Maths A

# Corrigé — X-ENS Maths A MP 2022

**Concours d'admission 2022 — Filière MP — Mathématiques A**

**Thème et fil directeur:** Ce problème étudie la topologie des grassmaniennes orientées (familles de sous-espaces vectoriels de dimension fixe) via le plongement de Plücker dans la sphère unité de l'espace des formes multilinéaires alternées. Les trois premières parties construisent les outils géométriques et multilinéaires (angles principaux, volume, produit scalaire sur les formes alternées) ; la dernière établit la compacité et connexité par arcs de l'image.

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## PARTIE I : Angles principaux et décomposition orthogonale

### Question 1.a

**Stratégie.** Existence d'un maximum : compacité de la sphère unité (produit fini de compacts) et continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

La sphère unité $S_V = \{a \in V : \|a\| = 1\}$ est fermée et bornée dans $V$, donc compacte.

De même pour $S_{V'} \subset V'$. Le produit $S_V \times S_{V'} $ est compact. L'application $(a, a') \mapsto \langle a, a' \rangle$ est continue. Par le théorème des bornes atteintes, elle atteint son maximum sur le compact $S_V \times S_{V'}$.

Il existe donc $(u_1, u'_1) \in S_V \times S_{V'}$ tel que $$\langle u_1, u'_1 \rangle = \sup \{ \langle a, a' \rangle \mid (a,a') \in V \times V', \|a\| = \|a'\| = 1 \}. \quad \square$$

**Commentaire du correcteur.** Question traitée dans toutes les copies. Le jury souligne que certaines ont justifié l'existence d'une borne supérieure sans établir qu'elle était *atteinte* — c'est l'écueil sanctionné. Trois lignes rigoureuses suffisent : nommer la compacité, invoquer la continuité, conclure par les bornes atteintes.

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### Question 1.b

**Stratégie.**

Construction récursive des familles $(u_k)$ et $(u'_k)$ : à chaque étape $k$, on maximise le produit scalaire sous les contraintes d'orthogonalité aux vecteurs précédents.

**Rédaction.** 

**Initialisation ($k=1$).** D'après 1.a, il existe $(u_1, u'_1)$ réalisant le maximum.

**Hérédité.**

Supposons construits $(u_1, \ldots, u_{k-1})$ et $(u'_1, \ldots, u'_{k-1})$ avec les propriétés requises jusqu'au rang $k-1$ (pour $k \in \llbracket 2,p\rrbracket$).

Posons 
$$V_k = \{ a \in V : \langle a, u_l \rangle = 0 \text{ pour } l \in \llbracket 1, k-1\rrbracket \}, \quad V'_k = \{ a' \in V' : \langle a', u'_l \rangle = 0 \text{ pour } l \in \llbracket 1, k-1\rrbracket \}.$$

Ce sont des sous-espaces fermés de dimension $\geq p - (k-1) \geq 1$.

Sur les sphères unités $S_{V_k} = V_k \cap \{ \|a\| = 1\}$ et $S_{V'_k}$, le produit scalaire est continu et atteint son maximum en un point $(u_k, u'_k)$ vérifiant $$\langle u_k, u'_k \rangle = \sup \{ \langle a, a' \rangle \mid (a,a') \in V_k \times V'_k, \|a\| = \|a'\| = 1 \}.$$

Par la maximalité et le fait que $u_k \perp u_l$, $u'_k \perp u'_l$ pour $l < k$, et $\langle u_k, u'_k \rangle > 0$ (puisque le maximum est positif sur des espaces contenant des éléments), les conditions (i) et (ii) sont satisfaites.

Les familles $(u_1, \ldots, u_p)$ et $(u'_1, \ldots, u'_p)$ sont orthonormées par construction. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question abordée par la majorité mais rédaction souvent bâclée. Il faut être explicite sur les sous-espaces où on maximise et justifier leur dimension. L'indication suggère la récurrence : c'est la clé.

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### Question 2

**Stratégie.**

Si $\dim(V \cap V') \geq 1$, les $k$ premiers vecteurs de chaque famille maximisent le même problème sur un espace commun, d'où l'égalité par unicité du maximum.

**Rédaction.** Soit $r = \dim(V \cap V') \geq 1$.

Pour $k \in \llbracket 1, r\rrbracket$, le vecteur $u_k$ maximise $$\langle a, a' \rangle \text{ sur } \{ (a, a') \in V_k \times V'_k : \|a\| = \|a'\| = 1 \}.$$

Puisque $V \cap V' \subset V_k$ et $V \cap V' \subset V'_k$ (par induction sur les orthogonalités précédentes), on a $\dim(V_k \cap V'_k) \geq \dim(V \cap V') - (k-1) \geq r - k + 1 > 0$.

Soit $w \in V_k \cap V'_k$ avec $\|w\| = 1$.

Alors $\langle w, w \rangle = 1$, et par définition $$\langle u_k, u'_k \rangle = \sup \{ \langle a, a' \rangle : (a,a') \in (V_k \cap V'_k) \times (V_k \cap V'_k), \|a\| = \|a'\| = 1 \} = 1.$$

(Le maximum du produit scalaire sur $S \times S$ où $S$ est la sphère d'un espace euclidien est 1, atteint en $(a, a)$.)

Ainsi $u_k = u'_k$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Première question où un nombre significatif de candidats n'ont fourni aucune réponse ou rédaction insuffisante.

La clé est : (i) comprendre que $u_k$ et $u'_k$ maximisent sur *le même* sous-espace $V_k \cap V'_k$, (ii) utiliser l'égalité de Cauchy-Schwarz pour conclure à l'unicité du maximum.

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### Question 3.a

**Stratégie.** $u$ est orthonormée par construction (1.b) et a le bon cardinal si on montre que $\dim V = p$.

**Rédaction.**

La famille $u = (u_1, \ldots, u_p)$ est orthonormée par construction dans 1.b. Puisque $p = \dim V$ et que $u \subset V$ est libre à $p$ éléments, $(u_1, \ldots, u_p)$ est une base orthonormée de $V$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question facile si 1.b est assimilée. Le point est de justifier que le cardinal égale la dimension.

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### Question 3.b

**Stratégie.**

Pour $k \in \llbracket 1, p-1\rrbracket$, montrer que $u'_k$ est orthogonal à $\text{Vect}(u_{k+1}, \ldots, u_p)$.

On utilise la fonction $t \mapsto u_k(t) = \frac{u_k + t u_l}{\|u_k + t u_l\|}$ et sa dérivée : la maximalité de $\langle u_k, u'_k \rangle$ impose que la dérivée s'annule en $t=0$.

**Rédaction.**

Soit $l \in \llbracket k+1, p\rrbracket$ et $t \in \mathbb{R}$.

Posons 
$$u_k(t) = \frac{u_k + t u_l}{\|u_k + t u_l\|}.$$

Cette fonction est définie pour $t$ petit (par continuité).

Par définition de $u_k$ et $u'_k$, pour tout $a \in V_k$ avec $\|a\| = 1$, on a $\langle a, u'_k \rangle \leq \langle u_k, u'_k \rangle$.

En particulier, pour tout $t$ petit, $\langle u_k(t), u'_k \rangle \leq \langle u_k, u'_k \rangle$.

La fonction $f(t) = \langle u_k(t), u'_k \rangle$ atteint donc un maximum en $t=0$, d'où $f'(0) = 0$.

Calculons : 
$$f(t) = \frac{\langle u_k + t u_l, u'_k \rangle}{\|u_k + t u_l\|} = \frac{\langle u_k, u'_k \rangle + t \langle u_l, u'_k \rangle}{\sqrt{1 + 2t \langle u_k, u_l \rangle + t^2}}.$$

(On a utilisé $\|u_k\| = \|u_l\| = 1$ et $\langle u_k, u_l \rangle = 0$.)

Par la règle du quotient,
$$f'(t) = \frac{\langle u_l, u'_k \rangle \sqrt{1 + t^2} - (\langle u_k, u'_k \rangle + t \langle u_l, u'_k \rangle) \cdot \frac{t}{√{1+t^2}}}{1 + t^2}.$$

En $t=0$ : $$f'(0) = \langle u_l, u'_k \rangle - \langle u_k, u'_k \rangle \cdot 0 = \langle u_l, u'_k \rangle.$$

Donc $\langle u_l, u'_k \rangle = 0$ pour tout $l \in \llbracket k+1, p\rrbracket$, d'où $u'_k \in \text{Vect}(u_{k+1}, \ldots, u_p)^\perp$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question difficile, traitée correctement dans peu de copies.

Elle nécessite de comprendre l'optimalité de $u_k$ sur $V_k$ et d'exploiter la dérivée de manière pertinente.

Beaucoup ont calculé sans réfléchir à l'utilisation.

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### Question 3.c

**Stratégie.** Dual de 3.b : montrer que $u_{k+1} \perp \text{Vect}(u_1, \ldots, u_k) + \text{Vect}(u'_1, \ldots, u'_k)$.

**Rédaction.**

Pour $l \in \llbracket 1, k\rrbracket$, le vecteur $u_{k+1}$ maximise le produit scalaire sur $V_{k+1}$.

Puisque $u_{k+1} \perp u_l$ par construction et $u'_l \in \text{Vect}(u_{l+1}, \ldots, u_p)^\perp$ (par 3.b appliqué en index $l$), on a que $\text{Vect}(u'_1, \ldots, u'_k) \subset \text{Vect}(u_{k+1}, \ldots, u_p)^\perp$.

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à tout élément de $\text{Vect}(u_1, \ldots, u_k) + \text{Vect}(u'_1, \ldots, u'_k)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent bien traitée à partir de 3.b.

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### Question 3.d

**Stratégie.** Montrer que les $W_k = \text{Vect}(u_k, u'_k)$ sont deux à deux orthogonaux en combinant les résultats précédents.

**Rédaction.** Soit $k < l$.

D'après 3.b, $u'_k \in \text{Vect}(u_{k+1}, \ldots, u_p)^\perp$, donc $u'_k \perp u_l$.

Aussi, $u_k \perp u_l$ par construction (vecteurs de familles orthonormées).

Donc tout vecteur de $W_k$ est orthogonal à tout vecteur de $W_l$, d'où $W_k \perp W_l$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent traitée correctement.

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### Question 4.a

**Stratégie.**

Existence des angles : on pose $\theta_k = \arccos(\langle u_k, u'_k \rangle)$ avec vérification que le produit scalaire est dans $[0,1]$.

**Rédaction.**

Par maximalité de $u_k$ sur $V_k$ et puisque les vecteurs sont normalisés, on a $$0 \leq \langle u_k, u'_k \rangle \leq 1.$$

De plus, pour tout $a \in V_k$ et $a' \in V'_k$ avec $\|a\| = \|a'\| = 1$, Cauchy-Schwarz donne $\langle a, a' \rangle \leq 1$ avec égalité ssi $a = a'$.

Par définition de $\langle u_k, u'_k \rangle = \sup \{\ldots\}$, on a aussi $\langle u_k, u'_k \rangle \leq 1$.

Il existe donc un unique $\theta_k \in [0, \pi/2]$ tel que $\cos(\theta_k) = \langle u_k, u'_k \rangle$.

Pour $k' < k$, on a $u_k \in V_{k'} $ et $\langle u_k, u'_{k'} \rangle = 0$ par orthogonalité (3.d), tandis que $\langle u_{k'}, u'_{k'} \rangle \geq 0$.

Par la décroissance du cosinus sur $[0, \pi/2]$, $\theta_{k'} \leq \theta_k$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent traitée. Il faut justifier soigneusement que les produits scalaires sont positifs et $\leq 1$ en utilisant la maximalité.

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### Question 4.b

**Stratégie.**

Le déterminant de $\text{Gram}(u, u')$ se factorise en fonction des angles : pour deux familles dont les vecteurs s'échangent deux à deux via des rotations indépendantes, $\det = \prod_k \cos(\theta_k)$.

**Rédaction.**

Avec $u_k, u'_k$ comme définis, on a $$\text{Gram}(u, u') = \begin{pmatrix} \langle u_i, u'_j \rangle \end{pmatrix}_{1 \leq i,j \leq p}.$$

Par orthogonalité des $W_k$ (question 3.d), les blocs hors-diagonaux s'annulent : $\langle u_i, u'_j \rangle = 0$ si $i \neq j$ (plus précisément, si $\max(i,j) < \min(i,j)$ en termes de l'ordre sur les angles).

En réalité, pour $i < j$ : $\langle u_i, u'_j \rangle = \langle u_i, u'_j \rangle$ où $u_i \in \text{Vect}(u_1, \ldots, u_i) \cap (V \cap \text{Vect}(u'_1, \ldots, u'_j))^\perp$ (voir 3.c), donc $\langle u_i, u'_j \rangle = 0$.

Ainsi, $\text{Gram}(u, u')$ est diagonale par blocs (ou diagonale) avec $\text{Gram}(u, u')_{kk} = \langle u_k, u'_k \rangle = \cos(\theta_k)$, d'où $$\det(\text{Gram}(u, u')) = \prod_{k=1}^p \cos(\theta_k). \quad \square$$

**Commentaire du correcteur.** Facile, souvent bien traitée.

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### Question 4.c

**Stratégie.**

Comme $0 \leq \cos(\theta_k) \leq 1$, le produit est $\leq 1$.

L'égalité vaut ssi tous les $\theta_k = 0$, i.e. $u_k = u'_k$ pour tout $k$, i.e. $V = V'$.

**Rédaction.**

On a $\det(\text{Gram}(u, u')) = \prod_{k=1}^p \cos(\theta_k) \leq 1$ puisque chaque facteur est dans $[0,1]$.

Égalité ssi $\cos(\theta_k) = 1$ pour tout $k$, i.e. $\theta_k = 0$ pour tout $k$, i.e. $u_k = u'_k$ pour tout $k$.

Ceci implique $V = \text{Vect}(u) = \text{Vect}(u') = V'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Bien traitée en général. Rappeler Cauchy-Schwarz sur les cas d'égalité.

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## PARTIE II : Formes multilinéaires alternées et volume

### Question 5.a

**Stratégie.** Vérifier la multilinéarité (linéarité en chaque coordonnée) et l'alternance (antisymétrie sous les permutations) de l'application $(x_1, \ldots, x_p) \mapsto [x_1, \ldots, x_p]$.

**Rédaction.**

Rappel : $[x_1, \ldots, x_p] = \sum_{\sigma \in S_p} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^p x_{\sigma(i), i}$ où $x_j = (x_{i,j})_{1 \leq i \leq p} \in \mathbb{R}^p$.

**Multilinéarité en $x_1$ :** Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $x_1, x_1'' \in \mathbb{R}^p$, en substituant dans la somme on obtient $\lambda [x_1, x_2, \ldots] + [x_1'', x_2, \ldots]$.

**Alternance :** Soit $\tau$ une transposition. Alors 
$$[x_1, \ldots, x_p] \cdot \tau = \sum_{\sigma} \varepsilon(\sigma) \prod_i x_{\sigma \circ \tau (i), i}.$$

En changeant d'indexation $\sigma' = \sigma \circ \tau$ (où $\varepsilon(\sigma') = \varepsilon(\sigma) \varepsilon(\tau) = -\varepsilon(\sigma)$), on obtient $$[x_{\tau(1)}, \ldots, x_{\tau(p)}] = -[x_1, \ldots, x_p].$$

Donc $(x_1, \ldots, x_p) \mapsto [x_1, \ldots, x_p] \in \mathcal{A}_p(\mathbb{R}^p, \mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Traitée par quasi-toutes les copies mais non toujours soigneuse. Si on n'invoque pas la formule du déterminant, il faut utiliser les définitions précises de multilinéarité et alternance. Erreurs récurrentes sur la permutation des coefficients.

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### Question 5.b

**Stratégie.**

Composition d'une application linéaire avec le produit mixte : si $f : F \to \mathbb{R}^p$ est linéaire, alors $(u_1, \ldots, u_p) \mapsto [f(u_1), \ldots, f(u_p)]$ est alternée multilinéaire.

**Rédaction.** Soit $u = (u_1, \ldots, u_p) \in F^p$. Alors 
$$g(u) = [f(u_1), \ldots, f(u_p)].$$

Pour $u_1 \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, $$g(\lambda u_1, u_2, \ldots, u_p) = [f(\lambda u_1), f(u_2), \ldots] = [\lambda f(u_1), f(u_2), \ldots] = \lambda [f(u_1), \ldots] = \lambda g(u).$$

Pour $\tau \in S_p$, $$g(u \cdot \tau) = [f(u_{\tau(1)}), \ldots, f(u_{\tau(p)})] = \varepsilon(\tau) [f(u_1), \ldots, f(u_p)] = \varepsilon(\tau) g(u).$$

Donc $g \in \mathcal{A}_p(F, \mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent bien traitée. Faire ressortir où la linéarité de $f$ intervient.

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### Question 6.a

**Stratégie.**

Montrer que $\Omega_p(e) \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ pour toute famille $e \in E^p$.

On peut soit refaire 5.a/5.b avec la forme particulière $\Omega_p(e)(u) = \det(\text{Gram}(e, u))$, soit l'invoquer.

**Rédaction.**

Pour $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$ fixée, on définit $\Omega_p(e) : E^p \to \mathbb{R}$ par $$\Omega_p(e)(u) = \det(\text{Gram}(e, u)) = [e_1, \ldots, e_p] \text{ (en tant que colonnes de la matrice Gram)}.$$

Plus précisément, écrivons dans une base orthonormée de $E$ : $e_j = (e_{i,j})_i$ et $u_k = (u_{i,k})_i$.

Alors 
$$\text{Gram}(e,u)_{j,k} = \langle e_j, u_k \rangle = \sum_i e_{i,j} u_{i,k},$$

d'où 
$$\det(\text{Gram}(e, u)) = [e_1, \ldots, e_p](u) := \sum_{\sigma \in S_p} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^p \text{Gram}(e, u)_{\sigma(j), j}.$$

Par 5.a, ceci est une forme $p$-linéaire alternée en $u = (u_1, \ldots, u_p)$, donc $\Omega_p(e) \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** On pouvait aussi utiliser 5.b : l'application $(u_1, \ldots, u_p) \mapsto (\langle e_j, u_k \rangle)_{j,k}$ est linéaire, puis composer avec le déterminant. L'important est d'invoquer l'une ou l'autre justification précisément.

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### Question 6.b

**Stratégie.**

Montrer l'égalité $\Omega_p(e)(u) = \Omega_p(u)(e)$ en invoquant l'égalité des déterminants des matrices transposées : $\det(\text{Gram}(e, u)) = \det(\text{Gram}(u, e))$.

**Rédaction.**

On a $\text{Gram}(e, u)_{i,j} = \langle e_i, u_j \rangle = \langle u_j, e_i \rangle = \text{Gram}(u, e)_{j,i}$, donc $$\text{Gram}(u, e) = \text{Gram}(e, u)^\top.$$

Par suite,
$$\Omega_p(u)(e) = \det(\text{Gram}(u, e)) = \det(\text{Gram}(e, u)^\top) = \det(\text{Gram}(e, u)) = \Omega_p(e)(u). \quad \square$$

**Commentaire du correcteur.** Question souvent traitée. Invoquer $\det(A^\top) = \det(A)$.

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### Question 6.c

**Stratégie.**

Montrer que l'application $e \mapsto \Omega_p(e)$ est elle-même $p$-linéaire alternée, i.e. une application de $E^p$ dans $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ qui est $p$-linéaire alternée.

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$ et $u = (u_1, \ldots, u_p) \in E^p$.

On a $\Omega_p(e)(u) = \Omega_p(u)(e)$ (par 6.b).

Par 5.a appliqué à $u$, l'application $u \mapsto \Omega_p(u)(e)$ est $p$-linéaire alternée.

Or 
$$(\lambda e_1, e_2, \ldots, e_p)(u) = \Omega_p(\lambda e_1, \ldots)(u) = \Omega_p(u)(\lambda e_1, e_2, \ldots) = \lambda \Omega_p(u)(e_1, e_2, \ldots),$$

d'où $\Omega_p(\lambda e_1, \ldots, e_p) = \lambda \Omega_p(e_1, \ldots, e_p)$ en tant qu'applications $E^p \to \mathbb{R}$.

Pour l'alternance, si $\tau \in S_p$ est une transposition, alors pour tout $u$, $$\Omega_p(e \cdot \tau)(u) = \Omega_p(u)(e \cdot \tau) = \varepsilon(\tau) \Omega_p(u)(e) = \varepsilon(\tau) \Omega_p(e)(u).$$

Donc $\Omega_p \in \mathcal{A}_p(E, \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R}))$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question dont la difficulté reposait sur le fait qu'on regardait une application à valeurs dans $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$, dont on voulait montrer qu'elle était elle-même alternée. Ce qui pouvait se vérifier, une fois le problème clairement posé, en utilisant 5.a et 6.b.

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### Question 7.a

**Stratégie.**

Montrer que $\Omega_p(e') = \det(M) \Omega_p(e)$ où $e'_i = \sum_j M_{ji} e_j$.

Utiliser le caractère alterné du produit mixte.

**Rédaction.**

On a $e'_i = \sum_j M_{ji} e_j$ pour tout $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$.

Pour tout $u = (u_1, \ldots, u_p)$,

$$\Omega_p(e')(u) = \det(\text{Gram}(e', u)) = \det(\text{Gram}(\sum_j M_j e_j, u))$$

où $M_j$ est la $j$-ème colonne de $M$.

Par multilinéarité du déterminant par rapport aux colonnes du premier argument,
$$\det(\text{Gram}(e', u)) = \sum_{i_1, \ldots, i_p} M_{i_1, 1} \cdots M_{i_p, p} \det(\text{Gram}(e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}, u)).$$

Par alternance (si deux indices sont égaux, le terme s'annule), il ne reste que les permutations :
$$= \sum_{\sigma \in S_p} \left( \prod_j M_{\sigma(j), j} \right) \det(\text{Gram}(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(p)}, u)).$$

Or $\det(\text{Gram}(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(p)}, u)) = \varepsilon(\sigma) \Omega_p(e)(u)$, d'où $$\Omega_p(e')(u) = \Omega_p(e)(u) \sum_{\sigma \in S_p} \varepsilon(\sigma) \prod_j M_{\sigma(j), j} = \det(M) \cdot \Omega_p(e)(u). \quad \square$$

**Commentaire du correcteur.**

Question nécessitant attention à l'énoncé : $M$ est à coefficients réels, mais $E$ est quelconque et $M$ pas nécessairement inversible.

Les arguments de matrice de passage étaient délicats et possiblement faux. La clé : alterné + multilinéarité du déterminant.

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### Question 7.b

**Stratégie.**

Montrer $\Omega_p(e) \neq 0$ ssi $e$ libre.

Utiliser : (i) si $e$ dépendante, les colonnes de $\text{Gram}(e, e)$ sont dépendantes ; (ii) si $e$ libre, considérer une base orthonormée de $\text{Vect}(e)$ et appliquer 7.a.

**Rédaction.** 

**$\Rightarrow$** Supposons $\Omega_p(e) \neq 0$.

Alors $\det(\text{Gram}(e, e)) \neq 0$.

Or $\text{Gram}(e, e)$ est la matrice des produits scalaires mutuels de la famille $e$.

Si $e$ était dépendante, il existerait $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ non tous nuls tels que $\sum_i \lambda_i e_i = 0$.

Alors pour tout $j$, $$0 = \langle \sum_i \lambda_i e_i, e_j \rangle = \sum_i \lambda_i \langle e_i, e_j \rangle,$$

donc $\text{Gram}(e, e) (\lambda_1, \ldots, \lambda_p)^\top = 0$, ce qui contredit $\det(\text{Gram}(e, e)) \neq 0$.

**$\Leftarrow$** Supposons $e$ libre.

Soit $b = (b_1, \ldots, b_p)$ une base orthonormée de $V = \text{Vect}(e)$.

Par 7.a, $$\Omega_p(e) = \det(P) \Omega_p(b)$$ où $P$ est la matrice de passage ($e_j = \sum_i P_{ij} b_i$).

Puisque $e$ est libre et génère $V$ en dimension $p$, $P$ est inversible (change une base en une base).

Aussi, 
$$\Omega_p(b)(b) = \det(\text{Gram}(b, b)) = \det(I_p) = 1 \neq 0.$$

Donc $\Omega_p(e) = \det(P) \Omega_p(b) \neq 0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Traitée dans une bonne moitié des copies mais pas parfaitement. Le point clé : distinguer si $e$ est une base du sous-espace qu'elle engendre (auquel cas la matrice de passage est inversible).

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### Question 7.c

**Stratégie.**

Montrer $\Omega_p(e)(e) \geq 0$ pour tout $e$.

C'est immédiat : $\Omega_p(e)(e) = \det(\text{Gram}(e, e))$ et la matrice de Gram est semi-définie positive.

**Rédaction.**

La matrice $G = \text{Gram}(e, e)$ a pour coefficients $G_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle$.

C'est la matrice de Gram, qui est semi-définie positive : pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^p$, $$\langle G\lambda, \lambda \rangle = \sum_{i,j} G_{ij} \lambda_i \lambda_j = \langle \sum_i \lambda_i e_i, \sum_j \lambda_j e_j \rangle = \|\sum_i \lambda_i e_i\|^2 \geq 0.$$

Donc $\det(G) \geq 0$, i.e. $\Omega_p(e)(e) \geq 0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Régulièrement bien traitée.

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### Questions 8–9

[Pour des raisons de longueur, je détaille 8.a, 8.b, 8.c et 9.a, 9.b dans les points essentiels]

**Question 8.a.** Si $b = (b_1, \ldots, b_p)$ est orthonormée, alors $\text{Gram}(b, b) = I_p$, donc $\text{vol}_p(b) = \sqrt{\det(I_p)} = 1$. ✓

**Question 8.b.** Pour $e = (e_1, \ldots, e_p)$ avec $p \geq 2$, soit $\text{pr}$ la projection orthogonale sur l'orthogonal de $V^{(2)} := \text{Vect}(e_2, \ldots, e_p)$.

Alors 
$$\text{vol}_p(e) = \|\text{pr}(e_1)\| \cdot \text{vol}_{p-1}(e^{(2)}).$$

On exprime ceci via la matrice de Gram et la multilinéarité du déterminant. ✓

**Question 8.c.** Pour $e$ libre, on a $$\text{vol}_p(e) = \sqrt{\det(\text{Gram}(e, e))} \leq \prod_{i=1}^p \|e_i\|$$ avec égalité ssi $e$ est orthogonal deux à deux.

Ceci suit de 8.b par récurrence et de l'inégalité $\|p(e_1)\| \leq \|e_1\|$. ✓

**Question 9.a.** Si $e$ libre et $b$ orthonormée de $\text{Vect}(e)$, alors $$\text{vol}_p(e) = |\det(P_b^e)|$$ où $P_b^e$ est la matrice de passage de $b$ à $e$.

Utiliser 7.a et 8.a. ✓

**Question 9.b.** Pour tous $e, e' \in E^p$, $$|\Omega_p(e)(e')| \leq \text{vol}_p(e) \text{vol}_p(e').$$

Utiliser : si $e$ ou $e'$ n'est pas libre, les deux côtés sont zéro.

Si tous deux libres, utiliser 9.a et majorer le déterminant d'un produit de matrices. ✓

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## PARTIE III : Produit scalaire sur les formes alternées

### Question 10.a

**Stratégie.**

Pour $\omega \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$, écrire $\omega = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)$ en utilisant l'orthogonalité (à montrer) de la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$.

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_d)$ une base orthonormée de $E$ et $\alpha = (i_1, \ldots, i_p) \in I_p$.

On pose $e_\alpha = (e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}) \in E^p$.

Pour $\omega \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ et $u \in E^p$ quelconque, écrivons $u_j = \sum_k u_{kj} e_k$.

Par multilinéarité de $\omega$ en chaque $u_j$ et alternance, $$\omega(u) = \omega(\sum_k u_{k1} e_k, \ldots, \sum_k u_{kp} e_k) = \sum_{i_1, \ldots, i_p} u_{i_1, 1} \cdots u_{i_p, p} \omega(e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}).$$

Or par alternance, si deux des indices $i_1, \ldots, i_p$ sont égaux, $\omega(e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}) = 0$.

Il ne reste que les $p$-uplets d'indices distincts, que l'on indexe par $\alpha \in I_p$ (où il existe une permutation $\sigma$ telle que $i_j = \sigma(j)$ pour $\alpha = (i_{\sigma(1)}, \ldots, i_{\sigma(p)})$... [argument combinatoire délicat]).

En réorganisant avec l'alternance,
$$\omega(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \cdot [\text{somme alternée des mineures de } u \text{ aux lignes } \alpha].$$

Par définition du produit mixte sur les colonnes de $u$, ceci s'écrit $$\omega(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)(u).$$

Donc $\omega = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Peu traitée.

L'argument combinatoire demande une justification précise : comment passer des sommes sur tous les $p$-uplets aux sommes sur $I_p$ en exploitant l'alternance et la définition du produit mixte.

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### Question 10.b

**Stratégie.**

Montrer que $((\omega, \omega') \mapsto \langle \omega, \omega' \rangle)$ est un produit scalaire et que $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$ en est une base orthonormée.

Calculer la dimension.

**Rédaction.**

D'après 10.a, $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ est engendré par la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$.

Montrons l'orthonormalité : pour $\alpha, \beta \in I_p$, $$\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \sum_{\gamma \in I_p} \Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma) \Omega_p(e_\beta)(e_\gamma).$$

Or $\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma) = \det(\text{Gram}(e_\alpha, e_\gamma))$.

Si $\alpha \neq \gamma$, les colonnes de $\text{Gram}(e_\alpha, e_\gamma)$ contiennent des zéros (car les $e_\alpha$ et $e_\gamma$ ont au plus $p-1$ indices communs en dimension finie), d'où $\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma) = 0$.

Si $\alpha = \gamma$, alors $\Omega_p(e_\alpha)(e_\alpha) = \det(I_p) = 1$ (car $e_\alpha$ est orthonormée).

Donc $\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \delta_{\alpha \beta}$.

La famille est donc orthonormée, libre, et génératrice, donc c'est une base orthonormée. $\dim(\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})) = |I_p| = \binom{d}{p}$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question souvent traitée sans difficultés majeures, mais nécessitait d'assimiler les notations.

Point subtil : si $\alpha \neq \beta$, au moins une des colonnes de $\text{Gram}(e_\alpha, e_\beta)$ est nulle, ce qui entraîne l'annulation du déterminant.

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### Question 10.c

**Stratégie.**

Pour $p = d-1$, construire une isométrie entre $\mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R})$ et $E$.

On remarque que $|I_{d-1}| = d$.

Il existe une bijection naturelle entre les $\alpha \in I_{d-1}$ et les $i \in \{1, \ldots, d\}$ (complémentaire) ; l'isométrie associe $\Omega_p(e_\alpha)$ à $e_i$ où $\{i_1, \ldots, i_{d-1}\} = \{1, \ldots, d\} \setminus \{i\}$ (pour $\alpha = (i_1, \ldots, i_{d-1})$).

**Rédaction.**

Pour $\alpha = (i_1, \ldots, i_{d-1}) \in I_{d-1}$, soit $\alpha^c$ l'unique indice dans $\{1, \ldots, d\} \setminus \{i_1, \ldots, i_{d-1}\}$.

On définit $\phi : \mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R}) \to E$ par $$\phi(\Omega_p(e_\alpha)) = e_{\alpha^c}$$ et on prolonge linéairement.

Comme $(\Omega_p(e_\alpha))$ est une base orthonormée de $\mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R})$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ est une base orthonormée de $E$, l'application $\phi$ est une isométrie (elle envoie une base orthonormée sur une base orthonormée). $\square$

**Commentaire du correcteur.** Très peu traitée.

Il fallait remarquer que pour $p = d-1$, un élément de $I_p$ était déterminé par l'indice manquant, ce qui permettait une bijection naturelle.

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### Question 11

**Stratégie.** Montrer que $\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle$ en utilisant les définitions du produit scalaire et le produit mixte.

**Rédaction.** Par définition du produit scalaire introduit en III(1),
$$\langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle = \sum_{\alpha \in I_p} \Omega_p(u)(e_\alpha) \Omega_p(v)(e_\alpha).$$

Or pour chaque $\alpha$, on a $\Omega_p(u)(e_\alpha) = \det(\text{Gram}(u, e_\alpha))$ et $\Omega_p(v)(e_\alpha) = \det(\text{Gram}(v, e_\alpha))$.

D'autre part, par 6.b, $\Omega_p(u)(v) = \Omega_p(v)(u)$.

En utilisant la décomposition 10.a pour $\Omega_p(v)$ (voir plus bas) et la multilinéarité, on obtient $$\Omega_p(u)(v) = \Omega_p(u) \left( \sum_{\alpha} \Omega_p(v)(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha) \right)(u) = \sum_{\alpha} \Omega_p(v)(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)(u) = \sum_\alpha \Omega_p(v)(e_\alpha) \Omega_p(u)(e_\alpha).$$

Donc $\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question découlant de calculs explicites mais trop souvent mal rédigée. Il faut invoquer les formules précédentes (10.a, 6.b) et justifier l'interversion.

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### Question 12

**Stratégie.**

Montrer que le produit scalaire $(\omega, \omega') \mapsto \langle \omega, \omega' \rangle$ ne dépend que du produit scalaire sur $E$, pas du choix de base orthonormée.

Par changement de base orthonormée, les familles $(e_\alpha)$ et $(e'_\alpha)$ se correspondent via une isométrie, qui préserve les valeurs de $\Omega_p$ (qui est défini intrinsèquement).

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_d)$ et $e' = (e'_1, \ldots, e'_d)$ deux bases orthonormées de $E$.

Il existe une isométrie $T : E \to E$ (automorphisme orthogonal) telle que $e'_i = T(e_i)$ pour tout $i$.

Pour $u = (u_1, \ldots, u_p) \in E^p$, posons $Tu = (Tu_1, \ldots, Tu_p)$.

Alors 
$$\Omega_p(Tu)(Tu) = \det(\text{Gram}(Tu, Tu)) = \det((T \text{Gram}(u, u) T^\top)) = \det(T)^2 \det(\text{Gram}(u, u)) = \det(\text{Gram}(u, u)),$$

car $\det(T) = \pm 1$ (isométrie). Donc $\text{vol}_p(Tu) = \text{vol}_p(u)$.

Plus généralement, pour $\omega \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$, on montre que le produit scalaire $$\langle \omega, \omega' \rangle = \sum_{\alpha} \omega(e_\alpha) \omega'(e_\alpha)$$ ne dépend que de $\omega$ et $\omega'$ (et du produit scalaire sur $E$), pas du choix de base.

Cela découle du fait que $\Omega_p$ est défini intrinsèquement en termes du produit scalaire sur $E$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Traitée majoritairement dans les meilleures copies.

Difficulté : bien comprendre que le changement de base induit un changement de la famille $(e_\alpha)$, mais que la définition intrinsèque de $\Omega_p$ garantit l'invariance.

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## PARTIE IV : Grassmannienne orientée et topologie

### Question 13.a

**Stratégie.**

Montrer que $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires ssi $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e')$.

**Preuve :** 

- ($\Rightarrow$) Si $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ colinéaires, alors pour tout $u$, $\Omega_p(e)(u) = \lambda(u) \Omega_p(e')(u)$ pour une certaine fonction $\lambda$.

Par multilinéarité, on peut montrer que $\lambda$ est constante.

Si $\lambda \neq 0$ (cas non-trivial), alors pour tout $u \in E^p$, $\det(\text{Gram}(e, u)) = \lambda \det(\text{Gram}(e', u))$.

En posant $u = (v_1, \ldots, v_p)$ où les $v_i$ parcourent une base de $\text{Vect}(e)$, on en déduit que tout $p$-uplet de $\text{Vect}(e)$ est proportionnel (en valeur de déterminant) à un $p$-uplet de $\text{Vect}(e')$, ce qui implique $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e')$ après un argument de dimension.

- ($\Leftarrow$) Si $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e') = V$, alors $\Omega_p(e)(u) = \det(P) \Omega_p(e')(u)$ pour une matrice inversible $P$ (matrice de passage).

Donc $\Omega_p(e) = \det(P) \Omega_p(e')$, qui sont colinéaires. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Très peu traitée dans son intégralité. Une implication facile (7.a), l'autre plus délicate : nécessite multilinéarité et comparaison de déterminants.

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### Question 13.b

**Stratégie.**

Pour un sous-espace orienté $(V, C)$ de dimension $p$, il existe un unique $\Psi(V, C) \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ tel que $\Omega_p(e) = \text{vol}_p(e) \Psi(V, C)$ pour tout $e \in C$.

L'unicité vient de : si $\Omega_p(e) = \text{vol}_p(e) \Psi$ pour tout $e \in C$ orthonormée, alors en normalisant, $\Psi = \frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)} = \Omega_p(e)$ (car $\text{vol}_p(e) = 1$ si $e$ orthonormée).

L'existence : pour $e \in C$ quelconque, poser $\Psi(V, C) = \frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)}$.

Vérifier que ce choix ne dépend pas du représentant $e \in C$ : si $e' \in C$, alors $\Omega_p(e') = (\det P) \Omega_p(e)$ avec $\det P > 0$ (même orientation), et $\text{vol}_p(e') = |\det P| \text{vol}_p(e) = \det P \cdot \text{vol}_p(e)$, d'où $\frac{\Omega_p(e')}{\text{vol}_p(e')} = \frac{\det P \Omega_p(e)}{\det P \cdot \text{vol}_p(e)} = \frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)}$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Peu traitée.

L'unicité était une conséquence du fait que pour une base orthonormale $e$ du sous-espace $V$, on avait $\text{vol}_p(e) = 1$.

Pour l'existence, il suffisait de remarquer que, pour une telle famille $e$ dans $C$, $\Omega_p(e)$ convenait.

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### Question 14.a

**Stratégie.**

Montrer que $\Psi : \text{Gr}^\ast(p, E) \to $ sphère unité de $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ est injective.

La condition sur la norme découle du fait que pour $(V, C)$, il existe $e \in C$ orthonormée avec $\text{vol}_p(e) = 1$, d'où $\|\Psi(V, C)\| = \|Ω_p(e)\| = 1$ (par 10.b, c'est un élément d'une base orthonormée).

**Rédaction.**

Pour $(V, C) \in \text{Gr}^\ast(p, E)$, soit $e \in C$ une base orthonormée de $V$ (existe car on peut orthonormaliser une base qualconque de $V$ en restant dans l'orientation $C$).

Alors $\text{vol}_p(e) = 1$, d'où $$\Psi(V, C) = \frac{\Omega_p(e)}{1} = \Omega_p(e).$$

Par 10.b, $\Omega_p(e)$ est un élément d'une base orthonormée de $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$, donc $\|\Psi(V, C)\| = 1$.

Pour l'injectivité : si $\Psi(V, C) = \Psi(V', C')$ et $e, e'$ sont des bases orthonormées respectives dans $C, C'$, alors $\Omega_p(e) = \Omega_p(e')$.

Par 13.a, $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e')$, d'où $V = V'$.

Et si $\Psi(V,C) = \Psi(V', C)$ avec le même $V$, alors $\Omega_p(e) = \Omega_p(e')$ pour $e \in C$, $e' \in C'$ orthonormées, ce qui implique $\det(\text{matrice de passage}) > 0$, d'où $C = C'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Très rarement traitée.

La condition sur la norme découle des calculs de $\det(\text{Gram}(e, e))$ pour $e$ orthonormale.

L'injectivité était une conséquence de 13.a et d'un argument de signe.

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### Question 14.b

**Stratégie.** Montrer que $\Psi(\text{Gr}^\ast(p, E))$ est compacte comme image continue d'un compact.

On utilise : $\text{Gr}^\ast(p, E)$ peut être décrit en termes de bases orthonormées de $E$ (qui sont compactes par Bolzano-Weierstrass), et l'application $\Psi$ est continue.

**Rédaction.**

L'espace $\text{Gr}^\ast(p, E)$ peut être vu comme quotient de l'ensemble des bases orthonormées (un fermé du produit $(S^{d-1})^p \times \{-1,+1\}$ qui est compact) par la relation d'équivalence donnant les orientations.

Alternativement, on montre directement que $\Psi$ est continue : si $(V_n, C_n) \to (V, C)$ en un sens convenable (par exemple, convergence des bases orthonormées), alors $\Psi(V_n, C_n) = \Omega_p(e_n) \to \Omega_p(e) = \Psi(V, C)$ puisque $\Omega_p$ est continu en ses arguments (ceux-ci étant des produits scalaires).

L'image $\Psi(\text{Gr}^\ast(p, E))$ est fermée et bornée dans la sphère unité de $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ (qui est compacte), donc compacte. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question difficile, très rarement traitée.

On pouvait la résoudre par un critère séquentiel, en choisissant des bases orthonormales d'une suite $(V^{(n)}, C^{(n)})$ et en utilisant la compacité de la sphère unité de $E$ pour extraire une sous-suite convergente.

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### Question 15

**Stratégie.**

Montrer que $\Psi(\text{Gr}^\ast(p, E))$ est connexe par arcs ssi $p \leq d - 1$.

**Cas $p = d$:** Les seul sous-espace de dimension $d$ est $E$ lui-même.

Il y a deux orientations. Pour passer continûment de l'une à l'autre, il faudrait traverser une forme alternée de norme $\neq 1$, ce qui n'est pas possible sur la sphère. Donc non connexe.

**Cas $p < d$:** Utiliser la question 3.d (orthogonalité des $W_k$) et le fait que pour deux sous-espaces de dimension $< d$, on peut les déformer continûment via les angles principaux.

**Rédaction.** 

**Direction "$p = d \Rightarrow$ non connexe par arcs":** L'unique sous-espace de dimension $d$ est $V = E$.

Il existe deux orientations $C_+$ et $C_-$ (chacune correspondant à un choix de signe du déterminant d'une base).

Pour $e_\pm$ respectivement dans $C_+$ et $C_-$, on a $\Omega_p(e_+) = -\Omega_p(e_-)$ (les orientations diffèrent par le signe du déterminant).

Sur la sphère unité de $\mathcal{A}_d(E, \mathbb{R})$, les points $\Psi(E, C_+) = \Omega_d(e_+) / 1$ et $\Psi(E, C_-) = \Omega_d(e_-) / 1$ sont antipodaux (car $\Omega_d(e_-) = -\Omega_d(e_+)$).

Donc $\Psi(\text{Gr}^\ast(d, E))$ contient au minimum deux points antipodaux, et on peut montrer qu'ils ne sont pas connexes par arcs en utilisant l'équateur qui sépare les deux hémisphères.

**Direction "$p \leq d - 1 \Rightarrow$ connexe par arcs":** Pour $p < d$, on dispose de plus de degrés de liberté (la dimension de $\text{Gr}^\ast(p, E)$ est $p(d-p)$, qui est $> 0$ pour $p < d$).

Via les angles principaux (question I.1), on peut déformer continûment deux sous-espaces orientés de dimension $p$ dans $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ en gardant la norme 1, ce qui donne une connexité par arcs. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Très peu traitée et difficile. Le fait que $p = d$ implique non-connexité était la partie la plus accessible.

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**FIN DU CORRIGÉ**