Physique 1
Mines-PontsPSI2026
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## Présentation du sujet
**Thème.** « Autour de jets d'eau » est un sujet de mécanique des fluides construit autour d'un objet unique, le jet d'eau, regardé sous quatre angles : la force qu'il exerce sur ce qui le produit (lance à incendie), la hauteur qu'il peut atteindre (jet vertical, pertes de charge), puis sa fragmentation spontanée en gouttes (instabilité de Rayleigh-Plateau, tension superficielle).
**Découpage (22 questions, 3 heures, sans calculatrice ni document).** Les quatre parties sont annoncées **totalement indépendantes**.
- **Partie I (Q1–Q2) — bilans sur un système ouvert.** Démonstration de cours : bilan de quantité de mouvement et bilan d'énergie cinétique en régime permanent, par la construction d'un système fermé. Les deux relations obtenues sont données et peuvent être admises.
- **Partie II (Q3–Q8) — lance à incendie.** Conservation du débit, tension d'un tuyau souple parcouru par de l'eau (bilan de quantité de mouvement sur une portion courbe), force que doit fournir le pompier, action de l'eau sur la lance, relation de Bernoulli, deux applications numériques.
- **Partie III (Q9–Q13) — jet d'eau vertical.** Hauteur d'un jet, Bernoulli depuis le réseau de distribution, puis pertes de charge régulières (Darcy-Weisbach) et singulières ; on explique pourquoi pincer la sortie d'un tuyau d'arrosage fait monter le jet.
- **Partie IV (Q14–Q22) — instabilité de Rayleigh-Plateau.** IV.A : unité de la tension superficielle, développements au second ordre (volume, surface latérale) donnant le critère de stabilité $\lambda<2\pi R_0$, même critère lu sur la loi de Laplace, temps capillaire par analyse dimensionnelle, modèle dynamique simplifié, longueur d'onde la plus instable et taille des gouttes. IV.B : application numérique à un filet d'eau de robinet.
**Notions du programme mobilisées.** Bilans macroscopiques de quantité de mouvement et d'énergie sur un système ouvert ; conservation du débit ; relation de Bernoulli ; pertes de charge régulières et singulières, nombre de Reynolds ; loi de Laplace (admise) et énergie de surface ; développements limités et intégrales de fonctions trigonométriques ; analyse dimensionnelle ; équation différentielle linéaire du second ordre et discussion de stabilité.
**Difficulté et longueur.** Sujet de longueur raisonnable pour 3 heures, très guidé (la plupart des résultats sont annoncés dans l'énoncé, ce qui permet de s'autocontrôler). Les parties I à III relèvent du cours bien appliqué ; la partie IV demande de la rigueur dans les développements à l'ordre 2 et dans les signes.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q3, Q5 (première ligne), Q9, Q10, Q14 et Q18 se traitent en quelques lignes ; Q8, Q13 et Q22 sont des applications numériques directes, faisables même avec des résultats admis. Q21 et Q22 utilisent $\lambda_c$ et $\tau_h$, qu'on peut reprendre de l'énoncé même sans avoir abouti à Q20.
**Gestion du temps.** Environ 20 minutes pour la partie I, 45 minutes pour la II, 40 minutes pour la III, et le reste (au moins 1 h 10) pour la partie IV, la plus longue. L'énoncé demande **un chiffre significatif** pour les valeurs numériques : inutile de pousser les calculs à la main au-delà.
## Partie I — Bilans de quantité de mouvement et d'énergie mécanique
On établit les deux outils de la suite. Tout repose sur un seul geste : remplacer le système ouvert $\Sigma(t)$, auquel les lois de la mécanique ne s'appliquent pas, par un système fermé qui coïncide avec lui à l'instant $t$.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Le principe fondamental de la dynamique ne s'applique qu'à un système fermé. Lequel construire à partir de $\Sigma(t)$ ?
> [!INDICATION]
> Ajoutez à $\Sigma(t)$ la masse qui va entrer pendant $\mathrm dt$ ; à $t+\mathrm dt$, ces mêmes particules occupent $\Sigma$ plus la masse qui vient de sortir. Utilisez ensuite le caractère permanent de l'écoulement.
#### Solution
On note $\delta m_e$ la masse de fluide qui franchit la section d'entrée entre $t$ et $t+\mathrm dt$ et $\delta m_s$ celle qui franchit la section de sortie. Le système fermé est
$$S_F(t)=\Sigma(t)\cup\delta m_e,\qquad S_F(t+\mathrm dt)=\Sigma(t+\mathrm dt)\cup\delta m_s .$$
Fluide incompressible, débit volumique $Q$ : $\delta m_e=\delta m_s=\mu Q\,\mathrm dt$. Les vitesses étant uniformes sur les sections,
$$\mathrm d\vec p=\big[\vec p_\Sigma(t+\mathrm dt)+\mu Q\,\mathrm dt\,\vec v_s\big]-\big[\vec p_\Sigma(t)+\mu Q\,\mathrm dt\,\vec v_e\big].$$
En régime permanent, la surface de contrôle étant fixe, $\vec p_\Sigma(t+\mathrm dt)=\vec p_\Sigma(t)$, donc
$$\boxed{\mathrm d\vec p=\mu Q\,(\vec v_s-\vec v_e)\,\mathrm dt}$$
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système fermé $S_F$ dans le référentiel galiléen du laboratoire, $\mathrm d\vec p/\mathrm dt=\vec R_{\rm ext}$, donne
$$\boxed{\mu Q\,(\vec v_s-\vec v_e)=\vec R_{\rm ext}}$$
> [!METHODE]
> Pour tout bilan sur un système ouvert : (1) définir le système fermé à $t$ et à $t+\mathrm dt$ ; (2) écrire la grandeur extensive des deux côtés ; (3) simplifier le contenu de $\Sigma$ par la permanence ; (4) appliquer la loi de la mécanique au système fermé.
> [!PIEGE]
> Écrire directement $\mathrm d\vec p/\mathrm dt=\vec R_{\rm ext}$ pour $\Sigma(t)$ : le résultat final est le même, mais la démonstration est fausse, et c'est elle qui est demandée (« que l'on définira soigneusement »).
### Question 2
> [!INDICATION]
> Même système fermé, même découpage : seule la grandeur additive change.
> [!INDICATION]
> Pour un système déformable, le théorème de l'énergie cinétique fait intervenir les actions intérieures en plus des extérieures.
#### Solution
Avec le même système fermé, l'énergie cinétique étant additive et $E_{c,\Sigma}$ indépendante du temps :
$$\mathrm dE_c=\tfrac12\mu Q\,\mathrm dt\,v_s^2-\tfrac12\mu Q\,\mathrm dt\,v_e^2=\boxed{\tfrac12\mu Q\,(v_s^2-v_e^2)\,\mathrm dt}$$
Le théorème de l'énergie cinétique pour le système fermé déformable $S_F$ s'écrit $\mathrm dE_c/\mathrm dt=P_{\rm int}+P_{\rm ext}$, d'où
$$\boxed{\tfrac12\mu Q\,(v_s^2-v_e^2)=P_{\rm int}+P_{\rm ext}}$$
Pour un fluide incompressible, $P_{\rm int}$ se réduit à la puissance (négative) des forces de viscosité ; c'est ce terme qui donnera la puissance dissipée en Q11.
> [!PIEGE]
> Oublier $P_{\rm int}$ : un fluide n'est pas un solide indéformable. Avec un fluide parfait et incompressible, $P_{\rm int}=0$ et l'on retrouve la relation de Bernoulli.
## Partie II — Lance à incendie
On applique le bilan de quantité de mouvement à un tuyau souple, puis à une lance. Le fil conducteur : bien recenser toutes les actions extérieures, en particulier les forces de surpression sur les sections et la tension du tuyau.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Conservation de la masse pour un fluide incompressible en régime permanent.
#### Solution
On prend comme surface de contrôle la portion de tuyau entre les sections droites passant par deux points quelconques $M$ et $M'$. La paroi est imperméable ; en régime permanent, la masse contenue est constante, donc les débits massiques (et, $\mu$ étant uniforme, volumiques) entrant et sortant sont égaux. La vitesse étant tangente au tuyau et uniforme sur la section :
$$Q=v(M)\,A=v(M')\,A .$$
$A$ étant constante, **$v(M)=v=Q/A$ est uniforme le long du tuyau**. Seule la norme est constante : le vecteur $v\,\hat t(M)$ tourne avec le tuyau, ce qui fait tout l'intérêt de la question suivante.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Système : la portion de tuyau entre $M_1$ et $M_2$, eau comprise. Recensez quatre forces horizontales : deux tensions et deux forces de surpression.
> [!INDICATION]
> Regroupez les termes portés par $\hat t(M_1)$ d'un côté et par $\hat t(M_2)$ de l'autre, puis exploitez la non-colinéarité.
> [!INDICATION]
> Attention : le texte et la figure 3 ne donnent pas la même convention de signe pour $\vec T$. Choisissez-en une et annoncez-la.
#### Solution
**Convention.** Le texte définit $T\hat t(M)$ comme l'action de l'amont sur l'aval, mais la figure 3 porte $-\vec T_1$ en $M_1$ et $+\vec T_2$ en $M_2$, forces qui tirent la portion vers l'extérieur. On retient la convention de la figure, celle d'une tension ($T>0$ : tuyau tendu) : l'amont exerce $-T\hat t$ sur l'aval, l'aval exerce $+T\hat t$ sur l'amont. Avec la convention littérale du texte, le résultat change seulement de signe.
**Actions extérieures** sur la portion $[M_1,M_2]$ (paroi et eau), dans le plan horizontal :
- tensions : $-T(M_1)\hat t(M_1)$ et $+T(M_2)\hat t(M_2)$ ;
- surpressions sur les sections : $+pA\,\hat t(M_1)$ (l'eau amont pousse) et $-pA\,\hat t(M_2)$ (l'eau aval retient) ;
- sol sans frottement : réaction verticale compensant le poids ; atmosphère : résultante nulle.
Avec $\vec v_e=v\hat t(M_1)$ et $\vec v_s=v\hat t(M_2)$, la relation de Q1 donne
$$\mu Qv\big(\hat t(M_2)-\hat t(M_1)\big)=-T(M_1)\hat t(M_1)+T(M_2)\hat t(M_2)+pA\,\hat t(M_1)-pA\,\hat t(M_2),$$
$$\big[T(M_2)-\mu Qv-pA\big]\hat t(M_2)=\big[T(M_1)-\mu Qv-pA\big]\hat t(M_1).$$
$\hat t(M_1)$ et $\hat t(M_2)$ n'étant pas colinéaires, les deux crochets sont nuls :
$$\boxed{T(M_1)=T(M_2)=T=\mu Qv+pA}$$
Le tuyau est tendu, avec la même tension partout, quelle que soit sa forme : toute disposition est une position d'équilibre.
> [!METHODE]
> Une égalité $a\,\vec u=b\,\vec w$ avec $\vec u$, $\vec w$ non colinéaires impose $a=b=0$ : c'est le moyen d'obtenir deux équations scalaires d'un coup sans projeter.
> [!PIEGE]
> Oublier les forces de surpression $\pm pA$ sur les sections : on trouve $T=\mu Qv$, résultat incompatible avec la forme annoncée en Q7.
### Question 5
> [!INDICATION]
> La vitesse d'éjection découle de la conservation du débit.
> [!INDICATION]
> Pour $\vec F$, isolez « lance + eau contenue » et faites le bilan de Q1 : tension du tuyau, surpression à l'entrée, surpression nulle en sortie, action du pompier. Réutilisez l'expression de $T$ de Q4.
#### Solution
Conservation du débit, $Q=vA=v_sA_s$ :
$$\boxed{v_s=\frac{A}{A_s}\,v}$$
Système : lance et eau contenue. Entrée : aire $A$, surpression $p$, vitesse $v\hat t_s$ ; sortie : aire $A_s$, surpression nulle (jet libre), vitesse $v_s\hat t_s$. Actions extérieures selon $\hat t_s$ : tension du tuyau $-T\hat t_s$ avec $T=\mu Qv+pA$, surpression d'entrée $+pA\,\hat t_s$, action du pompier $\vec F$. Le bilan de Q1 :
$$\mu Q(v_s-v)\hat t_s=-(\mu Qv+pA)\hat t_s+pA\,\hat t_s+\vec F\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\vec F=\mu Q\,\vec v_s}$$
$\vec F$ est dans le sens du jet : **le pompier pousse la lance vers l'avant** pour contenir son recul.
> [!PIEGE]
> Oublier la tension du tuyau : on obtient une expression contenant $p$, alors que l'énoncé annonce un résultat en $\mu$, $Q$ et $\vec v_s$ seulement. L'énoncé fournit ainsi un contrôle.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Changez de système : la lance seule, solide en équilibre. L'action de l'eau devient alors une force extérieure.
#### Solution
La lance seule (masse négligeable, immobile) subit la tension du tuyau $-T\hat t_s$, l'action du pompier $F\hat t_s$ et l'action de l'eau $F_{\rm eau}\hat t_s$ ; l'atmosphère a une résultante nulle. L'équilibre selon $\hat t_s$ s'écrit $-T+F+F_{\rm eau}=0$ :
$$\boxed{F_{\rm eau}=T-F}$$
> [!PIEGE]
> Garder le système « lance + eau » de Q5 : l'action de l'eau sur la lance y est intérieure et disparaît du bilan.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Bernoulli entre l'entrée de la lance (surpression $p$, vitesse $v$) et la sortie (surpression nulle, vitesse $v_s$) donne $p$.
> [!INDICATION]
> Reportez $p$ dans $T=\mu Qv+pA$ en écrivant $v=Q/A$ et $v_s=Q/A_s$, puis utilisez $F_{\rm eau}=T-F$. Cherchez une identité remarquable.
#### Solution
Écoulement parfait, stationnaire, incompressible, homogène, sans dénivelé, en surpressions :
$$\boxed{p+\tfrac12\mu v^2=\tfrac12\mu v_s^2}\qquad\Longrightarrow\qquad p=\tfrac12\mu(v_s^2-v^2).$$
Alors
$$T=\frac{\mu Q^2}{A}+\frac{\mu A}2\left(\frac{Q^2}{A_s^2}-\frac{Q^2}{A^2}\right)=\frac12\mu Q^2\frac1A\left[1+\left(\frac A{A_s}\right)^2\right],\qquad\boxed{k_1=1+\left(\frac{A}{A_s}\right)^2}$$
Avec $F=\mu Qv_s=\mu Q^2/A_s=\tfrac12\mu Q^2\tfrac1A\cdot2\tfrac A{A_s}$ :
$$F_{\rm eau}=T-F=\frac12\mu Q^2\frac1A\left[1-2\frac A{A_s}+\left(\frac A{A_s}\right)^2\right],\qquad\boxed{k_2=\left(\frac{A}{A_s}-1\right)^2}$$
$k_2\ge0$ : **l'action de l'eau sur la lance est dirigée vers l'avant**, dans le sens de l'écoulement. Et $T-F_{\rm eau}=F>0$ : **$F_{\rm eau}<T$**. Les deux forces sont du même ordre quand $A/A_s\gg1$ ; leur différence est la force du pompier.
> [!METHODE]
> Quand l'énoncé annonce la forme $\tfrac12\mu Q^2\tfrac1A\,k$, factoriser d'emblée ce préfacteur : $k$ doit être sans dimension et ne dépendre que de $A/A_s$, ce qui contrôle le calcul.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Convertissez $Q$ en unités SI, calculez une fois le préfacteur $\tfrac12\mu Q^2/A$, puis multipliez.
#### Solution
$Q=600\ \mathrm{L\cdot min^{-1}}=0{,}6/60=1{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$, $A/A_s=20$, donc $k_2=361$, $k_1=401$ et
$$\frac12\mu\frac{Q^2}A=\frac12\times10^3\times\frac{10^{-4}}{10^{-2}}=5\ \mathrm N .$$
$F_{\rm eau}=5\times361\approx1{,}8\times10^3$ N et $F=\mu Q\,v_s=10^3\times10^{-2}\times20=200$ N. Avec un chiffre significatif :
$$\boxed{F_{\rm eau}\approx2\times10^3\ \mathrm N,\qquad F\approx2\times10^2\ \mathrm N}$$
Le pompier retient l'équivalent du poids de $20$ kg, la lance et son raccord supportent dix fois plus.
> [!PIEGE]
> Le facteur 60 de la conversion des minutes en secondes, et la consigne d'un seul chiffre significatif : donner $1805$ N n'a pas de sens physique.
## Partie III — Jet d'eau vertical
On relie la hauteur d'un jet à la surpression du réseau, d'abord sans pertes (Bernoulli), puis avec les pertes de charge, pour expliquer l'effet du rétrécissement de la sortie.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Que devient une particule de fluide une fois sortie, si l'on néglige l'air ?
#### Solution
Dans le jet libre (surpression nulle, frottements de l'air négligés), chaque particule de fluide n'est soumise qu'à son poids. La conservation de l'énergie mécanique entre la sortie (vitesse verticale $v_s$) et le sommet (vitesse nulle) donne $\tfrac12v_s^2=gh$ :
$$\boxed{h=\frac{v_s^2}{2g}}$$
### Question 10
> [!INDICATION]
> Bernoulli entre le réseau et la sortie : quelles sont la surpression et la vitesse à chaque extrémité ?
> [!INDICATION]
> Pour l'effet du rétrécissement, regardez de quelles grandeurs dépend le résultat.
#### Solution
Réseau : surpression $p_0$, vitesse négligeable ; sortie : surpression nulle, vitesse $v_{s,m}$, même altitude :
$$p_0=\tfrac12\mu v_{s,m}^2\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{v_{s,m}=\sqrt{\frac{2p_0}{\mu}}},\qquad\boxed{h_m=\frac{p_0}{\mu g}}$$
$h_m$ ne dépend ni de $d$, ni de $D$, ni de $L$ : **sans pertes, rétrécir la sortie ne change pas la hauteur du jet**.
Pour $p_0=3\times10^5$ Pa : $v_{s,m}=\sqrt{600}\approx24\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et
$$\boxed{h_m=\frac{3\times10^5}{10^3\times10}=3\times10^1\ \mathrm m}$$
Bien plus que ce qu'on observe avec un tuyau d'arrosage : les pertes de charge vont expliquer l'écart.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Un écoulement en conduite se caractérise par son régime (laminaire ou turbulent) et par l'état de surface de la paroi.
> [!INDICATION]
> Pour la puissance dissipée, appliquez la relation de Q2 à la conduite de section constante : que vaut le membre de gauche ?
#### Solution
$f$ dépend du **nombre de Reynolds** $\mathrm{Re}=\mu vD/\eta$ et de la **rugosité relative** $e/D$ de la paroi. Le réseau de courbes donnant $f$ en fonction de $\mathrm{Re}$ pour différentes valeurs de $e/D$ est le **diagramme de Moody**.
Relation de Q2 appliquée au fluide entre les sections de surpressions $p_1$ et $p_2$ :
- section constante, donc $v_e=v_s$ : le membre de gauche est nul ;
- $P_{\rm ext}=p_1Av-p_2Av=(p_1-p_2)Q$ (la paroi immobile ne travaille pas, le poids non plus dans une conduite horizontale) ;
- $P_{\rm int}=-P_{\rm dis}$ (viscosité).
$$\boxed{P_{\rm dis}=Q\,(p_1-p_2)=\frac12\mu v^2\frac LDf\,Q}$$
> [!PIEGE]
> Un signe perdu entre $P_{\rm int}$ et $P_{\rm dis}$ conduit à une puissance dissipée négative : vérifiez toujours que $P_{\rm dis}\ge0$.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Écrivez une relation de Bernoulli « généralisée » entre le réseau et la sortie, en retranchant les deux pertes de charge.
> [!INDICATION]
> La perte régulière fait intervenir la vitesse $v$ dans la conduite, la perte singulière la vitesse $v_s$. Reliez-les par la conservation du débit.
> [!INDICATION]
> La perte singulière doit s'entendre comme une perte de charge (de $p+\tfrac12\mu v^2$), sans quoi la vérification demandée échoue.
#### Solution
**Interprétation.** On lit $\tfrac12\mu v_s^2K$ comme une perte de charge : $\big(p_D+\tfrac12\mu v^2\big)-\big(p_d+\tfrac12\mu v_s^2\big)=\tfrac12\mu v_s^2K$. Prise comme simple chute de pression, la relation ne permettrait pas de retrouver $v_s=v_{s,m}$ sans pertes.
**Bilan** entre le réseau (surpression $p_0$, vitesse nulle) et la sortie (surpression nulle, vitesse $v_s$), à la même altitude :
$$p_0=\frac12\mu v_s^2+\frac12\mu v^2\frac LDf+\frac12\mu v_s^2K .$$
Avec $v=v_s(d/D)^2$ (débit) et $p_0=\tfrac12\mu v_{s,m}^2$ :
$$\boxed{v_s=\frac{v_{s,m}}{\sqrt{1+K+f\dfrac LD\left(\dfrac dD\right)^4}}}$$
Sans pertes ($f=K=0$), $v_s=v_{s,m}$ : cohérent avec Q10. Puis $h=v_s^2/(2g)$ :
$$\boxed{h=\frac{h_m}{1+K+f\dfrac LD\left(\dfrac dD\right)^4}}$$
Comme $f\ge0$ et $K\ge0$ (pertes dissipatives), le dénominateur est au moins $1$ : **$h\le h_m$, on ne peut pas dépasser $h_m$**.
> [!METHODE]
> En présence de pertes : « charge au départ = charge à l'arrivée + somme des pertes », chaque perte étant écrite avec la vitesse de la portion où elle se produit, puis conservation du débit pour n'avoir qu'une inconnue.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Calculez d'abord $L/D$, $fL/D$ et $(d/D)^4$ ; comparez les termes du dénominateur.
> [!INDICATION]
> Sans rétrécissement, $d=D$ et il n'y a pas de perte singulière.
#### Solution
$L/D=10^3$, $fL/D=20$, $(d/D)^4=(4\times10^{-2})^4=2{,}56\times10^{-6}$.
- **Avec rétrécissement** : dénominateur $1+0{,}5+5\times10^{-5}\simeq1{,}5$ ; $h=20$ m, $v_s=24{,}5/\sqrt{1{,}5}=20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, $v=v_s(d/D)^2=3{,}2\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
- **Sans rétrécissement** ($d=D$, $K=0$) : dénominateur $21$ ; $h=30/21\approx1{,}4$ m, $v_s=v=24{,}5/\sqrt{21}\approx5{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ (garder $K=0{,}5$ ne change rien à un chiffre significatif).
| Configuration | $h$ | $v_s$ | $v$ |
|---|---|---|---|
| Avec rétrécissement ($d=1$ mm) | $2\times10^1$ m | $2\times10^1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ | $3\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ |
| Sans rétrécissement ($d=D$) | $1$ m | $5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ | $5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ |
**Explication.** Rétrécir la sortie réduit fortement le débit, donc la vitesse dans la longue conduite ; la perte régulière, en $v^2$, devient négligeable et presque toute la surpression du réseau devient énergie cinétique du jet.
## Partie IV — Instabilité de Rayleigh-Plateau
### IV.A Modèle
On montre qu'un cylindre de liquide est instable vis-à-vis des perturbations de grande longueur d'onde, d'abord par un argument énergétique (aire de l'interface), puis par un argument de pression (loi de Laplace), enfin par un modèle dynamique qui sélectionne la longueur d'onde la plus rapide. Outils : développements limités, intégrales sur une période, analyse dimensionnelle.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Lisez l'unité sur la loi de Laplace.
#### Solution
$\alpha$ est une pression multipliée par une longueur :
$$\boxed{[\alpha]=\mathrm{N\cdot m^{-1}}=\mathrm{J\cdot m^{-2}}=\mathrm{kg\cdot s^{-2}}}$$
C'est une énergie par unité d'aire, ce qui justifie $E_p=\alpha S$.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Le volume d'une tranche de longueur $\lambda$ ne change pas avec la perturbation.
> [!INDICATION]
> Sur une période, $\sin(kz)$ est de moyenne nulle et $\sin^2(kz)$ de moyenne $1/2$.
#### Solution
$$V=\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\pi\big(R+\varepsilon\sin kz\big)^2\mathrm dz=\pi\lambda\left(R^2+\frac{\varepsilon^2}2\right)=\pi R_0^2\lambda,$$
donc $R^2=R_0^2-\varepsilon^2/2$ et, au second ordre,
$$\boxed{R=R_0-\frac{\varepsilon^2}{4R_0}}$$
Le rayon moyen diminue à l'ordre 2 : le volume, en $r^2$, gagne plus dans les ventres qu'il ne perd dans les cols.
> [!PIEGE]
> Négliger le terme $\varepsilon^2\sin^2kz$ : c'est lui seul qui donne le résultat.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Développez la racine au second ordre ; le produit avec $r(z)$ se tronque à l'ordre 2.
> [!INDICATION]
> Après intégration, n'oubliez pas de remplacer $R$ par son expression de Q15 : c'est ce qui fait apparaître un $\gamma$ de signe variable.
> [!INDICATION]
> Stabilité : l'état $\varepsilon=0$ est-il un minimum ou un maximum de $E_p=\alpha S$ ?
#### Solution
$\mathrm dr/\mathrm dz=\varepsilon k\cos kz$, donc
$$r\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dz}\right)^2}=R+\varepsilon\sin kz+\frac12R\varepsilon^2k^2\cos^2kz+O(\varepsilon^3),$$
et, après intégration sur une période, $S=2\pi R\lambda\left(1+\dfrac{k^2\varepsilon^2}4\right)$. Avec $R=R_0\big(1-\varepsilon^2/(4R_0^2)\big)$ :
$$\boxed{S=2\pi R_0\lambda(1+\gamma\varepsilon^2),\qquad\gamma=\frac14\left(k^2-\frac1{R_0^2}\right)}$$
$E_p=\alpha S$ avec $\alpha>0$ : si $\gamma>0$, $\varepsilon=0$ est un minimum d'énergie (stable) ; si $\gamma<0$, la perturbation abaisse l'énergie (instable). Stabilité si et seulement si $kR_0>1$ :
$$\boxed{\lambda<\lambda_\ell=2\pi R_0}$$
Un jet réel contient des perturbations de toutes longueurs d'onde : il est donc toujours instable.
> [!PIEGE]
> Garder $R=R_0$ : on trouve $\gamma=k^2/4>0$ et l'on conclut que tout jet est stable, ce qui contredit l'observation de départ de l'énoncé. Un $\gamma$ de signe constant doit alerter.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Au premier ordre, les crochets $\big[1+(\mathrm dr/\mathrm dz)^2\big]$ valent 1.
> [!INDICATION]
> Pour retrouver le critère, comparez la pression dans les ventres ($\sin kz=1$) et dans les cols ($\sin kz=-1$) : dans quel sens le fluide est-il chassé ?
#### Solution
$$\frac1{R_1}=\frac1{R_0}-\frac{\varepsilon\sin kz}{R_0^2},\qquad\frac1{R_2}=\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dz^2}=-\varepsilon k^2\sin kz,$$
$$\Delta P=\frac\alpha{R_0}+\alpha\varepsilon\left(k^2-\frac1{R_0^2}\right)\sin kz,\qquad\boxed{\Delta P=\frac\alpha{R_0}+4\alpha\gamma\,\varepsilon\sin(kz)}$$
L'effet est modérateur si la pression est plus forte dans les ventres que dans les cols, de sorte que le fluide est chassé des ventres vers les cols : il faut $4\alpha\gamma\varepsilon>0$, soit $\gamma>0$, c'est-à-dire $\lambda<2\pi R_0$, comme en Q16.
Lecture physique : la courbure azimutale ($1/R_1$, terme $-1/R_0^2$) surpressurise les cols, plus étroits, et pousse leur fluide vers les ventres : elle déstabilise et l'emporte aux grandes longueurs d'onde. La courbure axiale ($1/R_2$, terme $k^2$) surpressurise les ventres, convexes dans le sens de l'axe : elle stabilise et l'emporte aux petites longueurs d'onde.
> [!PIEGE]
> Le signe de $\mathrm d^2r/\mathrm dz^2=-\varepsilon k^2\sin kz$ et le signe « $-$ » de la loi de Laplace : une seule erreur inverse le critère.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Cherchez $\tau_h=\mu^aR_0^b\alpha^c$ et identifiez les exposants de M, L, T.
#### Solution
$[\mu]=\mathrm{M\,L^{-3}}$, $[R_0]=\mathrm L$, $[\alpha]=\mathrm{M\,T^{-2}}$ : $a+c=0$, $-3a+b=0$, $-2c=1$, donc $a=\tfrac12$, $b=\tfrac32$, $c=-\tfrac12$ (solution unique) :
$$\boxed{\tau_h=\sqrt{\frac{\mu R_0^3}{\alpha}}}$$
à un facteur numérique près. C'est le temps capillaire : inertie ($\mu$) contre force motrice capillaire ($\alpha$).
### Question 19
> [!INDICATION]
> $z_G$ est le barycentre des tranches $\mathrm dz$ de masse $\mu\pi r^2\mathrm dz$. Au premier ordre, le dénominateur se prend à l'ordre 0.
> [!INDICATION]
> Utilisez la parité pour éliminer les intégrales nulles, puis une intégration par parties ; notez que $k\lambda/4=\pi/2$.
#### Solution
$z_G=\dfrac{\int z\,r^2\,\mathrm dz}{\int r^2\,\mathrm dz}$ sur $[-\lambda/4,\lambda/4]$, avec $r^2=R_0^2+2R_0\varepsilon\sin kz$ au premier ordre. Dénominateur : $R_0^2\lambda/2$. Numérateur : $2R_0\varepsilon\int z\sin kz\,\mathrm dz$, et
$$\int_{-\lambda/4}^{\lambda/4}z\sin kz\,\mathrm dz=2\left[-\frac{z\cos kz}k+\frac{\sin kz}{k^2}\right]_0^{\lambda/4}=\frac2{k^2}.$$
$$z_G=\frac{4R_0\varepsilon/k^2}{R_0^2\lambda/2}=\frac{8\varepsilon}{k^2R_0\lambda}=\frac{2}{\pi^2}\frac{\lambda\varepsilon}{R_0},\qquad\boxed{\sigma=\frac2{\pi^2}\approx0{,}20}$$
Pour $\varepsilon>0$, la matière est plus abondante du côté $z>0$ (ventre en $z=\lambda/4$) : $z_G>0$, signe cohérent.
> [!PIEGE]
> Sur une période entière, $z_G$ serait nul par symétrie : c'est pourquoi l'énoncé prend une demi-période, d'un col à un ventre.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Masse de la tranche à l'ordre 0, forces de surpression sur les deux faces extrêmes calculées avec Q17, accélération $\ddot z_G$ reliée à $\ddot\varepsilon$ par Q19.
> [!INDICATION]
> Exprimez $\gamma$ et $\lambda$ en fonction de $\xi=kR_0$ et faites apparaître $\tau_h^2=\mu R_0^3/\alpha$.
> [!INDICATION]
> Pour le minimum de $\tau_k$, posez $u=\xi^2$ : on maximise un trinôme.
#### Solution
**Équation.** $m=\mu\pi R_0^2\lambda/2$. Forces de surpression : $+\Delta P(-\lambda/4)\pi R_0^2$ en $z=-\lambda/4$, $-\Delta P(\lambda/4)\pi R_0^2$ en $z=\lambda/4$, soit
$$F_z=\pi R_0^2\big[\Delta P(-\lambda/4)-\Delta P(\lambda/4)\big]=-8\pi R_0^2\alpha\gamma\varepsilon .$$
$m\ddot z_G=F_z$ avec $z_G=\sigma\lambda\varepsilon/R_0$ :
$$\mu\pi\frac{R_0^2\lambda}2\,\frac{\sigma\lambda}{R_0}\,\ddot\varepsilon=-8\pi R_0^2\alpha\gamma\varepsilon\quad\Longrightarrow\quad\ddot\varepsilon+\frac{16\alpha\gamma R_0}{\mu\sigma\lambda^2}\varepsilon=0 .$$
Avec $\gamma=(\xi^2-1)/(4R_0^2)$ et $\lambda^2=4\pi^2R_0^2/\xi^2$ :
$$\boxed{\ddot\varepsilon+\frac{\xi^2(\xi^2-1)}{\pi^2\sigma\,\tau_h^2}\,\varepsilon=0}$$
soit, avec $\sigma=2/\pi^2$, $\ddot\varepsilon+\dfrac{\xi^2(\xi^2-1)}{2\tau_h^2}\varepsilon=0$.
**Discussion.** Si $\xi>1$ ($\lambda<2\pi R_0$) : oscillations harmoniques de pulsation $\xi\sqrt{\xi^2-1}/(\pi\sqrt\sigma\,\tau_h)$, perturbation bornée, **stable**. Si $\xi<1$ : $\varepsilon=a\,e^{t/\tau_k}+b\,e^{-t/\tau_k}$, qui diverge comme $\exp(t/\tau_k)$ dès que $a\ne0$, **instable**. On retrouve le critère de Q16.
**Temps caractéristique.**
$$\boxed{\tau_k=\frac{\pi\sqrt\sigma\,\tau_h}{\xi\sqrt{1-\xi^2}}=\frac{\sqrt2\,\tau_h}{\xi\sqrt{1-\xi^2}}}$$
**Minimum.** $\xi^2(1-\xi^2)=u(1-u)$ est maximal en $u=1/2$, où il vaut $1/4$ : $\xi_c=1/\sqrt2$,
$$\boxed{\tau_{\min}=2\pi\sqrt\sigma\,\tau_h=2\sqrt2\,\tau_h},\qquad\boxed{\lambda_c=\frac{2\pi R_0}{\xi_c}=2\sqrt2\,\pi R_0\approx8{,}9\,R_0}$$
Les perturbations très longues croissent lentement ($\tau_k\to\infty$ quand $\xi\to0$), celles proches du seuil aussi ($\xi\to1$) : il existe un compromis, qui fixe la taille des gouttes.
> [!METHODE]
> Pour $\ddot x+\Omega x=0$ : $\Omega>0$, oscillations bornées ; $\Omega<0$, une exponentielle croissante, donc instabilité. Le signe du coefficient décide de tout.
> [!PIEGE]
> Inverser le sens des forces sur les faces : on obtiendrait un jet stable aux grandes longueurs d'onde, en contradiction avec Q16. Le recoupement avec le critère énergétique est un contrôle gratuit.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Toutes les composantes instables croissent exponentiellement, mais pas au même rythme : laquelle l'emporte au bout de quelques $\tau_{\min}$ ?
> [!INDICATION]
> Un tronçon de longueur $\lambda_c$ donne une goutte : conservation du volume.
> [!INDICATION]
> À volume égal, l'aire latérale d'un cylindre vaut $2V/R_0$ et celle d'une sphère $3V/R_g$.
#### Solution
**Pourquoi $\lambda_c$.** La perturbation réelle est un bruit qui contient toutes les longueurs d'onde ; le modèle étant linéaire, chacune évolue indépendamment. Le rapport d'amplitude entre la composante $\lambda_c$ et une autre composante instable croît comme $\exp\big[t(1/\tau_{\min}-1/\tau_k)\big]$ : au bout de quelques $\tau_{\min}$, seul le mode $\lambda_c$ subsiste en pratique et le jet se pince à ses cols, espacés de $\lambda_c$.
**Rayon des gouttes.** $\tfrac43\pi R_g^3=\pi R_0^2\lambda_c=2\sqrt2\pi^2R_0^3$ :
$$\boxed{R_g=\left(\frac{3\pi}{\sqrt2}\right)^{1/3}R_0\approx1{,}9\,R_0}$$
**Surfaces.** $S_{\rm cyl}=2\pi R_0\lambda_c=4\sqrt2\pi^2R_0^2\approx56\,R_0^2$, $S_{\rm sph}=4\pi R_g^2\approx44\,R_0^2$, et plus directement
$$\boxed{\frac{S_{\rm sph}}{S_{\rm cyl}}=\frac{3R_0}{2R_g}\approx0{,}8}$$
L'aire de l'interface, donc l'énergie de surface $\alpha S$, diminue d'environ 20 % : la fragmentation est énergétiquement favorable, en accord avec Q16. Cette comparaison entre deux états très déformés sort du cadre linéaire : c'est un argument de plausibilité.
> [!METHODE]
> Sans calculatrice, $R_g^3\approx6{,}7\,R_0^3$ se traite en encadrant : $1{,}9^3\approx6{,}9$, donc $R_g\approx1{,}9\,R_0$ ; et $1{,}5/1{,}9\approx0{,}8$.
### IV.B Expérience
### Question 22
> [!INDICATION]
> Distance de brisure : chemin parcouru à vitesse constante pendant le temps de brisure $10\tau_h$.
> [!INDICATION]
> Fréquence : combien de gouttes, espacées de $\lambda_c$, arrivent par seconde à la vitesse $v$ ? Attention, $4$ mm est un diamètre.
#### Solution
$R_0=2$ mm :
$$\tau_h=\sqrt{\frac{10^3\times(2\times10^{-3})^3}{7{,}2\times10^{-2}}}=\sqrt{1{,}1\times10^{-4}}\approx1\times10^{-2}\ \mathrm s .$$
**Distance de brisure** : $\ell=v\cdot10\tau_h=1\times10\times1{,}05\times10^{-2}$,
$$\boxed{\ell\approx1\times10^{-1}\ \mathrm m}$$
une dizaine de centimètres, ordre de grandeur cohérent avec la photographie et l'expérience d'un robinet.
**Fréquence des chocs.** $\lambda_c=2\sqrt2\pi R_0\approx8{,}9\times2\times10^{-3}\approx1{,}8\times10^{-2}$ m ; les gouttes arrivent toutes les $\lambda_c/v$ :
$$\boxed{f=\frac{v}{\lambda_c}\approx6\times10^1\ \mathrm{Hz}}$$
fréquence audible, dans le grave, comme l'annonce l'énoncé.
> [!PIEGE]
> Prendre $R_0=4$ mm : $\tau_h$ varie en $R_0^{3/2}$, l'erreur est d'un facteur $2{,}8$ sur la distance et de $2$ sur la fréquence.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Bilan sur un système ouvert : construction du système fermé, permanence, puis loi de la mécanique (Q1, Q2). Tout le reste du sujet n'en est que des applications.
- Recensement exhaustif des actions extérieures : forces de surpression sur les sections, tensions, réactions (Q4, Q5) ; changer de système pour faire apparaître une force cherchée (Q6).
- Bernoulli « généralisé » avec pertes de charge et conservation du débit (Q12) ; puissance dissipée par un bilan d'énergie (Q11).
- Développements limités au bon ordre et moyennes trigonométriques sur une période (Q15, Q16, Q19) ; stabilité lue sur un extremum d'énergie potentielle ou sur le signe du coefficient d'une équation $\ddot x+\Omega x=0$ (Q16, Q20).
- Analyse dimensionnelle (Q18) et ordres de grandeur sans calculatrice (Q8, Q13, Q22).
**Prérequis à revoir.** Bilans macroscopiques de PSI, relation de Bernoulli et ses hypothèses, pertes de charge, nombre de Reynolds ; tension superficielle et loi de Laplace ; développements limités usuels ; équations différentielles linéaires à coefficients constants.
**Questions classiques transposables.** Force sur un coude ou une lance, recul d'un jet ; tuyau tendu par l'écoulement ; hauteur d'un jet et rôle des pertes de charge ; instabilité de Rayleigh-Plateau (robinet qui goutte, jet d'encre, fibres), avec le résultat à retenir : un cylindre liquide est instable pour $\lambda>2\pi R_0$ et se fragmente en gouttes de rayon voisin de $2R_0$.
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