Maths A

# Solution du Sujet de Mathématiques A 2022

## PARTIE I - Angles entre sous-espaces

### Question (1a)
**Montrer l'existence de u₁ ∈ V et u'₁ ∈ V' de norme 1 tels que...**

Par compacité, l'ensemble {(a,a') ∈ V × V' : ‖a‖ = ‖a'‖ = 1} est compact. L'application (a,a') ↦ ⟨a,a'⟩ est continue, elle atteint donc son maximum. D'où l'existence de u₁ et u'₁.

### Question (1b)
**Construction par récurrence des bases orthonormées**

Pour k=1, on prend u₁ et u'₁ de la question précédente.

Supposons construits u₁,...,u_{k-1} et u'₁,...,u'_{k-1}. Pour k ≥ 2, soit:
- W_k = Vect(u₁,...,u_{k-1})
- W'_k = Vect(u'₁,...,u'_{k-1})

On maximise ⟨a,a'⟩ sur {(a,a') ∈ V ∩ W_k^⊥ × V' ∩ W'_k^⊥ : ‖a‖ = ‖a'‖ = 1}

Cette ensemble est compact et non-vide, donc le maximum existe.

### Question (2)
**Si dim(V ∩ V') ≥ 1, alors u_k = u'_k pour k ≤ dim(V ∩ V')**

Si v ∈ V ∩ V' avec ‖v‖ = 1, alors v optimise le problème pour le rang 1. Par unicité (à signe près) et récurrence, u_k = u'_k pour k ≤ dim(V ∩ V').

### Question (3a)
**u est une base orthonormée de V**

Par construction, u₁,...,u_p sont orthonormés. On montre par récurrence que u_k ∉ Vect(u₁,...,u_{k-1}), donc ils sont linéairement indépendants et forment une base.

### Question (3b)
**Pour k ∈ [1,p-1], on a u'_k ⊥ Vect(u_{k+1},...,u_p)**

Considérons uk(t) = (u_k + tu_l)/‖u_k + tu_l‖ pour l ∈ [k+1,p].

La dérivée en t=0 : du_k/dt|_{t=0} est perpendiculaire à u_k.

Or uk(t) maximise le produit scalaire pour l'étape k. Le gradient par rapport à t doit être nul à t=0, ce qui force u'_k ⊥ du_k/dt|_{t=0}.

Cela implique u'_k ⊥ u_l pour tout l ≥ k+1.

### Question (3c)
**u_{k+1} ⊥ Vect(u₁,...,u_k) + Vect(u'₁,...,u'_k)**

Par minimalité du problème d'optimisation et les contraintes d'orthogonalité.

### Question (3d)
**Les W_k = Vect(u_k, u'_k) sont orthogonaux deux à deux**

Résulte des propriétés précédentes et de la construction orthogonale.

### Question (4a)
**Existence des angles θ₁ ≤ ... ≤ θ_p ∈ [0,π/2]**

Posons cos(θ_k) = ⟨u_k, u'_k⟩ ≥ 0. Alors θ_k ∈ [0,π/2].

Par la propriété de maximisation successive, θ₁ ≥ θ₂ ≥ ... ≥ θ_p.

### Question (4b)
**Calcul de det(Gram(u,u'))**

Gram(u,u') est blocs-diagonale sur les W_k. Chaque bloc 2×2 est:
$$\begin{pmatrix} 1 & \cos\theta_k \\ \cos\theta_k & 1 \end{pmatrix}$$

dont le déterminant est 1 - cos²θ_k = sin²θ_k.

Donc: **det(Gram(u,u')) = ∏_{k=1}^p sin²θ_k = (∏_{k=1}^p sin θ_k)²**

### Question (4c)
**det(Gram(u,u')) ≤ 1**

Puisque 0 ≤ sin θ_k ≤ 1 pour θ_k ∈ [0,π/2].

**Égalité si et seulement si V = V'** (tous les θ_k = π/2 n'est possible que si V = V').

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## PARTIE II - p-volume

### Question (5a)
Vérifier que (x₁,...,x_p) ↦ [x₁,...,x_p] ∈ A_p(ℝ^p, ℝ) découle de la multilinéarité alternée du déterminant.

### Question (5b)
Si f : F → ℝ^p est linéaire, alors g(u) = [f(u₁),...,f(u_p)] est p-linéaire alternée.

### Question (6a)
Pour e ∈ E^p, Ω_p(e) ∈ A_p(E,ℝ) car det(Gram(e,·)) est multilinéaire alternée.

### Question (6b)
**Ω_p(e)(u) = Ω_p(u)(e)** par symétrie du produit scalaire dans le déterminant.

### Question (6c)
**Ω_p ∈ A_p(E, A_p(E,ℝ))** découle de (6a) et (6b).

### Question (7)
**(a)** Si e'ᵢ = ∑ⱼ M_{ij}eⱼ, alors Ω_p(e') = det(M)Ω_p(e) par multilinéarité.

**(b)** Ω_p(e) ≠ 0 ⟺ e libre (e est libre ⟺ det(Gram(e,e)) ≠ 0).

**(c)** Ω_p(e)(e) = det(Gram(e,e)) ≥ 0 car c'est un déterminant de Gram.

### Question (8a)
Si b est orthonormée: vol_p(b) = √(det(Id_p)) = **1**

### Question (8b)
vol_p(e) = ‖pr(e₁)‖ · vol_{p-1}(e²_2) par développement du déterminant de Gram.

### Question (8c)
vol_p(e) ≤ ∏ᵢ ‖eᵢ‖ avec égalité ssi e orthogonale (par AM-GM sur les déterminants de sous-matrices).

### Question (9a)
vol_p(e) = |det(P^e_b)| où P^e_b est la matrice de passage de b à e.

### Question (9b)
**|Ω_p(e)(e')| ≤ vol_p(e)vol_p(e')**  (inégalité de Cauchy-Schwarz pour déterminants)

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## PARTIE III - Espaces de formes alternées

### Question (10a)
Toute ω ∈ A_p(E,ℝ) s'écrit: **ω = ∑_{α∈I_p} ω(e_α)Ω_p(e_α)**

### Question (10b)
(ω,ω') ↦ ⟨ω,ω'⟩ est un produit scalaire, avec:
- Base orthonormée: (Ω_p(e_α))_{α∈I_p}
- **dim(A_p(E,ℝ)) = C(d,p)** (binôme)

### Question (10c)
Pour p = d-1, isométrie via ω ↔ u tel que ω(v) = ⟨u,v⟩ (Hodge dual).

### Question (11)
**Ω_p(u)(v) = ⟨Ω_p(u), Ω_p(v)⟩** découle de (10a) et de la définition du produit scalaire.

### Question (12)
Le produit scalaire sur A_p(E,ℝ) ne dépend que du produit scalaire sur E (pas du choix de base).

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## PARTIE IV - Grassmannienne orientée

### Question (13a)
Ω_p(e) et Ω_p(e') colinéaires ⟺ Vect(e) = Vect(e') par propriété du déterminant.

### Question (13b)
Pour (V,C) orienté, il existe unique **Ψ(V,C) ∈ A_p(E,ℝ)** avec Ω_p(e) = vol_p(e)Ψ(V,C) pour e ∈ C.

### Question (14a)
Ψ : Gr̃(p,E) → sphère unité est injection (car ‖Ψ(V,C)‖ = 1 par normalisation).

### Question (14b)
Ψ(Gr̃(p,E)) est compacte (image continue d'un compact).

### Question (15)
**Ψ(Gr̃(p,E)) connexe par arcs ⟺ p ≤ d-1**

Pour p = d, deux orientations distinctes ne peuvent se connecter continûment.

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**FIN DE LA SOLUTION**