Maths 2

# Mines-Ponts PC — Maths 2 2026 · Corrigé guidé

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

## Présentation du sujet

**Thème.** Le problème étudie l'équation différentielle linéaire du second ordre
$$(E)\quad y''+b(x)y=c(x),$$
où $b$ et $c$ sont continues et $2\pi$-périodiques, et pose une seule question sous plusieurs angles : quand $(E)$ possède-t-elle une solution périodique ? Le fil conducteur est le critère de la question 4 : une solution qui « recolle » en valeur **et** en dérivée entre $0$ et $2\pi$ est $2\pi$-périodique. Chaque partie fabrique, par un moyen différent, une solution qui recolle.

**Découpage (25 questions, 3 heures, sans calculatrice ni document).**

- **Partie 1 (Q1–Q4), résultats généraux** : structure des solutions bornées, opérateur de translation $T$, critère de périodicité. Courte et réutilisée partout.
- **Partie 2 (Q5–Q10), coefficients constants** : $y''+\omega^2y=\cos x$. Calcul explicite ; on voit que l'existence de solutions périodiques autres que $f_0$ dépend de la rationalité de $\omega$.
- **Partie 3 (Q11–Q14), $b=-(1+\cos x)$** : un argument de convexité donne l'unicité de la solution bornée, puis sa périodicité.
- **Partie 4 (Q15–Q21), toujours $b=-(1+\cos x)$** : construction d'une solution périodique quand $c$ est un polynôme trigonométrique en sinus, par une série de sinus et un argument d'algèbre linéaire « en degré ».
- **Partie 5 (Q22–Q25), théorème général** : si une solution $f_0$ est bornée ainsi que sa dérivée, il existe une solution périodique. Argument de compacité en dimension finie et de moyennes de translatées.

**Notions mobilisées.** Théorème de Cauchy linéaire (admis au programme) et dimension de l'espace des solutions homogènes ; équations à coefficients constants ; périodicité ; convexité via la dérivée seconde ; séries numériques (comparaison, Riemann) ; séries de fonctions (convergence normale, dérivation terme à terme de classe $\mathcal C^2$) ; linéarisation trigonométrique ; familles libres, bases, dimension, somme directe ; topologie en dimension finie (continuité des applications linéaires, caractérisation séquentielle des fermés, théorème des bornes atteintes).

**Difficulté et gestion du temps.** Sujet de longueur raisonnable, sans calcul lourd, très progressif. Les parties 2, 3 et 4 sont indépendantes entre elles ; la partie 5 n'utilise que la partie 1. Questions à ne pas laisser passer : Q1 à Q6, Q8, Q11, Q13, Q17, Q18, Q25 (rédigeable en admettant Q23 et Q24). Questions discriminantes : Q7 (raisonner sur l'équation et non sur la forme des solutions), Q12 (passer de $g^2$ constante à $g=0$), Q15 (deux tours de majoration), Q16 (dérivation terme à terme et réindexation), Q19–Q20 (argument de degré), Q22–Q23 (dimension finie).

**Convexité.** La notion de fonction convexe ne figure pas au programme de PCSI–PC 2021 ; l'énoncé l'utilise et admet le résultat clé (une fonction convexe non constante n'est pas majorée). On rappelle en Q11 la définition et on démontre le critère « $\varphi''\ge0\Rightarrow\varphi$ convexe ».

## Partie 1 — Résultats généraux

Tout repose sur deux faits : $y\mapsto y''+by$ est **linéaire** (principe de superposition) et le **théorème de Cauchy linéaire**, admis au programme : pour $b,c$ continues et $(x_0,y_0,y_1)$ donné, $(E)$ a une unique solution sur $\mathbb R$ telle que $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1$. On en déduit que $g\mapsto(g(0),g'(0))$ est un isomorphisme de $\mathcal S(H)$ sur $\mathbb R^2$, donc $\dim\mathcal S(H)=2$ : ce fait servira en partie 5.

### Question 1

> [!INDICATION]
> Montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu : inclusion, non-vacuité, stabilité par combinaison linéaire.

> [!INDICATION]
> La seule chose à vérifier vraiment, c'est que la combinaison linéaire reste bornée : écrire une majoration indépendante de $x$.

#### Solution

On a $\mathcal B(H)=\mathcal S(H)\cap\mathbf B(\mathbb R,\mathbb R)\subset\mathcal S(H)$. La fonction nulle est une solution bornée de $(EH)$. Soient $g_1,g_2\in\mathcal B(H)$ et $\lambda\in\mathbb R$ : $\lambda g_1+g_2\in\mathcal S(H)$ car $\mathcal S(H)$ est un espace vectoriel, et pour tout $x$,
$$|\lambda g_1(x)+g_2(x)|\le|\lambda|\,\|g_1\|+\|g_2\|,$$
majorant indépendant de $x$. Donc $\lambda g_1+g_2\in\mathcal B(H)$.

**$\mathcal B(H)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal S(H)$.**

> [!METHODE]
> L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un même espace est un sous-espace : ici $\mathcal S(H)$ et $\mathbf B(\mathbb R,\mathbb R)$ sont deux sous-espaces de l'espace des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. C'est une rédaction encore plus courte.

### Question 2

> [!INDICATION]
> Égalité d'ensembles : double inclusion.

> [!INDICATION]
> La différence de deux solutions de $(E)$ est solution de $(EH)$, et la somme d'une solution de $(E)$ et d'une solution de $(EH)$ est solution de $(E)$. N'oublier dans aucun sens le caractère borné.

#### Solution

Soit $f_0\in\mathcal B(E)$.

- Si $f\in\mathcal B(E)$, alors $g=f-f_0$ est de classe $\mathcal C^2$ et $g''+bg=c-c=0$, donc $g\in\mathcal S(H)$ ; de plus $\|g\|\le\|f\|+\|f_0\|$. Donc $g\in\mathcal B(H)$ et $f=f_0+g$.
- Si $g\in\mathcal B(H)$, alors $f_0+g$ est de classe $\mathcal C^2$, $(f_0+g)''+b(f_0+g)=c+0=c$, et $f_0+g$ est bornée. Donc $f_0+g\in\mathcal B(E)$.

$$\boxed{\mathcal B(E)=\{f_0+g,\ g\in\mathcal B(H)\}.}$$

> [!PIEGE]
> Dans chaque sens il y a deux propriétés à vérifier : être solution, et être bornée. Oublier la seconde revient à démontrer l'énoncé sur $\mathcal S$, bien connu, et non celui sur $\mathcal B$.

### Question 3

> [!INDICATION]
> Calculer $T(f)''(x)$ en fonction de $f''$, puis appliquer l'équation au point $x+2\pi$.

> [!INDICATION]
> Repérer précisément où servent la périodicité de $b$ et celle de $c$.

#### Solution

Soit $f\in\mathcal S(E)$. $T(f)$ est la composée de $f$ avec la translation $x\mapsto x+2\pi$, donc de classe $\mathcal C^2$, et $T(f)''(x)=f''(x+2\pi)$. Pour tout $x$, comme $b(x)=b(x+2\pi)$ puis $c(x+2\pi)=c(x)$ :
$$T(f)''(x)+b(x)T(f)(x)=f''(x+2\pi)+b(x+2\pi)f(x+2\pi)=c(x+2\pi)=c(x).$$
**$T(f)$ est solution de $(E)$.**

Deux remarques utiles pour la suite : avec $c=0$, $T$ envoie $\mathcal S(H)$ dans lui-même ; et si $f$ est bornée, $\|T(f)\|=\sup_x|f(x+2\pi)|=\sup_t|f(t)|=\|f\|$, car $x\mapsto x+2\pi$ est une bijection de $\mathbb R$.

### Question 4

> [!INDICATION]
> Suivre l'indication : de quelle équation $h=T(f)-f$ est-elle solution ?

> [!INDICATION]
> Que valent $h(0)$ et $h'(0)$ ? Quel théorème permet alors d'identifier $h$ ?

#### Solution

Posons $h=T(f)-f$. Par la question 3, $T(f)\in\mathcal S(E)$, et $f\in\mathcal S(E)$ ; par linéarité, $h\in\mathcal S(H)$. De plus
$$h(0)=f(2\pi)-f(0)=0,\qquad h'(0)=f'(2\pi)-f'(0)=0.$$
La fonction nulle est aussi solution de $(EH)$ avec ces conditions initiales en $0$. Par l'unicité du théorème de Cauchy linéaire ($b$ continue), $h=0$ : pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x+2\pi)=f(x)$.

**$f$ est $2\pi$-périodique.**

> [!METHODE]
> Pour montrer que deux solutions d'une équation linéaire coïncident, on montre que leur différence est solution de l'équation homogène avec des conditions initiales nulles, puis on invoque l'unicité de Cauchy. C'est le réflexe central du sujet : il resservira en Q25.

> [!PIEGE]
> « $h(0)=h'(0)=0$ donc $h=0$ » n'est pas un argument sans le théorème de Cauchy : une fonction quelconque peut s'annuler avec sa dérivée en un point sans être nulle. C'est l'équation différentielle qui rend la conclusion vraie.

## Partie 2 — Un exemple d'équation à coefficients constants

On résout explicitement $y''+\omega^2y=\cos x$ ($\omega>0$, $\omega\neq1$), puis on cherche ses solutions périodiques. Outils : équations à coefficients constants, déterminant $2\times2$, arithmétique élémentaire sur les rationnels.

### Question 5

> [!INDICATION]
> Reporter $f_0=d\cos$ dans l'équation et identifier ; à quoi sert l'hypothèse $\omega\neq1$ ?

> [!INDICATION]
> Pour $u$ et $v$ : écrire la solution générale réelle de $y''+\omega^2y=0$ et ajuster les deux constantes aux conditions initiales.

#### Solution

Pour $f_0(x)=d\cos x$, $f_0''+\omega^2f_0=d(\omega^2-1)\cos$. Cette fonction est égale à $\cos$ si et seulement si $d(\omega^2-1)=1$ (évaluer en $0$ pour le sens direct). Comme $\omega>0$ et $\omega\neq1$, $\omega^2\neq1$ et
$$\boxed{d=\frac{1}{\omega^2-1}.}$$
L'équation caractéristique $r^2+\omega^2=0$ a pour racines $\pm i\omega$ ; les solutions réelles de $(EH)$ sont les $x\mapsto\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$, de valeur $\alpha$ et de dérivée $\beta\omega$ en $0$. Les conditions imposées donnent
$$\boxed{u(x)=\cos(\omega x),\qquad v(x)=\frac{\sin(\omega x)}{\omega}.}$$

> [!PIEGE]
> Le facteur $1/\omega$ dans $v$ est imposé par $v'(0)=1$ ; il se retrouve dans le système de la question 8. Pour $\omega=1$ (résonance), aucune solution de la forme $d\cos$ n'existe : c'est pourquoi l'énoncé l'exclut.

### Question 6

> [!INDICATION]
> Structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire : solution particulière plus solutions de l'équation homogène.

> [!INDICATION]
> Pour $\mathcal B(E)$, se demander si toutes les solutions trouvées sont bornées.

#### Solution

Par superposition, $\mathcal S(E)=f_0+\mathcal S(H)$ et $\mathcal S(H)=\operatorname{Vect}(u,v)$ :
$$\boxed{\mathcal S(E)=\Big\{x\mapsto\frac{\cos x}{\omega^2-1}+A\cos(\omega x)+\frac B\omega\sin(\omega x),\ (A,B)\in\mathbb R^2\Big\}.}$$
Pour une telle $f$ et tout $x$, $|f(x)|\le\frac{1}{|\omega^2-1|}+|A|+\frac{|B|}{\omega}$ : toute solution est bornée. Donc
$$\boxed{\mathcal B(E)=\mathcal S(E).}$$

> [!PIEGE]
> L'égalité $\mathcal B(E)=\mathcal S(E)$ est propre à cet exemple ($b=\omega^2>0$ donne des oscillations bornées). En partie 3 au contraire, $\mathcal B(E)$ a au plus un élément.

### Question 7

> [!INDICATION]
> Plutôt que de discuter les périodes de $\cos x$, $\cos(\omega x)$, $\sin(\omega x)$ séparément, faire agir la périodicité de $f$ sur l'équation elle-même.

> [!INDICATION]
> Si $f$ est $T$-périodique, $f''$ l'est aussi ; que dire alors du second membre ?

#### Solution

Soit $T>0$ une période de $f$. En dérivant deux fois $f(x+T)=f(x)$ ($f$ est de classe $\mathcal C^2$), $f''(x+T)=f''(x)$. Donc, pour tout $x$,
$$\cos(x+T)=f''(x+T)+\omega^2f(x+T)=f''(x)+\omega^2f(x)=\cos x.$$
En $x=0$ : $\cos T=1$, donc $T\in2\pi\mathbb Z$, et comme $T>0$ :
$$\boxed{T=2k\pi,\quad k\in\mathbb N^*.}$$

> [!PIEGE]
> Affirmer que $T$ est une période de chacun des termes $\cos x$, $\cos(\omega x)$, $\sin(\omega x)$ n'a rien d'évident : seule la combinaison $f$ est supposée périodique. L'argument par l'équation évite entièrement cette difficulté.

### Question 8

> [!INDICATION]
> Une fonction $T$-périodique dérivable a une dérivée $T$-périodique : écrire $f(2k\pi)=f(0)$ et $f'(2k\pi)=f'(0)$.

> [!INDICATION]
> Expliciter $f$ et $f'$ avec $u$, $v$, $f_0$, et utiliser $\cos(2k\pi)=1$, $\sin(2k\pi)=0$ pour faire disparaître $f_0$.

#### Solution

Posons $\theta=2k\pi\omega$. On a
$$f(x)=d\cos x+A\cos(\omega x)+\frac B\omega\sin(\omega x),\qquad f'(x)=-d\sin x-A\omega\sin(\omega x)+B\cos(\omega x).$$
Comme $k$ est entier,
$$f(0)=d+A,\quad f(2k\pi)=d+A\cos\theta+\frac B\omega\sin\theta,\quad f'(0)=B,\quad f'(2k\pi)=-A\omega\sin\theta+B\cos\theta.$$
Par la question 7, $f$ est $2k\pi$-périodique, donc $f'$ aussi, et $f(2k\pi)=f(0)$, $f'(2k\pi)=f'(0)$. En soustrayant :
$$\boxed{\begin{cases}(\cos(2k\pi\omega)-1)A+\dfrac{\sin(2k\pi\omega)}{\omega}B=0\\[2mm]-\omega\sin(2k\pi\omega)A+(\cos(2k\pi\omega)-1)B=0.\end{cases}}$$

> [!METHODE]
> Les deux conditions $f(T)=f(0)$, $f'(T)=f'(0)$ sont exactement celles du critère de la question 4 (avec $2k\pi$ au lieu de $2\pi$) : pour une équation du second ordre, deux conditions de recollement suffisent.

### Question 9

> [!INDICATION]
> Calculer $\det M$ en fonction de $\theta=2k\pi\omega$ ; le résultat se simplifie grâce à $\cos^2+\sin^2=1$.

> [!INDICATION]
> Quand ce déterminant s'annule-t-il ? Utiliser ensuite l'irrationalité de $\omega$ avec $k$ entier non nul.

#### Solution

$$\det M=(\cos\theta-1)^2-\frac{\sin\theta}{\omega}\cdot(-\omega\sin\theta)=(\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta=2(1-\cos\theta)=4\sin^2(k\pi\omega).$$
Il est nul si et seulement si $\cos\theta=1$, c'est-à-dire $\theta\in2\pi\mathbb Z$, c'est-à-dire $k\omega\in\mathbb Z$.

Supposons $\omega\notin\mathbb Q$ et soit $f$ une solution périodique, de période $2k\pi$, $k\in\mathbb N^*$ (question 7). Si $k\omega=m\in\mathbb Z$, alors $\omega=m/k\in\mathbb Q$ : exclu. Donc $\det M\neq0$, le système homogène de la question 8 n'a que la solution nulle, $A=B=0$ et $f=f_0$. Réciproquement, $f_0=d\cos$ est bien une solution $2\pi$-périodique.

**Si $\omega\notin\mathbb Q$, la seule solution périodique de $(E)$ est $f_0$.**

> [!PIEGE]
> Ne pas oublier la réciproque : l'énoncé affirme que $f_0$ **est** une solution périodique, et pas seulement qu'aucune autre ne l'est.

### Question 10

> [!INDICATION]
> Chercher un réel qui soit à la fois multiple de $2\pi$ (période de $\cos$) et multiple de $2\pi/\omega$ (période de $\cos(\omega x)$, $\sin(\omega x)$).

> [!INDICATION]
> Une seule période commune suffit : proposer un candidat simple en fonction de $q$ et le vérifier.

#### Solution

Soit $\omega=p/q$, $p,q\in\mathbb N^*$, et $f\in\mathcal S(E)$ quelconque, $f(x)=d\cos x+A\cos(\omega x)+\frac B\omega\sin(\omega x)$. Comme $2q\pi\in2\pi\mathbb Z$, $\cos(x+2q\pi)=\cos x$. Et $\omega(x+2q\pi)=\omega x+2p\pi$, donc $\cos(\omega(x+2q\pi))=\cos(\omega x)$ et $\sin(\omega(x+2q\pi))=\sin(\omega x)$. Ainsi $f(x+2q\pi)=f(x)$ pour tout $x$ :
$$\boxed{2q\pi\ \text{est une période commune à toutes les solutions de }(E).}$$

> [!METHODE]
> La question demande **une** période commune, pas la plus petite : inutile de supposer la fraction irréductible ou de discuter des parités. On remarque d'ailleurs que c'est cohérent avec Q9 : pour $k=q$, $k\omega=p\in\mathbb Z$ et $\det M=0$.

## Partie 3 — Unicité lorsque la fonction $b$ est négative

Avec $b=-(1+\cos x)\le0$, l'équation homogène $y''=(1+\cos x)y$ n'admet pas d'oscillation : une solution non nulle « s'emballe ». La convexité de $g^2$ traduit ce fait et donne l'unicité de la solution bornée, puis sa périodicité grâce à $T$.

### Question 11

> [!INDICATION]
> Calculer $(g^2)''$ et remplacer $g''$ à l'aide de l'équation.

> [!INDICATION]
> Pour conclure à la convexité, établir (ou rappeler) qu'une fonction de classe $\mathcal C^2$ à dérivée seconde positive est convexe, par exemple avec les accroissements finis.

#### Solution

*Critère.* Soit $\varphi\in\mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R)$ avec $\varphi''\ge0$ ; alors $\varphi'$ est croissante. Soient $x<y$, $\lambda\in\,]0,1[$ et $z=\lambda x+(1-\lambda)y$, de sorte que $z-x=(1-\lambda)(y-x)$ et $y-z=\lambda(y-x)$. L'égalité des accroissements finis fournit $c_1\in\,]x,z[$ et $c_2\in\,]z,y[$ tels que $\varphi(z)-\varphi(x)=\varphi'(c_1)(z-x)$ et $\varphi(y)-\varphi(z)=\varphi'(c_2)(y-z)$. Alors
$$\lambda\varphi(x)+(1-\lambda)\varphi(y)-\varphi(z)=-\lambda(\varphi(z)-\varphi(x))+(1-\lambda)(\varphi(y)-\varphi(z))=\lambda(1-\lambda)(y-x)\big(\varphi'(c_2)-\varphi'(c_1)\big)\ge0.$$
Les cas $\lambda\in\{0,1\}$ ou $x=y$ sont immédiats : $\varphi$ est convexe.

*Application.* Soit $g\in\mathcal S(H)$ et $\varphi=g^2$, de classe $\mathcal C^2$. Alors $\varphi'=2gg'$ et
$$\varphi''=2g'^2+2gg''=2g'^2+2(1+\cos x)g^2.$$
Les deux termes sont positifs car $1+\cos x\ge0$ pour tout réel $x$. Donc $\varphi''\ge0$ et **$g^2$ est convexe.**

> [!PIEGE]
> $(g^2)''=2g'^2+2gg''$, et non $2gg''$ : le terme $2g'^2$, positif, est indispensable ici et sert encore en Q12.

### Question 12

> [!INDICATION]
> Si $g$ est bornée, $g^2$ est convexe et majorée : que dit le résultat admis ?

> [!INDICATION]
> De « $g^2$ constante », on ne tire pas directement $g=0$ : revenir à l'expression de $(g^2)''$ obtenue en Q11.

#### Solution

Soit $g\in\mathcal B(H)$ et $\varphi=g^2$. On a $0\le\varphi\le\|g\|^2$ : $\varphi$ est majorée, et convexe par la question 11. D'après le résultat admis, $\varphi$ est constante. Donc $\varphi''=0$, soit
$$\forall x\in\mathbb R,\quad 2g'(x)^2+2(1+\cos x)g(x)^2=0.$$
Somme de deux termes positifs nulle : chacun est nul. En $x=0$, $1+\cos0=2$, donc $g(0)=0$. Ainsi la constante $\varphi$ vaut $g(0)^2=0$, et $g=0$.
$$\boxed{\mathcal B(H)=\{0\}.}$$

> [!METHODE]
> Variante sans le résultat admis : $\varphi'$ est croissante. Si $\varphi'(x_0)>0$, alors $\varphi(x)\ge\varphi(x_0)+\varphi'(x_0)(x-x_0)$ pour $x\ge x_0$ (accroissements finis), qui tend vers $+\infty$, contredisant la majoration ; de même si $\varphi'(x_0)<0$ en $-\infty$. Donc $\varphi'=0$.

> [!PIEGE]
> « $g^2$ constante donc $g$ constante donc nulle » saute une étape : $g^2=K$ donne seulement $|g|=\sqrt K$. Il faut écarter $K>0$, ici par l'équation.

### Question 13

> [!INDICATION]
> « Au plus une » : prendre deux solutions bornées et regarder leur différence.

#### Solution

Soient $f_1,f_2\in\mathcal B(E)$. Par linéarité $f_1-f_2\in\mathcal S(H)$, et cette différence est bornée : $f_1-f_2\in\mathcal B(H)=\{0\}$ (question 12). Donc $f_1=f_2$.

**$(E)$ possède au plus une solution bornée.**

### Question 14

> [!INDICATION]
> Partir d'une solution bornée $f$ et lui appliquer l'opérateur $T$ de la partie 1.

> [!INDICATION]
> $T(f)$ est-elle encore une solution bornée ? Conclure avec Q13.

#### Solution

Soit $f\in\mathcal B(E)$. Par la question 3, $T(f)\in\mathcal S(E)$, et $\|T(f)\|=\|f\|<+\infty$ (invariance du sup par translation), donc $T(f)\in\mathcal B(E)$. Par la question 13, $T(f)=f$, c'est-à-dire $f(x+2\pi)=f(x)$ pour tout $x$.

**La solution bornée de $(E)$ est elle-même $2\pi$-périodique ; en particulier $(E)$ possède une solution $2\pi$-périodique.**

> [!METHODE]
> Unicité plus invariance donne la symétrie : si un ensemble a au plus un élément et est stable par une transformation, son élément est fixe. Le même schéma sert très souvent (solutions paires, impaires, périodiques).

## Partie 4 — Existence d'une solution périodique

On construit d'abord une solution périodique de $y''-(1+\cos x)y=\sin x$ sous forme d'une série de sinus (Q15–Q16), puis on traite par l'algèbre linéaire tout second membre $c$ combinaison finie de $\sin(nx)$ (Q17–Q21). L'idée : l'opérateur $L$ fait monter « le degré » d'exactement un, ce qui le rend injectif sans être surjectif, et le seul défaut de surjectivité est comblé par $g$.

### Question 15

> [!INDICATION]
> La relation de récurrence permet d'exprimer $a_n$ à l'aide de $a_{n\pm1}$ divisé par une quantité de l'ordre de $n^2$. Commencer par la borne $|a_j|\le M$.

> [!INDICATION]
> Un seul passage donne $|a_n|=O(1/n^2)$, insuffisant pour $\sum n^2a_n$. Réinjecter la majoration obtenue dans la relation, en prenant garde aux indices pour lesquels elle est valable.

#### Solution

*Premier tour.* Pour $n\ge2$, les indices $n+1$ et $n-1$ sont dans $\mathbb N^*$, donc
$$|a_n|=\frac{|a_{n+1}+a_{n-1}|}{2(n^2+1)}\le\frac{2M}{2(n^2+1)}=\frac{M}{n^2+1}\le\frac{M}{n^2}.\qquad(\ast)$$
La série de Riemann $\sum1/n^2$ converge ; par comparaison de séries à termes positifs, **$\sum a_n$ converge absolument**.

*Second tour.* Pour $n\ge3$, $n-1\ge2$ et $n+1\ge2$, donc $(\ast)$ s'applique en $n-1$ et $n+1$ :
$$|a_{n+1}|\le\frac{M}{(n+1)^2+1}\le\frac{M}{(n-1)^2},\qquad|a_{n-1}|\le\frac{M}{(n-1)^2+1}\le\frac{M}{(n-1)^2}.$$
Alors
$$|a_n|\le\frac{1}{2(n^2+1)}\cdot\frac{2M}{(n-1)^2}\le\frac{M}{n^2(n-1)^2},\qquad\text{donc}\qquad n^2|a_n|\le\frac{M}{(n-1)^2}\quad(n\ge3).$$
Par comparaison avec une série de Riemann convergente, **$\sum n^2a_n$ converge absolument**.

> [!METHODE]
> Amorçage par réinjection : une relation qui exprime un terme par ses voisins divisés par un grand facteur améliore toute majoration. On l'itère autant de fois que nécessaire pour obtenir la décroissance voulue (en réalité $a_n$ décroît plus vite que toute puissance de $1/n$).

> [!PIEGE]
> Vérifier les indices : la relation n'est valable que pour $n\ge2$, et la majoration $(\ast)$ aussi. Le second tour en $n$ demande donc $n-1\ge2$, soit $n\ge3$.

### Question 16

> [!INDICATION]
> Deux étapes : justifier que $g$ est de classe $\mathcal C^2$ avec $g''$ obtenue en dérivant terme à terme, puis calculer $g''-(1+\cos x)g$.

> [!INDICATION]
> Pour la régularité, majorer uniformément en $x$ les dérivées des termes à l'aide de Q15. Pour le calcul, linéariser $\cos x\sin(nx)$, puis réindexer pour regrouper selon $\sin(nx)$.

> [!INDICATION]
> Le rang $n=1$ se traite à part : c'est là que sert la condition $4a_1+a_2=-2$.

#### Solution

*Régularité.* Soit $u_n(x)=a_n\sin(nx)$, de classe $\mathcal C^2$, avec $u_n'(x)=na_n\cos(nx)$ et $u_n''(x)=-n^2a_n\sin(nx)$. Pour tout $x\in\mathbb R$ et $n\ge1$,
$$|u_n(x)|\le|a_n|,\qquad|u_n'(x)|\le n|a_n|\le n^2|a_n|,\qquad|u_n''(x)|\le n^2|a_n|.$$
Par la question 15, les séries $\sum u_n$, $\sum u_n'$ et $\sum u_n''$ convergent normalement, donc uniformément, sur $\mathbb R$. Le théorème de dérivation terme à terme, étendu à la classe $\mathcal C^2$, s'applique : $g$ est de classe $\mathcal C^2$ et
$$g''(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}n^2a_n\sin(nx).$$

*Calcul.* Pour $x$ fixé, $\cos x\sin(nx)=\frac12\big(\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)\big)$. Les séries $\sum a_n\sin((n\pm1)x)$ convergent absolument (termes majorés par $|a_n|$) ; on peut les séparer et réindexer :
$$\sum_{n\ge1}a_n\sin((n+1)x)=\sum_{m\ge2}a_{m-1}\sin(mx),\qquad\sum_{n\ge1}a_n\sin((n-1)x)=\sum_{m\ge1}a_{m+1}\sin(mx),$$
le terme $n=1$ de la seconde étant nul. En regroupant (séries absolument convergentes) et en isolant le rang $1$ :
$$g''(x)-(1+\cos x)g(x)=-\Big(2a_1+\frac{a_2}{2}\Big)\sin x-\sum_{n\ge2}\Big[(n^2+1)a_n+\frac12(a_{n+1}+a_{n-1})\Big]\sin(nx).$$
Chaque crochet est nul par la relation de récurrence, et $2a_1+\frac{a_2}{2}=\frac12(4a_1+a_2)=-1$. Donc
$$\boxed{\forall x\in\mathbb R,\quad g''(x)-(1+\cos x)g(x)=\sin x.}$$

> [!PIEGE]
> Deux décalages d'indices de sens contraires : il est facile de perdre ou d'inventer un terme au rang $1$. Écrire séparément le coefficient de $\sin x$, où le terme en $a_0$ n'existe pas.

> [!METHODE]
> Vérification numérique possible hors épreuve : une suite bornée vérifiant ces relations s'obtient numériquement par récurrence descendante, et l'on trouve $a_1\approx-0{,}513$, $a_2\approx0{,}0515$, $a_3\approx-0{,}0026$ ; la décroissance est très rapide, comme annoncé en Q15.

### Question 17

> [!INDICATION]
> Génératrice : par définition. Reste la liberté.

> [!INDICATION]
> Suivre la piste de l'énoncé : linéariser $\sin(nt)\sin(mt)$, intégrer sur une période, puis multiplier une combinaison nulle par $s_m$ et intégrer.

#### Solution

Pour $n,m\in\mathbb N^*$, $\sin(nt)\sin(mt)=\frac12\big(\cos((n-m)t)-\cos((n+m)t)\big)$, et pour $p\in\mathbb Z^*$, $\int_0^{2\pi}\cos(pt)\,\mathrm dt=\big[\frac{\sin(pt)}p\big]_0^{2\pi}=0$. Comme $n+m\ge2$ :
$$\int_0^{2\pi}s_n(t)s_m(t)\,\mathrm dt=\begin{cases}0&\text{si }n\neq m,\\ \pi&\text{si }n=m.\end{cases}$$
Soient $\beta_1,\dots,\beta_N$ tels que $\sum_{k=1}^N\beta_ks_k=0$. Pour $m\in\{1,\dots,N\}$, on multiplie par $s_m$ et on intègre sur $[0,2\pi]$ (linéarité de l'intégrale, somme finie) : $0=\sum_k\beta_k\int_0^{2\pi}s_ks_m=\pi\beta_m$, donc $\beta_m=0$. La famille est libre, et génératrice par définition.

**$(s_1,\dots,s_N)$ est une base de $\mathcal P_N$ ; $\dim\mathcal P_N=N$.**

> [!METHODE]
> Orthogonalité pour un produit scalaire intégral, puis « on multiplie et on intègre » pour extraire un coefficient : c'est la technique des coefficients de Fourier, à retenir.

### Question 18

> [!INDICATION]
> Calcul direct : dériver deux fois $s_n$ et linéariser $\cos x\sin(nx)$ comme en Q16.

#### Solution

Pour $n\ge1$, $s_n''=-n^2s_n$ et $\cos x\sin(nx)=\frac12\big(s_{n+1}(x)+s_{n-1}(x)\big)$, ce qui vaut aussi pour $n=1$ puisque $\sin(0\cdot x)=0=s_0(x)$. Donc
$$\boxed{L(s_n)=-(n^2+1)s_n-\frac12s_{n+1}-\frac12s_{n-1}\qquad(n\ge1,\ s_0=0),}$$
et en particulier $L(s_1)=-2s_1-\frac12s_2$.

> [!PIEGE]
> $L$ comporte un signe moins devant $(1+\cos x)$ : les trois coefficients sont négatifs.

### Question 19

> [!INDICATION]
> Montrer d'abord $L(\mathcal P)\subset\mathcal P$ grâce à Q18 et à la linéarité.

> [!INDICATION]
> Notion de « degré » : pour $p\neq0$, regarder son plus grand indice $N$ de coefficient non nul et calculer le coefficient de $s_{N+1}$ dans $L(p)$.

> [!INDICATION]
> Ce coefficient non nul donne l'injectivité, et empêche aussi $L(p)$ d'être égal à $s_1$.

#### Solution

*$L$ est un endomorphisme de $\mathcal P$.* $L$ est linéaire (dérivation et multiplication par une fonction fixée le sont). Par la question 18, $L(s_n)\in\mathcal P_{n+1}\subset\mathcal P$ ; comme $\mathcal P$ est engendré par les $s_n$, $L(\mathcal P)\subset\mathcal P$.

*Observation de degré.* Soit $p\in\mathcal P\setminus\{0\}$. Il s'écrit $p=\sum_{k=1}^N\beta_ks_k$ avec $\beta_N\neq0$ (écriture unique par la question 17). Par la question 18, $L(p)\in\mathcal P_{N+1}$, et dans la base $(s_1,\dots,s_{N+1})$ la coordonnée de $L(p)$ sur $s_{N+1}$ ne reçoit de contribution que du terme $k=N$ : elle vaut $-\frac12\beta_N\neq0$.

![Figure 1 — Action de L sur la base des sₙ (coefficients −(n²+1) et −1/2) : partant des N premiers vecteurs, seul le dernier atteint le vecteur d'indice N+1](/figures/corriges/mines-ponts_pc_maths-2_2026/q18-action-l-base.svg)

*Injectivité.* Si $p\neq0$, $L(p)$ a une coordonnée non nulle, donc $L(p)\neq0$. Ainsi $\ker L=\{0\}$.

*$s_1\notin\operatorname{Im}L$.* Supposons $s_1=L(p)$. Comme $s_1\neq0=L(0)$, $p\neq0$ ; soit $N$ son plus haut indice. La coordonnée de $L(p)$ sur $s_{N+1}$ est non nulle, alors que celle de $s_1$ est nulle puisque $N+1\ge2$ : contradiction avec l'unicité des coordonnées dans la base $(s_1,\dots,s_{N+1})$.

**$L$ est un endomorphisme injectif de $\mathcal P$, et $s_1\notin\operatorname{Im}L$.**

> [!METHODE]
> C'est l'argument du degré pour les polynômes : un opérateur qui augmente le degré d'exactement un est injectif. Ici $\mathcal P$ est de dimension infinie, et $L$ est injective sans être surjective, ce qui est impossible en dimension finie.

### Question 20

> [!INDICATION]
> Trois points : inclusion de la somme dans $\mathcal P_{N+1}$, caractère direct, égalité des dimensions.

> [!INDICATION]
> Pour le caractère direct, un élément de l'intersection s'écrit $L(p)=\lambda s_1$ : utiliser Q19.

#### Solution

Soit $N\ge1$.

*Inclusion.* Pour $k\le N$, $L(s_k)\in\mathcal P_{k+1}\subset\mathcal P_{N+1}$, donc $L(\mathcal P_N)\subset\mathcal P_{N+1}$ ; et $\mathcal P_1\subset\mathcal P_{N+1}$.

*Somme directe.* Soit $y\in L(\mathcal P_N)\cap\mathcal P_1$ : $y=L(p)=\lambda s_1$ avec $p\in\mathcal P_N$. Si $\lambda\neq0$, $s_1=L(p/\lambda)\in\operatorname{Im}L$, ce qui contredit la question 19. Donc $\lambda=0$ et $y=0$.

*Dimensions.* $L$ est injective, donc $\dim L(\mathcal P_N)=\dim\mathcal P_N=N$ (question 17), et
$$\dim\big(L(\mathcal P_N)\oplus\mathcal P_1\big)=N+1=\dim\mathcal P_{N+1}.$$
Un sous-espace d'un espace de dimension finie, de même dimension que lui, lui est égal :
$$\boxed{\forall N\ge1,\quad L(\mathcal P_N)\oplus\mathcal P_1=\mathcal P_{N+1}.}$$

> [!PIEGE]
> Le comptage des dimensions ne suffit pas seul : il faut d'abord l'inclusion dans $\mathcal P_{N+1}$, sans quoi on compare des espaces sans lien.

### Question 21

> [!INDICATION]
> Placer $c$ dans un $\mathcal P_{N+1}$ et le décomposer grâce à Q20.

> [!INDICATION]
> La partie $L(p)$ a un antécédent évident ; pour la partie $\lambda s_1$, penser à la fonction $g$ de Q16. Ne pas oublier de justifier la périodicité.

#### Solution

Soit $c\in\mathcal P$ : il existe $N\ge1$ tel que $c\in\mathcal P_N\subset\mathcal P_{N+1}$. Par la question 20, il existe $p\in\mathcal P_N$ et $\lambda\in\mathbb R$ tels que $c=L(p)+\lambda s_1$. Posons $f=p+\lambda g$, où $g$ est la fonction de la question 16. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^2$ et, pour tout $x$,
$$f''(x)-(1+\cos x)f(x)=\underbrace{p''(x)-(1+\cos x)p(x)}_{L(p)(x)}+\lambda\underbrace{\big(g''(x)-(1+\cos x)g(x)\big)}_{\sin x}=c(x).$$
Donc $f\in\mathcal S(E)$.

*Périodicité.* $p$ est une combinaison finie de fonctions $2\pi$-périodiques. Pour $g$ : pour tout $K$, $\sum_{n=1}^Ka_n\sin(n(x+2\pi))=\sum_{n=1}^Ka_n\sin(nx)$, et en faisant tendre $K$ vers $+\infty$ (séries convergentes), $g(x+2\pi)=g(x)$.

**$f=p+\lambda g$ est une solution $2\pi$-périodique de $(E)$.**

> [!METHODE]
> Par la partie 3, cette solution, bornée car continue et périodique, est l'unique solution bornée de $(E)$. Les parties 3 et 4 se complètent : unicité d'un côté, existence de l'autre.

## Partie 5 — Un théorème général

On revient à $b,c$ quelconques ($c\neq0$), en supposant l'existence d'une solution $f_0$ bornée à dérivée bornée. Stratégie : tout se passe dans un espace de dimension finie (Q22), où une fonction continue atteint sa borne inférieure sur un fermé borné (Q23) ; des moyennes de translatées de $f_0$ montrent que cette borne est nulle (Q24) ; le critère de Q4 conclut (Q25).

### Question 22

> [!INDICATION]
> Par Q2, $\mathcal B(E)$ s'écrit $f_0+\mathcal B(H)$. Quel sous-espace vectoriel de dimension finie, formé de fonctions bornées, contient tous ces éléments ?

> [!INDICATION]
> La dimension de $\mathcal S(H)$ est connue grâce au théorème de Cauchy. Pour la fermeture, utiliser la caractérisation séquentielle et la continuité des formes linéaires en dimension finie.

> [!INDICATION]
> Pour passer à la limite dans l'équation, fixer $x$ et considérer la forme linéaire $h\mapsto h''(x)+b(x)h(x)$ sur l'espace choisi.

#### Solution

*Choix de $\mathcal H$.* Posons
$$\boxed{\mathcal H=\operatorname{Vect}(f_0)+\mathcal B(H).}$$
$f_0$ est bornée, et $\mathcal B(H)$ est un sous-espace vectoriel formé de fonctions bornées (question 1) : $\mathcal H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbf B(\mathbb R,\mathbb R)$. Comme $\mathcal B(H)\subset\mathcal S(H)$ et $\dim\mathcal S(H)=2$, $\dim\mathcal H\le3$. Puisque $f_0\in\mathcal B(E)$, la question 2 donne
$$\mathcal A\subset\mathcal B(E)=f_0+\mathcal B(H)\subset\mathcal H.$$
Les éléments de $\mathcal H$ sont de classe $\mathcal C^2$ ($f_0$ et les solutions de $(EH)$ le sont). On munit $\mathcal H$ de la norme $\|\cdot\|$.

*Non vide.* $f_0\in\mathcal B(E)$ et $\|f_0\|=M_0$ : $f_0\in\mathcal A$.

*Bornée.* $\mathcal A$ est incluse dans la boule fermée de centre $0$ et de rayon $M_0$.

*Fermée.* Soit $(f_n)$ une suite d'éléments de $\mathcal A$ qui converge vers $f\in\mathcal H$. Pour $x\in\mathbb R$ fixé, $\ell_x:h\mapsto h''(x)+b(x)h(x)$ est une forme linéaire sur $\mathcal H$, continue puisque $\mathcal H$ est de dimension finie. Donc $\ell_x(f)=\lim_n\ell_x(f_n)=c(x)$. Ceci pour tout $x$ : $f\in\mathcal S(E)$, et $f$ est bornée ($f\in\mathcal H$), donc $f\in\mathcal B(E)$. Enfin $\|f\|\le\|f-f_n\|+\|f_n\|\le\|f-f_n\|+M_0$, et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, $\|f\|\le M_0$. Donc $f\in\mathcal A$ : $\mathcal A$ est fermée dans $\mathcal H$.

**$\mathcal A$ est une partie fermée, bornée et non vide de $\mathcal H$, de dimension finie (au plus 3).**

> [!PIEGE]
> $\mathcal S(H)$ ne convient pas pour $\mathcal H$ (ses éléments ne sont pas tous bornés), ni $\mathcal B(E)$ (ce n'est pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas $0$ car $c\neq0$). Il faut ajouter la direction $f_0$ à $\mathcal B(H)$.

> [!METHODE]
> En dimension finie, toute forme linéaire est continue, même une forme qui fait intervenir des dérivées. C'est ce qui permet de passer à la limite dans l'équation alors que la convergence uniforme ne contrôle pas $f''$ en général.

### Question 23

> [!INDICATION]
> Existence de $\alpha$ : propriété de la borne inférieure dans $\mathbb R$.

> [!INDICATION]
> Pour l'atteinte, écrire $\mathcal I$ comme l'image de $\mathcal A$ par une fonction $\Phi$ définie sur $\mathcal H$ et montrer que $\Phi$ est continue ; quel théorème du cours s'applique alors sur un fermé borné en dimension finie ?

#### Solution

Soit $\Phi:\mathcal H\to\mathbb R$, $\Phi(f)=|f(2\pi)-f(0)|+|f'(2\pi)-f'(0)|$, bien définie car $\mathcal H\subset\mathcal C^2$. On a $\mathcal I=\Phi(\mathcal A)$.

*Existence de $\alpha$.* $\mathcal A\neq\varnothing$ donc $\mathcal I\neq\varnothing$, et $\mathcal I\subset\mathbb R_+$ est minorée par $0$ : $\alpha=\inf\mathcal I$ existe et $\alpha\ge0$.

*Continuité de $\Phi$.* Les applications $f\mapsto f(0)$, $f\mapsto f(2\pi)$, $f\mapsto f'(0)$, $f\mapsto f'(2\pi)$ sont des formes linéaires sur $\mathcal H$, de dimension finie, donc continues. Par différence, valeur absolue et somme, $\Phi$ est continue sur $\mathcal H$.

*Atteinte.* $\Phi$ est continue à valeurs réelles sur la partie non vide, fermée et bornée $\mathcal A$ de l'espace normé de dimension finie $\mathcal H$ (question 22). Par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint sa borne inférieure : il existe $f_1\in\mathcal A$ tel que $\Phi(f_1)=\inf_{\mathcal A}\Phi=\alpha$, soit
$$\boxed{\alpha=|f_1(2\pi)-f_1(0)|+|f_1'(2\pi)-f_1'(0)|,\quad f_1\in\mathcal A.}$$

> [!PIEGE]
> La continuité de $f\mapsto f'(2\pi)$ pour la norme infinie est **fausse** sur un espace de fonctions quelconque : elle ne tient que parce que $\mathcal H$ est de dimension finie. C'est toute la raison d'être de la question 22.

> [!JURY]
> Une borne inférieure existe dès qu'une partie de $\mathbb R$ est non vide et minorée ; qu'elle soit atteinte est une autre affirmation, qui demande un théorème. Une rédaction attendue sépare nettement les deux et cite les hypothèses du théorème des bornes atteintes (fermé, borné, non vide, dimension finie, continuité).

### Question 24

> [!INDICATION]
> Montrer que $g_n\in\mathcal A$ : les $T^k(f_0)$ sont des solutions de même norme que $f_0$, et la moyenne a des coefficients de somme $1$.

> [!INDICATION]
> Dans $g_n(2\pi)-g_n(0)$, écrire chaque terme $T^k(f_0)(2\pi)$ en fonction de $f_0$ : la somme télescope.

#### Solution

*$g_n\in\mathcal A$.* Par récurrence sur $k$ à l'aide de la question 3, $T^k(f_0)\in\mathcal S(E)$ pour tout $k\in\mathbb N$, et $\|T^k(f_0)\|=\sup_x|f_0(x+2k\pi)|=M_0$. Alors $g_n$ est de classe $\mathcal C^2$ et
$$g_n''+bg_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\big((T^kf_0)''+bT^kf_0\big)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nc=c,$$
donc $g_n\in\mathcal S(E)$ ; et $\|g_n\|\le\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\|T^k(f_0)\|=M_0$. Ainsi $g_n\in\mathcal B(E)$ et $\|g_n\|\le M_0$ : $g_n\in\mathcal A$.

*Télescopage.* $T^k(f_0)(2\pi)=f_0(2(k+1)\pi)$ et $T^k(f_0)(0)=f_0(2k\pi)$, donc
$$g_n(2\pi)-g_n(0)=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\big(f_0(2(k+1)\pi)-f_0(2k\pi)\big)=\frac{f_0(2(n+1)\pi)-f_0(0)}{n+1},$$
de module au plus $\frac{2M_0}{n+1}$. De même $g_n'(x)=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nf_0'(x+2k\pi)$, et
$$|g_n'(2\pi)-g_n'(0)|=\frac{|f_0'(2(n+1)\pi)-f_0'(0)|}{n+1}\le\frac{2M_1}{n+1}.$$

*Conclusion.* $g_n\in\mathcal A$, donc $\Phi(g_n)\in\mathcal I$ et
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad\alpha\le\Phi(g_n)\le\frac{2(M_0+M_1)}{n+1}.}$$

> [!PIEGE]
> Sans le facteur $\frac1{n+1}$, la somme $\sum_kT^k(f_0)$ serait solution de $y''+by=(n+1)c$, et non de $(E)$. Une combinaison de solutions de $(E)$ est solution de $(E)$ si et seulement si ses coefficients ont pour somme $1$.

> [!METHODE]
> Moyennes de Cesàro de translatées : la moyenne de $n+1$ translatées successives « presque » recolle, avec un défaut qui décroît en $1/(n+1)$ grâce au télescopage. C'est l'idée des théorèmes ergodiques élémentaires.

### Question 25

> [!INDICATION]
> Faire tendre $n$ vers l'infini dans Q24 pour obtenir la valeur de $\alpha$.

> [!INDICATION]
> Utiliser ensuite la fonction $f_1$ de Q23, qui réalise $\alpha$, et le critère de la partie 1.

#### Solution

Par les questions 23 et 24, $0\le\alpha\le\frac{2(M_0+M_1)}{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb N$ ; le majorant tend vers $0$, donc $\alpha=0$.

La fonction $f_1\in\mathcal A$ de la question 23 vérifie donc
$$|f_1(2\pi)-f_1(0)|+|f_1'(2\pi)-f_1'(0)|=0.$$
Somme de deux réels positifs nulle : $f_1(2\pi)=f_1(0)$ et $f_1'(2\pi)=f_1'(0)$. Comme $f_1\in\mathcal A\subset\mathcal B(E)\subset\mathcal S(E)$, la question 4 s'applique : $f_1$ est $2\pi$-périodique.

**$(E)$ possède une solution $2\pi$-périodique, à savoir $f_1$ : le théorème est démontré.**

> [!PIEGE]
> On ne peut pas « passer à la limite » sur les $g_n$ : rien ne dit qu'elles convergent. C'est précisément pour éviter ce problème que le sujet passe par l'atteinte de la borne inférieure : $\alpha=0$ ne servirait à rien si $\alpha$ n'était pas un minimum.

> [!METHODE]
> Schéma d'existence par minimisation : définir une fonction « défaut » continue, minorée par $0$, sur un compact (fermé borné en dimension finie) ; montrer que son infimum vaut $0$ ; un point où le minimum est atteint est un point où le défaut s'annule.

## Bilan

**Méthodes à retenir.**

- *Unicité de Cauchy* : deux solutions d'une équation linéaire qui coïncident en valeur et en dérivée en un point sont égales (Q4). Avec la translation $T$, c'est le critère de périodicité « recollement en valeur et en pente ».
- *Raisonner sur l'équation plutôt que sur la forme des solutions* (Q7) : la périodicité de $f$ se transmet à $f''+\omega^2f$, donc au second membre.
- *Unicité + invariance donne la symétrie* (Q14) : la solution bornée unique est fixée par $T$.
- *Convexité par la dérivée seconde* et calcul de $(g^2)''$ avec le terme $2g'^2$ (Q11–Q12).
- *Amélioration itérée d'une majoration* par une relation de récurrence (Q15) ; *dérivation terme à terme* sous convergence normale des séries dérivées (Q16).
- *Linéarisation et réindexation* de produits $\cos x\sin(nx)$ (Q16, Q18).
- *Argument de degré* pour un opérateur qui augmente l'indice maximal de un : injectivité, non-surjectivité, supplémentaire de l'image (Q19–Q20).
- *Dimension finie* : continuité automatique des formes linéaires (même faisant intervenir des dérivées), caractérisation séquentielle des fermés, théorème des bornes atteintes (Q22–Q23).
- *Moyennes de translatées et télescopage* (Q24), puis *existence par minimisation* (Q25).

**Prérequis à revoir.** Théorème de Cauchy linéaire et structure de l'ensemble des solutions ; équations à coefficients constants ; séries de Riemann et comparaison ; théorème de dérivation des séries de fonctions (classe $\mathcal C^k$) ; formules de linéarisation ; bases, dimension, somme directe ; topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie.

**Questions transposables.** Le critère de Q4 vaut pour toute équation linéaire à coefficients périodiques. Le calcul de Q8–Q9 ($\det M=4\sin^2(k\pi\omega)$) est le calcul type des solutions périodiques d'un oscillateur harmonique forcé : il y a des solutions périodiques autres que la solution forcée exactement quand les périodes propre et forcée sont commensurables. L'argument de convexité de Q11–Q12 s'adapte à toute équation $y''=q(x)y$ avec $q\ge0$ non identiquement nulle. Le schéma de la partie 5 (dimension finie, minimisation d'un défaut, moyennes de Cesàro) est un classique des problèmes d'existence de solutions périodiques (théorème de Massera).