Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2014

**ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES**

CONCOURS D’ADMISSION 2014

FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLCR)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Ce sujet porte sur l’étude des formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et des groupes d’isométries associés.

## Notations, Définitions

Dans tout ce problème, $\mathbb{K}$ désignera un corps de caractéristique nulle, c’est-à-dire un corps tel que, pour tout entier $n \neq 0$, on a $n \cdot 1 \neq 0$ dans $\mathbb{K}$ où $1$ désigne l’unité de la loi multiplicative de $\mathbb{K}$, et $n \cdot 1 = 1 + \cdots + 1$.

Soit $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension *finie*. On rappelle les trois points suivants.

– Une *forme bilinéaire symétrique* sur $V$ est une application $b : V \times V \to \mathbb{K}$ telle que

$$
b(x, y) = b(y, x) \quad\text{et}\quad b(x + \lambda y, z) = b(x, z) + \lambda b(y, z)
$$

pour tous $x, y, z \in V$ et $\lambda \in \mathbb{K}$.

– Une *forme quadratique* sur $V$ est une application $q : V \to \mathbb{K}$ telle que :

i) $q(\lambda v) = \lambda^2 q(v)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $v \in V$ ;

ii) l’application $\widetilde{q} : V \times V \to \mathbb{K}$ définie par $(x, y) \mapsto \widetilde{q}(x, y) = \dfrac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)$ est bilinéaire symétrique.

– Une forme quadratique est dite *non dégénérée* si, pour tout $v \in V - \{0\}$, il existe $w \in V$ tel que $\widetilde{q}(v, w) \neq 0$.

On notera $\mathcal{Q}(V)$ l’ensemble des formes quadratiques *non dégénérées* sur $V$.

Soient $V$ et $V'$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie.

– Une *isométrie* entre deux formes quadratiques $q : V \to \mathbb{K}$ et $q' : V' \to \mathbb{K}$ est un isomorphisme linéaire $f : V \to V'$ tel que $q' \circ f = q$. On notera $q \cong q'$ si $q$ et $q'$ sont isométriques, c’est-à-dire s’il existe une isométrie entre $q$ et $q'$.

On notera $O(q) := \{ f \in \mathrm{GL}(V) \mid q \circ f = q\}$ le sous ensemble de $\mathrm{GL}(V)$ des isométries $f : V \to V$ entre $q$ et elle-même. On appelle $O(q)$ *le groupe orthogonal de $q$*.

*Les deuxième et troisième parties du problème sont largement indépendantes.*

## Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Soit $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K} - \{0\}$. On note $\langle a_1, \ldots, a_n \rangle$ la forme quadratique $q$ définie sur $\mathbb{K}^n$ par la formule

$$
q(x_1, \ldots, x_n) = a_1 x_1^2 + \cdots + a_n x_n^2.
$$

**1.** Démontrer que $\langle a_1, \ldots, a_n \rangle$ est bien une forme quadratique sur $\mathbb{K}^n$.

**2.** Démontrer que l’application $q \mapsto \widetilde{q}$ est une bijection de l’ensemble des formes quadratiques sur $V$ sur les formes bilinéaires *symétriques* sur $V$.

**3.** Soit $\mathcal{B} := (e_1, \ldots, e_n)$ est une base de $V$. On associe à toute forme bilinéaire symétrique $b$ sur $V$ une matrice symétrique $\Phi_{\mathcal{B}}(b) := \left(b(e_i, e_j)\right)_{i,j=1\ldots n}$ appelée *matrice* de $b$ *dans la base* $\mathcal{B}$. On rappelle que $b \mapsto \Phi_{\mathcal{B}}(b)$ est un isomorphisme entre l’espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur $V$ et celui des matrices symétriques carrées de taille $n$.

**(a)** Démontrer qu’une forme quadratique $q$ sur $V$ est non dégénérée si et seulement si le déterminant $\det\left(\Phi_{\mathcal{B}}(\widetilde{q})\right)$ est non nul.

**(b)** Quelle est la matrice de $\langle a_1, \ldots, a_n \rangle$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$ ? En déduire que $\langle a_1, \ldots, a_n \rangle \in \mathcal{Q}(\mathbb{K}^n)$.

**4.** Soit $q \in \mathcal{Q}(V)$ une forme quadratique non dégénérée sur $V$.

**(a)** Soit $V'$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $q'$ une forme quadratique sur $V'$. Démontrer que si $q$ et $q'$ sont isométriques, alors $q'$ est dans $\mathcal{Q}(V')$, c’est-à-dire non dégénérée.

**(b)** Pour $x \neq 0$, on note $\{x\}^\perp := \{y \in V \mid \widetilde{q}(x, y) = 0\}$. Montrer que $\{x\}^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $V$ de dimension $n - 1$.

**(c)** A quelle condition sur $x$ le sous-espace $\{x\}^\perp$ est-il un supplémentaire de la droite $\mathbb{K}x$ dans $V$ ?

**5.** Soient $q \in \mathcal{Q}(V)$ et $q' \in \mathcal{Q}(V')$ où $V'$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que $O(q)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(V)$ et que si $q \cong q'$, alors $O(q)$ et $O(q')$ sont deux groupes isomorphes.

## Première partie : Existence des bases orthogonales

Soit $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $q \in \mathcal{Q}(V)$.

**6.** On dit que $q$ est *isotrope* s’il existe $x \in V - \{0\}$ tel que $q(x) = 0$. Dans le cas contraire, on dit que $q$ est *anisotrope*.

**(a)** Démontrer qu’il existe $x \in V$ tel que $q(x) \neq 0$.

**(b)** On note $h$ la forme quadratique sur $\mathbb{K}^2$ définie par $h(x_1, x_2) = x_1 x_2$ (on ne demande pas de vérifier que $h$ est une forme quadratique). Montrer que si $V$ est de dimension deux et $q$ est isotrope alors $q$ est isométrique à $h$.

**(c)** Démontrer que si $q \in \mathcal{Q}(V)$ est isotrope, alors $q : V \to \mathbb{K}$ est surjective.

**7.** Une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $V$ est dite *orthogonale pour* $q$ si $\widetilde{q}(e_i, e_j) = 0$ pour tout $i \neq j$.

**(a)** Montrer qu’il existe une base orthogonale pour $q$.

*Indication :* on pourra considérer $\{x\}^\perp = \{y \in V \mid \widetilde{q}(x, y) = 0\}$ et utiliser les questions 4c et 6a.

**(b)** En déduire qu’il existe $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K} - \{0\}$ tels que $q \cong \langle a_1, \ldots, a_n \rangle$.

## Deuxième partie : Étude de $O(q)$ quand $\mathbb{K} = \mathbb{R}$

On suppose dans cette partie que $\mathbb{K} = \mathbb{R}$.

**8.** Soit $q \in \mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ ($n \geq 1$). Démontrer qu’il existe un couple d’entiers $(r, s)$ ($r + s = n$) tel que $q$ soit isométrique à $Q_{r,s}$ définie sur la base canonique de $\mathbb{R}^n$ par

$$
Q_{r,s}(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{r} x_i^2 - \sum_{j=r+1}^{n} x_j^2.
$$

Soit $j : \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’isomorphisme linéaire qui à tout endomorphisme associe sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$. On note $O_{r,s} := j(O(Q_{r,s}))$ le sous-ensemble de matrices associé au groupe orthogonal $O(Q_{r,s})$ de $Q_{r,s}$.

**9.** Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ une application linéaire et $M = j(f)$ sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$.

Démontrer que $M \in O_{r,s}$ si et seulement si ${}^{t}M I_{r,s} M = I_{r,s}$ où $I_{r,s}$ est la matrice

$$
I_{r,s} = \begin{bmatrix} I_r & 0_{r,s} \\ 0_{s,r} & -I_s \end{bmatrix},
$$

$I_p$ désigne la matrice identité de taille $p \times p$ et $0_{p,q}$ la matrice nulle de taille $p \times q$ pour tous entiers $p$ et $q$.

Que peut-on dire du déterminant $\det(M)$ de $M$ si $M \in O_{r,s}$ ?

**10.** Démontrer que $O_{r,s}$ est un sous-groupe *fermé* de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (on munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, l’ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{R}$, de sa topologie de $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie).

**11.** On note $O(n)$ le groupe orthogonal usuel de $\mathbb{R}^n$ (qui s’identifie à $O_{n,0}$). On note $K_{r,s} := O_{r,s} \cap O(n)$.

Démontrer que $K_{r,s}$ est compact et en bijection avec $O(r) \times O(s)$.

**12.** Démontrer que $SO(2) = \{M \in O(2) \mid \det(M) = 1\}$ est connexe par arcs.

**13.** Soit $H := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z^2 = x^2 + y^2 + 1\}$ un hyperboloïde à deux nappes.

**(a)** Démontrer que si $f \in O(Q_{2,1})$, alors $f(H) = H$.

**(b)** On note $SO_{2,1} := \{M \in O_{2,1} \mid \det(M) = 1\}$. Démontrer que $SO_{2,1}$ est un sous-groupe fermé de $O_{2,1}$.

**14.** Pour $f \in O(Q_{2,1})$, on note $(x_f, y_f, z_f)$ le vecteur $f(0, 0, 1)$. On note également $SO_{2,1}^{+} := \{M = j(f) \in SO_{2,1} \mid z_f > 0\}$.

**(a)** Démontrer que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, l’application linéaire $r_t$ dont la matrice (dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$) vaut

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \mathrm{ch}(t) & \mathrm{sh}(t) \\
0 & \mathrm{sh}(t) & \mathrm{ch}(t)
\end{bmatrix}
$$

est dans $SO_{2,1}^{+}$ (on pourra appeler par la suite une telle application linéaire une *rotation hyperbolique*).

**(b)** Soit $M = j(f)$. On suppose que $M \in SO_{2,1}^{+}$. Montrer qu’il existe une rotation (au sens usuel) $\rho$ d’axe $(0, 0, 1)$ et $t \in \mathbb{R}$ tels que $r_t \circ \rho \circ f \in SO_{2,1}^{+}$ et vérifie $r_t \circ \rho \circ f(0, 0, 1) = (0, 0, 1)$.

**(c)** Démontrer que $SO_{2,1}^{+}$ est connexe par arcs.

**15.** Déduire de la question 14 que $O_{2,1}$ est la réunion de quatre sous-ensembles fermés disjoints deux à deux et connexes par arcs.

**16.** Démontrer qu’il existe un morphisme surjectif de groupes $\psi : O_{2,1} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ dont le noyau est $SO_{2,1}^{+}$.

## Troisième partie

On revient dans cette dernière partie au cas où $\mathbb{K}$ est un corps quelconque de caractéristique nulle.

Si $V$ et $V'$ sont deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, $q \in \mathcal{Q}(V)$ et $q' \in \mathcal{Q}(V')$ sont deux formes quadratiques non dégénérées, la *somme orthogonale* $q \perp q'$ de $q$ et $q'$ est la forme quadratique sur $V \times V'$ définie par

$$
q \perp q'(x, x') = q(x) + q'(x')
$$

pour tout $x \in V$ et tout $x' \in V'$.

**17.** Soient $V$, $V'$ et $V''$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $(q, q', q'') \in \mathcal{Q}(V) \times \mathcal{Q}(V') \times \mathcal{Q}(V'')$.

**(a)** Montrer que $q \perp q' \in \mathcal{Q}(V \times V')$ puis que $(q \perp q') \perp q'' \cong q \perp (q' \perp q'')$.

**(b)** Montrer que si $q' \cong q''$ alors $q \perp q' \cong q \perp q''$.

**(c)** Démontrer que si $V = V' \oplus V''$ et $\widetilde{q}(x, y) = 0$ pour tout $x \in V'$ et tout $y \in V''$, alors $q \cong q' \perp q''$ où $q'$ est la restriction de $q$ à $V'$ et $q''$ celle de $q$ à $V''$.

**18.** Soient $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $q \in \mathcal{Q}(V)$ et $v, w \in V$ deux vecteurs *distincts* de $V$ tels que $q(v) = q(w) \neq 0$.

On veut montrer dans cette question qu’il existe alors une isométrie $h \in O(q)$ telle que $h(v) = w$.

**(a)** Soit $x \in V$ tel que $q(x) \neq 0$. On note $s_x$ l’endomorphisme de $V$ défini par $y \mapsto s_x(y) = y - 2 \dfrac{\widetilde{q}(x, y)}{q(x)} x$. Montrer que $s_x$ et $-s_x$ appartiennent à $O(q)$.

**(b)** On suppose ici que $q(w - v) \neq 0$. Montrer que l’application $s_{w-v}$ est une isométrie telle que $s_{w-v}(v) = w$.

**(c)** On suppose ici que $q(w - v) = 0$. Montrer qu’il existe une isométrie $g \in O(q)$ telle que $g(v) = w$ et conclure.

**19.** Soient $(V_i)_{1 \leq i \leq 3}$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $q_i \in \mathcal{Q}(V_i)$ pour $1 \leq i \leq 3$ vérifiant $q_1 \perp q_3 \cong q_2 \perp q_3$. Montrer que $q_1 \cong q_2$.

*Indication :* on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 18.

**20.** Soit $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $q \in \mathcal{Q}(V)$. Montrer qu’il existe un unique entier $m$ positif ou nul et une forme quadratique anisotrope $q_{an}$, *unique à isométrie près*, tels que $q \cong q_{an} \perp m \cdot h$ où $m \cdot h = h \perp \cdots \perp h$ est la somme orthogonale de $m$ copies de $h$ et $h$ est la forme quadratique introduite par la question 6b.

*Indication :* on pourra utiliser la question 6b et la question précédente.

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