Maths A

# Concours X-ENS — Composition de Mathématiques A — Filière MP (XLSR) — 2022

## En-tête

**Thème.**

Le problème construit et étudie la *grassmannienne orientée* $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ des sous-espaces orientés de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$, via le *plongement de Plücker* dans la sphère unité de l'espace $A_p(E,\mathbb R)$ des formes $p$-linéaires alternées.

**Fil directeur.** La Partie I est une étude géométrique fine de deux sous-espaces de même dimension (angles principaux, matrices de Gram).

La Partie II introduit les applications $\Omega_p(e)=\det(\mathrm{Gram}(e,\cdot))$, la notion de $p$-volume et une inégalité de Cauchy–Schwarz généralisée.

La Partie III munit $A_p(E,\mathbb R)$ d'une structure euclidienne canonique. La Partie IV assemble ce matériel pour définir $\Psi(V,C)$ et démontrer compacité et connexité par arcs de l'image.

## Carte stratégique

- **Statistiques (rapport).**

Moyenne $8{,}06/20$ (français), écart-type $3{,}70$ ; une centaine de copies au-dessus de $14$, douze copies à $20$.

- **Barème implicite.** Parties I et II « largement traitées » et donc décisives pour atteindre la moyenne ; début de III accessible ; IV « peu touchée », très discriminante.
- **Ordre conseillé.** Traiter linéairement I puis II (chaque question réutilise la précédente), viser 5–8 (mécaniques), 10–11 en III, puis récolter 13b–14a en IV.
- **Questions discriminantes.** 3b, 8b, 9b (rédaction), puis 13a, 14b, 15 (réservées aux meilleures copies).
- **Pièges transversaux (rapport).**

Ne pas confondre $p$ et $d=\dim E$ ; ne pas remplacer $E$ par $\mathbb R^n$ ; toujours justifier qu'une borne supérieure est *atteinte* ; citer nommément les questions réutilisées.

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# Partie I

Dans toute la partie, $V,V'$ sont deux sous-espaces de $E$ de dimension $p\ge 1$.

## Question 1.a

**Stratégie.** On identifie l'ensemble sur lequel porte le supremum à un produit de sphères unités (compactes en dimension finie) et on invoque la continuité du produit scalaire pour appliquer le théorème des bornes atteintes.

**Rédaction.**

Posons $S=\{(a,a')\in V\times V' : \|a\|=\|a'\|=1\}$ et $\varphi:(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$.

Les sphères unités $S_V=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S_{V'}$ sont fermées et bornées dans les espaces de dimension finie $V,V'$, donc compactes ; $S=S_V\times S_{V'}$ est compact.

L'application $\varphi$ est continue (le produit scalaire est bilinéaire sur un espace de dimension finie, donc continu).

D'après le théorème des bornes atteintes, $\varphi$ atteint sa borne supérieure sur le compact $S$ : il existe $(u_1,u_1')\in S$ tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle : (a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Abordée dans toutes les copies ». Le rapport pointe l'erreur exacte à éviter : « certaines copies se sont contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte ». La compacité et la continuité doivent apparaître explicitement.

## Question 1.b

**Stratégie.**

On reproduit 1.a par récurrence dans des sous-espaces de plus en plus contraints : à l'étape $k$, on travaille dans $V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$ et son analogue pour $V'$, non réduits à $\{0\}$ tant que $k\le p$.

**Rédaction.**

On construit $(u_k,u_k')$ par récurrence sur $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$.

Pour $k=1$, on prend le couple donné par 1.a.

Supposons construites deux familles orthonormées $(u_1,\dots,u_{k-1})$ de $V$ et $(u_1',\dots,u_{k-1}')$ de $V'$ vérifiant (i)–(ii) jusqu'au rang $k-1$.

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Comme les $u_l$ (resp. $u_l'$) sont orthonormés dans $V$ (resp. $V'$), $\dim V_k=p-(k-1)\ge 1$ et de même pour $V_k'$.

Les sphères unités de $V_k,V_k'$ sont compactes ; par le même argument qu'en 1.a, il existe $(u_k,u_k')$ de norme $1$, $u_k\in V_k$, $u_k'\in V_k'$, réalisant $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1,\ \langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0\ \forall l<k\}.$$
En effet, la condition « $\langle a,u_l\rangle=0$ pour tout $l<k$ » équivaut à $a\in V_k$, et de même $a'\in V_k'$.

Par construction $u_k\perp u_l$ pour $l<k$ et $\|u_k\|=1$, donc $(u_1,\dots,u_k)$ reste orthonormée ; idem pour $u'$.

Ceci achève la récurrence : les familles obtenues sont orthonormées et vérifient (i)–(ii). $\square$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport signale des rédactions « trop rapides ou bâclées » : il fallait « préciser sur quels sous-espaces vectoriels on le faisait ». L'égalité entre les contraintes d'orthogonalité et l'appartenance à $V_k,V_k'$ est le point à ne pas escamoter.

*On fixe deux telles familles $u$ et $u'$ dans la suite de la partie I.*

## Question 2

**Stratégie.**

Si $V\cap V'\ne\{0\}$, un vecteur unitaire commun bien choisi rend le supremum égal à $1$ ; le cas d'égalité de Cauchy–Schwarz force alors $u_k=u_k'$.

On procède par récurrence.

**Rédaction.** Notons $m=\dim(V\cap V')\ge 1$.

Pour tous $(a,a')$ admissibles, $|\langle a,a'\rangle|\le\|a\|\,\|a'\|=1$ par Cauchy–Schwarz ; donc chaque supremum est $\le 1$.

Montrons par récurrence sur $k\in\llbracket 1,m\rrbracket$ que $u_k=u_k'$.

Supposons $u_l=u_l'$ pour tout $l<k$ (hypothèse vide si $k=1$) ; alors $u_l=u_l'\in V\cap V'$.

Le sous-espace $$W=(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$$ vérifie $\dim W\ge m-(k-1)\ge 1$.

Soit $w\in W$ unitaire.

Alors $w\in V$, $w\in V'$, $\langle w,u_l\rangle=0$ et $\langle w,u_l'\rangle=\langle w,u_l\rangle=0$ pour $l<k$ : le couple $(w,w)$ est admissible dans le supremum définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$.

Donc $$1=\langle w,w\rangle\le \langle u_k,u_k'\rangle\le 1,$$ d'où $\langle u_k,u_k'\rangle=1$.

Comme $\|u_k\|=\|u_k'\|=1$, le cas d'égalité de Cauchy–Schwarz (avec produit scalaire positif) impose $u_k=u_k'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Première question où bon nombre de candidats n'ont pas fourni de réponse ». Les trois ingrédients attendus par le rapport figurent : récurrence, égalité de Cauchy–Schwarz, et justification que le maximum vaut $1$.

## Question 3.a

**Stratégie.** La famille est déjà orthonormée (donc libre) ; il suffit de compter.

**Rédaction.** $u=(u_1,\dots,u_p)$ est orthonormée (Question 1.b), donc libre ; c'est une famille libre de $p$ vecteurs de $V$, qui est de dimension $p$.

C'est donc une base orthonormée de $V$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Beaucoup plus facile » : seul le décompte du cardinal était à justifier.

## Question 3.b

**Stratégie.**

Pour $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, le chemin $t\mapsto u_k(t)$ reste admissible dans le supremum définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$ ; la fonction $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ admet donc un maximum en $t=0$, et l'annulation de sa dérivée donne l'orthogonalité voulue.

**Rédaction.**

Fixons $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$.

Comme $(u_k,u_l)$ est orthonormée, $\|u_k+tu_l\|=\sqrt{1+t^2}>0$, et $$u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V,\qquad \|u_k(t)\|=1.$$
De plus $u_k,u_l\perp u_1,\dots,u_{k-1}$ (famille orthonormée, $l\ge k+1$), donc $u_k(t)\perp u_1,\dots,u_{k-1}$.

Ainsi $u_k(t)$ satisfait les contraintes du supremum définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$ (avec $a'=u_k'$, lui aussi admissible).

Par conséquent, pour tout $t$, $$\phi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle\le \langle u_k,u_k'\rangle=\phi(0).$$
La fonction $\phi$ atteint donc son maximum en $t=0$, point intérieur de $\mathbb R$.

Or, avec $c_0=\langle u_k,u_k'\rangle$ et $c_1=\langle u_l,u_k'\rangle$, $$\phi(t)=\frac{c_0+t\,c_1}{\sqrt{1+t^2}},\qquad \phi'(t)=\frac{c_1}{\sqrt{1+t^2}}-\frac{t(c_0+tc_1)}{(1+t^2)^{3/2}},$$ d'où $\phi'(0)=c_1$. $\phi$ étant dérivable et maximale en $0$, $\phi'(0)=0$, soit $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Ceci vaut pour tout $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, donc $$u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Question difficile traitée correctement dans peu de copies ». Le rapport observe que « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée, sans avoir réfléchi à l'utilisation qui pourrait en être faite » : le cœur est l'argument d'extremum (maximum atteint car le chemin reste admissible), la dérivée n'est qu'un outil.

## Question 3.c

**Stratégie.**

On combine l'orthonormalité de $u$ et 3.b appliquée aux $u_l'$.

**Rédaction.** Soit $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$.

Comme $u$ est orthonormée, $u_{k+1}\perp u_l$ pour $l\le k$.

Par ailleurs, pour $l\le k$, la Question 3.b donne $u_l'\in\mathrm{Vect}(u_{l+1},\dots,u_p)^\perp$ ; or $k+1\in\llbracket l+1,p\rrbracket$, donc $\langle u_l',u_{k+1}\rangle=0$.

Ainsi $u_{k+1}\perp u_l$ et $u_{k+1}\perp u_l'$ pour tout $l\le k$, c'est-à-dire $$u_{k+1}\in\bigl(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\bigr)^\perp.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente. »

## Question 3.d

**Stratégie.**

On vérifie l'orthogonalité des quatre types de produits scalaires entre $W_j$ et $W_k$ ($j<k$), en utilisant 3.b et son analogue obtenu par symétrie des rôles de $V$ et $V'$.

**Rédaction.** Le problème est symétrique en $(V,u)\leftrightarrow(V',u')$ : les conditions (i)–(ii) et donc toute la construction sont inchangées par cet échange.

La Question 3.b donne alors aussi $$u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^\perp\quad(k\le p-1).$$
Soient $j<k$.

Vérifions $W_j\perp W_k$ avec $W_j=\mathrm{Vect}(u_j,u_j')$, $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ :

- $\langle u_j,u_k\rangle=0$ et $\langle u_j',u_k'\rangle=0$ ($u,u'$ orthonormées) ;

- $\langle u_j',u_k\rangle=0$ : d'après 3.b, $u_j'\perp\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)$ et $k>j$ ;

- $\langle u_j,u_k'\rangle=0$ : d'après la version symétrique ci-dessus, $u_j\perp\mathrm{Vect}(u_{j+1}',\dots,u_p')$ et $k>j$.

Tout vecteur de $W_j$ est donc orthogonal à tout vecteur de $W_k$ : les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux. $\square$

[Figure : les plans (ou droites) $W_1,\dots,W_p$ deux à deux orthogonaux ; dans $W_k$, l'angle $\theta_k$ entre $u_k$ et $u_k'$.]

**Commentaire du correcteur.** « Souvent traitée, mais parfois avec une rédaction insuffisante » : le rapport attend qu'on invoque « la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$ », explicitée ici.

## Question 4.a

**Stratégie.**

On montre $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par symétrie $a'\mapsto -a'$, majoration par Cauchy–Schwarz) et la décroissance en $k$ (les contraintes s'accumulent).

**Rédaction.**

Pour chaque $k$, le supremum est atteint sur un ensemble stable par $(a,a')\mapsto(a,-a')$ (les contraintes portent sur $\langle a',u_l'\rangle=0$, préservées par ce changement de signe) ; comme $\langle a,-a'\rangle=-\langle a,a'\rangle$, le supremum est $\ge 0$.

Par Cauchy–Schwarz sur des vecteurs unitaires, il est $\le 1$. Donc $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$.

De plus, l'ensemble admissible au rang $k+1$ est inclus dans celui du rang $k$ (une contrainte d'orthogonalité de plus), donc $\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle$ : la suite $\bigl(\langle u_k,u_k'\rangle\bigr)_k$ est décroissante à valeurs dans $[0,1]$.

Posons $\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,\pi/2]$ ; $\arccos$ étant décroissante, $\theta_1\le\cdots\le\theta_p$, et $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport insiste : « justifier que les produits scalaires étaient positifs, en utilisant la définition des familles $u_k,u_k'$ » et rappelle « une erreur classique : oublier que la propriété était définie sur des vecteurs de norme 1 ».

## Question 4.b

**Stratégie.**

L'orthogonalité des $W_k$ (3.d) rend $\mathrm{Gram}(u,u')$ diagonale.

**Rédaction.**

Pour $i\ne j$, $u_i\in W_i$ et $u_j'\in W_j$ avec $W_i\perp W_j$ (Question 3.d), donc $\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Pour $i=j$, $\langle u_i,u_i'\rangle=\cos\theta_i$.

Ainsi $\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p)$ et $$\det\bigl(\mathrm{Gram}(u,u')\bigr)=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Facile souvent bien traitée. »

## Question 4.c

**Stratégie.** Produit de réels de $[0,1]$ ; le cas d'égalité renvoie à Cauchy–Schwarz et à la Question 2.

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

Cas d'égalité : $\prod_k\cos\theta_k=1$ avec $0\le\cos\theta_k\le 1$ équivaut à $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, i.e. $\langle u_k,u_k'\rangle=1$, i.e. (égalité de Cauchy–Schwarz, vecteurs unitaires) $u_k=u_k'$ pour tout $k$.

Alors $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$ (Question 3.a et son analogue pour $u'$).

Réciproquement, si $V=V'$ alors $\dim(V\cap V')=p$ et la Question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k$, d'où $\det=1$.

En conclusion, l'égalité a lieu **si et seulement si $V=V'$**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Assez souvent bien traitée » ; le rapport renvoie à la condition d'égalité de Cauchy–Schwarz.

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# Partie II

Pour $e\in E^p$, $\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R$, $\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))$.

## Question 5.a

**Stratégie.** Le produit mixte est le déterminant des colonnes ; on invoque ses propriétés en veillant à la convention de signe de l'énoncé.

**Rédaction.**

Pour $(x_1,\dots,x_p)\in(\mathbb R^p)^p$, $[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$.

Le déterminant est linéaire en chaque colonne : l'application $y\mapsto[x_1,\dots,x_{i-1},y,x_{i+1},\dots,x_p]$ est linéaire.

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, en notant $x\cdot\sigma=(x_{\sigma(i)})_i$, la matrice $(x_{\sigma(1)}|\cdots|x_{\sigma(p)})$ se déduit de $(x_1|\cdots|x_p)$ en permutant les colonnes selon $\sigma$, donc $$[x\cdot\sigma]=\det(x_{\sigma(1)}|\cdots|x_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\det(x_1|\cdots|x_p)=\epsilon(\sigma)[x_1,\dots,x_p].$$
Donc $(x_1,\dots,x_p)\mapsto[x_1,\dots,x_p]\in A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée par quasiment toutes les copies mais pas toujours soigneusement ». Le rapport prévient : si l'on n'utilise pas l'interprétation par le déterminant, il faut manier avec soin l'action de $\sigma$ dans la formule du produit mixte, source « d'erreurs récurrentes ».

## Question 5.b

**Stratégie.** $g$ est la composée de $[\,\cdot\,]$ (multilinéaire alternée) avec $f$ appliquée composante par composante ; la linéarité de $f$ transfère les propriétés.

**Rédaction.**

Soit $f:F\to\mathbb R^p$ linéaire et $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$.

À $u_1,\dots,u_{i-1},u_{i+1},\dots$ fixés, l'application $y\mapsto g(\dots,y,\dots)=[\dots,f(y),\dots]$ est la composée de $f$ (linéaire) et de $z\mapsto[\dots,z,\dots]$ (linéaire d'après 5.a) : elle est linéaire.

Donc $g$ est $p$-linéaire.

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, en posant $y_i=f(u_i)$, $$g(u\cdot\sigma)=[f(u_{\sigma(1)}),\dots,f(u_{\sigma(p)})]=[y\cdot\sigma]\overset{5.a}{=}\epsilon(\sigma)[y_1,\dots,y_p]=\epsilon(\sigma)g(u).$$
Donc $g\in A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport demande de « faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » : c'est dans le transfert de linéarité coordonnée par coordonnée.

## Question 6.a

**Stratégie.** $\Omega_p(e)$ est exactement le $g$ de 5.b pour une application linéaire explicite $f$.

**Rédaction.**

Fixons $e\in E^p$ et posons $f:E\to\mathbb R^p$, $f(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$.

Par bilinéarité du produit scalaire, $f$ est linéaire.

La $j$-ème colonne de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $(\langle e_i,u_j\rangle)_i=f(u_j)$, donc $$\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=[f(u_1),\dots,f(u_p)].$$
D'après la Question 5.b, $\Omega_p(e)\in A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.**

Le rapport autorise cette voie (« utiliser la précédente à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ »).

## Question 6.b

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(u,e)$ est la transposée de $\mathrm{Gram}(e,u)$.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^t\mathrm{Gram}(e,u)$.

Comme $\det({}^tA)=\det(A)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det(\mathrm{Gram}(u,e))=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport avertit : « la symétrie du produit scalaire n'était en rien suffisante » ; c'est l'égalité $\det(A)=\det({}^tA)$ qui conclut.

## Question 6.c

**Stratégie.** On transporte les propriétés de 6.a sur la variable $e$ grâce à l'identité de symétrie 6.b.

**Rédaction.** L'espace $A_p(E,\mathbb R)$ est muni des opérations point par point.

Pour montrer $\Omega_p\in A_p(E,A_p(E,\mathbb R))$, il suffit de tester ses propriétés après évaluation en un $u\in E^p$ arbitraire.

*Multilinéarité.*

Pour tout $u$, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(e)$ est $p$-linéaire en $e$ (Question 6.a appliquée à $\Omega_p(u)$).

Donc $e\mapsto\Omega_p(e)$ est $p$-linéaire à valeurs dans $A_p(E,\mathbb R)$.

*Alternance.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ et tout $u$, $$\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)\overset{6.a}{=}\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(u)(e)\overset{6.b}{=}\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(e)(u).$$
Comme ceci vaut pour tout $u$, $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p\in A_p(E,A_p(E,\mathbb R))$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** La difficulté, selon le rapport, était de « poser clairement le problème » (une application à valeurs dans un espace de formes alternées), puis d'enchaîner 6.a et 6.b.

## Question 7.a

**Stratégie.**

On développe $\Omega_p(e')$ par multilinéarité–alternance (Question 6.c), sans jamais supposer $M$ inversible ni introduire de matrice de passage.

**Rédaction.**

Avec $e_i'=\sum_{j=1}^p M_{ij}e_j$, la multilinéarité de $\Omega_p$ (Question 6.c) donne $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^p M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Par alternance, les termes avec un indice répété sont nuls.

Les termes restants correspondent aux $(j_1,\dots,j_p)=(\sigma(1),\dots,\sigma(p))$, $\sigma\in\mathfrak S_p$, et $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

D'où
$$\Omega_p(e')=\Bigl(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p M_{i\sigma(i)}\Bigr)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport insiste : « la matrice pas nécessairement inversible rendait les arguments de matrice de passage délicats, et possiblement faux. On pouvait répondre en utilisant le caractère alterné du produit mixte » — exactement la voie suivie.

## Question 7.b

**Stratégie.**

Si $e$ est liée, l'alternance annule $\Omega_p(e)$ ; si $e$ est libre, sa matrice de Gram est définie positive donc $\Omega_p(e)(e)>0$.

**Rédaction.**

Si $e$ est liée, un vecteur est combinaison des autres, disons $e_p=\sum_{j<p}\lambda_j e_j$.

Par multilinéarité–alternance (6.c), $\Omega_p(e)=\sum_{j<p}\lambda_j\Omega_p(e_1,\dots,e_{p-1},e_j)=0$ (argument répété dans chaque terme). Donc $\Omega_p(e)=0$.

Si $e$ est libre, pour $x=(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb R^p$, $${}^tx\,\mathrm{Gram}(e,e)\,x=\sum_{i,j}x_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\Bigl\|\sum_i x_ie_i\Bigr\|^2\ge 0,$$ nul seulement si $\sum_i x_ie_i=0$, i.e. $x=0$ ($e$ libre).

Donc $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique définie positive, ses valeurs propres sont $>0$ (théorème spectral), et $\Omega_p(e)(e)=\det(\mathrm{Gram}(e,e))>0$.

En particulier $\Omega_p(e)\ne 0$.

Conclusion : $\Omega_p(e)\ne 0\iff e$ est libre. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée dans une bonne moitié des copies ».

Attention, dit le rapport, « $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$ » : on ne travaille pas dans une base de $E$.

L'argument de Gram défini positif est intrinsèque.

## Question 7.c

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive.

**Rédaction.**

Comme ci-dessus, ${}^tx\,\mathrm{Gram}(e,e)\,x=\|\sum_i x_ie_i\|^2\ge0$ : $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive, ses valeurs propres sont $\ge0$, donc $\Omega_p(e)(e)=\det(\mathrm{Gram}(e,e))=\prod(\text{v.p.})\ge0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Régulièrement bien traitée. »

*On pose $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=\det(\mathrm{Gram}(e,e))^{1/2}$.*

## Question 8.a

**Stratégie.** Gram d'une famille orthonormée $=I_p$.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\det(I_p)^{1/2}=1$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très facile », rappelant 4.b.

## Question 8.b

**Stratégie.**

On décompose $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$.

La transformation $e\to(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\dots,e_p)$ a un déterminant $1$ (donc conserve $\mathrm{vol}_p$), et sur la nouvelle famille la matrice de Gram est diagonale par blocs.

**Rédaction.**

Notons $g=\mathrm{pr}(e_1)$ et $e_1=g+w$ avec $w\in W:=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ et $g\perp W$.

Écrivons $w=\sum_{j\ge2}\lambda_j e_j$, et posons $\tilde e=(g,e_2,\dots,e_p)$.

Alors $\tilde e=Me$ avec $M$ égale à $I_p$ sauf sa première ligne $(1,-\lambda_2,\dots,-\lambda_p)$ ; $M$ est triangulaire à diagonale unité, donc $\det M=1$.

De $\tilde e_i=\sum_j M_{ij}e_j$ on tire $\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM$, d'où $$\mathrm{vol}_p(\tilde e)^2=\det(M)^2\det(\mathrm{Gram}(e,e))=\mathrm{vol}_p(e)^2.$$
Par ailleurs $g\perp e_j$ pour $j\ge2$ et $\langle g,g\rangle=\|g\|^2$, donc $$\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=\begin{pmatrix}\|g\|^2 & 0\\[2pt] 0 & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},$$ d'où $\mathrm{vol}_p(\tilde e)^2=\|g\|^2\det(\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p))=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)^2$.

En combinant :
$$\mathrm{vol}_p(e)=\mathrm{vol}_p(\tilde e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée ».

Le rapport attend précisément la décomposition du projeté et l'usage de la linéarité–alternance (ici via $\det M=1$ et la relation $\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM$).

## Question 8.c

**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ via 8.b, avec $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ (Pythagore).

**Rédaction.** Récurrence sur $p$.

Pour $p=1$, $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$, égalité triviale.

Soit $p\ge2$, la propriété étant vraie au rang $p-1$.

Par 8.b et Pythagore ($\|e_1\|^2=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2+\|e_1-\mathrm{pr}(e_1)\|^2$ donne $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$), $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|,$$ la sous-famille $e_2^p$ étant libre.

Cas d'égalité : elle exige $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$, i.e. $e_1=\mathrm{pr}(e_1)\perp\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, donc $e_1\perp e_j$ ($j\ge2$) ; et $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|$, i.e. (hypothèse de récurrence) $e_2,\dots,e_p$ orthogonaux deux à deux.

Ces deux conditions équivalent à : $e$ orthogonale deux à deux.

Réciproquement, si $e$ est orthogonale deux à deux, $\mathrm{Gram}(e,e)$ est diagonale et $\mathrm{vol}_p(e)=\prod\|e_i\|$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Récurrence » avec cas d'égalité « soigneusement précisés » : c'est l'exigence du rapport.

## Question 9.a

**Stratégie.**

Dans une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$, $\mathrm{Gram}(e,e)={}^tP\,P$.

**Rédaction.**

Avec $e_j=\sum_i (P_b^e)_{ij}b_i$ et $\langle b_i,b_l\rangle=\delta_{il}$, $$\mathrm{Gram}(e,e)_{j,k}=\langle e_j,e_k\rangle=\sum_{i,l}(P_b^e)_{ij}(P_b^e)_{lk}\delta_{il}=\bigl({}^tP_b^e\,P_b^e\bigr)_{j,k}.$$
Donc $\mathrm{Gram}(e,e)={}^tP_b^e\,P_b^e$ et $\mathrm{vol}_p(e)=\det({}^tP_b^e\,P_b^e)^{1/2}=|\det(P_b^e)|$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien » ; le rapport la juge « analogue à 7c ».

## Question 9.b

**Stratégie.**

Cas dégénéré (famille liée) d'abord ; sinon, on passe par des bases orthonormées $b,b'$ des $\mathrm{Vect}(e),\mathrm{Vect}(e')$ et on se ramène à la Partie I via 7.a.

**Rédaction.**

*Cas où $e$ ou $e'$ est liée.*

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ (7.b) donc $\Omega_p(e)(e')=0$, et $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=0$ : l'inégalité $0\le 0$ est vérifiée.

Idem pour $e'$.

*Cas $e,e'$ libres.*

Soient $b$ base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)=:V$ et $b'$ base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e')=:V'$ (toutes deux de dimension $p$).

Écrivons $e_j=\sum_i P_{ij}b_i$ ($P=P_b^e$) et $e_l'=\sum_i P'_{il}b'_i$ ($P'=P_{b'}^{e'}$).

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(P)\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e')=\det(P')\Omega_p(b')$.

Donc, à l'aide de 6.b, $$\Omega_p(e)(e')=\det(P)\,\Omega_p(b)(e')=\det(P)\,\Omega_p(e')(b)=\det(P)\det(P')\,\Omega_p(b')(b).$$
Or $\Omega_p(b')(b)=\det(\mathrm{Gram}(b',b))$.

Les vecteurs $b,b'$ étant des bases orthonormées de $V,V'$, on obtient $b=u\cdot R$, $b'=u'\cdot R'$ à partir des familles $u,u'$ de la Partie I, où $R,R'\in O(p)$ (changements de bases orthonormées).

Alors $\mathrm{Gram}(b',b)={}^tR'\,\mathrm{Gram}(u',u)\,R$, d'où, comme $|\det R|=|\det R'|=1$ et $\mathrm{Gram}(u',u)={}^t\mathrm{Gram}(u,u')$, $$|\det(\mathrm{Gram}(b',b))|=|\det(\mathrm{Gram}(u,u'))|\overset{4.c}{\le}1.$$
Par 9.a, $|\det P|=\mathrm{vol}_p(e)$ et $|\det P'|=\mathrm{vol}_p(e')$.

Finalement
$$|\Omega_p(e)(e')|=|\det P|\,|\det P'|\,|\det(\mathrm{Gram}(b',b))|\le\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée » et rédaction « fréquemment insuffisante ». Le rapport décrit exactement ce plan : distinguer le cas non-libre (7.b), puis, via des bases orthonormées, « un argument similaire à 7a et la fin de la partie 1 pour majorer $|\Omega_p(b)(b')|$ ».

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# Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, $I_p=\{(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\cdots<i_p\le d\}$, et $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

## Question 10.a

**Stratégie.**

On développe $\omega(u)$ par multilinéarité–alternance et on identifie chaque coefficient à $\Omega_p(e_\alpha)(u)$.

**Rédaction.**

Soit $\omega\in A_p(E,\mathbb R)$ et $u=(u_1,\dots,u_p)$ avec $u_j=\sum_{i=1}^d u_{i,j}e_i$.

Par multilinéarité, $$\omega(u)=\sum_{i_1,\dots,i_p=1}^d u_{i_1,1}\cdots u_{i_p,p}\,\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_p}).$$
Par alternance, seuls survivent les $p$-uplets d'indices distincts ; on les regroupe selon leur réordonnancement croissant $\alpha=(i_1<\cdots<i_p)\in I_p$ : pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, $\omega(e_{i_{\sigma(1)}},\dots,e_{i_{\sigma(p)}})=\epsilon(\sigma)\omega(e_\alpha)$.

Ainsi $$\omega(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\underbrace{\Bigl(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{j=1}^p u_{i_{\sigma(j)},j}\Bigr)}_{=\ \det\bigl((u_{i_k,j})_{k,j}\bigr)}.$$
Or $\Omega_p(e_\alpha)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e_\alpha,u))$ avec $\mathrm{Gram}(e_\alpha,u)_{k,j}=\langle e_{i_k},u_j\rangle=u_{i_k,j}$ ; ce déterminant vaut exactement la parenthèse.

Donc $\omega(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)(u)$ pour tout $u$, soit $$\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée » : le rapport exige « une justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $I_p$ ».

## Question 10.b

**Stratégie.**

On calcule $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$ ; la famille est alors orthonormée pour $\langle\cdot,\cdot\rangle$, génératrice par 10.a, donc base orthonormée, ce qui fait de $\langle\cdot,\cdot\rangle$ un produit scalaire.

**Rédaction.**

Pour $\alpha,\beta\in I_p$, $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)_{k,l}=\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle=\delta_{i_k,j_l}$.

Si $\alpha=\beta$, c'est $I_p$ et $\Omega_p(e_\alpha)(e_\alpha)=1$.

Si $\alpha\ne\beta$, il existe un indice $i_k\in\alpha$ absent de $\beta$ ; la $k$-ème ligne de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ est nulle, donc le déterminant est nul.

Ainsi $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$.

La forme $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est manifestement bilinéaire symétrique.

On calcule $$\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_{\gamma\in I_p}\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_{\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}.$$
La famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est donc orthonormée (en particulier libre) et génératrice (Question 10.a) : c'est une base.

Pour $\omega=\sum_\alpha c_\alpha\Omega_p(e_\alpha)$, $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha c_\alpha^2\ge0$, nul ssi tous les $c_\alpha$ sont nuls, ssi $\omega=0$ : $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est définie positive, donc un produit scalaire, dont $(\Omega_p(e_\alpha))$ est une base orthonormée.

Enfin
$$\dim A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\binom{d}{p}.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent traitée » ; le rapport signale le « point subtil » (colonne/ligne nulle de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ si $\alpha\ne\beta$) et que « le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » : c'est bien $\binom dp$.

## Question 10.c

**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, chaque $\alpha\in I_{d-1}$ est déterminé par l'unique indice manquant ; l'application envoyant une base orthonormée sur une base orthonormée est une isométrie.

**Rédaction.**

Pour $p=d-1$, $|I_{d-1}|=\binom{d}{d-1}=d=\dim E$.

Pour $k\in\{1,\dots,d\}$, soit $\alpha_k\in I_{d-1}$ le $(d-1)$-uplet croissant obtenu en retirant $k$.

L'application $k\mapsto\alpha_k$ est une bijection de $\{1,\dots,d\}$ sur $I_{d-1}$.

Définissons l'unique application linéaire $\phi:E\to A_{d-1}(E,\mathbb R)$ telle que $\phi(e_k)=\Omega_{d-1}(e_{\alpha_k})$ pour tout $k$.

Elle envoie la base orthonormée $(e_k)_k$ de $E$ sur la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_k}))_k$ de $A_{d-1}(E,\mathbb R)$ (Question 10.b).

Elle est donc bijective et conserve le produit scalaire (l'image d'une base orthonormée étant orthonormée) : $\phi$ est une isométrie de $E$ sur $A_{d-1}(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée » : l'idée-clé, selon le rapport, est de repérer l'« indice manquant » qui fournit la bijection.

## Question 11

**Stratégie.** On applique 10.a à $\omega=\Omega_p(u)$, puis 6.b.

**Rédaction.**

Par 10.a appliquée à $\omega=\Omega_p(u)$, $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v).$$
Or, par 6.b, $\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$.

Donc $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle,$$ cette dernière égalité étant la définition (1). $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Trop souvent mal rédigée, sans donner de détails ni référence aux questions précédentes » : on cite explicitement 10.a et 6.b.

## Question 12

**Stratégie.**

Par 11, $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\Omega_p(u)(v)=\det(\mathrm{Gram}(u,v))$ ne dépend que du produit scalaire de $E$ ; comme les $\Omega_p(u)$ engendrent $A_p(E,\mathbb R)$, cela détermine tout le produit scalaire.

**Rédaction.**

La famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est une base de $A_p(E,\mathbb R)$ (Question 10.b) et chaque $\Omega_p(e_\alpha)$ est de la forme $\Omega_p(u)$ ; donc les $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ engendrent $A_p(E,\mathbb R)$.

Soient $\omega,\omega'\in A_p(E,\mathbb R)$, écrits $\omega=\sum_i\lambda_i\Omega_p(u^{(i)})$, $\omega'=\sum_j\mu_j\Omega_p(v^{(j)})$.

Par bilinéarité et par 11, $$\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\,\langle\Omega_p(u^{(i)}),\Omega_p(v^{(j)})\rangle=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\,\Omega_p(u^{(i)})(v^{(j)})=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\,\det\bigl(\mathrm{Gram}(u^{(i)},v^{(j)})\bigr).$$
Le membre de droite ne fait intervenir que les applications $\Omega_p(\cdot)$ (définies via le produit scalaire de $E$) et les produits scalaires $\langle u^{(i)}_a,v^{(j)}_b\rangle$ : il est indépendant du choix de la base orthonormée $e$.

Donc le produit scalaire $(\omega,\omega')\mapsto\langle\omega,\omega'\rangle$ ne dépend que du produit scalaire de $E$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies » ; la piste du rapport (« réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ ») est celle exploitée ici.

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# Partie IV

$p\in\llbracket 1,d\rrbracket$.

Orientations d'un sous-espace $V$ (deux classes), $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ = sous-espaces orientés de dimension $p$.

## Question 13.a

**Stratégie.**

Sens direct par 7.a. Sens réciproque : on caractérise $V^\perp=\mathrm{Vect}(e)^\perp$ comme le noyau de $x\mapsto\Omega_p(e)(x,\cdot,\dots,\cdot)$, information invariante par colinéarité.

**Rédaction.**

Notons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ ($\dim V=\dim V'=p$, familles libres).

$(\Leftarrow)$ Si $V=V'$, $e'$ est une base de $V$, donc $e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible.

Par 7.a, $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ avec $\det(M)\ne0$ : $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ sont colinéaires (et non nuls par 7.b).

$(\Rightarrow)$ Supposons $\Omega_p(e)=\lambda\,\Omega_p(e')$ ; comme les deux formes sont non nulles (7.b), $\lambda\ne0$.

Pour $x\in E$, considérons $\iota_x:=\bigl[(u_2,\dots,u_p)\mapsto\Omega_p(e)(x,u_2,\dots,u_p)\bigr]$.

Montrons que $\{x:\iota_x=0\}=V^\perp$ :

- Si $x\in V^\perp$, la première colonne de $\mathrm{Gram}(e,(x,u_2,\dots,u_p))$ vaut $(\langle e_i,x\rangle)_i=0$, donc $\Omega_p(e)(x,u_2,\dots,u_p)=0$ : $\iota_x=0$.

- Si $x\notin V^\perp$, alors $x_V:=\mathrm{pr}_V(x)\ne0$.

Comme $\Omega_p(e)(x,\cdot)$ ne dépend de $x$ que par ses produits scalaires avec les $e_i$, $\Omega_p(e)(x,u_2,\dots,u_p)=\Omega_p(e)(x_V,u_2,\dots,u_p)$.

On complète $x_V$ en une base $(x_V,u_2,\dots,u_p)$ de $V$ ; alors $\Omega_p(e)(x_V,u_2,\dots,u_p)=\det(\mathrm{Gram}(e,(x_V,u_2,\dots)))\ne0$, car $e$ et $(x_V,u_2,\dots,u_p)$ sont deux bases de $V$ (produit de matrices de passage inversibles, cf. calcul de 9.a).

Donc $\iota_x\ne0$.

Ainsi $V^\perp=\{x:\iota_x=0\}$. De même $V'^\perp=\{x:\Omega_p(e')(x,\cdot)=0\}$.

Comme $\Omega_p(e)=\lambda\Omega_p(e')$ ($\lambda\ne0$), ces deux ensembles coïncident : $V^\perp=V'^\perp$, donc $V=V'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée dans son intégralité, essentiellement dans les meilleures copies ». Le rapport confirme la dissymétrie : une implication « conséquence facile de 7a », l'autre « bien plus délicate » nécessitant les résultats des parties précédentes.

## Question 13.b

**Stratégie.**

On pose $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$ pour $e\in C$, en vérifiant l'indépendance vis-à-vis de $e$ ; l'unicité vient de $\mathrm{vol}_p(e)\ne0$.

**Rédaction.** *Existence.*

Soit $e\in C$ (base de $V$, orientation $C$).

Comme $e$ est libre, $\mathrm{vol}_p(e)>0$ (7.b).

Posons $\Psi(V,C)=\dfrac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}$.

Montrons l'indépendance du représentant : si $\tilde e\in C$, on a $\tilde e_i=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $\det_e(\tilde e)=\det(M)>0$ (même orientation).

Par 7.a, $\Omega_p(\tilde e)=\det(M)\Omega_p(e)$ ; par $\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM$, $\mathrm{vol}_p(\tilde e)=|\det M|\,\mathrm{vol}_p(e)=\det(M)\,\mathrm{vol}_p(e)$.

Donc $$\frac{\Omega_p(\tilde e)}{\mathrm{vol}_p(\tilde e)}=\frac{\det(M)\,\Omega_p(e)}{\det(M)\,\mathrm{vol}_p(e)}=\frac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}.$$
Ainsi $\Psi(V,C)$ est bien défini et vérifie $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\,\Psi(V,C)$ pour tout $e\in C$.

*Unicité.*

Si $\Psi_1,\Psi_2$ conviennent, pour $e\in C$ : $\mathrm{vol}_p(e)\Psi_1=\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi_2$ avec $\mathrm{vol}_p(e)\ne0$, d'où $\Psi_1=\Psi_2$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée ».

Le rapport indique le raccourci pour l'unicité : « pour une base orthonormale $e$ de $V$, $\mathrm{vol}_p(e)=1$ », de sorte que $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$.

## Question 14.a

**Stratégie.**

Prendre $e$ orthonormée dans $C$ ($\mathrm{vol}_p=1$) : $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$, de norme $1$ par 11.

Injectivité via 13.a puis argument de signe.

**Rédaction.** *Norme $1$.*

Soit $e$ base orthonormée de $V$ dans la classe $C$ (elle existe : orthonormaliser une base de $C$ ne change pas l'orientation si l'on garde l'ordre… ; sinon on ajuste par $\det>0$).

Alors $\mathrm{vol}_p(e)=1$ (8.a) donc $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$, et par 11, $$\|\Psi(V,C)\|^2=\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle=\Omega_p(e)(e)=\det(\mathrm{Gram}(e,e))=\det(I_p)=1.$$
Donc $\Psi(V,C)$ appartient à la sphère unité de $A_p(E,\mathbb R)$.

*Injectivité.*

Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, avec $e,e'$ bases orthonormées respectives dans $C,C'$ : $\Omega_p(e)=\Omega_p(e')$.

Ces formes sont colinéaires et non nulles, donc par 13.a, $V=\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')=V'$. $e,e'$ sont alors deux bases orthonormées du même $V$, liées par $e'=Me$ avec $M\in O(p)$, et $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ (7.a).

L'égalité $\Omega_p(e')=\Omega_p(e)$ (avec $\Omega_p(e)\ne0$) force $\det(M)=1>0$ : $e,e'$ définissent la même orientation, $C=C'$.

Donc $\Psi$ est injective. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très rarement traitée ». Le rapport décrit exactement les deux ingrédients : le calcul de $\det(\mathrm{Gram}(e,e))$ pour une famille orthonormale, et « l'injectivité conséquence de 13a et d'un argument de signe ».

## Question 14.b

**Stratégie.** En dimension finie, il suffit de montrer que l'image est fermée et bornée.

On utilise le critère séquentiel avec extraction (compacité de la sphère unité de $E$) et la continuité de $e\mapsto\Omega_p(e)$.

**Rédaction.** $A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie $\binom dp$.

L'image $K:=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est **bornée** (contenue dans la sphère unité, Question 14.a). Montrons qu'elle est **fermée** par le critère séquentiel.

Soit $(\omega_n)$ une suite de $K$ convergeant vers $\omega\in A_p(E,\mathbb R)$.

Pour chaque $n$, $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(e^{(n)})$ où $e^{(n)}=(e^{(n)}_1,\dots,e^{(n)}_p)$ est une base orthonormée de $V_n$ dans $C_n$.

Chaque $e^{(n)}_i$ est dans la sphère unité de $E$, qui est compacte.

Par extractions successives (au plus $p$), on obtient une suite extraite $(n_k)$ telle que $e^{(n_k)}_i\to f_i$ pour tout $i\in\llbracket 1,p\rrbracket$.

Par passage à la limite dans $\langle e^{(n_k)}_i,e^{(n_k)}_j\rangle=\delta_{ij}$, la famille $f=(f_1,\dots,f_p)$ est orthonormée, donc libre : elle engendre un sous-espace $V=\mathrm{Vect}(f)$ de dimension $p$, muni de l'orientation $C$ = classe de $f$.

L'application $e\mapsto\Omega_p(e)$ est continue : ses coordonnées dans la base orthonormée $(\Omega_p(e_\alpha))$ sont $e\mapsto\Omega_p(e)(e_\alpha)=\det(\mathrm{Gram}(e,e_\alpha))$, polynomiales en les $\langle e_i,e_{\alpha_k}\rangle$, elles-mêmes continues.

Donc $\omega_{n_k}=\Omega_p(e^{(n_k)})\to\Omega_p(f)=\Psi(V,C)\in K$. Par unicité de la limite, $\omega=\Psi(V,C)\in K$. Ainsi $K$ est fermée.

Fermée et bornée en dimension finie, $K$ est compacte. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Difficile, très rarement traitée ».

Le rapport propose littéralement « un critère séquentiel, extraction diagonale des $e^{(n)}_i$ via la compacité de la sphère unité de $E$ », ou la démonstration du caractère fermé-borné : les deux voies sont réunies ici.

## Question 15

**Stratégie.** Si $p=d$, l'image se réduit à deux points antipodaux, donc non connexe.

Si $p\le d-1$, on montre que l'ensemble des familles orthonormées à $p$ vecteurs est connexe par arcs (rotations dans les plans $W_k$ de la Partie I pour changer de sous-espace ; utilisation de la dimension supplémentaire pour renverser une orientation) ; l'image, image continue par $\Omega_p$, l'est alors aussi.

**Rédaction.**

**Cas $p=d$ (non-connexité).**

Ici $V=E$ est l'unique sous-espace de dimension $d$, avec deux orientations $C_+,C_-$ ; $\dim A_d(E,\mathbb R)=\binom dd=1$.

Soit $e$ base orthonormée de $E$ dans $C_+$, et $e'=(e_1,\dots,e_{d-1},-e_d)\in C_-$.

Alors $\Psi(E,C_-)=\Omega_d(e')=\det(\mathrm{diag}(1,\dots,1,-1))\,\Omega_d(e)=-\Psi(E,C_+)$.

Comme $\Psi(E,C_+)$ est unitaire, l'image $K=\{\Psi(E,C_+),-\Psi(E,C_+)\}$ est formée de deux points distincts.

Or l'image continue de $[0,1]$ (connexe) est connexe, et un ensemble à deux points est non connexe : $K$ n'est pas connexe par arcs.

**Cas $p\le d-1$ (connexité).**

Notons $\mathcal F$ l'ensemble des familles orthonormées à $p$ vecteurs de $E$.

Pour $f\in\mathcal F$, $\mathrm{vol}_p(f)=1$, donc $\Omega_p(f)=\Psi(\mathrm{Vect}(f),\text{classe}(f))$ ; réciproquement tout $\Psi(V,C)$ est un tel $\Omega_p(f)$ (14.a).

Ainsi $$K=\{\Omega_p(f):f\in\mathcal F\}.$$ $f\mapsto\Omega_p(f)$ étant continue (14.b), il suffit de montrer que $\mathcal F$ est connexe par arcs.

*(i) Renversement d'orientation à l'aide de la dimension supplémentaire.* Soit $f=(f_1,\dots,f_p)\in\mathcal F$.

Comme $p\le d-1$, $\mathrm{Vect}(f)^\perp\ne\{0\}$ : choisissons $w$ unitaire, $w\perp f_1,\dots,f_p$.

Le chemin $$t\in[0,\pi]\ \longmapsto\ \gamma(t)=(f_1,\dots,f_{p-1},\ \cos t\,f_p+\sin t\,w)$$ reste dans $\mathcal F$ : le dernier vecteur est unitaire et orthogonal à $f_1,\dots,f_{p-1}$.

On a $\gamma(0)=f$ et $\gamma(\pi)=(f_1,\dots,f_{p-1},-f_p)$.

Ainsi $f$ et son « renversé » $(f_1,\dots,-f_p)$ sont reliés dans $\mathcal F$.

*(ii) Deux bases orthonormées d'un même $V$ sont reliées dans $\mathcal F$.*

Soient $f,g$ deux bases orthonormées de $V$.

L'endomorphisme $r\in O(V)$ défini par $r(f_i)=g_i$ vérifie $\det r=\pm1$.

- Si $\det r=1$ ($r\in SO(V)$) : par la réduction des isométries positives, il existe une base orthonormée de $V$ dans laquelle $r$ est bloc-diagonale, formée de blocs de rotation $R(\theta_j)$ (et éventuellement de $1$).

En remplaçant $\theta_j$ par $t\theta_j$, on obtient $r_t\in SO(V)$ avec $r_0=\mathrm{id}$, $r_1=r$, l'application $t\mapsto r_t$ étant continue.

Alors $t\mapsto(r_t(f_1),\dots,r_t(f_p))$ est un chemin dans $\mathcal F$ de $f$ à $g$.

- Si $\det r=-1$ : on relie d'abord $f$ à $f^-=(f_1,\dots,-f_p)$ par (i) ; comme $g$ et $f^-$ engendrent $V$ avec la même orientation ($\det=+1$ entre eux), on les relie par le cas précédent.

Par concaténation, $f$ et $g$ sont reliés dans $\mathcal F$.

*(iii) Deux familles de $\mathcal F$ engendrant des espaces différents.*

Soient $f,g\in\mathcal F$, $V=\mathrm{Vect}(f)$, $V'=\mathrm{Vect}(g)$.

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des bases orthonormées $u=(u_k)$ de $V$, $u'=(u_k')$ de $V'$, telles que les plans $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ soient deux à deux orthogonaux (Question 3.d).

Dans chaque $W_k$, on relie $u_k$ à $u_k'$ par un arc de vecteurs unitaires $u_k(t)$ (rotation dans le plan $W_k$ si $\dim W_k=2$, chemin constant si $u_k=u_k'$).

Comme les $W_k$ sont orthogonaux et $u_k(t)\in W_k$ unitaire, $t\mapsto(u_1(t),\dots,u_p(t))$ est un chemin dans $\mathcal F$ de $u$ à $u'$.

Enfin, par (ii), $f$ est relié à $u$ (dans $V$) et $g$ à $u'$ (dans $V'$) ; par (iii), $u$ est relié à $u'$.

Par concaténation, $f$ et $g$ sont reliés dans $\mathcal F$ : $\mathcal F$ est connexe par arcs.

Donc $K=\Omega_p(\mathcal F)$ est connexe par arcs (image continue d'un connexe par arcs).

**Conclusion.** $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si $p\le d-1$**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée et difficile ». Le rapport confirme que « $p=d$ implique la non-connexité était la partie la plus accessible ». L'indication renvoie à 3.d : c'est précisément l'orthogonalité des plans $W_k$ qui permet de faire tourner simultanément et proprement une famille orthonormée d'un sous-espace vers un autre.

Le point subtil, propre à $p\le d-1$, est le renversement d'orientation (i), rendu possible par l'existence d'un vecteur $w$ orthogonal à $\mathrm{Vect}(f)$ — impossible si $p=d$.