Maths A

# X-ENS — Mathématiques A — Filière MP (XLSR) — 2022
## Corrigé de référence

### En-tête

**Thème.**

Le problème construit, autour d'un espace euclidien $E$ de dimension $d$, la *grassmannienne orientée* $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ des sous-espaces orientés de dimension $p$, et en étudie deux propriétés topologiques : compacité et connexité par arcs.

Le fil directeur est le *plongement de Plücker* $\Psi$ qui envoie un sous-espace orienté sur une forme $p$-linéaire alternée unitaire.

La Partie I établit la géométrie euclidienne des paires de sous-espaces (matrices de Gram, angles principaux $\theta_k$) ; la Partie II construit les applications $\Omega_p$ et la notion de $p$-volume ; la Partie III munit $A_p(E,\mathbb R)$ d'une structure euclidienne intrinsèque ; la Partie IV assemble tout pour démontrer compacité et connexité par arcs.

**Outils.** Tout reste dans le programme MP : compacité en dimension finie, théorème des bornes atteintes, Cauchy-Schwarz, déterminant et formes multilinéaires alternées, théorème spectral, théorème de la base orthonormée, continuité des applications multilinéaires en dimension finie.

### Carte stratégique

- **Statistiques (rapport).** 2272 copies, moyenne **8,06/20** (français, écart-type 3,70), **6,59/20** (internationaux). Une centaine de copies $>14/20$, dont **12 copies à 20/20**. « Les deux premières parties […] ont été largement traitées, ainsi que les premières questions de la troisième. La quatrième partie n'a que peu été touchée. »
- **Barème implicite.** « la pondération des questions est généralement proportionnelle à leur difficulté », mais « il est absolument nécessaire de […] fournir une rédaction correcte des réponses données, y compris pour les résultats élémentaires. La stratégie de survoler le sujet […] ne peut aboutir à une note correcte. »
- **Ordre de traitement conseillé.** Traiter **intégralement les Parties I et II** (rentables, accessibles), puis **10a–12** ; aborder la **Partie IV** en visant 13a–14a si le temps le permet. Les questions **discriminantes** sont 2, 3b, 8b, 9b, 10a, 13a, 14b, 15.
- **Pièges récurrents signalés.**

Ne pas confondre $p$ (cardinal de la famille) et $d=\dim E$ ; ne pas remplacer $E$ par $\mathbb R^n$ ; ne jamais utiliser une caractérisation de « alterné » différente de celle de l'énoncé sans la justifier.

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## Partie I

Dans toute la partie, $V,V'$ sont deux sous-espaces de $E$ de dimension $p\ge 1$.

On note $S(W)=\{a\in W:\|a\|=1\}$ la sphère unité d'un sous-espace $W$.

### Question 1.a

**Stratégie.** L'existence d'un maximum n'est pas gratuite : il faut une borne supérieure *atteinte*. On invoque la compacité du produit des sphères unités et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Les sphères $S(V)$ et $S(V')$ sont fermées et bornées dans les espaces de dimension finie $V$ et $V'$, donc compactes ; $S(V)\times S(V')$ est compact comme produit de compacts.

L'application $\varphi:(a,a')\mapsto \langle a,a'\rangle$ est continue (le produit scalaire est continu, étant une application bilinéaire en dimension finie).

D'après le **théorème des bornes atteintes**, $\varphi$ atteint son maximum sur le compact $S(V)\times S(V')$ : il existe $(u_1,u_1')\in S(V)\times S(V')$ tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.\qquad\square$$

**Commentaire.** Question « abordée dans toutes les copies ». Le rapport sanctionne précisément celles qui « se sont contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte » : la compacité **et** la continuité doivent figurer explicitement.

### Question 1.b

**Stratégie.**

On construit $u_k,u_k'$ par récurrence sur $k$, en appliquant la question 1.a aux sous-espaces obtenus en imposant l'orthogonalité aux vecteurs déjà construits.

L'écueil est de bien identifier ces sous-espaces.

**Rédaction.**

On construit $(u_k,u_k')$ par récurrence sur $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$ en garantissant que $(u_1,\dots,u_k)$ est orthonormée dans $V$, $(u_1',\dots,u_k')$ orthonormée dans $V'$, et que (i)-(ii) sont satisfaites.

*Initialisation $k=1$.* C'est la question 1.a.

*Hérédité.*

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}$ et $u_1',\dots,u_{k-1}'$ construites ($2\le k\le p$).

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Comme $(u_1,\dots,u_{k-1})$ est orthonormée, donc libre, $\dim V_k=p-(k-1)\ge 1$, et de même $\dim V_k'\ge 1$.

La question 1.a appliquée à $(V_k,V_k')$ fournit $u_k\in S(V_k)$, $u_k'\in S(V_k')$ réalisant $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V_k\times V_k',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.$$
Or $(a,a')\in V_k\times V_k'$ unitaires équivaut exactement à : $a\in V$, $a'\in V'$, $\|a\|=\|a'\|=1$, $\langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0$ pour $l\in\llbracket1,k-1\rrbracket$.

C'est la condition (ii).

De plus $u_k\in V_k$ est orthogonal à $u_1,\dots,u_{k-1}$ et unitaire, donc $(u_1,\dots,u_k)$ reste orthonormée (idem pour $u'$). $\square$

**Commentaire.** « Il suffisait essentiellement de reprendre la question précédente mais il fallait faire attention à préciser sur quels sous-espaces vectoriels on le faisait » : la définition explicite de $V_k,V_k'$ et la vérification $\dim\ge1$ étaient l'enjeu.

### Question 2

**Stratégie.**

Par récurrence : si $u_l=u_l'$ pour $l<k$ alors $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})\subseteq V\cap V'$, ce qui permet d'exhiber un vecteur unitaire commun et de prouver que le sup vaut $1$ ; le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz donne $u_k=u_k'$.

**Rédaction.**

Posons $m=\dim(V\cap V')\ge1$ et montrons par récurrence sur $k\le m$ que $u_k=u_k'$.

Soit $k\le m$, l'hypothèse $u_l=u_l'$ pour $l<k$ étant acquise (vide si $k=1$).

Alors $u_1,\dots,u_{k-1}\in V\cap V'$ et sont orthonormés ; comme $\dim(V\cap V')=m\ge k$, le sous-espace $$ (V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$$ a une dimension $\ge m-(k-1)\ge 1$.

Soit $w$ un vecteur unitaire de ce sous-espace.

Alors $w\in V$, $w\in V'$, $w\perp u_l$ et $w\perp u_l'=u_l$ pour $l<k$ : le couple $(w,w)$ est donc admissible dans le sup définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, d'où $$\langle u_k,u_k'\rangle\ge\langle w,w\rangle=1.$$
Mais l'**inégalité de Cauchy-Schwarz** donne $\langle u_k,u_k'\rangle\le\|u_k\|\,\|u_k'\|=1$.

Donc $\langle u_k,u_k'\rangle=1$ : on est dans le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs unitaires, ce qui impose $u_k'=u_k$ (vecteurs colinéaires de même norme et de produit scalaire $>0$). $\square$

**Commentaire.** « Première question où bon nombre de candidats n'ont pas fourni de réponse. » Le rapport indique les trois ingrédients attendus : « par récurrence, l'utilisation de la condition d'égalité dans Cauchy-Schwarz et un argument pour justifier que le maximum valait bien 1 ».

### Question 3.a

**Stratégie.** L'orthonormalité est déjà acquise par construction ; il reste l'argument de cardinal.

**Rédaction.**

Par 1.b, $u=(u_1,\dots,u_p)$ est une famille orthonormée de $V$, donc libre.

Elle compte $p=\dim V$ vecteurs : une famille libre de cardinal $\dim V$ est une base de $V$.

C'est donc une base orthonormée de $V$. $\square$

**Commentaire.** « Beaucoup plus facile […] il suffisait de justifier que le cardinal de la famille était bien celui de la dimension de $V$. »

### Question 3.b

**Stratégie.**

Pour $l>k$, le vecteur $u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\|u_k+tu_l\|}$ est admissible dans le sup définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, donc $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ admet un maximum en $0$.

L'annulation de sa dérivée fournit $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

**Rédaction.**

Soit $k\in\llbracket1,p-1\rrbracket$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$.

Comme $u_k\perp u_l$ et $\|u_k\|=\|u_l\|=1$, on a $\|u_k+tu_l\|^2=1+t^2>0$, et l'on peut poser pour $t\in\mathbb R$ $$u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V,\qquad \|u_k(t)\|=1.$$
Pour $\ell<k$, $u_k\perp u_\ell$ et $u_l\perp u_\ell$ (famille orthonormée), donc $u_k(t)\perp u_\ell$.

Ainsi $(u_k(t),u_k')$ vérifie toutes les contraintes (ii) ($u_k'\in V'$ unitaire, $u_k'\perp u_\ell'$ pour $\ell<k$ par construction).

Par définition du sup, $$f(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le \langle u_k,u_k'\rangle=f(0).$$
Donc $f$, qui est dérivable sur $\mathbb R$, admet un maximum en $0$, d'où $f'(0)=0$.

Or $$f'(t)=\frac{\langle u_l,u_k'\rangle\sqrt{1+t^2}-\big(\langle u_k,u_k'\rangle+t\langle u_l,u_k'\rangle\big)\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}{1+t^2},\qquad f'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle.$$
Donc $\langle u_l,u_k'\rangle=0$ pour tout $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, c'est-à-dire $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp$. $\square$

**Commentaire.** « Question difficile traitée correctement dans peu de copies. » Le rapport vise l'erreur typique : « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée, sans avoir réfléchi à l'utilisation qui pourrait en être faite ».

Le cœur est la *maximalité* : $u_k(t)$ est admissible, donc $0$ est un point de maximum.

### Question 3.c

**Stratégie.** Réunir l'orthonormalité de $u$ et le résultat de 3.b.

**Rédaction.** Soit $k\in\llbracket1,p-1\rrbracket$.

D'abord $u_{k+1}\perp u_1,\dots,u_k$ (famille orthonormée), donc $u_{k+1}\perp\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$.

Ensuite, pour $j\le k$, la question 3.b donne $u_j'\in\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)^\perp$, donc $u_j'\perp u_{k+1}$ (car $k+1>j$).

Ainsi $u_{k+1}\perp\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$. Par conséquent
$$u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^\perp.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente. »

### Question 3.d

**Stratégie.**

Comparer $W_k$ et $W_m$ pour $k<m$ : les quatre produits scalaires croisés s'annulent grâce à l'orthonormalité, à 3.b et à sa version symétrique (rôles de $u$ et $u'$ échangés).

**Rédaction.**

La construction de 1.b est symétrique en $(u,V)$ et $(u',V')$ : la condition (ii) ne distingue pas les deux.

La question 3.b et sa version symétrique fournissent donc $$u_j'\perp u_i\ \text{ et }\ u_j\perp u_i'\qquad\text{pour tous } i>j.$$
Soient $k<m$.

Alors : $$\langle u_k,u_m\rangle=0\ (\text{orthonormalité}),\quad \langle u_k',u_m'\rangle=0\ (\text{orthonormalité}),$$ $$\langle u_k',u_m\rangle=0\ (\text{3.b, }m>k),\quad \langle u_k,u_m'\rangle=0\ (\text{3.b symétrique, }m>k).$$
Donc tout vecteur de $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ est orthogonal à tout vecteur de $W_m=\mathrm{Vect}(u_m,u_m')$ : les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux. $\square$

**Commentaire.** « Parfois avec une rédaction insuffisante. […] il fallait utiliser […] la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$ », exactement la version symétrique de 3.b mobilisée ici.

### Question 4.a

**Stratégie.**

Montrer $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par symétrie $a'\mapsto -a'$, majoration par Cauchy-Schwarz) puis décroissance en $k$ (les ensembles de contraintes décroissent).

On pose alors $\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle$.

**Rédaction.**

Notons $S_k$ l'ensemble des couples $(a,a')\in V\times V'$ unitaires vérifiant les contraintes d'orthogonalité de (ii) au rang $k$, de sorte que $\langle u_k,u_k'\rangle=\sup_{S_k}\langle a,a'\rangle$ ($S_k\neq\varnothing$ car $\dim V_k=\dim V_k'=p-k+1\ge1$).

*Positivité.*

Si $(a,a')\in S_k$, alors $(a,-a')\in S_k$, et l'un des nombres $\langle a,\pm a'\rangle=\pm\langle a,a'\rangle$ est $\ge0$ ; donc $\sup_{S_k}\langle a,a'\rangle\ge 0$, soit $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$. *(C'est ici qu'intervient le fait que $a,a'$ sont de norme $1$.)*

*Majoration.* Par Cauchy-Schwarz, $\langle u_k,u_k'\rangle\le\|u_k\|\,\|u_k'\|=1$. Donc $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$.

*Décroissance.*

Pour $k\le p-1$, $S_{k+1}\subseteq S_k$ (on ajoute les contraintes $a\perp u_k$, $a'\perp u_k'$), d'où $\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle=\sup_{S_{k+1}}\le\sup_{S_k}=\langle u_k,u_k'\rangle$.

La suite $(\langle u_k,u_k'\rangle)_k$ est donc décroissante dans $[0,1]$.

En posant $\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,\pi/2]$, $\cos$ étant décroissante sur $[0,\pi/2]$, la suite $(\theta_k)$ est croissante : $$0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\pi/2,\qquad \cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Il fallait soigneusement justifier que les produits scalaires étaient positifs ». L'erreur sanctionnée : « oublier que la propriété les caractérisant était définie sur des familles de vecteurs de norme 1 » — d'où l'argument $a'\mapsto -a'$ valide uniquement sur la sphère.

### Question 4.b

**Stratégie.** La question 3.d rend la matrice de Gram diagonale.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,u')_{i,j}=\langle u_i,u_j'\rangle$.

Pour $i\neq j$, 3.d donne $\langle u_i,u_j'\rangle=0$ (si $i<j$ : $u_i\perp u_j'$ ; si $i>j$ : $u_j'\perp u_i$).

La matrice est donc diagonale de coefficients $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k$, et $$\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Facile souvent bien traitée. »

### Question 4.c

**Stratégie.**

Majorer le produit ; le cas d'égalité revient à $\theta_k=0$ pour tout $k$, soit $u_k=u_k'$, soit $V=V'$ (en utilisant la question 2 pour la réciproque).

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

*Cas d'égalité.* $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1$ équivaut à $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, soit $\langle u_k,u_k'\rangle=1$ ; pour deux vecteurs unitaires cela équivaut (Cauchy-Schwarz) à $u_k=u_k'$ pour tout $k$.

Alors, $u$ et $u'$ étant des bases orthonormées de $V$ et $V'$ (3.a), on a $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$.

Réciproquement, si $V=V'$, alors $\dim(V\cap V')=p$, et la question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, donc $\cos\theta_k=1$ et $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1$.

Conclusion : $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))\le 1$, **avec égalité si et seulement si $V=V'$**. $\square$

[Figure : dans chaque plan $W_k$, l'angle entre les axes $\mathbb R u_k$ et $\mathbb R u_k'$ vaut $\theta_k$ ; les $\theta_k$ sont les « angles principaux » entre $V$ et $V'$.]

**Commentaire.** « Ne présentait pas de difficulté particulière si on se rappelait […] de la condition d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz. »

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## Partie II

### Question 5.a

**Stratégie.** Le produit mixte est le déterminant des colonnes ; on cite la multilinéarité et l'antisymétrie du déterminant, qui constituent précisément la définition de $A_p$.

**Rédaction.**

Par définition de l'énoncé, $[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$, déterminant de la matrice dont les colonnes sont $x_1,\dots,x_p$.

Le déterminant est une application **multilinéaire** des colonnes (cours MPSI), et **antisymétrique** : pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, $\det(x_{\sigma(1)}|\cdots|x_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\det(x_1|\cdots|x_p)$.

Ces deux propriétés sont exactement les axiomes définissant $A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$ donnés dans l'énoncé ($f(u\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)f(u)$ et linéarité en chaque variable).

Donc $(x_1,\dots,x_p)\mapsto[x_1,\dots,x_p]\in A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Si on utilisait une caractérisation différente d'être alterné, il fallait la justifier » : on s'en tient à la définition de l'énoncé ($f(u\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)f(u)$). Le rapport note des « erreurs récurrentes […] dans l'écriture de l'action d'une permutation ».

### Question 5.b

**Stratégie.** $g$ est la composée de $\Phi=[\cdot]$ (qui est dans $A_p$) avec $f$ appliquée à chaque argument ; on souligne précisément où la linéarité de $f$ sert.

**Rédaction.**

Posons $\Phi(y_1,\dots,y_p)=[y_1,\dots,y_p]$, élément de $A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$ par 5.a. Alors $g(u)=\Phi\big(f(u_1),\dots,f(u_p)\big)$.

*Multilinéarité.*

Pour $i$ fixé et $u_1,\dots,u_p$ fixés sauf $u_i$, l'application $y\mapsto g(u_1,\dots,y,\dots,u_p)=\Phi(\dots,f(y),\dots)$ est la composée de $y\mapsto f(y)$ (**linéaire car $f$ est linéaire**) et de la $i$-ème application partielle de $\Phi$ (linéaire) : elle est donc linéaire.

*Antisymétrie.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, $g(u\cdot\sigma)=\Phi\big(f(u_{\sigma(1)}),\dots,f(u_{\sigma(p)})\big)=\Phi\big((f(u_i))_i\cdot\sigma\big)=\epsilon(\sigma)\,\Phi(f(u_1),\dots,f(u_p))=\epsilon(\sigma)g(u)$.

Donc $g\in A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Il fallait cependant faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » : c'est dans la linéarité partielle ci-dessus.

### Question 6.a

**Stratégie.**

Reconnaître que $\Omega_p(e)(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$ avec $f$ linéaire, puis appliquer 5.b.

**Rédaction.**

Soit $f:E\to\mathbb R^p$, $f(y)=(\langle e_1,y\rangle,\dots,\langle e_p,y\rangle)$.

Chaque coordonnée $y\mapsto\langle e_i,y\rangle$ est linéaire, donc $f$ est linéaire.

La $j$-ème colonne de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $(\langle e_i,u_j\rangle)_i=f(u_j)$, d'où $$\Omega_p(e)(u)=\det\big(f(u_1)|\cdots|f(u_p)\big)=[f(u_1),\dots,f(u_p)].$$
Par 5.b appliquée à cette $f$ linéaire, $\Omega_p(e)\in A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Utiliser la précédente à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ on utilisait. »

### Question 6.b

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(u,e)=\,^{t}\mathrm{Gram}(e,u)$ et le déterminant est invariant par transposition.

**Rédaction.**

Pour tous $i,j$, $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)$.

Comme $\det({}^{t}M)=\det(M)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det\mathrm{Gram}(u,e)=\det\,{}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire.** « La symétrie du produit scalaire […] n'était en rien suffisant. Il fallait utiliser que le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. »

### Question 6.c

**Stratégie.**

Codomaine assuré par 6.a. On vérifie multilinéarité/antisymétrie de $e\mapsto\Omega_p(e)$ *en évaluant en un $u$ quelconque* et en utilisant 6.b (qui ramène la dépendance en $e$ à $\Omega_p(u)\in A_p$).

**Rédaction.**

Par 6.a, $\Omega_p(e)\in A_p(E,\mathbb R)$ : l'application $\Omega_p:E^p\to A_p(E,\mathbb R)$ est bien à valeurs dans cet espace vectoriel.

Les opérations de $A_p(E,\mathbb R)$ étant *ponctuelles*, il suffit, pour vérifier les axiomes, de tester chaque égalité d'éléments de $A_p(E,\mathbb R)$ sur un $u\in E^p$ arbitraire.

*Multilinéarité.*

Pour $\lambda\in\mathbb R$, $y,y'\in E$, $i$ fixé et $u\in E^p$, en notant $e^{(\lambda y+y')}$ la famille $e$ dont le $i$-ème vecteur est remplacé par $\lambda y+y'$ : $$\Omega_p(e^{(\lambda y+y')})(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(e^{(\lambda y+y')})=\lambda\,\Omega_p(u)(e^{(y)})+\Omega_p(u)(e^{(y')})\overset{6.b}{=}\lambda\,\Omega_p(e^{(y)})(u)+\Omega_p(e^{(y')})(u),$$ la deuxième égalité venant de la multilinéarité de $\Omega_p(u)\in A_p(E,\mathbb R)$ (6.a).

Vraie pour tout $u$, donc $\Omega_p(e^{(\lambda y+y')})=\lambda\,\Omega_p(e^{(y)})+\Omega_p(e^{(y')})$.

*Antisymétrie.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ et tout $u$ : $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)\overset{6.b}{=}\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$, d'où $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p\in A_p\big(E,A_p(E,\mathbb R)\big)$. $\square$

**Commentaire.** Difficulté soulignée par le rapport : « application à valeurs dans l'espace des formes multilinéaires alternées, dont on voulait montrer qu'elle était elle-même alternée et multilinéaire ». La clé méthodologique est d'évaluer en un $u$ générique et d'utiliser 6.a–6.b.

### Question 7.a

**Stratégie.**

Pur jeu de multilinéarité-alternance de $\Omega_p$ (6.c) ; aucune hypothèse d'inversibilité de $M$ n'est requise.

**Rédaction.**

Par multilinéarité de $\Omega_p$ (6.c) appliquée à $e_i'=\sum_{j}M_{ij}e_j$ : $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^p M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Le caractère alterné annule les termes où deux indices coïncident ; il reste les $p$-uplets $(j_1,\dots,j_p)=(\sigma(1),\dots,\sigma(p))$, $\sigma\in\mathfrak S_p$, et $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc
$$\Omega_p(e')=\Big(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p M_{i\sigma(i)}\Big)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).\qquad\square$$

**Commentaire.** Le rapport prévient : « la matrice pas nécessairement inversible […] rendait les arguments de matrice de passage délicats, et possiblement faux. On pouvait répondre en utilisant le caractère alterné du produit mixte. » L'argument ci-dessus ne suppose rien sur $M$.

### Question 7.b

**Stratégie.** Sens direct : famille liée $\Rightarrow$ forme nulle.

Réciproque : famille libre $\Rightarrow$ se ramener à une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$ via 7.a, avec $\Omega_p(b)\neq0$ par calcul direct.

Attention : $p$ n'est pas $\dim E$.

**Rédaction.** *($e$ liée $\Rightarrow\Omega_p(e)=0$).*

Si $e$ est liée, un $e_i$ est combinaison linéaire des autres ; par multilinéarité et caractère alterné de $\Omega_p$ (6.c), $\Omega_p(e)=0$.

*($e$ libre $\Rightarrow\Omega_p(e)\neq0$).*

Soit $e$ libre.

Alors $\mathrm{Vect}(e)$ est de dimension $p$ ; soit $b=(b_1,\dots,b_p)$ une base **orthonormée** de $\mathrm{Vect}(e)$.

Il existe $N\in M_p(\mathbb R)$, inversible (deux bases du même espace), telle que $e_i=\sum_j N_{ij}b_j$.

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(N)\,\Omega_p(b)$.

Or $$\Omega_p(b)(b)=\det\mathrm{Gram}(b,b)=\det(I_p)=1\neq 0,$$ donc $\Omega_p(b)\neq0$ ; comme $\det(N)\neq0$, $\Omega_p(e)=\det(N)\Omega_p(b)\neq0$.

Ainsi $\Omega_p(e)\neq0\iff e$ libre. $\square$

**Commentaire.** « Il fallait notamment faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$. » On travaille dans $\mathrm{Vect}(e)$, de dimension $p$, sans supposer $\dim E=p$.

### Question 7.c

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique semi-définie positive ; ses valeurs propres sont $\ge0$ (théorème spectral), donc son déterminant aussi.

**Rédaction.**

Posons $G=\mathrm{Gram}(e,e)$, $G_{i,j}=\langle e_i,e_j\rangle$. $G$ est **symétrique réelle**, et pour $x=(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb R^p$, $$\,^{t}x\,G\,x=\sum_{i,j}x_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\Big\|\sum_i x_i e_i\Big\|^2\ge0.$$
Donc $G$ est semi-définie positive.

Par le **théorème spectral**, $G$ est diagonalisable en base orthonormée, à valeurs propres $\ge0$ ; donc $\det G=\prod\lambda_i\ge0$, soit $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)\ge0$. $\square$

**Commentaire.** « Régulièrement bien traitée. » La positivité du déterminant de Gram via le théorème spectral est l'argument attendu.

### Question 8.a

**Stratégie.** Calcul direct.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\big(\det I_p\big)^{1/2}=1$. $\square$

**Commentaire.** « Très facile […] n'était pas sans rappeler la question 4.b. »

### Question 8.b

**Stratégie.**

Remplacer $e_1$ par $\mathrm{pr}(e_1)$ dans $\Omega_p(e)$ : la composante de $e_1$ dans $\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ produit une famille liée, donc une contribution nulle.

La matrice de Gram devient diagonale par blocs.

**Rédaction.** On suppose $p\ge2$.

Écrivons $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+w$ avec $\mathrm{pr}(e_1)\in W^\perp$, $w\in W:=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$.

Notons $\tilde e=(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\dots,e_p)$.

Par multilinéarité de $\Omega_p$ dans son premier argument (6.c), $$\Omega_p(e)=\Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\dots,e_p)+\Omega_p(w,e_2,\dots,e_p).$$
La famille $(w,e_2,\dots,e_p)$ est liée (car $w\in W$), donc $\Omega_p(w,e_2,\dots,e_p)=0$ (7.b).

Ainsi $\Omega_p(e)=\Omega_p(\tilde e)$ comme éléments de $A_p(E,\mathbb R)$.

On en déduit, en évaluant et via 6.b : $$\mathrm{vol}_p(e)^2=\Omega_p(e)(e)=\Omega_p(\tilde e)(e)\overset{6.b}{=}\Omega_p(e)(\tilde e)=\Omega_p(\tilde e)(\tilde e)=\det\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e).$$
Comme $\mathrm{pr}(e_1)\perp e_j$ pour $j\ge2$, la matrice $\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)$ est diagonale par blocs : $$\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=\begin{pmatrix}\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2 & 0\\[2pt] 0 & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},$$ d'où $\det\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2\,\det\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)^2$.

En prenant la racine,
$$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).\qquad\square$$

**Commentaire.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée. » Le rapport décrit précisément cette méthode : décomposer $\mathrm{pr}(e_1)$, exploiter la linéarité du produit mixte « par rapport à sa première colonne » et l'annulation alternée d'une colonne combinaison des autres.

### Question 8.c

**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ via 8.b, en utilisant $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ ; cas d'égalité par analyse des deux facteurs.

**Rédaction.**

Récurrence sur $p$, pour $e$ libre.

*$p=1$.* $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$ : égalité, et un singleton est trivialement « orthogonal ».

*Hérédité.*

Pour $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre ($p\ge2$), la sous-famille $(e_2,\dots,e_p)$ est libre.

Par 8.b et la propriété de la projection orthogonale ($\|e_1\|^2=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2+\|e_1-\mathrm{pr}(e_1)\|^2$, donc $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$) : $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|,$$ l'inégalité sur $\mathrm{vol}_{p-1}$ venant de l'hypothèse de récurrence.

*Cas d'égalité.*

Comme $e$ est libre, tous les $\|e_i\|>0$ et $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)>0$ ; l'égalité globale équivaut à la conjonction :

- $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$, i.e. $e_1=\mathrm{pr}(e_1)\in W^\perp$, soit $e_1\perp e_j$ pour tout $j\ge2$ ;

- $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i=2}^p\|e_i\|$, i.e. (hypothèse de récurrence) $(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale deux à deux.

Ces deux conditions réunies équivalent à : $e$ orthogonale deux à deux. $\square$

**Commentaire.** « Récurrence […] nécessitait de préciser soigneusement les cas d'égalité. » C'est l'inégalité de Hadamard.

### Question 9.a

**Stratégie.** Comme en 7.c, $\mathrm{Gram}(e,e)={}^{t}P\,P$.

**Rédaction.**

Avec $e_j=\sum_i (P_b^e)_{ij}b_i$ et $b$ orthonormée : $$\langle e_j,e_k\rangle=\sum_{i,l}(P_b^e)_{ij}(P_b^e)_{lk}\langle b_i,b_l\rangle=\sum_i (P_b^e)_{ij}(P_b^e)_{ik}=({}^{t}P_b^e\,P_b^e)_{jk}.$$
Donc $\mathrm{Gram}(e,e)={}^{t}P_b^e\,P_b^e$ et $\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det(P_b^e)^2$, d'où $$\mathrm{vol}_p(e)=\big(\det(P_b^e)^2\big)^{1/2}=|\det(P_b^e)|.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent bien […] de manière analogue à la question 7c. »

### Question 9.b

**Stratégie.**

Cas lié immédiat ; cas libre : exprimer $e,e'$ dans des bases orthonormées $b,b'$ de leurs supports (7.a), ramenant le tout à $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le1$, qui découle de la Partie I.

**Rédaction.**

*Cas où $e$ ou $e'$ est liée.*

Si $e$ liée, $\Omega_p(e)=0$ (7.b) et $\mathrm{vol}_p(e)=0$, donc $|\Omega_p(e)(e')|=0=\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e')$.

Si $e'$ liée, $\Omega_p(e)(e')\overset{6.b}{=}\Omega_p(e')(e)=0$ et $\mathrm{vol}_p(e')=0$ : même conclusion.

*Cas $e,e'$ libres.*

Soient $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dimension $p$), $b$ base orthonormée de $V$, $b'$ base orthonormée de $V'$.

Avec $P=P_b^e$, $Q=P_{b'}^{e'}$, on a $e_i=\sum_j (^{t}P)_{ij}b_j$, donc par 7.a $\Omega_p(e)=\det(P)\Omega_p(b)$ et de même $\Omega_p(e')=\det(Q)\Omega_p(b')$.

Alors $$\Omega_p(e)(e')=\det(P)\,\Omega_p(b)(e')\overset{6.b}{=}\det(P)\,\Omega_p(e')(b)=\det(P)\det(Q)\,\Omega_p(b')(b)\overset{6.b}{=}\det(P)\det(Q)\,\Omega_p(b)(b').$$
Il reste à majorer $|\Omega_p(b)(b')|=|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$.

Soient $u,u'$ les familles optimales de la Partie I (bases orthonormées de $V,V'$).

Le passage des bases orthonormées $u\to b$ et $u'\to b'$ se fait par des matrices **orthogonales** $R,R'$ (de déterminant $\pm1$), et $$\mathrm{Gram}(b,b')={}^{t}R\,\mathrm{Gram}(u,u')\,R',\quad\text{donc}\quad |\det\mathrm{Gram}(b,b')|=|\det\mathrm{Gram}(u,u')|\le 1$$ par 4.b–4.c. Finalement, avec 9.a ($\mathrm{vol}_p(e)=|\det P|$, $\mathrm{vol}_p(e')=|\det Q|$) : $$|\Omega_p(e)(e')|=|\det P|\,|\det Q|\,|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le|\det P|\,|\det Q|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').\qquad\square$$

**Commentaire.** « Peu traitée et dont la rédaction a été fréquemment insuffisante. » Le rapport balise exactement la voie : « cas non-libre via 7b », puis « bases orthonormales $b,b'$ […] un argument similaire à 7a et la fin de la partie 1 ».

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## Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ est une base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, $I_p=\{(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\cdots<i_p\le d\}$.

On note, pour $\omega,\omega'\in A_p(E,\mathbb R)$, $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

**Lemme préliminaire (utile partout).**

Pour $\alpha,\gamma\in I_p$, $\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)=\delta_{\alpha\gamma}$.

En effet $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\gamma)_{k,m}=\langle e_{i_k},e_{\gamma_m}\rangle=\delta_{i_k,\gamma_m}$.

Si $\alpha=\gamma$ : matrice $I_p$, déterminant $1$.

Si $\alpha\neq\gamma$ : un indice de $\alpha$ n'est pas dans $\gamma$, la ligne correspondante est nulle, déterminant $0$.

### Question 10.a

**Stratégie.**

Égalité d'éléments de $A_p(E,\mathbb R)$ : on teste sur tous les $p$-uplets $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})$ de vecteurs de base, et l'on exploite le caractère alterné pour se ramener aux indices strictement croissants.

**Rédaction.** Posons $\psi=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)\in A_p(E,\mathbb R)$.

Par multilinéarité, deux éléments de $A_p(E,\mathbb R)$ sont égaux dès qu'ils coïncident sur tous les $p$-uplets $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})$, $(j_1,\dots,j_p)\in\llbracket1,d\rrbracket^p$.

Calculons les deux membres en un tel $p$-uplet.

*Si deux indices coïncident.*

Le caractère alterné de $\omega$ donne $\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=0$ ; et $\Omega_p(e_\alpha)(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\det(\delta_{i_k,j_m})$ a deux colonnes égales, donc $0$.

Les deux membres sont nuls.

*Si les $j_m$ sont distincts.*

Soit $\beta\in I_p$ le réordonnancement croissant de $\{j_1,\dots,j_p\}$ et $\tau\in\mathfrak S_p$ la permutation telle que $(j_1,\dots,j_p)=\beta\cdot\tau$.

Alors $\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\epsilon(\tau)\omega(e_\beta)$.

D'autre part $\Omega_p(e_\alpha)(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\det(\delta_{i_k,j_m})$ est nul sauf si $\{i_1,\dots,i_p\}=\{j_1,\dots,j_p\}$, i.e. $\alpha=\beta$, auquel cas c'est le déterminant de la matrice de permutation associée à $\tau$, soit $\epsilon(\tau)$.

Donc $$\psi(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\omega(e_\beta)\,\epsilon(\tau)=\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Ainsi $\psi=\omega$, c'est-à-dire $\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$. $\square$

**Commentaire.** « Peu traitée. Elle nécessitait […] une justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $I_p$. »

### Question 10.b

**Stratégie.**

Le lemme donne $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\delta_{\alpha\beta}$ ; conjugué à 10.a, ceci fait des $\Omega_p(e_\alpha)$ une base orthonormée et force le caractère défini positif.

**Rédaction.** La forme $\langle\cdot,\cdot\rangle$ définie par (1) est clairement **bilinéaire symétrique**.

*Orthonormalité.* Par définition et le lemme,
$$\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_{\gamma\in I_p}\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\,\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_{\gamma}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}.$$
*Famille libre.*

Si $\sum_\alpha c_\alpha\Omega_p(e_\alpha)=0$, le produit avec $\Omega_p(e_\beta)$ donne $c_\beta=0$ ; la famille est libre.

Avec 10.a (génératrice), $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est une **base** de $A_p(E,\mathbb R)$.

*Produit scalaire.*

Pour $\omega=\sum_\alpha c_\alpha\Omega_p(e_\alpha)$, $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha c_\alpha^2\ge0$, nul ssi tous les $c_\alpha=0$ ssi $\omega=0$.

Donc $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire, et $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ en est une base orthonormée.

*Dimension.* $\dim A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\dbinom{d}{p}$. $\square$

**Commentaire.** « Le point le plus subtil était […] que si $\alpha\neq\beta$, l'une au moins des colonnes de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ était nulle » (notre lemme). « Le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » : $|I_p|=\binom dp$.

### Question 10.c

**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, $\dim A_{d-1}(E,\mathbb R)=\binom{d}{d-1}=d=\dim E$ ; un $\alpha\in I_{d-1}$ est repéré par l'unique indice manquant.

On envoie une base orthonormée sur une base orthonormée.

**Rédaction.**

Pour $p=d-1$, à chaque $j\in\llbracket1,d\rrbracket$ associons $\alpha_j\in I_{d-1}$, le $(d-1)$-uplet croissant de $\llbracket1,d\rrbracket\setminus\{j\}$ ; $j\mapsto\alpha_j$ est une bijection de $\llbracket1,d\rrbracket$ sur $I_{d-1}$.

Définissons l'application linéaire $\phi:E\to A_{d-1}(E,\mathbb R)$ par $\phi(e_j)=\Omega_{d-1}(e_{\alpha_j})$, prolongée par linéarité.

$(e_1,\dots,e_d)$ est une base orthonormée de $E$ et, par 10.b, $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_j}))_{j}=(\Omega_{d-1}(e_\alpha))_{\alpha\in I_{d-1}}$ est une base orthonormée de $A_{d-1}(E,\mathbb R)$.

L'application linéaire $\phi$ envoie une base orthonormée sur une base orthonormée : c'est donc une **isométrie** (cours : une application linéaire transformant une base orthonormée en base orthonormée conserve le produit scalaire et est bijective). $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée. […] un élément de $I_p$ était déterminé par […] le seul indice manquant […] une bijection […] qu'elle définissait une isométrie. »

### Question 11

**Stratégie.**

Appliquer 10.a à $\omega=\Omega_p(v)$, l'évaluer en $u$, et utiliser la symétrie 6.b.

**Rédaction.**

Par 10.a appliquée à $\omega=\Omega_p(v)\in A_p(E,\mathbb R)$ : $$\Omega_p(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(v)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).$$
Évaluons en $u$ et utilisons $\Omega_p(e_\alpha)(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(e_\alpha)$ : $$\Omega_p(v)(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(v)(e_\alpha)\,\Omega_p(u)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.$$
Enfin $\Omega_p(v)(u)\overset{6.b}{=}\Omega_p(u)(v)$, d'où $$\Omega_p(u)(v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Trop souvent mal rédigée, notamment sans donner de détails […] ni référence aux questions précédentes » : il faut citer explicitement 10.a et 6.b.

### Question 12

**Stratégie.**

D'après 11, le produit scalaire vaut $\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$, qui ne dépend que du produit scalaire de $E$ ; comme les $\Omega_p(u)$ engendrent $A_p(E,\mathbb R)$, deux produits issus de bases différentes coïncident.

**Rédaction.**

Soient $e,\tilde e$ deux bases orthonormées de $E$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$, $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$ les formes associées par (1).

La démonstration de 11 n'utilise que (1), 10.a et 6.b — toutes valables pour n'importe quelle base orthonormée.

Donc, pour tous $u,v\in E^p$, $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{\tilde e},$$ et le terme central $\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne dépend que du produit scalaire de $E$.

Les deux formes coïncident donc sur toutes les paires $(\Omega_p(u),\Omega_p(v))$.

Comme la famille $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ contient la base $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ (10.b), elle engendre $A_p(E,\mathbb R)$ ; par bilinéarité, $\langle\cdot,\cdot\rangle_e=\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$.

Le produit scalaire ne dépend donc que du produit scalaire de $E$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies. […] réécrire le produit scalaire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ et […] justifier que ce dernier terme ne dépendait que du produit scalaire choisi sur $E$. »

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## Partie IV

On munit désormais $A_p(E,\mathbb R)$ du produit scalaire de la Partie III ; on note $\|\cdot\|$ la norme associée.

D'après 11, $\|\Omega_p(e)\|^2=\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle=\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2$, donc $$\boxed{\ \|\Omega_p(e)\|=\mathrm{vol}_p(e)\ }\qquad(\star)$$

### Question 13.a

**Stratégie.**

Sens « $\Leftarrow$ » : 7.a. Sens « $\Rightarrow$ » : colinéarité $=$ cas d'égalité de Cauchy-Schwarz dans $A_p(E,\mathbb R)$, qui via $(\star)$ et 11 redonne l'égalité de 9.b, laquelle force $V=V'$ par la Partie I.

**Rédaction.**

Soient $e,e'$ libres de cardinal $p$.

Par 7.b, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\neq0$.

*($\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')\Rightarrow$ colinéarité).*

Si $V:=\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, $e$ et $e'$ sont deux bases de $V$ : il existe $M$ inversible avec $e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$, et 7.a donne $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ : colinéaires.

*($\text{colinéarité}\Rightarrow\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$).* Supposons $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ colinéaires (et non nuls).

C'est le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace euclidien $A_p(E,\mathbb R)$ : $$|\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e')\rangle|=\|\Omega_p(e)\|\,\|\Omega_p(e')\|.$$
Par 11, $\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e')\rangle=\Omega_p(e)(e')$, et par $(\star)$, $\|\Omega_p(e)\|=\mathrm{vol}_p(e)$, $\|\Omega_p(e')\|=\mathrm{vol}_p(e')$.

Donc $$|\Omega_p(e)(e')|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e'),$$ c'est l'**égalité** dans 9.b. Reprenons la majoration de 9.b ($e,e'$ libres, $\det P,\det Q\neq0$) : elle devient une égalité ssi $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|=1$, c'est-à-dire $|\det\mathrm{Gram}(u,u')|=\prod_k\cos\theta_k=1$ pour les familles optimales $u,u'$ de $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$.

Par 4.c, ceci impose $V=V'$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée dans son intégralité. L'une des implications était une conséquence facile de 7a. L'autre […] bien plus délicate, […] nécessitait d'utiliser des résultats des différentes parties. » Le sens difficile mobilise $(\star)$ (Partie III), 9.b (Partie II) et 4.c (Partie I).

### Question 13.b

**Stratégie.**

Existence en posant $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$ pour $e\in C$, en vérifiant l'indépendance vis-à-vis de $e$ (l'orientation impose un déterminant $>0$).

Unicité immédiate.

**Rédaction.** *Existence et bonne définition.*

Fixons $e\in C$ (base de $V$, orientation $C$) ; $\mathrm{vol}_p(e)>0$ car $e$ libre.

Posons $\Psi(V,C)=\dfrac{1}{\mathrm{vol}_p(e)}\Omega_p(e)$.

Pour $e'\in C$ : $e'$ est une base de $V$ de même orientation, donc $\det_e(e')>0$ ; avec $e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$ on a $\det M=\det_e(e')>0$, et par 7.a $\Omega_p(e')=\det_e(e')\,\Omega_p(e)$.

De plus $$\mathrm{vol}_p(e')^2=\Omega_p(e')(e')=\det_e(e')\,\Omega_p(e)(e')=\det_e(e')^2\,\Omega_p(e)(e)=\det_e(e')^2\,\mathrm{vol}_p(e)^2,$$ donc $\mathrm{vol}_p(e')=\det_e(e')\,\mathrm{vol}_p(e)$ (signe $+$).

Par suite $$\frac{\Omega_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e')}=\frac{\det_e(e')\,\Omega_p(e)}{\det_e(e')\,\mathrm{vol}_p(e)}=\frac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}.$$
La définition ne dépend pas du représentant $e\in C$, et $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi(V,C)$ pour tout $e\in C$.

*Unicité.*

Si $\Psi_1,\Psi_2$ conviennent, pour $e\in C$, $\mathrm{vol}_p(e)\Psi_1=\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi_2$ avec $\mathrm{vol}_p(e)>0$, donc $\Psi_1=\Psi_2$. $\square$

**Commentaire.** « L'unicité était une conséquence du fait que […] $\mathrm{vol}_p(e)=1$ [pour une base orthonormée]. Pour l'existence […] $\Omega_p(e)$ convenait. »

### Question 14.a

**Stratégie.**

Norme : $(\star)$ donne $\|\Psi(V,C)\|=1$.

Injectivité : $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$ entraîne colinéarité $\Rightarrow V=V'$ (13.a), puis un argument de signe pour les orientations.

**Rédaction.** *Image dans la sphère unité.*

Pour $e\in C$, $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$, donc par $(\star)$, $\|\Psi(V,C)\|=\|\Omega_p(e)\|/\mathrm{vol}_p(e)=1$.

*Injectivité.*

Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')=:\omega$ (de norme $1$, donc $\neq0$).

Pour $e\in C$, $e'\in C'$ : $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\,\omega$ et $\Omega_p(e')=\mathrm{vol}_p(e')\,\omega$ sont colinéaires (et non nuls).

Par 13.a, $V=\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')=V'$.

Sur ce même espace, $\Omega_p(e)=\dfrac{\mathrm{vol}_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e')}\Omega_p(e')$ avec coefficient $>0$ ; or par 7.a, $\Omega_p(e)=\det_{e'}(e)\,\Omega_p(e')$.

Donc $\det_{e'}(e)=\dfrac{\mathrm{vol}_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e')}>0$, ce qui signifie $e\sim e'$ : même orientation, $C=C'$.

Ainsi $(V,C)=(V',C')$ : $\Psi$ est injective de $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ dans la sphère unité de $A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Très rarement traitée. La condition sur la norme découlait des calculs de $\det(\mathrm{Gram}(e,e))$ pour une famille orthonormale. L'injectivité était une conséquence de 13a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncidaient. »

### Question 14.b

**Stratégie.** L'image est bornée (dans la sphère unité) ; on montre qu'elle est fermée par caractérisation séquentielle, via une extraction diagonale de bases orthonormées et la continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** $A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie. L'image $K:=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est incluse dans la sphère unité (14.a), donc **bornée**. Montrons qu'elle est **fermée**.

Soit $(\omega_n)$ une suite de $K$ convergeant vers $\omega\in A_p(E,\mathbb R)$.

Écrivons $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)$ et choisissons une base orthonormée $e^{(n)}=(e_1^{(n)},\dots,e_p^{(n)})$ de $V_n$ dans l'orientation $C_n$ ; comme $\mathrm{vol}_p(e^{(n)})=1$ (8.a), $\omega_n=\Omega_p(e^{(n)})$.

Chaque $e_i^{(n)}$ appartient à la sphère unité $S$ de $E$, qui est compacte (fermée bornée en dimension finie).

Par extractions successives (diagonale) sur $i=1,\dots,p$, on obtient une extractrice $\varphi$ telle que $e_i^{(\varphi(n))}\to f_i\in S$ pour chaque $i$.

Par continuité du produit scalaire, $\langle f_i,f_j\rangle=\lim_n\langle e_i^{(\varphi(n))},e_j^{(\varphi(n))}\rangle=\delta_{ij}$ : la famille $f=(f_1,\dots,f_p)$ est orthonormée, donc libre, et engendre un sous-espace $V=\mathrm{Vect}(f)$ de dimension $p$.

Orientons-le par $C=$ classe de $f$.

L'application $\Omega_p:E^p\to A_p(E,\mathbb R)$ est **$p$-linéaire** sur un produit d'espaces de dimension finie, donc **continue** (cours MP).

Ainsi $$\omega_{\varphi(n)}=\Omega_p(e^{(\varphi(n))})\xrightarrow[n\to\infty]{}\Omega_p(f)=\Psi(V,C),$$ la dernière égalité car $f$ est orthonormée ($\mathrm{vol}_p(f)=1$).

Par unicité de la limite, $\omega=\Psi(V,C)\in K$. Donc $K$ est fermé.

Fermé et borné en dimension finie : $K=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est **compact**. $\square$

**Commentaire.** « Difficile très rarement traitée. On pouvait la résoudre par un critère séquentiel […] extraction diagonale […] en utilisant la compacité de la sphère unité de $E$. On pouvait également démontrer le caractère fermé et borné. » C'est exactement la démarche suivie.

### Question 15

**Stratégie.**

Sens $p=d$ : l'image est une paire de points antipodaux dans la droite $A_d(E,\mathbb R)$, non connexe.

Sens $p\le d-1$ : tout point de l'image est $\Omega_p(f)$ avec $f$ frame orthonormé ; on relie deux frames orthonormés par un chemin (rotations dans les plans $W_k$ de 3.d, et basculement d'orientation rendu possible par la dimension $d-p\ge1$).

**Rédaction.** Notons $K=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Tout élément de $K$ s'écrit $\Omega_p(f)$ pour une famille orthonormée $f$ (base de son support dans son orientation, $\mathrm{vol}_p=1$) ; réciproquement, pour toute famille orthonormée $f$, $\Omega_p(f)=\Psi(\mathrm{Vect}(f),C_f)\in K$.

Donc $K=\Phi(\mathcal O)$, où $\mathcal O$ est l'ensemble des familles orthonormées de cardinal $p$ et $\Phi:f\mapsto\Omega_p(f)$, **continue** (14.b).

**($\Rightarrow$) Si $p=d$, $K$ n'est pas connexe par arcs.**

Alors $\dim A_d(E,\mathbb R)=\binom dd=1$ : $A_d(E,\mathbb R)=\mathbb R\,\Omega_d(e)$.

L'unique sous-espace de dimension $d$ est $E$, avec deux orientations $C_+,C_-$.

Pour une base orthonormée $e\in C_+$, $\Psi(E,C_+)=\Omega_d(e)=:\omega_0$, $\|\omega_0\|=1$.

Une base orthonormée d'orientation opposée est par exemple $e'=(e_2,e_1,e_3,\dots,e_d)$ ($\det_e(e')=-1<0$), et 7.a donne $\Psi(E,C_-)=\Omega_d(e')=-\omega_0$.

Donc $K=\{\omega_0,-\omega_0\}$, deux points distincts.

S'il existait un arc continu $\gamma:[0,1]\to K$ avec $\gamma(0)=\omega_0$, $\gamma(1)=-\omega_0$, alors $t\mapsto\langle\gamma(t),\omega_0\rangle$ serait continue de $[0,1]$ dans $\{1,-1\}$, prenant les valeurs $1$ et $-1$ : impossible par le théorème des valeurs intermédiaires.

Donc $K$ n'est pas connexe par arcs.

**($\Leftarrow$) Si $p\le d-1$, $K$ est connexe par arcs.**

Il suffit de montrer que $\mathcal O$ est connexe par arcs : $K=\Phi(\mathcal O)$ sera connexe par arcs comme image continue.

Soient $f,g\in\mathcal O$ ; posons $V=\mathrm{Vect}(f)$, $V'=\mathrm{Vect}(g)$.

*Étape 1 (basculement d'orientation, utilise $p\le d-1$).*

Pour une famille orthonormée $(h_1,\dots,h_p)$, $\mathrm{Vect}(h_1,\dots,h_p)^\perp$ est de dimension $d-p\ge1$ : il existe $w\in S$ orthogonal à $h_1,\dots,h_p$.

Le chemin $$t\mapsto\big(h_1,\dots,h_{p-1},\ \cos(\pi t)\,h_p+\sin(\pi t)\,w\big),\quad t\in[0,1],$$ reste dans $\mathcal O$ (le dernier vecteur est unitaire et orthogonal à $h_1,\dots,h_{p-1}$) et joint $(h_1,\dots,h_p)$ à $(h_1,\dots,h_{p-1},-h_p)$, base orthonormée de même support mais d'orientation opposée.

Ainsi, dans $\mathcal O$, toute base orthonormée d'un sous-espace est reliée aux deux orientations de ce sous-espace.

*Étape 2 (relier $f$ à la famille optimale $u$ de $V$).*

Soit $u$ la base orthonormée de $V$ donnée par la Partie I (relativement à $V,V'$).

Si $f$ et $u$ ont même orientation, un chemin dans $SO(V)$ (connexe par arcs) joint $f$ à $u$ par des bases orthonormées de $V$, donc dans $\mathcal O$.

Sinon, on bascule d'abord l'orientation de $f$ (Étape 1), puis on conclut.

Dans tous les cas, $f$ est reliée à $u$ dans $\mathcal O$.

De même $g$ est reliée à la famille optimale $u'$ de $V'$.

*Étape 3 (relier $u$ à $u'$, utilise 3.d).*

Par 3.d, les plans $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ sont deux à deux orthogonaux ; et $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle\ge0$ (4.a), donc $u_k'\neq-u_k$.

Dans chaque $W_k$ (droite si $u_k=u_k'$, plan sinon), on fait tourner $u_k$ vers $u_k'$ par un chemin de vecteurs unitaires $t\mapsto u_k(t)\in W_k$ ($u_k(0)=u_k$, $u_k(1)=u_k'$, rotation d'angle $t\theta_k$).

Les $W_k$ étant orthogonaux, la famille $u(t)=(u_1(t),\dots,u_p(t))$ reste orthonormée pour tout $t$ : c'est un chemin dans $\mathcal O$ joignant $u$ à $u'$.

En concaténant les trois étapes, $f$ et $g$ sont reliées dans $\mathcal O$.

Donc $\mathcal O$ est connexe par arcs, et $K=\Phi(\mathcal O)$ aussi.

**Conclusion.** $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée et difficile. Le fait que $p=d$ implique la non-connexité par arcs était la partie la plus accessible de la preuve » : ce sens, traité ici en premier, vaut déjà des points.

Le sens $p\le d-1$ exploite l'indication du sujet (question 3.d, orthogonalité des $W_k$) pour relier deux sous-espaces, l'ingrédient nouveau étant le basculement d'orientation rendu possible par $d-p\ge1$.

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### Bilan stratégique

Le rapport confirme qu'une copie soignée sur les Parties I et II (questions 1 à 9, hors 3b/8b/9b parfois) plus 10a–12 plaçait nettement au-dessus de la moyenne (8,06/20). Les questions **2, 3b, 8b, 9b** discriminaient déjà dans le ventre du sujet ; **13a, 14b, 15** distinguaient les meilleures copies. La constante du rapport : *rédiger proprement, même l'élémentaire, et citer explicitement chaque question réutilisée* — exigence d'autant plus rentable que l'architecture du problème enchaîne les renvois.