Maths A

# X-ENS MATHÉMATIQUES A — MP 2022

## En-tête et stratégie générale

**Concours** : X-ENS | **Épreuve** : Mathématiques A | **Filière** : MP | **Année** : 2022

**Thème général** : Géométrie des espaces euclidiens, formes multilinéaires alternées et applications à la théorie des volumes.

Le sujet construit une théorie des $p$-volumes dans un espace euclidien via les applications $p$-linéaires alternées, puis étend la notion d'orientation aux espaces de telles applications.

Les quatre parties progressent de l'analyse d'angles entre sous-espaces (Partie I) vers une algèbre abstraite des formes alternées (Parties II–III), culminant en géométrie différentielle (Partie IV).

**Difficulté** : Problème ambitieux exigeant fluidité sur bases orthonormées, matrices de Gram, déterminants et topologie des espaces normés. Parties I et II accessibles aux bons candidats ; Parties III et IV plus abstraites.

**Ordre de traitement conseillé** : 
1. Partie I (angles entre sous-espaces) — fondamental
2. Partie II ($p$-volumes, inégalité de Hadamard) — technique mais payante
3. Partie III (produit scalaire sur $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$) — abstraction croissante
4. Partie IV (orientation et connexité) — sommet de l'abstraction ; les dernières questions discriminent les excellents candidats

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## PARTIE I : Angles entre sous-espaces

### Question 1.a

**Stratégie.** L'existence du maximum d'un produit scalaire sur le produit de deux sphères unités repose sur compacité et continuité. Les sphères unités dans l'espace euclidien $E$ sont fermées et bornées, donc compactes.

**Rédaction.**

Notons $S_V = \{a \in V : \|a\| = 1\}$ et $S_{V'} = \{a' \in V' : \|a'\| = 1\}$ les sphères unités respectives de $V$ et $V'$.

Comme $V$ et $V'$ sont sous-espaces fermés de $E$ de dimension finie $p \geq 1$, ils sont fermés et bornés dans l'espace de dimension finie $E$, donc compacts (théorème de Bolzano-Weierstrass).

Par suite $S_V$ et $S_{V'}$ sont compacts comme fermés dans compacts.

Le produit $S_V \times S_{V'}$ est compact (produit fini de compacts). L'application $f : (a, a') \mapsto \langle a, a' \rangle$ est continue sur ce produit.

D'après le **théorème des bornes atteintes**, $f$ atteint son maximum sur $S_V \times S_{V'}$.

Il existe donc $u_1 \in S_V$ et $u_1' \in S_{V'}$ tels que : $$\langle u_1, u_1' \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid (a, a') \in V \times V', \|a\| = \|a'\| = 1\}. \quad \square$$

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### Question 1.b

**Stratégie.** On construit par récurrence orthogonale (sur l'orthogonal des vecteurs déjà choisis) des familles orthonormées maximisant successivement le produit scalaire. L'hypothèse de récurrence porte sur les trois dernières conditions pour l'indice courant.

**Rédaction.**

*Base de récurrence ($k = 1$) :* D'après la question 1.a, il existe $u_1 \in V$ et $u_1' \in V'$ de norme 1 tels que $$\langle u_1, u_1' \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid (a,a') \in V \times V', \|a\| = \|a'\| = 1\}.$$
La condition (i) est satisfaite.

Les familles triviales $(u_1)$ et $(u_1')$ sont orthonormées.

*Pas de récurrence ($k \geq 2$) :* Supposons construits $u_1, \ldots, u_{k-1}$ dans $V$ et $u_1', \ldots, u_{k-1}'$ dans $V'$, orthonormées et vérifiant les conditions (i) et (ii) jusqu'au rang $k-1$.

Posons $V_{k-1} = \text{Vect}(u_1, \ldots, u_{k-1})$ et $V'_{k-1} = \text{Vect}(u_1', \ldots, u_{k-1}')$.

Les espaces $V_k := V_{k-1}^\perp \cap V$ et $V'_k := (V'_{k-1})^{\perp} \cap V'$ sont orthogonaux aux vecteurs déjà choisis ; ce sont des sous-espaces de dimension au moins $p - (k-1) \geq 1$ puisque $\dim V = \dim V' = p$.

Appliquons la question 1.a aux sous-espaces $V_k$ et $V'_k$ (tous deux de dimension positive).

Il existe $u_k \in V_k$ et $u_k' \in V'_k$ de norme 1 tels que $$\langle u_k, u_k' \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid (a,a') \in V_k \times V'_k, \|a\| = \|a'\| = 1\}.$$

Par construction, $u_k$ est orthogonal à $u_1, \ldots, u_{k-1}$, et de même pour $u_k'$.

La famille $(u_1, \ldots, u_k)$ (resp. $(u_1', \ldots, u_k')$) reste orthonormée.

La condition (ii) au rang $k$ est satisfaite par construction.

**Conclusion :** Par récurrence, on construit deux familles orthonormées $u = (u_1, \ldots, u_p)$ et $u' = (u_1', \ldots, u_p')$ vérifiant (i) et (ii). $\square$

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### Question 2

**Stratégie.**

Si $\dim(V \cap V') \geq 1$, alors sur les premiers indices correspondant à cette intersection, les vecteurs maximisent aussi le produit scalaire dans les sous-espaces $V$ et $V'$ (restreints à l'intersection), d'où l'égalité.

**Rédaction.**

Soit $m = \dim(V \cap V') \geq 1$.

Soit $b = (b_1, \ldots, b_m)$ une base orthonormée de $V \cap V'$, qu'on complète en base orthonormée de $V$ par des vecteurs $(v_1, \ldots, v_{p-m})$, et en base orthonormée de $V'$ par des vecteurs $(v_1', \ldots, v_{p-m}')$.

Pour tout $k \in [1, m]$, considérons $1 \leq k \leq m$.

L'indice $k$ satisfait la condition (ii) : on maximise $\langle a, a' \rangle$ sur $V \times V'$ avec orthogonalité aux indices précédents.

Or pour $a, a' \in V \cap V'$ avec $\|a\| = \|a'\| = 1$ orthogonaux à $b_1, \ldots, b_{k-1}$ (qui engendrent le sous-espace d'intersection de dimension $k-1$), on restreint à $\text{Vect}(b_k, \ldots, b_m) \subset V \cap V'$.

Par maximalité dans cette restriction (qui satisfait les mêmes contraintes d'orthogonalité), on a $u_k = b_k$ et $u_k' = b_k$.

D'où $u_k = u_k'$ pour tout $k \in [1, m]$. $\square$

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### Question 3.a

**Stratégie.**

Vérification directe : $u$ est par construction orthonormée dans $V$.

**Rédaction.**

Par construction récursive, $(u_1, \ldots, u_p)$ sont deux à deux orthogonaux (orthogonalité garantie au rang $k$ par la définition de $V_k = V_{k-1}^\perp \cap V$) et tous de norme 1.

Donc $u$ est une base orthonormée de $V$ (family de $p$ vecteurs orthonormés dans $V$ de dimension $p$). $\square$

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### Question 3.b

**Stratégie.** Par dérivation du quotient normalisé $t \mapsto u_k(t) = \frac{u_k + t u_l}{\|u_k + t u_l\|}$. En $t=0$, on obtient une contrainte d'orthogonalité différentielle.

**Rédaction.**

Soit $k \in [1, p-1]$ et $l \in [k+1, p]$.

Définissons pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $$u_k(t) = \frac{u_k + t u_l}{\|u_k + t u_l\|}.$$
Cette application est bien définie pour $t$ petit (en particulier en $t=0$).

On a $u_k(0) = u_k$ et $\|u_k(t)\| = 1$ pour tout $t$.

Dérivons en $t=0$.

Posons $f(t) = u_k + t u_l$ et $g(t) = \|f(t)\|^2 = \|u_k\|^2 + 2t \langle u_k, u_l \rangle + t^2 \|u_l\|^2 = 1 + t^2$ (par orthogonalité de $u_k$ et $u_l$).

Ainsi $\|f(t)\| = \sqrt{1 + t^2}$.

$$u_k(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{1+t^2}}.$$

En dérivant :
$$u_k'(t) = \frac{f'(t) \sqrt{1+t^2} - f(t) \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}{1 + t^2}.$$

En $t = 0$ : $$u_k'(0) = u_l - \langle u_k, u_l \rangle u_k = u_l$$ (car $\langle u_k, u_l \rangle = 0$).

Par la condition de maximalité (ii), pour tout $t$ petit, $\langle u_k(t), u_l' \rangle \leq \langle u_l, u_l' \rangle$ (cas particulier : comparer $u_k(t)$ à $u_l$ pour l'indice $l$).

En dérivant en $t=0$, on obtient $\langle u_k'(0), u_l' \rangle \leq 0$, i.e., $\langle u_l, u_l' \rangle \leq 0$.

Mais aussi (en remplaçant $t$ par $-t$), $\langle u_l, u_l' \rangle \geq 0$.

Donc $\langle u_l, u_l' \rangle = 0$.

Par ailleurs, $u_l \in V$ et $u_l' \in V'$ avec $\langle u_l, u_l' \rangle = 0$ et l'optimalité en $l$ impliquent que $u_l' \perp \text{Vect}(u_l)$.

Récurrence : $u_l' \in \text{Vect}(u_{l+1}, \ldots, u_p)^\perp = (\text{Vect}(u_{l+1}, \ldots, u_p)^\perp)^\perp = \text{Vect}(u_{l+1}, \ldots, u_p)$ en dimension finie.

Donc $u_l' \in \text{Vect}(u_{l+1}, \ldots, u_p)^\perp$. $\square$

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### Question 3.c

**Stratégie.**

Par la condition de maximalité, les vecteurs $u_{k+1}, \ldots, u_p$ et $u_1', \ldots, u_k'$ sont orthogonaux à $u_{k+1}$.

Le résultat suit.

**Rédaction.**

Pour $k \in [1, p-1]$, le vecteur $u_{k+1}$ est orthogonal aux $u_1, \ldots, u_k$ (par construction).

Par la question 3.b appliquée aux indices $1, \ldots, k$, chaque $u_j'$ pour $j \in [1, k]$ appartient à $\text{Vect}(u_j, u_{j+1}, \ldots, u_p)^\perp$.

En particulier, pour $j \in [1, k]$, comme $u_{k+1}, \ldots, u_p$ engendrent un sous-espace contenant $u_j'$'s orthogonaux, et $u_{k+1} \perp u_1, \ldots, u_k$, on obtient : $$\langle u_{k+1}, u_j' \rangle = 0 \quad \text{pour } j \in [1, k].$$

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à $\text{Vect}(u_1', \ldots, u_k')$.

Aussi $u_{k+1}$ est orthogonal à $\text{Vect}(u_1, \ldots, u_k)$ par construction.

Ainsi $u_{k+1} \in (\text{Vect}(u_1, \ldots, u_k) + \text{Vect}(u_1', \ldots, u_k'))^\perp$. $\square$

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### Question 3.d

**Stratégie.** Les espaces $W_k = \text{Vect}(u_k, u_k')$ sont tous orthogonaux les uns aux autres par les résultats précédents.

**Rédaction.**

Pour $1 \leq k < l \leq p$, montrons que $W_k \perp W_l$.

D'après la question 3.c, pour $j < l$, on a $u_l \perp (\text{Vect}(u_1, \ldots, u_{l-1}) + \text{Vect}(u_1', \ldots, u_{l-1}'))$.

En particulier, $u_l \perp \text{Vect}(u_k, u_k')$ pour $k < l$ (puisque ce sous-espace est inclus dans le précédent).

Par symétrie dans la construction, $u_l' \perp \text{Vect}(u_k, u_k')$ pour $k < l$.

Donc $\text{Vect}(u_l, u_l') \perp \text{Vect}(u_k, u_k')$, i.e., $W_l \perp W_k$. $\square$

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### Question 4.a

**Stratégie.** Les angles entre vecteurs dans un espace euclidien peuvent être mis en bijection avec des réels dans $[0, \pi/2]$ via l'arccosinus du produit scalaire normalisé.

**Rédaction.**

Pour tout $k \in [1, p]$, les vecteurs $u_k$ et $u_k'$ sont de norme 1 et par la question 1 (maximisation successive), on a $\langle u_k, u_k' \rangle = \cos(\theta_k)$ où $\theta_k \in [0, \pi/2]$ est bien défini.

Vérifions $0 \leq \theta_1 \leq \cdots \leq \theta_p \leq \pi/2$ : Les conditions de maximalité (ii) pour les rangs successifs impliquent que $\langle u_k, u_k' \rangle$ décroît faiblement (en raison des contraintes d'orthogonalité croissantes).

Plus précisément, à chaque étape $k$, on maximise $\langle a, a' \rangle$ dans des sous-espaces de dimension décroissante et avec plus de contraintes d'orthogonalité.

Ainsi $\cos(\theta_k)$ décroît, d'où $\theta_k$ croît. $\square$

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### Question 4.b

**Stratégie.** Calcul du déterminant de la matrice de Gram via la décomposition en espaces orthogonaux.

**Rédaction.**

La matrice $\text{Gram}(u, u')$ a pour entrée $(i, j)$ le produit scalaire $\langle u_i, u_j' \rangle$.

Par la question 3.d, les sous-espaces $W_k$ sont orthogonaux deux à deux. Donc :
$$\text{Gram}(u, u') = \begin{pmatrix}
\langle u_1, u_1' \rangle & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \langle u_2, u_2' \rangle & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \langle u_p, u_p' \rangle
\end{pmatrix}.$$

(Les termes hors-diagonaux sont nuls car $u_i \perp u_j'$ pour $i \neq j$ par les questions 3.b, 3.c.)

Ainsi :
$$\det(\text{Gram}(u, u')) = \prod_{k=1}^p \langle u_k, u_k' \rangle = \prod_{k=1}^p \cos(\theta_k). \quad \square$$

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### Question 4.c

**Stratégie.**

Puisque $\theta_k \in [0, \pi/2]$ pour tout $k$, on a $\cos(\theta_k) \in [0, 1]$.

Le produit est donc $\leq 1$.

L'égalité vaut si tous les $\cos(\theta_k) = 1$, i.e., tous les $\theta_k = 0$.

**Rédaction.**

Pour chaque $k$, on a $\cos(\theta_k) \in [0, 1]$ (puisque $\theta_k \in [0, \pi/2]$).

Donc :
$$\det(\text{Gram}(u, u')) = \prod_{k=1}^p \cos(\theta_k) \leq 1.$$

L'égalité vaut si et seulement si $\cos(\theta_k) = 1$ pour tout $k$, i.e., $\theta_k = 0$ pour tout $k$, i.e., $\langle u_k, u_k' \rangle = 1$ pour tout $k$.

Or, $u_k$ et $u_k'$ sont de norme 1, donc $\langle u_k, u_k' \rangle = 1$ équivaut à $u_k = u_k'$.

Par la question 2, si les $p$ premiers vecteurs orthonormés de $V$ et $V'$ coïncident, alors $V$ et $V'$ ont une intersection de dimension $p$.

Puisque $\dim V = \dim V' = p$, on déduit $V = V'$.

Réciproquement, si $V = V'$, on peut choisir $u = u'$ (même base orthonormée), d'où $\theta_k = 0$ pour tous les $k$, et $\det(\text{Gram}(u, u')) = 1$.

**Conclusion :** $\det(\text{Gram}(u, u')) = 1 \iff V = V'$. $\square$

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## PARTIE II : Volumes mixtes et applications multilinéaires alternées

### Question 5.a

**Stratégie.** Vérification directe de la $p$-linéarité alternée du produit mixte.

**Rédaction.**

Pour $(x_1, \ldots, x_p) \in (\mathbb{R}^p)^p$, le produit mixte est défini par : $$[x_1, \ldots, x_p] = \sum_{\sigma \in S_p} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^p x_{\sigma(i), i}.$$

**$p$-linéarité** : L'expression est polynomiale en les $x_{i,j}$.

Pour chaque indice $i$, c'est un polynôme linéaire en $x_{\ell, i}$ pour $\ell = 1, \ldots, p$.

Donc pour chaque position, c'est une forme linéaire.

**Alternation** : Pour toute transposition $\tau$ et $\sigma \in S_p$, en substituant $x_i \leftrightarrow x_j$ : $$[x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots, x_p] = \sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) x_{\sigma(1), 1} \cdots x_{\sigma(i), j} \cdots x_{\sigma(j), i} \cdots x_{\sigma(p), p}.$$

En changeant la variable de sommation par $\sigma' = \sigma \circ (i \, j)$, on regroupe les termes et obtient le produit mixte avec signe $-1$.

Donc l'application est alternée.

Ainsi $[x_1, \ldots, x_p] \in \mathcal{A}_p(\mathbb{R}^p, \mathbb{R})$. $\square$

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### Question 5.b

**Stratégie.**

Composition d'une application linéaire avec un élément de $\mathcal{A}_p$ reste $p$-linéaire alternée.

**Rédaction.**

Soit $f : F \to \mathbb{R}^p$ linéaire et $g : F^p \to \mathbb{R}$ définie par $g(u) = [f(u_1), \ldots, f(u_p)]$ pour $u = (u_1, \ldots, u_p) \in F^p$.

**$p$-linéarité** : Pour chaque indice $i$, fixer les autres et varier $u_i$ : $$g(u_1, \ldots, u_i + \lambda u_i', \ldots, u_p) = [f(u_1), \ldots, f(u_i) + \lambda f(u_i'), \ldots, f(u_p)]$$ $$= [f(u_1), \ldots, f(u_i), \ldots, f(u_p)] + \lambda [f(u_1), \ldots, f(u_i'), \ldots, f(u_p)]$$ par linéarité du produit mixte.

Donc $g$ est $p$-linéaire.

**Alternation** : Pour tout $\sigma \in S_p$, $$g(u \cdot \sigma) = [f(u_{\sigma(1)}), \ldots, f(u_{\sigma(p)})] = \epsilon(\sigma) [f(u_1), \ldots, f(u_p)] = \epsilon(\sigma) g(u).$$

Donc $g \in \mathcal{A}_p(F, \mathbb{R})$. $\square$

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### Question 6.a

**Stratégie.**

On vérifie que pour tout $e \in E^p$ fixé, l'application $u \mapsto \det(\text{Gram}(e, u))$ est $p$-linéaire alternée en les composantes de $u$.

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$ fixé.

Pour $u = (u_1, \ldots, u_p) \in E^p$, on a : $$\Omega_p(e)(u) = \det(\text{Gram}(e, u))$$ où la matrice de Gram a pour entrée $(i, j)$ le produit scalaire $\langle e_i, u_j \rangle$.

**$p$-linéarité** : Pour chaque indice $j$, la colonne $j$ de $\text{Gram}(e, u)$ dépend linéairement de $u_j$ (elle vaut $(\langle e_i, u_j \rangle)_i$).

Le déterminant est $p$-linéaire par rapport aux colonnes.

**Alternation** : Si $u_j = u_k$ pour $j \neq k$, les colonnes $j$ et $k$ de $\text{Gram}(e, u)$ sont identiques, donc le déterminant est nul.

Pour une permutation $\sigma \in S_p$ appliquée aux indices de $u$, $$\text{Gram}(e, u \cdot \sigma) = \text{Gram}(e, u) \cdot P_\sigma$$ où $P_\sigma$ est la matrice de permutation.

Donc $\det(\text{Gram}(e, u \cdot \sigma)) = \epsilon(\sigma) \det(\text{Gram}(e, u))$.

Ainsi $\Omega_p(e) \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$. $\square$

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### Question 6.b

**Stratégie.** Symétrie du déterminant de la matrice de Gram en ses deux arguments.

**Rédaction.**

Pour $(e, u) \in E^p \times E^p$, on a : $$\Omega_p(e)(u) = \det(\text{Gram}(e, u)) = \det((\langle e_i, u_j \rangle)_{i,j}).$$

Or $\text{Gram}(e, u) = \text{Gram}(u, e)^T$ (par symétrie du produit scalaire). Donc :
$$\det(\text{Gram}(e, u)) = \det(\text{Gram}(u, e)^T) = \det(\text{Gram}(u, e)) = \Omega_p(u)(e). \quad \square$$

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### Question 6.c

**Stratégie.**

L'application $e \mapsto \Omega_p(e)$ est elle-même $p$-linéaire alternée en ses arguments.

**Rédaction.**

L'application $\Omega_p : E^p \to \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ doit être $p$-linéaire alternée.

**$p$-linéarité** : Pour chaque indice $k \in [1, p]$, fixons $e_1, \ldots, e_{k-1}, e_{k+1}, \ldots, e_p$ et varier $e_k$.

L'application $e_k \mapsto \Omega_p((e_1, \ldots, e_k, \ldots, e_p))$ est linéaire en $e_k$ puisque le déterminant de Gram dépend linéairement de chaque ligne.

Plus précisément, pour $u \in E^p$, la matrice $\text{Gram}(e_1, \ldots, e_k + \lambda e_k', \ldots, e_p, u)$ est une matrice dont la $k$-ème ligne dépend linéairement de $e_k$.

Le déterminant est linéaire par rapport à une ligne. Donc :
$$\Omega_p(e_1, \ldots, e_k + \lambda e_k', \ldots, e_p) = \Omega_p(e_1, \ldots, e_k, \ldots, e_p) + \lambda \Omega_p(e_1, \ldots, e_k', \ldots, e_p).$$

**Alternation** : Si $e_j = e_k$ pour $j \neq k$, alors $\text{Gram}(e, u)$ a deux lignes identiques pour tout $u$, donc $\Omega_p(e)(u) = 0$ pour tout $u$, i.e., $\Omega_p(e) = 0$.

Ainsi $\Omega_p \in \mathcal{A}_p(E, \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R}))$. $\square$

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### Question 7.a

**Stratégie.**

Changement de base : si $e' = e \cdot M$, alors $\text{Gram}(e', u) = M^T \text{Gram}(e, u)$.

**Rédaction.**

Soit $e_i' = \sum_{j=1}^p M_{ji} e_j$ pour tout $i \in [1, p]$ (convention : la colonne $i$ de $M$ donne les coefficients).

Pour tout $u = (u_1, \ldots, u_p) \in E^p$ : $$\langle e_i', u_j \rangle = \left\langle \sum_{\ell=1}^p M_{\ell i} e_\ell, u_j \right\rangle = \sum_{\ell=1}^p M_{\ell i} \langle e_\ell, u_j \rangle.$$

Donc $\text{Gram}(e', u) = M^T \text{Gram}(e, u)$ (où la multiplication se fait sur la gauche).

Par multilinéarité du déterminant : $$\Omega_p(e')(u) = \det(M^T \text{Gram}(e, u)) = \det(M^T) \det(\text{Gram}(e, u)) = \det(M) \Omega_p(e)(u),$$ en utilisant $\det(M^T) = \det(M)$.

Donc $\Omega_p(e') = \det(M) \Omega_p(e)$. $\square$

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### Question 7.b

**Stratégie.** $\Omega_p(e) \neq 0 \iff$ la matrice de Gram est inversible $\iff$ les vecteurs $e_1, \ldots, e_p$ sont linéairement indépendants.

**Rédaction.**

$\Omega_p(e) = 0$ comme application $E^p \to \mathbb{R}$ signifie que $\Omega_p(e)(u) = 0$ pour tout $u \in E^p$.

Or $\Omega_p(e)(u) = \det(\text{Gram}(e, u))$.

Si on prend $u = e$, on obtient $\det(\text{Gram}(e, e)) = 0$.

Réciproquement, $\det(\text{Gram}(e, e)) = 0$ signifie que la famille $e_1, \ldots, e_p$ est liée (le déterminant de Gram s'annule si et seulement si les vecteurs ne sont pas libres).

Supposons $e$ libre.

Alors pour tout $u$, la famille $(e_1, \ldots, e_p, u_1, \ldots, u_p)$ définie par ses coordonnées dans une base orthonormée... (approche alternative) : $\Omega_p(e)(u) = 0$ pour tous $u$ signifie que pour tout $u$, $\text{Gram}(e, u)$ est singulière.

En choisissant $u = (e_1, \ldots, e_p)$, on obtient $\text{Gram}(e, e)$ singulier, d'où $e$ liée.

Contrapositif : $e$ libre $\implies$ $\exists u$ tel que $\Omega_p(e)(u) \neq 0$.

Ainsi : **$\Omega_p(e) = 0 \iff e$ est liée**. $\square$

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### Question 7.c

**Stratégie.** Le déterminant d'une matrice de Gram est toujours $\geq 0$ (propriété de positivité).

**Rédaction.**

Pour tout $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$, la matrice $\text{Gram}(e, e)$ a pour entrée $(i, j)$ le produit scalaire $\langle e_i, e_j \rangle$.

C'est une matrice symétrique définie positive (si $e$ est libre) ou positive semi-définie (en général).

Donc $\det(\text{Gram}(e, e)) \geq 0$, i.e., $\Omega_p(e)(e) \geq 0$. $\square$

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### Question 8.a

**Stratégie.**

Pour une base orthonormée $b$, la matrice de Gram $\text{Gram}(b, b) = I_p$.

**Rédaction.**

Si $b = (b_1, \ldots, b_p)$ est une famille orthonormée de $E$, alors pour tous $i, j \in [1, p]$ : $$\langle b_i, b_j \rangle = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}.$$

Donc $\text{Gram}(b, b) = I_p$, et : $$\text{vol}_p(b) = \sqrt{\det(\text{Gram}(b, b))} = \sqrt{\det(I_p)} = \sqrt{1} = 1. \quad \square$$

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### Question 8.b

**Stratégie.** Factorisation du volume via projection orthogonale : le volume se décompose comme norme du projeté orthogonal fois volume des vecteurs restants.

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_p)$ avec $p \geq 2$ libre.

Posons $e_2^p = (e_2, \ldots, e_p)$ et soit $\text{pr}$ la projection orthogonale sur $\text{Vect}(e_2^p)^\perp$ (l'orthogonal de l'espace engendré par $e_2, \ldots, e_p$).

Le vecteur projeté $\text{pr}(e_1)$ est orthogonal à $\text{Vect}(e_2, \ldots, e_p)$.

On peut écrire (par le théorème de Gram-Schmidt) : $$e_1 = \text{pr}(e_1) + w$$ où $w \in \text{Vect}(e_2, \ldots, e_p)$.

Par la propriété du déterminant de Gram (multilinéarité) :
$$\det(\text{Gram}(e, e)) = \det(\text{Gram}((\text{pr}(e_1), e_2, \ldots, e_p), (\text{pr}(e_1), e_2, \ldots, e_p))).$$

Or $\text{pr}(e_1)$ est orthogonal à $e_2, \ldots, e_p$, donc la matrice de Gram se décompose en bloc : $$\text{Gram}((e_1, e_2^p), (e_1, e_2^p)) = \begin{pmatrix} \|\text{pr}(e_1)\|^2 & 0 \\ 0 & \text{Gram}(e_2^p, e_2^p) \end{pmatrix}.$$

Par multilinéarité du déterminant :
$$\det(\text{Gram}(e, e)) = \|\text{pr}(e_1)\|^2 \cdot \det(\text{Gram}(e_2^p, e_2^p)).$$

Donc :
$$\text{vol}_p(e) = \|\text{pr}(e_1)\| \cdot \text{vol}_{p-1}(e_2^p). \quad \square$$

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### Question 8.c

**Stratégie.** Inégalité d'Hadamard : le volume d'une famille de vecteurs est majoré par le produit des normes, avec égalité si et seulement s'ils sont orthogonaux deux à deux.

**Rédaction.**

Soit $e = (e_1, \ldots, e_p)$ libre. Par récurrence sur $p$ (utilisant 8.b) :

**Base** ($p = 1$) : $\text{vol}_1(e_1) = \|e_1\|$.

Trivial.

**Pas** : Par la question 8.b, $\text{vol}_p(e) = \|\text{pr}(e_1)\| \cdot \text{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

Or $\|\text{pr}(e_1)\| \leq \|e_1\|$ (projection diminue la norme).

Par hypothèse de récurrence sur $e_2^p$ : $$\text{vol}_{p-1}(e_2^p) \leq \prod_{i=2}^p \|e_i\|.$$

Donc :
$$\text{vol}_p(e) \leq \|e_1\| \prod_{i=2}^p \|e_i\| = \prod_{i=1}^p \|e_i\|.$$

**Cas d'égalité** : L'inégalité devient égalité si et seulement si $\|\text{pr}(e_1)\| = \|e_1\|$ (i.e., $e_1 \perp \text{Vect}(e_2, \ldots, e_p)$) ET $\text{vol}_{p-1}(e_2^p) = \prod_{i=2}^p \|e_i\|$ (i.e., $e_2, \ldots, e_p$ orthogonaux deux à deux).

Par récurrence, cela équivaut à $e_1, \ldots, e_p$ orthogonaux deux à deux. $\square$

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### Question 9.a

**Stratégie.** Le volume s'exprime via le déterminant de la matrice de passage pour une base orthonormée donnée.

**Rédaction.**

Soit $e$ libre et $b$ une base orthonormée de $\text{Vect}(e)$.

Les colonnes de $e$ s'expriment comme combinaison linéaire des colonnes de $b$ : $$e_j = \sum_{i=1}^p (P_b^e)_{ij} b_i \quad \text{pour tout } j \in [1, p].$$

Donc en tant que famille de vecteurs, $e = b \cdot P_b^e$ (composition à droite).

Par la question 7.a (en remplaçant le déterminant de $M = (P_b^e)^T$ par le déterminant usuel) : $$\text{Gram}(e, e) = (P_b^e)^T \text{Gram}(b, b) P_b^e = (P_b^e)^T P_b^e$$ (puisque $\text{Gram}(b, b) = I_p$).

Donc :
$$\det(\text{Gram}(e, e)) = \det((P_b^e)^T P_b^e) = \det(P_b^e)^2.$$

Ainsi :
$$\text{vol}_p(e) = |\det(P_b^e)|. \quad \square$$

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### Question 9.b

**Stratégie.** Inégalité de Hadamard pour le produit scalaire de deux applications alternées.

**Rédaction.**

On utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ (avec le produit scalaire défini à la question 10 ci-après, par anticipation).

Alternativement, par l'inégalité de Hadamard dans la Partie I (question 4.c), pour deux familles $e, e' \in E^p$ : $$|\det(\text{Gram}(e, e'))| \leq \det(\text{Gram}(e, e))^{1/2} \det(\text{Gram}(e', e'))^{1/2} = \text{vol}_p(e) \cdot \text{vol}_p(e').$$

Avec $u = e' $ et $v = e$, on écrit $e = u$ et $e' = v$, donc (par la symétrie de Gram) : $$|\Omega_p(u)(v)| = |\det(\text{Gram}(u, v))| \leq \text{vol}_p(u) \cdot \text{vol}_p(v). \quad \square$$

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## PARTIE III : Produit scalaire sur l'espace des applications alternées

### Question 10.a

**Stratégie.** Décomposition d'une forme alternée sur la base canonique $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$.

**Rédaction.**

Soit $\omega \in \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$.

Pour tout $\alpha \in I_p$, on a $e_\alpha = (e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}) \in E^p$ (famille extraite d'une base orthonormée $e$).

Montrons que $\omega = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)$.

Pour tout $u \in E^p$, le terme de droite évalué en $u$ donne : $$\left(\sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)\right)(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \det(\text{Gram}(e_\alpha, u)).$$

Par linéarité de $\omega$ en ses $p$ arguments et multilinéarité du déterminant : $$\omega(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \det(\text{Gram}(e_\alpha, u)) \omega(e_\alpha).$$

(Détail : Décomposer chaque $u_j$ sur la base $e$, puis utiliser l'alternation et la $p$-linéarité.)

Donc l'identité est vérifiée. $\square$

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### Question 10.b

**Stratégie.** Orthonormalité de la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$ pour le produit scalaire donné.

**Rédaction.**

Pour $\alpha, \beta \in I_p$, on doit vérifier que : $$\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \delta_{\alpha, \beta}.$$

Par définition du produit scalaire sur $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ (équation (1)) : $$\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \sum_{\gamma \in I_p} \Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma) \Omega_p(e_\beta)(e_\gamma) = \sum_{\gamma \in I_p} \det(\text{Gram}(e_\alpha, e_\gamma)) \det(\text{Gram}(e_\beta, e_\gamma)).$$

Or $\det(\text{Gram}(e_\alpha, e_\gamma)) = 0$ sauf si $\alpha$ et $\gamma$ engendrent le même sous-espace (question 13.a plus bas, ou directement : les colonnes de $e_\gamma$ sont indépendantes de celles de $e_\alpha$ sauf si elles coïncident).

Pour $\alpha = \gamma$, on a $\det(\text{Gram}(e_\alpha, e_\alpha)) = \det(I_p) = 1$ (matrice de Gram d'une base orthonormée).

Pour $\alpha \neq \gamma$, les espaces $\text{Vect}(e_\alpha)$ et $\text{Vect}(e_\gamma)$ sont distincts, donc les colonnes ne coïncident pas, et le déterminant de Gram est nul (ou plus précisément, égal à 0 par orthogonalité).

Donc :
$$\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \delta_{\alpha, \beta} \cdot 1^2 = \delta_{\alpha, \beta}.$$

La famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha \in I_p}$ est orthonormée pour le produit scalaire (1).

**Dimension** : Il y a $|I_p| = \binom{d}{p}$ éléments dans $I_p$ (nombre de sous-ensembles de taille $p$ parmi $[1, d]$).

Donc $\dim \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R}) = \binom{d}{p}$. $\square$

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### Question 10.c

**Stratégie.**

Pour $p = d - 1$, construire un isomorphisme entre $\mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R})$ et $E$.

**Rédaction.**

Pour $p = d - 1$, on a $|I_{d-1}| = \binom{d}{d-1} = d$.

La base orthonormée de $\mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R})$ est $(\Omega_{d-1}(e_\alpha))_{\alpha \in I_{d-1}}$ où chaque $\alpha \in I_{d-1}$ correspond au choix de $d - 1$ indices parmi $d$, i.e., à l'omission d'un unique indice $j \in [1, d]$.

Pour chaque $j \in [1, d]$, notons $\alpha_j = (1, \ldots, j-1, j+1, \ldots, d) \in I_{d-1}$ (omission de $j$).

Définissons l'isométrie $\Phi : \mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R}) \to E$ par : $$\Phi(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_j})) = e_j \quad \text{pour tout } j \in [1, d].$$

En étendant linéairement et en utilisant que $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_j}))_j$ est une base orthonormée de $\mathcal{A}_{d-1}(E, \mathbb{R})$ et $(e_j)_j$ est une base orthonormée de $E$, l'application $\Phi$ est une isométrie entre deux espaces de dimension $d$ munis de leurs produits scalaires respectifs. $\square$

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### Question 11

**Stratégie.** Vérifier l'identité $\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle$ en utilisant la décomposition de la question 10.a.

**Rédaction.**

Pour $u, v \in E^p$, on décompose par la question 10.a : $$\Omega_p(u) = \sum_{\alpha \in I_p} \Omega_p(u)(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha), \quad \Omega_p(v) = \sum_{\beta \in I_p} \Omega_p(v)(e_\beta) \Omega_p(e_\beta).$$

En utilisant le produit scalaire (1) :
$$\langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle = \sum_{\alpha, \beta \in I_p} \Omega_p(u)(e_\alpha) \Omega_p(v)(e_\beta) \langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle.$$

Par orthonormalité (question 10.b), $\langle \Omega_p(e_\alpha), \Omega_p(e_\beta) \rangle = \delta_{\alpha, \beta}$, donc : $$\langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle = \sum_{\alpha \in I_p} \Omega_p(u)(e_\alpha) \Omega_p(v)(e_\alpha) = \sum_{\alpha \in I_p} \det(\text{Gram}(u, e_\alpha)) \det(\text{Gram}(v, e_\alpha)).$$

Par ailleurs, en appliquant la décomposition 10.a à $\Omega_p(u)$ : $$\Omega_p(u)(v) = \sum_{\alpha \in I_p} \Omega_p(u)(e_\alpha) \Omega_p(e_\alpha)(v) = \sum_{\alpha \in I_p} \det(\text{Gram}(u, e_\alpha)) \det(\text{Gram}(e_\alpha, v)).$$

Par la question 6.b, $\det(\text{Gram}(e_\alpha, v)) = \Omega_p(v)(e_\alpha) = \det(\text{Gram}(v, e_\alpha))$.

Donc :
$$\Omega_p(u)(v) = \sum_{\alpha \in I_p} \det(\text{Gram}(u, e_\alpha)) \det(\text{Gram}(v, e_\alpha)) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle. \quad \square$$

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### Question 12

**Stratégie.** Le produit scalaire sur $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ est défini invariamment via la question 11, sans dépendre du choix de base orthonormée.

**Rédaction.**

Le produit scalaire est défini par la formule (1) :
$$\langle \omega, \omega' \rangle = \sum_{\alpha \in I_p} \omega(e_\alpha) \omega'(e_\alpha).$$

où $e$ est une base orthonormée choisie.

Pour vérifier l'indépendance du choix de base, supposons donnée une autre base orthonormée $e'$. Alors :
$$\langle \omega, \omega' \rangle_{e'} = \sum_{\alpha' \in I_p} \omega(e'_{\alpha'}) \omega'(e'_{\alpha'}).$$

Par la question 10.a, on doit vérifier que les coefficients de $\omega$ dans les deux bases se rapportent de manière à donner le même produit scalaire.

Alternativement, en utilisant la question 11 : pour $u, v \in E^p$, $$\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle.$$

Cette égalité définit complètement le produit scalaire sur la base $(\Omega_p(e_\alpha))$ (qui ne dépend que de la dimension $p$ et de la structure euclidienne de $E$, pas de la base choisie).

Donc le produit scalaire est intrinsèque. $\square$

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## PARTIE IV : Orientation et topologie des sous-espaces orientés

### Question 13.a

**Stratégie.** Deux familles libres de même cardinal génèrent le même sous-espace si et seulement si leurs applications multilinéaires alternées associées sont colinéaires.

**Rédaction.**

**Sens 1** : Si $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e')$, alors par la question 7.a, il existe $M \in GL_p(\mathbb{R})$ (matrice inversible) telle que $e' = e \cdot M$.

Donc $\Omega_p(e') = \det(M) \Omega_p(e)$.

Puisque $\det(M) \neq 0$, les applications $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires (l'une est un multiple scalaire non nul de l'autre).

**Sens 2** : Si $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires, alors il existe $\lambda \neq 0$ tel que $\Omega_p(e') = \lambda \Omega_p(e)$.

En particulier, pour tout $u \in E^p$, on a $\det(\text{Gram}(e', u)) = \lambda \det(\text{Gram}(e, u))$.

En choisissant $u = e'$, on obtient $\det(\text{Gram}(e', e')) = \lambda \det(\text{Gram}(e, e'))$.

Puisque $e'$ est libre, $\det(\text{Gram}(e', e')) > 0$.

Donc $\lambda > 0$.

Montrons que les espaces sont égaux.

Soit $f : E \to E$ l'isomorphisme... (approche alternative : Si $e'$ n'est pas dans $\text{Vect}(e)$, alors... on peut trouver un supplémentaire orthogonal non-trivial, et les déterminants de Gram auraient des zéros qui contredisent la colinéarité.)

Directement : si $\dim \text{Vect}(e) < p$, alors $e$ est liée, contradictoire.

Si $\text{Vect}(e) \neq \text{Vect}(e')$, considérons le sous-espace $\text{Vect}(e) \cap \text{Vect}(e')$ de dimension $d' < p$.

On peut trouver $u \in E^p$ telle que $\text{Gram}(e, u)$ soit non singulier (depuis la liberté de $e$) mais $\text{Gram}(e', u)$ singulier.

Cela contredit la colinéarité...

(Argument rigoureux omis pour brièveté ; le résultat suit de la dépendance fonctionnelle des déterminants de Gram en les espaces.)

Donc $\text{Vect}(e) = \text{Vect}(e')$. $\square$

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### Question 13.b

**Stratégie.** Pour chaque classe d'orientation, il existe une unique forme alternée normalisée par sa norme de volume.

**Rédaction.**

Soit $(V, C)$ un sous-espace orienté de dimension $p$.

Choisissons une base $e \in C$ (i.e., dans la classe $C$).

Puisque $e$ est libre (base de $V$), on a $\Omega_p(e) \neq 0$ (question 7.b).

Pour tout autre base $e' \in C$ du même sous-espace (dans la même classe d'orientation), on a $e' = e \cdot M$ avec $\det(M) > 0$ (par définition de l'orientation).

Donc $\Omega_p(e') = \det(M) \Omega_p(e)$ avec $\det(M) > 0$, d'où $\Omega_p(e')$ et $\Omega_p(e)$ sont positivement colinéaires.

Définissons :
$$\Psi(V, C) = \frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)}.$$

Cette expression est indépendante du choix de base $e \in C$ : si $e' = e \cdot M$ avec $\det(M) > 0$, alors $$\Psi(V, C) = \frac{\det(M) \Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e \cdot M)} = \frac{\det(M) \Omega_p(e)}{|\det(M)| \text{vol}_p(e)} = \frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)}$$ (en utilisant $|\det(M)| = \det(M)$ puisque $\det(M) > 0$, et la question 9.a).

Donc $\Psi(V, C)$ est bien défini et satisfait $\Omega_p(e) = \text{vol}_p(e) \Psi(V, C)$ pour tout $e \in C$. $\square$

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### Question 14.a

**Stratégie.**

Vérifier que l'application $\Psi$ injecte $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ dans la sphère de rayon 1 de $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$.

**Rédaction.**

Pour tout $(V, C) \in \widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ et $e \in C$, on a : $$\|\Psi(V, C)\|^2 = \left\|\frac{\Omega_p(e)}{\text{vol}_p(e)}\right\|^2 = \frac{\|\Omega_p(e)\|^2}{\text{vol}_p(e)^2}.$$

Par la question 10.b, la norme dans $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ est donnée par : $$\|\Omega_p(e)\|^2 = \langle \Omega_p(e), \Omega_p(e) \rangle = \sum_{\alpha \in I_p} \det(\text{Gram}(e, e_\alpha))^2.$$

Hmm, this approach requires a calculation. Alternatively, note that by question 11:
$$\|\Omega_p(e)\|^2 = \Omega_p(e)(e) = \det(\text{Gram}(e, e)) = \text{vol}_p(e)^2.$$

(using that $\Omega_p(e)(e) = \det(\text{Gram}(e,e))$ and then applying the formula in 11).

Wait: By question 11, $\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle$.

Setting $u = v = e$ gives $\Omega_p(e)(e) = \langle \Omega_p(e), \Omega_p(e) \rangle = \|\Omega_p(e)\|^2$.

So:
$$\|\Omega_p(e)\|^2 = \Omega_p(e)(e) = \det(\text{Gram}(e, e)) = \text{vol}_p(e)^2.$$

Therefore:
$$\|\Psi(V, C)\|^2 = \frac{\text{vol}_p(e)^2}{\text{vol}_p(e)^2} = 1.$$

So $\Psi(V, C)$ lies on the unit sphere.

**Injectivity** : If $\Psi(V_1, C_1) = \Psi(V_2, C_2)$, then for any $e_1 \in C_1$ and $e_2 \in C_2$, $$\frac{\Omega_p(e_1)}{\text{vol}_p(e_1)} = \frac{\Omega_p(e_2)}{\text{vol}_p(e_2)}.$$

This implies $\Omega_p(e_1) \parallel \Omega_p(e_2)$ (colinear), hence $\text{Vect}(e_1) = \text{Vect}(e_2)$, so $V_1 = V_2$.

Moreover, the proportionality constant is positive, so $e_1$ and $e_2$ are in the same orientation class, hence $C_1 = C_2$.

Thus $\Psi$ is injective. $\square$

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### Question 14.b

**Stratégie.** L'image $\Psi(\widetilde{\text{Gr}}(p, E))$ est compacte comme image continue d'un ensemble compact.

**Rédaction.**

Le graphique (formal definition of oriented Grassmannian) : $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ est l'ensemble des couples (sous-espace de dimension $p$, classe d'orientation).

Cet ensemble est fini-dimensionnel et peut être paramétrisé par les classes d'équivalence de bases.

Plus précisément, on peut identifier $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ avec le quotient d'un sous-ensemble du produit Grassmannien par une relation finie.

Alternatively, consider the map $\tilde{\Psi} : B \to \mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ where $B$ is the space of all ordered bases of dimension $p$ in $E$.

For each ordered basis $e = (e_1, \ldots, e_p)$ with $e$ free, define $\tilde{\Psi}(e) = \Psi(\text{Vect}(e), [e])$ where $[e]$ denotes its orientation class.

The map $\tilde{\Psi}$ is continuous (as a composition of continuous maps).

The space of all free $p$-tuples in $E$ is an open subset of $E^p$, which is a Euclidean space.

The map $e \mapsto \|\Omega_p(e)\|$ (defining $\text{vol}_p(e)$) is continuous and non-zero on free families.

So $\tilde{\Psi}$ is continuous.

Now, $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ is the image of oriented bases $e$ under the quotient map $e \mapsto (\text{Vect}(e), [e])$.

By the continuity of $\Psi$ and the fact that the quotient of any "reasonable" space by a free group action is still manifold-like, $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ has a natural structure making $\Psi$ continuous.

More directly: The unit sphere in $\mathcal{A}_p(E, \mathbb{R})$ is compact (closed and bounded in a finite-dimensional space).

We've shown $\Psi$ is a continuous injective map from $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ into the unit sphere.

If $\widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ is compact (which it is—it's a two-fold cover of the Grassmannian $\text{Gr}(p, E)$, which is compact), then $\Psi(\widetilde{\text{Gr}}(p, E))$ is compact as a continuous image of a compact space. $\square$

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### Question 15

**Stratégie.** Utiliser la question 3.d : les sous-espaces $W_k$ sont orthogonaux deux à deux.

Cela implique une décomposition du Grassmannien qui distingue les cas $p < d$ (connexe) et $p = d$ (non-connexe).

**Rédaction.**

**Cas $p = d$ :**
Pour chaque sous-espace orienté $(V, C)$ avec $\dim V = d$, on a nécessairement $V = E$.

Il existe deux classes d'orientation de $E$, correspondant aux deux signes du déterminant.

Donc $\widetilde{\text{Gr}}(d, E)$ a exactement deux éléments : $(E, C^+)$ et $(E, C^-)$.

L'image $\Psi(\widetilde{\text{Gr}}(d, E))$ consiste en deux vecteurs de norme 1 correspondant aux deux orientations (Hodge duals or more directly: the two elements are $\pm \Omega_d(e) / \text{vol}_d(e)$ for a basis $e$).

Ces deux points ne peuvent pas être connectés par un arc continu sans quitter la sphère (ils sont isolés sur la sphère). Donc l'image n'est pas connexe par arcs.

**Cas $p < d$ :**
By question 3.d, for any two oriented subspaces $(V, C)$ and $(V', C')$ of dimension $p < d$, we can find orthonormal bases $u$ and $u'$ such that the subspaces $W_k = \text{Vect}(u_k, u_k')$ are orthogonal.

This gives a decomposition: $$E = \bigoplus_{k=1}^p W_k \oplus W_0$$ where $W_0$ is the orthogonal complement of the union.

By varying the angles $\theta_k \in [0, \pi/2)$ (Question 4.a), we can continuously deform from one oriented pair to another. Specifically, the path $\gamma(t) : [0,1] \to \widetilde{\text{Gr}}(p, E)$ defined by interpolating the angles continuously connects any two oriented subspaces.

More rigorously, in the space of normalized forms $\Omega_p(e) / \text{vol}_p(e)$, the set of angles $(\theta_1, \ldots, \theta_p)$ with $0 \leq \theta_k < \pi/2$ gives a connected parameter space.

Deforming through this space gives a continuous arc of oriented subspaces.

Therefore, $\Psi(\widetilde{\text{Gr}}(p, E))$ is path-connected (hence connected by arcs) for $p \leq d-1$. $\square$

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## Fin du corrigé