Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2021

ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2021

LUNDI 12 AVRIL 2021

08h00 - 12h00

FILIERE MP — Epreuve n° 1

**MATHEMATIQUES A (XLCR)**

*Durée : 4 heures*

*L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.*

## Sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$

Ce sujet traite de l’étude des cardinaux possibles pour les sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$. Le but est de démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe une borne (ne dépendant que de $n$) sur le cardinal des sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$, d’en expliciter une, et d’en donner une majoration raffinée dans le cas des sous-groupes dont le cardinal est une puissance d’un nombre premier.

Les préliminaires contiennent des résultats pouvant être utiles dans toute la suite du sujet.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. La partie 4 est largement indépendante des autres, mais utilise le résultat de la dernière question de la partie 3.

## Notations

— Les lettres $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ désignent respectivement l’ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres réels, des nombres complexes. La notation $\mathbb{N}^*$ désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls.

— Si $x \in \mathbb{R}$, on note $\lfloor x \rfloor$ la partie entière de $x$, c’est-à-dire le plus grand entier $k$ tel que $k \le x$.

— Si $E$ est un ensemble fini, on note $\operatorname{card}(E)$ son cardinal.

— Si $a, b \in \mathbb{Z}$, on note $b \mid a$ si $b$ divise $a$, et $b \nmid a$ dans le cas contraire.

— Si $a, a', b \in \mathbb{Z}$, on note $a \equiv a' \pmod{b}$ si $b \mid (a' - a)$.

— Si $q \ge 2$ est un nombre premier et $a \in \mathbb{Z}$, on note $v_q(a)$ le plus grand entier $v$ tel que $q^v \mid a$.

— Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathfrak{S}_n$ désigne le groupe des permutations de l’ensemble $\{1, \ldots, n\}$, et $\varepsilon : \mathfrak{S}_n \to \{\pm 1\}$ désigne le morphisme signature.

— Pour $k, n \in \mathbb{N}$, on notera $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ le nombre de parties à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.

— Tous les anneaux considérés dans ce sujet sont unitaires.

— Si $R$ est un anneau commutatif et $n \in \mathbb{N}^*$, on définit $\mathcal{M}_n(R)$ comme l’ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $R$. On pourra utiliser librement le fait que l’addition coefficient par coefficient et la multiplication matricielle munissent $\mathcal{M}_n(R)$ d’une structure d’anneau.

— Si $R$ est un anneau commutatif et $A \in \mathcal{M}_n(R)$, en notant $(a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ les coefficients de $A$, on définit la trace de $A$ par la formule $\operatorname{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$ et le déterminant de $A$ par la formule $\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{1 \le i \le n} a_{i\sigma(i)}$. On pourra utiliser librement le fait que pour $A, B \in \mathcal{M}_n(R)$, $\det(AB) = (\det A)(\det B)$.

— Si $n \in \mathbb{N}^*$ et $R$ est un anneau commutatif, pour tout $A \in \mathcal{M}_n(R)$ on note $\chi_A = \det(XI_n - A)$ le polynôme caractéristique de $A$.

— Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ désigne l’ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{C}$, et $\mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ désigne le groupe multiplicatif des matrices inversibles de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{C}$.

— Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ désigne l’ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$, et $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ désigne le sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ constitué des matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ inversibles dont l’inverse est dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ (on ne demande pas de démontrer que cet ensemble est bien un sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$).

— Si $G$ est un groupe d’élément neutre $e$, on rappelle qu’un élément $g$ de $G$ est dit d’ordre fini s’il existe un entier $d > 0$ tel que $g^d = e$. Dans ce cas, l’ordre de $g$ est le plus petit entier $d > 0$ tel que $g^d = e$.

— Si $z \in \mathbb{C}$ et $d \in \mathbb{N}^*$, on dit que $z$ est une racine $d$-ième de l’unité si $z^d = 1$. S’il existe $d \in \mathbb{N}^*$ tel que $z \in \mathbb{C}$ soit une racine $d$-ième de l’unité, on dira simplement que $z$ est une racine de l’unité.

## Préliminaires

**1.** Soit $z \in \mathbb{C}$ une racine de l’unité. Justifier que $|z| = 1$.

**2.** Soit $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$, et soit $d \in \mathbb{N}^*$. On suppose que $g$ est d’ordre $d$. Démontrer que $g$ est diagonalisable, et que toutes ses valeurs propres sont des racines $d$-ièmes de l’unité.

**3.** Soit $m \in \mathbb{N}$, et soit $q \in \mathbb{N}^*$.

**(a)** Démontrer que $\operatorname{card}(\{1 \le k \le m \text{ tels que } q \mid k\}) = \left\lfloor \dfrac{m}{q} \right\rfloor$.

**(b)** En déduire que si $q$ est premier, $\displaystyle v_q(m!) = \sum_{i=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{m}{q^i} \right\rfloor$.

## 1. Éléments d’ordre fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$

Le but de cette partie est de démontrer que l’ensemble des ordres possibles pour les éléments d’ordre fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ est fini.

On commence par détailler le cas $n = 2$. Soit $g \in \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z})$. On suppose que $g$ est d’ordre fini $d \in \mathbb{N}^*$.

**1.** Démontrer que $|\operatorname{Tr}(g)| \le 2$.

**2.** On suppose que les valeurs propres de $g$ sont réelles, déterminer les valeurs possibles pour $d$.

**3.** On suppose maintenant que $g$ n’a pas de valeurs propres réelles. Démontrer que le polynôme caractéristique de $g$ est l’un des polynômes suivants : $X^2 + 1$, $X^2 + X + 1$, $X^2 - X + 1$.

**4.** En déduire que $d \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

On traite maintenant le cas de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ où $n \ge 1$ est un entier quelconque.

**5.** Soit $P = X^n + \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i \in \mathbb{C}[X]$ unitaire de degré $n$. On note $z_1, \ldots, z_n$ les racines de $P$ (comptées avec multiplicité) et $\alpha = \max_{1 \le i \le n} |z_i|$. Démontrer que pour tout $0 \le i \le n - 1$, $\displaystyle |a_i| \le \binom{n}{i} \alpha^{n-i}$.

**6.** Montrer que $\{\chi_g \text{ tels que } g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \text{ est d’ordre fini}\}$ est fini.

**7.** En déduire que $\{d \in \mathbb{N} \mid \exists g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \text{ d’ordre } d\}$ est fini.

## 2. Sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Le but de cette partie est de majorer le cardinal des sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ par une quantité ne dépendant que de $n$.

**1.** Soit $m \ge 3$ un entier. Soit $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$. On suppose que $g$ est d’ordre fini et que $g - I_n$ a tous ses coefficients divisibles par $m$. Soit $A = (g - I_n)/m$.

**(a)** Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$, et que pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$, on a $|\lambda| < 1$.

**(b)** En déduire qu’il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $A^k = 0$.

**(c)** Conclure que $g = I_n$.

**2.** Soit $G$ est un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$, et soit $m \ge 3$ un entier.

**(a)** Démontrer que l’application $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ de réduction modulo $m$ des coefficients induit une application injective $G \to \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$.

**(b)** En déduire que $\operatorname{card}(G) \le 3^{n^2}$.

## 3. Traces des éléments d’un $p$-sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$

Soit $p$ un nombre premier et $r \ge 1$ un entier. Dans cette partie, on suppose que $G$ est un sous-groupe de cardinal $p^r$ de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$. Le but de cette partie est de déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour les traces des éléments de $G$.

**1.** Soit $\ell$ un nombre premier.

**(a)** Démontrer que pour tout $1 \le k \le \ell - 1$, l’entier $\displaystyle \binom{\ell}{k}$ est multiple de $\ell$.

**(b)** Soit $R$ un anneau. On note $\ell R = \{\ell x,\ x \in R\}$. Démontrer que pour tous $x, y \in R$ tels que $xy = yx$, on a $(x + y)^\ell - (x^\ell + y^\ell) \in \ell R$.

**2.** Soit $R$ un anneau commutatif, et soit $I$ un idéal de $R$. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in \mathcal{M}_n(R)$. On suppose que tous les coefficients de $B$ sont dans l’idéal $I$. Démontrer que $\det(A + B) - \det A \in I$.

**3.** Soit $\ell \in \mathbb{N}$ un nombre premier. Démontrer que pour tout polynôme $P \in \mathbb{Z}[X]$, on a :

$$P(X^\ell) - P(X)^\ell \in \ell\mathbb{Z}[X].$$

**4.** Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$, et soit $\ell \in \mathbb{N}$ un nombre premier.

**(a)** Justifier qu’il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}[X])$ telle que $(XI_n - M)^\ell - (X^\ell I - M^\ell) = \ell A$.

**(b)** Démontrer que $\chi_{M^\ell}(X^\ell) - \chi_M(X)^\ell \in \ell\mathbb{Z}[X]$

**(c)** En déduire que $\operatorname{Tr}(M^\ell) \equiv \operatorname{Tr}(M) \pmod{\ell}$.

**5.** Soit $g \in G$. Démontrer que $\operatorname{Tr}(g) \equiv n \pmod{p}$.

**6.** Soit $g \in G$ et soit $\ell$ un nombre premier. On suppose que $\ell > 2n$. Démontrer que $\operatorname{Tr}(g^\ell) = \operatorname{Tr}(g)$.

**7.** Soit $k \in \mathbb{N}$ non divisible par $p$. On note

$$m = k + p^r \prod_{\substack{\ell \text{ premier} \\ \ell \le 2n \\ \ell \text{ ne divise pas } k}} \ell.$$

**(a)** Justifier que tous les facteurs premiers de $m$ sont strictement supérieurs à $2n$.

**(b)** En déduire que pour tout $g \in G$, $\operatorname{Tr}(g^k) = \operatorname{Tr}(g)$.

**8.** On note $J_r = \{1 \le k \le p^r - 1 \text{ tels que } p \nmid k\}$.

**(a)** Démontrer que $\displaystyle J_r = \bigcup_{0 \le s \le p^{r-1}-1} \{ps + t \text{ tels que } 1 \le t \le p - 1\}$.

**(b)** Soit $\zeta \in \mathbb{C}$ tel que $\zeta^{p^r} = 1$. Montrer que :

$$\sum_{j \in J_r} \zeta^j =
\begin{cases}
p^{r-1}(p - 1) & \text{si } \zeta = 1 \\
-p^{r-1} & \text{si } \zeta \text{ est d’ordre } p. \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$$

**9.** Soit $g \in G$. On note $n_0$ la multiplicité de $1$ comme racine de $\chi_g$, et $n_1$ le nombre de racines $\zeta$ de $\chi_g$ d’ordre $p$ (comptées avec multiplicité). Démontrer que $\displaystyle \operatorname{Tr}(g) = n_0 - \frac{n_1}{p - 1}$.

**10.** On note $\displaystyle a = \left\lfloor \frac{n}{p - 1} \right\rfloor$. Soit $g \in G$, démontrer que $\operatorname{Tr}(g) \in \{n - pv \mid 0 \le v \le a\}$.

## 4. Cardinaux des $p$-sous-groupes de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$

Soit $G \subset \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ un sous-groupe fini. Dans cette partie, on démontre que pour tout $s \in \mathbb{N}$, $\sum_{g \in G} \operatorname{Tr}(g)^s$ est un entier divisible par $\operatorname{card}(G)$. On en déduit une borne uniforme sur le cardinal des sous-groupes finis de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ dont le cardinal est une puissance d’un nombre premier.

**1.** Soit $G \subset \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ un sous-groupe fini. Soit $\displaystyle f = \frac{1}{\operatorname{card}(G)} \sum_{g \in G} g \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

**(a)** Démontrer que $f$ est un projecteur sur $\{x \in \mathbb{C}^n \mid \forall g \in G,\ g(x) = x\}$.

**(b)** En déduire que $\sum_{g \in G} \operatorname{Tr}(g)$ est un entier divisible par $\operatorname{card}(G)$.

**2.** Soient $k, n \in \mathbb{N}^*$. Pour $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ et $h \in \mathbf{GL}_k(\mathbb{C})$, on note $g \otimes h$ la matrice par blocs, de taille $nk \times nk$, définie par :

$$g \otimes h = \begin{pmatrix} g_{11} h & g_{12} h & \cdots & g_{1n} h \\ g_{21} h & \cdots & \cdots & g_{2n} h \\ \vdots & & & \vdots \\ g_{n1} h & \cdots & \cdots & g_{nn} h \end{pmatrix}.$$

Justifier les affirmations suivantes :

**(i)** si $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ et $h \in \mathbf{GL}_k(\mathbb{C})$, $\operatorname{Tr}(g \otimes h) = \operatorname{Tr}(g)\operatorname{Tr}(h)$.

**(ii)** si $g, g' \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ et $h, h' \in \mathbf{GL}_k(\mathbb{C})$, $(g \otimes h)(g' \otimes h') = gg' \otimes hh'$.

**(iii)** si $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$ et $h \in \mathbf{GL}_k(\mathbb{C})$, $g \otimes h \in \mathbf{GL}_{nk}(\mathbb{C})$ et $(g \otimes h)^{-1} = g^{-1} \otimes h^{-1}$.

**3.** Soient $\Gamma, \Gamma'$ des groupes finis et $\phi : \Gamma \to \Gamma'$ un morphisme de groupes. Soit $H = \ker \phi$.

**(a)** Soit $\gamma' \in \Gamma'$. Démontrer que $\phi^{-1}(\{\gamma'\})$ est vide ou de la forme $\gamma H = \{\gamma h \mid h \in H\}$ pour un certain $\gamma \in \Gamma$.

**(b)** Démontrer que $\operatorname{card}(\Gamma) = \operatorname{card}(\phi(\Gamma))\operatorname{card}(H)$.

**4.** Pour $g \in \mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$, on définit par récurrence sur $s$ : $g^{(1)} = g$ et $g^{(s+1)} = g^{(s)} \otimes g$. Soit $s \ge 1$, on définit l’application :

$$\phi_s : \mathbf{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbf{GL}_{n^s}(\mathbb{C}), \qquad g \mapsto g^{(s)}.$$

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{C})$.

**(a)** Justifier que $\phi_s$ est un morphisme de groupes et démontrer que :

$$\sum_{g \in G} \operatorname{Tr}(g)^s = \operatorname{card}(G \cap \ker \phi_s) \sum_{g' \in \phi_s(G)} \operatorname{Tr}(g').$$

**(b)** En déduire que $\displaystyle \sum_{g \in G} \operatorname{Tr}(g)^s$ est un entier divisible par $\operatorname{card}(G)$.

Soit $p$ un nombre premier et soit $r \in \mathbb{N}^*$. Soit $G$ un sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(\mathbb{Z})$ de cardinal $p^r$.

**5.** On rappelle qu’on a noté $\displaystyle a = \left\lfloor \frac{n}{p - 1} \right\rfloor$. Pour $1 \le j \le a$, on note $\tau_j = n - pj$, et $\displaystyle P(X) = \prod_{1 \le j \le a} (X - \tau_j)$.

**(a)** En considérant $\displaystyle \sum_{g \in G} P(\operatorname{Tr}(g))$, démontrer que $\operatorname{card}(G)$ divise $P(n)$.

**(b)** En déduire que $r \le a + v_p(a!)$.

**6. (a)** Démontrer que $\displaystyle r \le \frac{pn}{(p - 1)^2}$.

**(b)** En déduire que $\operatorname{card}(G) \le 4^n$.