Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2018

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2018  FILIÈRE MP

**COMPOSITION DE MATHEMATIQUES – A – (XLCR)**

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Pour tous entiers $l, m \in \mathbb{N}^*$, on notera $\mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant $l$ lignes et $m$ colonnes. Lorsque $l = m$, on notera $\mathcal{M}_l(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées de taille $l \times l$. Par ailleurs :

- Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$, on notera $A^{\mathrm{T}}$ la transposée de $A$.

- On notera $O_{l,m}$ la matrice nulle de $\mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont nuls. Lorsque $l = m$, $O_l$ désignera la matrice nulle et $I_l$ la matrice identité de $\mathcal{M}_l(\mathbb{R})$.

- Pour toute famille $(a_i)_{1 \leqslant i \leqslant l}$ de réels, on notera $\mathrm{diag}(a_1, \ldots, a_l)$ la matrice diagonale de $\mathcal{M}_l(\mathbb{R})$ dont les coefficients diagonaux sont $a_1, a_2, \ldots, a_l$.

- Pour tous $A, B \in \mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$, on notera $\langle A, B \rangle_F = \mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}} B)$ où $\mathrm{tr}(M)$ désigne la trace de $M$ pour toute matrice carrée à coefficients dans $\mathbb{R}$ et $\|A\|_F = \sqrt{\langle A, A \rangle_F}$. On pourra utiliser sans démonstration que $\langle\,,\rangle_F$ définit un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$ et que $\mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$ muni de la norme $\|\ \|_F$ est un espace vectoriel normé de dimension $lm$.

- Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$, on notera $\mathrm{rg}(A)$ le rang de la matrice $A$ c'est-à-dire la dimension de l'image de $A$. On rappelle que $\mathrm{rg}(A^{\mathrm{T}}) = \mathrm{rg}(A)$.

- Pour tout $k \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{M}_{l,m}^k(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{l,m}(\mathbb{R})$ telles que $\mathrm{rg}(A) = k$.

Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on munit $\mathbb{R}^p$ de sa structure euclidienne canonique et pour tout vecteur $x \in \mathbb{R}^p$, on notera $\|x\|_2$ la norme euclidienne de $x$.

## Préliminaire

Soient $n, p, q \in \mathbb{N}^*$ trois entiers strictement positifs. Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$.

1. Donner l'expression de $\langle A, B \rangle_F$ en fonction des coefficients de $A$ et $B$.

2. Soit $u \in \mathbb{R}^p$. Montrer que $\|Au\|_2 \leqslant \|A\|_F \|u\|_2$.

3. Montrer que $\|AC\|_F \leqslant \|A\|_F \|C\|_F$.

## Première partie

On considère trois entiers $n$, $p$ et $k$ strictement positifs tels que $\mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ soit non vide. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$.

4. Montrer que $k \leqslant \min(n, p)$ et que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, $\lambda A \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$.

5. Soient $S = AA^{\mathrm{T}}$ et $\tilde{S} = A^{\mathrm{T}} A$.

   (a) Vérifier que $S$ est une matrice symétrique qui n'admet que des valeurs propres positives puis montrer que $\mathrm{Im}(A) = \mathrm{Im}(S)$.

   (b) Soit $u \in \mathbb{R}^n$ un vecteur propre de $S$ pour une valeur propre $\lambda > 0$ et soit $v = A^{\mathrm{T}} u / \sqrt{\lambda} \in \mathbb{R}^p$. Montrer que $v$ est un vecteur propre de $\tilde{S}$ pour la valeur propre $\lambda$ et $\|v\|_2 = \|u\|_2$.

6. (a) Montrer qu'il existe $U \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R})$ et $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_k) \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$ telles que $S = U\Lambda U^{\mathrm{T}}$ avec $\lambda_1 \geqslant \ldots \geqslant \lambda_k > 0$ et $U^{\mathrm{T}} U = I_k$.

   (b) Montrer que $\mathrm{Im}(S) = \mathrm{Im}(U)$ et que $UU^{\mathrm{T}}$ est la matrice de la projection orthogonale sur $\mathrm{Im}(U)$ dans $\mathbb{R}^n$.

   (c) En posant $V = A^{\mathrm{T}} U D \in \mathcal{M}_{p,k}(\mathbb{R})$ où $D = \mathrm{diag}(1/\sqrt{\lambda_1}, \ldots, 1/\sqrt{\lambda_k}) \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$, montrer que $V^{\mathrm{T}} V = I_k$ et $\tilde{S} = V\Lambda V^{\mathrm{T}}$.

7. En déduire que

$$
A = U\Sigma V^{\mathrm{T}},
$$

avec $\Sigma = \mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_k})$.

## Deuxième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à la meilleure approximation, pour la norme $\|\cdot\|_F$, d'une matrice de rang $k$ par une matrice de rang fixé. Cette partie est indépendante des parties suivantes.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ une matrice de rang $k$ où $n$, $p$ et $k$ sont des entiers strictement positifs, $k \leqslant \min(n, p)$. On considère la décomposition $A = U\Sigma V^{\mathrm{T}}$ construite dans la première partie. Soient $l \in \mathbb{N}^*$ et $\tilde{V} \in \mathcal{M}_{p,l}(\mathbb{R})$ tels que $l < k$ et $\tilde{V}^{\mathrm{T}} \tilde{V} = I_l$. On note $(\tilde{v}_1, \ldots, \tilde{v}_l) \in (\mathbb{R}^p)^l$ la famille des colonnes de $\tilde{V}$ et $(v_1, \ldots, v_k) \in (\mathbb{R}^p)^k$ celle des colonnes de $V$.

8. (a) Vérifier que $\|A - A\tilde{V}\tilde{V}^{\mathrm{T}}\|_F^2 = \|A\|_F^2 - \|A\tilde{V}\tilde{V}^{\mathrm{T}}\|_F^2$.

   (b) Montrer que

$$
\|A\tilde{V}\tilde{V}^{\mathrm{T}}\|_F^2 = \sum_{h=1}^{k} \lambda_h \left( \sum_{m=1}^{l} \langle v_h, \tilde{v}_m \rangle_2^2 \right)
$$

où $\langle\,,\rangle_2$ désigne le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^p$.

9. On suppose ici que $\lambda_l > \lambda_{l+1}$.

   (a) Pour tout $l + 1 \leqslant i \leqslant k$ et tout $1 \leqslant j \leqslant l$, on pose $a_i = \sum_{m=1}^{l} \langle v_i, \tilde{v}_m \rangle_2^2$ et $b_j = 1 - \sum_{m=1}^{l} \langle v_j, \tilde{v}_m \rangle_2^2$.

   Montrer que les $(a_i)$ et $(b_j)$ sont des réels positifs et que l'on a $\sum_{i=l+1}^{k} a_i \leqslant \sum_{j=1}^{l} b_j$.

   (b) Montrer que $\|A\tilde{V}\tilde{V}^{\mathrm{T}}\|_F^2 \leqslant \sum_{h=1}^{l} \lambda_h$ et que l'on a l'égalité si et seulement si on a $\mathrm{Vect}(\{v_1, \ldots, v_l\}) = \mathrm{Im}(\tilde{V})$ où $\mathrm{Vect}(X)$ désigne le sous-espace vectoriel engendré par $X \subset \mathbb{R}^p$.

   (c) Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}^l(\mathbb{R})$. Montrer que $\|M - A\|_F^2 \geqslant \sum_{h=l+1}^{k} \lambda_h$ avec égalité si et seulement si $M = U_* \Sigma_* V_*^{\mathrm{T}}$ où $\Sigma_* = \mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_l})$, $U_*$ (resp. $V_*$) est la matrice formée des $l$ premières colonnes de $U$ (resp. de $V$).

## Troisième partie

Soient $p, k$ deux entiers strictement positifs et $V \in \mathcal{M}_{p,k}(\mathbb{R})$ tel que $V^{\mathrm{T}} V = I_k$. Pour tout $W \in \mathcal{M}_{p,k}(\mathbb{R})$, on note $M_{V,W}$ la matrice de $\mathcal{M}_{p+k}(\mathbb{R})$ définie par blocs par

$$
M_{V,W} = \begin{pmatrix} V & I_p \\ O_k & W^{\mathrm{T}} \end{pmatrix}.
$$

10. On suppose ici que $W^{\mathrm{T}} V$ est une matrice inversible.

    (a) Montrer que $M_{V,W}$ est inversible. On notera son inverse $M_{V,W}^{-1}$.

    (b) Montrer que l'orthogonal $\mathrm{Im}(W)^\perp$ de $\mathrm{Im}(W)$ et $\mathrm{Im}(V)$ sont deux sous-espaces supplémentaires dans $\mathbb{R}^p$ i.e. $\mathrm{Im}(W)^\perp \oplus \mathrm{Im}(V) = \mathbb{R}^p$.

    *Indication : On pourra commencer par vérifier que pour* $z \in \mathbb{R}^p$, *si* $z \in \mathrm{Im}(W)^\perp$ *alors* $W^{\mathrm{T}} z = 0$.

    (c) On définit la matrice

$$
P_{V,W} = (V \quad O_p)\, M_{V,W}^{-1} \begin{pmatrix} I_p \\ O_{k,p} \end{pmatrix}.
$$

    Montrer que $P_{V,W}$ est la matrice de la projection sur $\mathrm{Im}(V)$ parallèlement à $\mathrm{Im}(W)^\perp$.

11. Soit $q \in \mathbb{N}^*$. Montrer que l'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_q(\mathbb{R})$ est un ouvert et que l'application $M \mapsto M^{-1}$ est continue sur cet ouvert.

12. Montrer qu'il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $V$ dans $\mathcal{M}_{p,k}(\mathbb{R})$ tel que $W^{\mathrm{T}} V$ est inversible pour tout $W \in \mathcal{V}$ et l'application $W \mapsto P_{V,W}$ est continue de $\mathcal{V}$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$.

## Quatrième partie

Soient $n$, $p$ et $k$ trois entiers strictement positifs tels que $k \leqslant \min(n, p)$. On définit pour toute la suite l'espace vectoriel

$$
\mathcal{E} = \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_k(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{p,k}(\mathbb{R}).
$$

Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ une matrice de rang $k$ et $(U, \Sigma, V) \in \mathcal{E}$ tels que

$$
A = U\Sigma V^{\mathrm{T}}, \quad U^{\mathrm{T}} U = V^{\mathrm{T}} V = I_k
$$

et $\Sigma$ diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs (l'existence de $(U, \Sigma, V)$ a été montrée dans la première partie).

13. Soient $(\overline{U}, \overline{\Sigma}, \overline{V}) \in \mathcal{E}$. On considère la courbe $\gamma : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ définie par $\gamma(t) = (U + t\overline{U})(\Sigma + t\overline{\Sigma})(V + t\overline{V})^{\mathrm{T}}$.

    (a) Montrer que les fonctions $t \mapsto \mathrm{rg}(U + t\overline{U})$, $t \mapsto \mathrm{rg}(\Sigma + t\overline{\Sigma})$ et $t \mapsto \mathrm{rg}(V + t\overline{V})$ sont constantes au voisinage de $t = 0$.

    (b) En déduire que $\gamma(t) \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ au voisinage de $t = 0$.

    (c) Montrer que $\gamma$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner l'expression de la dérivée $\gamma'(0)$ de $\gamma$ en $0$.

14. On note

$$
T_A = \left\{ \overline{U}\Sigma V^{\mathrm{T}} + U\overline{\Sigma} V^{\mathrm{T}} + U\Sigma \overline{V}^{\mathrm{T}} \mid (\overline{U}, \overline{\Sigma}, \overline{V}) \in \mathcal{E},\ \overline{U}^{\mathrm{T}} U = \overline{V}^{\mathrm{T}} V = O_k \right\}.
$$

    (a) Vérifier que tous les éléments de $T_A$ sont des vecteurs tangents à $\mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ en $A$ et que $T_A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ dont on donnera la dimension.

    (b) Soit $N_A = \left\{ \overline{N} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \mid \overline{N}^{\mathrm{T}} U = O_{p,k},\ \overline{N} V = O_{n,k} \right\}$. Montrer que $N_A$ est le sous-espace orthogonal à $T_A$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ pour le produit scalaire $\langle\,,\rangle_F$.

15. Soit $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. On dit que $\tilde{A}$ vérifie la condition (C) si

$$
(\mathrm{C})\quad \mathrm{Im}(\tilde{A}VV^{\mathrm{T}}) = \mathrm{Im}(\tilde{A}) \quad\text{et}\quad \mathrm{Im}(\tilde{A}^{\mathrm{T}} UU^{\mathrm{T}}) = \mathrm{Im}(\tilde{A}^{\mathrm{T}}).
$$

    (a) Montrer que si $\tilde{A}$ vérifie la condition (C) alors $\mathrm{rg}(\tilde{A}) \leqslant k$ et

$$
\mathrm{Im}(\tilde{A}^{\mathrm{T}} UU^{\mathrm{T}})^\perp = \ker(\tilde{A}).
$$

    (b) Montrer qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que pour tout $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$, la matrice $\tilde{A}$ vérifie la condition (C) dès que $\|\tilde{A} - A\|_F \leqslant \epsilon$.

16. Soit $\varphi : \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ définie par $\varphi(\tilde{A}) = (\tilde{A}VV^{\mathrm{T}}, \tilde{A}^{\mathrm{T}} UU^{\mathrm{T}})$ pour tout $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$.

    (a) Identifier $\ker(\varphi)$ en fonction de $N_A$ introduit à la question (14b).

    (b) On note $\pi_A : \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ la projection orthogonale sur $T_A$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. Montrer que $\varphi = \varphi \circ \pi_A$.

    (c) Soit $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ vérifiant la condition (C). On note $W = \tilde{A}^{\mathrm{T}} UU^{\mathrm{T}}$. Montrer que si $P_{V,W}$ est la matrice de la projection sur $\mathrm{Im}(V)$ parallèlement à $\mathrm{Im}(W)^\perp$ alors

$$
\tilde{A} = \tilde{A}VV^{\mathrm{T}} P_{V,W}.
$$

17. En déduire qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que la restriction de $\pi_A$ à $\mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R}) \cap B(A, \epsilon)$ est injective où $B(A, \epsilon) = \{\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \mid \|\tilde{A} - A\|_F < \epsilon \}$ est la boule ouverte de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ centrée en $A$ et de rayon $\epsilon$.

18. Soit $\rho_A$ la projection orthogonale sur $N_A$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$.

    (a) Montrer pour tout $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, on a $\rho_A(\tilde{A}) = (I_n - UU^{\mathrm{T}})\tilde{A}(I_p - VV^{\mathrm{T}})$.

    (b) Montrer que $\rho_A(AB) = 0$ pour tout $B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$.

    Soit $\tilde{A} \in \mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ vérifiant la condition (C).

    (c) Montrer que si $W = \tilde{A}^{\mathrm{T}} UU^{\mathrm{T}}$

$$
\rho_A(\tilde{A}) = (I_n - UU^{\mathrm{T}})(\tilde{A} - A)VV^{\mathrm{T}}(P_{V,W} - P_{V,V})(I_p - VV^{\mathrm{T}}).
$$

    (d) En déduire que $\|\rho_A(\tilde{A})\|_F \leqslant \sqrt{(n - k)k(p - k)}\ \|\tilde{A} - A\|_F\ \|P_{V,W} - P_{V,V}\|_F$.

19. Montrer que $T_A$ est exactement l'ensemble des vecteurs tangents à $\mathcal{M}_{n,p}^k(\mathbb{R})$ en $A$.