Maths A

# X‑ENS — Mathématiques A (XLSR) — Filière MP — 2022
## Corrigé de référence

**Thème et fil directeur.**

Le problème étudie les sous‑espaces de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$ au moyen des formes $p$‑linéaires alternées et du déterminant de Gram.

La **Partie I** établit, pour deux sous‑espaces $V,V'$, une décomposition orthogonale adaptée (les « angles principaux » $\theta_k$) qui mesure leur position relative.

La **Partie II** introduit la forme $\Omega_p(e)=\det\mathrm{Gram}(e,\cdot)$ et le $p$‑volume $\mathrm{vol}_p$, et prouve les inégalités de type Hadamard et Cauchy‑Schwarz.

La **Partie III** munit $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ d'un produit scalaire intrinsèque pour lequel $\Omega_p$ est une isométrie (coordonnées de Plücker).

La **Partie IV** plonge la grassmannienne orientée $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ dans la sphère unité de $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ et en étudie compacité et connexité.

> **Note importante.** Le rapport du jury de cette épreuve n'est pas fourni dans le dossier. Aucune statistique, aucun barème ni seuil officiel n'est donc cité ; les commentaires se limitent aux pièges que je relève. La carte stratégique ci‑dessus reflète ma propre appréciation de la difficulté.

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# Partie I

On note $S_W=\{x\in W:\|x\|=1\}$ la sphère unité d'un sous‑espace $W$.

## Question 1.a
**Stratégie.** Une borne supérieure n'est un maximum que si elle est atteinte : on invoque la compacité de la sphère unité en dimension finie et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Comme $\dim V=\dim V'=p\ge1$, les sphères $S_V$ et $S_{V'}$ sont non vides ; elles sont fermées et bornées dans les espaces de dimension finie $V,V'$, donc compactes.

Le produit $S_V\times S_{V'}$ est compact, et $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ y est continue (restriction du produit scalaire, qui est continu en dimension finie).

D'après le **théorème des bornes atteintes**, cette application atteint son maximum en un point $(u_1,u_1')\in S_V\times S_{V'}$.

Alors $u_1\in V$, $u_1'\in V'$, $\|u_1\|=\|u_1'\|=1$ et $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège classique : se contenter de l'existence du sup sans justifier qu'il est **atteint** ; ce sont précisément les deux lignes de compacité/continuité qui rapportent les points.

## Question 1.b
**Stratégie.** On itère la question 1.a en ajoutant à chaque étape les contraintes d'orthogonalité ; il faut vérifier que l'ensemble contraint reste une sphère non vide (donc compacte), ce qui demande de contrôler la dimension d'un orthogonal.

**Rédaction.**

On construit $(u_k)_{1\le k\le p}$ et $(u_k')_{1\le k\le p}$ par récurrence sur $k$.

Supposons construits $u_1,\dots,u_{k-1}$ orthonormés dans $V$ et $u_1',\dots,u_{k-1}'$ orthonormés dans $V'$ (hypothèse vide pour $k=1$).

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Les $u_1,\dots,u_{k-1}$ étant orthonormés dans $V$, on a $\dim V_k=p-(k-1)\ge1$ pour $k\le p$ ; de même $\dim V_k'\ge1$.

Donc $S_{V_k}$ et $S_{V_k'}$ sont des compacts non vides, et $K_k:=S_{V_k}\times S_{V_k'}$ aussi.

Par continuité de $\langle\cdot,\cdot\rangle$ et le théorème des bornes atteintes, il existe $(u_k,u_k')\in K_k$ réalisant $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1,\ \langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0\ \forall l<k\}.$$
Par construction $\|u_k\|=\|u_k'\|=1$, $u_k\perp u_l$ et $u_k'\perp u_l'$ pour $l<k$ : les familles restent orthonormées.

La condition (i) (resp. (ii)) est exactement la définition du sup pour $k=1$ (resp. $k\ge2$).

La récurrence aboutit à deux familles orthonormées $u,u'$ de longueur $p$ satisfaisant (i)–(ii). $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : oublier de justifier $\dim V_k\ge1$ (sans quoi $S_{V_k}=\varnothing$ et le sup n'a pas de sens), ou ne pas remarquer que les contraintes d'orthogonalité fournissent gratuitement le caractère orthonormé des familles.

## Question 2
**Stratégie.**

Sur $V\cap V'$, prendre $a=a'$ rend le produit scalaire égal à $1$ ; Cauchy‑Schwarz montre que c'est le maximum et que l'égalité force $u_k=u_k'$.

On procède par récurrence pour disposer de $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})\subset V\cap V'$.

**Rédaction.** Posons $r=\dim(V\cap V')\ge1$.

Montrons par récurrence sur $k\in\{1,\dots,r\}$ que $u_k=u_k'$.

Soit $k\le r$ ; supposons $u_l=u_l'$ pour tout $l<k$.

Alors $u_l\in V\cap V'$ pour $l<k$, donc $H:=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})\subset V\cap V'$, avec $\dim H=k-1$.

Ainsi $$\dim\big((V\cap V')\cap H^\perp\big)=r-(k-1)\ge1,$$ et il existe un vecteur unitaire $w\in(V\cap V')\cap H^\perp$.

Le couple $(w,w)$ est admissible à l'étape $k$ : $w\in V$, $w\in V'$, $\|w\|=1$, et $w\perp u_l$, $w\perp u_l'=u_l$ pour $l<k$.

Donc le sup de l'étape $k$ est $\ge\langle w,w\rangle=1$.

Par **Cauchy‑Schwarz**, pour tout couple admissible $\langle a,a'\rangle\le\|a\|\,\|a'\|=1$ ; le sup vaut donc exactement $1$ et $\langle u_k,u_k'\rangle=1$.

L'égalité dans Cauchy‑Schwarz entre vecteurs unitaires donne $u_k=u_k'$. La récurrence est établie. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Deux pièges : (i) croire que $V\cap V'$ contient toujours un vecteur orthogonal aux précédents — c'est vrai seulement parce que les $u_l$ ($l<k$) sont déjà dans $V\cap V'$, d'où la nécessité de la récurrence ; (ii) énoncer le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz sans préciser que des vecteurs **unitaires** positivement colinéaires sont **égaux**.

## Question 3.a
**Stratégie.** Famille orthonormale de bon cardinal dans un espace de bonne dimension.

**Rédaction.** $u=(u_1,\dots,u_p)$ est une famille orthonormale (1.b), donc libre, de $p$ vecteurs de $V$, et $\dim V=p$.

C'est donc une **base orthonormée de $V$**. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Rien à signaler ; quelques mots suffisent.

## Question 3.b

**Stratégie.** $u_k$ maximise $a\mapsto\langle a,u_k'\rangle$ sur la sphère contrainte de $V_k$ ; en déformant $u_k$ dans la direction $u_l$ ($l>k$), on obtient une fonction dérivable de $t$ maximale en $0$, dont la dérivée en $0$ donne l'orthogonalité voulue.

**Rédaction.**

Soit $k\in\{1,\dots,p-1\}$ et $l\in\{k+1,\dots,p\}$.

Pour $t\in\mathbb R$ posons $u_k(t)=\dfrac{u_k+t\,u_l}{\|u_k+t\,u_l\|}$.

Comme $u_k,u_l$ sont orthonormés, $\|u_k+t\,u_l\|=\sqrt{1+t^2}$, donc $u_k(t)$ est bien défini et unitaire.

De plus $u_k(t)\in V$, et pour $m<k$ : $\langle u_k+t u_l,u_m\rangle=\langle u_k,u_m\rangle+t\langle u_l,u_m\rangle=0$ (car $m<k<l$).

Ainsi $u_k(t)$ est admissible pour la première variable à l'étape $k$, et le couple $(u_k(t),u_k')$ est admissible.

Par maximalité de $(u_k,u_k')$, $$\phi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le\langle u_k,u_k'\rangle=\phi(0)\quad(\forall t).$$ $\phi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et atteint un maximum en $0$, donc $\phi'(0)=0$.

Or $\phi'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle$.

Donc $\langle u_l,u_k'\rangle=0$ pour tout $l>k$, c'est‑à‑dire $$u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp.\qquad\square$$

**Remarque (symétrie, utile en 3.d).**

Le même calcul en déformant la **seconde** variable, $u_k'(t)=\dfrac{u_k'+t\,u_l'}{\sqrt{1+t^2}}$ ($l>k$), donne $\psi(t)=\langle u_k,u_k'(t)\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle$, d'où $\psi'(0)=\langle u_k,u_l'\rangle=0$.

Ainsi **aussi** $\langle u_k,u_l'\rangle=0$ pour tout $l>k$.

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Pièges : utiliser une condition d'optimalité « sous contrainte » (multiplicateurs) hors‑programme alors que la déformation explicite proposée par l'indication ramène à un extremum **libre** de $t\mapsto\phi(t)$ ; oublier de vérifier que $u_k(t)$ reste admissible.

## Question 3.c
**Stratégie.** Conséquence directe de 3.a (orthonormalité de $u$) et de 3.b.

**Rédaction.**

Soit $k\in\{1,\dots,p-1\}$ et $j\le k$.

D'une part $\langle u_{k+1},u_j\rangle=0$ ($u$ orthonormée).

D'autre part, par 3.b appliquée à l'indice $j$ : $u_j'\perp u_l$ pour $l>j$ ; comme $k+1>k\ge j$, $\langle u_{k+1},u_j'\rangle=0$.

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$ et à $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$, c.-à-d. $$u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^\perp.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. L'orthogonal d'une **somme** est l'intersection des orthogonaux : il suffit d'être orthogonal à chaque sous‑espace.

## Question 3.d
**Stratégie.**

Montrer que $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale : c'est exactement l'orthogonalité deux à deux des $W_k$.

On combine 3.b et sa version symétrique.

**Rédaction.** Soient $k<m$. Montrons $W_k\perp W_m$, c.-à-d. les quatre produits scalaires des générateurs sont nuls.

- $\langle u_k,u_m\rangle=0$ et $\langle u_k',u_m'\rangle=0$ : orthonormalité de $u$ et $u'$.

- $\langle u_k',u_m\rangle=0$ : par 3.b ($u_k'\perp u_l$ pour $l>k$, avec $m>k$).

- $\langle u_k,u_m'\rangle=0$ : par la **remarque symétrique** de 3.b ($u_k\perp u_l'$ pour $l>k$, avec $m>k$).

Donc tout vecteur de $W_k$ est orthogonal à tout vecteur de $W_m$ : les $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$, $1\le k\le p$, sont **orthogonaux deux à deux**. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège majeur : 3.b et 3.c ne donnent à elles seules que les annulations « indice de $u$ supérieur » ; l'annulation $\langle u_k,u_m'\rangle=0$ pour $k<m$ exige la **version symétrique** (déformer $u_k'$), conséquence de la symétrie de toute la construction en $(V,V')$.

C'est l'étape où beaucoup de copies « tournent en rond » en réutilisant deux fois la même inégalité.

## Question 4.a
**Stratégie.**

Encadrer $\langle u_k,u_k'\rangle$ entre $0$ et $1$ (signe par changement de $a'$ en $-a'$, majoration par Cauchy‑Schwarz), puis monotonie par emboîtement des ensembles de contraintes.

**Rédaction.**

Notons $c_k=\langle u_k,u_k'\rangle$, qui est le sup de l'étape $k$ sur l'ensemble $K_k$.

- $c_k\le1$ : Cauchy‑Schwarz entre vecteurs unitaires.

- $c_k\ge0$ : si $(a,a')\in K_k$ alors $(a,-a')\in K_k$, donc $c_k\ge\max(\langle a,a'\rangle,-\langle a,a'\rangle)\ge0$.

Ainsi $c_k\in[0,1]$, et il existe un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ tel que $\cos\theta_k=c_k$.

Enfin, l'ensemble de contraintes de l'étape $k+1$ ajoute $\langle a,u_k\rangle=\langle a',u_k'\rangle=0$ : $K_{k+1}\subset K_k$, d'où $c_{k+1}\le c_k$, soit $\cos\theta_{k+1}\le\cos\theta_k$, donc $\theta_{k+1}\ge\theta_k$ ($\cos$ décroissant sur $[0,\pi/2]$).

On a bien $0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\pi/2$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : oublier la positivité $c_k\ge0$ (sinon $\theta_k$ n'est pas dans $[0,\pi/2]$) ; l'astuce $a'\mapsto-a'$ la donne en une ligne.

## Question 4.b
**Stratégie.** D'après 3.d la matrice de Gram est diagonale.

**Rédaction.**

Par 3.d, $\langle u_i,u_j'\rangle=0$ pour $i\ne j$, et $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k$.

Donc $\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p)$ et $$\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_{k=1}^{p}\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. La diagonalité **est** le contenu de 3.d ; il faut la citer explicitement.

## Question 4.c
**Stratégie.**

Produit de cosinus de $[0,1]$ ; égalité $\iff$ tous les angles nuls $\iff V=V'$.

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$ donc $\det\mathrm{Gram}(u,u')=\prod\cos\theta_k\le1$.

*Cas d'égalité.* $\prod\cos\theta_k=1\iff\cos\theta_k=1\ \forall k\iff\langle u_k,u_k'\rangle=1\ \forall k\iff u_k=u_k'\ \forall k$ (égalité de Cauchy‑Schwarz, vecteurs unitaires).

Si $u_k=u_k'$ pour tout $k$, alors $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$.

Réciproquement, si $V=V'$, alors $\dim(V\cap V')=p$ et la question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k\le p$, d'où $\det\mathrm{Gram}(u,u')=1$.

Ainsi
$$\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=1\iff V=V'.\qquad\square$$

[Figure : deux plans $V,V'$ de $\mathbb R^3$ s'intersectant selon une droite ; les angles principaux $\theta_1=0$ (direction commune) et $\theta_2$ (angle dièdre) illustrent les $W_k$ orthogonaux.]

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : conclure « égalité $\iff V=V'$ » sans démontrer la **réciproque**, qui s'appuie sur la question 2.

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# Partie II

Rappel : $\Omega_p(e)(u)=\det\mathrm{Gram}(e,u)$ avec $\mathrm{Gram}(e,u)_{i,j}=\langle e_i,u_j\rangle$.

## Question 5.a
**Stratégie.**

Le produit mixte est le déterminant des colonnes : c'est la forme $p$‑linéaire alternée de référence sur $\mathbb R^p$.

**Rédaction.** Par définition $[x_1,\dots,x_p]=\det\big((x_1|\cdots|x_p)\big)$.

Le déterminant dans la base canonique est l'unique forme $p$‑linéaire alternée sur $(\mathbb R^p)^p$ valant $1$ sur la base canonique (cours).

En particulier, pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, permuter les colonnes donne $[x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)}]=\epsilon(\sigma)[x_1,\dots,x_p]$, soit $f(x\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)f(x)$.

Donc l'application appartient à $\mathcal A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Vérification de cours ; inutile de redémontrer la $p$‑linéarité du déterminant.

## Question 5.b

**Stratégie.** $g$ est la composée du produit mixte (5.a) avec $f$ appliquée coordonnée par coordonnée.

**Rédaction.** Soit $\Phi:(y_1,\dots,y_p)\mapsto[y_1,\dots,y_p]\in\mathcal A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$ (5.a). Alors $g(u)=\Phi(f(u_1),\dots,f(u_p))$.

- $p$‑linéarité : à $u_1,\dots,\hat u_i,\dots,u_p$ fixés, $y\mapsto f(y)$ est linéaire et $\Phi$ est linéaire en sa $i$‑ème variable, donc $u_i\mapsto g(u)$ est linéaire.

- Alternance : $g(u\cdot\sigma)=\Phi\big(f(u_{\sigma(1)}),\dots,f(u_{\sigma(p)})\big)=\Phi\big((f(u_1),\dots,f(u_p))\cdot\sigma\big)=\epsilon(\sigma)g(u)$ par 5.a.

Donc $g\in\mathcal A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Composer une application linéaire avec une forme alternée préserve l'alternance ; argument court.

## Question 6.a
**Stratégie.**

Écrire $\Omega_p(e)$ comme un produit mixte de $f_e(u_j)$ avec $f_e$ linéaire, et invoquer 5.b.

**Rédaction.**

Fixons $e\in E^p$ et posons $f_e:E\to\mathbb R^p$, $f_e(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$ ; $f_e$ est linéaire.

La matrice de colonnes $f_e(u_1),\dots,f_e(u_p)$ a pour coefficient $(i,j)$ le nombre $\langle e_i,u_j\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{i,j}$.

Donc $$[f_e(u_1),\dots,f_e(u_p)]=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u).$$
Par 5.b, $u\mapsto[f_e(u_1),\dots,f_e(u_p)]=\Omega_p(e)(u)$ appartient à $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. La bonne idée est de reconnaître $\Omega_p(e)$ comme une instance de 5.b ; tenter une vérification directe de l'alternance via la définition de Gram est plus lourd.

## Question 6.b
**Stratégie.** Les deux matrices de Gram sont transposées l'une de l'autre.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)$.

Comme $\det{}^{t}A=\det A$, $$\Omega_p(u)(e)=\det\mathrm{Gram}(u,e)=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Une ligne ; clé de toute la suite (symétrie de $\Omega_p$).

## Question 6.c
**Stratégie.** Transporter par 6.b la $p$‑linéarité alternée (en la seconde variable, donnée par 6.a) vers la première variable.

**Rédaction.**

Par 6.a, $\Omega_p(e)\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ pour tout $e$ : $\Omega_p$ est bien à valeurs dans $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$.

Les opérations sur $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ étant ponctuelles, vérifier les propriétés de $e\mapsto\Omega_p(e)$ revient à les vérifier pour $e\mapsto\Omega_p(e)(u)$, pour chaque $u$.

Or, par 6.b, $\Omega_p(e)(u)=\Omega_p(u)(e)$, et $\Omega_p(u)\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ (6.a) est $p$‑linéaire alternée en son argument $e$.

Donc :

- pour chaque $i$, $e_i\mapsto\Omega_p(e)(u)=\Omega_p(u)(e)$ est linéaire (pour tout $u$), donc $e_i\mapsto\Omega_p(e)$ est linéaire ;

- pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ : $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$ pour tout $u$, donc $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Ainsi $\Omega_p\in\mathcal A_p\big(E,\mathcal A_p(E,\mathbb R)\big)$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : oublier que $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ est un espace vectoriel et que linéarité/alternance « à valeurs dans $\mathcal A_p$ » se testent **ponctuellement** ; 6.b fait tout le travail.

## Question 7.a
**Stratégie.** C'est le comportement d'une forme $p$‑linéaire alternée sous changement de famille.

**Rédaction.** $\Omega_p$ est $p$‑linéaire alternée (6.c).

Avec $e_i'=\sum_{j}M_{ij}e_j$, la multilinéarité donne $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p}M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Les termes à indices répétés sont nuls (alternance) ; les autres correspondent à $\sigma\in\mathfrak S_p$ avec $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

D'où
$$\Omega_p(e')=\Big(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i}M_{i\sigma(i)}\Big)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Résultat de cours sur les formes alternées ; on peut le citer, mais l'énoncer proprement (annulation des indices répétés) est attendu.

## Question 7.b
**Stratégie.** Lien Gram–liberté pour le sens « libre », forme alternée nulle sur une famille liée pour la contraposée.

**Rédaction.** $\Omega_p(e)\ne0$ (dans $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$) signifie : il existe $u$ avec $\det\mathrm{Gram}(e,u)\ne0$.

$(\Leftarrow)$ Si $e$ est libre, $\mathrm{Gram}(e,e)$ est la matrice de Gram d'une famille libre, symétrique **définie positive**, donc inversible : $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)>0$, donc $\Omega_p(e)\ne0$.

$(\Rightarrow)$ Par contraposée, si $e$ est liée, un $e_i$ est combinaison des autres ; par multilinéarité de $\Omega_p$ (6.c), $\Omega_p(e)$ est une combinaison de formes ayant deux arguments égaux, donc nulles par alternance : $\Omega_p(e)=0$.

D'où l'équivalence $\Omega_p(e)\ne0\iff e$ libre. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : confondre $\Omega_p(e)\ne0$ (la forme est non nulle) avec $\Omega_p(e)(e)\ne0$.

Pour le sens « libre $\Rightarrow$ non nul », tester sur $u=e$ est l'idée économique.

## Question 7.c
**Stratégie.** Le déterminant de Gram est celui d'une matrice symétrique positive.

**Rédaction.** $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)$.

Pour $x\in\mathbb R^p$, ${}^t x\,\mathrm{Gram}(e,e)\,x=\big\|\sum_i x_i e_i\big\|^2\ge0$ : $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive, ses valeurs propres sont $\ge0$, donc $\det\mathrm{Gram}(e,e)\ge0$.

Ainsi $\Omega_p(e)(e)\ge0$ et $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}$ est bien défini. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. On peut aussi conclure par 7.b (positif si libre, nul sinon).

## Question 8.a
**Stratégie.** Gram d'une famille orthonormée $=I_p$.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(b,b)_{i,j}=\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}$, donc $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$ et $\mathrm{vol}_p(b)=\sqrt{\det I_p}=1$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

## Question 8.b
**Stratégie.**

Retrancher à $e_1$ sa composante dans $\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ ne change pas le déterminant de Gram (opération de déterminant $1$), puis la matrice devient diagonale par blocs.

**Rédaction.**

Écrivons $f_1=\mathrm{pr}(e_1)=e_1-w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, et $f=(f_1,e_2,\dots,e_p)$.

On a $f=Me$ avec $M$ triangulaire à diagonale de $1$ (seule la première ligne est modifiée), donc $\det M=1$.

Comme $\mathrm{Gram}(f,f)=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM$, on a $$\det\mathrm{Gram}(f,f)=(\det M)^2\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det\mathrm{Gram}(e,e).$$
Or $f_1=\mathrm{pr}(e_1)\perp\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, donc $\langle f_1,e_j\rangle=0$ pour $j\ge2$ : la matrice $\mathrm{Gram}(f,f)$ est diagonale par blocs, $$\mathrm{Gram}(f,f)=\begin{pmatrix}\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2&0\\[2pt]0&\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},$$ d'où $\det\mathrm{Gram}(e,e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2\det\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)$.

En prenant la racine (quantités $\ge0$) : $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : manipuler directement $\det\mathrm{Gram}(e,e)$ par opérations sur lignes **et** colonnes sans justifier ; la relation $\mathrm{Gram}(f,f)=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM$ est la formulation propre.

## Question 8.c
**Stratégie.** Récurrence via 8.b, en utilisant $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ et le cas d'égalité de la projection orthogonale.

**Rédaction.** Récurrence sur $p$.

*$p=1$ :* $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$, égalité triviale.

*Hérédité.*

Soit $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre ($p\ge2$).

Alors $e_2^p$ est libre.

Par 8.b et $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ (la projection orthogonale est $1$‑lipschitzienne) puis l'hypothèse de récurrence : $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$
*Cas d'égalité.*

Comme $\prod_{i=2}^p\|e_i\|>0$ (famille libre), l'égalité équivaut à $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ **et** $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

Or $\|e_1\|^2=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2+\|e_1-\mathrm{pr}(e_1)\|^2$, donc $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|\iff e_1=\mathrm{pr}(e_1)\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^\perp\iff e_1\perp e_j\ (\forall j\ge2)$.

Et par hypothèse de récurrence, $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|\iff(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale deux à deux.

Au total, égalité $\iff e$ orthogonale deux à deux. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est l'**inégalité de Hadamard**. Piège : traiter le cas d'égalité sans justifier que les facteurs sont strictement positifs (sinon l'« égalité dans un produit d'inégalités » n'entraîne pas l'égalité facteur par facteur).

## Question 9.a
**Stratégie.**

Dans une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$, la matrice de Gram s'écrit ${}^tP\,P$.

**Rédaction.**

Comme $e$ est libre, $\dim\mathrm{Vect}(e)=p$ et $b$ en est une base orthonormée.

Avec $e_j=\sum_i (P_b^e)_{ij}b_i$ et $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ : $$\mathrm{Gram}(e,e)_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle=\sum_k (P_b^e)_{ki}(P_b^e)_{kj}=\big({}^t P_b^e\,P_b^e\big)_{ij}.$$
Donc $\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det\big({}^tP_b^e\,P_b^e\big)=(\det P_b^e)^2$, et $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P_b^e|$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Le $p$‑volume est donc le « volume » usuel du parallélotope, indépendant de la base orthonormée choisie.

## Question 9.b
**Stratégie.** Si une famille est liée, les deux membres sont nuls.

Sinon, exprimer $\mathrm{Gram}(e,e')$ dans des bases orthonormées de $V=\mathrm{Vect}(e)$ et $V'=\mathrm{Vect}(e')$ et appliquer le résultat $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le1$ de la Partie I.

**Rédaction.** *Cas lié.*

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ (7.b) donc $\Omega_p(e)(e')=0$ et $\mathrm{vol}_p(e)=0$ : l'inégalité $0\le0$ est vraie.

De même si $e'$ est liée (via $\Omega_p(e)(e')=\Omega_p(e')(e)$, 6.b).

*Cas libre.*

Soient $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$, de dimension $p$, $b$ une base orthonormée de $V$, $b'$ une base orthonormée de $V'$.

Avec $e_i=\sum_k(P_b^e)_{ki}b_k$, $e_j'=\sum_l(P_{b'}^{e'})_{lj}b_l'$ : $$\mathrm{Gram}(e,e')={}^t(P_b^e)\,\mathrm{Gram}(b,b')\,P_{b'}^{e'}.$$
Donc, par 9.a, $|\Omega_p(e)(e')|=|\det\mathrm{Gram}(e,e')|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')\,|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$.

Reste $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le1$.

La quantité $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$ est invariante par changement de base orthonormée de $V$ et de $V'$ (un tel changement multiplie $\mathrm{Gram}(b,b')$ par une matrice orthogonale à gauche ou à droite, de déterminant $\pm1$).

En prenant les bases adaptées $u,u'$ de la Partie I, on obtient par 4.b–4.c : $$|\det\mathrm{Gram}(b,b')|=|\det\mathrm{Gram}(u,u')|=\prod_k\cos\theta_k\le1.$$
D'où $|\Omega_p(e)(e')|\le\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est ici que la Partie I est **réinvestie**. Pièges : oublier le cas des familles liées ; ne pas justifier l'invariance de $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$ par changement de base orthonormée.

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# Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, $I_p$ les multi‑indices strictement croissants.

Pour $\alpha\in I_p$, $e_\alpha=(e_{i_1},\dots,e_{i_p})$, et $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

**Lemme préliminaire (utilisé en 10).**

Pour $\alpha,\beta\in I_p$, $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\det\big(\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle\big)_{k,l}=\det(\delta_{i_k,j_l})_{k,l}=\delta_{\alpha\beta}$ : si $\alpha\ne\beta$, un indice de $\alpha$ n'est pas dans $\beta$, donnant une ligne nulle (déterminant $0$) ; si $\alpha=\beta$, la matrice est $I_p$.

## Question 10.a
**Stratégie.**

Les deux membres sont des formes $p$‑linéaires alternées ; une telle forme est déterminée par ses valeurs sur les $e_\beta$, $\beta\in I_p$.

On vérifie l'égalité sur ces $e_\beta$.

**Rédaction.**

Soit $\omega\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ et $\Theta:=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$. $\Theta\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ (combinaison de formes alternées, par 6.a).

*Une forme alternée est déterminée par ses valeurs sur les $e_\beta$ :* pour $x_1,\dots,x_p\in E$, en développant chaque $x_j=\sum_i x_{ij}e_i$ par $p$‑linéarité et en annulant par alternance les termes à indices répétés, toute $\phi\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ s'exprime via les seuls $\phi(e_\beta)$, $\beta\in I_p$ (les autres tuples se ramènent à un $e_\beta$ au signe $\epsilon(\sigma)$ près).

Il suffit donc de comparer $\omega$ et $\Theta$ sur les $e_\beta$.

Par le lemme, $\Theta(e_\beta)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\,\delta_{\alpha\beta}=\omega(e_\beta)$.

Les deux formes coïncident sur tous les $e_\beta$, donc $$\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : oublier d'énoncer le principe « une forme alternée est déterminée par ses valeurs sur les multi‑indices croissants » — c'est lui qui légitime la comparaison.

## Question 10.b
**Stratégie.** Vérifier les axiomes du produit scalaire (la définie‑positivité utilise 10.a), puis l'orthonormalité par le lemme.

**Rédaction.**

L'application $(\omega,\omega')\mapsto\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$ est bilinéaire, symétrique, et $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge0$.

De plus $\langle\omega,\omega\rangle=0\Rightarrow\omega(e_\alpha)=0\ \forall\alpha\Rightarrow\omega=0$ (par 10.a). C'est donc un **produit scalaire**.

Par le lemme, $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}$ : la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est orthonormale, donc libre ; elle est génératrice par 10.a. C'est une **base orthonormée** de $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$, et $$\dim\mathcal A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\binom{d}{p}.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. La définie‑positivité repose entièrement sur 10.a ; ne pas la « sauter ».

## Question 10.c
**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, $\dim\mathcal A_{d-1}(E,\mathbb R)=d=\dim E$ ; on envoie une base orthonormée sur une base orthonormée.

**Rédaction.**

Pour $p=d-1$, $I_{d-1}$ est en bijection avec $\{1,\dots,d\}$ via $\alpha\mapsto$ l'unique indice omis ; notons $\widehat k=(1,\dots,\widehat k,\dots,d)$.

Par 10.b, $\big(\Omega_{d-1}(e_{\widehat k})\big)_{1\le k\le d}$ est une base orthonormée de $\mathcal A_{d-1}(E,\mathbb R)$, et $(e_k)_{1\le k\le d}$ une base orthonormée de $E$.

L'unique application linéaire $$\Phi:\mathcal A_{d-1}(E,\mathbb R)\to E,\qquad \Phi\big(\Omega_{d-1}(e_{\widehat k})\big)=e_k\ (1\le k\le d),$$ envoie une base orthonormée sur une base orthonormée : elle est bijective et **conserve le produit scalaire**, donc c'est une isométrie. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Toute isométrie convient ; inutile d'introduire la « dualité de Hodge ». Vérifier d'abord l'égalité des dimensions.

## Question 11
**Stratégie.**

Développer $\Omega_p(u)$ sur la base $(\Omega_p(e_\alpha))$ via 10.a, l'évaluer en $v$, et utiliser la symétrie 6.b.

**Rédaction.**

Par 10.a appliquée à $\omega=\Omega_p(u)$ puis évaluation en $v$ : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v).$$
Par 6.b, $\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$, donc $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

En particulier $\|\Omega_p(u)\|^2=\Omega_p(u)(u)=\mathrm{vol}_p(u)^2$, donc $\|\Omega_p(u)\|=\mathrm{vol}_p(u)$ : retenir ce fait pour 14.a.

## Question 12

**Stratégie.** $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est déterminé par ses valeurs sur une partie génératrice ; or $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\Omega_p(u)(v)$ ne dépend pas de $e$.

**Rédaction.**

Notons $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ la forme définie par (1) avec la base $e$.

Les $\Omega_p(e_\alpha)$ engendrent $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ (10.a), donc la famille $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ est génératrice.

Par 11, pour tous $u,v$, $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v),$$ quantité qui ne fait intervenir que le produit scalaire de $E$, **pas la base $e$**.

Une forme bilinéaire étant déterminée par ses valeurs sur une partie génératrice, $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ est indépendante de $e$ : il ne dépend que du produit scalaire de $E$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : croire qu'il faut une formule explicite ; l'argument « génératrice + bilinéarité » suffit, à condition d'avoir noté en 10.a que les $\Omega_p(e_\alpha)$ engendrent.

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# Partie IV

## Question 13.a
**Stratégie.**

Sens direct par 7.a (deux bases d'un même espace) ; sens réciproque via le lemme « $\Omega_p(e)(v)$ ne dépend que des projetés des $v_j$ sur $\mathrm{Vect}(e)$ », qui permet de séparer $V$ et $V'$ s'ils diffèrent.

**Rédaction.**

Posons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (de dimension $p$, familles libres) ; par 7.b, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\ne0$.

*Lemme.*

Pour toute famille $v=(v_1,\dots,v_p)$, $\Omega_p(e)(v)=\Omega_p(e)(\mathrm{pr}_V v_1,\dots,\mathrm{pr}_V v_p)$, car $\langle e_i,v_j\rangle=\langle e_i,\mathrm{pr}_V v_j\rangle$ ($e_i\in V$).

En particulier $\Omega_p(e)$ s'annule dès qu'un argument est dans $V^\perp$.

$(\Leftarrow)$ Si $V=V'$, $e'$ est une base de $V$ et $e_j'=\sum_i M_{ij}e_i$ avec $M$ inversible ; par 7.a, $\Omega_p(e')=\det(M)\,\Omega_p(e)$ avec $\det M\ne0$ : $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires.

$(\Rightarrow)$ Supposons $\Omega_p(e')=\lambda\,\Omega_p(e)$, $\lambda\ne0$, et raisonnons par l'absurde : $V\ne V'$.

Comme $\dim V=\dim V'$, on n'a pas $V'^\perp\subset V^\perp$ (sinon $V\subset V'$ puis $V=V'$).

Soit donc $z\in V'^\perp\setminus V^\perp$ : $\mathrm{pr}_V z\ne0$.

Complétons $\mathrm{pr}_V z$ en une base $(\mathrm{pr}_V z,f_2,\dots,f_p)$ de $V$.

Alors, par le lemme, $$\Omega_p(e)(z,f_2,\dots,f_p)=\Omega_p(e)(\mathrm{pr}_V z,f_2,\dots,f_p)\ne0$$ (forme alternée non nulle sur $V$, évaluée sur une base de $V$).

Mais $z\in V'^\perp$ donne $\Omega_p(e')(z,f_2,\dots,f_p)=0$ (lemme appliqué à $e'$).

Or $\Omega_p(e')(z,f_2,\dots,f_p)=\lambda\,\Omega_p(e)(z,f_2,\dots,f_p)\ne0$ : contradiction.

Donc $V=V'$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Le lemme de projection est l'outil décisif.

Piège : pour le sens réciproque, ne pas se contenter d'évaluer en $e$ ou $e'$ (qui ne sépare pas $V$ et $V'$) — il faut introduire un vecteur de $V'^\perp$ hors de $V^\perp$.

## Question 13.b
**Stratégie.**

Définir $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$ pour $e\in C$, et vérifier l'indépendance du représentant via 7.a (le déterminant du changement de base est positif sur une même orientation).

**Rédaction.**

Soit $e\in C$ (base de $V$, libre, $\mathrm{vol}_p(e)>0$).

Posons $\Psi(V,C)=\dfrac{1}{\mathrm{vol}_p(e)}\Omega_p(e)$.

*Indépendance du représentant.*

Soit $e'\in C$ ; alors $e_j'=\sum_i M_{ij}e_i$ avec $\det{}_e(e')=\det M>0$ (même orientation).

Par 7.a, $\Omega_p(e')=\det(M)\,\Omega_p(e)$ ; et $\mathrm{Gram}(e',e')={}^tM\,\mathrm{Gram}(e,e)\,M$ donne $\mathrm{vol}_p(e')=|\det M|\,\mathrm{vol}_p(e)=\det(M)\,\mathrm{vol}_p(e)$.

Donc $$\frac{\Omega_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e')}=\frac{\det(M)\,\Omega_p(e)}{\det(M)\,\mathrm{vol}_p(e)}=\frac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}.$$
Ainsi $\Psi(V,C)$ est bien défini et, pour tout $e\in C$, $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\,\Psi(V,C)$.

*Unicité.*

Si $\Psi'$ vérifie $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\,\Psi'$ pour un $e\in C$, alors $\Psi'=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)=\Psi(V,C)$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. Le rôle de l'orientation : c'est la **positivité** de $\det M$ qui rend la définition cohérente. Sans cela, $\Psi$ ne serait défini qu'au signe près.

## Question 14.a
**Stratégie.**

Norme $1$ de $\Psi$ par 11 ; injectivité via 13.a (égalité des sous‑espaces) puis 7.a (égalité des orientations).

**Rédaction.**

*Sur la sphère unité :* pour $e\in C$, $\|\Psi(V,C)\|=\dfrac{\|\Omega_p(e)\|}{\mathrm{vol}_p(e)}=\dfrac{\mathrm{vol}_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}=1$ (car $\|\Omega_p(e)\|=\mathrm{vol}_p(e)$ par 11).

*Injectivité :* supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, avec $e\in C$ base de $V$ et $e'\in C'$ base de $V'$.

Alors $\Omega_p(e)=\dfrac{\mathrm{vol}_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e')}\Omega_p(e')$ : les formes (non nulles) sont colinéaires, donc $V=V'$ par 13.a. Sur $V=V'$, en écrivant $e_j=\sum_i Q_{ij}e_i'$, la formule 7.a donne $\Omega_p(e)=\det(Q)\,\Omega_p(e')$ ; comme $\Omega_p(e')\ne0$, $\det(Q)=\mathrm{vol}_p(e)/\mathrm{vol}_p(e')>0$.

Donc $\det{}_{e'}(e)>0$ : $e$ et $e'$ définissent la **même orientation**, $C=C'$.

Ainsi $(V,C)=(V',C')$ et $\Psi$ est injective. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : prouver $V=V'$ et oublier l'égalité des orientations (la partie « $\det Q>0$ »).

C'est la deuxième moitié de l'injectivité.

## Question 14.b
**Stratégie.**

Identifier $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ à l'image de l'ensemble compact des $p$‑repères orthonormés par l'application continue (multilinéaire) $\Omega_p$.

**Rédaction.**

Soit $O=\{b=(b_1,\dots,b_p)\in E^p:\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}\}$ l'ensemble des $p$‑repères orthonormés.

C'est un fermé borné de l'espace de dimension finie $E^p$, donc **compact** (et non vide car $p\le d$).

*Identité $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(O)$.*

Si $b\in O$, $b$ est libre, $\mathrm{vol}_p(b)=1$ (8.a) et $\Omega_p(b)=\Psi(\mathrm{Vect}(b),[b])$ où $[b]$ est l'orientation de $\mathrm{Vect}(b)$ définie par $b$ : donc $\Omega_p(O)\subset\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Réciproquement, pour $(V,C)$, on choisit une base orthonormée $b$ de $V$ dans l'orientation $C$ (toute base orthonormée, quitte à changer un vecteur en son opposé) : $\Psi(V,C)=\Omega_p(b)\in\Omega_p(O)$.

$\Omega_p$ est $p$‑linéaire (6.c) sur l'espace de dimension finie $E^p$, donc **continue** (continuité des applications multilinéaires en dimension finie).

L'image d'un compact par une application continue est compacte :
$$\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(O)\ \text{est compacte}.\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. La réduction à $\Omega_p(O)$ est l'idée maîtresse, réutilisée en 15. Piège : justifier la compacité par « fermé borné » sans expliciter que l'on est en dimension finie ($\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ l'est).

## Question 15
**Stratégie.** On travaille dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(O)$.

Pour $p=d-1$, on relie deux points en composant : (1) une « rotation de sous‑espace » construite à partir des $W_k$ orthogonaux (3.d), qui maintient l'orthonormalité du repère ; (2) des « retournements d'orientation » rendus possibles par un vecteur de $V^\perp$ (existant car $p<d$).

Pour $p=d$, $\dim\mathcal A_d(E,\mathbb R)=1$ et l'image est une paire de points opposés, non connexe.

**Rédaction.**

**Cas $p=d$ (non connexe).**

Le seul sous‑espace de dimension $d$ est $E$, qui a deux orientations $C_+,C_-$ : $\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E)=\{(E,C_+),(E,C_-)\}$.

Comme $\dim\mathcal A_d(E,\mathbb R)=\binom dd=1$, sa sphère unité est $\{\omega_0,-\omega_0\}$.

Par injectivité (14.a), $\Psi(E,C_+)\ne\Psi(E,C_-)$, donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E))=\{\omega_0,-\omega_0\}$ (deux points).

Si $\gamma:[0,1]\to\{\omega_0,-\omega_0\}$ était un chemin continu joignant $\omega_0$ à $-\omega_0$, alors $t\mapsto\langle\gamma(t),\omega_0\rangle\in\{1,-1\}$ serait continue de $[0,1]$ dans $\{-1,1\}$ et prendrait les deux valeurs, contredisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E))$ **n'est pas connexe par arcs**.

**Cas $p\le d-1$ (connexe par arcs).** Soient deux points $\Psi(V,C),\Psi(V',C')$.

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des bases orthonormées $u=(u_1,\dots,u_p)$ de $V$, $u'=(u_1',\dots,u_p')$ de $V'$ telles que les $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ soient **orthogonaux deux à deux** (3.d).

*(2) Rotation de sous‑espace : $\Omega_p(u)\rightsquigarrow\Omega_p(u')$.*

Pour chaque $k$, on définit un chemin unitaire dans $W_k$ de $u_k$ à $u_k'$ : si $u_k=u_k'$, $\gamma_k(t)=u_k$ ; sinon $W_k$ est un plan et, avec $n_k=\dfrac{u_k'-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}$ (de sorte que $(u_k,n_k)$ est orthonormée et $u_k'=\cos\theta_k\,u_k+\sin\theta_k\,n_k$), on pose $$\gamma_k(t)=\cos(t\theta_k)\,u_k+\sin(t\theta_k)\,n_k,\qquad t\in[0,1],$$ avec $\gamma_k(0)=u_k$, $\gamma_k(1)=u_k'$, $\|\gamma_k(t)\|=1$.

Comme $\gamma_k(t)\in W_k$ et les $W_k$ sont orthogonaux, $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_p(t))$ est un $p$‑repère orthonormé pour tout $t$ : $\gamma$ est un chemin **dans $O$** de $u$ à $u'$, et $t\mapsto\Omega_p(\gamma(t))$ est un chemin continu dans $\Omega_p(O)=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ de $\Omega_p(u)$ à $\Omega_p(u')$.

*(1) Retournement d'orientation.*

Comme $p\le d-1$, $V^\perp\ne\{0\}$ : soit $\varepsilon\in V^\perp$ unitaire.

Le chemin $$\delta(t)=\big(u_1,\dots,u_{p-1},\ \cos(\pi t)\,u_p+\sin(\pi t)\,\varepsilon\big),\qquad t\in[0,1],$$ reste dans $O$ (le dernier vecteur est unitaire et orthogonal aux $u_i$, $i<p$, car $\varepsilon\in V^\perp$), avec $\delta(0)=u$ et $\delta(1)=(u_1,\dots,u_{p-1},-u_p)$.

Donc $t\mapsto\Omega_p(\delta(t))$ joint $\Omega_p(u)$ à $\Omega_p(u_1,\dots,-u_p)=-\Omega_p(u)$ dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Or $\Psi(V,C)=\Omega_p(u)$ si $C=[u]$, et $\Psi(V,C)=-\Omega_p(u)$ si $C$ est l'orientation opposée (la base $(u_1,\dots,-u_p)$ y est, et $\Omega_p$ change de signe).

Dans les deux cas, $\Psi(V,C)$ est joint à $\Omega_p(u)$ par un chemin de $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ (trivial ou via $\delta$).

De même $\Omega_p(u')$ est joint à $\Psi(V',C')$ (en utilisant $\varepsilon'\in V'^\perp$).

En concaténant [$\Psi(V,C)\to\Omega_p(u)$], [$\Omega_p(u)\to\Omega_p(u')$], [$\Omega_p(u')\to\Psi(V',C')$], on obtient un chemin continu dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ de $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V',C')$.

L'ensemble est donc **connexe par arcs**.

Conclusion : $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$. $\square$

**Commentaire.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est la question la plus difficile.

Pièges et points clés : (i) le retournement d'orientation **exige** $V^\perp\ne\{0\}$, ce qui isole exactement le cas $p=d$ comme obstruction (à $p=d$, on ne peut pas « passer par une dimension supplémentaire » et les deux orientations restent séparées) ; (ii) la rotation de sous‑espace n'est licite que parce que les $W_k$ sont **orthogonaux** (indication 3.d) — sans cela $\gamma(t)$ ne serait pas orthonormé ; (iii) pour $p=d$, conclure rigoureusement à la non‑connexité par le TVI plutôt que par « c'est évident ».

Cette construction évite tout recours à la connexité de $SO(n)$ (hors du strict nécessaire au programme).

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### Bilan méthodologique

Le sujet récompense la **réutilisation** : la Partie I (angles principaux $\theta_k$, décomposition orthogonale 3.d) irrigue 9.b et 15 ; la symétrie 6.b structure toute la Partie II ; la décomposition 10.a fonde le produit scalaire de Plücker et ses conséquences 11–12 ; enfin l'identité $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(O)$ (14.b) est le pivot topologique des deux dernières questions.

Les vérifications élémentaires (5, 6b, 7c, 8a) doivent être expédiées proprement pour dégager du temps sur 3.b/3.d, 9.b, 13.a et 15.