Physique 2
Mines-PontsMPI2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts MPI — Physique 2 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet décortique l'expérience du « *jumping ring* » d'Elihu Thomson (1877) : un anneau conducteur enfilé sur le noyau d'une bobine alimentée en alternatif est éjecté vers le haut. Le fil conducteur est une chaîne de causes : **géométrie du champ → induction → force → mouvement → échauffement**. L'idée physique centrale est que la force axiale sur l'anneau provient de la composante **radiale** du champ, qui n'existe qu'au voisinage de l'extrémité de la bobine, et que sa valeur moyenne n'est non nulle que grâce à l'**auto-inductance** de l'anneau.
**Découpage (27 questions, 3 heures, sans calculatrice).** Les quatre parties sont déclarées indépendantes.
- **Partie I (Q1–Q6)** : solénoïde infini (symétries, théorème d'Ampère, noyau de fer), équations de Maxwell, puis composante radiale $B_r$ près de l'axe d'un solénoïde semi-infini par conservation du flux, et allure des lignes de champ loin de l'extrémité.
- **Partie II (Q7–Q13)** : loi de Lenz, mutuelle $M(z)$, équation électrique de l'anneau, régime sinusoïdal forcé, force de Laplace moyenne et rôle de $L$.
- **Partie III (Q14–Q22)** : mécanique de l'anneau soumis à $\langle F_z\rangle_t=K'/z^5$ (équilibre, travaux, énergie cinétique), frottement quadratique résolu analytiquement, frottement linéaire intégré par la méthode d'Euler en Python (vitesses, positions, flèche, portée).
- **Partie IV (Q23–Q27)** : densité de courant, effet Joule, conducto-convection, bilan d'énergie et équation du premier ordre en température.
**Notions du programme mobilisées.** Symétries et invariances des distributions de courants, théorème d'Ampère, équations de Maxwell et flux conservatif, induction de Neumann (Faraday, Lenz, inductances propre et mutuelle), notation complexe, force de Laplace et valeur moyenne d'un produit de sinusoïdes, théorème de l'énergie cinétique, frottements fluides, méthode d'Euler, loi d'Ohm locale, effet Joule, loi de Newton de la conducto-convection, premier principe.
**Difficulté et gestion du temps.** Sujet court (6 pages) et très guidé, mais exigeant sur les signes et sur les applications numériques sans calculatrice. Questions à ne pas laisser passer : Q1, Q2, Q4, Q7, Q9, Q14, Q15, Q16, Q19, Q23, Q24, Q26, Q27. Questions discriminantes : Q5 (bilan de flux bien orienté), Q6 (développement limité au bon ordre), Q10 (signes de $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$), Q12 (seule $B_r$ donne une force axiale, moyenne d'un produit), Q13 (interprétation), Q22 (définition du sol). La partie IV, autonome et classique, se traite en 25 minutes : elle peut sécuriser une bonne part des points en fin d'épreuve.
## Partie I — Champ magnétique créé par un solénoïde
On établit le champ d'un solénoïde infini, puis on « coupe » le solénoïde : l'invariance par translation disparaît et une composante radiale apparaît, que l'on obtient sans calcul intégral grâce à la conservation du flux.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Deux étapes distinctes : les invariances fixent les variables dont dépendent les composantes, les plans de symétrie ou d'antisymétrie fixent la direction.
> [!INDICATION]
> Un plan méridien contient l'axe et les courants lui sont orthogonaux ; un plan perpendiculaire à l'axe contient les courants. Rappelez-vous que $\vec B$ est un pseudo-vecteur.
#### Solution
*Invariances.* La distribution est invariante par rotation autour de $(Oz)$ et par translation le long de $(Oz)$ (solénoïde infini, bobinage uniforme) : les composantes cylindriques de $\vec B$ ne dépendent ni de $\theta$ ni de $z$.
*Antisymétrie.* Le plan $(M,\vec e_r,\vec e_z)$ est un plan d'antisymétrie (la réflexion renverse les courants orthoradiaux). $\vec B$ appartient à tout plan d'antisymétrie passant par $M$ : $B_\theta=0$.
*Symétrie.* Le plan $(M,\vec e_r,\vec e_\theta)$, perpendiculaire à l'axe, est un plan de symétrie (il contient les courants et le solénoïde est infini). $\vec B$ est orthogonal à tout plan de symétrie passant par $M$ : $B_r=0$.
$$\boxed{\vec B(M)=B(r)\,\vec e_z}$$
> [!PIEGE]
> Inverser les règles : pour $\vec B$ (pseudo-vecteur), le champ est **orthogonal** aux plans de symétrie et **contenu** dans les plans d'antisymétrie, à l'inverse de $\vec E$. Et le plan méridien seul ne suffit pas : il laisse subsister $B_r$, que seul le caractère infini élimine (c'est précisément ce qui change en Q5).
### Question 2
> [!INDICATION]
> Choisir un contour rectangulaire dans un plan méridien, avec deux côtés parallèles à l'axe, l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur.
> [!INDICATION]
> Les côtés radiaux ne contribuent pas d'après Q1 ; compter les spires enlacées sur une hauteur $h$ et orienter le contour de façon cohérente avec le sens du courant de la figure 2.
#### Solution
Contour $ABCD$ du plan $(\vec e_r,\vec e_z)$ : $AB$ intérieur (rayon $r<b$, parcouru selon $+\vec e_z$), $CD$ extérieur (rayon $r'>b$, parcouru selon $-\vec e_z$), longueur $h$, reliés par deux segments radiaux. Ce sens de parcours donne une normale $+\vec e_\theta$, sens du courant dans les spires (figure 2 : $\odot$ à gauche, $\otimes$ à droite). Les segments radiaux ne contribuent pas ($\vec B\perp\vec e_r$), le côté extérieur non plus ($\vec B=\vec 0$). Le contour enlace $nh$ spires. Théorème d'Ampère :
$$B(r)\,h=\mu_0\,nh\,I\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\vec B=\mu_0nI\,\vec e_z\quad(r<b)}$$
Le champ intérieur est uniforme : c'est un résultat (indépendance vis-à-vis de $r$), pas une hypothèse.
> [!METHODE]
> Théorème d'Ampère : symétries d'abord (direction et variables), puis contour adapté sur lequel $\vec B$ est soit tangent et constant, soit orthogonal, soit nul ; l'intensité enlacée se compte avec l'orientation donnée par la règle de la main droite.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Les milieux magnétiques ne sont pas au programme : l'énoncé fournit $\mu_r$, qu'on utilise simplement par sa définition.
#### Solution
À courants inchangés, le noyau linéaire remplissant le solénoïde revient à remplacer $\mu_0$ par $\mu_0\mu_r$ :
$$\boxed{\vec B=\mu_0\mu_rnI\,\vec e_z}$$
Le champ est multiplié par $\mu_r=100$. A.N. : $\mu_0nI=4\pi\cdot10^{-7}\times10^3\times10{,}0=4\pi\cdot10^{-3}$ T, d'où $B=400\pi\cdot10^{-3}\simeq1{,}3$ T, soit
$$\boxed{B\simeq1\ \text{T}}$$
> [!PIEGE]
> L'unité est le tesla. Et $1$ T est déjà l'ordre de grandeur de la saturation du fer : un $\mu_r$ constant est un modèle linéaire à la limite de sa validité ; le signaler est apprécié.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Restituer les quatre équations avec leurs noms et sans oublier le courant de déplacement. Pour la seconde partie, une seule d'entre elles concerne la divergence de $\vec B$.
> [!INDICATION]
> Passer d'une propriété locale à une propriété intégrale sur une surface fermée : quel théorème relie flux et divergence ?
#### Solution
$$\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \operatorname{div}\vec B=0,\qquad \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B=\mu_0\vec\jmath+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$
Pour une surface fermée $\Sigma$ orientée vers l'extérieur, limitant le volume $V$, le théorème de Green-Ostrogradski donne $\phi_B=\oint_\Sigma\vec B\cdot\mathrm d\vec S=\iiint_V\operatorname{div}\vec B\,\mathrm d\tau=0$. **$\vec B$ est à flux conservatif.**
> [!METHODE]
> Conséquence pratique : le flux de $\vec B$ à travers une surface ouverte ne dépend que du contour qui la borde. C'est ce qui donne un sens au « flux à travers un circuit » utilisé en partie II.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Écrire que le flux sortant du petit cylindre est nul : trois surfaces (deux disques et la surface latérale), chacune avec sa normale sortante.
> [!INDICATION]
> Pour $r$ petit, on peut assimiler $B_z$ sur chaque disque à sa valeur sur l'axe. Diviser par $\mathrm dz$ fait apparaître une dérivée. Il reste à dériver l'expression admise de $B_z(z)$.
#### Solution
Flux sortant du cylindre de rayon $r$ entre $z$ et $z+\mathrm dz$ :
$$\underbrace{\pi r^2B_z(z+\mathrm dz)}_{\text{disque du haut}}\ \underbrace{-\ \pi r^2B_z(z)}_{\text{disque du bas}}\ +\ \underbrace{2\pi r\,\mathrm dz\,B_r(r,z)}_{\text{surface latérale}}=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{B_r(r,z)=-\frac r2\,\frac{\mathrm dB_z}{\mathrm dz}}$$
Or $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}\dfrac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}=\dfrac{b^2}{(b^2+z^2)^{3/2}}$, donc $\dfrac{\mathrm dB_z}{\mathrm dz}=-\dfrac{\mu_0nI}{2}\dfrac{b^2}{(b^2+z^2)^{3/2}}$ et
$$\boxed{B_r(r,z)=\frac{\mu_0nIr}{4}\,\frac{b^2}{(b^2+z^2)^{3/2}}}$$
Contrôle : $B_z$ décroît quand on s'éloigne de la bobine, donc $B_r>0$ : les lignes de champ s'évasent en sortant du solénoïde.
> [!PIEGE]
> Oublier le signe $-$ du disque inférieur (normale sortante vers le bas) ou celui de la dérivée. Le résultat étant donné, c'est la démarche qui est évaluée : bilan à trois termes et approximations « $r$ proche de l'axe » énoncées.
> [!METHODE]
> Relation à retenir : près de l'axe d'une distribution à symétrie de révolution, $B_r\simeq-\dfrac r2\dfrac{\partial B_z}{\partial z}(0,z)$. Elle donne la composante radiale sans aucune intégrale de Biot et Savart.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Pour $B_r$, l'équivalent est immédiat. Pour $B_z$, la parenthèse est une différence de deux termes qui tendent vers 1 : il faut un développement limité à l'ordre suivant en $b/z$.
> [!INDICATION]
> Développer $\mathrm d\vec\ell\wedge\vec B$ en coordonnées cylindriques : une composante donne une équation à variables séparables entre $r$ et $z$.
#### Solution
Pour $z\gg b$, $(b^2+z^2)^{3/2}\sim z^3$ et $1-\left(1+\frac{b^2}{z^2}\right)^{-1/2}=\frac{b^2}{2z^2}+o\!\left(\frac{b^2}{z^2}\right)$ :
$$\boxed{B_r\simeq\frac{\mu_0nIb^2}{4}\,\frac{r}{z^3},\qquad B_z\simeq\frac{\mu_0nIb^2}{4}\,\frac{1}{z^2}}$$
Avec $\mathrm d\vec\ell=\mathrm dr\,\vec e_r+r\,\mathrm d\theta\,\vec e_\theta+\mathrm dz\,\vec e_z$ et $B_\theta=0$, $\mathrm d\vec\ell\wedge\vec B=\vec 0$ donne $r\,\mathrm d\theta\,B_z=0$, $r\,\mathrm d\theta\,B_r=0$ et $\mathrm dz\,B_r-\mathrm dr\,B_z=0$. Les lignes sont dans un plan méridien ($\mathrm d\theta=0$) et
$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dz}=\frac{B_r}{B_z}=\frac rz\quad\Longrightarrow\quad\ln r=\ln z+\text{cte}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{r=kz}$$
**Allure.** Dans un plan méridien : un éventail de demi-droites issues de $O$ (centre de la face supérieure), l'axe étant la ligne $k=0$ ; orientation vers les $z$ croissants ($B_z>0$ pour $I>0$) ; l'ensemble s'obtient par rotation autour de $(Oz)$. Loin de l'extrémité, le champ près de l'axe est celui d'une « source ponctuelle » en $O$.
> [!PIEGE]
> Écrire $z/\sqrt{b^2+z^2}\simeq1$ donne $B_z\simeq0$ et bloque toute la suite. Contrôle utile : le rapport $B_r/B_z$ ne doit plus contenir aucune constante physique.
## Partie II — Lévitation magnétique
Le solénoïde est alimenté en sinusoïdal. On écrit l'équation électrique de l'anneau (flux inducteur et flux propre), on la résout en complexes, puis on calcule la force de Laplace moyenne. Le résultat clé : sans auto-inductance, pas de lévitation.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Énoncer la loi de modération en précisant ce à quoi le courant induit s'oppose exactement.
> [!INDICATION]
> Pour la méthode : orientation du circuit, signe du flux inducteur, signe de sa variation.
#### Solution
**Loi de Lenz** : les effets de l'induction s'opposent, par leurs conséquences, aux causes qui leur ont donné naissance. Le courant induit crée un champ dont le flux tend à s'opposer à la **variation** du flux inducteur.
Méthode : on oriente l'anneau ($+\vec e_\theta$, normale $+\vec e_z$) ; le flux inducteur $\Phi_1=Mi_1$ est du signe de $i_1$ ; $i_2$ circule dans le sens qui crée un flux propre de signe opposé à $\mathrm d\Phi_1/\mathrm dt$. Quand $|i_1|$ croît, $i_2$ est de sens opposé à $i_1$ (courants antiparallèles, répulsion) ; quand $|i_1|$ décroît, il est de même sens (attraction).
> [!PIEGE]
> Conclure que l'anneau est repoussé à tout instant. La force instantanée change de signe au cours d'une période ; seule sa **moyenne** est ascendante, et Q13 montre qu'elle serait nulle sans $L$.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Les résultats de la partie I sont statiques : quelle approximation permet d'y remplacer $I$ par $i_1(t)$ ? La justifier par une comparaison d'échelles.
#### Solution
Le dispositif (taille $\sim10$ cm) est très petit devant la longueur d'onde à la fréquence du secteur ($\lambda=c/f\sim6\cdot10^3$ km à 50 Hz) : dans l'ARQS, le champ vaut à chaque instant le champ statique créé par $i_1(t)$. Près de l'axe, pour $z>0$ :
$$\boxed{\vec B(r,z,t)=\mu_0nI_1\cos(\omega t)\left[\frac{r\,b^2}{4(b^2+z^2)^{3/2}}\,\vec e_r+\frac12\left(1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)\vec e_z\right]}$$
On garde le modèle sans noyau (en $\mu_0$), conformément aux grandeurs imposées en Q9 et Q12.
> [!PIEGE]
> Ne donner que $B_z$. C'est $B_r$ qui produira la force axiale (Q12).
### Question 9
> [!INDICATION]
> Le flux total à travers l'anneau a deux origines : la bobine et l'anneau lui-même.
> [!INDICATION]
> Pour le flux inducteur, assimiler $B_z$ à sa valeur sur l'axe sur tout le disque de rayon $a$. Puis : Faraday et loi des mailles d'un circuit purement résistif fermé sur lui-même.
#### Solution
Anneau fixe, orienté selon $+\vec e_\theta$. Flux inducteur :
$$\Phi_{1\to2}\simeq\pi a^2B_z(z,t)=M(z)\,i_1(t),\qquad\boxed{M(z)=\frac{\mu_0n\pi a^2}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)}$$
Flux total $\Phi=M(z)i_1+Li_2$, avec $M$ et $L$ constants (anneau immobile). Loi de Faraday $e=-\mathrm d\Phi/\mathrm dt$ et loi des mailles $e=Ri_2$ :
$$\boxed{R\,i_2+L\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}+M(z)\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}=0}$$
> [!PIEGE]
> Oublier le flux propre $Li_2$ : c'est lui qui fournit le terme en $L$ dont tout dépend en Q13. L'approximation « champ uniforme sur le disque » est raisonnable ($a=1$ cm, $b=5$ cm) mais doit être dite.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Régime sinusoïdal forcé d'une équation linéaire : la dérivation devient une multiplication par $\mathrm j\omega$.
> [!INDICATION]
> Pour trouver $\varphi$ sans ambiguïté, mettre l'amplitude complexe sous forme algébrique (multiplier par le conjugué du dénominateur) et identifier parties réelle et imaginaire, plutôt que de passer par une tangente.
#### Solution
Avec $\underline{i_1}=I_1e^{\mathrm j\omega t}$, $\underline{i_2}=\underline{I_2}e^{\mathrm j\omega t}$ (le transitoire, de constante de temps $L/R=10^{-4}$ s, est vite amorti) :
$$(R+\mathrm jL\omega)\underline{I_2}+\mathrm jM\omega I_1=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\underline{i_2}(t)=\frac{-\mathrm jM(z)\,\omega\,I_1}{R+\mathrm jL\omega}\,e^{\mathrm j\omega t}}$$
$$\underline{I_2}=\frac{M\omega I_1(-L\omega-\mathrm jR)}{R^2+L^2\omega^2}=I_2(z)e^{\mathrm j\varphi}\quad\text{avec}\quad\boxed{I_2(z)=\frac{M(z)\,\omega\,I_1}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}}$$
$$\boxed{\cos\varphi=\frac{-L\omega}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}},\qquad\sin\varphi=\frac{-R}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}}$$
Donc $i_2(t)=I_2(z)\cos(\omega t+\varphi)$ avec $\varphi\in\,]-\pi,-\pi/2[$.
> [!PIEGE]
> Donner seulement $\tan\varphi=R/(L\omega)$ : cette relation ne distingue pas $\varphi$ de $\varphi+\pi$, alors que le **signe** de $\cos\varphi$ décide du sens de la force en Q12.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Écrire la force de Laplace sur un élément $a\,\mathrm d\theta\,\vec e_\theta$ et séparer les deux produits vectoriels.
> [!INDICATION]
> Le vecteur $\vec e_r$ dépend de $\theta$ : il ne sort pas de l'intégrale.
#### Solution
$$\mathrm d\vec F=i_2\,a\,\mathrm d\theta\,\vec e_\theta\wedge(B_r\vec e_r+B_z\vec e_z)=i_2a\,\mathrm d\theta\,(B_z\vec e_r-B_r\vec e_z)$$
$B_r$ et $B_z$ ne dépendent pas de $\theta$, et $\displaystyle\int_0^{2\pi}\vec e_r\,\mathrm d\theta=\int_0^{2\pi}(\cos\theta\,\vec e_x+\sin\theta\,\vec e_y)\,\mathrm d\theta=\vec 0$ :
$$\boxed{F_r=0}$$
> [!METHODE]
> Pour intégrer un vecteur de base mobile, on le projette sur une base fixe. Argument équivalent : deux éléments diamétralement opposés subissent des forces radiales opposées.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Seul l'un des deux termes de Q11 donne une composante axiale : lequel ? On obtient $F_z(t)$ comme un produit de deux sinusoïdes de même pulsation.
> [!INDICATION]
> Linéariser le produit $\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi)$ avant de moyenner ; ne pas confondre avec le produit des moyennes.
#### Solution
$F_z(t)=-2\pi a\,i_2(t)\,B_r(a,z,t)$, avec $B_r(a,z,t)=\dfrac{\mu_0nI_1a}{4}\dfrac{b^2}{(b^2+z^2)^{3/2}}\cos(\omega t)$ :
$$F_z(t)=-\frac{\pi\,\mu_0nI_1\,I_2(z)\,a^2b^2}{2(b^2+z^2)^{3/2}}\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi).$$
$\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi)=\frac12[\cos\varphi+\cos(2\omega t+\varphi)]$ a pour moyenne $\frac12\cos\varphi$ :
$$\boxed{\langle F_z\rangle_t=\frac{K(z)}{(b^2+z^2)^{3/2}},\qquad K(z)=-\frac{\pi}{4}\,(\mu_0nI_1)\,a^2b^2\,I_2(z)\cos\varphi}$$
Comme $\cos\varphi<0$ (Q10), $K(z)>0$ : la force moyenne est **ascendante**. Explicitement $K(z)=\dfrac\pi4\mu_0nI_1^2a^2b^2\dfrac{L\omega^2M(z)}{R^2+L^2\omega^2}$.
Contrôle avec la partie III : pour $z\gg b$, $M\simeq\mu_0n\pi a^2b^2/(4z^2)$ et $(b^2+z^2)^{3/2}\simeq z^3$, d'où $\langle F_z\rangle_t\propto z^{-5}$, la forme (2).
> [!PIEGE]
> Écrire $F_z\propto B_z$ : c'est $\vec e_\theta\wedge\vec e_r=-\vec e_z$ qui donne la composante axiale, donc $B_r$. Une force moyenne dirigée vers le bas signale une erreur de signe sur $\cos\varphi$.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Reporter $L=0$ dans l'expression de $\cos\varphi$. Interpréter : quel est alors le déphasage entre le courant induit et le champ radial ?
> [!INDICATION]
> Pour empêcher la lévitation, agir sur ce qui crée la force : le courant induit lui-même.
#### Solution
Si $L=0$ : $\cos\varphi=0$, donc $K=0$ et
$$\boxed{\langle F_z\rangle_t=0}$$
Le courant induit est en quadrature avec $B_r$ ($i_2\propto\sin\omega t$, $B_r\propto\cos\omega t$) : la force oscille à $2\omega$, de moyenne nulle. C'est le déphasage supplémentaire apporté par $L$ qui crée une force moyenne répulsive.
Pour empêcher la lévitation : **fendre l'anneau** (entaille radiale). Le circuit est ouvert, aucun courant ne circule, la force est nulle. À défaut, un anneau très résistif ($R\gg L\omega$) rend la force négligeable, puisque $\langle F_z\rangle_t\propto L\omega^2/(R^2+L^2\omega^2)$.
> [!PIEGE]
> « Alourdir l'anneau » ne supprime pas la force ; la réponse attendue agit sur la cause, le courant induit, et doit être justifiée par elle.
## Partie III — « Jumping ring »
On exploite la loi de force (2) en mécanique du point : énergie, puis frottements, puis simulation numérique de la trajectoire quand le barreau est incliné.
### Question 14
> [!INDICATION]
> À l'équilibre, deux forces se compensent.
> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique sans calculatrice, calculer $0{,}15^5$ par carrés successifs ; attention à l'unité de $K'$.
#### Solution
$$\frac{K'}{z_{eq}^5}=mg\quad\Longrightarrow\quad\boxed{K'=mg\,z_{eq}^5}$$
$(0{,}15)^2=2{,}25\cdot10^{-2}$, $(0{,}15)^4\simeq5{,}06\cdot10^{-4}$, $(0{,}15)^5\simeq7{,}6\cdot10^{-5}$ m⁵, donc $K'\simeq3\cdot10^{-3}\times9{,}81\times7{,}6\cdot10^{-5}\simeq2{,}2\cdot10^{-6}$ :
$$\boxed{K'\simeq2\cdot10^{-6}\ \text{N·m}^5}$$
L'équilibre est stable : $K'/z^5$ décroît avec $z$, donc un anneau écarté vers le haut retombe et un anneau écarté vers le bas remonte.
> [!PIEGE]
> $K'$ n'est pas une force : il s'exprime en N·m⁵.
### Question 15
> [!INDICATION]
> La force de Laplace moyenne dépend de $z$ : son travail est une intégrale. Le poids est constant.
> [!INDICATION]
> Comparer les deux termes $1/z_0^4$ et $1/\ell^4$ avant de faire l'application numérique.
#### Solution
$$W_1=\int_{z_0}^{\ell}\frac{K'}{z^5}\,\mathrm dz=\frac{K'}{4}\left(\frac1{z_0^4}-\frac1{\ell^4}\right)\simeq\frac{K'}{4z_0^4}$$
car $1/z_0^4=1{,}6\cdot10^5$ m⁻⁴ $\gg1$ m⁻⁴. Avec $K'=2{,}23\cdot10^{-6}$ N·m⁵ : $W_1\simeq8{,}9\cdot10^{-2}$ J, soit $\boxed{W_1\simeq9\cdot10^{-2}\ \text{J}}$.
$W_2=-mg(\ell-z_0)=-3\cdot10^{-3}\times9{,}81\times0{,}95\simeq-2{,}8\cdot10^{-2}$ J, soit $\boxed{W_2\simeq-3\cdot10^{-2}\ \text{J}}$.
> [!METHODE]
> Contrôle de signe systématique : travail moteur positif (force et déplacement de même sens), travail résistant négatif. Ici presque tout le travail moteur est fourni sur les premiers centimètres.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Théorème de l'énergie cinétique entre le départ au repos et le sommet du barreau ; dire pourquoi la réaction du barreau ne travaille pas.
> [!INDICATION]
> Après la sortie, seul le poids agit : conservation de l'énergie mécanique. Préciser l'origine de l'altitude donnée.
#### Solution
Dans le référentiel terrestre galiléen, la réaction du barreau est normale au déplacement (frottements solides négligés) et ne travaille pas. Départ au repos :
$$E_{c,0}=W_1+W_2\simeq6{,}1\cdot10^{-2}\ \text{J},\qquad\boxed{E_{c,0}\simeq6\cdot10^{-2}\ \text{J}}$$
$$v_0=\sqrt{\frac{2E_{c,0}}{m}}\simeq\sqrt{41}\simeq6{,}4\ \text{m/s},\qquad\boxed{v_0\simeq6\ \text{m·s}^{-1}}$$
Ensuite l'énergie mécanique se conserve : l'anneau monte encore de $v_0^2/(2g)\simeq2{,}1$ m. Avec l'origine des altitudes de la partie III (haut de la bobine) :
$$z_{\max}=\ell+\frac{v_0^2}{2g}\simeq3{,}1\ \text{m},\qquad\boxed{z_{\max}\simeq3\ \text{m au-dessus de la bobine, soit}\simeq2\ \text{m au-dessus du sommet du barreau}}$$
> [!PIEGE]
> L'énoncé change d'origine juste après cette question ($O$ au sommet du barreau) : toujours préciser par rapport à quoi une hauteur est comptée.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Écrire le PFD vectoriel, puis le projeter à la montée en tenant compte du signe de $v$ dans $\|\vec v\|\,\vec v$.
> [!INDICATION]
> L'équation scalaire est à variables séparables ; factoriser pour faire apparaître $\int\mathrm du/(1+u^2)$.
> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique, évaluer l'argument de l'arctangente avant tout calcul : s'il est petit, un développement suffit.
#### Solution
$$\boxed{m\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=m\vec g-\alpha\,\|\vec v\|\,\vec v}$$
À la montée ($\vec v=v\vec e_z$, $v>0$) : $\dot v=-g-\beta v^2$. Avec $v_\ell=\sqrt{g/\beta}$ et $\omega_0=\sqrt{g\beta}$ :
$$\frac{\mathrm dv}{g+\beta v^2}=-\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v(t)=\sqrt{\frac g\beta}\,\tan\!\left(\arctan\!\left(v_0\sqrt{\frac\beta g}\right)-\sqrt{g\beta}\,t\right)}\quad(v\geq0)$$
$$\boxed{t_1=\frac{1}{\sqrt{g\beta}}\arctan\!\left(v_0\sqrt{\frac\beta g}\right)}$$
A.N. : $v_0\sqrt{\beta/g}\simeq6{,}4\times1{,}4\cdot10^{-3}\simeq9\cdot10^{-3}\ll1$, donc $t_1\simeq v_0/g\simeq0{,}65$ s, soit $\boxed{t_1\approx0{,}7\ \text{s}}$.
Le frottement est négligeable ($v_\ell\simeq7\cdot10^2$ m/s $\gg v_0$) : c'est la chute libre.
> [!PIEGE]
> À la descente, l'équation devient $\dot v=-g+\beta v^2$ ($v<0$) : une seule équation pour tout le mouvement est fausse, d'où la consigne « partie ascendante ».
### Question 18
> [!INDICATION]
> Un frottement linéaire se projette composante par composante : le système se découple.
#### Solution
$m\,\mathrm d\vec v/\mathrm dt=m\vec g-\gamma\vec v$ avec $\vec g=-g\vec e_z$ :
$$\boxed{\frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}=-\frac\gamma m\,v_x,\qquad\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt}=-g-\frac\gamma m\,v_z}$$
avec $v_x(0)=v_0\cos\theta$, $v_z(0)=v_0\sin\theta$. Ces équations s'intègrent exactement ($v_x=v_0\cos\theta\,e^{-\gamma t/m}$, $v_z=-\frac{mg}{\gamma}+(v_0\sin\theta+\frac{mg}{\gamma})e^{-\gamma t/m}$), ce qui permettra de contrôler la simulation.
> [!METHODE]
> Le modèle quadratique couplerait $v_x$ et $v_z$ par $\sqrt{v_x^2+v_z^2}$ ; Q17 ayant montré que la vitesse reste de l'ordre de $v_0$, on linéarise en $\gamma\simeq\alpha v_0$. Attention : la lettre $\gamma$ désigne aussi la conductivité en partie IV.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Écrire la relation de récurrence $u_{k+1}=u_k+\mathrm dt\,F(\dots)$ et fixer clairement la signature de `F`.
#### Solution
Pour $u'=F(u,t)$, $u(0)=u_0$ :
```python
def euler(u0, F, dt, N):
"""Euler explicite pour u' = F(u, t), u(0) = u0.
Renvoie la liste [u_0, ..., u_N] aux instants t_k = k*dt."""
U = [u0]
for k in range(N):
U.append(U[k] + dt * F(U[k], k * dt))
return U
```
La liste contient $N+1$ valeurs.
> [!PIEGE]
> Repartir de `u0` à chaque pas au lieu de la dernière valeur, ou se tromper sur la longueur de la liste.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Les fonctions `Fx` et `Fz` sont les seconds membres de Q18, écrits avec la signature attendue par `euler`. Les paramètres non fournis numériquement doivent être déclarés.
#### Solution
```python
from math import cos, sin, pi
m, g = 3e-3, 9.81 # kg, m.s^-2
v0 = 6.4 # m.s^-1 (question 16)
gamma = 4e-7 # kg.s^-1, de l'ordre de alpha*v0 = beta*m*v0
theta = pi / 4 # inclinaison du barreau (rad)
dt, N = 1e-3, 3000 # pas (s) et nombre de pas : 3 s simulées
def Fx(vx, t):
return -gamma / m * vx
def Fz(vz, t):
return -g - gamma / m * vz
Vx = euler(v0 * cos(theta), Fx, dt, N)
Vz = euler(v0 * sin(theta), Fz, dt, N)
```
> [!PIEGE]
> Oublier la division par $m$, intervertir $\cos\theta$ et $\sin\theta$, ou simuler une durée $N\,\mathrm dt$ plus courte que le vol (environ 1 s ici).
### Question 21
> [!INDICATION]
> Les positions se déduisent des vitesses par la même idée de schéma : $\dot x=v_x$. Préciser l'origine.
#### Solution
À partir de $O$, sommet du barreau :
```python
X, Z = [0.0], [0.0]
for k in range(N):
X.append(X[k] + dt * Vx[k])
Z.append(Z[k] + dt * Vz[k])
```
`X` et `Z` ont $N+1$ éléments, comme `Vx` et `Vz`.
### Question 22
> [!INDICATION]
> La flèche est un maximum. Pour la portée, il faut détecter le premier instant où l'altitude passe sous celle du sol, après le départ.
> [!INDICATION]
> L'énoncé ne donne pas l'altitude du sol dans le repère d'origine $O$ : en faire un paramètre explicite, et soigner le cas où l'anneau n'est pas retombé pendant la simulation.
#### Solution
Par défaut, on prend le sol au niveau du point de lancement ($z=0$), seule référence définie par l'énoncé ; on interpole linéairement entre les deux points qui encadrent la chute.
```python
def fleche(X, Z):
"""Hauteur maximale atteinte, comptée depuis O."""
return max(Z)
def portee(X, Z, zsol=0.0):
"""Distance horizontale parcourue quand l'anneau retombe à l'altitude zsol.
Renvoie None si l'anneau n'est pas retombé pendant la simulation."""
for k in range(1, len(Z)):
if Z[k - 1] > zsol >= Z[k]:
return X[k - 1] + (X[k] - X[k - 1]) * (Z[k - 1] - zsol) / (Z[k - 1] - Z[k])
return None
```
Avec les paramètres de Q20 : flèche $\simeq1{,}05$ m, portée $\simeq4{,}18$ m (parabole sans frottement : $v_0^2\sin2\theta/g\simeq4{,}17$ m). Pour un sol réel situé sous $O$, on passe son altitude (négative) : par exemple `portee(X, Z, -1.0)` $\simeq5{,}0$ m.
> [!PIEGE]
> Tester `Z[k] <= zsol` dès $k=0$ : avec `zsol = 0`, le test est vrai au départ et la fonction renvoie 0. Et la « distance parcourue » demandée est la distance horizontale `X`, pas la longueur de la trajectoire.
## Partie IV — Température de l'anneau
Bilan d'énergie d'un petit solide chauffé par effet Joule et refroidi par l'air : on aboutit à une équation du premier ordre, dont l'asymptote décide de la fusion.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Le courant suit le conducteur. La densité de courant est l'intensité divisée par la surface que le courant **traverse**.
#### Solution
Le courant est **orthoradial** ($\vec e_\theta$). Il traverse la section droite rectangulaire $e\times d$ :
$$\boxed{\vec\jmath_2(t)=\frac{I_2\cos(\omega t)}{e\,d}\,\vec e_\theta}$$
Amplitude : $15/(10^{-3}\times5\cdot10^{-3})=3\cdot10^6$ A·m⁻².
> [!PIEGE]
> Diviser par la surface latérale $2\pi ad$ (parallèle au courant) ou par $\pi a^2$.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Puissance volumique cédée par le champ aux porteurs : $\vec\jmath\cdot\vec E$, avec la loi d'Ohm locale. Puis la moyenne d'un cosinus au carré.
#### Solution
$p=\vec\jmath_2\cdot\vec E=j_2^2/\gamma=\dfrac{I_2^2\cos^2(\omega t)}{\gamma e^2d^2}$ et $\langle\cos^2\rangle=\frac12$ :
$$\boxed{p_J=\frac{I_2^2}{2\gamma e^2d^2}}$$
A.N. : $p_J=\dfrac{9\cdot10^{12}}{1{,}2\cdot10^8}=7{,}5\cdot10^4$ W·m⁻³, soit $\boxed{p_J\simeq8\cdot10^4\ \text{W·m}^{-3}}$.
> [!PIEGE]
> $\gamma$ est une conductivité : $p=j^2/\gamma$, pas $\gamma j^2$ (l'analyse dimensionnelle tranche). Ne pas oublier le facteur $1/2$.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Loi de Newton de la conducto-convection, appliquée à deux surfaces. L'hypothèse $e\ll a$ sert à simplifier leurs aires.
#### Solution
La densité de flux cédée par le solide à l'air est $h(T-T_0)$. Les deux faces latérales ont, pour $e\ll a$, la même aire $2\pi ad$ ; aire d'échange $4\pi ad$. Flux thermique total cédé à l'air :
$$\boxed{\Phi_{\text{th}}=4\pi a\,d\,h\,\big(T(t)-T_0\big)}$$
Le flux reçu par l'anneau est $-\Phi_{\text{th}}$, négatif quand $T>T_0$.
> [!PIEGE]
> Ne pas annoncer si l'on compte le flux reçu ou cédé conduit souvent à une équation divergente à la question suivante.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Premier principe pour un solide indéformable de température uniforme : variation d'énergie interne = puissance reçue.
> [!INDICATION]
> Le volume de l'anneau est celui d'une couronne mince ; après division, le rayon $a$ doit disparaître.
#### Solution
Volume $V=2\pi a\,e\,d$, masse $\rho V$ (soit environ $2{,}8$ g, cohérent avec les 3 g de la partie III) :
$$\rho Vc\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=p_JV-4\pi adh\,(T-T_0)\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}+\frac{2h}{\rho ce}(T-T_0)=\frac{p_J}{\rho c}$$
$$\boxed{\tau=\frac{\rho\,c\,e}{2h},\qquad A=\frac{I_2^2}{2\gamma\rho c\,e^2d^2}}$$
A.N. : $\tau\simeq3{,}4\cdot10^3$ s (environ une heure), $A\simeq2{,}2\cdot10^{-2}$ K·s⁻¹.
> [!METHODE]
> Contrôles d'un bilan thermique : signe (le terme d'échange doit donner une relaxation $+(T-T_0)/\tau$), homogénéité ($\tau$ en secondes, $A$ en K/s) et disparition des grandeurs que l'énoncé n'autorise pas dans le résultat.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Équation linéaire du premier ordre à coefficients constants : solution homogène plus solution particulière constante, puis condition initiale.
> [!INDICATION]
> Pour conclure sur la fusion, comparer l'asymptote à la température de fusion, dans la même unité.
#### Solution
$$\boxed{T(t)=T_0+A\tau\left(1-e^{-t/\tau}\right)}$$
$T$ croît de façon monotone vers $T_\infty=T_0+A\tau=T_0+\dfrac{p_Je}{2h}=300+75=375$ K $\approx4\cdot10^2$ K, soit environ $100$ °C. Or $\theta_{\text{fus}}=1085$ °C $=1358$ K. Pour tout $t$, $T(t)<T_\infty\ll1358$ K :
**L'anneau ne fond pas : sa température plafonne vers $1\cdot10^2$ °C.**
Le modèle néglige le rayonnement et prend un $h$ faible : $T_\infty$ est plutôt surestimé, ce qui renforce la conclusion.
> [!PIEGE]
> Comparer $375$ à $1085$ sans convertir, ou conclure à partir d'une valeur à un instant particulier : c'est la majoration $T(t)<T_\infty$ pour tout $t$ qui interdit la fusion.
> [!JURY]
> Sur ce type de question finale, une conclusion explicite et argumentée (« non, car… ») est attendue, accompagnée d'un regard critique sur les hypothèses du modèle.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Symétries et invariances avant tout calcul de champ ; $\vec B$ pseudo-vecteur (orthogonal aux plans de symétrie, contenu dans les plans d'antisymétrie).
- Conservation du flux sur un petit cylindre : $B_r\simeq-\frac r2\,\partial_zB_z$ près de l'axe, sans aucune intégrale.
- Développement limité au premier ordre **non nul** quand des termes se compensent.
- Induction : flux total $=Mi_1+Li_2$, puis Faraday et loi des mailles ; en sinusoïdal, identifier séparément $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$.
- Valeur moyenne d'un produit de sinusoïdes : $\langle\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi)\rangle=\frac12\cos\varphi$.
- Mécanique : théorème de l'énergie cinétique avec une force dépendant de la position ; frottement quadratique résolu par séparation des variables et jugement d'ordre de grandeur ($v_0\ll v_\ell$).
- Python : schéma d'Euler générique, tests de franchissement de seuil et cas limites.
- Thermique : bilan sur le système entier, équation du premier ordre, asymptote et constante de temps.
**Prérequis à revoir.** Théorème d'Ampère et symétries ; équations de Maxwell ; inductances propre et mutuelle ; notation complexe ; travail d'une force variable ; méthode d'Euler ; loi d'Ohm locale et effet Joule ; loi de Newton de la conducto-convection.
**Questions classiques transposables.** Champ d'un solénoïde (Q1–Q3), composante radiale près de l'axe (Q5, aussi pour une spire ou une bobine de Helmholtz), lignes de champ (Q6), circuits couplés par mutuelle (Q9–Q10, transformateur, plaque à induction), force entre circuits et valeur moyenne (Q12), chute avec frottement quadratique (Q17), tir balistique simulé en Python (Q19–Q22), échauffement d'un conducteur jusqu'au régime permanent (Q26–Q27, fusible, résistance chauffante).
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