Maths A

# Sujet — École polytechnique – Écoles normales supérieures, concours d’admission 2013, filière MP, composition de mathématiques – A – (XLC)

**ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES**

CONCOURS D’ADMISSION 2013

FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLC)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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*On se propose d’étudier des algèbres d’endomorphismes remarquables d’espaces vectoriels de dimension infinie.*

## Préambule

Une racine $n$-ième de l’unité est dite *primitive* si elle engendre le groupe des racines $n$-ième de l’unité.

Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes $\mathbf{C}$. Si $\mathcal{E}$ est un espace vectoriel, l’algèbre des endomorphismes de $\mathcal{E}$ est notée $\mathcal{L}(\mathcal{E})$ et le groupe des automorphismes de $\mathcal{E}$ est noté $\mathrm{GL}(\mathcal{E})$. On note $\mathrm{Id}_{\mathcal{E}}$ l’application identité de $\mathcal{E}$. Si $u \in \mathcal{L}(\mathcal{E})$, on note $\mathbf{C}[u]$ la sous-algèbre $\{P(u) \mid P \in \mathbf{C}[X]\}$ de $\mathcal{L}(\mathcal{E})$ des polynômes en $u$.

On note $\mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$ l’espace vectoriel des fonctions de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{C}$. Si $f$ est une fonction de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{C}$, on note $\mathrm{Supp}(f)$ l’ensemble des $k \in \mathbf{Z}$ tels que $f(k) \neq 0$. On appelle cet ensemble le *support* de $f$. Dans tout le problème, $V$ désigne l’ensemble des fonctions de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{C}$ dont le support est un ensemble fini.

## I - Opérateurs sur les fonctions à support fini

**1a.** Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$. Étant donné $f \in \mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$, on définit $E(f) \in \mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$ par $E(f)(k) = f(k + 1)$, $k \in \mathbf{Z}$.

**1b.** Montrer que $E \in \mathcal{L}(\mathbf{C}^{\mathbf{Z}})$ et que $V$ est stable par $E$.

Dans la suite, $E$ désignera uniquement l’endomorphisme de $V$ induit.

**2.** Montrer que $E \in \mathrm{GL}(V)$.

**3.** Pour $i \in \mathbf{Z}$, on définit $v_i$ dans $\mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$ par

$$
v_i(k) =
\begin{cases}
1 \text{ si } k = i, \\
0 \text{ si } k \neq i.
\end{cases}
$$

**3a.** Montrer que la famille $\{v_i\}_{i \in \mathbf{Z}}$ est une base de $V$.

**3b.** Calculer $E(v_i)$.

Soient $\lambda, \mu \in \mathbf{C}^{\mathbf{Z}}$. On définit les applications linéaires $F, H \in \mathcal{L}(V)$ respectivement par

$$
H(v_i) = \lambda(i)\, v_i \quad\text{et}\quad F(v_i) = \mu(i)\, v_{i+1}, \quad i \in \mathbf{Z}.
$$

**4.** Montrer que $H \circ E = E \circ H + 2E$ si et seulement si pour tout $i \in \mathbf{Z}$, $\lambda(i) = \lambda(0) - 2i$.

**Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.**

**5.** Montrer que $E \circ F = F \circ E + H$ si et seulement si pour tout $i \in \mathbf{Z}$,

$$
\mu(i) = \mu(0) + i(\lambda(0) - 1) - i^{2}.
$$

**6a.** Montrer que pour $f \in V$, l’espace vectoriel engendré par les $H^{n}(f)$, $n \in \mathbf{N}$, est de dimension finie.

**6b.** En déduire qu’un sous-espace non réduit à $\{0\}$ de $V$, stable par $H$, contient au moins un des $v_i$.

**Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que** $\lambda(0) = 0$, $\mu(0) = 1$.

**7a.** Montrer que $F \in \mathrm{GL}(V)$.

**7b.** Montrer que $E$ et $F$ ne sont pas d’ordre fini dans le groupe $\mathrm{GL}(V)$.

**7c.** Calculer le noyau de $H$ et montrer que $H^{r} \neq \mathrm{Id}_{V}$ pour $r \geq 1$.

**8.** On note $\mathbf{C}[X]$ l’algèbre des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée $X$.

**8a.** Montrer que $\mathbf{C}[E]$ est isomorphe (en tant qu’algèbre) à $\mathbf{C}[X]$.

**8b.** Montrer que $\mathbf{C}[F]$ est isomorphe (en tant qu’algèbre) à $\mathbf{C}[X]$.

**8c.** Montrer que $\mathbf{C}[H]$ est isomorphe (en tant qu’algèbre) à $\mathbf{C}[X]$.

## II - Intermède

**Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair $\ell \geq 3$ et $q$ une racine primitive $\ell$-ième de l’unité.**

**9.** Montrer que $q^{2}$ est une racine primitive $\ell$-ième de l’unité.

Soient $W_{\ell} = \bigoplus_{0 \leq i < \ell} \mathbf{C} v_i$ et $a \in \mathbf{C}^{*}$.

**10.** On considère l’élément $G_a$ de $\mathcal{L}(W_{\ell})$ dont la matrice dans la base $\{v_i\}_{0 \leq i < \ell}$ est :

$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$

**10a.** Calculer $G_a^{\ell}$. Montrer que $G_a$ est diagonalisable.

**10b.** Soit $b$ une racine $\ell$-ième de $a$. Calculer les vecteurs propres de $G_a$ et les valeurs propres associées en fonction de $b$, $q$ et des $v_i$.

On définit une application linéaire $P_a : V \to V$ par $P_a(v_i) = a^{p} v_r$ où pour $i \in \mathbf{Z}$, on définit $r$ et $p$ respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne $i$ par $\ell$ ; autrement dit, $i = p\ell + r$ où $0 \leq r < \ell$ et $p \in \mathbf{Z}$.

**11.** Montrer que $P_a$ est un projecteur d’image $W_{\ell}$.

## III - Opérateurs quantiques

**12.** Montrer que $H \circ E = q^{2} E \circ H$ si et seulement si pour tout $i \in \mathbf{Z}$, $\lambda(i) = \lambda(0) q^{-2i}$.

**Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que** $\lambda(0) \neq 0$.

**13.** Montrer que $H \in \mathrm{GL}(V)$.

**14.** Montrer que $E \circ F = F \circ E + H - H^{-1}$ si et seulement si pour tout $i \in \mathbf{Z}$,

$$
\mu(i) = \mu(i - 1) + \lambda(0)\, q^{-2i} - \lambda(0)^{-1} q^{2i}.
$$

**Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.**

**15a.** Montrer que $\lambda$ et $\mu$ sont périodiques sur $\mathbf{Z}$, de périodes divisant $\ell$.

**15b.** Montrer que la période de $\lambda$ est égale à $\ell$.

**15c.** Montrer que la période de $\mu$ est aussi égale à $\ell$.

**16.** Soit $C = (q - q^{-1}) E \circ F + q^{-1} H + q H^{-1}$ avec $H^{-1}$ l’inverse de $H$.

**16a.** Montrer que $C = (q - q^{-1}) F \circ E + q H + q^{-1} H^{-1}$.

**16b.** Pour $i \in \mathbf{Z}$, montrer que $v_i$ est un vecteur propre de $C$.

**16c.** En déduire que $C$ est une homothétie de $V$ dont on calculera le rapport $R(\lambda(0), \mu(0), q)$ en fonction de $\lambda(0)$, $\mu(0)$ et $q$.

**16d.** On fixe $q$ et $\lambda(0)$. Montrer que l’application $\mu(0) \mapsto R(\lambda(0), \mu(0), q)$ est une bijection de $\mathbf{C}$ sur $\mathbf{C}$.

**16e.** On fixe $q$ et $\mu(0)$. Montrer que l’application $\lambda(0) \mapsto R(\lambda(0), \mu(0), q)$ est une surjection de $\mathbf{C}^{*}$ sur $\mathbf{C}$ mais pas une bijection.

## IV - Opérateurs quantiques modulaires

Soient $\ell$, $W_{\ell}$, $a$, $P_a$ comme dans la partie II. On dit qu’un élément $\phi$ de $\mathcal{L}(V)$ est *compatible* avec $P_a$ si $P_a \circ \phi \circ P_a = P_a \circ \phi$.

**17a.** Montrer que si $\phi \in \mathcal{L}(V)$ commute avec $P_a$, alors $\phi$ est compatible avec $P_a$.

**17b.** Montrer que $H$ et $H^{-1}$ sont compatibles avec $P_a$.

Soit $\mathcal{U}_q$ l’ensemble des endomorphismes $\phi \in \mathcal{L}(V)$ qui sont compatibles avec $P_a$.

**18.** Montrer que $\mathcal{U}_q$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(V)$.

**19.** Montrer que $E \in \mathcal{U}_q$ et $F \in \mathcal{U}_q$.

**20a.** Montrer qu’il existe un unique morphisme d’algèbre $\Psi_a : \mathcal{U}_q \to \mathcal{L}(W_{\ell})$ tel que

$$
\forall \phi \in \mathcal{U}_q, \quad \Psi_a(\phi) \circ P_a = P_a \circ \phi.
$$

**20b.** Montrer que $\phi \in \mathcal{U}_q$ est contenue dans le noyau de $\Psi_a$ si et seulement si l’image de $\phi$ est dans le sous-espace de $V$ engendré par les vecteurs $v_i - a^{p} v_r$, $i \in \mathbf{Z}$, où $i = p\ell + r$ est la division euclidienne de $i$ par $\ell$.

**21.** On étudie dans cette question $\Psi_a(E)$.

**21a.** Déterminer $\Psi_a(E)(v_0)$.

**21b.** En déduire $\Psi_a(E^{\ell})$.

**21c.** Calculer la dimension du sous-espace vectoriel $\mathbf{C}[\Psi_a(E)]$.

**21d.** Calculer les vecteurs propres de $\Psi_a(E)$.

**22.** Soit $W$ un sous-espace non nul de $W_{\ell}$ stable par $\Psi_a(H)$.

**22a.** Montrer que $W$ contient au moins un des vecteurs $v_i$.

**22b.** Que dire si $W$ est de plus stable par $\Psi_a(E)$ ?

**23.** Donner une condition nécessaire et suffisante sur $R(\lambda(0), \mu(0), q)$ pour que l’opérateur $\Psi_a(F)$ soit nilpotent.

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