Maths 1
Mines-PontsPC2026
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Signaler une erreur# Mines-Ponts PC — Maths 1 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le problème étudie les endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie qui s'écrivent comme somme d'endomorphismes de **carré nul**. Une somme de tels endomorphismes est forcément de trace nulle. Le sujet montre que cette condition suffit, puis cherche combien de termes il faut : trois ne suffisent pas toujours, quatre suffisent toujours. Notations : $\mathcal C(E)=\{u:u^2=0\}$, $\Sigma_p\mathcal C(E)$ = sommes de $p$ éléments de $\mathcal C(E)$, $\Sigma_\infty\mathcal C(E)$ = réunion des $\Sigma_p\mathcal C(E)$.
**Découpage (25 questions, 3 heures, sans calculatrice).**
- **Partie A (Q1–Q5)** : forme réduite d'un endomorphisme de carré nul, avec le bloc $I_r$ sous la diagonale ; le rang en est le seul invariant. Cours de réduction pur.
- **Partie B (Q6–Q8)** : calcul sur les matrices élémentaires $E_{i,j}$ et sur $F_{i,j}$ ; on obtient $\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\{u:\operatorname{tr}u=0\}$.
- **Partie C (Q9–Q13)** : en dimension $n\ge5$, un endomorphisme de trace nulle qui n'est pas somme de trois carrés nuls. Le théorème de Wang et Wu est admis. Argument de rang, puis de multiplicités de valeurs propres.
- **Partie D (Q14–Q18)** : matrices de Hessenberg. On montre qu'en modifiant seulement la dernière colonne, on peut imposer n'importe quel polynôme caractéristique de trace donnée (Q15), et qu'une Hessenberg régulière nilpotente est semblable à $J_n$ (Q18).
- **Partie E (Q19–Q25)** : assemblage. Q19 utilise Q15 et Q18 ; Q20–Q21 sont des constructions explicites ; Q22–Q24 sont un bloc de réduction autonome ; Q25 combine Q19, Q20, Q21 et Q24.
**Notions mobilisées.** Valeurs propres, polynôme caractéristique et multiplicités, trace, théorème du rang, supplémentaires et bases adaptées, matrices par blocs et déterminant triangulaire par blocs, développement d'un déterminant selon une colonne, trigonalisation sur $\mathbb C$, similitude, sous-espaces stables, familles de polynômes échelonnées en degrés.
**Difficulté et gestion du temps.** Sujet long mais très guidé, sans calcul lourd. Les parties sont largement indépendantes : seule E utilise D. À ne pas laisser passer : Q1, Q2, Q6, Q9, Q16, Q20 et Q25, qu'on peut rédiger en admettant les résultats antérieurs. Les questions discriminantes sont Q10 (bien regrouper les termes), Q12 (multiplicités et non seulement valeurs propres), Q14–Q15 (découpage par blocs, base échelonnée), Q21 (répartition des coefficients) et Q24 (passer de Q23 à la forme voulue).
**Énoncé.** Coquille sans incidence en Q14 : « Présiser » pour « Préciser ».
## Partie A — Réduction des endomorphismes de carré nul
On travaille avec $u\neq0$, $u^2=0$ et $r=\operatorname{rg}u$. L'idée directrice est l'inclusion $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$, qui permet de construire une base adaptée à $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u\subset E$.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Un polynôme annulateur de $u$ s'annule en toute valeur propre de $u$.
> [!INDICATION]
> Pour la trace, se souvenir que sur $\mathbb C$ tout endomorphisme est trigonalisable, et de ce que vaut alors la trace.
#### Solution
Soit $\lambda$ une valeur propre et $x\neq0$ tel que $u(x)=\lambda x$. Alors $0=u^2(x)=\lambda^2x$, donc $\lambda=0$ car $x\neq0$. Et $0$ est bien valeur propre : $\chi_u$, de degré $n\ge1$, a une racine dans $\mathbb C$. Donc $\operatorname{Sp}(u)=\{0\}$ et $\chi_u=X^n$.
Sur $\mathbb C$, $u$ est trigonalisable et sa trace est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité :
$$\boxed{\operatorname{Sp}(u)=\{0\},\qquad\operatorname{tr}(u)=0.}$$
> [!PIEGE]
> « La seule valeur propre est $0$ donc la trace est nulle » n'est un argument que si l'on précise que la trace est la somme des valeurs propres **avec multiplicité**, ce qui demande un polynôme caractéristique scindé. Sur $\mathbb R$, une matrice peut ne pas avoir de valeur propre du tout.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Traduire $u^2=0$ en une inclusion entre $\operatorname{Im}u$ et $\operatorname{Ker}u$, puis passer aux dimensions.
#### Solution
Si $y=u(x)$, alors $u(y)=u^2(x)=0$ : $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$. Donc $r\le\dim\operatorname{Ker}u=n-r$ par le théorème du rang :
$$\boxed{r\le\frac n2.}$$
> [!METHODE]
> Pour deux endomorphismes, $v\circ u=0\iff\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}v$. C'est le premier réflexe devant toute relation du type $u^2=0$ ou $uv=0$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> En dimension finie, tout sous-espace admet un supplémentaire. Quelle est sa dimension ?
> [!INDICATION]
> Pour la liberté, partir d'une combinaison linéaire nulle des $u(e_i)$ et faire « remonter » la linéarité de $u$ : quel vecteur est alors dans le noyau ?
#### Solution
$\operatorname{Ker}u$ admet un supplémentaire $S$, de dimension $n-(n-r)=r\ge1$ (car $u\neq0$). Toute base $(e_1,\dots,e_r)$ de $S$ convient : elle est libre et $\operatorname{Ker}(u)\oplus\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_r)=E$.
Si $\sum_i\lambda_iu(e_i)=0$, le vecteur $x=\sum_i\lambda_ie_i$ vérifie $u(x)=0$. Il est dans $\operatorname{Ker}u$ **et** dans $S$, donc nul, et la liberté des $e_i$ donne $\lambda_i=0$ pour tout $i$. **La famille $(u(e_1),\dots,u(e_r))$ est libre.**
> [!METHODE]
> La restriction de $u$ à un supplémentaire du noyau est injective (c'est la preuve du théorème du rang). Elle envoie donc toute famille libre de ce supplémentaire sur une famille libre.
### Question 4
> [!INDICATION]
> La famille de Q3 est une base de $\operatorname{Im}u$. Dans quel sous-espace plus grand vit-elle, d'après Q2 ?
> [!INDICATION]
> Compléter cette famille en une base de $\operatorname{Ker}u$, puis assembler avec les $e_i$. Pour placer le bloc $I_r$ **sous** la diagonale, réfléchir à l'ordre des vecteurs.
#### Solution
$(u(e_1),\dots,u(e_r))$ est libre, de cardinal $r=\dim\operatorname{Im}u$ : c'est une base de $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$. On la complète en une base $(u(e_1),\dots,u(e_r),f_1,\dots,f_{n-2r})$ de $\operatorname{Ker}u$ ($n-2r\ge0$ par Q2, aucun $f_j$ si $n=2r$). Comme $E=S\oplus\operatorname{Ker}u$,
$$\mathcal B=(e_1,\dots,e_r,\;u(e_1),\dots,u(e_r),\;f_1,\dots,f_{n-2r})$$
est une base de $E$. On lit les colonnes : $u(e_i)$ est le $(r+i)$-ième vecteur de $\mathcal B$, $u(u(e_i))=0$ et $u(f_j)=0$. Donc
$$\boxed{\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}0_r&0_r&(0)\\ I_r&0_r&(0)\\ (0)&(0)&0_{n-2r}\end{pmatrix}.}$$
Image mentale : $u$ envoie bijectivement $S$ sur $\operatorname{Im}u$, puis annule tout $\operatorname{Ker}u$.
> [!PIEGE]
> Mettre les $u(e_i)$ avant les $e_i$ place le bloc $I_r$ au-dessus de la diagonale : on obtient la transposée de la matrice demandée.
### Question 5
> [!INDICATION]
> L'existence est donnée par Q4. Pour l'unicité, chercher un invariant de similitude qui se lit directement sur la matrice par blocs.
#### Solution
*Existence* : $m=r>0$ convient (Q4, $u\neq0$).
*Unicité* : la matrice par blocs $M_m$ a pour colonnes non nulles $\varepsilon_{m+1},\dots,\varepsilon_{2m}$, qui forment une famille libre, donc $\operatorname{rg}M_m=m$. Si $u$ est représenté par $M_m$ dans une base, $m=\operatorname{rg}M_m=\operatorname{rg}u=r$.
$$\boxed{m=\operatorname{rg}(u).}$$
> [!METHODE]
> Pour prouver l'unicité d'une forme réduite, on lit sur elle un invariant de similitude (rang, trace, polynôme caractéristique, dimension d'un noyau). Ici, deux endomorphismes de carré nul sont semblables si et seulement s'ils ont le même rang.
## Partie B — Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul
On veut $\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\{\operatorname{tr}=0\}$. Une inclusion découle de Q1 ; pour l'autre, on exhibe une famille génératrice de l'hyperplan des matrices de trace nulle formée de matrices de carré nul.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Utiliser la règle $E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$.
> [!INDICATION]
> Pour $F_{i,j}$, plutôt que de développer seize produits, regarder ce que fait l'endomorphisme associé sur les vecteurs de base $\varepsilon_i$ et $\varepsilon_j$.
#### Solution
$(E_{i,j})^2=\delta_{j,i}E_{i,j}$ vaut $E_{i,i}\neq0$ si $i=j$, et $0$ sinon :
$$\boxed{(E_{i,j})^2=0\iff i\neq j.}$$
Pour $i\neq j$, l'endomorphisme $f$ associé à $F_{i,j}$ annule les $\varepsilon_k$, $k\notin\{i,j\}$, et
$$f(\varepsilon_i)=\varepsilon_i-\varepsilon_j,\qquad f(\varepsilon_j)=\varepsilon_i-\varepsilon_j.$$
Donc $f^2(\varepsilon_i)=f^2(\varepsilon_j)=f(\varepsilon_i)-f(\varepsilon_j)=0$. Matriciellement, le bloc utile, lignes et colonnes $i,j$, est $\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$, de carré nul :
$$\boxed{(F_{i,j})^2=0_n\quad(i\neq j).}$$
> [!METHODE]
> Une matrice $2\times2$ de trace et de déterminant nuls est de carré nul : son polynôme caractéristique est $X^2$. Ici trace $1-1=0$ et déterminant $-1+1=0$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Seule la partie diagonale de $A$ pose problème ; les coefficients hors diagonale s'écrivent directement avec des $E_{i,j}$, $i\neq j$.
> [!INDICATION]
> Que vaut $F_{i,n}+E_{n,i}-E_{i,n}$ ? Et comment la condition de trace nulle permet-elle d'écrire la partie diagonale avec des différences $E_{i,i}-E_{n,n}$ ?
#### Solution
Soit $A\in\mathcal H_n$ : $a_{n,n}=-\sum_{i<n}a_{i,i}$. Pour $i\le n-1$, $E_{i,i}-E_{n,n}=F_{i,n}-E_{i,n}+E_{n,i}$, donc
$$\sum_{i=1}^na_{i,i}E_{i,i}=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}(E_{i,i}-E_{n,n})=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}\big(F_{i,n}-E_{i,n}+E_{n,i}\big).$$
D'où
$$\boxed{A=\sum_{i\neq j}a_{i,j}E_{i,j}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}F_{i,n}-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{i,n}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{n,i}.}$$
Les termes parasites $E_{i,n}$, $E_{n,i}$ sont hors diagonale car $i\neq n$.
> [!METHODE]
> La famille obtenue a $n(n-1)+(n-1)=n^2-1$ éléments et engendre l'hyperplan $\mathcal H_n$, de dimension $n^2-1$ : c'en est une base. On peut le remarquer, mais la question demande une écriture explicite, que seul le calcul direct fournit rapidement.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Double inclusion. Une inclusion repose sur Q1 et la linéarité de la trace.
> [!INDICATION]
> Pour l'autre, la propriété « être de carré nul » est-elle stable par multiplication par un scalaire ? Par passage de la matrice à l'endomorphisme ?
#### Solution
*$\subset$.* Si $u=u_1+\dots+u_p$ avec $u_k^2=0$, chaque $u_k$ est de trace nulle (Q1 si $u_k\neq0$, évident sinon), donc $\operatorname{tr}u=0$.
*$\supset$.* Si $\operatorname{tr}u=0$, la matrice $A$ de $u$ dans une base est de trace nulle ; par Q7, $A=\sum_k\lambda_kM_k$ avec $M_k^2=0$ (Q6), et $(\lambda_kM_k)^2=\lambda_k^2M_k^2=0$. Donc $A$ est une somme finie de matrices de carré nul, et, par l'isomorphisme d'algèbres $f\mapsto\operatorname{Mat}(f)$, $u$ est une somme finie d'éléments de $\mathcal C(E)$.
$$\boxed{\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\{u\in\mathcal L(E):\operatorname{tr}u=0\}.}$$
> [!PIEGE]
> $\mathcal C(E)$ n'est pas un sous-espace vectoriel : une combinaison linéaire de matrices de carré nul n'est pas de carré nul en général. Ce qui est vrai, c'est que **chaque terme** $\lambda_kM_k$ est de carré nul. C'est tout l'enjeu du problème.
## Partie C — Somme de trois endomorphismes de carré nul
Ici $n\ge5$ et $u$ est de trace nulle avec $d=\dim\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id})>3n/4$ : $u$ est « presque » l'identité. On montre que $u-v$, pour $v$ de carré nul, garde la valeur propre $1$ avec une multiplicité énorme, ce qui est incompatible avec la symétrie spectrale que donne le théorème de Wang et Wu.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Chercher un exemple diagonal : beaucoup de $1$ sur la diagonale, et le moins possible d'autres coefficients, choisis pour que la trace soit nulle.
#### Solution
Soit $u$ de matrice $\operatorname{diag}(1,\dots,1,-(n-1))$ dans une base ($n-1$ fois la valeur $1$). Sa trace est nulle. Comme $-(n-1)\neq1$, $D-I_n=\operatorname{diag}(0,\dots,0,-n)$ est de rang $1$, donc $1$ est valeur propre et $d=n-1$. Enfin $n-1>\frac{3n}4\iff n>4$, vrai pour $n\ge5$. **Un tel endomorphisme existe.**
> [!PIEGE]
> Vérifier que le sous-espace propre n'est pas plus gros qu'annoncé (ici, $-(n-1)\neq1$), et dire où sert $n\ge5$ : pour $n=4$, cet exemple donne $d=3=3n/4$, et l'inégalité stricte échoue.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Que vaut $\operatorname{rg}w$ en fonction de $d$ ? Développer $(w-v)^2$ sans supposer que $v$ et $w$ commutent.
> [!INDICATION]
> Majorer chaque terme séparément ne donne que $3\operatorname{rg}w$, insuffisant. Regrouper deux des termes pour faire apparaître $w$ en facteur à gauche.
#### Solution
$\operatorname{Ker}w=\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id}_E)$, donc $\operatorname{rg}w=n-d<\frac n4$. Avec $v^2=0$ :
$$(w-v)^2=w^2-wv-vw=w\circ(w-v)-v\circ w.$$
$\operatorname{Im}\big(w\circ(w-v)\big)\subset\operatorname{Im}w$, et $\operatorname{Im}(v\circ w)=v(\operatorname{Im}w)$ a une dimension au plus $\operatorname{rg}w$. Comme $\operatorname{Im}(f+g)\subset\operatorname{Im}f+\operatorname{Im}g$,
$$\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)\le2\operatorname{rg}w<\frac n2,\qquad\boxed{\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)<\frac n2.}$$
> [!PIEGE]
> Écrire $(w-v)^2=w^2-2wv+v^2$ : l'anneau $\mathcal L(E)$ n'est pas commutatif.
> [!METHODE]
> Deux majorations à connaître : $\operatorname{rg}(f+g)\le\operatorname{rg}f+\operatorname{rg}g$ et $\operatorname{rg}(f\circ g)\le\min(\operatorname{rg}f,\operatorname{rg}g)$. On a souvent intérêt à factoriser avant de majorer.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Sur $K=\operatorname{Ker}\big((w-v)^2\big)$, l'endomorphisme induit par $w-v$ est de carré nul. Que dit la partie A de son polynôme caractéristique ?
> [!INDICATION]
> Passer de $w-v$ à $u-v$ par translation de l'identité, puis faire remonter l'information de $K$ à $E$ avec une matrice triangulaire par blocs dans une base adaptée à $K$.
#### Solution
$K$ est de dimension $k=n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)>\frac n2>0$ (Q10). Pour $x\in K$, $(w-v)^2\big((w-v)x\big)=(w-v)\big((w-v)^2x\big)=0$ : $K$ est stable par $w-v$, qui y induit $g$ avec $g^2=0$. Par Q1 (ou trivialement si $g=0$), $\chi_g=X^k$.
Comme $u-v=(w-v)+\mathrm{id}_E$, $K$ est stable par $u-v$, qui y induit $g+\mathrm{id}_K$, de polynôme caractéristique $\det\big((X-1)\mathrm{id}_K-g\big)=\chi_g(X-1)=(X-1)^k$. Dans une base de $E$ complétant une base de $K$, la matrice de $u-v$ est $\begin{pmatrix}G&\ast\\0&G'\end{pmatrix}$, d'où
$$\chi_{u-v}=(X-1)^k\chi_{G'}.$$
**$1$ est valeur propre de $u-v$ de multiplicité au moins $n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)$.**
> [!PIEGE]
> Il s'agit de la multiplicité comme racine du polynôme caractéristique, pas de la dimension du sous-espace propre. Celle-ci peut être bien plus petite : $g$ n'est pas nul en général.
> [!METHODE]
> Si $F$ est stable par $a$, le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit divise $\chi_a$ : on le voit sur la matrice triangulaire par blocs dans une base adaptée.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Deux endomorphismes semblables ont le même polynôme caractéristique. Exprimer $\chi_{-a}$ à l'aide de $\chi_a$.
> [!INDICATION]
> Pour transférer la multiplicité de $1$ à $-1$, factoriser $\chi_a$ par la bonne puissance de $(X-1)$ et substituer $-X$ à $X$.
#### Solution
Soit $a=u-v$ avec $-a=\varphi a\varphi^{-1}$. Alors $\chi_a=\chi_{-a}$ et, si $A$ représente $a$, $\chi_{-a}(X)=\det(XI_n+A)=(-1)^n\chi_a(-X)$. Donc $\chi_a(X)=(-1)^n\chi_a(-X)$.
Écrivons $\chi_a=(X-1)^\mu R$ avec $R(1)\neq0$. Alors
$$\chi_a(X)=(-1)^n(-X-1)^\mu R(-X)=(-1)^{n+\mu}(X+1)^\mu R(-X),$$
et $R(-X)$ ne s'annule pas en $-1$. Donc $-1$ est racine de multiplicité exactement $\mu$. Par Q10–Q11, $\mu\ge n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)>\frac n2$ :
$$\boxed{1\text{ et }-1\text{ sont valeurs propres de }u-v\text{ de multiplicité }>\frac n2.}$$
> [!PIEGE]
> « Si $\lambda$ est valeur propre, $-\lambda$ aussi » ne parle que des valeurs propres, pas des multiplicités. L'identité polynomiale $\chi_a(X)=(-1)^n\chi_a(-X)$ est nécessaire.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Par l'absurde : si $u=v_1+v_2+v_3$, quel endomorphisme est dans $\Sigma_2\mathcal C(E)$ ?
> [!INDICATION]
> Deux racines distinctes d'un polynôme de degré $n$ ne peuvent pas avoir chacune une multiplicité strictement supérieure à $n/2$.
#### Solution
Si $u=v_1+v_2+v_3$ avec $v_k\in\mathcal C(E)$, posons $v=v_3$ : $u-v=v_1+v_2\in\Sigma_2\mathcal C(E)$. Le théorème de Wang et Wu (sens « il faut ») fournit $\varphi$ avec $-(u-v)=\varphi(u-v)\varphi^{-1}$. Par Q12, $1$ et $-1$ ont dans $\chi_{u-v}$ des multiplicités $>\frac n2$ ; leur somme dépasserait $n=\deg\chi_{u-v}$. Contradiction :
$$\boxed{u\notin\Sigma_3\mathcal C(E).}$$
Comme $\operatorname{tr}u=0$, $u\in\Sigma_\infty\mathcal C(E)$ (Q8) : trois termes ne suffisent pas toujours.
> [!PIEGE]
> Appliquer le théorème de Wang et Wu à $u$ lui-même n'a pas de sens : c'est $u-v_3$ qui est somme de **deux** carrés nuls.
## Partie D — Intermède : matrices de Hessenberg
Une matrice de Hessenberg est nulle strictement sous la sous-diagonale ; elle est régulière si sa sous-diagonale n'a aucun zéro. Profil pour $n=5$ ($\ast$ quelconque, $\bullet$ non nul) :
```text
* * * * *
• * * * *
0 • * * *
0 0 • * *
0 0 0 • *
```
L'objectif est double : modifier la dernière colonne pour imposer le polynôme caractéristique (Q15) ; reconnaître $J_n$ derrière toute Hessenberg régulière nilpotente (Q18).
### Question 14
> [!INDICATION]
> Écrire la sous-matrice (lignes privées de $k$, colonnes $1$ à $n-1$) et la découper en séparant les lignes avant et après $k$, et les colonnes avant $k$ et à partir de $k$.
> [!INDICATION]
> Que deviennent, dans cette sous-matrice, les coefficients sous-diagonaux de $xI_n-A$ ? Repérer un bloc triangulaire et un bloc nul, puis calculer le déterminant par blocs.
#### Solution
Notons $B(x)=xI_n-A$ et $N(x)$ la sous-matrice. Avec les lignes $\{1..k-1\}\cup\{k+1..n\}$ et les colonnes $\{1..k-1\}\cup\{k..n-1\}$ :
$$N(x)=\begin{pmatrix}xI_{k-1}-A_{k-1}&\ast\\ Z&T\end{pmatrix},$$
où $A_{k-1}$ est le bloc supérieur gauche de taille $k-1$ de $A$.
- $Z$ : ligne $i\ge k+1$, colonne $j\le k-1$, donc $i\ge j+2$ et $b_{i,j}=-a_{i,j}=0$.
- $T$ : son coefficient $(p,q)$ est $b_{k+p,k-1+q}$ ; nul si $p>q$ (car $k+p\ge(k-1+q)+2$), égal à $-a_{k+p,k+p-1}\neq0$ si $p=q$. $T$ est triangulaire supérieure de diagonale $(-a_{k+1,k},\dots,-a_{n,n-1})$, sans $x$.
Donc $\det N(x)=\chi_{A_{k-1}}(x)\prod_{i=k}^{n-1}(-a_{i+1,i})$ (conventions : $\chi_{A_0}=1$, produit vide $=1$). Ce polynôme $P_k$ est de degré exactement $k-1$, et il est unique car deux polynômes égaux sur $\mathbb C$, ensemble infini, sont égaux.
$$\boxed{\deg P_k=k-1,\qquad\text{coefficient dominant }(-1)^{n-k}\prod_{i=k}^{n-1}a_{i+1,i}\neq0.}$$
> [!PIEGE]
> Les cas extrêmes : pour $k=1$, $P_1$ est la constante $\prod_{i=1}^{n-1}(-a_{i+1,i})$ ; pour $k=n$, $P_n=\chi_{A_{n-1}}$ est unitaire. Raisonner sur les indices d'origine évite les décalages après suppression d'une ligne.
### Question 15
> [!INDICATION]
> $E_C$ ne touche que la dernière colonne. Développer $\det(xI_n-A-E_C)$ selon cette colonne : quels cofacteurs apparaissent, et dépendent-ils de $C$ ?
> [!INDICATION]
> On obtient $\chi_{A+E_C}=\chi_A-\Phi(C)$ avec $\Phi$ linéaire. Pourquoi les $P_k$, $k\le n-1$, forment-ils une base d'un espace de polynômes bien choisi ? Où vit $\chi_A-P$ ?
#### Solution
Les sous-matrices obtenues en retirant la colonne $n$ ne dépendent pas de $C$ : leurs déterminants sont les $P_k(x)$. Par linéarité du déterminant par rapport à la dernière colonne, puis développement :
$$\chi_{A+E_C}=\chi_A-\Phi(C),\qquad\Phi(C)=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+n}c_kP_k.$$
Les $P_1,\dots,P_{n-1}$ ont pour degrés $0,\dots,n-2$ : famille échelonnée, donc libre, de cardinal $n-1$, c'est une base de $\mathbb C_{n-2}[X]$. L'application linéaire $\Phi:\mathbb C^{n-1}\to\mathbb C_{n-2}[X]$ envoie la base canonique sur une base : c'est un isomorphisme.
$P$ et $\chi_A$ sont unitaires de degré $n$, de même coefficient $-\operatorname{tr}A$ en $X^{n-1}$, donc $\chi_A-P\in\mathbb C_{n-2}[X]$, et
$$\chi_{A+E_C}=P\iff C=\Phi^{-1}(\chi_A-P).$$
$$\boxed{\exists!\,C\in\mathbb C^{n-1},\quad\chi_{A+E_C}=P.}$$
> [!METHODE]
> Une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts est libre ; si elle a pour degrés exactement $0,1,\dots,m$, c'est une base de $\mathbb K_m[X]$. C'est l'outil standard pour l'existence et l'unicité de coefficients.
> [!PIEGE]
> La condition sur le coefficient de $X^{n-1}$ n'est pas décorative : $\operatorname{tr}(A+E_C)=\operatorname{tr}A$ pour tout $C$, et sans elle $\chi_A-P$ n'est pas dans $\mathbb C_{n-2}[X]$.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Calculer d'abord le polynôme caractéristique de $J_n$ lui-même, puis invoquer l'unicité.
#### Solution
$xI_n-J_n$ est triangulaire de diagonale $(x,\dots,x)$ : $\chi_{J_n}=X^n$. Les hypothèses de Q15 sont réunies ($J_n$ Hessenberg régulière, $X^n$ unitaire de coefficient $0=-\operatorname{tr}J_n$ en $X^{n-1}$), et $C=0$ convient. Par unicité,
$$\boxed{C=0.}$$
Vérification de cohérence : pour $J_n$, $P_k=(-1)^{n-k}X^{k-1}$ et $\chi_{J_n+E_C}=X^n-\sum_{k=1}^{n-1}c_kX^{k-1}$, qui vaut $X^n$ si et seulement si $C=0$. La matrice $J_n+E_C$ est la matrice compagnon de ce polynôme.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Dans quel sous-espace $\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_m)$ se trouve $u(e_j)$ pour une matrice de Hessenberg ?
> [!INDICATION]
> Par récurrence sur $k$, déterminer le plus grand indice $m$ tel que $u^k(e_1)$ ait une composante non nulle sur $e_m$, et calculer cette composante.
#### Solution
Hessenberg donne $u(e_j)\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{j+1})$, avec composante $a_{j+1,j}$ sur $e_{j+1}$. Par récurrence sur $k\le n-1$ :
$$u^k(e_1)\in\pi_ke_{k+1}+\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k),\qquad\pi_k=\prod_{i=1}^ka_{i+1,i}.$$
Initialisation $\pi_0=1$. Hérédité : dans $u^{k+1}(e_1)=\pi_ku(e_{k+1})+\sum_{i\le k}\lambda_iu(e_i)$, seul $u(e_{k+1})$ apporte une composante sur $e_{k+2}$, égale à $a_{k+2,k+1}$, d'où $\pi_{k+1}=\pi_ka_{k+2,k+1}$.
La matrice de $(u^k(e_1))_{0\le k\le n-1}$ dans $(e_i)$ est triangulaire supérieure de diagonale $(\pi_0,\dots,\pi_{n-1})$, non nulle par régularité : elle est inversible.
$$\boxed{(u^k(e_1))_{0\le k\le n-1}\text{ est une base de }E.}$$
### Question 18
> [!INDICATION]
> Avec Q17, écrire la matrice de $u$ dans la base $(e_1,u(e_1),\dots,u^{n-1}(e_1))$. Il manque une seule information : $u^n(e_1)$.
> [!INDICATION]
> Montrer $u^n=0$ à partir de $\chi_u=X^n$ par une trigonalisation : que fait $u$ au drapeau $H_1\subset H_2\subset\dots$ associé à une base de trigonalisation ?
#### Solution
Soit $u$ associé à $A$ dans la base canonique.
*$u^n=0$.* $\chi_u=X^n$ est scindé : dans une base de trigonalisation $(h_k)$, la matrice de $u$ est triangulaire supérieure de diagonale nulle (les valeurs propres). Avec $H_k=\operatorname{Vect}(h_1,\dots,h_k)$, on a $u(H_k)\subset H_{k-1}$, donc $u^n(E)\subset H_0=\{0\}$.
*Matrice dans la base cyclique.* Avec $f_k=u^{k-1}(e_1)$ (base par Q17) : $u(f_k)=f_{k+1}$ pour $k\le n-1$ et $u(f_n)=u^n(e_1)=0$. La matrice de $u$ dans $(f_k)$ est $J_n$ :
$$\boxed{A\text{ est semblable à }J_n.}$$
> [!METHODE]
> Pour montrer qu'une matrice est semblable à une matrice donnée, on cherche une base dans laquelle l'endomorphisme associé a cette matrice, en lisant la matrice cible colonne par colonne. Ici $J_n$ dit : $f_1\mapsto f_2\mapsto\dots\mapsto f_n\mapsto0$.
> [!PIEGE]
> L'argument « $u^n=0$ par Cayley-Hamilton » est le plus rapide, mais l'argument de trigonalisation ci-dessus, qui ne demande rien de plus que le cours de PC sur la trigonalisation, met la copie à l'abri de toute contestation sur le programme.
## Partie E — Somme de quatre endomorphismes de carré nul
On assemble : une matrice presque triangulaire de trace nulle, augmentée de $V+E_{C_0}$, devient semblable à $J_n$ (Q19). $J_n$ et $V+E_{C_0}$ sont chacune somme de deux carrés nuls (Q20, Q21). Toute matrice non scalaire se ramène à la forme presque triangulaire (Q22–Q24). D'où quatre termes (Q25).
Profil d'une matrice presque triangulaire supérieure pour $n=5$ :
```text
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
0 0 0 * *
0 0 0 • *
```
### Question 19
> [!INDICATION]
> Montrer que $A+V$ est de Hessenberg régulière : qui fournit chacun des coefficients sous-diagonaux ?
> [!INDICATION]
> Enchaîner Q15 (avec quel polynôme $P$ ?) puis Q18, en vérifiant que l'ajout de $E_{C_0}$ ne détruit pas la structure.
#### Solution
*Hessenberg* : si $i>j+1$, alors $(i,j)\neq(n,n-1)$ donc $a_{i,j}=0$, et $v_{i,j}=0$. *Régulière* : pour $i\le n-2$, le coefficient $(i+1,i)$ vaut $0+1=1$ ; en $(n,n-1)$ il vaut $a_{n,n-1}\neq0$. *Trace* : $\operatorname{tr}(A+V)=\operatorname{tr}A=0$.
Par Q15 avec $P=X^n$, il existe $C_0$ tel que $\chi_{A+V+E_{C_0}}=X^n$. L'ajout de $E_{C_0}$ ne modifie que la colonne $n$ aux lignes $1..n-1$ : la matrice reste de Hessenberg régulière. Par Q18 :
$$\boxed{A+V+E_{C_0}\text{ est semblable à }J_n.}$$
> [!PIEGE]
> Les vérifications d'hypothèses sont toute la question : régularité de $A+V$ (c'est là que sert $a_{n,n-1}\neq0$), trace nulle, et stabilité de la structure par ajout de $E_{C_0}$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> $J_n$ envoie $\varepsilon_1\mapsto\varepsilon_2\mapsto\dots\mapsto\varepsilon_n\mapsto0$. Une matrice de carré nul ne doit pas contenir deux « flèches » consécutives de cette chaîne.
> [!INDICATION]
> Répartir les coefficients de $J_n$ entre $B_1$ et $B_2$ selon une règle d'alternance.
#### Solution
$$B_1=\sum_{\substack{1\le j\le n-1\\ j\text{ impair}}}E_{j+1,j},\qquad B_2=\sum_{\substack{1\le j\le n-1\\ j\text{ pair}}}E_{j+1,j}.$$
On a $B_1+B_2=J_n$, et en chaque position l'une des deux est nulle. $B_1^2$ est une somme de $E_{j+1,j}E_{j'+1,j'}=\delta_{j,j'+1}E_{j+1,j'}$ avec $j,j'$ impairs : $j-j'$ est pair, donc jamais égal à $1$, et $B_1^2=0$. De même $B_2^2=0$.
$$\boxed{J_n=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$
### Question 21
> [!INDICATION]
> Garder pour la partie $V$ l'alternance de Q20 (la chaîne s'arrête désormais à $\varepsilon_{n-1}$). Les coefficients $c_i$ de $E_C$ correspondent à des flèches $\varepsilon_n\to\varepsilon_i$.
> [!INDICATION]
> Pour qu'un $B_k$ reste de carré nul, chaque flèche $\varepsilon_n\to\varepsilon_i$ doit arriver sur un vecteur que ce même $B_k$ annule. Lequel des deux paquets annule $\varepsilon_i$ ? Cela dépend de la parité de $i$.
#### Solution
$$B_1=\sum_{\substack{j\le n-2\\ j\text{ impair}}}E_{j+1,j}+\sum_{\substack{i\le n-1\\ i\text{ pair}}}c_iE_{i,n},\qquad B_2=\sum_{\substack{j\le n-2\\ j\text{ pair}}}E_{j+1,j}+\sum_{\substack{i\le n-1\\ i\text{ impair}}}c_iE_{i,n}.$$
Alors $B_1+B_2=V+E_C$. L'image de $B_1$ est contenue dans $\operatorname{Vect}(\varepsilon_i:i\le n-1\text{ pair})$ : les colonnes impaires $j\le n-2$ donnent $\varepsilon_{j+1}$ avec $j+1$ pair, et la colonne $n$ donne une combinaison des $\varepsilon_i$, $i$ pair. Or $B_1$ annule les $\varepsilon_i$ d'indice pair $\le n-1$ (ce ne sont ni des colonnes impaires, ni la colonne $n$). Donc $B_1^2=0$. De même, l'image de $B_2$ est contenue dans $\operatorname{Vect}(\varepsilon_i:i\le n-1\text{ impair})$, que $B_2$ annule : $B_2^2=0$.
$$\boxed{V+E_C=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$
Pour $n=2$ : $V=0$, $B_1=0$, $B_2=c_1E_{1,2}$.
> [!PIEGE]
> Mettre tout $E_C$ dans $B_1$ échoue : $B_1^2$ contient alors $\sum_{j\text{ impair}\le n-2}c_jE_{j+1,n}$, non nul dès qu'un tel $c_j$ est non nul.
> [!METHODE]
> Voir une matrice à coefficients $0/1$ comme un graphe de flèches entre vecteurs de base : $B^2=0$ signifie qu'aucune flèche n'arrive sur un vecteur d'où part une autre flèche, ou, plus généralement, que $\operatorname{Im}B\subset\operatorname{Ker}B$.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Distinguer selon que $v$ a au moins deux valeurs propres distinctes ou une seule.
> [!INDICATION]
> Avec deux valeurs propres, penser à la somme de deux vecteurs propres. Avec une seule valeur propre $\lambda$, utiliser une base de trigonalisation pour étudier $N=v-\lambda\,\mathrm{id}$, et chercher $x$ tel que $Nx\neq0$ mais $N^2x=0$.
#### Solution
Comme $v$ n'est pas une homothétie, $n\ge2$.
*Deux valeurs propres $\lambda\neq\mu$*, vecteurs propres $x$, $y$ : ils sont libres, $\operatorname{Vect}(x,y)$ est stable, et $x+y$ n'est pas propre ($v(x+y)=\nu(x+y)$ forcerait $\lambda=\nu=\mu$).
*Une seule valeur propre $\lambda$* : dans une base de trigonalisation, $N=v-\lambda\,\mathrm{id}$ est triangulaire supérieure stricte, donc $N^n=0$ (argument de drapeau), et $N\neq0$. Soit $y$ avec $Ny\neq0$, $p\ge1$ maximal tel que $N^py\neq0$, et $x=N^{p-1}y$ : $Nx\neq0$, $N^2x=0$. La famille $(x,Nx)$ est libre ($\alpha x+\beta Nx=0$ donne, en appliquant $N$, $\alpha=0$, puis $\beta=0$). Le plan $\operatorname{Vect}(x,Nx)$ est stable ($v(x)=\lambda x+Nx$, $v(Nx)=\lambda Nx$) et $x$ n'est pas propre ($v(x)=\nu x$ donnerait $Nx=(\nu-\lambda)x$).
**Il existe un plan stable par $v$ contenant un vecteur non nul non propre.**
> [!PIEGE]
> Prendre $x$ non propre et poser $P=\operatorname{Vect}(x,v(x))$ ne marche pas : ce plan n'a aucune raison d'être stable. Il faut à la fois la stabilité et un vecteur non propre.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Dans le plan de Q22, prendre comme premier vecteur de base un vecteur non propre $f_1$ ; quel second vecteur, naturel, est dans le plan et donne $b_{2,1}\neq0$ ?
> [!INDICATION]
> Compléter en une base de $\mathbb C^n$ ; le bloc en bas à droite n'est pas triangulaire, mais on peut le trigonaliser sans toucher au bloc $B$ en conjuguant par une matrice diagonale par blocs.
#### Solution
$v$ associé à $M$ n'est pas une homothétie. Par Q22, soit $P$ stable et $f_1\in P$ non propre ; $f_2=v(f_1)\in P$ et $(f_1,f_2)$ est une base de $P$. On complète en $\mathcal F=(f_1,\dots,f_n)$ ; par stabilité de $P$,
$$\operatorname{Mat}_{\mathcal F}(v)=\begin{pmatrix}B&D\\0&C'\end{pmatrix},\qquad v(f_1)=f_2\ \Rightarrow\ b_{2,1}=1.$$
On trigonalise $C'=QCQ^{-1}$ et, avec $R=\operatorname{diag}(I_2,Q)$ (par blocs),
$$R^{-1}\begin{pmatrix}B&D\\0&C'\end{pmatrix}R=\begin{pmatrix}B&DQ\\0&C\end{pmatrix}.$$
$$\boxed{M\sim\begin{pmatrix}B&(?)\\(0)&C\end{pmatrix},\quad b_{2,1}\neq0,\ C\text{ triangulaire supérieure.}}$$
> [!METHODE]
> Conjuguer par $\operatorname{diag}(I_p,Q)$ agit sur le bloc diagonal inférieur par similitude ($C'\mapsto Q^{-1}C'Q$) sans changer le bloc supérieur gauche. C'est la technique standard pour réduire un bloc à la fois.
### Question 24
> [!INDICATION]
> La forme de Q23 a son bloc $2\times2$ « non triangulaire » en haut à gauche ; on le veut en bas à droite. Retourner l'ordre de la base envoie le haut à gauche en bas à droite, mais transforme « triangulaire supérieure » en « triangulaire inférieure ». Quelle autre opération échange triangulaire inférieure et supérieure ?
> [!INDICATION]
> Appliquer Q23 à la transposée $M^\top$, transposer la similitude obtenue, puis conjuguer par la matrice de la permutation $i\mapsto n+1-i$.
#### Solution
$M^\top\notin\operatorname{Vect}(I_n)$, donc par Q23, $M^\top=SNS^{-1}$ avec $N=\begin{pmatrix}B&X\\0&C\end{pmatrix}$, $b_{2,1}\neq0$, $C$ triangulaire supérieure. En transposant, $M=(S^\top)^{-1}N^\top S^\top$ est semblable à
$$N^\top=\begin{pmatrix}B^\top&0\\X^\top&C^\top\end{pmatrix},$$
dont le seul coefficient éventuellement non nul strictement au-dessus de la diagonale est le coefficient $(1,2)$, égal à $b_{2,1}\neq0$.
Soit $W=\sum_iE_{i,n+1-i}$ ; $W^2=I_n$ et $(WN^\top W)_{i,j}=(N^\top)_{n+1-i,n+1-j}$. Pour $i>j$, on a $n+1-i<n+1-j$, donc ce coefficient est nul, sauf pour $(n+1-i,n+1-j)=(1,2)$, soit $(i,j)=(n,n-1)$, où il vaut $b_{2,1}\neq0$.
$$\boxed{M\text{ est semblable à }WN^\top W,\text{ presque triangulaire supérieure.}}$$
Exemple de contrôle ($n=4$) : si $N^\top$ a pour profil ($\bullet$ = $b_{2,1}$)
```text
* • 0 0 * * * *
* * 0 0 W..W 0 * * *
* * * 0 ----> 0 0 * *
* * * * 0 0 • *
```
> [!METHODE]
> Deux opérations à connaître pour déplacer des zéros : la conjugaison par $W$ (retournement de la base) symétrise par rapport au centre de la matrice ; la transposition, via « $M$ semblable à $N$ implique $M^\top$ semblable à $N^\top$ », échange haut et bas. Combinées, elles échangent les coins sans changer le caractère triangulaire supérieur.
> [!PIEGE]
> Une autre voie est une récurrence sur $n$ : on isole une droite propre $\mathbb Cg_1$ et l'on applique l'hypothèse de récurrence au bloc de taille $n-1$. Elle est correcte, mais il faut alors choisir $g_1$ pour que ce bloc ne soit pas scalaire, ce qui demande une discussion (cas où $v-\mu\,\mathrm{id}$ est de rang $1$). Ne pas oublier cette discussion si l'on choisit cette voie.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Écarter d'abord le cas où $u$ est une homothétie : que vaut-elle si sa trace est nulle ?
> [!INDICATION]
> Sinon, enchaîner Q24, Q19, puis Q20 et Q21 sur les deux morceaux de $A=QJ_nQ^{-1}-(V+E_{C_0})$. Vérifier que conjugaison et passage à l'opposé conservent la propriété « de carré nul ».
#### Solution
*Homothétie* : $u=\lambda\,\mathrm{id}$ avec $n\lambda=0$, donc $u=0=0+0+0+0\in\Sigma_4\mathcal C(E)$ (cela couvre $n=1$).
*Sinon* ($n\ge2$) : la matrice $M$ de $u$ n'est pas scalaire et $\operatorname{tr}M=0$. Par Q24, $M=SAS^{-1}$ avec $A$ presque triangulaire supérieure, $\operatorname{tr}A=0$. Par Q19, $A+V+E_{C_0}=QJ_nQ^{-1}$. Par Q20, $J_n=B_1+B_2$ ; par Q21, $V+E_{C_0}=B_3+B_4$ ; tous de carré nul. Donc
$$A=QB_1Q^{-1}+QB_2Q^{-1}+(-B_3)+(-B_4),$$
avec $(QB_kQ^{-1})^2=QB_k^2Q^{-1}=0$ et $(-B_k)^2=0$. En conjuguant par $S$, $M$ est somme de quatre matrices de carré nul, et, par l'isomorphisme d'algèbres $f\mapsto\operatorname{Mat}(f)$, $u=u_1+u_2+u_3+u_4$ avec $u_k^2=0$ :
$$\boxed{u\in\Sigma_4\mathcal C(E).}$$
Bilan du problème, pour $n\ge5$ :
$$\Sigma_3\mathcal C(E)\subsetneq\Sigma_4\mathcal C(E)=\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\{u:\operatorname{tr}u=0\}.$$
> [!PIEGE]
> Q24 ne s'applique qu'aux matrices non scalaires : sans le cas des homothéties traité à part, la démonstration a un trou. Et le signe moins devant $V+E_{C_0}$ ne coûte aucun terme supplémentaire.
> [!JURY]
> Dans une question de synthèse, on attend que chaque résultat antérieur invoqué soit cité par son numéro, avec la vérification explicite de ses hypothèses. Cette question est rédigeable même si Q19 à Q24 n'ont pas été démontrées.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- $v\circ u=0\iff\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}v$ ; construction d'une base adaptée à $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u\subset E$ (Q2–Q4).
- Unicité d'une forme réduite par un invariant de similitude (rang, Q5).
- Majorations de rang : sous-additivité, rang d'une composée, en factorisant avant de majorer (Q10).
- Sous-espace stable : le polynôme caractéristique de l'induit divise celui de l'endomorphisme (matrice triangulaire par blocs, Q11) ; multiplicités via une identité polynomiale (Q12).
- Déterminant d'une sous-matrice de Hessenberg par découpage en blocs (Q14) ; développement selon une colonne pour rendre un problème linéaire en $C$ (Q15) ; familles de polynômes échelonnées en degrés.
- Bases cycliques $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ et matrice $J_n$ (Q17–Q18) ; nilpotence par drapeau de trigonalisation.
- Décomposition d'une matrice en carrés nuls en lisant ses coefficients comme des flèches entre vecteurs de base (Q20–Q21).
- Transposition et retournement de la base pour déplacer un bloc (Q24).
**Prérequis à revoir.** Théorème du rang et supplémentaires ; polynôme caractéristique, multiplicité, trace et déterminant d'une matrice trigonalisable ; déterminants par blocs et développement selon une ligne ou une colonne ; trigonalisation sur $\mathbb C$ ; similitude et changement de base ; règle $E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$.
**Questions classiques transposables.** Forme réduite des endomorphismes de carré nul ou nilpotents d'indice 2 ; base de l'hyperplan des matrices de trace nulle ; spectre de $a$ semblable à $-a$ ; matrice compagnon et complétion d'un polynôme caractéristique ; vecteur cyclique d'une matrice de Hessenberg régulière ; existence d'un plan stable pour un endomorphisme d'un $\mathbb C$-espace.
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