler** ($\tau^2/r^3=4\pi^2/(GM_b)$). Dans le bulbe, le champ est proportionnel à $r$ : la période est la même pour tous les rayons, la troisième loi de Kepler n'y est pas vérifiée.
> [!PIEGE]
> Prendre $M_{\rm int}=M_b$ aussi dans le bulbe fait disparaître la partie linéaire et le maximum de la courbe.
> [!JURY]
> Le théorème de Gauss n'est exploitable qu'après une étude des symétries et invariances écrite explicitement : c'est elle qui permet de sortir $g(r)$ de l'intégrale de flux.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Écrire le flux de deux manières pour un volume quelconque : par le théorème de Gauss (masse intérieure) et par Green-Ostrogradski.
> [!INDICATION]
> Dans le halo, que donne le principe fondamental pour une étoile en mouvement circulaire de vitesse $v_1$ ? Utiliser ensuite la divergence en coordonnées sphériques du formulaire.
> [!INDICATION]
> Pour l'analyse dimensionnelle, poser $\mu=k\,v_1^aG^br^c$ et résoudre le système sur les dimensions de masse, longueur et temps.
#### Solution
*Forme locale.* Pour tout volume $V$ de frontière $S$ :
$$-4\pi G\iiint_V\mu\,\mathrm dV=\oint\!\!\!\!\oint_S\vec g\cdot\mathrm d\vec S=\iiint_V\mathrm{div}\,\vec g\,\mathrm dV.$$
L'égalité valant pour tout $V$, les intégrandes (continus) sont égaux :
$$\boxed{\mathrm{div}\,\vec g=-4\pi G\mu}$$
*Halo.* Mouvement circulaire de vitesse $v_1$ : $\vec g=-\dfrac{v_1^2}{r}\hat u_r$. Alors
$$\mathrm{div}\,\vec g=\frac1{r^2}\frac{\mathrm d(r^2g_r)}{\mathrm dr}=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm d(-v_1^2r)}{\mathrm dr}=-\frac{v_1^2}{r^2},\qquad\boxed{\mu(r)=\frac{v_1^2}{4\pi Gr^2}}$$
*Analyse dimensionnelle.* $[\mu]=\mathrm{M\,L^{-3}}$, $[v_1]=\mathrm{L\,T^{-1}}$, $[G]=\mathrm{M^{-1}L^3T^{-2}}$, $[r]=\mathrm L$. Masse : $-b=1$ ; temps : $-a-2b=0$ ; longueur : $a+3b+c=-3$. D'où $b=-1$, $a=2$, $c=-2$ et $\mu=k\,\dfrac{v_1^2}{Gr^2}$ : on retrouve le résultat, avec $k=1/(4\pi)$ que l'analyse dimensionnelle ne peut pas fournir.
Remarque : avec un bulbe sans effet, le théorème de Gauss intégral appliqué à cette densité donnerait $g=-v_1^2(r-R_b)/r^2$, égal à $-v_1^2/r$ seulement pour $r\gg R_b$ : le modèle de l'énoncé n'est rigoureusement cohérent que loin du bulbe.
> [!PIEGE]
> La divergence d'un champ radial en sphériques n'est pas $\partial g_r/\partial r$ : il faut le facteur $r^2$ à l'intérieur de la dérivée. Sans lui, ou avec $g_r>0$, on trouve une masse volumique négative, ce qu'un contrôle de signe détecte immédiatement.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Découper le halo en coquilles sphériques : le facteur $r^2$ de l'élément de volume se simplifie avec $\mu(r)$.
> [!INDICATION]
> Le pourcentage se rapporte à la masse totale de la galaxie, pas à la seule masse visible.
#### Solution
$$M_h=\int_{R_b}^{R_h}\frac{v_1^2}{4\pi Gr^2}4\pi r^2\,\mathrm dr,\qquad\boxed{M_h=\frac{v_1^2(R_h-R_b)}{G}}$$
*Application numérique.* $v_1^2=4\times10^{10}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-2}}$, $R_h-R_b=98\ \mathrm{kpc}\approx3\times10^{21}$ m :
$$M_h\approx\frac{4\times10^{10}\times3\times10^{21}}{6{,}7\times10^{-11}}\approx1{,}8\times10^{42}\ \mathrm{kg},\qquad\boxed{M_h\approx9\times10^{11}M_\odot}$$
*Proportion.* Masse visible : $M_b=2\times10^{11}M_\odot$ (trou noir négligeable). $\dfrac{M_h}{M_h+M_b}\approx\dfrac9{11}\approx0{,}8$ : **la matière noire représente environ 80 % de la masse de la galaxie.**
> [!METHODE]
> Masse d'une distribution à symétrie sphérique : $M=\displaystyle\int4\pi r^2\mu(r)\,\mathrm dr$. Une densité en $1/r^2$ donne une masse proportionnelle au rayon, d'où le plateau de la courbe de rotation.
### II.B Formation d'étoiles
### Question 19
> [!INDICATION]
> Passer au logarithme décimal : quelle forme prend $\dot m=\alpha_0m^{\beta_0}$ dans les axes de la figure 6 ?
> [!INDICATION]
> Lire deux points éloignés de la droite pour la pente, puis calculer l'ordonnée en $\log m=0$, qui est hors du graphe.
> [!INDICATION]
> L'efficacité de la formation d'étoiles se juge par rapport à la masse déjà présente.
#### Solution
$\log\dot m=\log\alpha_0+\beta_0\log m$ : droite de pente $\beta_0$. On lit $\log\dot m=-0{,}8$ en $\log m=9{,}0$ et $1{,}6$ en $\log m=12{,}0$ :
$$\beta_0=\frac{1{,}6+0{,}8}{3{,}0}=0{,}8,\qquad\log\alpha_0=-0{,}8-0{,}8\times9{,}0=-8{,}0.$$
$$\boxed{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=\alpha_0m^{\beta_0},\ \alpha_0=10^{-8},\ \beta_0=0{,}8}$$
($m$ en $M_\odot$, $\dot m$ en $M_\odot$/an.) Contrôle : en $\log m=10$, $\log\dot m=0$, conforme à la figure.
*Efficacité.* $\dfrac{\dot m}{m}=\alpha_0m^{\beta_0-1}=\alpha_0m^{-0{,}2}$ décroît avec $m$ car $\beta_0<1$ : **les galaxies peu massives forment chaque année une plus grande fraction de leur masse en étoiles.**
*Inversion.* Il faudrait que $\dot m/m$ croisse avec $m$ :
$$\boxed{\beta_0>1}$$
> [!PIEGE]
> Comparer les $\dot m$ conduit à la conclusion inverse (les galaxies massives forment plus d'étoiles en valeur absolue) : c'est le taux spécifique $\dot m/m$ qui mesure l'efficacité.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Équation à variables séparables : séparer, intégrer entre $0$ et $t$, puis isoler $m(t)$.
> [!INDICATION]
> Factoriser $m_0^{1-\beta_0}$ : le temps caractéristique apparaît comme ce qui divise $t$.
> [!INDICATION]
> Pour les régimes, développer pour $t$ petit devant ce temps, et négliger le 1 pour $t$ grand.
#### Solution
$m^{-\beta_0}\,\mathrm dm=\alpha_0\,\mathrm dt$, intégré de $0$ à $t$ ($\beta_0\neq1$) :
$$\frac{m^{1-\beta_0}-m_0^{1-\beta_0}}{1-\beta_0}=\alpha_0t.$$
En posant
$$\boxed{\tau_0=\frac{m_0^{1-\beta_0}}{(1-\beta_0)\alpha_0}=\frac{m_0}{(1-\beta_0)\dot m(0)}},\qquad\boxed{m(t)=m_0\left(1+\frac t{\tau_0}\right)^{\frac1{1-\beta_0}}=m_0\left(1+\frac t{\tau_0}\right)^5}$$
*Régimes.*
- $t\ll\tau_0$ : $m\simeq m_0(1+5t/\tau_0)=m_0+\alpha_0m_0^{\beta_0}t$, croissance **linéaire** au taux initial.
- $t\gg\tau_0$ : $m\simeq m_0(t/\tau_0)^5=[(1-\beta_0)\alpha_0t]^5$, croissance en **loi de puissance** $t^5$, indépendante de $m_0$ (la condition initiale est oubliée). Pas de divergence en temps fini car $\beta_0<1$.
*Allure.* Courbe croissante et convexe, tangente à l'origine de pente $\dot m(0)$, qui se redresse au-delà de $\tau_0$ ($m(\tau_0)=32\,m_0$).
*Ordre de grandeur.* Pour $m_0=10^{10}M_\odot$ : $\dot m(0)=1\ M_\odot$/an et $\tau_0=5\times10^{10}$ ans, plus que l'âge de l'Univers ; une telle galaxie serait encore dans le régime linéaire.
> [!METHODE]
> Pour une équation $\dot y=\alpha y^\beta$, mettre la solution sous la forme $y_0(1+t/\tau)^{n}$ fait apparaître d'un coup le temps caractéristique et les deux régimes.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Inverser la relation donnée pour isoler $H_0\Delta t$, puis remarquer que $4/9$ est un carré parfait.
> [!INDICATION]
> Convertir $H_0$ en $\mathrm s^{-1}$ (le mégaparsec en mètres), puis $1/H_0$ en années.
#### Solution
La relation est valable pour $z>1$, donc pour $z=2$ :
$$(H_0\Delta t)^{2/3}=\frac{4}{3(1+z)}=\frac49\quad\Longrightarrow\quad H_0\Delta t=\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}.$$
$H_0=\dfrac{7\times10^4}{3\times10^{22}}\approx2{,}3\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}$, $\dfrac1{H_0}\approx4{,}3\times10^{17}\ \mathrm s\approx1{,}4\times10^{10}$ ans :
$$\Delta t\approx0{,}30\times1{,}4\times10^{10}\ \text{ans},\qquad\boxed{\Delta t\approx4\ \text{milliards d'années}}$$
> [!PIEGE]
> La formule ne vaut que pour $z>1$ : l'appliquer à $z=0$ donnerait environ 22 milliards d'années, incompatible avec les 13,8 annoncés.
### Question 22
> [!INDICATION]
> En échelle logarithmique, un rapport constant entre deux grandeurs se traduit par un décalage vertical constant. Lire ce décalage à masse fixée.
> [!INDICATION]
> Pour l'explication, s'appuyer sur ce que dit l'énoncé de la compétition entre l'apport de matière par la toile cosmique et la consommation dans les étoiles.
#### Solution
*Lecture.* À masse fixée, les deux séquences de la figure 7 sont décalées d'environ $1{,}5$ décade : $0{,}7$ contre $-0{,}8$ en $\log m=9$ ; $1{,}5$ contre $0{,}0$ en $\log m=10$ ; $3{,}0$ contre $1{,}6$ en $\log m=12$. Le décalage est quasi constant, donc
$$\frac{\dot m(z=2)}{\dot m(z=0)}\approx10^{1{,}5}\approx30.$$
**À masse égale, le taux de formation d'étoiles a été divisé par environ 30 entre $z=2$ (il y a une dizaine de milliards d'années) et $z=0$** : $\alpha_0$ a diminué d'un facteur $\approx30$, $\beta_0$ restant à peu près le même.
*Explication.* Le taux de formation dépend de la réserve de gaz froid :
- à $z=2$, l'Univers, plus jeune et plus dense, alimentait abondamment les galaxies en gaz frais par les filaments de la toile cosmique ;
- depuis, l'expansion a dilué la matière et réduit cet apport, et le gaz présent a été consommé par les étoiles déjà formées.
Les galaxies actuelles vivent sur un réservoir appauvri. La loi $\dot m=\alpha_0m^{\beta_0}$ décrit la dépendance en masse à une époque donnée, mais son coefficient dépend de l'époque.
> [!PIEGE]
> Un écart de $1{,}5$ sur un axe logarithmique est un **facteur** $10^{1{,}5}\approx30$, pas une différence de $1{,}5\ M_\odot$/an.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Image d'un point à l'infini : plan focal, distance $f'\alpha$ à l'axe ; résolution limitée à la fois par le capteur et par la diffraction ($\sim\lambda/D$).
- Différence de marche pour une onde plane : projection de la base sur la direction de propagation (théorème de Malus) ; base équivalente = projection perpendiculaire à la visée.
- Trous d'Young à l'infini : $\delta=bx/f'$, interfrange $\lambda f'/b$ ; sources incohérentes : on ajoute les **intensités** ; brouillage quand les ordres diffèrent d'un demi-entier ; source étendue uniforme : contraste en $|\mathrm{sinc}|$.
- Interférométrie : la résolution vient de l'étendue de la base, la sensibilité de la surface collectrice.
- Analogie électrostatique-gravitation et théorème de Gauss en symétrie sphérique ; passage à la forme locale par Green-Ostrogradski « pour tout volume ».
- Courbe de rotation : $v^2/r=GM_{\rm int}/r^2$ ; plateau $\Leftrightarrow$ $M_{\rm int}\propto r$ $\Leftrightarrow$ $\mu\propto1/r^2$.
- Lois de puissance : droites en log-log ; équation $\dot m=\alpha m^\beta$ à variables séparables, temps caractéristique et régimes limites.
**Prérequis à revoir.** Optique géométrique de première année (faisceaux parallèles, plan focal) ; formule de Fresnel et notion de cohérence ; divergence en coordonnées sphériques ; conversions astronomiques (parsec, année, masse solaire).
**Questions classiques transposables.** Mesure d'un diamètre angulaire par l'annulation du contraste (interféromètre stellaire de Michelson, fentes d'Young éclairées par une fente source large) ; réseau et finesse des pics à $N$ ondes ; champ d'une boule homogène ; courbe de rotation et matière noire ; lecture d'une loi de puissance sur un graphe log-log.
Aide sur le corrigé
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