Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2015

**ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES**

CONCOURS D’ADMISSION 2015

FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLCR)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

⋆⋆⋆

Pour $n \geq 1$, l’espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ est noté $\mathbb{R}_n[X]$. Étant donnés deux polynômes non nuls $P$ et $Q$ à coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est noté $P \wedge Q$.

Si $r \geqslant 1$ est un second entier, $\mathcal{M}_{r,n}(\mathbb{R})$ désigne l’espace vectoriel des matrices à $r$ lignes et $n$ colonnes à coefficients complexes. La notation $M = (m_{ij})$ signifie que le coefficient à la ligne $i$ et colonne $j$ de la matrice $M$ est $m_{ij}$. On note plus simplement $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$, dont la matrice identité est $I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Le polynôme caractéristique $\chi_M$ de $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est défini par

$$
\chi_M(X) = \det(X I_n - M).
$$

Le polynôme caractéristique est donc unitaire.

Pour $M \in \mathcal{M}_{r,n}(\mathbb{R})$, ${}^{t}M \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{R})$ désigne la matrice transposée. On rappelle qu’une matrice carrée $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est *symétrique* si ${}^{t}M = M$, *orthogonale* si ${}^{t}M M = I_n$. On notera $S_n(\mathbb{R})$ (respectivement $O_n(\mathbb{R})$) l’ensemble des matrices symétriques (resp. orthogonales) de taille $n$. Étant donné un $n$-uplet $(a_1, \ldots, a_n)$ de nombres réels,

$$
\Delta(a_1, \ldots, a_n) = \begin{pmatrix} a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_n \end{pmatrix}
$$

désigne la matrice diagonale associée.

Si $M \in S_n(\mathbb{R})$, son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l’ordre *décroissant* $\lambda_1 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_n$. On note alors $\mathrm{Sp}(M) = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, qui est donc un $n$-uplet *ordonné*.

Un $n + 1$-uplet $\widehat{\lambda} = (\lambda_1 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1}$ et un $n$-uplet $\widehat{\mu} = (\mu_1 \geqslant \cdots \geqslant \mu_n) \in \mathbb{R}^n$, ordonnés, sont dit *enlacés* si $\lambda_j \geqslant \mu_j \geqslant \lambda_{j+1}$ pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$. Ils sont *strictement enlacés* si $\lambda_j > \mu_j > \lambda_{j+1}$ pour tout $j$. Par exemple, $(4, 3, 2, 1)$ et $(\pi, e, \sqrt{2})$ sont strictement enlacés.

## Questions préliminaires

**1. (a)** Montrer que $O_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe du groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ des matrices inversibles.

**(b)** Montrer que $O_n(\mathbb{R})$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

**2.** Soit $M$ et $N$ dans $S_n(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe $U \in O_n(\mathbb{R})$ tel que $N = U M U^{-1}$, si et seulement si $\chi_M = \chi_N$.

**3.** Soit $\widehat{\lambda} = (\lambda_1 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1}$ et $\widehat{\mu} = (\mu_1 \geqslant \cdots \geqslant \mu_n) \in \mathbb{R}^n$. Soit $x \in \mathbb{R}$. Formons

$$
\widehat{\lambda}' = (\lambda_1 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_i \geqslant x > \lambda_{i+1} \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{n+1})
$$

en choisissant l’entier $i \in \{0, \ldots, n + 1\}$ convenablement. Si $x > \lambda_1$, on a donc $i = 0$, tandis que si $x \leqslant \lambda_{n+1}$, on a $i = n + 1$. On forme de même

$$
\widehat{\mu}' = (\mu_1 \geqslant \cdots \geqslant \mu_j \geqslant x > \mu_{j+1} \geqslant \cdots \geqslant \mu_n).
$$

On suppose que $\widehat{\lambda}$ et $\widehat{\mu}$ sont enlacés. Montrer que $j \leqslant i \leqslant j + 1$. En examinant chacun des deux cas $j = i$ ou $i - 1$, montrer que $\widehat{\lambda}'$ et $\widehat{\mu}'$ sont enlacés.

## 1 Première Partie

Soit $\widehat{\mu} = (\mu_1 > \cdots > \mu_n) \in \mathbb{R}^n$.

**4.** On définit les polynômes

$$
Q_0 = \prod_{k=1}^{n} (X - \mu_k) \quad\text{et}\quad \forall j \in \{1, \ldots, n\}, \quad P_j = \frac{Q_0}{(X - \mu_j)}.
$$

**(a)** Montrer que la famille $(Q_0, P_1, P_2, \ldots, P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.

**(b)** Soit $j \in \{1, \ldots, n\}$. Vérifier que $(-1)^{j-1} P_j(\mu_j) > 0$.

**5.** Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n + 1$.

**(a)** Montrer qu’il existe un unique vecteur $(a, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tel que

$$
P = (X - a) Q_0 - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j P_j. \qquad (1)
$$

**(b)** On suppose que les nombres réels $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ sont tous strictement positifs. Montrer que $P$ a $n + 1$ racines réelles distinctes $\lambda_1 > \cdots > \lambda_{n+1}$, et que $\widehat{\lambda} = (\lambda_1 > \cdots > \lambda_{n+1})$ et $\widehat{\mu}$ sont strictement enlacés.

**(c)** Réciproquement, on suppose que $P$ a $n + 1$ racines réelles distinctes $\lambda_1 > \cdots > \lambda_{n+1}$, et que $\widehat{\lambda} = (\lambda_1 > \cdots > \lambda_{n+1})$ et $\widehat{\mu}$ sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$, $\alpha_j > 0$.

**6.** On se donne des entiers $m_k \geqslant 1$ pour $k = 1, \ldots, n$. On pose

$$
Q_1 = \prod_{k=1}^{n} (X - \mu_k)^{m_k} \quad\text{et, cette fois-ci,}\quad P_j = \frac{Q_1}{X - \mu_j}.
$$

Montrer que

$$
Q_1 \wedge Q_1' = \prod_{k=1}^{n} (X - \mu_k)^{m_k - 1}.
$$

**7.** Soit $(a, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ et soit $P \in \mathbb{R}[X]$ défini par la formule

$$
P = (X - a) Q_1 - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j P_j.
$$

**(a)** Donner une expression de $P \wedge Q_1$ en fonction des $\mu_j$, des $m_j$ et de l’ensemble $J$ des indices pour lesquels $\alpha_j = 0$.

**(b)** On suppose que les nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ sont positifs ou nuls. Montrer que les racines de $P$ sont toutes réelles.

*On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le $(N + 1)$-uplet des racines de $P$ et le $N$-uplet des racines de $Q_1$ sont enlacés.*

## 2 Deuxième Partie

**8.** Soit $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls. Soit $A \in \mathcal{M}_r(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{s,r}(\mathbb{R})$ et $D \in \mathcal{M}_s(\mathbb{R})$. On suppose de plus que $A$ est inversible. On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_{r+s}(\mathbb{R})$ ayant la forme par blocs suivante

$$
M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}.
$$

Trouver deux matrices $U \in \mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{R})$ et $V \in \mathcal{M}_s(\mathbb{R})$ telles que

$$
M = \begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I_s \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_r & U \\ 0 & V \end{bmatrix}
$$

et en déduire que

$$
\det(M) = \det(A) \cdot \det(D - C A^{-1} B).
$$

*On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque $M$ et ses blocs $A, \ldots, D$ sont à coefficients dans le corps $\mathbb{R}(X)$ des fractions rationnelles.*

**9.** Soit $M \in S_{n+1}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique. On écrit $M$ sous la forme par blocs

$$
M = \begin{bmatrix} A & y \\ {}^{t}y & a \end{bmatrix}.
$$

avec $a \in \mathbb{R}$, $y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $A \in S_n(\mathbb{R})$.

**(a)** Si le spectre de $A$ est $\mathrm{Sp}(A) = (\mu_1 \geqslant \cdots \geqslant \mu_n)$, montrer qu’il existe $U \in O_{n+1}(\mathbb{R})$ et $z \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tels que

$$
U M {}^{t}U = \begin{bmatrix} \Delta(\mu_1, \ldots, \mu_n) & z \\ {}^{t}z & a \end{bmatrix}.
$$

**(b)** En déduire qu’il existe des nombres réels positifs ou nuls $\alpha_j$ (pour $j = 1, \ldots, n$) tels que

$$
\chi_M = (X - a) Q_0 - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \frac{Q_0}{(X - \mu_j)}, \qquad\text{où}\qquad Q_0 = \prod_{k=1}^{n} (X - \mu_k).
$$

**(c)** Montrer que $\mathrm{Sp}(M)$ et $\mathrm{Sp}(A)$ sont enlacés.

**10.** Pour $T = (t_{ij}) \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$, on note $T_{\leqslant n}$ la matrice extraite de taille $n$ dont les coefficients sont les $t_{ij}$ pour $1 \leqslant i, j \leqslant n$. Soit $M \in S_{n+1}(\mathbb{R})$. Montrer que l’ensemble

$$
\{\mathrm{Sp}((U M U^{-1})_{\leqslant n}) \in \mathbb{R}^n, \text{ pour } U \text{ parcourant } O_{n+1}(\mathbb{R})\},
$$

noté $\mathcal{C}_M$, est une partie compacte de $\mathbb{R}^n$.

**11.** On suppose de plus que les valeurs propres de $M$ sont distinctes. On a donc $\mathrm{Sp}(M) = (\lambda_1 > \cdots > \lambda_{n+1})$.

**(a)** Soit $\widehat{\mu} = (\mu_1 > \cdots > \mu_n)$ tel que $\mathrm{Sp}(M)$ et $\widehat{\mu}$ soient strictement enlacés. Montrer que $\widehat{\mu}$ appartient à $\mathcal{C}_M$.

**(b)** Montrer que

$$
\mathcal{C}_M = \{\widehat{\mu} = (\mu_1 \geqslant \cdots \geqslant \mu_n), \text{ tels que } \mathrm{Sp}(M) \text{ et } \widehat{\mu} \text{ soient enlacés}\}. \qquad (2)
$$

## 3 Troisième Partie

On considère l’application

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Diag}_n : \quad & S_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^n \\
& M = (m_{ij}) \mapsto (m_{11}, m_{22}, \ldots, m_{nn}).
\end{aligned}
$$

Soit $M \in S_n(\mathbb{R})$. Dans cette partie, on se propose d’étudier l’ensemble suivant

$$
\mathcal{D}_M = \{\mathrm{Diag}_n(U M U^{-1}), \text{ pour } U \text{ parcourant } O_n(\mathbb{R})\}.
$$

**12.** On étudie d’abord le cas $n = 2$. On note alors $\mathrm{Sp}(M) = (\lambda_1 \geqslant \lambda_2)$. Montrer que $\mathcal{D}_M$ est le segment de $\mathbb{R}^2$ dont les extrémités sont $(\lambda_1, \lambda_2)$ et $(\lambda_2, \lambda_1)$.

**13.** Soit $M = (m_{ij}) \in S_n(\mathbb{R})$. On note $\mathrm{Sp}(M) = (\lambda_1 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$. On se propose de démontrer que, pour tout $s \in \{1, \ldots, n\}$, on a :

$$
\sum_{i=1}^{s} m_{ii} \leqslant \sum_{i=1}^{s} \lambda_i. \qquad (3)
$$

**(a)** Que pensez-vous du cas $s = n$ ?

**(b)** Exprimer $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} m_{ii}$ au moyen des valeurs propres de la matrice $M_{\leqslant n-1}$ obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de $M$. En déduire l’inégalité $(3)$ lorsque $s = n - 1$.

**(c)** En procédant par récurrence sur $n$, montrer l’inégalité $(3)$, pour tout $s \in \{1, \ldots, n\}$.

## 4 Quatrième Partie

**14.** On note $E$ l’espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2\}$. On définit une base $\mathcal{C} = \{\omega_1, \omega_2\}$ de $E$ par $\omega_1 = e_1$ et $\omega_2 = \dfrac{1}{2}(e_1 + \sqrt{3}\, e_2)$.

**(a)** Soit $s_1 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\mathbb{R}\omega_1$. Montrer que la matrice de $s_1$ dans la base $\mathcal{C}$ est $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

**(b)** Soit $s_2 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\mathbb{R}\omega_2$. Montrer que la matrice de $s_2$ dans la base $\mathcal{C}$ est $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

**15.** Soit $H$ l’ensemble des vecteurs $(m_1, m_2, m_3) \in \mathbb{R}^3$ tels que $m_1 + m_2 + m_3 = 0$. On note $H^+$ le sous-ensemble des $(m_1, m_2, m_3) \in H$ tels que $m_1 \geqslant m_2 \geqslant m_3$. On considère l’application

$$
\begin{aligned}
\phi : \quad & H \longrightarrow E \\
& (m_1, m_2, m_3) \mapsto (m_1 - m_2)\omega_1 + (m_2 - m_3)\omega_2.
\end{aligned}
$$

**(a)** Montrer que $\phi$ est un isomorphisme linéaire. Décrire $\phi(H^+)$.

**(b)** Montrer que, pour tout $(m_1, m_2, m_3) \in H$, on a

$$
s_1 \circ \phi(m_1, m_2, m_3) = \phi(m_1, m_3, m_2) \quad\text{et}\quad s_2 \circ \phi(m_1, m_2, m_3) = \phi(m_2, m_1, m_3).
$$

**(c)** Soit $\widehat{\lambda} = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in H$ tel que $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$. On note $\mathcal{Q}_{\widehat{\lambda}}$ l’ensemble des $(m_1, m_2, m_3) \in H^+$ tels que $m_1 \leqslant \lambda_1$ et $m_1 + m_2 \leqslant \lambda_1 + \lambda_2$. Montrer que $\phi(\mathcal{Q}_{\widehat{\lambda}})$ est un quadrilatère dont on décrira les sommets.

**16.** Soit $M \in S_3(\mathbb{R})$ une matrice de trace nulle. On note $\mathrm{Sp}(M) = (\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \lambda_3)$. On se propose de décrire $\phi(\mathcal{D}_M)$.

**(a)** Soit $(m_1, m_2, m_3) \in H$. Soit $\sigma$ une permutation de $\{1, 2, 3\}$. Montrer que $(m_1, m_2, m_3) \in \mathcal{D}_M$ si et seulement si $(m_{\sigma(1)}, m_{\sigma(2)}, m_{\sigma(3)}) \in \mathcal{D}_M$.

**(b)** En utilisant la question 13, montrer que l’intersection $H^+ \cap \mathcal{D}_M$ est incluse dans $\mathcal{Q}_{\widehat{\lambda}}$.

**(c)** Soit $(m_1, m_2, m_3) \in \mathcal{D}_M$. Montrer que le segment de $H$ dont les sommets sont $(m_1, m_2, m_3)$ et $(m_2, m_1, m_3)$ est inclus dans $\mathcal{D}_M$. On pourra utiliser la question 12.

De même, montrer que le segment de $H$ dont les sommets sont $(m_1, m_2, m_3)$ et $(m_1, m_3, m_2)$ est inclus dans $\mathcal{D}_M$.

**(d)** Montrer que $\mathcal{D}_M$ contient $\mathcal{Q}_{\widehat{\lambda}}$.

**(e)** Montrer que si $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$ alors $\phi(\mathcal{D}_M)$ est un hexagone, dont on déterminera les sommets.

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