Physique 2
Mines-PontsPC2026
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## Présentation du sujet
**Thème.** Sous le titre « Quelques réflexions de Richard Feynman », le sujet suit un fil unique : *une théorie classique de l'électron se heurte à ses propres limites, et c'est le champ électromagnétique qui porte la clé*. On calcule l'énergie propre de l'électron (infinie s'il est ponctuel), on estime la taille de l'atome par la relation d'indétermination, on montre que le champ porte de l'impulsion et du moment cinétique (paradoxe de la coquille de Feynman), puis on fait payer à l'électron accéléré le prix de son rayonnement : amortissement de l'oscillateur atomique, force d'Abraham-Lorentz, effondrement de l'atome classique.
**Découpage (35 questions, 4 heures, sans calculatrice ni document).**
- **Partie I (Q1–Q10), l'hypothèse atomique.** I.A : champ et énergie électrostatique d'une charge ponctuelle (divergente), puis d'une boule uniformément chargée ; « rayon classique » de l'électron. I.B : interprétation de $|\Psi|^2$, estimation de Feynman de la taille de l'atome d'hydrogène et de son énergie d'ionisation.
- **Partie II (Q11–Q23), le paradoxe de Feynman.** II.A : équation de d'Alembert, OPPH, vecteur de Poynting, photons, densité d'impulsion $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$. II.B : une coquille chargée se met à tourner quand on éteint un dipôle magnétique placé en son centre ; symétries, induction, théorème du moment cinétique, puis résolution du paradoxe par le moment cinétique du champ.
- **Partie III (Q24–Q35), la force de l'électron sur lui-même.** III.A : modèle de Thomson, oscillateur harmonique, formule de Larmor, amortissement radiatif, force d'Abraham-Lorentz, facteur de qualité, décroissance du moment cinétique. III.B : orbite circulaire coulombienne, chute en spirale, temps d'effondrement et nombre de tours.
**Notions mobilisées.** Électrostatique (symétries, théorème de Gauss, densité d'énergie $\epsilon_0E^2/2$) ; mécanique quantique de première année (fonction d'onde, relation d'indétermination) ; équations de Maxwell, équation de d'Alembert, OPPH, vecteur de Poynting, photon ; induction (Maxwell-Faraday intégrale, principe de Curie) ; mécanique du solide en rotation autour d'un axe fixe ; oscillateurs harmonique et amorti, facteur de qualité ; mouvement dans un champ de force centrale, lois de Kepler ; raisonnement perturbatif et ordres de grandeur.
**Difficulté et gestion du temps.** Sujet long mais très guidé, avec beaucoup de questions de cours (Q2, Q3, Q6, Q11–Q15, Q25, Q33) à ne pas laisser passer. Les applications numériques (Q5, Q9, Q10, Q26, Q27, Q29, Q34) se font sans calculatrice : les données groupées $\chi=e/(4\pi\epsilon_0)$ et $e^2/(6\pi\epsilon_0c^3)$ sont fournies exactement pour cela. Les trois parties sont largement indépendantes. Questions discriminantes : Q17 (symétries d'un champ induit), Q18–Q19 (orientation et flux), Q23 (explication du paradoxe), Q28–Q29 (intégration par parties et perturbation), Q30–Q31 (formule de $(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec F$), Q34 (nombre de tours). Compter environ 1 h 15 pour la partie I et II.A, 1 h pour II.B, 1 h 30 pour la partie III.
Notations : $\chi=e/(4\pi\epsilon_0)$, donc $e^2/(4\pi\epsilon_0)=e\chi$.
## Partie I — L'hypothèse atomique
On compare deux modèles de l'électron (ponctuel, puis boule chargée) par leur énergie électrostatique, puis on estime la taille d'un atome par un argument quantique. Outils : symétries et théorème de Gauss, densité d'énergie électrique, relation d'indétermination, minimisation d'une fonction d'une variable.
### I.A — Taille de l'électron
### Question 1
> [!INDICATION]
> Commencer par écrire $x$, $y$, $z$ en fonction de $(r,\theta,\varphi)$ : c'est ce qui fixe sans ambiguïté le sens de chaque angle.
> [!INDICATION]
> La base sphérique est attachée au point $M$, pas à l'origine. Pour orienter $\hat e_\theta$, regarder dans quel sens se déplace $M$ quand $\theta$ augmente.
#### Solution
L'électron est en $O$. Avec $\theta$ angle entre $\hat e_z$ et $\overrightarrow{OM}$, et $\varphi$ angle entre $\hat e_x$ et la projection $H$ de $M$ sur le plan $(O,\hat e_x,\hat e_y)$ :
$$x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta.$$
Avec $\theta\in[0,\pi/2]$ et $\varphi\in[0,\pi/2[$, $M$ est dans le huitième d'espace $x,y,z\ge0$.
Figure en perspective usuelle ($\hat e_x$ vers l'avant-gauche, $\hat e_y$ vers la droite, $\hat e_z$ vers le haut), $H$ projection de $M$ sur le plan $(O,\hat e_x,\hat e_y)$ :
- $\hat e_r=\overrightarrow{OM}/r$ ;
- $\hat e_\theta$ tangent au méridien, orienté vers les $\theta$ croissants, donc vers le bas pour $\theta<\pi/2$ ; on vérifie avec la relation rappelée en Q18 : $\hat e_z=\cos\theta\,\hat e_r-\sin\theta\,\hat e_\theta$ ;
- $\hat e_\varphi$ horizontal, tangent au parallèle, vers les $\varphi$ croissants.
$(\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi)$ est orthonormée directe et **locale** : elle change avec $M$.
> [!PIEGE]
> Dessiner la base sphérique à l'origine, ou orienter $\hat e_\theta$ vers le haut. Contrôle immédiat : $\hat e_r\wedge\hat e_\theta=\hat e_\varphi$.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Résultat de cours : champ coulombien d'une charge ponctuelle. Attention au signe de la charge.
#### Solution
$$\boxed{\vec E(M)=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\,\hat e_r=-\frac{\chi}{r^2}\,\hat e_r}$$
Le champ est radial et dirigé vers l'électron (charge négative).
### Question 3
> [!INDICATION]
> La densité d'énergie électrique est une grandeur volumique ; intégrer sur tout l'espace en découpant en coquilles sphériques.
> [!INDICATION]
> Regarder séparément le comportement de l'intégrale en $r\to0$ et en $r\to+\infty$.
#### Solution
$$\boxed{w=\frac{\epsilon_0}{2}\,E^2}\qquad\text{soit}\qquad w(r)=\frac{e^2}{32\pi^2\epsilon_0r^4}.$$
Avec $d\tau=4\pi r^2dr$ :
$$W_e=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\int_0^{+\infty}\frac{dr}{r^2}.$$
L'intégrale converge en $+\infty$ mais diverge en $0$ ($\int_\eta^1dr/r^2=1/\eta-1$). Donc $\boxed{W_e=+\infty}$.
**Conclusion :** un électron ponctuel aurait une énergie propre infinie, la divergence venant du voisinage immédiat de la charge. Le modèle ponctuel est incohérent en électrostatique classique ; d'où l'idée de donner une taille à l'électron.
> [!METHODE]
> Pour une distribution à symétrie sphérique, toute intégrale de volume d'une fonction de $r$ seul se ramène à $\int f(r)\,4\pi r^2\,dr$. Dire **où** l'intégrale diverge fait partie de la réponse.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Écrire les invariances puis les plans de symétrie passant par $M$, pour obtenir la direction et la dépendance du champ ; puis appliquer le théorème de Gauss sur une sphère de rayon $r$.
> [!INDICATION]
> Deux cas, $r<r_e$ et $r>r_e$. Pour l'énergie, ne pas oublier la contribution de l'intérieur de la boule.
#### Solution
*Symétries.* La boule est invariante par toute rotation autour de $O$ : $E$ ne dépend que de $r$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie, donc $\vec E(M)$ est porté par $(OM)$ : $\vec E=E(r)\,\hat e_r$.
*Gauss* sur la sphère de rayon $r$ : $4\pi r^2E(r)=Q_{\mathrm{int}}/\epsilon_0$, avec $\rho=-3e/(4\pi r_e^3)$, $Q_{\mathrm{int}}=-e\,r^3/r_e^3$ si $r\le r_e$, $Q_{\mathrm{int}}=-e$ sinon :
$$\boxed{\vec E=-\frac{e\,r}{4\pi\epsilon_0r_e^3}\,\hat e_r\ (r\le r_e),\qquad\vec E=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\,\hat e_r\ (r\ge r_e)}$$
*Énergie.*
$$W_{\mathrm{int}}=\int_0^{r_e}\frac{\epsilon_0}{2}\frac{e^2r^2}{16\pi^2\epsilon_0^2r_e^6}4\pi r^2dr=\frac{e^2}{40\pi\epsilon_0r_e},\qquad W_{\mathrm{ext}}=\int_{r_e}^{+\infty}\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r^2}dr=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r_e},$$
$$\boxed{W_e=\frac{3e^2}{20\pi\epsilon_0r_e}=\frac35\,\frac{e\chi}{r_e}}$$
> [!PIEGE]
> Oublier $W_{\mathrm{int}}$ donne $e^2/(8\pi\epsilon_0r_e)$, soit un facteur $5/6$ d'erreur. Le champ n'est nul à l'intérieur que pour une **coquille** chargée en surface (situation de la partie II.B), pas pour une boule chargée en volume.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Égaler les deux énergies et isoler $r_e$ ; faire apparaître $e\chi=e^2/(4\pi\epsilon_0)$ pour l'application numérique.
> [!INDICATION]
> Convertir $0{,}5$ MeV en joules avec le facteur $10^6$.
#### Solution
$$\frac35\,\frac{e\chi}{r_e}=\mathcal E_{m,e}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{r_e=\frac35\,\frac{e\chi}{\mathcal E_{m,e}}}$$
$\mathcal E_{m,e}=0{,}5\times10^6\times1{,}6\times10^{-19}=8{,}0\times10^{-14}$ J et $e\chi=2{,}4\times10^{-28}$ J·m :
$$\boxed{r_e\simeq0{,}6\times\frac{2{,}4\times10^{-28}}{8{,}0\times10^{-14}}\simeq1{,}8\times10^{-15}\ \mathrm m}$$
**Commentaire.** C'est la taille d'un noyau, environ $10^4$ fois moins que celle d'un atome. Les expériences de diffusion montrent que l'électron se comporte comme ponctuel jusqu'à des échelles bien plus petites : $r_e$ n'est pas sa taille, mais l'échelle en dessous de laquelle l'électrostatique classique d'une charge élémentaire cesse d'être cohérente.
> [!JURY]
> Quand l'énoncé dit « Commenter », une valeur nue ne suffit pas : on compare à une échelle connue et on dit ce que le résultat signifie pour le modèle.
### I.B — Taille d'un atome
Feynman estime la taille de l'atome d'hydrogène en équilibrant le coût cinétique du confinement (relation d'indétermination) et le gain d'énergie potentielle coulombienne. Outils : interprétation probabiliste, minimisation d'une fonction d'une variable.
### Question 6
> [!INDICATION]
> $|\Psi|^2$ n'est pas une probabilité mais une densité : il manque un élément de volume.
#### Solution
$|\Psi(M,t)|^2$ est la **densité volumique de probabilité de présence** de l'électron :
$$\boxed{dP=|\Psi(M,t)|^2\,d\tau},\qquad\iiint_{\mathrm{espace}}|\Psi|^2d\tau=1,$$
$dP$ étant la probabilité de trouver l'électron à l'instant $t$ dans le volume $d\tau$ autour de $M$ ; $|\Psi|^2$ s'exprime en m⁻³.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Identifier $\Delta x$ à la taille $a$ de l'atome, puis utiliser la relation d'indétermination sous la forme donnée par l'énoncé.
> [!INDICATION]
> Pour passer de l'écart-type $\Delta p$ à $\sqrt{\langle p^2\rangle}$, il faut connaître $\langle p\rangle$ pour un électron lié.
#### Solution
$\Delta x\simeq a$, donc $\Delta p\simeq\hbar/a$. L'électron lié ne dérive pas : $\langle\vec p\rangle=\vec 0$, donc $\Delta p^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2=\langle p^2\rangle$ :
$$\boxed{\sqrt{\langle p^2\rangle}\simeq\frac{\hbar}{a}},\qquad\boxed{\langle\mathcal E_c\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m_e}\simeq\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}}$$
> [!PIEGE]
> Utiliser $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ au lieu de la forme imposée $\Delta x\,\Delta p\simeq\hbar$ change les facteurs numériques de toute la suite. On suit l'énoncé.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Ajouter à l'énergie cinétique l'énergie potentielle coulombienne d'interaction entre le noyau et l'électron, évaluée à la distance typique $a$.
#### Solution
$$\boxed{\langle\mathcal E_m\rangle(a)=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0a}=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{e\chi}{a}}$$
Un terme positif en $1/a^2$ (confinement) s'oppose à un terme négatif en $-1/a$ (attraction).
### Question 9
> [!INDICATION]
> Étudier les variations de $a\mapsto\langle\mathcal E_m\rangle(a)$ sur $]0,+\infty[$ : le signe de la dérivée prouve qu'il s'agit d'un minimum.
> [!INDICATION]
> Pour l'A.N., $m_e\,e\chi$ se calcule à partir de la donnée $\chi$ ; $\hbar$ vaut $1{,}0\times10^{-34}$ J·s, à ne pas confondre avec $h$.
#### Solution
$$\frac{d\langle\mathcal E_m\rangle}{da}=-\frac{\hbar^2}{m_ea^3}+\frac{e\chi}{a^2}=\frac{1}{a^3}\left(e\chi\,a-\frac{\hbar^2}{m_e}\right),$$
négative puis positive : le minimum est atteint en
$$\boxed{a_0=\frac{\hbar^2}{m_ee\chi}=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}}$$
A.N. : $m_ee\chi=9{,}1\times10^{-31}\times2{,}4\times10^{-28}\simeq2{,}2\times10^{-58}$, donc
$$\boxed{a_0\simeq\frac{1{,}0\times10^{-68}}{2{,}2\times10^{-58}}\simeq4{,}6\times10^{-11}\ \mathrm m}$$
**Commentaire :** c'est l'ordre de grandeur de la taille des atomes ($0{,}1$ nm), à $13\,\%$ près du rayon de Bohr ($53$ pm). L'estimation est grossière (« l'analyse n'est pas très précise »), mais l'idée est juste : le confinement quantique interdit la chute de l'électron sur le noyau.
> [!METHODE]
> Estimation « à la Feynman » : remplacer les grandeurs moyennes par des ordres de grandeur liés par la relation d'indétermination, puis minimiser l'énergie. La même démarche donne l'ordre de grandeur d'une énergie de confinement dans un noyau ou un puits quantique.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Reporter $a_0$ dans $\langle\mathcal E_m\rangle$, puis réécrire $e\chi$ à l'aide de $\alpha$, $\hbar$ et $c$.
> [!INDICATION]
> L'énergie d'ionisation est une énergie à fournir : elle est positive. Garder $\mathcal E_{m,e}$ en eV pour l'application numérique.
#### Solution
$\dfrac{\hbar^2}{2m_ea_0^2}=\dfrac{m_e(e\chi)^2}{2\hbar^2}$ et $\dfrac{e\chi}{a_0}=\dfrac{m_e(e\chi)^2}{\hbar^2}$, donc $\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=-\dfrac{m_e(e\chi)^2}{2\hbar^2}$. Avec $e\chi=\alpha\hbar c$ :
$$\boxed{\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=-\frac{\alpha^2}{2}\,\mathcal E_{m,e}}\qquad\boxed{\mathcal E_i=-\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=\frac{\alpha^2}{2}\,\mathcal E_{m,e}}$$
A.N. : $\alpha^2\simeq5{,}3\times10^{-5}$ et $\mathcal E_{m,e}=5\times10^5$ eV :
$$\boxed{\mathcal E_i\simeq13\ \mathrm{eV}}$$
très proche de la valeur mesurée $13{,}6$ eV.
> [!METHODE]
> Faire apparaître une constante sans dimension ($\alpha$) devant une énergie de référence ($m_ec^2$) donne à la fois un contrôle d'homogénéité et une interprétation : les énergies atomiques valent $\alpha^2\sim5\times10^{-5}$ fois l'énergie de masse, d'où un électron non relativiste ($v/c\sim\alpha$).
## Partie II — Le paradoxe de Feynman
### II.A — Énergie et impulsion du champ électromagnétique
Partie de cours sur les ondes électromagnétiques dans le vide, qui débouche sur le résultat clé du sujet : le champ porte une impulsion de densité $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Écrire les quatre équations dans le vide sans source, puis prendre le rotationnel de Maxwell-Faraday et utiliser l'identité fournie.
> [!INDICATION]
> Pour la réversibilité, examiner l'effet du changement $t\mapsto-t$ sur chaque terme. Pour l'analogie, penser aux ondes mécaniques du programme.
#### Solution
$$\mathrm{div}\,\vec E=0,\qquad\mathrm{div}\,\vec B=0,\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$$
$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E)=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec E)-\vec\Delta\vec E=-\vec\Delta\vec E$ et, les champs étant réguliers, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(-\partial_t\vec B)=-\partial_t\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=-\mu_0\epsilon_0\partial_t^2\vec E$ :
$$\boxed{\vec\Delta\vec E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=\vec 0,\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}}$$
C'est l'**équation de d'Alembert** ; elle est invariante par $t\mapsto-t$ (dérivée seconde en temps seulement) : **réversible**.
Elle régit aussi la surpression acoustique $p_1$ dans un fluide, $\Delta p_1-\frac{1}{c_s^2}\partial_t^2p_1=0$ avec $c_s=1/\sqrt{\rho_0\chi_S}$ (masse volumique $\rho_0$, compressibilité isentropique $\chi_S$), ou le déplacement transversal $y(x,t)$ d'une corde, avec $c=\sqrt{T_0/\mu}$.
> [!PIEGE]
> Oublier d'invoquer $\mathrm{div}\,\vec E=0$ pour éliminer le terme en gradient. Et ne traiter que la moitié des sous-questions : la question en contient cinq.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Suivre un point de phase constante pour la direction ; lire la direction de $\vec E$ pour la polarisation.
> [!INDICATION]
> Injecter la solution dans l'équation de d'Alembert, sans oublier de vérifier Maxwell-Gauss.
#### Solution
À phase $\omega t-kz$ constante, $z$ croît avec $t$ : propagation **selon $+\hat e_z$**. $\vec E$ garde la direction $\hat e_x$ : polarisation **rectiligne selon $\hat e_x$**.
O.P.P.H. : **plane** (champ uniforme sur les plans $z=$ cte à $t$ fixé), **progressive** (dépendance en $t-z/v_\varphi$, profil translaté sans déformation), **harmonique** (pulsation unique $\omega$).
$\mathrm{div}\,\vec E=\partial_xE_x=0$ ; et l'équation de d'Alembert donne $(-k^2+\omega^2/c^2)\vec E=\vec 0$ pour tout $(z,t)$. La solution est acceptable si et seulement si
$$\boxed{k=\frac{\omega}{c}}$$
(relation de dispersion du vide, non dispersif).
> [!PIEGE]
> Un champ $E_0\cos(\omega t-kz)\,\hat e_z$ vérifierait aussi l'équation de d'Alembert mais pas $\mathrm{div}\,\vec E=0$ : l'équation de propagation seule ne suffit pas.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Maxwell-Faraday, puis intégration en temps ; un champ statique superposé n'a rien à voir avec l'onde.
> [!INDICATION]
> Contrôler le résultat par le caractère direct du trièdre formé par $\vec E$, $\vec B$ et la direction de propagation.
#### Solution
$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=\partial_zE_x\,\hat e_y=kE_0\sin(\omega t-kz)\,\hat e_y=-\partial_t\vec B$, d'où, avec $k/\omega=1/c$ :
$$\boxed{\vec B=\frac{E_0}{c}\cos(\omega t-kz)\,\hat e_y=\frac{\hat e_z\wedge\vec E}{c}}$$
Caractéristiques : onde **transverse** ; $(\vec E,\vec B,\hat e_z)$ **direct** ; champs **en phase**, $\|\vec B\|=\|\vec E\|/c$ ; polarisation rectiligne ; propagation à $c$ sans dispersion ni atténuation. Pour une charge de vitesse $v$, le rapport des forces magnétique et électrique est au plus $v/c$.
> [!PIEGE]
> Écrire « $B\ll E$ » n'a pas de sens : ces grandeurs n'ont pas la même dimension. On compare les **forces** : $qvB/(qE)=v/c$.
### Question 14
> [!INDICATION]
> $\vec\Pi=\vec E\wedge\vec B/\mu_0$, puis moyenne temporelle d'un $\cos^2$ et flux à travers une surface plane orthogonale à la propagation.
#### Solution
$$\boxed{\vec\Pi=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(\omega t-kz)\,\hat e_z=\epsilon_0cE_0^2\cos^2(\omega t-kz)\,\hat e_z}$$
Avec $\langle\cos^2\rangle=\frac12$ :
$$\boxed{\langle\mathcal P\rangle=\frac12\,\epsilon_0\,c\,E_0^2\,\mathscr S}$$
> [!PIEGE]
> Le facteur $1/2$ de la moyenne d'un $\cos^2$.
### Question 15
> [!INDICATION]
> La puissance est le débit de photons multiplié par l'énergie d'un photon, à exprimer avec $\lambda$.
#### Solution
$$\langle\mathcal P\rangle=\frac{dN_\gamma}{dt}\,\frac{hc}{\lambda}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\frac{dN_\gamma}{dt}=\frac{\langle\mathcal P\rangle\,\lambda}{h\,c}}$$
Ordre de grandeur : $1$ W de lumière visible correspond à environ $3\times10^{18}$ photons par seconde.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Compter les photons qui franchissent $\mathscr S$ pendant $dt$ : ils occupent un cylindre dont il faut trouver la longueur.
> [!INDICATION]
> Pour l'impulsion, appliquer la relation énergie-impulsion avec $m=0$, puis multiplier par la densité de photons.
#### Solution
Les photons qui traversent $\mathscr S$ pendant $dt$ sont dans le cylindre de base $\mathscr S$ et de longueur $c\,dt$ :
$$\boxed{\delta\mathcal E=n_\gamma\,h\nu\,c\,\mathscr S\,dt}$$
C'est aussi $\|\langle\vec\Pi\rangle\|\,\mathscr S\,dt$, donc $\boxed{\|\langle\vec\Pi\rangle\|=n_\gamma h\nu\,c}$ (densité d'énergie $n_\gamma h\nu=\|\langle\vec\Pi\rangle\|/c$).
Pour $m=0$ : $\|\vec p_\gamma\|=h\nu/c$, selon $\hat e_z$. D'où
$$\vec p_{\gamma,\mathrm{vol}}=n_\gamma\frac{h\nu}{c}\,\hat e_z=\frac{\langle\vec\Pi\rangle}{c^2}=\frac{\langle\vec E\wedge\vec B\rangle}{\mu_0c^2}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\xi=\epsilon_0=\frac{1}{\mu_0c^2}}$$
**Le champ porte une impulsion de densité volumique $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$** : c'est le résultat qui résoudra le paradoxe de II.B.
> [!METHODE]
> Le « cylindre de longueur $v\,dt$ » est l'outil standard pour relier un flux (à travers une surface) à une densité volumique : il sert pour un courant électrique ($\vec j=nq\vec v$), un flux de particules ou d'énergie.
### II.B — Mise en rotation d'une coquille uniformément chargée en surface par extinction d'un moment magnétique
On calcule le champ électrique induit par l'extinction du dipôle, son moment sur la coquille chargée, et la vitesse de rotation finale. Le moment cinétique de la matière n'est pas conservé : il faut y ajouter celui du champ. Outils : principe de Curie, Maxwell-Faraday intégrale, théorème du moment cinétique.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Raisonner sur la spire et son courant, pas sur le vecteur $\vec s$ : quels plans contenant $M$ laissent la spire invariante, et que deviennent les courants par ces symétries ?
> [!INDICATION]
> Le champ électrique induit est un vrai vecteur qui a les symétries des courants qui le créent. En un point d'un plan d'antisymétrie, quelle est sa direction ?
#### Solution
Le dipôle est créé par une spire de centre $O$, d'axe $(O,\hat e_z)$.
- La spire est invariante par toute rotation autour de $(O,\hat e_z)$ : aucune dépendance en $\varphi$.
- Tout plan contenant l'axe, en particulier le plan méridien $(M,\hat e_r,\hat e_\theta)$, laisse la spire invariante mais inverse le sens du courant : plan d'**antisymétrie** des courants.
Le champ induit ($\vec E=-\partial\vec A/\partial t$) est un vrai vecteur ; d'après le principe de Curie, il est orthogonal en $M$ au plan d'antisymétrie qui contient $M$, donc porté par $\hat e_\varphi$, et il ne dépend pas de $\varphi$ :
$$\boxed{\vec E(M,t)=E_\varphi(r,\theta,t)\,\hat e_\varphi}$$
Contrôle : $\vec B=\dfrac{\mu_0s}{4\pi r^3}(2\cos\theta\,\hat e_r+\sin\theta\,\hat e_\theta)$ (en utilisant $\hat e_z=\cos\theta\,\hat e_r-\sin\theta\,\hat e_\theta$) est contenu dans le plan méridien, comme attendu pour un pseudo-vecteur.
> [!PIEGE]
> Appliquer les règles des vrais vecteurs à $\vec s$ ou à $\vec B$, qui sont des pseudo-vecteurs : on conclurait à tort que $\vec E$ est dans le plan méridien. D'où le conseil de l'énoncé de raisonner sur la spire.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Forme intégrale : circulation de $\vec E$ sur un contour fixe et flux de $\vec B$ à travers une surface qui s'appuie sur ce contour, orientations liées par la règle de la main droite.
> [!INDICATION]
> Sur une portion de sphère, seule la composante radiale de $\vec B$ contribue au flux. Exprimer $\vec s\cdot\hat e_r$ grâce à la relation rappelée.
#### Solution
$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\oint_\Gamma\vec E\cdot d\vec\ell=-\frac{d\Phi}{dt},\quad\Phi=\iint_{\mathscr S}\vec B\cdot d\vec S}$$
(Stokes, contour fixe). $\Gamma$ étant orienté selon $\hat e_\varphi$, la calotte qui contient le pôle nord est orientée par $\hat e_r$ : $d\vec S=a^2\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi'\,\hat e_r$, et $B_r(a,\theta')=\dfrac{\mu_0s}{4\pi a^3}2\cos\theta'$. Donc
$$\Phi=\frac{\mu_0s}{a}\int_0^\theta\sin\theta'\cos\theta'\,d\theta'\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\Phi=\frac{\mu_0s(t)}{2a}\sin^2\theta,\qquad n=2}$$
(formule dipolaire utilisée en $r=a$, ce qui suppose la spire petite devant la coquille).
> [!PIEGE]
> L'orientation : avec la calotte sud, la normale est $-\hat e_r$ et le flux change de signe ; il faut rester cohérent avec l'orientation de $\Gamma$ jusqu'au bout.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Reprendre le calcul du flux sur une sphère de rayon $r$ quelconque, puis calculer la circulation de $\vec E$ sur le cercle de colatitude $\theta$ grâce à la Q17.
> [!INDICATION]
> Le rayon du cercle n'est pas $r$.
#### Solution
$\Phi(r,\theta,t)=\dfrac{\mu_0s}{2r}\sin^2\theta$ et $\oint\vec E\cdot d\vec\ell=2\pi r\sin\theta\,E_\varphi$ ($E_\varphi$ indépendant de $\varphi$). Donc
$$\boxed{\vec E(M,t)=-\frac{\mu_0\sin\theta}{4\pi r^2}\frac{ds}{dt}\,\hat e_\varphi;\qquad\text{sur la coquille : }\vec E=-\frac{\mu_0\sin\theta}{4\pi a^2}\frac{ds}{dt}\,\hat e_\varphi}$$
Valable loin de la spire et dans l'approximation des régimes quasi stationnaires ($r\ll c\,\Delta t$). Pendant l'extinction, $\dot s<0$ et $E_\varphi>0$, en accord avec la loi de Lenz.
> [!METHODE]
> Champ induit à symétrie de révolution : direction par les symétries, valeur par Maxwell-Faraday intégrale sur un cercle d'axe $Oz$. C'est l'analogue exact du théorème d'Ampère pour $\vec B$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Force de Lorentz électrique sur la charge $\sigma\,d\mathscr S$, puis moment par rapport à l'axe : projection sur $\hat e_z$ de $\overrightarrow{OM}\wedge d\vec F_e$.
> [!INDICATION]
> Faire apparaître le bras de levier, distance de $M$ à l'axe, et exprimer $d\mathscr S$ en sphériques.
#### Solution
$$\boxed{d\vec F_e=\sigma\,d\mathscr S\,\vec E=-\frac{\mu_0\sigma\sin\theta}{4\pi a^2}\frac{ds}{dt}\,d\mathscr S\,\hat e_\varphi}$$
(le champ électrostatique propre de la coquille ajouterait une force radiale, sans moment par rapport à l'axe). Avec $\hat e_r\wedge\hat e_\varphi=-\hat e_\theta$ et $\hat e_\theta\cdot\hat e_z=-\sin\theta$ : $d\mathscr M_{e,z}=a\sin\theta\,dF_{e,\varphi}$, et avec $d\mathscr S=a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ :
$$\boxed{d\mathscr M_{e,z}=-\frac{\mu_0\sigma a}{4\pi}\frac{ds}{dt}\sin^3\theta\,d\theta\,d\varphi}$$
> [!METHODE]
> Le moment par rapport à un axe est un scalaire : seule la composante orthoradiale de la force contribue, multipliée par la distance à l'axe. Le $\sin^3\theta$ (un facteur du champ, un du bras de levier, un de l'élément de surface) annonce l'intégrale fournie.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Intégrer sur toute la sphère : bornes de $\theta$ et de $\varphi$, et intégrale fournie en fin d'énoncé.
#### Solution
$$\mathscr M_{e,z}=-\frac{\mu_0\sigma a}{4\pi}\frac{ds}{dt}\cdot2\pi\cdot\frac43\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\mathscr M_{e,z}=-\frac23\,\mu_0\sigma a\,\frac{ds}{dt}}$$
### Question 22
> [!INDICATION]
> Théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe : le second membre est une dérivée exacte.
> [!INDICATION]
> Pour la force magnétique : écrire la vitesse d'un point de la coquille, puis le produit vectoriel avec $\vec B$, et regarder dans quel plan se trouve la force.
#### Solution
$$J\frac{d\omega}{dt}=\mathscr M_{e,z}\quad\Longrightarrow\quad\frac23ma^2\,d\omega=-\frac23\mu_0\sigma a\,ds.$$
Entre l'état initial ($\omega=0$, $s=s_0$) et l'état final ($\omega_F$, $s=0$) :
$$\boxed{\omega_F=\frac{\mu_0\,\sigma\,s_0}{m\,a}}$$
indépendant de la manière dont on éteint le dipôle.
Force magnétique : $\vec v=\omega a\sin\theta\,\hat e_\varphi$ et $\vec B=B_r\hat e_r+B_\theta\hat e_\theta$, donc $\vec v\wedge\vec B=\omega a\sin\theta\,(B_r\hat e_\theta-B_\theta\hat e_r)$ : la force est dans le plan méridien, qui contient l'axe. **Elle n'a pas de composante orthoradiale ; son moment par rapport à $(O,\hat e_z)$ est nul.**
> [!PIEGE]
> Répondre « la force magnétique ne travaille pas » : c'est vrai mais ce n'est pas la question. Ne pas travailler et ne pas avoir de moment sont deux propriétés différentes.
### Question 23
> [!INDICATION]
> La partie II.A a montré que le champ porte une impulsion. Que porte-t-il alors par rapport à un point ?
> [!INDICATION]
> Dans l'état initial, où coexistent un champ électrique et un champ magnétique non nuls ? Que vaut $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$ à cet endroit ?
#### Solution
Le champ porte une densité d'impulsion $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$, donc une densité de moment cinétique $\overrightarrow{OM}\wedge(\epsilon_0\vec E\wedge\vec B)$. Le système isolé est $\{\vec s$, coquille, champ$\}$.
Dans l'état initial, pour $r>a$, le champ radial de la coquille $\vec E=\dfrac{\sigma a^2}{\epsilon_0r^2}\hat e_r$ coexiste avec le champ du dipôle : $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B=\dfrac{\mu_0\sigma a^2s_0\sin\theta}{4\pi r^5}\hat e_\varphi$, impulsion qui « tourne » autour de l'axe. Son moment par rapport à l'axe vaut
$$L_{\mathrm{champ},z}=\int_a^{\infty}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}r\sin\theta\,\frac{\mu_0\sigma a^2s_0\sin\theta}{4\pi r^5}\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi=\frac23\mu_0\sigma a\,s_0=J\omega_F.$$
**Le moment cinétique initialement stocké dans le champ est intégralement transféré à la coquille quand $\vec B$ disparaît : le moment cinétique total (matière + champ) est conservé.** (Le champ magnétique créé par la coquille en rotation est un effet du second ordre, négligé.)
> [!METHODE]
> Devant une loi de conservation apparemment violée, faire l'inventaire complet du système : le champ électromagnétique stocke énergie, impulsion et moment cinétique.
> [!JURY]
> Une question « qualitative » appelle une idée physique clairement énoncée et reliée aux résultats précédents (ici II.A). Un calcul court qui confirme l'idée est un plus, pas un substitut.
## Partie III — La force de l'électron sur lui-même
### III.A — Moment cinétique d'un atome
Dans le modèle de Thomson, l'électron est un oscillateur harmonique qui rayonne (formule de Larmor) et s'amortit. On modélise cette perte par la force d'Abraham-Lorentz, puis on étudie son effet sur le moment cinétique. Outils : théorème de Gauss, oscillateurs, bilans d'énergie moyennés, perturbation.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Reprendre le calcul de la Q4 avec une charge $+e$ et un rayon $a$, pour un point intérieur.
#### Solution
Pour $r\le a$ :
$$\boxed{\vec E_{\mathrm{noy}}(M)=\frac{e\,r}{4\pi\epsilon_0a^3}\,\hat e_r=\frac{e}{4\pi\epsilon_0a^3}\overrightarrow{OM}}$$
(champ centrifuge). Pour l'électron en $x\,\hat e_x$, $|x|\le a$ :
$$\vec F_{\mathrm{noy}}=-e\vec E_{\mathrm{noy}}=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0a^3}\,x\,\hat e_x\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0m_ea^3}}=\sqrt{\frac{e\chi}{m_ea^3}}}$$
C'est la force qui est de rappel (centripète), pas le champ.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Oscillateur harmonique : solution générale, puis conditions initiales. Pour l'énergie, se demander si elle varie au cours du temps.
#### Solution
$\ddot x+\omega_0^2x=0$, $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=0$ :
$$\boxed{x(t)=x_0\cos(\omega_0t)}$$
$\mathcal E=\frac12m_e\dot x^2+\frac12m_e\omega_0^2x^2=\frac12m_e\omega_0^2x_0^2$ est constante (force conservative seule), donc
$$\boxed{\langle\mathcal E\rangle=\frac12m_e\omega_0^2x_0^2}$$
### Question 26
> [!INDICATION]
> Accélération de l'oscillateur, moyenne de son carré, formule de Larmor ; éliminer $x_0^2$ au profit de $\langle\mathcal E\rangle$.
> [!INDICATION]
> Le théorème de la puissance mécanique relie la variation de l'énergie à la puissance perdue par rayonnement. Pour l'A.N., utiliser la donnée groupée $e^2/(6\pi\epsilon_0c^3)$.
#### Solution
$\langle\gamma^2\rangle=\frac12\omega_0^4x_0^2$, donc $\langle\mathcal P\rangle=\dfrac{e^2\omega_0^4x_0^2}{12\pi\epsilon_0c^3}$ et, avec $x_0^2=2\langle\mathcal E\rangle/(m_e\omega_0^2)$ :
$$\boxed{\langle\mathcal P\rangle=\Gamma\langle\mathcal E\rangle,\qquad\Gamma=\frac{e^2\omega_0^2}{6\pi\epsilon_0m_ec^3}}$$
Bilan quasi statique : $\dfrac{d\langle\mathcal E\rangle}{dt}=-\langle\mathcal P\rangle$, soit $\boxed{\dfrac{d\langle\mathcal E\rangle}{dt}+\Gamma\langle\mathcal E\rangle=0}$ et $\langle\mathcal E\rangle=\mathcal E_0e^{-\Gamma t}$.
A.N. : $\omega_0=2\pi c/\lambda_0\simeq3{,}9\times10^{15}$ rad·s⁻¹, $\omega_0^2\simeq1{,}5\times10^{31}$ s⁻² :
$$\boxed{\Gamma=5{,}7\times10^{-54}\times\frac{1{,}5\times10^{31}}{9{,}1\times10^{-31}}\simeq9{,}4\times10^7\ \mathrm s^{-1}},\qquad\frac1\Gamma\simeq1{,}1\times10^{-8}\ \mathrm s.$$
> [!PIEGE]
> Le signe du bilan (l'énergie diminue) et le $1/2$ de $\langle\cos^2\rangle$.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Pendant combien de temps l'électron émet-il notablement ? Quelle distance parcourt l'onde pendant ce temps ?
> [!INDICATION]
> Comparer $1/\Gamma$ à la période : que signifie un rapport très grand pour la moyenne calculée en Q26 ?
#### Solution
$$\boxed{\mathcal L\simeq\frac{c}{\Gamma}\simeq\frac{3{,}0\times10^8}{9{,}4\times10^7}\simeq3\ \mathrm m}$$
Longueur macroscopique, d'environ $7\times10^6$ longueurs d'onde : émission quasi monochromatique. En pratique, les élargissements Doppler et collisionnel raccourcissent beaucoup les trains d'onde réels ; $\mathcal L$ est la limite due au seul rayonnement.
$T_0=\lambda_0/c\simeq1{,}6\times10^{-15}$ s et $(1/\Gamma)/T_0\simeq7\times10^6\gg1$ : l'énergie varie très peu sur une période, ce qui justifie de calculer la moyenne sur une période à amplitude constante (hypothèse quasi statique de Q26).
> [!METHODE]
> Séparation des échelles de temps : une moyenne sur la période rapide est légitime quand la grandeur lente varie peu sur une période. On le vérifie toujours a posteriori.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Écrire la puissance de $\vec F_{\mathrm{rad}}$, puis intégrer par parties sur une période en dérivant $\dot x$.
> [!INDICATION]
> Le terme tout intégré disparaît grâce à la périodicité ; comparer ensuite à la formule de Larmor, en faisant attention aux signes (puissance reçue par l'électron et puissance rayonnée).
#### Solution
$$\langle\vec F_{\mathrm{rad}}\cdot\vec v\rangle=\frac{m_e\tau}{T_0}\int_0^{T_0}\overset{...}{x}\,\dot x\,dt=\frac{m_e\tau}{T_0}\Big(\big[\ddot x\dot x\big]_0^{T_0}-\int_0^{T_0}\ddot x^2dt\Big)=-m_e\tau\langle\gamma^2\rangle.$$
La puissance rayonnée est l'opposé : $\langle\mathcal P\rangle=m_e\tau\langle\gamma^2\rangle=\dfrac{e^2\langle\gamma^2\rangle}{6\pi\epsilon_0c^3}$, d'où
$$\boxed{\tau=\frac{e^2}{6\pi\epsilon_0m_ec^3}=\frac{\Gamma}{\omega_0^2}\simeq6{,}3\times10^{-24}\ \mathrm s}$$
> [!PIEGE]
> La force d'Abraham-Lorentz ne reproduit la perte d'énergie qu'**en moyenne** sur une période ; instantanément, sa puissance n'est pas égale à l'opposé de la puissance de Larmor.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Comparer les ordres de grandeur des deux forces sur le mouvement non perturbé.
> [!INDICATION]
> Dans le terme d'ordre 1, la dérivée troisième peut être calculée avec le mouvement d'ordre 0 ; dériver l'équation d'ordre 0.
#### Solution
$\|\vec F_{\mathrm{rad}}\|/\|\vec F_{\mathrm{noy}}\|\sim m_e\tau\omega_0^3x_0/(m_e\omega_0^2x_0)=\tau\omega_0$ : condition
$$\boxed{\tau\omega_0\ll1}\qquad(\tau\omega_0\simeq2{,}4\times10^{-8}).$$
$\ddot x+\omega_0^2x=\tau\overset{...}{x}$ ; à l'ordre 0, $\overset{...}{x}=-\omega_0^2\dot x$, d'où à l'ordre 1
$$\boxed{\ddot x+\tau\omega_0^2\,\dot x+\omega_0^2x=0},\qquad\boxed{Q=\frac{1}{\tau\omega_0}=\frac{\omega_0}{\Gamma}\simeq4{,}1\times10^7}$$
**Commentaire :** amortissement extrêmement faible, bien plus que pour tout oscillateur macroscopique ; la largeur relative naturelle de la raie vaut $1/Q\simeq2\times10^{-8}$, soit $\Delta\lambda\simeq10^{-14}$ m.
> [!METHODE]
> Méthode perturbative : dans un terme déjà petit, on remplace les grandeurs par leur expression d'ordre 0 ; l'erreur commise est d'ordre 2. Contrôle de cohérence : $Q=2\pi\times(1/\Gamma)/T_0$ redonne le rapport de la Q27.
### Question 30
> [!INDICATION]
> La force du noyau est radiale et ne dépend que de $r$ : écrire ses composantes, puis appliquer la formule fournie avec $\vec A=\vec v$ en polaires.
> [!INDICATION]
> Un terme de la composante orthoradiale ne vient pas d'une dérivée de la force mais de la rotation de la base.
#### Solution
$F_r=-\mathcal E_p'(r)$, $F_\theta=0$, $\vec v=\dot r\,\hat e_r+r\dot\theta\,\hat e_\theta$ :
$$(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec F_{\mathrm{noy}}=\dot r\,F_r'\,\hat e_r+\dot\theta\,F_r\,\hat e_\theta,$$
$$\boxed{\vec F=-\left[\frac{d\mathcal E_p}{dr}+\tau\dot r\frac{d^2\mathcal E_p}{dr^2}\right]\hat e_r-\tau\dot\theta\frac{d\mathcal E_p}{dr}\,\hat e_\theta}$$
La composante orthoradiale est la seule à pouvoir modifier le moment cinétique.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Théorème du moment cinétique en $O$ ; seule la composante orthoradiale de la force intervient.
> [!INDICATION]
> Exprimer $\dot\theta$ en fonction de $\vec L_O$ pour fermer l'équation.
#### Solution
$\vec L_O=m_er^2\dot\theta\,\hat e_z$ et $\dfrac{d\vec L_O}{dt}=rF_\theta\,\hat e_z=-\tau r\dot\theta\,\mathcal E_p'(r)\,\hat e_z$. Avec $\dot\theta\,\hat e_z=\vec L_O/(m_er^2)$ :
$$\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt}=f(r)\frac{d\mathcal E_p}{dr}\vec L_O,\qquad f(r)=-\frac{\tau}{m_er}}$$
### Question 32
> [!INDICATION]
> Pour la force harmonique, le facteur $r$ se simplifie : on obtient une équation linéaire à coefficient constant.
> [!INDICATION]
> Pour la dernière sous-question, revenir à la partie II.
#### Solution
$\mathcal E_p'(r)=m_e\omega_0^2r$, donc $\dfrac{d\vec L_O}{dt}=-\tau\omega_0^2\vec L_O$ :
$$\boxed{\vec L_O(t)=\vec L_O(0)\,e^{-\tau\omega_0^2t}=\vec L_O(0)\,e^{-\Gamma t}}$$
Durée caractéristique : $\boxed{1/(\tau\omega_0^2)=1/\Gamma\simeq1{,}1\times10^{-8}\ \mathrm s}$.
**Le moment cinétique perdu est emporté par le rayonnement électromagnétique**, qui porte une densité de moment cinétique $\overrightarrow{OM}\wedge\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$ ; le moment cinétique total électron + champ se conserve (même mécanisme qu'en II.B, en sens inverse).
> [!PIEGE]
> Répondre que le moment cinétique est « perdu » ou « dissipé » : il est transféré au champ.
### III.B — Stabilité d'un atome classique
On abandonne le modèle de Thomson : l'électron décrit une orbite circulaire autour d'un noyau ponctuel, rayonne, et sa trajectoire devient une spirale qui aboutit au noyau en un temps très court.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Projeter le principe fondamental de la dynamique en polaires, avec $r$ constant.
> [!INDICATION]
> Pour l'énergie mécanique, utiliser la projection radiale pour exprimer l'énergie cinétique en fonction de $r$.
#### Solution
$$\boxed{\vec F=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\hat e_r=-\frac{Ze\chi}{r^2}\hat e_r}$$
Sur $\hat e_\theta$ : $m_er\ddot\theta=0$, donc $\dot\theta$ constant : mouvement **uniforme**. Sur $\hat e_r$ : $m_ev^2/r=Ze\chi/r^2$ :
$$\boxed{v=\sqrt{\frac{Ze\chi}{m_er}}},\qquad\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{m_er^3}{Ze\chi}}}$$
$T^2/r^3$ constant : **troisième loi de Kepler**. Enfin
$$\boxed{\mathcal E=\frac{Ze\chi}{2r}-\frac{Ze\chi}{r}=-\frac{Ze\chi}{2r}=-\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0r}}$$
> [!METHODE]
> Pour un mouvement circulaire en champ newtonien, $\mathcal E=-\mathcal E_c=\mathcal E_p/2$ : contrôle immédiat, et rappel que perdre de l'énergie fait diminuer $r$ et augmenter $v$.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Bilan d'énergie quasi statique : $d\mathcal E/dt=-\mathcal P$ avec $\mathcal E(r)$ de la Q33 et la formule de Larmor appliquée à l'accélération centripète.
> [!INDICATION]
> L'équation obtenue s'intègre en faisant apparaître la dérivée d'une puissance de $r$. Pour le nombre de tours, la période change au cours de la chute : intégrer la fréquence instantanée en changeant de variable.
#### Solution
$\gamma=v^2/r=Ze\chi/(m_er^2)$, $\mathcal P=\dfrac{e^2\gamma^2}{6\pi\epsilon_0c^3}=\dfrac{\tau(Ze\chi)^2}{m_er^4}$ et $\dfrac{d\mathcal E}{dt}=\dfrac{Ze\chi}{2r^2}\dot r$ :
$$\boxed{r^2\dot r=-K,\qquad K=\frac{2\tau Ze\chi}{m_e}}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{r(t)=(r_0^3-3Kt)^{1/3}}$$
$$\boxed{t_c=\frac{r_0^3}{3K}=\frac{m_er_0^3}{6\tau Ze\chi}}$$
A.N. ($Z=1$) : $K\simeq\dfrac{2\times6{,}3\times10^{-24}\times2{,}4\times10^{-28}}{9{,}1\times10^{-31}}\simeq3{,}3\times10^{-21}$ m³·s⁻¹, $r_0^3\simeq1{,}5\times10^{-31}$ m³ :
$$\boxed{t_c\simeq1{,}5\times10^{-11}\ \mathrm s}$$
Nombre de tours, avec $\Omega(r)=\sqrt{Ze\chi/(m_er^3)}$ et $dt=-r^2dr/K$ :
$$N=\int_0^{t_c}\frac{\Omega}{2\pi}dt=\frac{1}{2\pi K}\sqrt{\frac{Ze\chi}{m_e}}\int_0^{r_0}\sqrt r\,dr\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{N=\frac{1}{6\pi\tau}\sqrt{\frac{m_er_0^3}{Ze\chi}}=\frac{2t_c}{T(r_0)}}$$
A.N. : $\Omega_0=\sqrt{2{,}4\times10^{-28}/(9{,}1\times10^{-31}\times1{,}5\times10^{-31})}\simeq4{,}2\times10^{16}$ rad·s⁻¹ :
$$\boxed{N=\frac{1}{6\pi\tau\Omega_0}\simeq2\times10^5\ \text{tours}}$$
**L'atome classique s'effondrerait en une dizaine de picosecondes.** L'hypothèse quasi statique tombe en défaut près du noyau, mais l'essentiel de la durée s'écoule aux grands rayons.
> [!PIEGE]
> Injecter dans Larmor $dv/dt$ (nul) au lieu de l'accélération centripète ; ou calculer le nombre de tours par $t_c/T(r_0)$, ce qui donne la moitié du résultat.
> [!JURY]
> Dans une épreuve sans calculatrice, on attend une application numérique conduite avec les données groupées de l'énoncé, en deux chiffres significatifs, et un commentaire physique du résultat.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Lister ce que la mécanique quantique change par rapport à l'image classique d'une trajectoire : description de l'électron, valeurs possibles de l'énergie, existence d'un niveau le plus bas.
> [!INDICATION]
> Relier explicitement la réponse aux deux difficultés : la perte continue de moment cinétique (Q32) et l'effondrement (Q34). La partie I.B fournit déjà l'argument décisif.
#### Solution
En physique classique, l'électron suit une trajectoire et peut perdre continûment énergie et moment cinétique. En mécanique quantique :
- l'électron est décrit par une fonction d'onde ; dans un **état stationnaire**, $|\Psi|^2$ est indépendant du temps : la distribution de charge ne varie pas et ne rayonne pas ;
- l'énergie d'un électron lié est **quantifiée** : l'atome ne perd de l'énergie que par sauts entre niveaux, en émettant un photon $h\nu=\mathcal E_{\mathrm{initial}}-\mathcal E_{\mathrm{final}}$ ; c'est l'origine des raies, dont celle à $486{,}1$ nm ;
- il existe un **état fondamental** : la relation d'indétermination rend le confinement coûteux ($\hbar^2/(2m_ea^2)$, partie I.B), d'où un minimum d'énergie atteint pour $a\sim a_0$ ; aucun niveau inférieur n'existe, l'électron ne tombe pas sur le noyau (réponse à Q34) ;
- le moment cinétique est lui aussi quantifié (quanta de $\hbar$ dans le modèle de Bohr) : il ne décroît pas continûment comme en Q32, chaque photon émis emportant un quantum ; dans l'état fondamental de l'hydrogène, le moment cinétique orbital est nul.
**La mécanique quantique remplace la descente continue par des niveaux discrets et garantit un état fondamental stable qui ne rayonne pas.** Le calcul classique conserve une valeur d'ordre de grandeur : $1/\Gamma\sim10^{-8}$ s est bien la durée de vie typique d'un niveau excité.
> [!PIEGE]
> Invoquer le principe de Pauli : il n'a aucun rôle pour un atome à un seul électron.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Champ d'une distribution à haute symétrie : invariances, plans de symétrie ou d'antisymétrie passant par $M$, puis théorème intégral (Gauss pour $\vec E$ statique, Maxwell-Faraday intégral pour un champ induit, Ampère pour $\vec B$). Pour un champ induit, raisonner sur les courants (vrais vecteurs) et non sur $\vec B$ ou $\vec s$ (pseudo-vecteurs).
- Énergie du champ électrostatique : intégrer $\epsilon_0E^2/2$ sur tout l'espace, sans oublier l'intérieur des distributions volumiques.
- Estimation par la relation d'indétermination puis minimisation de l'énergie (taille et énergie de l'atome).
- Le champ électromagnétique porte énergie ($\vec\Pi$), impulsion ($\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$) et moment cinétique : penser à l'inclure dans tout bilan de conservation.
- Bilans d'énergie moyennés en régime quasi statique, validés par la séparation des échelles de temps ($1/\Gamma\gg T_0$).
- Traitement perturbatif d'une petite force : remplacer dans le petit terme les grandeurs par leur valeur d'ordre 0.
- Moment par rapport à un axe : seule la composante orthoradiale compte, multipliée par la distance à l'axe.
**Prérequis à revoir.** Coordonnées et base sphériques ; théorème de Gauss ; équations de Maxwell et ondes planes ; vecteur de Poynting ; induction (Lenz, Faraday) ; théorème du moment cinétique pour un solide en rotation ; oscillateur amorti et facteur de qualité ; mouvement circulaire en force centrale, lois de Kepler ; postulats de base de la mécanique quantique.
**Questions classiques transposables.** Champ et énergie d'une boule uniformément chargée (Q4) ; OPPH et vecteur de Poynting (Q11–Q14) ; flux de photons (Q15–Q16) ; champ induit à symétrie de révolution (Q17–Q19) ; oscillateur amorti et facteur de qualité (Q29) ; chute d'un électron classique et temps d'effondrement (Q34), à rapprocher de la décroissance d'une orbite de satellite freiné.
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