Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2017

ÉCOLE POLYTECHNIQUE  ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2017  FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHEMATIQUES – A – (XLCR)**

(Duré: 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

⋆⋆⋆

Dans tout le problème

- $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$,
- $\mathrm{Id}$ est l’application identité sur $E$: $\mathrm{Id}(x) = x$ pour tout $x \in E$,
- $\mathrm{L}(E)$ est l’algèbre des endomorphismes de $E$,
- $\mathrm{GL}(E)$ est le groupe des automorphismes de $E$,
- $E^* = \mathrm{L}(E, \mathbb{R})$ est l’espace vectoriel des formes linéaires sur $E$,
- $\mathrm{A}(E)$ est l’espace vectoriel des applications $\omega : E \times E \to \mathbb{R}$ qui sont bilinéaires et antisymétriques, c’est-à-dire qui vérifient, quel que soit $(x, y, z) \in E^3$ et quel que soit $\lambda \in \mathbb{R}$,

$$
\omega(\lambda x + y, z) = \lambda\omega(x, z) + \omega(y, z), \qquad \omega(x, \lambda y + z) = \lambda\omega(x, y) + \omega(x, z),
$$

$$
\omega(x, y) = -\omega(y, x).
$$

Pour tout $\omega \in \mathrm{A}(E)$ et $x \in E$, on note $\omega(x, \cdot)$ la forme linéaire définie par

$$
\begin{aligned}
\omega(x, \cdot) : E &\to \mathbb{R} \\
y &\mapsto \omega(x, y)
\end{aligned}
$$

Pour tout $\omega \in \mathrm{A}(E)$, on note $\varphi_\omega$ l’application linéaire définie par

$$
\begin{aligned}
\varphi_\omega : E &\to E^* \\
x &\mapsto \omega(x, \cdot)
\end{aligned}
$$

Un élément $\omega$ de $\mathrm{A}(E)$ est appelé **forme symplectique sur** $E$ si $\varphi_\omega$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^*$.

Un élément $J$ de $\mathrm{L}(E)$ est appelé **structure complexe sur** $E$ s’il vérifie $J^2 = -\mathrm{Id}$.

On dit qu’une forme symplectique $\omega$ sur $E$ **dompte** une structure complexe $J$ si $\omega(x, J(x)) > 0$ pour tout $x \in E \setminus \{0\}$.

On note

- $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’algèbre des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels,
- $GL_n(\mathbb{R})$ le groupe des matrices inversibles de taille $n$ à coefficients réels,
- $I_n$ la matrice unité de taille $n$,
- lorsque $n$ est pair, $J_n$ la matrice carrée de taille $n$ définie par blocs

$$
J_n = \begin{pmatrix} 0 & -I_{n/2} \\ I_{n/2} & 0 \end{pmatrix}
$$

- $\det$ l’application déterminant sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,
- ${}^t M$ la transposée de la matrice $M$.

On identifie tout élément de $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ à un nombre réel.

La partie I est utilisée dans les parties III et IV. Les parties II et III indépendantes entre elles, sont utilisées dans la partie IV.

## Partie I: Bases symplectiques

1. Montrer que la dimension de l’espace vectoriel $E^*$ vaut $n$.

2. Montrer que $\omega(x, x) = 0$ pour tout $\omega \in \mathrm{A}(E)$ et pour tout $x \in E$.

3. Soit $\omega \in \mathrm{A}(E)$ et $\mathcal{B} = (b_1, \ldots, b_n)$ une base de $E$.

   (a) Montrer qu’il existe une unique matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, dont on précisera les coefficients, telle que pour tout $(x, y) \in E^2$, $\omega(x, y) = {}^t X M Y$ où $X, Y \in \mathbb{R}^n$ sont les matrices colonnes représentant respectivement $x$ et $y$ dans la base $\mathcal{B}$ :

$$
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad
Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, \quad
\begin{aligned}
x &= x_1 b_1 + \cdots + x_n b_n, \\
y &= y_1 b_1 + \cdots + y_n b_n.
\end{aligned}
$$

   *On notera alors* $M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\omega)$.

   (b) Montrer que $M$ est antisymétrique, c’est-à-dire que ${}^t M = -M$.

   (c) Montrer que l’espace vectoriel $\mathrm{A}(E)$ est de dimension $1$ lorsque $E$ est de dimension $2$.

   (d) Montrer l’équivalence entre les trois énoncés suivants.

   $(\mathcal{E}_1)$ : $\omega$ est une forme symplectique sur $E$.

   $(\mathcal{E}_2)$ : Pour tout $x \in E \setminus \{0\}$, il existe $y \in E$ tel que $\omega(x, y) \neq 0$.

   $(\mathcal{E}_3)$ : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\omega)$ est inversible.

4. Montrer que, s’il existe une forme symplectique sur $E$, alors $E$ est de dimension paire.

   *Dorénavant, jusqu’à la fin du problème,* $n$ *est un entier pair* $\geqslant 2$.

5. Montrer que l’application $\omega_0$ définie par

$$
\begin{aligned}
\omega_0 : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\
(X, Y) &\mapsto {}^t X J_n Y
\end{aligned}
$$

   est une forme symplectique sur $\mathbb{R}^n$.

   *Jusqu’à la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique* $\omega$ *sur* $E$.

   *Le but des questions 6 à 9 est de montrer qu’il existe une base* $\mathcal{B}$ *de* $E$ *telle que* $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\omega) = J_n$.

6. Traiter le cas où $E$ est de dimension $2$.

7. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

   (a) Montrer que, pour toute forme linéaire $u : F \to \mathbb{R}$, il existe une forme linéaire $\tilde{u} : E \to \mathbb{R}$ dont la restriction à $F$ coïncide avec $u$.

   On note $F^\omega$ le sous-espace vectoriel de $E$ défini par

$$
F^\omega = \{x \in E : \forall y \in F,\ \omega(x, y) = 0\}
$$

   et $\psi_F$ l’application linéaire définie par

$$
\begin{aligned}
\psi_F : E &\to F^* \\
x &\mapsto \varphi_\omega(x)|_F
\end{aligned}
$$

   où $\varphi_\omega(x)|_F$ est la restriction de $\varphi_\omega(x)$ à $F$.

   (b) Montrer que la restriction de $\omega$ à $F \times F$ est une forme symplectique sur $F$ si et seulement si $F \cap F^\omega = \{0\}$.

   (c) Quels sont le noyau et l’image de $\psi_F$ ?

   (d) Montrer que $\dim(F) + \dim(F^\omega) = \dim(E)$.

   (e) Montrer que, si la restriction de $\omega$ à $F \times F$ est une forme symplectique sur $F$, alors $E = F \oplus F^\omega$ et la restriction de $\omega$ à $F^\omega \times F^\omega$ est une forme symplectique sur $F^\omega$.

8. Montrer par récurrence qu’il existe une base $\widetilde{\mathcal{B}}$ de $E$ telle que

$$
\mathrm{Mat}_{\widetilde{\mathcal{B}}}(\omega) =
\begin{pmatrix}
J_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_2 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & J_2
\end{pmatrix}
$$

9. Conclure. En déduire que $\omega$ dompte au moins une structure complexe sur $E$.

## Partie II: Deux outils sur les polynômes

*On note* $\mathbb{R}_d[X]$ *l’espace vectoriel des polynômes de degré* $\leqslant d$ *à coefficients réels, pour tout* $d \in \mathbb{N}$.

10. Soit $P, Q \in \mathbb{R}[X]$ des polynômes non nuls de degrés respectifs $p$ et $q$ strictement positifs. Montrer que l’application linéaire $L_{P,Q}$ définie par

$$
\begin{aligned}
L_{P,Q} : \mathbb{R}_{q-1}[X] \times \mathbb{R}_{p-1}[X] &\to \mathbb{R}_{p+q-1}[X] \\
(V, W) &\mapsto VP + WQ
\end{aligned}
$$

    est un isomorphisme si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb{R}[X]$.

11. Soit $d \in \mathbb{N}^*$. Construire une application

$$
\begin{aligned}
r : \mathbb{R}_d[X] &\to \mathbb{R} \\
P &\mapsto r(P)
\end{aligned}
$$

    polynomiale en les coefficients de $P$, telle que, si $r(P)$ est non nul, alors les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ sont simples.

    *Indication: On pourra utiliser la question précédente.*

12. Soit $d \in \mathbb{N}^*$ et $f$ une fonction polynomiale sur $\mathbb{R}_d$. On suppose que la fonction $f$ est non nulle. Montrer que $f^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\})$ est dense dans $\mathbb{R}_d$.

    *Indication: On pourra utiliser le fait qu’un polynôme non nul à une variable n’a qu’un nombre fini de racines.*

*Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques* $\omega$ *et* $\omega_1$ *sur* $E$.

## Partie III: Réduction simultanée

13. Montrer qu’il existe un unique $u \in \mathrm{GL}(E)$ tel que $\omega_1(x, y) = \omega(u(x), y)$ pour tout $(x, y) \in E^2$. Montrer alors que $u$ appartient à l’ensemble $\mathcal{S}$ défini par

$$
\mathcal{S} = \left\{ u \in \mathrm{GL}(E) : \forall (x, y) \in E^2,\ \omega\left(x, u(y)\right) = \omega\left(u(x), y\right) \right\}.
$$

*Dans les questions 14 à 19, on suppose que* $E$ *est de dimension* $4$.

14. Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$ telle que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\omega) = J_4$. Soit $U \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$.

    (a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices $J_4$ et $U$ ?

    (b) Montrer qu’il existe $N \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que

$$
U = \begin{pmatrix} N & \alpha J_2 \\ \beta J_2 & {}^t N \end{pmatrix}.
$$

    (c) Déterminer, en fonction de $N$, $\alpha$ et $\beta$ les coefficients du polynôme $T$ défini par $T(X) = \det(N - XI_2) + \alpha\beta$. Montrer que $T$ est un polynôme annulateur de $U$.

*Dans les questions 15 à 19, on suppose que* $u$ *n’admet aucune valeur propre réelle.*

*Le but des questions 15 à 19 est de montrer qu’il existe une base* $\widetilde{\mathcal{B}}$ *de* $E$, $r > 0$ *et* $\theta \in \mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$ *tels que*

$$
\mathrm{Mat}_{\widetilde{\mathcal{B}}}(\omega) = J_4
\quad\text{et}\quad
\mathrm{Mat}_{\widetilde{\mathcal{B}}}(\omega_1) = r \begin{pmatrix} 0 & -R_{-\theta} \\ R_\theta & 0 \end{pmatrix}
$$

où

$$
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
$$

15. Montrer que $U$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. En déduire qu’il existe $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ et des vecteurs $Z$ et $Y$ de $\mathbb{C}^4$ linéairement indépendants sur $\mathbb{C}$ tels que $UZ = \lambda Z$ et $UY = \lambda Y$.

16. Soient $Z_1, Z_2, Y_1, Y_2$ des vecteurs de $\mathbb{R}^4$ tels que $Z = Z_1 + iZ_2$ et $Y = Y_1 + iY_2$. Soient $(z_1, z_2, y_1, y_2) \in E^4$ de coordonnées respectives $Z_1, Z_2, Y_1, Y_2$ dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que $\widetilde{\mathcal{B}} := (z_1, z_2, y_1, -y_2)$ est une base de $E$.

17. Montrer que

$$
\begin{aligned}
\omega(z_1, z_2) &= \omega(y_1, y_2) = 0, \\
\omega(z_1, y_1) &= -\omega(z_2, y_2), \\
\omega(z_1, y_2) &= \omega(z_2, y_1).
\end{aligned}
$$

18. Montrer que, quitte à remplacer $Y$ par $\xi Y$ avec $\xi \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ bien choisi, on a $\omega(z_1, y_1) = -1$ et $\omega(z_1, y_2) = 0$.

19. Montrer qu’il existe $r > 0$ et $\theta \in \mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$ tels que

$$
\mathrm{Mat}_{\widetilde{\mathcal{B}}}(u) = r \begin{pmatrix} R_\theta & 0 \\ 0 & R_{-\theta} \end{pmatrix}
$$

et conclure.

*Jusqu’à la fin de cette partie, on ne fait plus d’hypothèse sur la dimension de* $E$ *ni sur l’endomorphisme* $u$. *On considère un polynôme* $P \in \mathbb{R}[X]$ *annulateur de* $u$ *et une décomposition* $P = P_1 \cdots P_r$, *où* $r \in \mathbb{N}^*$ *et* $P_1, \ldots, P_r$ *sont des polynômes premiers entre eux deux à deux dans* $\mathbb{R}[X]$. *On note* $F_j = \ker[P_j(u)]$ *pour* $j = 1, \ldots, r$.

20. Montrer que $E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_r$ et que $F_j$ est stable par $u$ pour $j = 1, \ldots, r$.

21. Montrer que, pour tous $j$ et $k$ appartenant à $\{1, \ldots, r\}$ et distincts, on a $F_k \subset F_j^\omega$ et $F_k \subset F_j^{\omega_1}$ (la notation $F^\omega$ est définie en question 7).

*On dit alors que* $F_1, \ldots, F_r$ *sont deux à deux orthogonaux pour* $\omega$ *et pour* $\omega_1$.

22. En déduire que, pour tout $j \in \{1, \ldots, r\}$, les restrictions de $\omega$ et $\omega_1$ à $F_j \times F_j$ sont des formes symplectiques sur $F_j$.

23. On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est à racines au plus doubles dans $\mathbb{C}$. Montrer que $E$ est la somme directe de sous-espaces de dimension $2$ ou $4$, deux à deux orthogonaux pour $\omega$ et $\omega_1$, et sur lesquels les restrictions de $\omega$ et $\omega_1$ sont des formes symplectiques.

## Partie IV: Structures complexes domptées simultanément

*Dans cette partie, nous allons étudier les liens entre les propositions*

$(\mathcal{F}_1)$ : *Il existe une structure complexe domptée par* $\omega$ *et par* $\omega_1$.

$(\mathcal{F}_2)$ : *Le segment* $[\omega, \omega_1] = \{(1 - \theta)\omega + \theta\omega_1 ;\ \theta \in [0, 1]\}$ *est inclus dans l’ensemble des formes symplectiques sur* $E$.

24. Soit $u$ l’automorphisme de $E$ défini en question 13. On suppose que $(\mathcal{F}_2)$ est satisfaite et que le polynôme caractéristique de $u$ est à racines au plus doubles dans $\mathbb{C}$. Montrer que $(\mathcal{F}_1)$ est satisfaite.

    *Indication: On pourra démontrer puis utiliser le fait que, pour tout* $\theta \in \mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$, *il existe* $\varphi \in \mathbb{R}$ *tel que, pour tout* $X \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, ${}^t X R_\varphi X > 0$ *et* ${}^t X R_{\theta+\varphi} X > 0$.

25. Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble défini en question 13. Montrer que l’ensemble des éléments de $\mathcal{S}$, dont le polynôme caractéristique $P$ est à racines au plus doubles dans $\mathbb{C}$, est dense dans $\mathcal{S}$.

    *Indication: On pourra utiliser* $r(P')$ *où l’application* $r$ *est définie en question 11.*

26. Que peut-on conclure?