Maths 2

# Probabilité qu’un entier choisi au hasard et uniformément dans $[[1;n]]$ soit sans facteur à la puissance $k$

Concours Mines-Ponts. Filière PSI. Session 2026.

A2026 – MATH II PSI.

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES.

Durée de l’épreuve : 3 heures.

L’usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.

Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines-Ponts.

La partie 1 permet d’obtenir un développement en série utilisé dans la partie 2.

La partie 2 n’utilise que le développement en série obtenu à la dernière question de la partie 1 et en est donc indépendante exceptée cette question. Cette partie 2 permet un calcul effectif de proche en proche des valeurs de la fonction zêta en un entier pair non nul à partir des nombres de Bernoulli.

La partie 3 est indépendante des parties 1 et 2. La partie 4 utilise les valeurs obtenues à la dernière question de la partie 2 et est donc indépendante des parties 1 et 2 exceptée cette question.

Dans les parties 3 et 4, on se donne un entier naturel non nul $n$ et un entier naturel $k$ vérifiant $k \geqslant 2$. On s’intéresse au tirage uniforme d’un entier dans $[[1;n]]$ et on détermine la probabilité $q_n(k)$ que cet entier soit sans facteur à la puissance $k$. On montre enfin que à $k$ fixé, la suite $\bigl(q_n(k)\bigr)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et on détermine sa limite.

## Partie 1 : Calcul de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}$

**1 ▷** Soit $\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{e^{ik\theta}}{k} = \int_0^1 e^{i\theta} \frac{1 - \bigl(e^{i\theta} t\bigr)^n}{1 - e^{i\theta} t}\, \mathrm{d}t.
$$

**2 ▷** En déduire que pour $\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$, la série numérique $\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} \frac{e^{ik\theta}}{k}$ converge, et que :

$$
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{ik\theta}}{k} = \int_0^1 \frac{e^{i\theta}}{1 - e^{i\theta} t}\, \mathrm{d}t.
$$

**3 ▷** En déduire que pour $\theta \in \mathopen{]}0;\pi\mathclose{[}$, la série numérique $\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} \frac{\sin(k\theta)}{k}$ converge et que :

$$
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(k\theta)}{k} = \frac{\pi - \theta}{2}.
$$

*Indication : Pour $\theta \in \mathopen{]}0;\pi\mathclose{[}$, on pourra introduire la fonction $u_\theta : [0;1] \to \mathbb{R}$ définie par*

$$
u_\theta(t) = \operatorname{Arctan}\left(\frac{t\sin(\theta)}{1 - t\cos(\theta)}\right),
$$

*et vérifier que*

$$
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(k\theta)}{k} = \int_0^1 u_\theta'(t)\, \mathrm{d}t.
$$

**4 ▷** Soit $S$ la fonction numérique définie pour tout $t$ réel par $\displaystyle S(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nt)}{n^2}$.

Justifier que $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $S$ est également continue sur $\mathbb{R}$.

**5 ▷** En déduire que pour tout $\theta \in [0;\pi]$, on a :

$$
S(\theta) = \frac{\theta^2}{4} - \frac{\pi\theta}{2} + S(0).
$$

**6 ▷** Pour tout $x$ réel, on introduit la fonction numérique $g_x$ bien définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$
g_x(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nt)}{n^2(n^2 + x^2)}.
$$

Justifier que pour tout $x$ réel, la fonction $t \mapsto g_x(t)$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et vérifie :

$$
\forall t \in \mathbb{R},\quad g_x''(t) - x^2 g_x(t) = -S(t).
$$

**7 ▷** Pour un réel $x$ non nul fixé, déterminer une solution polynomiale $t \mapsto P(t)$ de degré $2$ de l’équation différentielle :

$$
(E_x) : \forall t \in \mathbb{R},\quad y''(t) - x^2 y(t) = -\frac{t^2}{4} + \frac{\pi t}{2} - S(0).
$$

**8 ▷** Pour tout réel $x$, calculer $g_x'(0)$ et $g_x'(\pi)$. Pour $x$ réel non nul, montrer que :

$$
g_x''(0) = -\frac{\pi}{2x} \times \frac{1 + e^{-2\pi x}}{1 - e^{-2\pi x}} + \frac{1}{2x^2}.
$$

**9 ▷** En déduire que pour tout réel $x$ non nul :

$$
\frac{2\pi x}{e^{2\pi x} - 1} = 1 - \pi x + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x^2}{n^2 + x^2}.
$$

## Partie 2 : Développement en série entière de $\displaystyle x \mapsto \frac{x}{e^x - 1}$ et applications

On introduit la fonction $h$, définie sur $\mathbb{R}$, par :

$$
h : x \mapsto \begin{cases} \dfrac{x}{e^x - 1} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}.
$$

On rappelle également que la fonction zêta de Riemann est définie sur $\mathopen{]}1;+\infty\mathclose{[}$ par :

$$
\zeta : s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}.
$$

**10 ▷** Soient $x \in \mathopen{]}-1;1\mathclose{[}$ et deux entiers naturels $N$ et $n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que :

$$
\frac{1}{x^2 + n^2} = \left(\frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{N} \left(\frac{-x^2}{n^2}\right)^k\right) + R_{N,n}(x),
$$

où $\displaystyle R_{N,n}(x) = (-1)^{N+1} \frac{1}{x^2 + n^2} \times \frac{x^{2N+2}}{n^{2N+2}}$, et justifier que

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \bigl|R_{N,n}(x)\bigr| \leqslant \zeta(2N+2)\, |x|^{2N+2}.
$$

**11 ▷** Après avoir justifié que $\displaystyle\lim_{s \to +\infty} \zeta(s) = 1$, en déduire que pour $x \in \mathopen{]}-1;1\mathclose{[}$ :

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{x^2 + n^2} = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \zeta(2k)\, x^{2k}.
$$

**12 ▷** En déduire que la fonction $h$ est développable en série entière, et que pour tout $x \in \mathopen{]}-2\pi;2\pi\mathclose{[}$ :

$$
h(x) = 1 - \frac{1}{2}x + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \frac{\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}\, x^{2k}.
$$

Pour tout $k$ entier naturel, on pose : $b_k = h^{(k)}(0)$.

Déterminer alors $b_0$ et $b_1$. De plus, si $k$ est un entier naturel non nul, déterminer $b_{2k}$ ainsi que $b_{2k+1}$.

**13 ▷** Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{b_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0$.

*Indication : On pourra remarquer que pour $x$ réel non nul : $\dfrac{x}{e^x - 1} \times \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$.*

**14 ▷** À l’aide des valeurs de $b_0$ et $b_1$ calculées précédemment et de la question 13 ▷, calculer $b_2$ et $b_4$.

En utilisant la question 12 ▷, déterminer les valeurs $\zeta(2)$ et $\zeta(4)$.

## Partie 3 : Probabilité qu’un entier naturel choisi au hasard et uniformément dans $[[1;n]]$ soit sans facteur à la puissance $k$

- On note $\mathcal{P}$ l’ensemble des nombres premiers. On ordonne $\mathcal{P}$ par ordre croissant, et on note $p_n$ le $n$-ième nombre premier. Ainsi, par exemple, $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$ et $p_7 = 17$.

- Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $k \geqslant 2$.

On dit qu’un entier naturel $n$ non nul est sans facteur à la puissance $k$ si :

$$
\{p \in \mathcal{P},\ p^k \mid n\} = \emptyset.
$$

Lorsque $n \neq 1$, cela revient à dire que si $n$ s’écrit $n = \displaystyle\prod_{i=1}^{r} q_i^{\alpha_i}$ avec des facteurs premiers $q_i$ tous distincts, alors pour tout $i \in [[1;r]]$, on a $\alpha_i \leqslant k - 1$.

**15 ▷** Soit $r \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $r$-uplet de réels $(x_1, x_2, \ldots, x_r)$ :

$$
\prod_{i=1}^{r} (1 + x_i) = 1 + \sum_{m=1}^{r} \left( \sum_{1 \leqslant i_1 < \cdots < i_m \leqslant r} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_m} \right),
$$

où la notation $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i_1 < \cdots < i_m \leqslant r}$ désigne la somme sur tous les $m$-uplets $(x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots, x_{i_m})$ de $\mathbb{R}^m$ qui vérifient $1 \leqslant i_1 < \ldots < i_m \leqslant r$.

Pour les deux prochaines questions 16 ▷ et 17 ▷, on se donne un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

**16 ▷** Soient $A, A_1, A_2, \ldots, A_m \in \mathcal{A}$. Montrer que $\mathbf{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbf{1}_A$, où $\mathbf{1}_A$ désigne l’indicatrice de $A$.

De même, montrer que $\mathbf{1}_{A_1} \mathbf{1}_{A_2} \cdots \mathbf{1}_{A_m} = \mathbf{1}_{A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_m}$.

**17 ▷** En déduire que si $A_1, A_2, \ldots, A_r \in \mathcal{A}$, alors :

$$
P(A_1 \cup A_2 \cdots \cup A_r) = \sum_{m=1}^{r} (-1)^{m+1} \left( \sum_{1 \leqslant i_1 < \cdots < i_m \leqslant r} P\bigl(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_m}\bigr) \right).
$$

*Indication : On pourra utiliser les questions 15 ▷ et 16 ▷ et se souvenir que pour un événement $A$, on a $P(A) = E(\mathbf{1}_A)$.*

Pour toute la suite de cette partie, on se donne un entier naturel $n$ non nul et **on note $p_r$ le plus grand nombre premier inférieur ou égal à $n$**.

On a donc $p_1 < p_2 < \ldots < p_r \leqslant n$ et $p_{r+1} > n$.

On se donne également un entier $k$ tel que $k \geqslant 2$.

On s’intéresse au tirage d’un entier au hasard dans $[[1;n]]$ selon la loi uniforme.

On munit $[[1;n]]$ de la probabilité uniforme $P_n$ et on note :

$$
S_n(k) = \bigl\{m \in [[1;n]] : \forall j \in [[1;r]],\ p_j^k \nmid m\bigr\}.
$$

On pose $q_n(k) = P_n\bigl(S_n(k)\bigr)$ qui représente donc la probabilité que l’entier choisi soit sans facteur à la puissance $k$.

Pour $d \in \mathbb{N}^*$, on pose $A_n(d) = \bigl\{j \in [[1;n]] : d \mid j\bigr\}$.

**18 ▷** Justifier que : $\displaystyle q_n(k) = 1 - P_n\left(\bigcup_{i=1}^{r} A_n\bigl(p_i^k\bigr)\right)$. En déduire que :

$$
q_n(k) = 1 + \sum_{m=1}^{r} \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_m \leqslant r} (-1)^m\, P_n\Bigl(A_n\bigl(p_{i_1}^k p_{i_2}^k \cdots p_{i_m}^k\bigr)\Bigr).
$$

La fonction de Möbius $\mu : \mathbb{N}^* \to \{-1;0;1\}$ est la fonction définie par

$$
\mu(m) = \begin{cases}
1 & \text{si } m = 1 \\
(-1)^q & \text{si } m \text{ est le produit de } q \text{ nombres premiers distincts avec } q \in \mathbb{N}^* \\
0 & \text{sinon, c’est à dire si } m \text{ contient au moins un facteur carré}
\end{cases}.
$$

**19 ▷** Justifier que :

$$
q_n(k) = \frac{1}{n} \sum_{d=1}^{+\infty} \mu(d) \left\lfloor \frac{n}{d^k} \right\rfloor.
$$

**20 ▷** Montrer que la suite $\bigl(q_n(k)\bigr)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et qu’elle converge vers $\displaystyle \ell = \sum_{d=1}^{+\infty} \frac{\mu(d)}{d^k}$.

*Indication : on pourra introduire la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$, où chaque $f_n$ est constante par morceaux sur $\mathopen{]}1;+\infty\mathclose{[}$ et définie par :*

$$
\forall d \in \mathbb{N}^*,\ \forall t \in [d;d+1[,\quad f_n(t) = \frac{1}{n}\, \mu(d) \left\lfloor \frac{n}{d^k} \right\rfloor,
$$

*et chercher à utiliser le théorème de convergence dominée.*

## Partie 4 : Calcul de la somme $\displaystyle\sum_{d=1}^{+\infty} \frac{\mu(d)}{d^k}$

Pour les questions 21 ▷ et 22 ▷, on se donne un réel $s > 1$ et on pose pour $i \in \mathbb{N}^*$ :

$$
u_i = \frac{\mu(i)}{i^s}, \qquad v_i = \frac{1}{i^s}.
$$

De plus, pour $N \in \mathbb{N}^*$, on pose $E_N = [[1;N]]^2$ et $F_N = \bigl\{(i,j) \in E_N,\ ij \leqslant N\bigr\}$ et on définit

$$
w_N = \sum_{d \mid N} |u_d|\, v_{\frac{N}{d}} \qquad \text{et} \qquad S_N = \sum_{m=1}^{N} w_m.
$$

**21 ▷** Pour $N \in \mathbb{N}^*$, justifier que $F_N \subset E_N \subset F_{N^2}$, et montrer que la suite $(S_N)_{N \in \mathbb{N}^*}$ converge.

En déduire que :

$$
\sum_{m=1}^{+\infty} \left( \sum_{d \mid m} |u_d|\, v_{\frac{m}{d}} \right) = \left( \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{|\mu(i)|}{i^s} \right) \left( \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^s} \right),
$$

où $\displaystyle\sum_{d \mid m}$ désigne la somme sur tous les entiers naturels divisant $m$.

**22 ▷** Pour $N \in \mathbb{N}^*$, justifier que :

$$
\left| \left( \sum_{i=1}^{N} u_i \right) \left( \sum_{j=1}^{N} v_j \right) - \sum_{m=1}^{N} \left( \sum_{d \mid m} u_d\, v_{\frac{m}{d}} \right) \right| \leqslant \sum_{(i,j) \in E_N} |u_i| v_j - \sum_{(i,j) \in F_N} |u_i| v_j.
$$

En déduire que :

$$
\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^s} \left( \sum_{d \mid m} \mu(d) \right) = \left( \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{\mu(i)}{i^s} \right) \left( \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^s} \right).
$$

**23 ▷** Pour $m \in \mathbb{N}^*$, montrer que $\displaystyle\sum_{d \mid m} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{si } m = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$.

**24 ▷** En utilisant les questions 22 ▷ et 23 ▷, en déduire que pour $s > 1$, on a :

$$
\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{\mu(i)}{i^s} = \frac{1}{\zeta(s)}.
$$

**25 ▷** Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q_n(k) = \frac{1}{\zeta(k)}$.

En particulier, préciser les valeurs de $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q_n(2)$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q_n(4)$.

FIN DU PROBLÈME