Maths A

# Sujet — Première composition de mathématiques — X / ENS — filière MP — 2010

École polytechnique, concours d’admission 2010, filière MP.

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Sur quelques questions de calcul différentiel

## Notations et conventions

Pour tout entier $n > 0$, on note $\langle ., .\rangle$ le produit scalaire euclidien usuel et $\|.\|$ la norme associée sur $\mathbf{R}^n$, $\mathrm{S}^{n-1}$ la sphère de rayon $1$ dans $\mathbf{R}^n$, $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ l’espace des matrices réelles à $n$ lignes et $n$ colonnes, $I_n$ la matrice identité dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$, $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ le sous-ensemble de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ des matrices inversibles, et $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ celui des matrices de déterminant $1$. On note $\mathrm{Tr}(M)$ la trace d’une matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$, ${}^t M$ sa transposée, $\widetilde{M}$ la matrice de ses cofacteurs, et l’on rappelle la formule

$$M \, {}^t\widetilde{M} = \det(M) \, I_n.$$

Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$, on désigne par $\exp M$ son exponentielle, définie par $\displaystyle \exp M = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}$. On rappelle que l’application $t \mapsto \exp(tM)$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et que sa dérivée en $0$ est $M$. De même, si $\varphi$ est un endomorphisme d’un $\mathbf{R}$-espace vectoriel de dimension finie, on note $\exp(\varphi)$ son exponentielle donnée par la série $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\varphi^k}{k!}$.

Soit $U$ un ouvert de $\mathbf{R}^n$. Si $f : U \to \mathbf{R}^p$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$, on note $df_x$ sa différentielle au point $x$, soit :

$$\forall h \in \mathbf{R}^n,\quad df_x(h) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \bigl( f(x + th) - f(x) \bigr).$$

## Préliminaires

**1a.** Soient $\alpha$ et $\beta$ deux formes linéaires sur $\mathbf{R}^n$ telle que $\ker \beta \subset \ker \alpha$. Montrer qu’il existe un réel $\lambda$ tel que $\alpha = \lambda \beta$.

**1b.** Soient $\alpha$, $\beta_1$, $\ldots$, $\beta_r$ des formes linéaires sur $\mathbf{R}^n$ telles que $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{r} \ker \beta_i \subset \ker \alpha$. Montrer que $\alpha$ est combinaison linéaire de $\beta_1$, $\ldots$, $\beta_r$. (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur $r$, en considérant, pour $r \ge 2$, la restriction de $\alpha$ et $\beta_r$ à $\displaystyle F = \bigcap_{i=1}^{r-1} \ker \beta_i$).

## Première partie

**2.** Soit $\gamma : \mathopen{]}-1, 1\mathclose{[} \to \mathbf{R}^n$ une application de classe $\mathcal{C}^1$ telle que

$$\forall t \in \mathopen{]}-1, 1\mathclose{[},\qquad \|\gamma(t)\| = 1.$$

Montrer que pour tout $t$ dans $\mathopen{]}-1, 1\mathclose{[}$, $\langle \gamma(t), \gamma'(t) \rangle = 0$.

**3.** Soit $x \in \mathbf{R}^n$ tel que $\|x\| = 1$ et soit $v \in \mathbf{R}^n$, non nul, orthogonal à $x$. Montrer qu’il existe une application $\gamma : \mathopen{]}-1, 1\mathclose{[} \to \mathbf{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall t \in \mathopen{]}-1, 1\mathclose{[}$, $\|\gamma(t)\| = 1$, $\gamma(0) = x$ et $\gamma'(0) = v$.

**4.** Soit $f : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$, et soit $g$ sa restriction à $\mathrm{S}^{n-1}$. Montrer que $g$ admet des extremums. Si $x$ est un extremum, en considérant une application $\gamma$ comme ci-dessus, montrer qu’il existe un réel $\lambda$ tel que

$$df_x(h) = \lambda \langle x, h \rangle, \qquad (\forall h \in \mathbf{R}^n).$$

**5.** Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. On définit

$$
f :
\begin{cases}
\mathbf{R}^n \to \mathbf{R} \\
x \mapsto \langle x, Ax \rangle.
\end{cases}
$$

**5a.** Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer sa différentielle.

**5b.** Soit $x$ un extremum de la restriction de $f$ à $\mathrm{S}^{n-1}$. Montrer que $x$ est vecteur propre de $A$.

## Deuxième partie

Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes :

$$
q :
\begin{cases}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \to \mathbf{R} \\
M \mapsto \displaystyle \sum_{1 \le i, j \le n} m_{ij}^2
\end{cases}
$$

où $m_{ij}$ est le coefficient de $M$ sur la i-ème ligne et j-ième colonne,

$$
f :
\begin{cases}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \to \mathbf{R} \\
M \mapsto \det(M) - 1
\end{cases}
$$

ainsi que la restriction de $q$ à $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$, que l’on note $g$.

**6a.** Montrer que $q(M) = \mathrm{Tr}({}^t M M)$.

**6b.** Vérifier que $(A, B) \mapsto \mathrm{Tr}({}^t A B)$ définit un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.

**6c.** Montrer que $q$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer sa différentielle.

**7.** On note $E_{ij}$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ ayant pour coefficient $1$ à la $i$-ième ligne et $j$-ième colonne, et $0$ partout ailleurs. Soient $M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et $t \in \mathbf{R}$. Exprimer $\det(M + t E_{ij})$ en fonction de $\det(M)$, de $t$ et des coefficients de la matrice $\widetilde{M}$.

En déduire que pour tout $H \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$, $df_M(H) = \mathrm{Tr}({}^t \widetilde{M} H)$.

**8.** Montrer que $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ est fermé dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et que la restriction $g$ de $q$ à $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ possède un minimum.

**9.** Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Montrer que $\det(\exp M) = e^{\mathrm{Tr}(M)}$.

**10.** Soit $M \in \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ et soit $H \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ tels que $df_M(H) = 0$. Montrer que l’application

$$
\gamma :
\begin{cases}
\mathopen{]}-1, 1\mathclose{[} \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
t \mapsto M \exp(t M^{-1} H)
\end{cases}
$$

est à valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$, de classe $\mathcal{C}^1$ et vérifie $\gamma(0) = M$, $\gamma'(0) = H$.

**11.** Soit $M \in \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})$ un point où la fonction $g$ atteint son minimum, et soit $H$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ tels que $df_M(H) = 0$.

**11a.** Montrer que $dq_M(H) = 0$.

**11b.** Déduire de ce qui précède que $M$ est une matrice orthogonale. Que vaut alors $g(M)$ ?

## Troisième partie

Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point quelconque de l’application $\exp : \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. On rappelle que $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.

**12a.** Soient $C_1$, $C_2 : \mathbf{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ deux applications de classe $\mathcal{C}^1$. Posons $B(t) = C_1(t) C_2(t)$. Montrer que $B$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que pour tout $t$ dans $\mathbf{R}$,

$$B'(t) = C_1'(t) C_2(t) + C_1(t) C_2'(t).$$

**12b.** Soit $C : \mathbf{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ une application de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose que pour tout $t \in \mathbf{R}$, $C(t)$ est inversible et on pose $D(t) = C(t)^{-1}$. Montrer que $D$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que pour tout $t$ dans $\mathbf{R}$,

$$D'(t) = - C(t)^{-1} C'(t) C(t)^{-1}.$$

**13.** Soient $C_1$, $C_2 : \mathbf{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ des applications de classe $\mathcal{C}^2$ telles que $C_1(0) = C_2(0) = I_n$.

**13a.** Soient $\alpha$, $\beta \in \mathbf{R}$. Trouver une application $A : \mathbf{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $A(0) = I_n$ et $A'(0) = \alpha C_1'(0) + \beta C_2'(0)$.

**13b.** Montrer qu’il existe $\epsilon > 0$ tel que $C_1(t)$ et $C_2(t)$ soient inversibles pour tout $t$ dans l’intervalle $\mathopen{]}-\epsilon, \epsilon\mathclose{[}$.

**13c.** Pour tous $s$, $t$ dans $\mathopen{]}-\epsilon, \epsilon\mathclose{[}$, posons $L(s, t) = C_1(s) C_2(t) C_1(s)^{-1} C_2(t)^{-1}$. Calculer $\dfrac{\partial^2 L}{\partial s \, \partial t}(0, 0)$ en fonction de $C_1'(0)$ et $C_2'(0)$.

**14.** Soit $\Phi : \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}) \to \mathrm{GL}(\mathcal{M}_n(\mathbf{R}))$ défini, pour tout $X$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ par

$$\Phi(X) : Y \mapsto X Y X^{-1}.$$

**14a.** Montrer que $\Phi$ est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de $X Y X^{-1}$ sont des fractions rationnelles des coefficients de $X$ et de $Y$. En déduire que $\Phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$.

**14b.** Montrer que $d\Phi_{I_n} : \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \to L(\mathcal{M}_n(\mathbf{R}))$ est donné, pour tous $X$, $Y \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ par

$$d\Phi_{I_n}(X)(Y) = XY - YX.$$

Dans la suite du problème, on pose $\varphi(X) = d\Phi_{I_n}(X)$ :

$$
\begin{cases}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
Y \mapsto XY - YX.
\end{cases}
$$

**15.** Soit $V$ un $\mathbf{R}$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f : \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}) \to \mathrm{GL}(V)$ un morphisme de groupes de classe $\mathcal{C}^1$.

**15a.** Montrer que pour tout $X \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$, pour tout $H \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$,

$$df_X(H) = f(X) \, df_{I_n}(X^{-1} H) = df_{I_n}(H X^{-1}) \, f(X).$$

**15b.** On fixe $X \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. On considère les applications $a$, $b : \mathbf{R} \to \mathrm{GL}(V)$ définies pour tout $t \in \mathbf{R}$ par

$$a(t) = f(\exp tX), \qquad b(t) = \exp\bigl( t \, df_{I_n}(X) \bigr).$$

Montrer que $a = b$.

**15c.** Retrouver le résultat de la question 9 en utilisant le résultat de la question 7.

**15d.** Montrer qu’avec les notations de la question 14, $\Phi(\exp X) = \exp(\varphi(X))$, pour tout $X \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.

**16.** On fixe $X$, $Y \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Pour tout $s$, $t \in \mathbf{R}$, on pose

$$u(s, t) = \exp\bigl( s(X + tY) \bigr), \qquad A(s, t) = \exp(-sX) \frac{\partial u}{\partial t}(s, t).$$

**16a.** Montrer que $A(1, 0) = \exp(-X) \, d\exp_X(Y)$.

**16b.** Déduire du calcul de $\dfrac{\partial A}{\partial s}(s, t)$ que $\dfrac{\partial A}{\partial s}(s, 0) = \exp(-s \varphi(X))(Y)$.

**16c.** Montrer que

$$A(s, 0) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n s^{n+1} \frac{\varphi(X)^n}{(n+1)!} (Y).$$

**16d.** En déduire une formule (sous forme de série) pour $d\exp_X(Y)$.