Maths 1

# Mines-Ponts PSI — Maths 1 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

Notations : $\chi_A(X)=\det(XI_n-A)$, unitaire de degré $n$, de coefficient $-\operatorname{tr}A$ sur $X^{n-1}$. On utilise la règle $E_{a,b}E_{c,d}=\delta_{b,c}E_{a,d}$.

## A — Réduction des endomorphismes de carré nul

### Question 1

Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ et $x\neq0$ tel que $u(x)=\lambda x$. Alors $0=u^2(x)=\lambda^2x$, et $x\neq0$ donne $\lambda=0$. Réciproquement $\chi_u$, de degré $n\geqslant1$, admet une racine dans $\mathbb C$, qui est valeur propre ; donc $\operatorname{Sp}(u)=\{0\}$. Comme $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb C$ et n'a que $0$ pour racine, $\chi_u=X^n$. Le coefficient de $X^{n-1}$ de $\chi_u$ valant $-\operatorname{tr}(u)$ :

$$\boxed{\operatorname{Sp}(u)=\{0\}\quad\text{et}\quad\operatorname{tr}(u)=0.}$$

### Question 2

Si $y=u(x)\in\operatorname{Im}u$, alors $u(y)=u^2(x)=0$ : $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$. Donc $r\leqslant\dim\operatorname{Ker}u=n-r$ par le théorème du rang, soit

$$\boxed{r\leqslant\frac n2.}$$

### Question 3

En dimension finie, $\operatorname{Ker}u$ admet un supplémentaire $S$, de dimension $n-(n-r)=r$ par le théorème du rang. Une base $(e_1,\dots,e_r)$ de $S$ est une famille libre telle que $\operatorname{Ker}u\oplus\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_r)=E$.

Si $\sum_i\lambda_iu(e_i)=0$, alors $x=\sum_i\lambda_ie_i$ vérifie $u(x)=0$, donc $x\in\operatorname{Ker}u\cap S=\{0\}$ ; la liberté de $(e_i)$ donne $\lambda_1=\dots=\lambda_r=0$. **La famille $(u(e_1),\dots,u(e_r))$ est libre.**

### Question 4

Posons $f_i=u(e_i)$. La famille $(f_1,\dots,f_r)$ est libre (Q3) et contenue dans $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$ (Q2). Par le théorème de la base incomplète, on la complète en une base $(f_1,\dots,f_r,g_1,\dots,g_{n-2r})$ de $\operatorname{Ker}u$ (de dimension $n-r$, et $n-2r\geqslant0$ par Q2). Comme $E=S\oplus\operatorname{Ker}u$, la concaténation
$$\mathcal B=(e_1,\dots,e_r,f_1,\dots,f_r,g_1,\dots,g_{n-2r})$$
est une base de $E$. On a $u(e_i)=f_i$, $u(f_i)=0$, $u(g_j)=0$ (vecteurs du noyau), donc

$$\boxed{\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}0_r&0_r&(0)\\ I_r&0_r&(0)\\ (0)&(0)&0_{n-2r}\end{pmatrix}.}$$

![Figure 1 — Base adaptée de Q4 : u envoie bijectivement S sur Im u (f_i = u(e_i)) et annule Ker u = Im u ⊕ Vect(g_j), les cases suivant l'ordre de la base](/figures/corriges/mines-ponts_psi_maths-1_2026/q4-structure-carre-nul.svg)

### Question 5

*Existence* : $m=r$ convient (Q4), et $r>0$ car $u\neq0$.

*Unicité* : si $u$ est représenté par la matrice $M_m$ de l'énoncé, les $m$ premières colonnes de $M_m$ sont les vecteurs de base canoniques d'indices $m+1,\dots,2m$, les autres sont nulles ; donc $\operatorname{rg}M_m=m$. Le rang étant invariant par changement de base, $m=\operatorname{rg}u=r$.

$$\boxed{m=\operatorname{rg}(u)\ \text{est l'unique entier convenable.}}$$

## B — Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul

### Question 6

$E_{i,j}^2=\delta_{j,i}E_{i,j}$ : c'est $0$ si $i\neq j$ et $E_{i,i}\neq0$ si $i=j$. **Les $E_{i,j}$ de carré nul sont exactement ceux avec $i\neq j$.**

Soient $i\neq j$. Avec la règle de produit :
$$\begin{aligned}
E_{i,i}F_{i,j}&=E_{i,i}+E_{i,j}, & -E_{j,j}F_{i,j}&=E_{j,j}+E_{j,i},\\
E_{i,j}F_{i,j}&=-E_{i,j}-E_{i,i}, & -E_{j,i}F_{i,j}&=-E_{j,i}-E_{j,j}.
\end{aligned}$$
En sommant :
$$\boxed{(F_{i,j})^2=0_n\quad\text{pour tous }i\neq j.}$$
(Autrement : $F_{i,j}$ annule les $\varepsilon_k$, $k\notin\{i,j\}$, et agit sur $\operatorname{Vect}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)$ par $\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$, de carré nul.)

### Question 7

Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal H_n$. Comme $a_{n,n}=-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}$, la partie diagonale vaut
$$D=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}(E_{i,i}-E_{n,n})=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}\big(F_{i,n}-E_{i,n}+E_{n,i}\big).$$
Donc
$$\boxed{A=\sum_{i\neq j}a_{i,j}E_{i,j}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}F_{i,n}-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{i,n}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{n,i},}$$
combinaison linéaire de matrices $E_{i,j}$ ($i\neq j$, car $i\leqslant n-1$ dans les deux dernières sommes) et $F_{i,n}$ ($1\leqslant i\leqslant n-1$).

### Question 8

$\subset$ : si $u=u_1+\dots+u_p$ avec $u_k^2=0$, chaque $\operatorname{tr}(u_k)$ est nul (Q1 si $u_k\neq0$, évident si $u_k=0$), donc $\operatorname{tr}u=0$ par linéarité.

$\supset$ : soit $u\in\mathcal H(E)$, $\mathcal B$ une base de $E$ et $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)\in\mathcal H_n$. Par Q7, $A=\sum_{k=1}^N\lambda_kM_k$ où chaque $M_k$ est un $E_{i,j}$ ($i\neq j$) ou un $F_{i,n}$, donc $M_k^2=0$ (Q6) et $(\lambda_kM_k)^2=\lambda_k^2M_k^2=0$. L'application $v\mapsto\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(v)$ étant un isomorphisme d'algèbres, les endomorphismes $u_k$ de matrices $\lambda_kM_k$ vérifient $u_k^2=0$ et $u=u_1+\dots+u_N\in\Sigma_N\mathcal C(E)$.

$$\boxed{\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\mathcal H(E).}$$

## C — Somme de trois endomorphismes de carré nul

### Question 9

Posons $d=n-1$ ; comme $n\geqslant5$, $4(n-1)>3n$, c'est-à-dire $d>\frac{3n}4$. Dans une base $(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$, soit $u$ de matrice $\operatorname{diag}(1,\dots,1,-(n-1))$. Alors $\operatorname{tr}u=(n-1)-(n-1)=0$ ; $u-\mathrm{id}_E$ a pour matrice $\operatorname{diag}(0,\dots,0,-n)$, de rang $1$, donc $\dim\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id}_E)=n-1=d\geqslant1$ : $1$ est valeur propre, de sous-espace propre de dimension $d>\frac{3n}4$. **Un tel endomorphisme existe.**

### Question 10

$\operatorname{Ker}w=\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id}_E)$ est de dimension $d$, donc $\operatorname{rg}w=n-d<\frac n4$. Comme $v^2=0$ :
$$(w-v)^2=w^2-wv-vw+v^2=w\circ(w-v)-v\circ w.$$
Ainsi $\operatorname{Im}(w-v)^2\subset\operatorname{Im}w+v(\operatorname{Im}w)$, de dimension au plus $2\operatorname{rg}w$. Donc
$$\boxed{\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)\leqslant2(n-d)<\frac n2.}$$

### Question 11

Soit $N=\operatorname{Ker}(w-v)^2$, de dimension $q=n-\operatorname{rg}(w-v)^2>\frac n2$ (Q10). $N$ est stable par $w-v$ (qui commute avec $(w-v)^2$), donc par $u-v=(w-v)+\mathrm{id}_E$. L'endomorphisme $s$ induit par $w-v$ sur $N$ vérifie $s^2=0$ ; par l'argument de Q1 (qui vaut aussi si $s=0$), $\chi_s=X^q$, donc l'endomorphisme induit par $u-v$ sur $N$, égal à $s+\mathrm{id}_N$, a pour polynôme caractéristique $\chi_s(X-1)=(X-1)^q$.

Dans une base de $E$ obtenue en complétant une base de $N$, la matrice de $u-v$ est $\begin{pmatrix}S&\ast\\0&T\end{pmatrix}$ avec $\chi_S=(X-1)^q$, donc $\chi_{u-v}=(X-1)^q\chi_T$. Ainsi

$$\boxed{1\ \text{est valeur propre de }u-v\ \text{de multiplicité}\ \geqslant q=n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)\ (\geqslant1).}$$

### Question 12

Soit $a=u-v$ et $\mu_\lambda$ la multiplicité de $\lambda$ dans $\chi_a$. Par Q10–Q11, $\mu_1\geqslant n-\operatorname{rg}(w-v)^2>\frac n2$.

Si $-a=\varphi a\varphi^{-1}$, alors $\chi_{-a}=\chi_a$. Or $\chi_{-a}(X)=\det(X\,\mathrm{id}+a)=(-1)^n\chi_a(-X)$. Écrivons $\chi_a=(X-1)^{\mu_1}Q$ avec $Q(1)\neq0$ : alors
$$\chi_a(X)=(-1)^n\chi_a(-X)=(-1)^{n+\mu_1}(X+1)^{\mu_1}Q(-X),$$
et $Q(-X)$ ne s'annule pas en $-1$. Donc $\mu_{-1}=\mu_1$ et

$$\boxed{1\ \text{et}\ -1\ \text{sont valeurs propres de }u-v\ \text{de multiplicités}\ \mu_1=\mu_{-1}>\frac n2.}$$

### Question 13

Supposons $u=v_1+v_2+v_3$ avec $v_k\in\mathcal C(E)$, et posons $v=v_3$. Alors $u-v=v_1+v_2\in\Sigma_2\mathcal C(E)$, et le théorème de Wang et Wu fournit $\varphi\in GL(E)$ avec $-(u-v)=\varphi\circ(u-v)\circ\varphi^{-1}$. Par Q12, $1$ et $-1$, racines distinctes de $\chi_{u-v}$ (de degré $n$), ont des multiplicités $>\frac n2$, d'où $n\geqslant\mu_1+\mu_{-1}>n$ : absurde.

$$\boxed{u\notin\Sigma_3\mathcal C(E),}$$
alors que $u\in\Sigma_\infty\mathcal C(E)$ par Q8 puisque $\operatorname{tr}u=0$.

## D — Intermède : matrices de Hessenberg

### Question 14

Notons $M(x)=xI_n-A=(m_{i,j})$ : $m_{i,j}=0$ si $i>j+1$, et $m_{i+1,i}=-a_{i+1,i}\neq0$. La matrice $\widetilde{M(x)}^{(k,n)}$ a ses lignes indexées par $\{1,\dots,n\}\setminus\{k\}$ et ses colonnes par $\{1,\dots,n-1\}$. Découpons lignes en $\{1,\dots,k-1\}\cup\{k+1,\dots,n\}$ et colonnes en $\{1,\dots,k-1\}\cup\{k,\dots,n-1\}$ :

- bloc (lignes $\geqslant k+1$, colonnes $\leqslant k-1$) : $i-j\geqslant2$, donc nul ;
- bloc (lignes $\leqslant k-1$, colonnes $\leqslant k-1$) : $xI_{k-1}-A_{k-1}$, où $A_{k-1}=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant k-1}$ ;
- bloc (lignes $k+p$, colonnes $k-1+q$, $1\leqslant p,q\leqslant n-k$) : nul si $p>q$ (alors $(k+p)-(k-1+q)\geqslant2$), donc triangulaire supérieur, de diagonale $m_{k+p,k+p-1}=-a_{k+p,k+p-1}$.

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs étant le produit des déterminants diagonaux :
$$\det\Big(\widetilde{(xI_n-A)}^{(k,n)}\Big)=\Big(\prod_{i=k}^{n-1}(-a_{i+1,i})\Big)\chi_{A_{k-1}}(x)$$
(avec $\chi_{A_0}=1$ pour $k=1$ et un produit vide égal à $1$ pour $k=n$). Le polynôme
$$P_k=\Big(\prod_{i=k}^{n-1}(-a_{i+1,i})\Big)\chi_{A_{k-1}}$$
convient ; il est de degré $k-1$ car $\chi_{A_{k-1}}$ est unitaire de degré $k-1$ et le produit est non nul (régularité). Il est unique car deux polynômes égaux en tout point de $\mathbb C$ (infini) sont égaux.
$$\boxed{\deg P_k=k-1,\qquad\text{coefficient dominant }(-1)^{n-k}\prod_{i=k}^{n-1}a_{i+1,i}.}$$

### Question 15

Soit $C={}^t(c_1,\dots,c_{n-1})$. Les matrices $xI_n-(A+E_C)$ et $xI_n-A$ ne diffèrent que par la dernière colonne, la première s'obtenant en retranchant $\gamma={}^t(c_1,\dots,c_{n-1},0)$. Par linéarité du déterminant par rapport à la dernière colonne, puis développement du déterminant correctif selon cette colonne (dont la suppression redonne les mineurs de $xI_n-A$) :
$$\chi_{A+E_C}=\chi_A-\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+n}c_kP_k.\qquad(\ast)$$
Soit $P$ unitaire de degré $n$ de coefficient $-\operatorname{tr}A$ sur $X^{n-1}$. Alors $R=\chi_A-P\in\mathbb C_{n-2}[X]$ et
$$\chi_{A+E_C}=P\iff\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+n}c_kP_k=R.$$
Les $P_1,\dots,P_{n-1}$ sont de degrés $0,1,\dots,n-2$ (Q14) : famille échelonnée, donc libre, de $n-1=\dim\mathbb C_{n-2}[X]$ éléments, donc base de $\mathbb C_{n-2}[X]$. En notant $(\mu_k)$ les coordonnées de $R$ dans cette base, la condition équivaut à $c_k=(-1)^{k+n}\mu_k$ pour tout $k$.

$$\boxed{\text{Il existe un unique }C\in\mathbb C^{n-1}\text{ tel que }\chi_{A+E_C}=P.}$$

### Question 16

$J_n$ est de Hessenberg régulière, de trace nulle, et $X^n$ est unitaire de coefficient $0=-\operatorname{tr}J_n$ sur $X^{n-1}$ : Q15 donne l'unicité. Or $xI_n-J_n$ est triangulaire inférieure de diagonale $x$, donc $\chi_{J_n}=X^n$ : $C=0$ convient.
$$\boxed{C=0.}$$

### Question 17

Soit $A=(a_{i,j})$ la matrice de $u$ : $u(e_j)\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{j+1})$ avec coordonnée $a_{j+1,j}$ sur $e_{j+1}$ (pour $j\leqslant n-1$). Montrons par récurrence sur $k\in[\![0,n-1]\!]$ que $u^k(e_1)\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k+1})$ avec coordonnée $\pi_k=\prod_{i=1}^ka_{i+1,i}$ sur $e_{k+1}$. C'est vrai pour $k=0$. Si $u^k(e_1)=\sum_{i\leqslant k+1}\lambda_ie_i$ avec $\lambda_{k+1}=\pi_k$ ($k\leqslant n-2$), alors $u^{k+1}(e_1)=\sum_{i\leqslant k+1}\lambda_iu(e_i)\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k+2})$, et seul $\lambda_{k+1}u(e_{k+1})$ contribue sur $e_{k+2}$, avec $\pi_ka_{k+2,k+1}=\pi_{k+1}$.

La matrice de $(u^k(e_1))_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ dans $(e_1,\dots,e_n)$ est donc triangulaire supérieure de diagonale $\pi_0,\dots,\pi_{n-1}$, non nuls par régularité : elle est inversible.

$$\boxed{(u^k(e_1))_{0\leqslant k\leqslant n-1}\ \text{est une base de }E.}$$

### Question 18

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb C^n$ canoniquement associé à $A$.

*$u^n=0$.* $\chi_A=X^n$ est scindé : $A=QTQ^{-1}$ avec $T$ triangulaire supérieure de diagonale formée des valeurs propres, toutes nulles. Avec $G_k=\operatorname{Vect}(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)$ ($G_0=\{0\}$), on a $TG_k\subset G_{k-1}$, donc $T^n=0$ et $A^n=QT^nQ^{-1}=0$. (C'est aussi la conclusion directe du théorème de Cayley–Hamilton.)

*Conclusion.* Par Q17 appliquée dans la base canonique, $(f_0,\dots,f_{n-1})=(e_1,u(e_1),\dots,u^{n-1}(e_1))$ est une base de $\mathbb C^n$, et $u(f_k)=f_{k+1}$ pour $k\leqslant n-2$, $u(f_{n-1})=u^n(e_1)=0$. La matrice de $u$ dans cette base est $J_n$.

$$\boxed{A\ \text{est semblable à}\ J_n.}$$

## E — Somme de quatre endomorphismes de carré nul

### Question 19

*$A+V$ est de Hessenberg régulière.* Si $i>j+1$ : $a_{i,j}=0$ (car $i>j$ et $(i,j)\neq(n,n-1)$) et $V_{i,j}=0$. Pour $i\leqslant n-2$ : $(A+V)_{i+1,i}=0+1=1$. Enfin $(A+V)_{n,n-1}=a_{n,n-1}+0\neq0$.

*Trace.* $\operatorname{tr}(A+V)=\operatorname{tr}A=0$. Le polynôme $X^n$ est unitaire de coefficient $0=-\operatorname{tr}(A+V)$ sur $X^{n-1}$ : Q15 fournit $C_0\in\mathbb C^{n-1}$ tel que $\chi_{A+V+E_{C_0}}=X^n$.

*Conclusion.* $E_{C_0}$ n'a de coefficients non nuls qu'en positions $(i,n)$, $i\leqslant n-1$, strictement au-dessus de la diagonale : $A+V+E_{C_0}$ reste de Hessenberg régulière, de polynôme caractéristique $X^n$. Par Q18 :

$$\boxed{A+V+E_{C_0}\ \text{est semblable à}\ J_n.}$$

### Question 20

$J_n=\sum_{i=1}^{n-1}E_{i+1,i}$. Posons
$$B_1=\sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n-1\\ i\ \text{impair}}}E_{i+1,i},\qquad B_2=\sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n-1\\ i\ \text{pair}}}E_{i+1,i}.$$
Alors $B_1+B_2=J_n$ et $B_1^2=\sum E_{i+1,i}E_{j+1,j}=\sum\delta_{i,j+1}E_{i+1,j}$ (somme sur $i,j$ impairs) est nulle car $i=j+1$ est impossible pour deux entiers de même parité ; de même $B_2^2=0$. Les supports de $B_1$ et $B_2$ sont disjoints.

$$\boxed{J_n=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$

![Figure 2 — J_6 vue comme la chaîne ε_1 → … → ε_6 de la base canonique : B_1 (bleu, plein) prend les flèches issues d'un indice impair, B_2 (orange, tirets) celles d'un indice pair](/figures/corriges/mines-ponts_psi_maths-1_2026/q20-decomposition-jn.svg)

### Question 21

$V=\sum_{i=1}^{n-2}E_{i+1,i}$ et $E_C=\sum_{j=1}^{n-1}c_jE_{j,n}$. Posons
$$B_1=\sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n-2\\ i\ \text{impair}}}E_{i+1,i}+\sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n-1\\ j\ \text{pair}}}c_jE_{j,n},\qquad B_2=\sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant n-2\\ i\ \text{pair}}}E_{i+1,i}+\sum_{\substack{1\leqslant j\leqslant n-1\\ j\ \text{impair}}}c_jE_{j,n}.$$
Alors $B_1+B_2=V+E_C$. Dans $B_1^2$, avec $i,i'$ impairs $\leqslant n-2$ et $j,j'$ pairs $\leqslant n-1$ :

- $E_{i+1,i}E_{i'+1,i'}=\delta_{i,i'+1}E_{i+1,i'}=0$ (même parité) ;
- $E_{i+1,i}E_{j,n}=\delta_{i,j}E_{i+1,n}=0$ (parités différentes) ;
- $E_{j,n}E_{i'+1,i'}=\delta_{n,i'+1}E_{j,i'}=0$ (car $i'+1\leqslant n-1$) ;
- $E_{j,n}E_{j',n}=\delta_{n,j'}E_{j,n}=0$ (car $j'\leqslant n-1$).

Donc $B_1^2=0$, et de même (parités échangées) $B_2^2=0$.

$$\boxed{V+E_C=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$

![Figure 3 — V + E_C pour n = 6 : la chaîne s'arrête en ε_5, les retours ε_6 → ε_j de poids c_j vont dans B_1 si j est pair, dans B_2 si j est impair](/figures/corriges/mines-ponts_psi_maths-1_2026/q21-decomposition-v-ec.svg)

### Question 22

Comme $v$ n'est pas une homothétie, $n\geqslant2$. Soit $(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ une base de trigonalisation de $v$ (le corps est $\mathbb C$), de matrice $T$ triangulaire supérieure.

*Cas 1 : $v$ a deux valeurs propres distinctes $\lambda\neq\mu$.* Soient $x,y$ des vecteurs propres associés ; ils sont libres et $P=\operatorname{Vect}(x,y)$ est un plan stable. Le vecteur $x+y\neq0$ n'est pas propre : $v(x+y)=\lambda x+\mu y=\alpha(x+y)$ imposerait $\lambda=\alpha=\mu$.

*Cas 2 : $\operatorname{Sp}(v)=\{\lambda\}$.* La diagonale de $T$ est constante égale à $\lambda$, donc $N=v-\lambda\,\mathrm{id}$ a une matrice strictement triangulaire supérieure : $N(G_k)\subset G_{k-1}$ avec $G_k=\operatorname{Vect}(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)$, d'où $N^n=0$. Et $N\neq0$ car $v$ n'est pas une homothétie. Soit $p\geqslant2$ le plus petit entier tel que $N^p=0$, $y$ tel que $N^{p-1}(y)\neq0$, et $x=N^{p-2}(y)$ : $N(x)\neq0$ et $N^2(x)=0$. La famille $(x,N(x))$ est libre : si $\alpha x+\beta N(x)=0$, en appliquant $N$ on obtient $\alpha N(x)=0$, donc $\alpha=0$, puis $\beta=0$. Le plan $P=\operatorname{Vect}(x,N(x))$ est stable par $N$ ($N(N(x))=0$), donc par $v=\lambda\,\mathrm{id}+N$. Enfin $x$ n'est pas propre : $v(x)=\mu x$ donnerait $N(x)=(\mu-\lambda)x$, contredisant la liberté.

$$\boxed{\text{Il existe un plan stable par }v\text{ contenant un vecteur non nul non propre.}}$$

### Question 23

Soit $M\notin\operatorname{Vect}(I_n)$ et $v$ l'endomorphisme de $\mathbb C^n$ associé ; $v$ n'est pas une homothétie. Par Q22, soit $P$ un plan stable et $x\in P$ non nul non propre. Alors $(x,v(x))$ est libre (sinon $x$ serait propre) et contenue dans $P$ (stable) : c'est une base de $P$. Complétons-la en une base $\mathcal B=(x,v(x),f_3,\dots,f_n)$ de $\mathbb C^n$. Par stabilité de $P$ :
$$\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(v)=\begin{pmatrix}B&\ast\\(0)&C'\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&b_{1,2}\\1&b_{2,2}\end{pmatrix},$$
donc $b_{2,1}=1\neq0$. La matrice $C'\in\mathcal M_{n-2}(\mathbb C)$ est trigonalisable : $C'=QCQ^{-1}$ avec $C$ triangulaire supérieure. Avec $R=\begin{pmatrix}I_2&0\\0&Q\end{pmatrix}$,
$$R^{-1}\begin{pmatrix}B&\ast\\(0)&C'\end{pmatrix}R=\begin{pmatrix}B&\ast Q\\(0)&C\end{pmatrix}.$$
(Pour $n=2$, il n'y a pas de bloc $C$ et la conclusion est déjà acquise.)

$$\boxed{M\ \text{est semblable à}\ \begin{pmatrix}B&(?)\\(0)&C\end{pmatrix},\ b_{2,1}\neq0,\ C\ \text{triangulaire supérieure}.}$$

### Question 24

Soit $M\notin\operatorname{Vect}(I_n)$ ; alors ${}^tM\notin\operatorname{Vect}(I_n)$. Par Q23, ${}^tM=QNQ^{-1}$ où $N$ vérifie $N_{i,j}=0$ pour $i>j$ sauf $N_{2,1}=b_{2,1}\neq0$. En transposant, $M=({}^tQ)^{-1}\,{}^tN\,{}^tQ$ : $M$ est semblable à ${}^tN$.

Soit $K=(\delta_{i,n+1-j})$ la matrice de permutation qui renverse l'ordre de la base : $K^2=I_n$ et $(KSK)_{i,j}=S_{n+1-i,n+1-j}$. Posons $A'=K\,{}^tN\,K$, semblable à $M$. Alors
$$A'_{i,j}=({}^tN)_{n+1-i,\,n+1-j}=N_{n+1-j,\,n+1-i}.$$
Si $i>j$, on a $n+1-j>n+1-i$ : ce coefficient de $N$ est strictement sous la diagonale, donc nul, sauf si $(n+1-j,n+1-i)=(2,1)$, c'est-à-dire $(i,j)=(n,n-1)$, où il vaut $b_{2,1}\neq0$.

$$\boxed{\text{Toute matrice de }\mathcal M_n(\mathbb C)\setminus\operatorname{Vect}(I_n)\text{ est semblable à une matrice presque triangulaire supérieure.}}$$

### Question 25

Soit $n=\dim E$ et $u$ de trace nulle.

*Cas $u$ homothétie* (en particulier $n\leqslant1$) : $u=\lambda\,\mathrm{id}_E$ et $n\lambda=0$, donc $u=0=0+0+0+0\in\Sigma_4\mathcal C(E)$ (si $n=0$, $u=0$ aussi).

*Cas général* ($n\geqslant2$, $u$ non homothétie) : soit $A$ la matrice de $u$ dans une base $\mathcal B$ ; $A\notin\operatorname{Vect}(I_n)$. Par Q24, $A=RA'R^{-1}$ avec $A'$ presque triangulaire supérieure et $\operatorname{tr}A'=\operatorname{tr}A=0$. Par Q19, il existe $C_0$ et $Q\in GL_n(\mathbb C)$ tels que $A'+V+E_{C_0}=QJ_nQ^{-1}$. Par Q20, $J_n=D_1+D_2$ avec $D_1^2=D_2^2=0$ ; par Q21, $V+E_{C_0}=B_1+B_2$ avec $B_1^2=B_2^2=0$. Donc
$$A'=QD_1Q^{-1}+QD_2Q^{-1}+(-B_1)+(-B_2),$$
somme de quatre matrices de carré nul ($(QDQ^{-1})^2=QD^2Q^{-1}$, $(-B)^2=B^2$). En conjuguant par $R$, $A$ est somme de quatre matrices de carré nul, et par l'isomorphisme d'algèbres $v\mapsto\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(v)$, $u$ est somme de quatre endomorphismes de carré nul.

$$\boxed{\operatorname{tr}(u)=0\ \Longrightarrow\ u\in\Sigma_4\mathcal C(E).}$$

Avec Q8 : $\Sigma_4\mathcal C(E)=\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\mathcal H(E)$, et la partie C montre que $4$ ne peut pas être remplacé par $3$ dès que $\dim E\geqslant5$.