Maths A

# X‑ENS — Mathématiques A — Filière MP — 2022 (épreuve XLSR)

## En‑tête

**Thème.**

Le problème construit, pas à pas, le *plongement de Plücker* de la grassmannienne orientée $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ (l'ensemble des sous‑espaces orientés de dimension $p$ d'un euclidien $E$) dans la sphère unité de l'espace $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ des formes $p$‑linéaires alternées, afin d'en étudier la **compacité** et la **connexité par arcs**.

**Fil directeur.** La Partie I établit la géométrie fine de deux sous‑espaces (vecteurs et angles principaux, déterminant de Gram).

La Partie II introduit l'application $\Omega_p(e)=\det\big(\mathrm{Gram}(e,\cdot)\big)$, prouve sa multilinéarité alternée et la notion de $p$‑volume.

La Partie III munit $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ d'un produit scalaire canonique dont les $\Omega_p(e_\alpha)$ forment une base orthonormée.

La Partie IV assemble tout : on définit $\Psi(V,C)=\tfrac{1}{\mathrm{vol}_p(e)}\Omega_p(e)$, on montre que $\Psi$ est une injection à valeurs dans la sphère unité, d'image compacte, et connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$.

## Carte stratégique

- **Statistiques (rapport).** 2272 copies, moyenne **8,06/20**, écart‑type 3,70 ; un peu plus d'une centaine de copies au‑dessus de 14, dont **12 copies à 20**. Les Parties I et II ont été « largement traitées », ainsi que les premières questions de la III ; la Partie IV « n'a que peu été touchée ».
- **Barème.** Pondération « généralement proportionnelle à la difficulté », mais le jury exige une rédaction soignée même des résultats élémentaires : viser d'abord à *sécuriser intégralement* I, II et le début de III (10a–11), où se trouvent la majorité des points accessibles.
- **Ordre conseillé.** Le sujet est strictement linéaire : traiter dans l'ordre. Ne pas se lancer dans IV sans avoir établi proprement 7a, 8b, 9a‑b et 10a‑b, qui y sont réutilisés en permanence.
- **Questions discriminantes.** 2, 3b, 6c, 7b, 8b, 9b, 10a, 12, 13a, 14a‑b, 15.
- **Pièges signalés.**

Ne pas confondre le nombre $p$ de vecteurs avec $\dim E=d$ ; ne pas remplacer $E$ par $\mathbb R^n$ ; toujours partir des **définitions de l'énoncé** de la multilinéarité et du caractère alterné, ou justifier toute caractérisation employée.

---

# Partie I

On fixe deux sous‑espaces $V,V'$ de $E$ de dimension $p\ge 1$.

## Question 1.(a)

**Stratégie.** Existence d'un maximum : il faut une borne supérieure *atteinte*. On invoque la compacité de la sphère unité en dimension finie et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Notons $S=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S'=\{a'\in V':\|a'\|=1\}$ les sphères unités de $V$ et $V'$.

Comme $V$ est de dimension finie, $S$ est une partie fermée et bornée de $V$, donc compacte ; de même $S'$.

Par produit de compacts, $S\times S'$ est compact.

L'application $$\varphi:(a,a')\longmapsto \langle a,a'\rangle$$ est continue sur $V\times V'$ (le produit scalaire est continu sur un espace de dimension finie).

Comme $V,V'$ sont de dimension $p\ge 1$, $S\times S'\neq\varnothing$.

D'après le **théorème des bornes atteintes**, $\varphi$ atteint sa borne supérieure sur le compact $S\times S'$ : il existe $(u_1,u_1')\in S\times S'$, donc de norme $1$, tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.\qquad\square$$

**Remarque utile pour la suite.** Cet argument vaut pour **tout couple de sous‑espaces non nuls** de $E$ ; on s'en resservira en 1.(b) en l'appliquant à des sous‑espaces emboîtés.

**Commentaire du correcteur.** « Question abordée dans toutes les copies. » Le seul écueil sanctionné : « certaines copies se sont … contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte ». La compacité et la continuité, explicitement citées, suffisent.

## Question 1.(b)

**Stratégie.** On itère 1.(a) en se plaçant à chaque étape dans les orthogonaux des vecteurs déjà construits : c'est exactement la traduction des contraintes (ii). La clé est de vérifier que les sous‑espaces où l'on travaille restent de dimension $\ge 1$.

**Rédaction.**

Construisons $u_k,u_k'$ par récurrence sur $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$.

Posons, pour $k\ge 1$, $$V_k=V\cap \mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^{\perp},\qquad V_k'=V'\cap \mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^{\perp},$$ avec la convention $\mathrm{Vect}(\varnothing)=\{0\}$, de sorte que $V_1=V$, $V_1'=V'$.

*Initialisation et hérédité.*

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}\in V$ orthonormés et $u_1',\dots,u_{k-1}'\in V'$ orthonormés déjà construits ($k\le p$).

Comme $u_1,\dots,u_{k-1}\in V$ sont indépendants, $$\dim V_k=\dim V-(k-1)=p-(k-1)\ge 1,$$ et de même $\dim V_k'\ge1$.

On applique la remarque de 1.(a) aux sous‑espaces non nuls $V_k,V_k'$ : il existe $u_k\in V_k$, $u_k'\in V_k'$ de norme $1$ tels que $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:a\in V_k,\ a'\in V_k',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.$$
Or, pour $a\in V$ de norme $1$, on a $a\in V_k\iff \langle a,u_l\rangle=0\ \forall l\in\llbracket 1,k-1\rrbracket$, et de même pour $a'$ ; le membre de droite est donc exactement la borne supérieure de (i) si $k=1$, de (ii) si $k\ge2$.

Enfin $u_k\in V_k\subset \mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^{\perp}$ donne $\langle u_k,u_l\rangle=0$ pour $l<k$ ; avec $\|u_k\|=1$, la famille $(u_1,\dots,u_k)$ est orthonormée, de même $(u_1',\dots,u_k')$.

La récurrence aboutit en $k=p$ aux familles orthonormées $u=(u_1,\dots,u_p)$ de $V$ et $u'=(u_1',\dots,u_p')$ de $V'$ vérifiant (i) et (ii). $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport note des rédactions « trop rapides ou bâclées » : il « suffisait essentiellement de reprendre la question précédente mais il fallait … préciser sur quels sous‑espaces vectoriels on le faisait ». Le point notable est le décompte de dimension $\dim V_k=p-(k-1)\ge1$, garant de la non‑vacuité.

## Question 2

**Stratégie.**

Lorsque $V\cap V'\neq\{0\}$, on dispose à chaque étape d'un vecteur « diagonal » $w=w$ admissible donnant $\langle w,w\rangle=1$ : le maximum vaut alors $1$, et l'égalité de Cauchy‑Schwarz force $u_k=u_k'$.

On procède par récurrence.

**Rédaction.** Posons $r=\dim(V\cap V')\ge1$.

Montrons par récurrence sur $k\in\llbracket 1,r\rrbracket$ la propriété : $u_k=u_k'$ (et $u_l=u_l'\in V\cap V'$ pour $l<k$).

Soit $k\le r$, et supposons $u_l=u_l'$ pour tout $l<k$ ; chacun de ces vecteurs appartient alors à $V\cap V'$.

Posons $$W=(V\cap V')\cap \mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^{\perp}.$$
Comme $u_1,\dots,u_{k-1}\in V\cap V'$, on a $\dim W=r-(k-1)\ge 1$ ; choisissons $w\in W$ de norme $1$.

Puisque $u_l'=u_l$ pour $l<k$, on a $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})$, donc $w\in V_k$ **et** $w\in V_k'$ : le couple $(w,w)$ est admissible pour la borne supérieure de l'étape $k$.

Ainsi $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup(\cdots)\ \ge\ \langle w,w\rangle=1.$$
Par ailleurs, pour tout couple admissible $(a,a')$, l'**inégalité de Cauchy‑Schwarz** donne $\langle a,a'\rangle\le\|a\|\,\|a'\|=1$ ; donc $\langle u_k,u_k'\rangle\le 1$.

On en déduit $\langle u_k,u_k'\rangle=1=\|u_k\|\,\|u_k'\|$, cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz pour deux vecteurs unitaires : $$\|u_k-u_k'\|^2=\|u_k\|^2-2\langle u_k,u_k'\rangle+\|u_k'\|^2=1-2+1=0,$$ soit $u_k=u_k'$.

La récurrence est complète : $u_k=u_k'$ pour tout $1\le k\le \dim(V\cap V')$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Première question où bon nombre de candidats n'ont … pas fourni de réponse. » Le rapport balise précisément la méthode : « par récurrence, l'utilisation de la condition d'égalité dans Cauchy‑Schwarz et un argument pour justifier que le maximum valait bien 1 ».

Les deux ingrédients — exhiber le vecteur diagonal qui donne $\ge1$, puis Cauchy‑Schwarz qui donne $\le1$ — doivent apparaître nettement.

## Question 3.(a)

**Stratégie.** $u$ est déjà orthonormée ; il ne reste qu'à compter.

**Rédaction.**

La famille $u=(u_1,\dots,u_p)$ est orthonormée (1.(b)), donc libre, et tous ses vecteurs appartiennent à $V$.

C'est donc une famille libre de $p$ vecteurs de $V$, espace de dimension $p$ : c'est une base de $V$, orthonormée. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Beaucoup plus facile … il suffisait de justifier que le cardinal de la famille était bien celui de la dimension de $V$. »

## Question 3.(b)

**Stratégie.**

Caractère **maximal** de $u_k$ : pour $l>k$, le vecteur $u_k(t)=\dfrac{u_k+tu_l}{\|u_k+tu_l\|}$ reste admissible pour la borne définissant l'étape $k$ ; la fonction $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ admet donc un maximum en $0$ et sa dérivée y est nulle.

Le calcul de la dérivée fournit $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

**Rédaction.**

Fixons $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$.

Comme $u_k,u_l$ sont orthonormés, $\|u_k+tu_l\|^2=1+t^2>0$, donc $$u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V$$ est bien défini, de norme $1$, et $u_k(0)=u_k$.

*Admissibilité.*

Pour $m<k$, $u_k\perp u_m$ et $u_l\perp u_m$ (la famille $u$ est orthonormée, $l>k>m$), donc $u_k(t)\perp u_m$.

Ainsi $(u_k(t),u_k')$ vérifie toutes les contraintes de la borne supérieure de l'étape $k$ (les deux vecteurs sont de norme $1$, $u_k(t)\in V$ est orthogonal à $u_1,\dots,u_{k-1}$, et $u_k'\in V'$ est orthogonal à $u_1',\dots,u_{k-1}'$).

Par maximalité, $$\phi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle\ \le\ \langle u_k,u_k'\rangle=\phi(0)\qquad(\forall t\in\mathbb R).$$
La fonction $\phi$ admet donc un maximum global en $t=0$.

*Dérivée.*

On a $\phi(t)=\dfrac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}$, quotient de fonctions dérivables à dénominateur strictement positif ; $\phi$ est dérivable et $$\phi'(t)=\frac{\langle u_l,u_k'\rangle\sqrt{1+t^2}-\big(\langle u_k,u_k'\rangle+t\langle u_l,u_k'\rangle\big)\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}{1+t^2},\qquad \phi'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle.$$
Comme $0$ est un point intérieur de $\mathbb R$ où $\phi$ est maximale, $\phi'(0)=0$, soit $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Ceci valant pour tout $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$ : $$u_k'\in \mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^{\perp}.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Question difficile traitée correctement dans peu de copies. » Le rapport pointe la faute la plus fréquente : « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée, sans avoir réfléchi à l'utilisation qui pourrait en être faite ». Le ressort est *conceptuel* (annulation de la dérivée en un maximum), le calcul n'étant que le dernier pas.

## Question 3.(c)

**Stratégie.** Combiner l'orthonormalité de $u$ et le résultat de 3.(b).

**Rédaction.** Soit $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$. Pour $m\le k$ :

- $\langle u_{k+1},u_m\rangle=0$ car $u$ est orthonormée ;

- $\langle u_{k+1},u_m'\rangle=0$ : en effet $m\le k\le p-1$, donc 3.(b) appliquée à l'indice $m$ donne $u_m'\in \mathrm{Vect}(u_{m+1},\dots,u_p)^{\perp}$, et $k+1\in\llbracket m+1,p\rrbracket$ donne $u_{k+1}\in\mathrm{Vect}(u_{m+1},\dots,u_p)$.

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$ et à $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$, donc à leur somme : $$u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^{\perp}.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente. »

## Question 3.(d)

**Stratégie.**

Les rôles de $u$ et $u'$ sont symétriques : 3.(b) admet une version symétrique $u_k\perp u_l'$ pour $l>k$.

Avec 3.(b) et cette version, les quatre produits scalaires croisés entre $W_k$ et $W_j$ s'annulent.

**Rédaction.** *Version symétrique de 3.(b).*

Pour $k\le p-1$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, on considère $u_k'(t)=\dfrac{u_k'+tu_l'}{\sqrt{1+t^2}}\in V'$, de norme $1$, orthogonal à $u_1',\dots,u_{k-1}'$.

Alors $(u_k,u_k'(t))$ est admissible pour l'étape $k$, donc $t\mapsto\langle u_k,u_k'(t)\rangle$ est maximale en $0$ et le même calcul qu'en 3.(b) donne $\langle u_k,u_l'\rangle=0$.

Ainsi
$$u_k'\perp u_l\ \text{ et }\ u_k\perp u_l'\qquad\text{dès que } l>k\ (k\le p-1).\tag{$\star$}$$

*Orthogonalité des $W_k$.*

Soient $k<j$ dans $\llbracket 1,p\rrbracket$ (donc $k\le p-1$).

On vérifie les quatre produits scalaires : $$\langle u_k,u_j\rangle=0,\quad \langle u_k',u_j'\rangle=0\ (\text{familles orthonormées}),\qquad \langle u_k',u_j\rangle=0,\quad \langle u_k,u_j'\rangle=0\ (\text{par }(\star),\ j>k).$$
Donc $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')\perp \mathrm{Vect}(u_j,u_j')=W_j$.

Les sous‑espaces $W_1,\dots,W_p$ sont deux à deux orthogonaux. $\qquad\square$

[Figure : dans $\mathbb R^3$, deux plans $V,V'$ ; le plan $W_1$ contient $u_1,u_1'$ (vecteurs « les plus proches »), le plan $W_2$ lui est orthogonal et contient $u_2,u_2'$.]

**Commentaire du correcteur.** « Souvent traitée, mais parfois avec une rédaction insuffisante » : le rapport insiste sur « la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$ ».

Il faut justifier $u_k\perp u_l'$ (et pas seulement $u_k'\perp u_l$) — d'où la version symétrique $(\star)$.

## Question 4.(a)

**Stratégie.**

Montrer $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par symétrie $a\mapsto-a$, majoration par Cauchy‑Schwarz), puis la décroissance de $k\mapsto\langle u_k,u_k'\rangle$ (emboîtement des ensembles de la borne supérieure) ; $\cos$ étant décroissante bijective de $[0,\pi/2]$ sur $[0,1]$, on conclut.

**Rédaction.** *Encadrement.* Fixons $k$.

L'ensemble admissible $S_k$ de l'étape $k$ est non vide (cf. 1.(b)) et stable par $(a,a')\mapsto(-a,a')$ (on a $-a\in V$, $\|-a\|=1$, $\langle -a,u_l\rangle=0$).

Comme $\langle -a,a'\rangle=-\langle a,a'\rangle$, l'un des deux nombres $\pm\langle a,a'\rangle$ est $\ge0$ ; donc $\sup_{S_k}\varphi\ge0$.

Par ailleurs, sur $S_k$, $\langle a,a'\rangle\le\|a\|\|a'\|=1$ (Cauchy‑Schwarz).

D'où
$$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup_{S_k}\varphi\in[0,1].$$

*Monotonie.*

Les contraintes de l'étape $k+1$ contiennent celles de l'étape $k$ et en ajoutent ($a\perp u_k$, $a'\perp u_k'$), donc $S_{k+1}\subset S_k$ et $$\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle=\sup_{S_{k+1}}\varphi\ \le\ \sup_{S_k}\varphi=\langle u_k,u_k'\rangle.$$

*Conclusion.*

L'application $\cos$ est une bijection **continue et strictement décroissante** de $[0,\pi/2]$ sur $[0,1]$.

Pour chaque $k$, il existe donc un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ avec $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$.

Comme $k\mapsto\langle u_k,u_k'\rangle$ décroît et $\cos$ décroît, $k\mapsto\theta_k$ croît : $$0\le \theta_1\le\dots\le\theta_p\le \pi/2,\qquad \cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport met en garde : « il fallait soigneusement justifier que les produits scalaires étaient positifs … Une erreur classique a été d'oublier que la propriété … était définie sur des familles de vecteurs de norme 1 ». L'argument de symétrie $a\mapsto -a$ (sur des vecteurs unitaires) est précisément ce que beaucoup ont omis.

## Question 4.(b)

**Stratégie.**

Montrer que $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale grâce à $(\star)$.

**Rédaction.**

Pour $i\neq j$, $(\star)$ donne $\langle u_i,u_j'\rangle=0$ (si $i<j$ : $u_i\perp u_j'$ ; si $i>j$ : $u_j'\perp u_i$).

Sur la diagonale, $\langle u_i,u_i'\rangle=\cos\theta_i$. Donc
$$\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p),\qquad \det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Facile souvent bien traitée. »

## Question 4.(c)

**Stratégie.**

Le produit de réels de $[0,1]$ est $\le1$ ; le cas d'égalité se traite via le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz et la question 2.

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

*Cas d'égalité.* On a $\prod_k\cos\theta_k=1\iff \forall k,\ \cos\theta_k=1\iff \forall k,\ \langle u_k,u_k'\rangle=1$.

Pour des vecteurs unitaires, ceci équivaut (cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz, cf. 2) à $u_k=u_k'$ pour tout $k$, donc à $$V=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)=\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_p')=V'.$$
Réciproquement, si $V=V'$ alors $\dim(V\cap V')=p$ et la question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k\le p$, d'où $\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=1$.

**En conclusion : $\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)\le1$, avec égalité si et seulement si $V=V'$.** $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Assez souvent bien traitée … condition d'égalité dans l'inégalité de Cauchy‑Schwarz. » Le résultat « égalité $\iff V=V'$ » est crucial : il resservira en 9.(b) (cas d'égalité) puis en 13.(a).

---

# Partie II

Pour $e\in E^p$, $\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R$ est définie par $\Omega_p(e)(u)=\det\big(\mathrm{Gram}(e,u)\big)$.

## Question 5.(a)

**Stratégie.** Vérifier la $p$‑linéarité depuis la formule du produit mixte, et le caractère alterné via la permutation des arguments — en restant fidèle à la définition de l'énoncé.

**Rédaction.**

Notons $[\,\cdot\,]:(\mathbb R^p)^p\to\mathbb R$, $[x_1,\dots,x_p]=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),i}$.

*$p$‑linéarité.*

Fixons $j$ et faisons varier $x_j$, les autres étant fixés.

Dans chaque terme $\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),i}$, le seul facteur dépendant de $x_j$ est $x_{\sigma(j),j}$, qui est une coordonnée (donc une forme linéaire) de $x_j$ ; les autres facteurs n'en dépendent pas.

Chaque terme est donc linéaire en $x_j$, et la somme aussi. $[\,\cdot\,]$ est $p$‑linéaire.

*Caractère alterné.* Soit $\sigma\in\mathfrak S_p$.

Avec $u\cdot\sigma=(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)})$, le $i$‑ème vecteur est $x_{\sigma(i)}$, dont la $\tau(i)$‑ème coordonnée est $x_{\tau(i),\sigma(i)}$ ; ainsi $$[u\cdot\sigma]=\sum_{\tau\in\mathfrak S_p}\epsilon(\tau)\prod_{i=1}^p x_{\tau(i),\sigma(i)}.$$
Réindexons le produit par $j=\sigma(i)$ et posons $\rho=\tau\circ\sigma^{-1}$ : $\prod_i x_{\tau(i),\sigma(i)}=\prod_j x_{\rho(j),j}$ et $\epsilon(\tau)=\epsilon(\rho)\epsilon(\sigma)$.

Lorsque $\tau$ décrit $\mathfrak S_p$, $\rho$ aussi, d'où $$[u\cdot\sigma]=\epsilon(\sigma)\sum_{\rho\in\mathfrak S_p}\epsilon(\rho)\prod_j x_{\rho(j),j}=\epsilon(\sigma)\,[x_1,\dots,x_p].$$
Donc $[\,\cdot\,]\in\mathscr A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée par quasiment toutes les copies mais pas toujours soigneusement. » Le rapport relève « des erreurs récurrentes … dans l'écriture de l'action d'une permutation ».

Le changement d'indice $j=\sigma(i)$, $\rho=\tau\sigma^{-1}$, doit être posé explicitement (on pouvait aussi invoquer $\det(x_1|\cdots|x_p)$ et la règle de permutation des colonnes — mais alors *citer* la propriété du cours).

## Question 5.(b)

**Stratégie.** Composer une application linéaire avec la forme alternée $[\,\cdot\,]$.

**Rédaction.**

Soit $f:F\to\mathbb R^p$ linéaire et $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$.

*$p$‑linéarité.*

À $u_1,\dots,u_{i-1},u_{i+1},\dots,u_p$ fixés, l'application $y\mapsto g(\dots,y,\dots)=[\,f(u_1),\dots,f(y),\dots,f(u_p)\,]$ est composée de $y\mapsto f(y)$ (linéaire, car **$f$ est linéaire** : c'est ici qu'intervient cette hypothèse) et de la linéarité de $[\,\cdot\,]$ en sa $i$‑ème place (5.(a)).

Elle est donc linéaire.

*Alterné.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, en posant $y_i=f(u_i)$ : $g(u\cdot\sigma)=[y_{\sigma(1)},\dots,y_{\sigma(p)}]=\epsilon(\sigma)[y_1,\dots,y_p]=\epsilon(\sigma)g(u)$ par 5.(a).

Donc $g\in\mathscr A_p(F,\mathbb R)$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée.

Il fallait … faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » — c'est‑à‑dire dans la linéarité partielle de $g$.

## Question 6.(a)

**Stratégie.**

Écrire $\Omega_p(e)(u)$ comme un produit mixte de $\phi(u_1),\dots,\phi(u_p)$ avec $\phi$ linéaire, puis invoquer 5.(b).

**Rédaction.**

Pour $e\in E^p$ fixé, considérons $\phi:E\to\mathbb R^p$, $\phi(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$ ; $\phi$ est linéaire (linéarité du produit scalaire à droite).

La $j$‑ème colonne de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $(\langle e_i,u_j\rangle)_{1\le i\le p}=\phi(u_j)$, donc $$\Omega_p(e)(u)=\det\big(\mathrm{Gram}(e,u)\big)=[\phi(u_1),\dots,\phi(u_p)].$$
D'après 5.(b) appliquée à $F=E$, $f=\phi$, l'application $u\mapsto\Omega_p(e)(u)$ appartient à $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.**

Le rapport autorise « refaire un raisonnement similaire » ou « utiliser la précédente à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ on utilisait » : ici $f=\phi$, $g=\Omega_p(e)$.

## Question 6.(b)

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(u,e)$ est la transposée de $\mathrm{Gram}(e,u)$.

**Rédaction.**

Pour tous $i,j$ : $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$.

Donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)$, et comme $\det(A)=\det({}^tA)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det\big(\mathrm{Gram}(u,e)\big)=\det\big({}^t\mathrm{Gram}(e,u)\big)=\det\big(\mathrm{Gram}(e,u)\big)=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « La symétrie du produit scalaire … n'était en rien suffisant. Il fallait utiliser que le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. »

## Question 6.(c)

**Stratégie.** $\Omega_p$ est une application $E^p\to\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ ; la multilinéarité/le caractère alterné se testent en évaluant : pour $u$ fixé, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)\overset{6b}{=}\Omega_p(u)(e)$ est multilinéaire alternée par 6.(a).

**Rédaction.**

Par 6.(a), $\Omega_p(e)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$, donc $\Omega_p:E^p\to\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est bien définie.

Rappelons que sur l'espace vectoriel $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ les lois sont **ponctuelles**, et qu'une forme y est nulle ssi elle s'annule en tout $u\in E^p$.

Par conséquent :

- $\Omega_p$ est linéaire en sa $i$‑ème variable $\iff$ pour tout $u$, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)$ est linéaire en $e_i$ ;

- $\Omega_p$ est alternée $\iff$ pour tout $u$ et $\sigma$, $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(e)(u)$.

Or, pour $u$ fixé, $6.(b)$ donne $\Omega_p(e)(u)=\Omega_p(u)(e)$, et $e\mapsto\Omega_p(u)(e)$ est $p$‑linéaire alternée puisque $\Omega_p(u)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ (6.(a)).

Donc, pour tout $u$, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)$ est linéaire en chaque $e_i$ et vérifie $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$.

Les deux propriétés sont établies :
$$\Omega_p\in\mathscr A_p\big(E,\mathscr A_p(E,\mathbb R)\big).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « La difficulté reposait sur le fait que l'on regardait une application à valeurs dans l'espace des formes multilinéaires alternées … Ce qui pouvait se vérifier, une fois le problème clairement posé, en utilisant les deux questions précédentes. » L'essentiel est de **ramener au cas scalaire par évaluation**, via 6.(b).

## Question 7.(a)

**Stratégie.**

Développer $\Omega_p(e')=\Omega_p\big(\sum_j M_{1j}e_j,\dots,\sum_j M_{pj}e_j\big)$ par multilinéarité ; le caractère alterné élimine les indices répétés et fait apparaître $\det M$.

On n'utilise jamais l'inversibilité de $M$.

**Rédaction.**

Comme $\Omega_p$ est $p$‑linéaire alternée (6.(c)), elle s'annule dès que deux de ses arguments coïncident : en effet si $e_a=e_b$ ($a\neq b$), avec la transposition $\tau=(a\,b)$ on a $e\cdot\tau=e$ donc $\Omega_p(e)=\Omega_p(e\cdot\tau)=\epsilon(\tau)\Omega_p(e)=-\Omega_p(e)$, d'où $\Omega_p(e)=0$.

Développons par multilinéarité ($e_i'=\sum_{j}M_{ij}e_j$) : $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^p M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Les termes à indices répétés sont nuls ; pour $(j_1,\dots,j_p)$ permutation $\tau$, $\Omega_p(e_{\tau(1)},\dots,e_{\tau(p)})=\Omega_p(e\cdot\tau)=\epsilon(\tau)\Omega_p(e)$.

Donc
$$\Omega_p(e')=\Big(\sum_{\tau\in\mathfrak S_p}\epsilon(\tau)\prod_{i=1}^p M_{i\,\tau(i)}\Big)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Question qui nécessitait de faire attention à l'énoncé … la matrice pas nécessairement inversible, ce qui rendait les arguments de matrice de passage délicats, et possiblement faux. On pouvait répondre en utilisant le caractère alterné. » L'argument ci‑dessus n'utilise que la multilinéarité alternée — valable pour $M$ quelconque.

## Question 7.(b)

**Stratégie.**

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$.

Si $e$ est libre, on passe à une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$ (de dimension $p$, *pas* $d$) : par 7.(a), $\Omega_p(e)=\det(P)\Omega_p(b)$ avec $\det P\neq0$, et $\Omega_p(b)(b)=\det(I_p)=1\neq0$.

**Rédaction.** ($\Rightarrow$ contraposée) Si $e$ est liée, l'un des $e_i$, disons $e_{i_0}=\sum_{j\neq i_0}\lambda_j e_j$.

Par linéarité en la $i_0$‑ème place, $\Omega_p(e)=\sum_{j\neq i_0}\lambda_j\,\Omega_p(\dots,e_j,\dots)$ où, dans chaque terme, $e_j$ figure aussi en place $j\neq i_0$ : deux arguments égaux, terme nul (7.(a)).

Donc $\Omega_p(e)=0$.

($\Leftarrow$) Supposons $e$ libre.

Alors $\dim\mathrm{Vect}(e)=p$ ; soit $b=(b_1,\dots,b_p)$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ (procédé d'orthonormalisation).

Écrivons $e_k=\sum_i (P^{e}_b)_{ik}\,b_i$, soit $e_k=\sum_i M_{ki}b_i$ avec $M={}^tP^{e}_b$.

Par 7.(a), $\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(b)=\det(P^e_b)\,\Omega_p(b)$.

Comme $b$ et $e$ sont deux bases de $\mathrm{Vect}(e)$, $P^e_b$ est inversible, $\det(P^e_b)\neq0$.

Enfin $\Omega_p(b)(b)=\det\big(\mathrm{Gram}(b,b)\big)=\det(I_p)=1\neq0$, donc $\Omega_p(b)\neq0$ et $\Omega_p(e)\neq0$.

Conclusion : $\Omega_p(e)\neq0\iff e$ est libre. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée dans une bonne moitié des copies … faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$. » L'erreur typique consiste à prendre une base orthonormée de $E$ et non de $\mathrm{Vect}(e)$.

Le calcul direct $\Omega_p(b)(b)=1$ est l'argument de non‑nullité.

## Question 7.(c)

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive ; son déterminant est $\ge0$.

**Rédaction.**

La matrice $G=\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique ($\langle e_i,e_j\rangle=\langle e_j,e_i\rangle$) et, pour $x\in\mathbb R^p$, $$x^{\!\top}Gx=\sum_{i,j}x_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\Big\|\sum_i x_i e_i\Big\|^2\ge0.$$ $G$ est donc symétrique positive ; par le théorème spectral, ses valeurs propres sont réelles $\ge0$ et $\Omega_p(e)(e)=\det(G)=\prod(\text{valeurs propres})\ge0$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Régulièrement bien traitée. » Le $p$‑volume $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=\big(\det\mathrm{Gram}(e,e)\big)^{1/2}$ est bien défini grâce à cette positivité.

## Question 8.(a)

**Stratégie.** Matrice de Gram d'une famille orthonormée $=I_p$.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\sqrt{\det I_p}=1$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très facile … rappelait la question 4.b. »

## Question 8.(b)

**Stratégie.**

Écrire $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ ; la bilinéarité (en première place du « $e $ » de $\Omega_p$ et de l'évaluation) et l'annulation sur les familles liées ramènent $\det\mathrm{Gram}(e,e)$ à un Gram **diagonal par blocs**.

**Rédaction.**

Posons $n_1=\mathrm{pr}(e_1)\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^{\perp}$ et $w=e_1-n_1\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ (décomposition orthogonale, $\mathrm{pr}$ projetant sur $\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^\perp$).

Comme $\Omega_p$ est multilinéaire alternée et s'annule sur les familles liées (7.(a)–7.(b)) : $$\Omega_p(e_1,e_2,\dots,e_p)=\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p)+\underbrace{\Omega_p(w,e_2,\dots,e_p)}_{=0\ (w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p))}=\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p).$$
Évaluons en $e=(e_1,e_2,\dots,e_p)$ et utilisons de même la linéarité dans la **variable d'évaluation** (première place), avec $e_1=n_1+w$ : $$\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p)(e)=\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p)(n_1,e_2,\dots,e_p)+\underbrace{\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p)(w,e_2,\dots,e_p)}_{=0}.$$ (Le second terme est nul : $\Omega_p(n_1,e_2,\dots,e_p)$ est une forme alternée évaluée sur la famille liée $(w,e_2,\dots,e_p)$.)

Ainsi $$\mathrm{vol}_p(e)^2=\det\mathrm{Gram}\big((n_1,e_2,\dots,e_p),(n_1,e_2,\dots,e_p)\big).$$
Or $n_1\perp e_j$ pour $j\ge2$, donc cette matrice de Gram est diagonale par blocs : $$\begin{pmatrix}\|n_1\|^2 & 0\cdots 0\\[1mm] 0 & \\ \vdots & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\\ 0 & \end{pmatrix},\qquad \det=\|n_1\|^2\,\det\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)^2.$$
Les deux membres étant des carrés de réels positifs, on prend la racine : $$\boxed{\ \mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).\ }\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée. » Le rapport décrit exactement la méthode : décomposer $e_1$, exploiter « la linéarité du produit mixte par rapport à sa première colonne » et le fait qu'« une colonne combinaison linéaire des autres » annule le déterminant.

Soigner les deux annulations (sur le « $e$ » de $\Omega_p$ **et** sur l'argument d'évaluation).

## Question 8.(c)

**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ via 8.(b), en utilisant $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$.

**Rédaction.**

Soit $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre (donc tous les $e_i\neq0$).

Récurrence sur $p$.

*Cas $p=1$ :* $\mathrm{vol}_1(e_1)=\sqrt{\langle e_1,e_1\rangle}=\|e_1\|$ : égalité, la condition d'orthogonalité étant vide.

*Hérédité.* Supposons le résultat au rang $p-1$. La famille $e_2^p=(e_2,\dots,e_p)$ est libre.

Par 8.(b), $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).$$
Comme $\mathrm{pr}$ est une projection orthogonale, $\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2=\|e_1\|^2-\|e_1-\mathrm{pr}(e_1)\|^2\le\|e_1\|^2$, soit $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$.

Avec l'hypothèse de récurrence $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\prod_{i=2}^p\|e_i\|$ : $$\mathrm{vol}_p(e)\le \|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$

*Cas d'égalité.*

Toutes les quantités $\|e_i\|$ et $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$ sont $>0$ (famille libre).

L'égalité a donc lieu ssi $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ **et** $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

Or $$\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|\iff e_1-\mathrm{pr}(e_1)=0\iff e_1\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^{\perp}\iff e_1\perp e_j\ \forall j\ge2,$$ et, par hypothèse de récurrence, $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|\iff (e_2,\dots,e_p)$ orthogonale deux à deux.

La conjonction équivaut à : $e$ est orthogonale deux à deux. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Récurrence … nécessitait de préciser soigneusement les cas d'égalité. » Le point délicat est de remarquer que, les deux facteurs étant strictement positifs, l'égalité du produit force l'égalité de **chaque** facteur (inégalité de Hadamard).

## Question 9.(a)

**Stratégie.**

Identique à 7.(c) : $\mathrm{Gram}(e,e)={}^tP\,P$ avec $P=P^e_b$ et $b$ orthonormée.

**Rédaction.**

Comme $e$ est libre, $b=(b_1,\dots,b_p)$ est une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ (dimension $p$).

Avec $e_j=\sum_i (P^e_b)_{ij}\,b_i$, $P=P^e_b$ : $$\langle e_j,e_k\rangle=\sum_{i,l}P_{ij}P_{lk}\langle b_i,b_l\rangle=\sum_i P_{ij}P_{ik}=({}^tP\,P)_{jk},$$ donc $\mathrm{Gram}(e,e)={}^tP\,P$ et $\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det(P)^2$.

D'où
$$\mathrm{vol}_p(e)=|\det(P^e_b)|.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien … d'une manière analogue à la question 7c. »

## Question 9.(b)

**Stratégie.**

Si $e$ ou $e'$ est liée, les deux membres sont nuls.

Sinon, on passe à des bases orthonormées $b,b'$ de $\mathrm{Vect}(e),\mathrm{Vect}(e')$ : par 7.(a) (et son analogue pour l'évaluation), $\Omega_p(e)(e')=\det(P)\det(P')\,\Omega_p(b)(b')$, et $|\Omega_p(b)(b')|\le1$ d'après la **Partie I**.

**Rédaction.** *Cas dégénéré.*

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ (7.(b)) donc $\Omega_p(e)(e')=0$ ; et $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=0$.

L'inégalité $0\le\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')=0$ est vérifiée. Idem si $e'$ est liée.

*Cas $e,e'$ libres.*

Notons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dimension $p$), $b,b'$ des bases orthonormées de $V,V'$, $P=P^e_b$, $P'=P^{e'}_{b'}$.

Par 7.(a), $\Omega_p(e)=\det(P)\,\Omega_p(b)$.

Évaluons en $e'$, en développant $e'_j=\sum_i P'_{ij}b'_i$ par multilinéarité alternée de la forme $\Omega_p(b)$ (même calcul que 7.(a), appliqué à l'argument d'évaluation) : $$\Omega_p(e)(e')=\det(P)\,\Omega_p(b)(e')=\det(P)\det(P')\,\Omega_p(b)(b').$$
Or $\Omega_p(b)(b')=\det\mathrm{Gram}(b,b')$.

Soient $u,u'$ les familles spéciales de la Partie I associées à $V,V'$ : $b=u\cdot R$, $b'=u'\cdot R'$ avec $R,R'\in O(p)$ (changements de bases orthonormées).

Alors $\mathrm{Gram}(b,b')={}^tR\,\mathrm{Gram}(u,u')\,R'$, donc $$|\det\mathrm{Gram}(b,b')|=|\det R|\,|\det R'|\,|\det\mathrm{Gram}(u,u')|=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k\ \le\ 1$$ par 4.(b)–4.(c).

Avec 9.(a), $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P|$, $\mathrm{vol}_p(e')=|\det P'|$, d'où $$|\Omega_p(e)(e')|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')\,\Big(\prod_k\cos\theta_k\Big)\ \le\ \mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').\qquad\square$$

**Cas d'égalité (utile en 13.(a)).**

Pour $e,e'$ libres, $|\Omega_p(e)(e')|=\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e')\iff \prod_k\cos\theta_k=1\iff V=V'$ (4.(c)).

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée et … rédaction fréquemment insuffisante. » Le rapport décrit la trame : distinguer le cas lié (via 7.(b)), puis ramener à $|\Omega_p(b)(b')|$ via « un argument similaire à 7a et la fin de la partie 1 ».

Le passage des bases spéciales $u,u'$ aux bases quelconques $b,b'$ par matrices orthogonales est l'étape qu'il faut expliciter.

---

# Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ est une base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, $I_p=\{(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\dots<i_p\le d\}$, et $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

## Question 10.(a)

**Stratégie.**

Développer $\omega(u)$ dans la base orthonormée $e$ ; le caractère alterné élimine les indices répétés et regroupe chaque famille d'indices distincts selon son ordonnée croissante $\alpha\in I_p$, faisant apparaître un déterminant qui est précisément $\Omega_p(e_\alpha)(u)$.

**Rédaction.**

Soit $u=(u_1,\dots,u_p)\in E^p$, $u_l=\sum_{j=1}^d u_{j,l}\,e_j$ avec $u_{j,l}=\langle e_j,u_l\rangle$.

Par $p$‑linéarité de $\omega$, $$\omega(u)=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^d u_{j_1,1}\cdots u_{j_p,p}\;\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Les termes à indices répétés sont nuls (alterné).

Pour $(j_1,\dots,j_p)$ d'indices **distincts**, soit $\alpha=(i_1<\dots<i_p)\in I_p$ leur réordonné croissant et $\sigma\in\mathfrak S_p$ l'unique permutation telle que $j_l=i_{\sigma(l)}$ ; alors $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=e_\alpha\cdot\sigma$ et $\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\epsilon(\sigma)\,\omega(e_\alpha)$.

On regroupe : $$\omega(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{l=1}^p u_{i_{\sigma(l)},\,l}}_{=\ \det\big((u_{i_k,l})_{1\le k,l\le p}\big)}.$$
Or $\mathrm{Gram}(e_\alpha,u)_{k,l}=\langle e_{i_k},u_l\rangle=u_{i_k,l}$, donc $\det\big((u_{i_k,l})_{k,l}\big)=\Omega_p(e_\alpha)(u)$.

Ainsi pour tout $u$, $$\omega(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(u),\qquad\text{soit}\qquad \omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).\qquad\square$$

On notera au passage, par le même calcul de déterminant, que pour $\alpha,\beta\in I_p$ : $$\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\det\big((\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle)_{k,l}\big)=\det\big((\delta_{i_k,j_l})_{k,l}\big)=\delta_{\alpha\beta}.\tag{$\dagger$}$$ (Si $\alpha\neq\beta$, il existe $i_k\notin\{j_1,\dots,j_p\}$ et la $k$‑ème ligne est nulle.)

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée.

Elle nécessitait … une justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $I_p$. » Le regroupement par réordonné croissant et la reconnaissance du mineur comme $\Omega_p(e_\alpha)$ sont le cœur de la question.

## Question 10.(b)

**Stratégie.**

L'application $\Phi:\omega\mapsto(\omega(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est un isomorphisme linéaire $\mathscr A_p(E,\mathbb R)\to\mathbb R^{I_p}$ (injectif et surjectif d'après 10.(a) et $(\dagger)$) ; il transporte le produit scalaire canonique.

**Rédaction.** $\Phi:\mathscr A_p(E,\mathbb R)\to\mathbb R^{I_p}$, $\omega\mapsto(\omega(e_\alpha))_\alpha$, est linéaire.

Il est **injectif** : si $\omega(e_\alpha)=0$ pour tout $\alpha$, alors $\omega=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)=0$ (10.(a)).

Il est **surjectif** : pour $(c_\alpha)\in\mathbb R^{I_p}$, $\omega=\sum_\alpha c_\alpha\Omega_p(e_\alpha)$ vérifie $\omega(e_\beta)=\sum_\alpha c_\alpha\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)\overset{(\dagger)}{=}c_\beta$.

Donc $\Phi$ est un isomorphisme et $$\dim\mathscr A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\binom{d}{p}.$$
Comme $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)=\langle\Phi(\omega),\Phi(\omega')\rangle_{\mathbb R^{I_p}}$, la forme $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est l'image réciproque par l'isomorphisme $\Phi$ du produit scalaire canonique de $\mathbb R^{I_p}$ : elle est **bilinéaire, symétrique, définie positive** ($\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge0$, nul ssi tous les $\omega(e_\alpha)=0$ ssi $\omega=0$).

C'est donc un produit scalaire.

Enfin, par $(\dagger)$, $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_\gamma\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}$ : la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est orthonormée, donc libre, et de cardinal $\binom dp=\dim$ : c'est une base orthonormée. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent traitée …

Le point le plus subtil était … que si $\alpha\neq\beta$, l'une au moins des colonnes de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ était nulle » (relation $(\dagger)$).

Et : « Le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » — c'est $\binom dp$.

## Question 10.(c)

**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, $\dim\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)=\binom{d}{d-1}=d=\dim E$ ; un $\alpha\in I_{d-1}$ est repéré par l'unique indice manquant.

On envoie la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_\alpha))$ sur la base orthonormée $(e_m)$ : une application linéaire entre bases orthonormées est une isométrie.

**Rédaction.**

Pour $m\in\{1,\dots,d\}$, notons $\alpha_m=(1,\dots,m-1,m+1,\dots,d)\in I_{d-1}$ (privé de $m$).

La correspondance $m\mapsto\alpha_m$ est une bijection $\{1,\dots,d\}\to I_{d-1}$.

Définissons l'application linéaire $$T:\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)\to E,\qquad T(\omega)=\sum_{m=1}^d \omega(e_{\alpha_m})\,e_m.$$
D'après $(\dagger)$, $T(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_n}))=\sum_m\Omega_{d-1}(e_{\alpha_n})(e_{\alpha_m})e_m=\sum_m\delta_{nm}e_m=e_n$.

Ainsi $T$ envoie la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_n}))_{n}$ de $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$ (10.(b)) sur la base orthonormée $(e_n)_n$ de $E$.

Une application linéaire transformant une base orthonormée en une base orthonormée est une **isométrie** (elle conserve le produit scalaire, donc la norme, et est bijective). $T$ est donc une isométrie de $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$ sur $E$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée. » Le rapport indique la voie : repérer $\alpha\in I_{d-1}$ « par l'indice manquant », construire la bijection des bases orthonormées et conclure « par un calcul ou un résultat de cours » qu'elle est une isométrie.

## Question 11

**Stratégie.**

Appliquer 10.(a) à $\omega=\Omega_p(u)$, évaluer en $v$, puis utiliser 6.(b).

**Rédaction.**

Par 10.(a) appliquée à $\omega=\Omega_p(u)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ : $$\Omega_p(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).$$
Évaluons en $v$ : $\Omega_p(u)(v)=\sum_\alpha \Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v)$.

Par 6.(b), $\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$, d'où $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle \Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Découlait des calculs explicites … mais trop souvent mal rédigée, notamment sans … référence aux questions précédentes. » Citer 10.(a) et 6.(b) à leur point d'emploi est exactement ce qui était valorisé.

## Question 12

**Stratégie.**

Par 11, $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne dépend que du produit scalaire de $E$, et ce **pour toute base orthonormée** $e$.

Comme les $\Omega_p(u)$ engendrent $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$, la bilinéarité propage l'invariance.

**Rédaction.**

Pour une base orthonormée $e$ de $E$, notons $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ le produit scalaire défini par (1).

La démonstration de 11, valable pour n'importe quelle base orthonormée, donne : $$\forall u,v\in E^p,\qquad \langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v).\tag{11'}$$
Le membre de droite ne dépend que du produit scalaire de $E$ (pas de $e$).

Les formes $\Omega_p(u)$, $u\in E^p$, **engendrent** $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ : elles contiennent la base $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$ (10.(b)).

Soient $\omega,\omega'\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ ; fixons une fois pour toutes des décompositions (indépendantes de toute base) $$\omega=\sum_i \lambda_i\,\Omega_p(u^{(i)}),\qquad \omega'=\sum_j \mu_j\,\Omega_p(v^{(j)}).$$
Alors, pour toute base orthonormée $e$, par bilinéarité de $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ et par (11') : $$\langle\omega,\omega'\rangle_e=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\,\langle\Omega_p(u^{(i)}),\Omega_p(v^{(j)})\rangle_e=\sum_{i,j}\lambda_i\mu_j\,\det\mathrm{Gram}(u^{(i)},v^{(j)}).$$
Ce dernier nombre ne dépend pas de $e$.

Donc $\langle\omega,\omega'\rangle_e$ est le même pour toutes les bases orthonormées : le produit scalaire (1) ne dépend que du produit scalaire de $E$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies. » Le rapport donne la clé : « réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ et justifier que ce dernier ne dépend que du produit scalaire choisi sur $E$ » — c'est (11'), propagé par bilinéarité grâce au caractère générateur des $\Omega_p(u)$.

---

# Partie IV

$p\in\llbracket 1,d\rrbracket$.

Sur les bases d'un sous‑espace $V$ de dimension $p$, $e\sim e'\iff \det_e(e')>0$ ; deux classes : les orientations. $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ est l'ensemble des $(V,C)$, $C$ orientation de $V$.

## Question 13.(a)

**Stratégie.** ($\Leftarrow$) immédiat par 7.(a). ($\Rightarrow$) Si $\Omega_p(e')=\lambda\Omega_p(e)$ avec $\lambda\neq0$, on calcule $|\Omega_p(e)(e')|$ et l'on tombe sur le **cas d'égalité de 9.(b)**, qui force $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$.

**Rédaction.**

Comme $e,e'$ sont libres, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\neq0$ (7.(b)).

($\Leftarrow$) Supposons $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')=:V$.

Alors $e,e'$ sont deux bases de $V$ ; soit $M$ la matrice de $e'$ dans la base $e$ ($e'_i=\sum_j M_{ij}e_j$), inversible.

Par 7.(a), $\Omega_p(e')=\det(M)\,\Omega_p(e)$ avec $\det M\neq0$ : $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires.

($\Rightarrow$) Supposons $\Omega_p(e')$ et $\Omega_p(e)$ colinéaires ; comme les deux sont non nuls, $\Omega_p(e')=\lambda\,\Omega_p(e)$ avec $\lambda\neq0$.

Évaluons cette égalité de formes en $e$, puis en $e'$, en utilisant $\Omega_p(e')(e)=\Omega_p(e)(e')$ (6.(b)) : $$\Omega_p(e)(e')=\Omega_p(e')(e)=\lambda\,\Omega_p(e)(e)=\lambda\,\mathrm{vol}_p(e)^2,$$ $$\mathrm{vol}_p(e')^2=\Omega_p(e')(e')=\lambda\,\Omega_p(e)(e')=\lambda^2\,\mathrm{vol}_p(e)^2,\quad\text{soit}\quad \mathrm{vol}_p(e')=|\lambda|\,\mathrm{vol}_p(e).$$
Par suite, $$|\Omega_p(e)(e')|=|\lambda|\,\mathrm{vol}_p(e)^2=\mathrm{vol}_p(e)\cdot\big(|\lambda|\,\mathrm{vol}_p(e)\big)=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').$$
On est dans le **cas d'égalité de 9.(b)** pour deux familles libres, qui équivaut à $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$.

Donc $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée dans son intégralité, essentiellement dans les meilleures copies. L'une des implications était une conséquence facile de 7a. L'autre … bien plus délicate … nécessitait d'utiliser des résultats des différentes parties. » Le ressort est le cas d'égalité de 9.(b) (lui‑même issu de 4.(c)) : c'est l'aboutissement géométrique des Parties I et II.

## Question 13.(b)

**Stratégie.**

Choisir une base orthonormée $\varepsilon\in C$ de $V$ : alors $\mathrm{vol}_p(\varepsilon)=1$ et $\Psi(V,C)=\Omega_p(\varepsilon)$ convient.

L'unicité résulte de $\mathrm{vol}_p(\varepsilon)=1$.

**Rédaction.** *Existence d'une base orthonormée dans $C$.*

Soit $\varepsilon$ une base orthonormée de $V$.

Si $\varepsilon\in C$, on la garde ; sinon, on échange deux vecteurs (pour $p\ge2$), ou l'on remplace $\varepsilon_1$ par $-\varepsilon_1$ (pour $p=1$), ce qui change le signe de $\det_\varepsilon$ et fournit une base orthonormée appartenant à $C$.

Notons‑la encore $\varepsilon\in C$.

Posons $$\Psi(V,C):=\Omega_p(\varepsilon)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R).$$
Par 8.(a), $\mathrm{vol}_p(\varepsilon)=1$.

*La relation vaut pour tout $e\in C$.*

Soit $e\in C$ : $e$ est une base de $V$ de même orientation que $\varepsilon$.

Écrivons $e_i=\sum_j M_{ij}\varepsilon_j$, $\det(M)=\det_\varepsilon(e)>0$.

Par 7.(a), $\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(\varepsilon)=\det(M)\,\Psi(V,C)$.

De plus $\Omega_p(e)(e)=\det(M)^2\,\Omega_p(\varepsilon)(\varepsilon)$ (mêmes développements), donc $\mathrm{vol}_p(e)=|\det M|\,\mathrm{vol}_p(\varepsilon)=\det(M)$ (car $\det M>0$).

Ainsi
$$\Omega_p(e)=\det(M)\,\Psi(V,C)=\mathrm{vol}_p(e)\,\Psi(V,C).$$

*Unicité.*

Si $\Psi$ vérifie $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi$ pour tout $e\in C$, alors en $e=\varepsilon$ : $\Psi=\tfrac{1}{\mathrm{vol}_p(\varepsilon)}\Omega_p(\varepsilon)=\Omega_p(\varepsilon)$.

La forme $\Psi(V,C)$ est donc unique. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée.

L'unicité était une conséquence du fait que, pour une base orthonormale $e$ … $\mathrm{vol}_p(e)=1$.

Pour l'existence … $\Omega_p(e)$ convenait. » L'astuce est de travailler avec une base orthonormée de $V$ choisie dans la bonne orientation.

## Question 14.(a)

**Stratégie.** $\|\Psi(V,C)\|=\|\Omega_p(\varepsilon)\|=1$ par 11.

Injectivité : si $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, alors $\Omega_p(\varepsilon),\Omega_p(\varepsilon')$ colinéaires donne $V=V'$ (13.(a)), et un argument de signe donne $C=C'$.

**Rédaction.** *Norme.*

Avec $\varepsilon$ base orthonormée de $V$ dans $C$, $\Psi(V,C)=\Omega_p(\varepsilon)$ et, par 11, $$\|\Psi(V,C)\|^2=\langle\Omega_p(\varepsilon),\Omega_p(\varepsilon)\rangle=\Omega_p(\varepsilon)(\varepsilon)=\mathrm{vol}_p(\varepsilon)^2=1.$$
Donc $\Psi$ est à valeurs dans la sphère unité de $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

*Injectivité.* Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$.

Soient $\varepsilon\in C$ (resp. $\varepsilon'\in C'$) base orthonormée de $V$ (resp. $V'$).

Alors $\Omega_p(\varepsilon)=\Omega_p(\varepsilon')$, en particulier colinéaires ; comme $\varepsilon,\varepsilon'$ sont libres, 13.(a) donne $\mathrm{Vect}(\varepsilon)=\mathrm{Vect}(\varepsilon')$, soit $V=V'$.

Écrivons alors $\varepsilon'_i=\sum_j M_{ij}\varepsilon_j$ ($M$ matrice de passage entre bases de $V$) : par 7.(a), $\Omega_p(\varepsilon')=\det(M)\Omega_p(\varepsilon)$.

L'égalité $\Omega_p(\varepsilon')=\Omega_p(\varepsilon)$ avec $\Omega_p(\varepsilon)\neq0$ (7.(b)) impose $\det(M)=1>0$ : $\varepsilon'$ et $\varepsilon$ ont la même orientation, donc $C'=C$.

Finalement $(V,C)=(V',C')$ : $\Psi$ est injective. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très rarement traitée. La condition sur la norme découlait des calculs de $\det(\mathrm{Gram}(e,e))$ … L'injectivité était une conséquence de 13a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncidaient. »

## Question 14.(b)

**Stratégie.** Image dans la sphère (donc bornée).

Fermeture par critère séquentiel : pour une suite d'images $\Omega_p(\varepsilon^{(n)})$, extraire (compacité de la sphère unité de $E$, $p$ extractions successives) une limite $\varepsilon$ orthonormée ; $\Omega_p$ étant continue (multilinéaire en dimension finie), la limite est encore une image.

**Rédaction.**

L'espace $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie $\binom dp$ ; il suffit de montrer que $K:=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est **fermé et borné**.

*Borné.* $K$ est contenu dans la sphère unité (14.(a)), donc borné.

*Fermé (critère séquentiel).*

Soit $(\omega_n)$ une suite de $K$ convergeant vers $\omega\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Pour chaque $n$, $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(\varepsilon^{(n)})$ où $\varepsilon^{(n)}=(\varepsilon^{(n)}_1,\dots,\varepsilon^{(n)}_p)$ est une base orthonormée de $V_n$ dans $C_n$ ; chaque $\varepsilon^{(n)}_i$ est sur la sphère unité $S_E$ de $E$, qui est compacte (dimension finie).

Par extractions successives sur $i=1,\dots,p$ (nombre fini), on obtient une extraction $\varphi$ telle que $\varepsilon^{(\varphi(n))}_i\to \varepsilon_i\in S_E$ pour chaque $i$.

La famille $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p)$ est orthonormée : par continuité du produit scalaire, $$\langle\varepsilon_i,\varepsilon_j\rangle=\lim_n\langle\varepsilon^{(\varphi(n))}_i,\varepsilon^{(\varphi(n))}_j\rangle=\delta_{ij}.$$
Soit $V=\mathrm{Vect}(\varepsilon)$ (dimension $p$) et $C$ l'orientation de $V$ définie par $\varepsilon$ ; alors $(V,C)\in\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ et $\Psi(V,C)=\Omega_p(\varepsilon)$.

Comme $\Omega_p:E^p\to\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est $p$‑linéaire entre espaces de dimension finie, elle est **continue** (cours : continuité des applications multilinéaires en dimension finie).

Donc $$\omega=\lim_n\omega_n=\lim_n\Omega_p(\varepsilon^{(\varphi(n))})=\Omega_p(\varepsilon)=\Psi(V,C)\in K.$$ $K$ est fermé.

Fermé et borné en dimension finie : $K$ est **compact**. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Difficile très rarement traitée.

On pouvait la résoudre par un critère séquentiel … extraction diagonale des vecteurs $\varepsilon^{(n)}_i$ … compacité de la sphère unité de $E$.

On pouvait également démontrer le caractère fermé et borné, ce dernier point étant donné par la question précédente. » Ne pas oublier la continuité de $\Omega_p$, indispensable au passage à la limite.

## Question 15

**Stratégie.**

Deux sens. **$p=d$** : $K$ est une paire de points opposés $\{\pm\omega_0\}$ d'une droite ($\dim\mathscr A_d=\binom dd=1$), non connexe par arcs. **$p\le d-1$** : on relie d'abord les deux orientations d'un même $V$ (en faisant tourner un vecteur dans un plan utilisant la dimension supplémentaire $V^\perp\neq\{0\}$), puis deux sous‑espaces quelconques en tournant $u_k$ vers $u'_k$ dans les plans orthogonaux $W_k$ de la question 3.(d).

**Rédaction.**

**(a) $p=d\Rightarrow$ non connexe par arcs.**

Le seul sous‑espace de dimension $d$ est $E$, et $\dim\mathscr A_d(E,\mathbb R)=\binom dd=1$.

Notons $C_+,C_-$ les deux orientations de $E$ et $\omega_0=\Psi(E,C_+)$, qui est unitaire (14.(a)).

Si $\varepsilon$ est une base orthonormée dans $C_+$, alors $\varepsilon'=(\varepsilon_2,\varepsilon_1,\varepsilon_3,\dots,\varepsilon_d)$ est orthonormée dans $C_-$ et $\Psi(E,C_-)=\Omega_d(\varepsilon')=-\Omega_d(\varepsilon)=-\omega_0$.

Donc $K=\{\omega_0,-\omega_0\}$, deux points distincts (14.(a)).

Supposons par l'absurde un chemin continu $\gamma:[0,1]\to K$ avec $\gamma(0)=\omega_0$, $\gamma(1)=-\omega_0$.

L'application $f:\eta\mapsto\langle\eta,\omega_0\rangle$ est continue, et $f\circ\gamma:[0,1]\to\{1,-1\}$ (car $f(\pm\omega_0)=\pm1$) est continue ; par le théorème des valeurs intermédiaires, $f\circ\gamma$ devrait prendre la valeur $0$, ce qui est impossible.

Donc $K$ n'est pas connexe par arcs.

**(b) $p\le d-1\Rightarrow$ connexe par arcs.**

On montre que deux points $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V',C')$ se relient dans $K$.

On utilise systématiquement : pour toute famille orthonormée $f=(f_1,\dots,f_p)$, le point $\Omega_p(f)=\Psi(\mathrm{Vect}(f),C_f)\in K$ (où $C_f$ est l'orientation définie par $f$, car $\mathrm{vol}_p(f)=1$), et $t\mapsto\Omega_p(f(t))$ est continu dès que $t\mapsto f(t)$ l'est ($\Omega_p$ continue, 14.(b)).

*Étape 1 (changer d'orientation à $V$ fixé) — c'est ici qu'intervient $p\le d-1$.*

Soit $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_p)$ base orthonormée de $V$ dans $C$.

Comme $\dim V^{\perp}=d-p\ge1$, choisissons un vecteur unitaire $\varepsilon_{p+1}\in V^{\perp}$.

Pour $t\in[0,\pi]$, posons $$\varepsilon_1(t)=\cos(t)\,\varepsilon_1+\sin(t)\,\varepsilon_{p+1},\qquad \varepsilon(t)=(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_p).$$
Le vecteur $\varepsilon_1(t)$ est unitaire et orthogonal à $\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_p$, donc $\varepsilon(t)$ est orthonormée.

Le chemin continu $t\mapsto\Omega_p(\varepsilon(t))$ reste dans $K$, va de $\Omega_p(\varepsilon)=\Psi(V,C)$ (en $t=0$) à $\Omega_p\big((-\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_p)\big)=\Psi(V,C^{\mathrm{op}})$ (en $t=\pi$), opposée de $C$.

Donc $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,C^{\mathrm{op}})$ sont reliés dans $K$.

[Figure : $V$ est un plan dans $\mathbb R^3$ ($p=2,d=3$) ; en faisant pivoter $\varepsilon_1$ vers $\varepsilon_3\in V^\perp$ d'un demi‑tour, on revient au même plan mais avec l'orientation renversée.]

*Étape 2 (relier deux sous‑espaces).*

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on dispose de bases orthonormées $u=(u_1,\dots,u_p)$ de $V$, $u'=(u'_1,\dots,u'_p)$ de $V'$, telles que les plans (ou droites) $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u'_k)$ sont **deux à deux orthogonaux** (3.(d)).

Pour chaque $k$, définissons un chemin de $u_k$ vers $u'_k$ dans $W_k$, de norme $1$ : si $u'_k=u_k$ (cas $\theta_k=0$), on prend $u_k(t)\equiv u_k$ ; sinon $W_k$ est un plan, $u_k,u'_k$ unitaires d'angle $\theta_k\in(0,\pi/2]$, et en posant $w_k=\dfrac{u'_k-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}$ (unitaire, $\perp u_k$, dans $W_k$), $$u_k(t)=\cos(t\theta_k)\,u_k+\sin(t\theta_k)\,w_k,\qquad u_k(0)=u_k,\ u_k(1)=u'_k.$$
La famille $\varepsilon(t)=(u_1(t),\dots,u_p(t))$ est orthonormée pour tout $t$ (chaque $u_k(t)\in W_k$, unitaire, et les $W_k$ sont orthogonaux).

Le chemin continu $t\mapsto\Omega_p(\varepsilon(t))$ reste dans $K$ et relie $\Omega_p(u)=\Psi(V,C_u)$ à $\Omega_p(u')=\Psi(V',C_{u'})$, où $C_u,C_{u'}$ sont les orientations définies par $u,u'$.

*Conclusion.*

En concaténant : $\Psi(V,C)\leadsto\Psi(V,C_u)$ (Étape 1, ou identité si $C=C_u$), puis $\Psi(V,C_u)\leadsto\Psi(V',C_{u'})$ (Étape 2), puis $\Psi(V',C_{u'})\leadsto\Psi(V',C')$ (Étape 1 dans $V'$).

Tout couple de points de $K$ est donc relié par un chemin continu tracé dans $K$ : $K$ est connexe par arcs.

**Bilan.** $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$. $\qquad\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée et difficile.

Le fait que $p=d$ implique la non‑connexité par arcs était la partie la plus accessible. » L'indication du sujet (« utiliser la question 3.d ») est exactement l'Étape 2 : les plans orthogonaux $W_k$ fournissent des rotations indépendantes amenant $V$ sur $V'$.

L'Étape 1, qui consomme la condition $p\le d-1$ (existence d'un vecteur de $V^\perp$), est ce qui distingue les deux régimes : c'est l'analogue, pour les grassmanniennes orientées, du fait que la sphère $S^{d-1}$ est connexe pour $d\ge2$ mais que $S^0$ ne l'est pas.

---

*Remarque finale.* Conformément aux recommandations du rapport, on a systématiquement nommé les théorèmes (bornes atteintes, Cauchy‑Schwarz et son cas d'égalité, théorème spectral, continuité des applications multilinéaires en dimension finie, valeurs intermédiaires), vérifié leurs hypothèses au point d'emploi, et cité explicitement les questions antérieures réutilisées — la traçabilité des arguments étant, selon le jury, le critère décisif de valorisation sur cette épreuve.