Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2012

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2012

FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLC)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Représentations de dimension finie de l’algèbre de Lie de $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$

### Notations

Lorsque $n$ est un entier positif non nul, on note $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ l’algèbre des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes dont les coefficients sont des éléments de $\mathbb{C}$. On note $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

On munit cet espace de la norme subordonnée

$$
|||A||| = \sup_{X \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}} \frac{||AX||_2}{||X||_2},
$$

où $||X||_2$ est la norme hermitienne de $X$ dans $\mathbb{C}^n$, identifié à l’espace des vecteurs colonnes : si

$$
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix},
$$

alors $||X||_2 = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}$.

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note ${}^t A$ la matrice transposée de $A$, et $\bar{A}$ la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans $\mathbb{C}$ des coefficients de $A$. On note $\mathrm{Tr}(A)$ la trace de $A$ et $\mathrm{det}(A)$ le déterminant de $A$. On rappelle que les matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de déterminant non nul forment un groupe multiplicatif, que l’on note $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $[A, B] = AB - BA$.

On note $\mathcal{L}$ l’ensemble des matrices $A$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ vérifiant ${}^t A + \bar{A} = 0$ et $\mathrm{Tr}(A) = 0$.

On note $\mathrm{U}(2,\mathbb{C})$ l’ensemble des matrices $A$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ vérifiant ${}^t A \bar{A} = I_2$, et $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ le sous-ensemble de $\mathrm{U}(2,\mathbb{C})$ formé des matrices dont le déterminant est égal à $1$.

## Première partie

**1a.** Dans cette question, $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est vu comme espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. Quelle est sa dimension ? Montrer que $\mathcal{L}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $3$ dont une base est formée par $(E, F, G)$ avec

$$
E = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},
\quad
F = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\quad
G = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}.
$$

**1b.** Calculer $[E, F]$, $[F, G]$ et $[G, E]$ en fonction de $E$, $F$ et $G$.

**2.** Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on rappelle que l’exponentielle de $A$ est la matrice à coefficients complexes donnée par la formule

$$
\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.
$$

**2a.** Justifier la convergence de cette série.

**2b.** Montrer que pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $P$ matrice inversible de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$,

$$
\exp(P^{-1} AP) = P^{-1} \exp(A) P.
$$

**2c.** Montrer que si $A$ est une matrice triangulaire supérieure de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, de coefficients diagonaux $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$, alors $\exp(A)$ est une matrice triangulaire supérieure de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de coefficients diagonaux $e^{\lambda_1}, \cdots, e^{\lambda_n}$.

**2d.** Montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, alors $\mathrm{det}(\exp(A)) = \exp(\mathrm{Tr}(A))$.

## Deuxième partie

**3.** Montrer que $\mathrm{U}(2,\mathbb{C})$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$, et que $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ est un sous-groupe de $\mathrm{U}(2,\mathbb{C})$.

**4.** Montrer que les éléments de $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ sont les matrices de la forme $\begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix}$, avec $a, b \in \mathbb{C}$ et $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

**5.** Soient $M \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$, $X \in \mathbb{C}^2 \setminus \{0\}$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ tels que $MX = \lambda X$.

**5a.** Montrer que $|\lambda| = 1$.

**5b.** Soit $Y \in \mathbb{C}^2$. Montrer que si ${}^t X \bar{Y} = 0$, alors ${}^t X \bar{M} \bar{Y} = 0$.

**6a.** Montrer que toute matrice de $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ s’écrit sous la forme

$$
P^{-1} \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} P,
$$

avec $P \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

**6b.** Montrer que si $R, S \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$, il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes :

i) $\mathrm{Tr}(R) = \mathrm{Tr}(S)$ ;

ii) il existe $P \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ tel que $R = P^{-1} SP$.

**7a.** Soit $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ ; on suppose que $[A, B] = 0$. Montrer que

$$
\left|\left|\left| \sum_{\ell=0}^{n} \frac{1}{\ell!}(A+B)^{\ell} - \left( \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^{j} \right) \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} B^{k} \right) \right|\right|\right|
$$

tend vers zéro quand $n \to +\infty$. En déduire que $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$.

**7b.** Montrer que l’image de $\mathcal{L}$, par l’application $\exp : A \mapsto \exp(A)$, est contenue dans $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$.

**7c.** Montrer que l’application $\exp : \mathcal{L} \to \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ est surjective.

**7d.** L’application $\exp : \mathcal{L} \to \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ est-elle injective ?

**8.** Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ tel que pour tout $P \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ et tout $g \in G$, on ait $P^{-1} g P \in G$. On suppose de plus que $G$ contient au moins un élément différent de $I_2$ et de $-I_2$.

**8a.** Montrer que $G$ contient au moins un élément de la forme $\begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}$ avec $\theta \in \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

**8b.** Lorsque $A \in \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$ est donnée sous la forme indiquée à la question 4., calculer les coefficients diagonaux de $A \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} A^{-1} \begin{pmatrix} e^{-i\theta} & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$ en fonction de $\theta$ et de $|a|$.

**8c.** Montrer que $\displaystyle \bigcup_{g \in G} \{\mathrm{Tr}(g)\}$ contient un intervalle de la forme $[2 - \delta, 2]$ avec $\delta > 0$.

**9.** Montrer que $G = \mathrm{SU}(2,\mathbb{C})$. *On dit que le groupe $\mathrm{SU}(2,\mathbb{C})/\{\pm I_2\}$ est simple.*

## Troisième partie

On se donne un espace vectoriel $\mathcal{E}$ sur $\mathbb{C}$ de dimension finie, et des endomorphismes non nuls $e$, $f$, $g$ de $\mathcal{E}$ tels que

$$
e \circ f - f \circ e = -2g
\quad ; \quad
f \circ g - g \circ f = -2e
\quad ; \quad
g \circ e - e \circ g = -2f.
$$

On note $w = f - ig$ et $z = f + ig$.

**10.** Calculer

$$
e \circ z - z \circ e,
\quad
e \circ w - w \circ e,
\quad
z \circ w - w \circ z.
$$

**11.** Soit $v$ un vecteur propre de $e$, associé à une valeur propre $\lambda \in \mathbb{C}$. Si $k \in \mathbb{N}$, montrer qu’il existe $\mu_k \in \mathbb{C}$ tel que

$$
e \left( z^{k}(v) \right) = \mu_k \, z^{k}(v).
$$

**12.** Montrer qu’il existe un vecteur propre $v_0$ de $e$, associé à une valeur propre $\lambda_0 \in \mathbb{C}$, et tel que $z(v_0) = 0$.

**13.** Pour $k \in \mathbb{N}^{*}$, on note $v_k = w^{k}(v_0)$. Calculer $e(v_k)$ en fonction de $k$, $\lambda_0$ et $v_k$. Calculer $z(v_k)$ en fonction de $k$, $\lambda_0$ et $v_{k-1}$.

**14a.** Montrer qu’il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $v_{n+1}$ soit nul et $v_0, \ldots, v_n$ soient linéairement indépendants.

**14b.** On suppose que $n \geq 1$. Montrer que pour $k = 1, \ldots, n-1$, on a

$$
e(v_k) = i(n-2k) v_k,
\quad
z(v_k) = -4k(n-k+1) v_{k-1},
\quad
w(v_k) = v_{k+1},
$$

et d’autre part

$$
e(v_0) = in \, v_0,
\quad
z(v_0) = 0,
\quad
w(v_0) = v_1,
$$

$$
e(v_n) = -in \, v_n,
\quad
z(v_n) = -4n \, v_{n-1},
\quad
w(v_n) = 0.
$$