Maths 1
Mines-PontsMPI2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts MPI — Maths 1 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet démontre l'**équation d'Euler-Lagrange**, condition nécessaire satisfaite par une fonction $y$ qui rend extrémale une intégrale $T(y)=\int f(x,y,y')\,dx$, puis l'applique à trois problèmes célèbres du calcul des variations : le plus court chemin, la brachistochrone, la caténoïde.
**Découpage (18 questions, 3 heures, sans calculatrice).**
- **Partie I (Q1–Q4)** : construction de la fonction plateau $\mathcal C^\infty$ issue de $e^{-1/x}$, puis **lemme fondamental** : une fonction continue orthogonale à toutes les fonctions test nulles aux bornes est nulle. Autonome et classique.
- **Partie II (Q5–Q10)** : cœur théorique. On perturbe l'extrémale $z_0$ en $z_0+\varepsilon\eta$ (Q6, argument de compacité), on dérive sous le signe intégrale (Q7), on écrit la condition d'extremum et on intègre par parties (Q8), on conclut avec la partie I (Q9), puis on obtient l'**identité de Beltrami** quand $f$ ne dépend pas de $x$ (Q10).
- **Partie III (Q11)** : la ligne droite, première application de Beltrami.
- **Partie IV (Q12–Q15)** : la brachistochrone ; Beltrami, étude de $\operatorname{cotan}$ et $\operatorname{arccotan}$, paramétrage de la cycloïde.
- **Partie V (Q16–Q18)** : la caténoïde ; Beltrami, étude de $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{argch}$, intégration d'une équation différentielle.
**Notions mobilisées.** Dérivées successives, croissances comparées, fonctions continues positives d'intégrale nulle, Bolzano-Weierstrass, image continue d'un compact, dérivation des intégrales à paramètre, règle de la chaîne, condition nécessaire d'extremum en un point intérieur, intégration par parties, théorème de la bijection et dérivée d'une réciproque, fonctions hyperboliques, équations différentielles linéaires d'ordre 2.
**Difficulté et gestion du temps.** Sujet de longueur raisonnable pour 3 heures. Les questions 13 et 17 sont des questions de cours indépendantes du reste, à ne pas laisser passer ; les questions 11, 12 et 16 n'ont besoin que de l'identité de Beltrami, **écrite dans l'énoncé** : on peut l'admettre et les traiter même si la partie II résiste. Les questions les plus discriminantes sont 6 (compacité), 7 (domination), 15 (calcul non guidé) et 18.
**Deux points d'énoncé à signaler.** En partie II, $f$ n'est supposée de classe $\mathcal C^2$ que sur l'ouvert $]x_A,x_B[\times U\times V$, alors que les questions 7 à 9 utilisent ses dérivées jusqu'aux bornes ; et en question 18, l'hypothèse $y_0'>0$ sur $[0,1]$ contredit $y_0(0)=y_0(1)$. Le bon réflexe : signaler, expliquer l'initiative prise, continuer.
## Partie I — Lemme fondamental du calcul variationnel
On construit une « bosse » $\mathcal C^\infty$ strictement positive exactement sur un intervalle $]c,d[$ choisi, puis on s'en sert comme fonction test pour détecter un point où $f$ ne s'annule pas.
### Question 1
> [!INDICATION]
> La régularité sur $\mathbb R_+^\star$ est une simple composition. Pour la forme des dérivées, raisonner par récurrence sur $n$.
> [!INDICATION]
> Dériver $x\mapsto P_n(1/x)\,e^{-1/x}$ comme un produit, sans oublier le facteur venant de la dérivée de $1/x$ ; factoriser par $\frac1{x^2}e^{-1/x}$ pour lire $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et $P_n'$.
#### Solution
$x\mapsto-1/x$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R_+^\star$ et $\exp$ sur $\mathbb R$ : par composition, $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R_+^\star$.
Récurrence : $P_0=1$ convient. Si $\varphi^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x}$ sur $\mathbb R_+^\star$, alors, pour $x>0$,
$$\varphi^{(n+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}P_n'\!\left(\frac1x\right)+\frac1{x^2}P_n\!\left(\frac1x\right)\right)e^{-1/x}=P_{n+1}\!\left(\frac1x\right)e^{-1/x}$$
avec
$$\boxed{P_{n+1}=X^2\,(P_n-P_n')}\in\mathbb R[X].$$
Par exemple $P_1=X^2$, $P_2=X^4-2X^3$, $P_3=X^6-6X^5+6X^4$.
> [!PIEGE]
> Écrire $\big(P_n(1/x)\big)'=P_n'(1/x)$ en oubliant le facteur $-1/x^2$. La propriété est existentielle : c'est la relation de récurrence explicite qui prouve l'existence de $P_{n+1}$.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Tout se joue en $0$. Préparer un lemme : pour tout polynôme $Q$, que devient $Q(1/x)e^{-1/x}$ quand $x\to0^+$ ?
> [!INDICATION]
> Faire une récurrence qui porte à la fois sur la classe $\mathcal C^n$, sur la valeur $\varphi^{(n)}(0)$ et sur l'expression de $\varphi^{(n)}$ de part et d'autre de $0$. La dérivabilité en $0$ se lit sur le taux d'accroissement.
#### Solution
*Lemme.* Pour $Q\in\mathbb R[X]$, en posant $u=1/x\to+\infty$, $Q(1/x)e^{-1/x}=Q(u)e^{-u}\to0$ par croissances comparées.
Montrons par récurrence $\mathcal Q(n)$ : $\varphi$ est de classe $\mathcal C^n$ sur $\mathbb R$, $\varphi^{(n)}=0$ sur $\mathbb R_-$ et $\varphi^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x}$ pour $x>0$.
- $\mathcal Q(0)$ : $\varphi$ est continue sur $\mathbb R^\star$, et en $0$ elle tend vers $0=\varphi(0)$ des deux côtés (lemme avec $Q=1$ à droite).
- Hérédité : $\varphi^{(n)}$ est dérivable sur $\mathbb R^\star$ (nulle à gauche, question 1 à droite). En $0$, comme $\varphi^{(n)}(0)=0$, le taux d'accroissement vaut $0$ à gauche et $\frac1xP_n(1/x)e^{-1/x}\to0$ à droite (lemme avec $XP_n$). Donc $\varphi^{(n+1)}(0)=0$. Enfin $\varphi^{(n+1)}$ tend vers $0$ en $0$ des deux côtés (lemme avec $P_{n+1}$) : elle est continue, d'où $\mathcal Q(n+1)$.
**$\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$**, toutes ses dérivées étant nulles en $0$.
> [!METHODE]
> Pour un raccord en un point, le plus sûr est le taux d'accroissement à chaque ordre. Le théorème de la limite de la dérivée marche aussi, à condition de citer ses hypothèses (continuité de $\varphi^{(n)}$ en $0$, existence de la limite de $\varphi^{(n+1)}$).
> [!PIEGE]
> Oublier que le calcul du taux d'accroissement utilise $\varphi^{(n)}(0)=0$, qui doit donc figurer dans l'hypothèse de récurrence.
### Question 3
> [!INDICATION]
> $\varphi(t)$ est non nulle exactement quand $t>0$. Chercher deux facteurs, l'un non nul exactement à droite de $c$, l'autre exactement à gauche de $d$.
#### Solution
$$\boxed{\psi_{c,d}(x)=\varphi(x-c)\,\varphi(d-x).}$$
- Composée de $\varphi$ avec des fonctions affines, puis produit : $\psi_{c,d}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$.
- Pour $x\in\,]c,d[$ : $x-c>0$ et $d-x>0$, donc $\psi_{c,d}(x)=e^{-1/(x-c)}e^{-1/(d-x)}>0$.
- Pour $x\le c$, $\varphi(x-c)=0$ ; pour $x\ge d$, $\varphi(d-x)=0$ : $\psi_{c,d}=0$ hors de $]c,d[$, bornes comprises.
> [!PIEGE]
> Traiter $x\le c$ et $x\ge d$ avec des inégalités larges : la nullité en $c$ et en $d$ est exactement ce qui servira à obtenir $h(a)=h(b)=0$.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Raisonner par l'absurde : si $f(x_0)\neq0$, que dit la continuité au voisinage de $x_0$ ?
> [!INDICATION]
> Placer une fonction plateau de la question 3 sur un intervalle où $f$ garde un signe strict, et vérifier qu'elle est une fonction test admissible. Attention au cas où $x_0$ est une borne.
#### Solution
Supposons $f(x_0)\neq0$ pour un $x_0\in[a,b]$, et $f(x_0)>0$ quitte à changer $f$ en $-f$. Par continuité, il existe $\delta>0$ tel que $f>0$ sur $[a,b]\cap[x_0-\delta,x_0+\delta]$. Avec $c=\max(a,x_0-\delta)$ et $d=\min(b,x_0+\delta)$, on a $a\le c<d\le b$ (si $x_0<b$, $d>x_0\ge c$ ; si $x_0=b$, $c<b=d$) et $f>0$ sur $[c,d]$.
$h=\psi_{c,d}|_{[a,b]}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ et $h(a)=h(b)=0$ car $a,b\notin\,]c,d[$. Donc $\int_a^bfh=0$. Mais $fh$ est continue et positive sur $[a,b]$ ; d'intégrale nulle, elle est nulle, ce qui contredit $(fh)\big(\frac{c+d}2\big)>0$. **Donc $f=0$ sur $[a,b]$.**
Si $x_0\in\,]a,b[$, on peut prendre $\delta$ assez petit pour que $[c,d]\subset\,]a,b[$ : la preuve n'utilise alors que des fonctions test nulles au voisinage de $a$ et de $b$. Cette remarque resservira aux questions 9 et 12.
> [!METHODE]
> « Une fonction continue, positive, d'intégrale nulle sur un segment est nulle » : c'est le théorème à citer explicitement pour conclure, plutôt qu'un « donc l'intégrale est strictement positive » sans justification.
## Partie II — Équation d'Euler-Lagrange
On ramène l'extremum de $T$ (fonction de fonction) à l'extremum d'une fonction réelle $\varphi(\varepsilon)=T(z_0+\varepsilon\eta)$, on écrit $\varphi'(0)=0$, et la partie I transforme cette famille d'égalités intégrales en une équation différentielle.
*Hypothèse de lecture à écrire sur la copie.* L'énoncé ne suppose $f$ de classe $\mathcal C^2$ que sur l'ouvert $]x_A,x_B[\times U\times V$. On suppose (H) : les dérivées partielles de $f$ d'ordre $\le2$ se prolongent continûment à $[x_A,x_B]\times U\times V$. C'est vrai dans les trois applications.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Une fonction continue sur un segment est intégrable. Que faut-il vérifier pour pouvoir composer avec $f$ ?
#### Solution
Pour $y\in\mathcal C$, $y$ et $y'$ sont continues (car $y$ est $\mathcal C^2$), donc $x\mapsto(x,y(x),y'(x))$ est continue, à valeurs dans $[x_A,x_B]\times U\times V$ par définition de $\mathcal C$. Par composition avec $f$ continue, $x\mapsto f(x,y(x),y'(x))$ est continue sur le segment $[x_A,x_B]$, donc intégrable : **$T(y)$ existe**.
> [!PIEGE]
> Oublier de dire que le triplet $(x,y(x),y'(x))$ reste dans le domaine de $f$ : c'est le seul contenu non trivial de la question, et la raison d'être des conditions $y(x)\in U$, $y'(x)\in V$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Les conditions aux bornes et la régularité de $y_\varepsilon$ sont immédiates. La difficulté est d'obtenir un même $\alpha$ pour tous les $x$ du segment.
> [!INDICATION]
> Si aucun $\alpha=1/n$ ne convient, on obtient des suites $(\varepsilon_n)$ et $(x_n)$. Extraire d'abord pour savoir laquelle des deux conditions échoue, puis appliquer Bolzano-Weierstrass à $(x_n)$ et utiliser l'ouverture de $U$ (ou de $V$) au point limite.
#### Solution
$y_\varepsilon=z_0+\varepsilon\eta$ est de classe $\mathcal C^2$ et prend les valeurs $y_0$, $y_1$ en $x_A$, $x_B$ car $\eta(x_A)=\eta(x_B)=0$.
Par l'absurde, pour tout $n\ge1$ il existe $\varepsilon_n\in\,]-\frac1n,\frac1n[$ et $x_n\in[x_A,x_B]$ avec $z_0(x_n)+\varepsilon_n\eta(x_n)\notin U$ ou $z_0'(x_n)+\varepsilon_n\eta'(x_n)\notin V$. L'une des deux éventualités se produit une infinité de fois ; disons la première (l'autre est identique avec $V$, $z_0'$, $\eta'$), et extrayons pour qu'elle ait lieu pour tout $n$. Par Bolzano-Weierstrass, $x_{\sigma(n)}\to\ell\in[x_A,x_B]$. Avec $M=\|\eta\|_\infty$,
$$\big|z_0(x_{\sigma(n)})+\varepsilon_{\sigma(n)}\eta(x_{\sigma(n)})-z_0(\ell)\big|\le|z_0(x_{\sigma(n)})-z_0(\ell)|+\frac M{\sigma(n)}\to0 .$$
Comme $z_0(\ell)\in U$ ouvert, ces points sont dans $U$ pour $n$ grand : contradiction. **Il existe $\alpha>0$ tel que $y_\varepsilon\in\mathcal C$ pour $|\varepsilon|<\alpha$.**
> [!PIEGE]
> « $U$ est ouvert donc pour $\varepsilon$ petit on reste dans $U$ » ne suffit pas : le « petit » dépend a priori de $x$. C'est la compacité du segment qui rend le choix uniforme.
> [!METHODE]
> Uniformiser une propriété locale sur un segment : raisonner par l'absurde avec des suites, extraire par Bolzano-Weierstrass, contredire au point limite. Le même schéma prouve le théorème de Heine.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Reconnaître le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre et vérifier ses hypothèses une par une.
> [!INDICATION]
> Pour la domination, se placer sur $[-\beta,\beta]$ avec $\beta<\alpha$ : l'application $(\varepsilon,x)\mapsto(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x))$ est continue sur un compact. Que dire de son image et des dérivées partielles de $f$ sur cette image ?
#### Solution
Posons $g(\varepsilon,x)=f\big(x,z_0(x)+\varepsilon\eta(x),z_0'(x)+\varepsilon\eta'(x)\big)$ et fixons $0<\beta<\alpha$.
- Pour $x$ fixé, $\varepsilon\mapsto g(\varepsilon,x)$ est de classe $\mathcal C^1$ (composée d'une application affine et de $f$, de classe $\mathcal C^1$ d'après (H)) et
$$\frac{\partial g}{\partial\varepsilon}(\varepsilon,x)=\eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x)\big)+\eta'(x)\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x)\big).$$
- Pour $\varepsilon$ fixé, $g(\varepsilon,\cdot)$ et $\frac{\partial g}{\partial\varepsilon}(\varepsilon,\cdot)$ sont continues sur le segment $[x_A,x_B]$.
- $\Phi:(\varepsilon,x)\mapsto(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x))$ est continue sur le compact $[-\beta,\beta]\times[x_A,x_B]$ ; son image $K$ est un compact de $[x_A,x_B]\times U\times V$, sur lequel $\partial f/\partial y$ et $\partial f/\partial z$, continues, sont bornées par un $M$. Donc $\big|\frac{\partial g}{\partial\varepsilon}\big|\le M(\|\eta\|_\infty+\|\eta'\|_\infty)$, constante intégrable sur $[x_A,x_B]$.
Le théorème s'applique : $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]-\beta,\beta[$ pour tout $\beta<\alpha$, donc sur $]-\alpha,\alpha[$, et
$$\boxed{\varphi'(\varepsilon)=\int_{x_A}^{x_B}\left(\eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x)\big)+\eta'(x)\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y_\varepsilon(x),y'_\varepsilon(x)\big)\right)dx.}$$
> [!PIEGE]
> Faire apparaître $\partial f/\partial x$ : la variable $x$ est la variable d'intégration, pas le paramètre. Autre écueil : affirmer la domination sans produire la fonction dominante.
> [!JURY]
> Pour un théorème à hypothèses (dérivation sous l'intégrale), une bonne copie nomme le théorème puis vérifie chacune de ses hypothèses dans l'ordre ; une dérivation sous le signe intégrale sans justification est insuffisante.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Commencer par montrer que $\varphi$ a un extremum local en $0$ : relier $\|y_\varepsilon-z_0\|_\infty$ à $|\varepsilon|$.
> [!INDICATION]
> Une fois $\varphi'(0)=0$ écrit, faire disparaître $\eta'$ par une intégration par parties ; justifier que la fonction intégrée par parties est de classe $\mathcal C^1$.
#### Solution
Si $T$ a un minimum local en $z_0$ (maximum : idem), soit $r>0$ tel que $T(y)\ge T(z_0)$ dès que $y\in\mathcal C$ et $\|y-z_0\|_\infty\le r$. Pour $|\varepsilon|\le\alpha_0=\min\big(\frac\alpha2,\frac r{1+\|\eta\|_\infty}\big)$, $y_\varepsilon\in\mathcal C$ et $\|y_\varepsilon-z_0\|_\infty=|\varepsilon|\,\|\eta\|_\infty\le r$, donc $\varphi(\varepsilon)\ge\varphi(0)$. $\varphi$ a un extremum local en $0$, point intérieur où elle est dérivable : $\varphi'(0)=0$, soit
$$\int_{x_A}^{x_B}\left(\eta\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0,z_0')+\eta'\,\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0,z_0')\right)dx=0.$$
$G(x)=\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0(x),z_0'(x))$ est de classe $\mathcal C^1$ ($z_0$ est $\mathcal C^2$ et $\partial f/\partial z$ est $\mathcal C^1$ par (H)). Par parties, avec $\eta(x_A)=\eta(x_B)=0$ : $\int\eta'G=-\int\eta G'$. D'où
$$\boxed{\int_{x_A}^{x_B}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)\right)\right)\eta(x)\,dx=0.}$$
> [!METHODE]
> Pour exploiter un extremum d'une fonctionnelle, on la restreint à une droite $\varepsilon\mapsto z_0+\varepsilon\eta$ et on applique la condition d'ordre 1 à une fonction d'une variable réelle.
> [!PIEGE]
> C'est ici, et seulement ici, que servent $f$ de classe $\mathcal C^2$ et $z_0$ de classe $\mathcal C^2$ : sans elles, $G$ n'est pas $\mathcal C^1$ et l'intégration par parties n'est pas justifiée.
### Question 9
> [!INDICATION]
> La partie I a été écrite pour cette question. Quelle fonction joue le rôle de $f$ dans la question 4 ?
> [!INDICATION]
> Deux vérifications : la continuité de cette fonction sur $[x_A,x_B]$, et le fait qu'une fonction $\mathcal C^\infty$ nulle aux bornes est un $\eta$ admissible.
#### Solution
$F(x)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0(x),z_0'(x))-G'(x)$ est continue sur $[x_A,x_B]$ (composée de fonctions continues, et $G'$ continue). Toute $h\in\mathcal C^\infty([x_A,x_B])$ nulle aux bornes est de classe $\mathcal C^2$ : c'est un $\eta$ admissible, et la question 8 donne $\int_{x_A}^{x_B}Fh=0$. La question 4 donne $F=0$ :
$$\boxed{\forall x\in[x_A,x_B],\quad \frac{\partial f}{\partial y}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)\right)=0.}$$
Sans (H), on se limite à $\eta=\psi_{c,d}$ avec $[c,d]\subset\,]x_A,x_B[$ : les calculs ne font intervenir que des points intérieurs, et la remarque finale de la question 4 donne l'équation sur $]x_A,x_B[$.
> [!PIEGE]
> L'inclusion utile est $\mathcal C^\infty\subset\mathcal C^2$ : la partie II fournit l'égalité pour tous les $\eta$ de classe $\mathcal C^2$, donc en particulier pour les fonctions test de la partie I. Il faut l'écrire.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Dériver $x\mapsto f(x,z_0,z_0')-z_0'\,\frac{\partial f}{\partial z}(x,z_0,z_0')$ par la règle de la chaîne. Que deviennent les termes en $z_0''$ ?
> [!INDICATION]
> Le facteur qui reste après simplification devrait vous rappeler la question 9.
#### Solution
Sur $]x_A,x_B[$, posons $B=f(x,z_0,z_0')-z_0'G$, de classe $\mathcal C^1$. Par la règle de la chaîne,
$$B'=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}}_{=0}+z_0'\frac{\partial f}{\partial y}+z_0''\frac{\partial f}{\partial z}-z_0''G-z_0'G'=z_0'\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,z_0,z_0')-G'\right)=0$$
par la question 9. Dérivée nulle sur un intervalle :
$$\boxed{\exists C\in\mathbb R,\ \forall x\in\,]x_A,x_B[,\quad f\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)-z_0'(x)\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,z_0(x),z_0'(x)\big)=C.}$$
Si $f$ et $\partial f/\partial z$ sont continues jusqu'au bord, l'égalité s'étend à $[x_A,x_B]$ par continuité.
> [!PIEGE]
> Confondre $\frac{d}{dx}$ (dérivée le long de la courbe) et $\frac{\partial}{\partial x}$ (dérivée partielle en la première variable), ou oublier le terme $z_0''\,\partial f/\partial z$ sans lequel rien ne se simplifie.
> [!METHODE]
> Quand le lagrangien ne dépend pas de $x$, Beltrami fournit une **intégrale première** : on passe d'une équation d'ordre 2 à une équation d'ordre 1. C'est l'analogue de la conservation de l'énergie.
## Partie III — Le chemin le plus court est la ligne droite !
Première application de Beltrami, avec un lagrangien qui ne dépend que de $z$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Identifier $f$, $U$ et $V$, et vérifier les hypothèses de la question 10. Calculer $f-z\,\partial f/\partial z$ : l'expression se simplifie beaucoup.
> [!INDICATION]
> On obtient que $y_0'^2$ est constant. Pour passer à $y_0'$ constant, penser au théorème des valeurs intermédiaires.
#### Solution
$U=V=\mathbb R$, $f(x,y,z)=\sqrt{1+z^2}$, de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^3$ et indépendante de $x$ ; un extremum est en particulier un extremum local. Comme
$$f-z\frac{\partial f}{\partial z}=\sqrt{1+z^2}-\frac{z^2}{\sqrt{1+z^2}}=\frac1{\sqrt{1+z^2}},$$
Beltrami donne $\frac1{\sqrt{1+y_0'^2}}=C$ sur $]x_A,x_B[$, donc $C\in\,]0,1]$ et $y_0'^2=\frac1{C^2}-1=k^2$ avec $k\ge0$. $y_0'$ est continue à valeurs dans $\{-k,k\}$ : son image est un intervalle inclus dans cette paire, donc un singleton. $y_0'$ est constante sur $]x_A,x_B[$, donc sur $[x_A,x_B]$ par continuité : **$y_0$ est affine**,
$$\boxed{y_0(x)=y_A+\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A).}$$
> [!PIEGE]
> « $y_0'^2$ constant donc $y_0'$ constant » est faux sans continuité : une fonction valant $-1$ puis $1$ a un carré constant. L'argument de valeurs intermédiaires est indispensable.
> [!METHODE]
> Pour tout lagrangien de la forme $g(y)\sqrt{1+z^2}$, la quantité de Beltrami vaut $\frac{g(y)}{\sqrt{1+z^2}}$. Les questions 11, 12 et 16 en sont trois cas ($g=1$, $g=1/\sqrt y$, $g=2\pi y$).
## Partie IV — Le chemin le plus rapide est la cycloïde
Beltrami donne une relation du premier ordre, qu'un changement de variable angulaire transforme en paramétrage de cycloïde.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Le lagrangien est $\sqrt{(1+z^2)/y}$ ; il impose $y>0$. Vérifier que le cadre de la partie II s'applique : la contrainte $y'<0$ sur $]x_A,x_B]$ est-elle de la forme « $y'\in V$ » ?
> [!INDICATION]
> Pour contourner cette difficulté, n'utiliser que des perturbations $\eta=\psi_{c,d}$ avec $[c,d]\subset\,]x_A,x_B[$, et vérifier que $y_0+\varepsilon\eta$ reste admissible pour $\varepsilon$ petit. Le calcul de la quantité de Beltrami est ensuite celui de la question 11 à un facteur près.
#### Solution
$f(x,y,z)=\sqrt{(1+z^2)/y}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R\times U\times V$ avec $U=\mathbb R_+^\star$, $V=\mathbb R$, et ne dépend pas de $x$.
*Perturbations admissibles.* Soit $[c,d]\subset\,]x_A,x_B[$ et $\eta=\psi_{c,d}$. Par continuité sur des segments, $y_0\ge m_0>0$ sur $[x_A,x_B]$ et $y_0'\le-m_1<0$ sur $[c,d]$. Pour $|\varepsilon|<\min\big(\frac{m_0}{1+\|\eta\|_\infty},\frac{m_1}{1+\|\eta'\|_\infty}\big)$, $y_0+\varepsilon\eta$ est $\mathcal C^2$, a les bonnes valeurs aux bornes, est $>0$, et sa dérivée est $<0$ sur $[c,d]$ et égale à $y_0'<0$ ailleurs sur $]x_A,x_B]$ : elle est admissible, et $T(y_0+\varepsilon\eta)\ge T(y_0)$. Les questions 7 et 8 s'appliquent mot pour mot, et la remarque finale de la question 4 donne l'équation d'Euler-Lagrange sur $]x_A,x_B[$, donc l'identité de Beltrami sur $]x_A,x_B[$ (calcul de la question 10).
*Calcul.* $\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt y\sqrt{1+z^2}}$ et
$$f-z\frac{\partial f}{\partial z}=\frac1{\sqrt y\,\sqrt{1+z^2}} .$$
Il existe $C_1$ avec $\frac1{\sqrt{y_0}\sqrt{1+y_0'^2}}=C_1$ sur $]x_A,x_B[$ ; $C_1>0$ et $y_0(1+y_0'^2)=1/C_1^2$, égalité prolongée aux bornes par continuité :
$$\boxed{\exists C>0,\ \forall x\in[x_A,x_B],\quad y_0(x)\big(1+y_0'(x)^2\big)=C.}$$
> [!PIEGE]
> Appliquer la partie II avec $V=\mathbb R_-^\star$ suppose $y_0'(x_A)<0$, ce que l'énoncé ne garantit pas : il n'impose $y'<0$ que sur $]x_A,x_B]$. Les perturbations à support intérieur règlent la question dans tous les cas ; à défaut, il faut au moins signaler l'hypothèse faite.
> [!METHODE]
> Les perturbations à support compact dans l'ouvert suffisent pour obtenir l'équation d'Euler-Lagrange : elles permettent de respecter des contraintes supplémentaires (signe, monotonie) que l'extrémale vérifie strictement à l'intérieur.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Où $\sin$ s'annule-t-il ? Pour la bijection : continuité, stricte monotonie (signe de la dérivée), limites aux bornes de $]0,\pi[$.
> [!INDICATION]
> Pour la dérivée de la réciproque, exprimer $\operatorname{cotan}'$ en fonction de $\operatorname{cotan}$ elle-même, puis vérifier où elle s'annule.
#### Solution
**Domaine : $\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z$.** Sur $]0,\pi[$, $\operatorname{cotan}'(x)=-\frac1{\sin^2x}=-(1+\operatorname{cotan}^2x)<0$ : $\operatorname{cotan}$ est continue strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $0^+$ et $-\infty$ en $\pi^-$. Par le théorème de la bijection, **elle réalise une bijection de $]0,\pi[$ sur $\mathbb R$**. Comme $\operatorname{cotan}'$ ne s'annule jamais, $\operatorname{arccotan}$ est dérivable sur tout $\mathbb R$ et, avec $u=\operatorname{arccotan}t$,
$$\boxed{\operatorname{arccotan}'(t)=\frac1{\operatorname{cotan}'(u)}=-\frac1{1+t^2}\qquad(t\in\mathbb R).}$$
Au passage : $\sin^2(\operatorname{arccotan}t)=\frac1{1+t^2}$.
> [!PIEGE]
> Un résultat positif serait incohérent avec la décroissance de $\operatorname{arccotan}$. Et le « lorsque cela est possible » appelle une phrase : ici c'est possible partout, parce que $\operatorname{cotan}'$ ne s'annule pas.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Exprimer $y_0$ à l'aide de $y_0'$ grâce à la question 12 avec $C=2$, puis utiliser la relation entre $\sin^2$ et $\operatorname{cotan}$ notée à la question 13.
> [!INDICATION]
> Terminer par une formule de duplication.
#### Solution
$y_0=\frac2{1+y_0'^2}$. Avec $u(x)=\operatorname{arccotan}(y_0'(x))=\theta(x)/2$, $\sin^2u=\frac1{1+y_0'^2}$, donc
$$y_0(x)=2\sin^2\frac{\theta(x)}2=1-\cos\theta(x),\qquad\boxed{\forall x\in[x_A,x_B],\ y_0(x)=1-\cos\theta(x).}$$
Pour $x\in\,]x_A,x_B]$, $y_0'(x)<0$ donne $u(x)\in\,]\frac\pi2,\pi[$, donc $\theta(x)\in\,]\pi,2\pi[$.
### Question 15
> [!INDICATION]
> On cherche à montrer que $\theta-\sin\theta-x$ est constant : calculer sa dérivée et, grâce à la question 14, se ramener à prouver $\theta'\,y_0=1$.
> [!INDICATION]
> $\theta'$ fait intervenir $y_0''$. La seule relation disponible entre $y_0$, $y_0'$ et $y_0''$ s'obtient en dérivant l'identité de la question 12. Attention à la division par $y_0'$.
#### Solution
$\theta=2\operatorname{arccotan}(y_0')$ est de classe $\mathcal C^1$ et $\theta'=-\frac{2y_0''}{1+y_0'^2}$. En dérivant $y_0(1+y_0'^2)=2$ :
$$y_0'\big(1+y_0'^2+2y_0y_0''\big)=0 .$$
Sur $]x_A,x_B]$, $y_0'\neq0$ : $-2y_0''=\frac{1+y_0'^2}{y_0}$, donc $\theta'=\frac1{y_0}$. Avec $\Lambda=\theta-\sin\theta-x$ et la question 14,
$$\Lambda'=\theta'(1-\cos\theta)-1=\theta'y_0-1=0\quad\text{sur }]x_A,x_B],$$
donc $\Lambda$ est constante sur $]x_A,x_B]$, puis sur $[x_A,x_B]$ par continuité. En notant $-c$ la constante :
$$\boxed{\exists c\in\mathbb R,\ \forall x\in[x_A,x_B],\quad x=\theta(x)-\sin\theta(x)+c.}$$
La trajectoire est donc la portion $\theta\in[\pi,2\pi[$ (au plus) de la cycloïde $\theta\mapsto(\theta-\sin\theta+c,\,1-\cos\theta)$, engendrée par un point d'une roue de rayon $1$ ; la normalisation $C=2$ fixe ce rayon.
> [!METHODE]
> Pour exploiter une relation du type « $\Phi(y,y')=$ constante », la dériver : on obtient une information sur $y''$ là où $y'\neq0$, puis on prolonge par continuité.
> [!PIEGE]
> Simplifier par $y_0'$ sans justification. L'hypothèse $y'<0$ sur $]x_A,x_B]$ sert exactement ici, et c'est pourquoi on conclut d'abord sur $]x_A,x_B]$.
*Remarque sur la physique.* Avec $v=\sqrt{2gh}$, $h$ dénivellation depuis le départ, le lagrangien $\sqrt{(1+y'^2)/y}$ suppose $y$ mesuré vers le bas depuis le niveau de $A$, donc $y(x_A)=0$ et $y$ croissant : les conventions de l'énoncé ($y_A>0$, $y'<0$) ne correspondent pas à ce modèle. Cela n'affecte pas les calculs demandés.
## Partie V — Une application à une structure optimale : la caténoïde
Dernière application de Beltrami ; on intègre l'équation obtenue à l'aide de $\operatorname{argch}$, puis on confronte le résultat aux conditions aux bornes.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Même démarche qu'aux questions 11 et 12 avec $f=2\pi y\sqrt{1+z^2}$ et $U=V=\mathbb R$.
> [!INDICATION]
> Pour montrer que la constante est non nulle, évaluer l'identité obtenue en un point où l'on connaît $y_0$.
#### Solution
$f=2\pi y\sqrt{1+z^2}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^3$, indépendante de $x$, et le cadre est celui de la partie II avec $x_A=0$, $x_B=1$, $U=V=\mathbb R$. On a $f-z\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2\pi y}{\sqrt{1+z^2}}$, d'où $\frac{y_0}{\sqrt{1+y_0'^2}}=k$ sur $]0,1[$, puis sur $[0,1]$ par continuité. En $x=0$ : $k=\frac1{\sqrt{1+y_0'(0)^2}}>0$. Avec $c=1/k$ :
$$\boxed{\exists c\neq0,\ \forall x\in[0,1],\quad 1+y_0'(x)^2=c^2y_0(x)^2.}$$
De plus $y_0=k\sqrt{1+y_0'^2}>0$ sur $[0,1]$.
> [!PIEGE]
> Ne pas justifier $c\neq0$ alors que l'énoncé le demande explicitement ; c'est la condition $y_0(0)=1$ qui l'assure.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Même plan qu'à la question 13 : monotonie stricte par le signe de $\operatorname{sh}$, valeur en $0$, limite en $+\infty$.
> [!INDICATION]
> Pour la dérivée de la réciproque, exprimer $\operatorname{sh}$ en fonction de $\operatorname{ch}$ sur $\mathbb R_+$, et repérer le point où $\operatorname{ch}'$ s'annule.
#### Solution
$\operatorname{ch}'=\operatorname{sh}>0$ sur $\mathbb R_+^\star$ : $\operatorname{ch}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb R_+$, avec $\operatorname{ch}0=1$ et $\operatorname{ch}x\to+\infty$. **Bijection de $\mathbb R_+$ sur $[1,+\infty[$.** Pour $t>1$, $u=\operatorname{argch}t>0$, $\operatorname{sh}u=\sqrt{t^2-1}>0$ :
$$\boxed{\operatorname{argch}'(t)=\frac1{\sqrt{t^2-1}}\qquad(t>1).}$$
En $t=1$, $\operatorname{ch}'(0)=0$ : $\operatorname{argch}$ n'est pas dérivable en $1$, car avec $u=\operatorname{argch}t\to0^+$, $\frac{\operatorname{argch}t-0}{t-1}=\frac{u}{\operatorname{ch}u-1}\sim\frac2u\to+\infty$ (demi-tangente verticale).
> [!PIEGE]
> Écrire la formule sur $[1,+\infty[$ : elle n'a pas de sens en $1$. Le « lorsque cela est possible » attend l'exclusion de $t=1$, avec sa raison.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Normaliser le signe de $c$, puis utiliser $y_0'>0$ pour extraire la racine : $y_0'$ s'exprime en fonction de $y_0$.
> [!INDICATION]
> La question 17 suggère d'étudier $x\mapsto\operatorname{argch}(c\,y_0(x))$ : vérifier qu'elle est dérivable et calculer sa dérivée.
> [!INDICATION]
> Confronter ensuite l'hypothèse $y_0'>0$ aux conditions $y_0(0)=y_0(1)$. Pour obtenir la vraie solution, revenir à l'équation d'Euler-Lagrange de la question 9 plutôt qu'à celle du premier ordre.
#### Solution
*Réponse à la question posée.* Quitte à changer $c$ en $-c$, $c>0$. Comme $y_0>0$ et $c^2y_0^2>1$, $cy_0>1$ ; comme $y_0'>0$, $y_0'=\sqrt{c^2y_0^2-1}$. $\Psi=\operatorname{argch}(cy_0)$ est dérivable ($cy_0$ est $\mathcal C^1$ à valeurs dans $]1,+\infty[$) et
$$\Psi'=\frac{cy_0'}{\sqrt{c^2y_0^2-1}}=c,$$
donc $\Psi(x)=cx+K$ et
$$\boxed{y_0(x)=\frac1c\operatorname{ch}(cx+K)\qquad(x\in[0,1]),}$$
avec $K=\operatorname{argch}(c)$ constante d'intégration. On vérifie que $1+\operatorname{sh}^2(cx+K)=\operatorname{ch}^2(cx+K)=c^2y_0^2$.
*Erreur d'énoncé.* « $y_0'>0$ sur $[0,1]$ » rend $y_0$ strictement croissante, ce qui contredit $y_0(0)=y_0(1)=1$ : aucune fonction ne vérifie toutes les hypothèses. On le signale et l'on détermine le profil sans hypothèse de signe.
*Solution correcte.* Le cadre de la partie V est celui de la partie II : l'équation d'Euler-Lagrange s'applique. Avec $p=y_0'$,
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{y_0p}{\sqrt{1+p^2}}\right)=\frac{p^2(1+p^2)+y_0y_0''}{(1+p^2)^{3/2}},$$
et l'équation $\sqrt{1+p^2}=\frac{d}{dx}\Big(\frac{y_0p}{\sqrt{1+p^2}}\Big)$ se réduit à $y_0y_0''=1+y_0'^2$. Avec la question 16 et $y_0>0$ :
$$y_0''=c^2y_0 .$$
Donc $y_0=A\operatorname{ch}(cx)+B\operatorname{sh}(cx)$ ; $y_0(0)=1$ donne $A=1$, $y_0(1)=1$ donne $B=-\operatorname{th}\frac c2$, soit $y_0(x)=\frac{\operatorname{ch}(c(x-1/2))}{\operatorname{ch}(c/2)}$. En $x=\frac12$, $1=c^2y_0(\frac12)^2$ impose $\operatorname{ch}\frac c2=c$ :
$$\boxed{y_0(x)=\frac1c\operatorname{ch}\!\left(c\left(x-\frac12\right)\right),\qquad\operatorname{ch}\frac c2=c.}$$
C'est la forme précédente avec $K=-c/2$ ; $y_0'$ s'annule en $x=\frac12$ (col du film de savon).
*Existence de $c$.* $G(u)=\operatorname{ch}u-2u$ est strictement convexe, $G(\frac12)>0$, $G(\ln2)=\frac54-2\ln2<0$ (car $\ln2>\frac58$, puisque $e^5<243<256=2^8$), $G\to+\infty$ : exactement deux racines $u_1\approx0{,}589$ et $u_2\approx2{,}127$, d'où $c\approx1{,}18$ ou $c\approx4{,}25$. Deux caténoïdes s'appuient sur les cercles ; leurs aires valent environ $5{,}99$ et $6{,}85$, et seule la première (col de rayon $\approx0{,}85$) peut réaliser le minimum.
> [!PIEGE]
> Conclure à l'unicité à partir de l'équation $1+y'^2=c^2y^2$ : elle n'a pas l'unicité là où $y'=0$ (la constante $1/c$ en est aussi solution, et l'on peut recoller). C'est l'équation d'ordre 2, linéaire, qui détermine $y_0$.
> [!METHODE]
> Face à une hypothèse d'énoncé contradictoire : répondre à la question telle qu'elle est posée, montrer précisément où est la contradiction, puis donner la réponse correcte en expliquant l'initiative prise.
> [!JURY]
> Le préambule du sujet demande explicitement de signaler sur la copie ce qui semble être une erreur d'énoncé et d'expliquer les initiatives prises ; une contradiction comme celle de la question 18 doit être relevée en une ou deux phrases précises plutôt que passée sous silence.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- La fonction $e^{-1/x}$ prolongée par $0$ est le prototype de fonction $\mathcal C^\infty$ non nulle à « dérivées toutes nulles » en un point ; le produit $\varphi(x-c)\varphi(d-x)$ fournit une bosse sur $]c,d[$.
- Lemme fondamental : une fonction continue orthogonale à toutes les bosses est nulle (positivité stricte de l'intégrale d'une fonction continue positive non nulle).
- Compacité par les suites (Bolzano-Weierstrass) pour uniformiser un choix, image continue d'un compact pour dominer.
- Restreindre une fonctionnelle à une droite $z_0+\varepsilon\eta$, écrire la dérivée nulle, intégrer par parties.
- Identité de Beltrami pour un lagrangien autonome ; pour $g(y)\sqrt{1+z^2}$, la quantité conservée est $g(y)/\sqrt{1+z^2}$.
**Prérequis à revoir.** Théorème de dérivation des intégrales à paramètre (domination sur tout segment), théorème de la bijection et dérivée d'une réciproque, formules trigonométriques de duplication, fonctions hyperboliques, résolution de $y''=c^2y$.
**Questions classiques transposables.** Q1–Q3 (fonctions plateau, aussi utiles pour les partitions de l'unité ou les fonctions non développables en série entière), Q6 (uniformité sur un compact), Q7 (dérivation sous l'intégrale), Q13 et Q17 (fonctions réciproques). La démarche des parties III à V s'applique à tout problème de géodésique ou de surface minimale de révolution.
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