Maths A

# Sujet — École polytechnique – Écoles normales supérieures, concours d’admission 2011, filière MP, composition de mathématiques – A – (XLC)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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## Valeurs singulières d’une matrice et inégalités de traces

### Notations et conventions

Dans ce problème l’espace vectoriel \(\mathbf{C}^n\) est muni du produit scalaire hermitien usuel noté \((.|.)\) ; on rappelle qu’il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(\mathbf{C}^n\) est orthonormale. On note \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) l’espace vectoriel sur \(\mathbf{C}\) des matrices à \(n\) lignes et \(n\) colonnes à coefficients complexes qu’on identifie à l’espace vectoriel des endormorphismes de \(\mathbf{C}^n\) et \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\). Le coefficient de la \(i\)-ième ligne et \(j\)-ième colonne d’une matrice \(A\) est noté \(A_{ij}\). On note \(A^*\), appelée adjointe de la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\), la matrice définie pour tous \(1 \leqslant i, j \leqslant n\) par \(A^*_{ij} = A_{ji}\).

On définit les sous-ensembles de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) suivants :

\[
\begin{aligned}
\mathcal{H}_n &= \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \mid A^* = A\} \\
\mathcal{H}_n^+ &= \{A \in \mathcal{H}_n \mid (\forall x \in \mathbf{C}^n),\ (x|Ax) \geqslant 0\} \\
\mathcal{U}_n &= \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \mid (\forall x, y \in \mathbf{C}^n),\ (Ax|Ay) = (x|y)\} \\
\mathcal{N}_n &= \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \mid AA^* = A^*A\}
\end{aligned}
\]

\(\mathcal{D}_n\) désigne l’ensemble des matrices diagonales dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\)

Enfin, pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbf{C}^n\), \(F^\perp\) désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.

Ce problème a pour but l’étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l’introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de \(\mathcal{H}_n\) définies à équivalence près par des changements de bases dans \(\mathcal{U}_n\).

## Première partie : étude de \(\mathcal{N}_n\)

**1.** Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer pour tout couple \((x, y)\) de vecteurs de \(\mathbf{C}^n \times \mathbf{C}^n\) :

\[
(A^*x|y) = (x|Ay).
\]

**2a.** Montrer que \(A \in \mathcal{U}_n\) si et seulement si \(A^*A = AA^* = I_n\).

**2b.** Montrer que \(A \in \mathcal{U}_n\) si et seulement si les colonnes de \(A\) forment une base orthonormale de \(\mathbf{C}^n\).

**3a.** Montrer que si \(A \in \mathcal{N}_n\), \(A((\ker A)^\perp) \subset (\ker A)^\perp\). En déduire que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) et si \(E_\lambda\) est le sous-espace propre associé, alors \(A(E_\lambda^\perp) \subset E_\lambda^\perp\).

**3b.** En déduire que \(\mathcal{N}_n = \{UDU^*,\ U \in \mathcal{U}_n,\ D \in \mathcal{D}_n\}\).

**4.** Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\). On note \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\) les racines du polynôme caractéristique (non nécessairement distinctes) de \(A\). Montrer que si \(A \in \mathcal{N}_n\), alors \(\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 = \sum_{i,j=1}^{n} |A_{i,j}|^2\). (On pourra calculer la trace de \(AA^*\).)

**5a.** Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que si \(A \in \mathcal{N}_n\), alors \(A\) et \(A^*\) ont même noyau.

**5b.** Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) \(A \in \mathcal{N}_n\).

(ii) Tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de son adjointe \(A^*\).

Pour (ii) \(\Rightarrow\) (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension \(n\) et pour un vecteur propre \(x\) de \(A\) considérer l’orthogonal de l’espace vectoriel engendré par \(x\).

**6a.** Prouver que si la matrice \(A \in \mathcal{N}_n\), son adjointe \(A^*\) peut s’exprimer comme un polynôme en \(A\) à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange.)

**6b.** Prouver que si \(A\) et \(B\) sont dans \(\mathcal{N}_n\) et commutent alors \(AB \in \mathcal{N}_n\).

**7.** Prouver que si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) \(A \in \mathcal{N}_n\)

(ii) Il existe une matrice \(U \in \mathcal{U}_n\) commutant avec \(A\) telle que \(A^* = AU\).

On pourra construire \(U\) à partir des valeurs propres de \(A\) et raisonner dans une base orthonormale bien choisie.

## Deuxième partie : valeurs singulières d’une matrice

**8.** Montrer que \(A \in \mathcal{H}_n\) (resp. \(\mathcal{H}_n^+\)) si et seulement si \(A\) est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

**9.** Montrer que si \(A \in \mathcal{H}_n^+\) il existe une unique matrice \(S \in \mathcal{H}_n^+\) telle que \(S^2 = A\). (Pour l’unicité, on pourra se ramener au cas où \(A\) est un multiple de l’identité en considérant les sous-espaces propres de \(A\).)

Si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) on dit que \(A = US\) est une décomposition polaire de \(A\) si \(S \in \mathcal{H}_n^+\) et \(U \in \mathcal{U}_n\). Dans la suite du problème, on admettra l’existence d’une décomposition polaire pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\).

Si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) on dit que \(A = UDW\) est une décomposition en valeurs singulières de \(A\) si \(U, W \in \mathcal{U}_n\) et \(D \in \mathcal{D}_n\) est à coefficients réels positifs ou nuls.

**10.** Prouver que toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) admet une décomposition en valeurs singulières. (On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de \(A\).)

**11.** Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe une décomposition en valeurs singulières de \(A\) pour laquelle les coefficients diagonaux \(\alpha_i = D_{ii}\) de \(D\) vérifient \(\alpha_1 \geqslant \cdots \geqslant \alpha_n\) et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières de \(A\).

## Troisième partie : inégalités de traces

**12.** Soit \(P \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice vérifiant

\[
(\mathcal{P}_k) \qquad P^2 = P = P^*, \qquad \mathrm{rang}(P) = k.
\]

**12a.** Montrer que les coefficients de \(P\) vérifient :

(i) \(0 \leqslant P_{ii} \leqslant 1\) pour tout entier \(i\) entre \(1\) et \(n\),

(ii) \(\sum_{i=1}^{n} P_{ii} = k\).

**12b.** Soit \(\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_n\) des réels et \(D\) la matrice diagonale telle que \(D_{ii} = \lambda_i\) pour tout entier \(i\) entre \(1\) et \(n\). Montrer que \(\operatorname{Tr}(PD) \leqslant \sum_{i=1}^{k} \lambda_i\). Trouver une matrice \(P\) vérifiant les conditions \((\mathcal{P}_k)\) telle que \(\operatorname{Tr}(PD) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i\).

**12c.** Montrer que si \(P_1, P_2\) sont deux matrices vérifiant les conditions \((\mathcal{P}_k)\), il existe \(U \in \mathcal{U}_n\) telle que \(P_2 = UP_1U^*\). En déduire que \(\sum_{i=1}^{k} \lambda_i = \displaystyle\max_{U \in \mathcal{U}_n} \operatorname{Tr}(UPU^*D)\) où \(P\) est une matrice vérifiant \((\mathcal{P}_k)\).

On dit qu’une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) est *doublement stochastique* si \(A\) est à coefficients réels positifs et vérifie \(\sum_{i=1}^{n} A_{ik} = 1\) et \(\sum_{j=1}^{n} A_{kj} = 1\), pour tout entier \(k\) compris entre \(1\) et \(n\). On note \(\mathcal{DS}_n\) l’ensemble des matrices doublement stochastiques dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\).

**13.** Montrer que si \(U \in \mathcal{U}_n\), la matrice dont les coefficients sont les \(|U_{i,j}|^2\) est doublement stochastique.

**14.** Soit \(A\) une matrice doublement stochastique de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) et soient

\[
\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \cdots \geqslant \alpha_n, \qquad \beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \cdots \geqslant \beta_n
\]

des réels. On suppose que \(A\) n’est pas la matrice identité \(I_n\) et on note \(k\) le plus petit entier tel que \(A_{kk} \neq 1\).

**14a.** Montrer qu’il existe deux entiers \(m\) et \(\ell\) vérifiant \(k < m \leqslant n\), \(k < \ell \leqslant n\) et tels que \(A_{mk} \neq 0\), \(A_{k\ell} \neq 0\), \(A_{m\ell} \neq 1\).

**14b.** Construire une matrice doublement stochastique \(A'\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant :

(i) \(A'_{ij} = A_{ij}\) si \((i, j) \notin \{(k, k), (m, k), (k, \ell), (m, \ell)\}\),

(ii) \(A'_{mk}\) ou \(A'_{k\ell}\) est nul,

(iii) \(\sum_{i,j=1}^{n} A'_{i,j} \alpha_i \beta_j \geqslant \sum_{i,j=1}^{n} A_{i,j} \alpha_i \beta_j\).

En déduire que \(\displaystyle\max_{A \in \mathcal{DS}_n} \sum_{i=1,\,j=1}^{n} A_{i,j} \alpha_i \beta_j = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \beta_i\).

**15.** Soient \(A\) et \(B\) deux matrices dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\).

**15a.** Soit \(D\) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux \(\alpha_i = D_{ii}\) sont les valeurs singulières de \(A\) et soit \(T\) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux \(\beta_i = T_{ii}\) sont les valeurs singulières de \(B\) telles que

\[
\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \cdots \geqslant \alpha_n, \qquad \beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \cdots \geqslant \beta_n.
\]

Montrer qu’il existe \(U\) et \(V\) dans \(\mathcal{U}_n\) telles que \(\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(UDVT)\).

**15b.** Montrer que \(\operatorname{Tr}(AB) = \sum_{i,j=1}^{n} U_{ij} V_{ji} \alpha_j \beta_i\) et en déduire que

\[
|\operatorname{Tr}(AB)| \leqslant \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \beta_i.
\]

**15c.** Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{H}_n^+\). Montrer que \(|\operatorname{Tr}(AB)| \leqslant \operatorname{Tr}(A)\operatorname{Tr}(B)\).

**16.** Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{H}_n\) et soient

\[
\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \cdots \geqslant \alpha_n, \qquad \beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \cdots \geqslant \beta_n
\]

leurs valeurs propres.

Montrer que

\[
\min_{U \in \mathcal{U}_n} \|A - U^*BU\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i - \beta_i)^2},
\]

où la norme sur \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) est donnée par \(\|A\|^2 = \operatorname{Tr}(A^*A)\). On pourra commencer par déterminer \(\displaystyle\max_{U \in \mathcal{U}_n} \operatorname{Tr}(AU^*BU)\).

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