Maths A

# Solution

## Partie I

**Notation.**

Pour $k\in\{1,\dots,p\}$, je note $$K_k=\{(a,a')\in V\times V':\ \|a\|=\|a'\|=1,\ \langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0\ \forall l\le k-1\}.$$

**1.a)** Les sphères unités de $V$ et $V'$ (dimension finie $p\ge1$) sont compactes non vides, donc $K_1$ est compact.

L'application continue $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ y atteint son maximum : tout maximiseur $(u_1,u_1')$ convient.

**1.b)** Par récurrence. Le cas $k=1$ est 1.a).

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}$ orthonormés dans $V$ et $u_1',\dots,u_{k-1}'$ orthonormés dans $V'$ ($k\le p$).

Comme $u_1,\dots,u_{k-1}$ engendrent un sous-espace de dimension $k-1$ de $V$, on a $\dim\big(V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp\big)=p-(k-1)\ge1$, idem côté $V'$.

Donc $K_k$ est un compact **non vide**, et le maximum de $\langle a,a'\rangle$ y est atteint en $(u_k,u_k')$.

Par construction $u_1,\dots,u_k$ et $u_1',\dots,u_k'$ sont orthonormés et (ii) est satisfaite.

**2.**

Pour $a,a'$ unitaires, $\langle a,a'\rangle\le1$, avec égalité ssi $a=a'$ (car $\|a-a'\|^2=2-2\langle a,a'\rangle$).

Soit $m=\dim(V\cap V')\ge1$.

Par récurrence sur $k\le m$ : si $u_l=u_l'$ pour $l<k$, alors $u_1,\dots,u_{k-1}\in V\cap V'$ et $W=(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$ vérifie $\dim W=m-(k-1)\ge1$.

Pour $w\in W$ unitaire, $(w,w)\in K_k$ donc $\langle u_k,u_k'\rangle\ge1$, d'où $\langle u_k,u_k'\rangle=1$ et $u_k=u_k'$.

**3.a)** $u$ est une famille orthonormée de $p$ vecteurs de $V$ ; comme $\dim V=p$, c'est une **base orthonormée** de $V$.

**3.b)** Soit $k\le p-1$, $l\in\{k+1,\dots,p\}$.

Comme $u_k\perp u_l$, posons $u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V$ (unitaire).

Pour $j<k$ : $\langle u_k(t),u_j\rangle=0$ (car $u_k,u_l\perp u_j$).

Donc $(u_k(t),u_k')\in K_k$ et $$\phi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le\langle u_k,u_k'\rangle=\phi(0).$$
Ainsi $\phi'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Donc $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp$.

*En échangeant les rôles de $(V,u)$ et $(V',u')$ (les bornes sup étant symétriques en $a,a'$), on obtient de même* **(3b')** $\ u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^\perp$ pour $k\le p-1$.

**3.c)** Soit $k\le p-1$, $j\le k$ : $\langle u_{k+1},u_j\rangle=0$ (orthonormalité de $u$), et par 3.b) $u_j'\perp\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)\ni u_{k+1}$ donc $\langle u_{k+1},u_j'\rangle=0$.

D'où $u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^\perp$.

**3.d)** Pour $k<m$ : $\langle u_k,u_m\rangle=\langle u_k',u_m'\rangle=0$ (orthonormalités), $\langle u_k',u_m\rangle=0$ (3.b), $\langle u_k,u_m'\rangle=0$ (3b').

Donc $W_k\perp W_m$ : **les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux**.

**4.a)** $K_k$ est stable par $(a,a')\mapsto(a,-a')$ et non vide, donc $\sup_{K_k}\ge0$, d'où $0\le\langle u_k,u_k'\rangle\le1$.

Il existe un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ avec $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$.

Comme $K_{k+1}\subseteq K_k$, $\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle$, soit $\theta_{k+1}\ge\theta_k$.

D'où $0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\pi/2$.

**4.b)** Par 3.b)/3b'), $\langle u_i,u_j'\rangle=0$ si $i\ne j$ et $=\cos\theta_i$ si $i=j$.

Donc $\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p)$ et $$\boxed{\det\mathrm{Gram}(u,u')=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k.}$$

**4.c)** Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$ donc $\det\mathrm{Gram}(u,u')\le1$.

**Égalité** ssi tous $\cos\theta_k=1$ ssi $u_k=u_k'\ \forall k$ ssi $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$ (réciproque par 2.).

**Donc égalité $\iff V=V'$.**

## Partie II

**5.a)** $[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$ : le déterminant est multilinéaire alterné en ses colonnes, donc $\in A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. *(Directement : seul $x_{\sigma(j),j}$ dépend de $x_j$ ; et avec $j=\sigma_0(i)$, $\rho=\tau\sigma_0^{-1}$ on a $[x\cdot\sigma_0]=\sum_\rho\epsilon(\rho\sigma_0)\prod_j x_{\rho(j),j}=\epsilon(\sigma_0)[x]$.)*

**5.b)** $g(u)=\Phi(f(u_1),\dots,f(u_p))$ avec $\Phi=[\cdot]$.

Linéarité en chaque variable : composée de $f$ linéaire et d'une application partiellement linéaire. Alternance : $g(u\cdot\sigma)=\Phi((f(u_i))_i\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)g(u)$. Donc $g\in A_p(F,\mathbb R)$.

**6.a)** $f:E\to\mathbb R^p,\ f(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$ est linéaire et $[f(u_1),\dots,f(u_p)]=\det(\langle e_i,u_j\rangle)=\Omega_p(e)(u)$.

Par 5.b), $\Omega_p(e)\in A_p(E,\mathbb R)$.

**6.b)** $\mathrm{Gram}(u,e)=\mathrm{Gram}(e,u)^\top$, donc $\Omega_p(u)(e)=\det\mathrm{Gram}(u,e)=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u)$.

**6.c)** Pour tout $u$, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)=\Omega_p(u)(e)$ est $p$-linéaire alternée en $e$ (par 6.a appliqué à $\Omega_p(u)$).

Comme les opérations dans $A_p(E,\mathbb R)$ sont ponctuelles, $e\mapsto\Omega_p(e)$ est linéaire en chaque variable, et $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$ pour tout $u$ donne $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p\in A_p(E,A_p(E,\mathbb R))$.

**7.a)** Par 6.c) et $e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$, l'expansion multilinéaire et l'alternance (termes à indices répétés nuls) donnent $$\Omega_p(e')=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\Big(\prod_i M_{i\sigma(i)}\Big)\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).$$

**7.b)** Si $e$ libre : $x^\top\mathrm{Gram}(e,e)x=\|\sum x_ie_i\|^2>0$ pour $x\ne0$, donc $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)>0$ et $\Omega_p(e)\ne0$.

Si $e$ liée : $e_{i_0}=\sum_{j\ne i_0}c_je_j$ donne par multilinéarité une somme de termes à vecteur répété, donc nuls : $\Omega_p(e)=0$.

**Ainsi $\Omega_p(e)\ne0\iff e$ libre.**

**7.c)** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive, donc $\det\ge0$ : $\Omega_p(e)(e)\ge0$.

**8.a)** $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=1$.

**8.b)** Soit $f=(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\dots,e_p)$.

Comme $e_1-\mathrm{pr}(e_1)\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, le passage de $f$ à $e$ est triangulaire unipotent (det $1$), donc $\Omega_p(e)=\Omega_p(f)$ (7.a).

Avec 6.b) : $$\mathrm{vol}_p(e)^2=\Omega_p(e)(e)=\Omega_p(f)(e)=\Omega_p(e)(f)=\Omega_p(f)(f)=\mathrm{vol}_p(f)^2.$$
Or $\mathrm{pr}(e_1)\perp e_2,\dots,e_p$ donne $\mathrm{Gram}(f,f)=\begin{pmatrix}\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2&0\\0&\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix}$, donc $\mathrm{vol}_p(f)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$, d'où le résultat.

**8.c)** Récurrence. $p=1$ : $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$.

Hérédité, par 8.b) et $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ : $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$
Comme $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)>0$ et $\|e_1\|>0$, l'égalité équivaut à $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ (i.e. $e_1\perp e_2,\dots,e_p$) et $(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale 2 à 2 : **égalité ssi $e$ orthogonale 2 à 2.**

**9.a)** Avec $P=P_b^e$ et $b$ orthonormée, $\mathrm{Gram}(e,e)_{kl}=\sum_iP_{ik}P_{il}=(P^\top P)_{kl}$, donc $\det\mathrm{Gram}(e,e)=(\det P)^2$ et $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P_b^e|$.

**9.b)** Si $e$ (ou $e'$) liée, $\Omega_p(e)=0$ : trivial.

Sinon $V=\mathrm{Vect}(e),V'=\mathrm{Vect}(e')$ sont de dimension $p$ ; soient $u,u'$ les bases de la Partie I. En écrivant $e_j=\sum_iA_{ij}u_i$, $e_j'=\sum_iB_{ij}u_i'$ (donc $|\det A|=\mathrm{vol}_p(e)$, $|\det B|=\mathrm{vol}_p(e')$) : $$\mathrm{Gram}(e,e')=A^\top\mathrm{Gram}(u,u')B\ \Longrightarrow\ |\Omega_p(e)(e')|=|\det A||\det B|\,|\det\mathrm{Gram}(u,u')|\le\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e'),$$ par 4.c).

## Partie III

**10.a)** Deux éléments de $A_p(E,\mathbb R)$ coïncidant sur tous les $e_\beta$ ($\beta\in I_p$) sont égaux (multilinéarité + alternance ramènent toute évaluation à ces tuples).

Or $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\det(\langle e_{\alpha_k},e_{\beta_l}\rangle)=\delta_{\alpha\beta}$ (identité si $\alpha=\beta$, ligne nulle sinon).

Donc $\big(\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)\big)(e_\beta)=\omega(e_\beta)$, d'où $\omega=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$.

**10.b)** $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est bilinéaire symétrique, $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge0$, nul ssi $\omega=0$ (10.a) : **produit scalaire**.

De plus $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\delta_{\alpha\beta}$ et la famille engendre : **base orthonormée**. Donc $\dim A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\dbinom dp$.

**10.c)** Pour $p=d-1$, posons $\alpha^{(i)}=(1,\dots,\hat i,\dots,d)$.

L'application linéaire $\Phi(\omega)=\sum_{i=1}^d\omega(e_{\alpha^{(i)}})e_i$ envoie la base orthonormée $\big(\Omega_{d-1}(e_{\alpha^{(j)}})\big)_j$ sur la base orthonormée $(e_j)_j$ : c'est une **isométrie**.

**11.**

Par 10.a) sur $\omega=\Omega_p(u)$ évalué en $v$, puis 6.b) : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_\alpha\Omega_p(u)(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)(v)=\sum_\alpha\Omega_p(u)(e_\alpha)\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.$$

**12.**

Par 11. (valable pour toute base orthonormée), pour deux bases $e,e'$ : $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{e'}$, valeur ne dépendant que du produit scalaire de $E$.

Tout élément étant combinaison de $\Omega_p(u)$ (10.a), la bilinéarité donne $\langle\cdot,\cdot\rangle_e=\langle\cdot,\cdot\rangle_{e'}$.

## Partie IV

**13.a)** **($\Leftarrow$)** Si $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, alors $e_j'=\sum_iM_{ij}e_i$ avec $M$ inversible, donc $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ : colinéaires.
**($\Rightarrow$)** Pour $e$ libre engendrant $V$, le radical $R(\Omega_p(e))=\{w:\Omega_p(e)(w,v_2,\dots,v_p)=0\ \forall v_\bullet\}$ vaut $V^\perp$ : si $w\in V^\perp$, première colonne nulle ; si $w\notin V^\perp$, en complétant $\mathrm{pr}_V(w)\ne0$ en base $(\mathrm{pr}_V w,v_2,\dots,v_p)$ de $V$, $\Omega_p(e)(w,v_2,\dots)=\det\mathrm{Gram}(e,\text{base de }V)\ne0$.

Deux formes colinéaires non nulles ont même radical, donc $V^\perp=V'^\perp$ et **$V=V'$**.

**13.b)** Pour $e\in C$, posons $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$.

Si $\tilde e\in C$, $\tilde e_j=\sum_iP_{ij}e_i$ avec $\det P=\det_e(\tilde e)>0$, donc $\Omega_p(\tilde e)=\det(P)\Omega_p(e)$ et $\mathrm{vol}_p(\tilde e)=\det(P)\mathrm{vol}_p(e)$ : le quotient est **indépendant de $e\in C$**.

Par construction $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi(V,C)$ ; **unicité** car $\mathrm{vol}_p(e)>0$.

**14.a)** Par 11., $\|\Omega_p(e)\|^2=\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2$, donc $\|\Psi(V,C)\|=1$.

**Injectivité** : si $\Psi(V_1,C_1)=\Psi(V_2,C_2)$, alors $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ colinéaires donne $V_1=V_2=V$ (13.a) ; et $\Psi(V,C_2)=\mathrm{sgn}(\det_e(e'))\Psi(V,C_1)$ avec $\Psi\ne0$ force $\det_e(e')>0$, donc $C_1=C_2$.

**14.b)** $\mathcal O=\{e\in E^p:\mathrm{Gram}(e,e)=I_p\}$ est fermé borné dans $E^p$, donc **compact** (non vide car $p\le d$).

L'application $e\mapsto\Omega_p(e)$ est continue (coordonnées $\det\mathrm{Gram}(e,e_\alpha)$ polynomiales).

Pour $e\in\mathcal O$, $\Omega_p(e)=\Psi(\mathrm{Vect}(e),C_e)$ ; réciproquement tout $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ pour une base orthonormée de $V$ orientée par $C$.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(\mathcal O)$ est **compact**.

**15.**

**Cas $p=d$.** $\dim A_d(E,\mathbb R)=1$ : sa sphère unité a deux points.

Le seul sous-espace est $E$, et ses deux orientations donnent (injectivité) **deux points distincts** : une paire de points n'est pas connexe par arcs.

**Cas $p\le d-1$.**

On relie $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V',C')$.

Pour tout repère orthonormé $e(t)$ continu, $t\mapsto\Omega_p(e(t))$ est un chemin dans l'image.

- **Étape A (orientation, utilise $p<d$).**

Soit $u$ base orthonormée de $V$ et $w\in V^\perp$ unitaire.

Alors $u(t)=(\cos(\pi t)u_1+\sin(\pi t)w,\,u_2,\dots,u_p)$ est orthonormé, avec $u(1)=(-u_1,u_2,\dots,u_p)$, base d'**orientation opposée**.

Donc $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,C^{\mathrm{opp}})$ sont reliés.

- **Étape B (sous-espace, utilise 3.d).**

Avec les bases $u,u'$ de la Partie I, angles $\theta_k$, $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ **orthogonaux**.

Pour $\theta_k>0$, $\tilde u_k=\frac{u_k'-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}\in W_k$ (unitaire, $\perp u_k$) et $u_k(t)=\cos(t\theta_k)u_k+\sin(t\theta_k)\tilde u_k$ ; pour $\theta_k=0$, $u_k(t)=u_k$.

Comme les $W_k$ sont orthogonaux, $u(t)=(u_1(t),\dots,u_p(t))$ est un repère orthonormé reliant $u$ à $u'$.

Donc $\Psi(V,[u])$ et $\Psi(V',[u'])$ sont reliés.

En composant : $\Psi(V,C)\xrightarrow{A}\Psi(V,[u])\xrightarrow{B}\Psi(V',[u'])\xrightarrow{A}\Psi(V',C')$. L'image est **connexe par arcs**.

$$\boxed{\ \Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))\text{ est connexe par arcs}\iff p\le d-1.\ }$$

$\star\ \star\ \star$